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Amostragem de Wang-Landau

2022-10-19T04:25:51Z

Erickc: /* Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau */

O [https://pt.wikipedia.org/wiki/Algoritmo algoritmo] de amostragem de Wang-Landau é um método de amostragem para simulações de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo Monte Carlo] introduzido por F. Wang and D. P. Landau em 2001
<ref>F. Wang and D. P. Landau, ‘‘Efficient, multiple-range random walk algorithm to calculate the density of states,’’ Phys. Rev. Lett. 86, 2050–2053
!2001"; ‘‘Determining the density of states for classical statistical models:
A random walk algorithm to produce a flat histogram,’’ Phys. Rev. E 64,
056101 !2001".
</ref>
(com uma versão didática publicada em 2004 por D.P Landau, Shan-Ho Tsai e M. Exlerem),
<ref>Landau, D. P., Shan-Ho Tsai, and M. Exler. "A new approach to Monte Carlo simulations in statistical physics: Wang-Landau sampling." American Journal of Physics 72.10 (2004): 1294-1302.</ref>
que apresenta diversas vantagens sobre outros métodos para sistemas de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Spin spins]. Dentre eles podemos citar o algoritmo de Metropolis
<ref>N. Metropolis, A. W. Rosenbluth, M. N. Rosenbluth, A. H. Teller, and E.
Teller, ‘‘Equation of state calculations by fast computing machines,’’ J.
Chem. Phys. 21, 1087–1092 !1953".</ref>
, o algoritmo de ''clustering'' de Wolff
<ref>U. Wolff, ‘‘Collective Monte Carlo updating for spin systems,’’ Phys. Rev.
Lett. 62, 361–364 !1989".</ref>
, ou em um modelamento de ''ensamble'' multi-canônico
<ref>B. A. Berg and T. Neuhaus, ‘‘Multicanonical ensemble: A new approach to
simulate first-order phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 68, 9–12 !1992"</ref>
. Nestes dois últimos métodos são utilizados métodos de repesagem de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Histograma histogramas]<ref>
A. M. Ferrenberg and R. H. Swendsen, ‘‘New Monte Carlo technique for
studying phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 61, 2635–2638 !1988"; ‘‘Optimized Monte Carlo data analysis,’’ ibid. 63, 1195–1198 !1989".</ref>
que são limitados em sistemas grandes devido as baixa qualidade estatística nas asas do histograma.
Dentro deste contexto, o algoritmo Wang-Landau promete resolver problemas encontrados em amostragens convencionais como o ''critical slowing down'' para temperaturas próximas da temperatura crítica <math>T_c</math> utilizando-se de caminhadas aleatórias controladas para mapear a densidade de estados <math>g(E)</math> de um sistema, sem depender do método de repesagem de histogramas.

----

A maioria dos algoritmos de amostragem convencionais geram uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_can%C3%B3nico distribuição canônica] não normalizada

<div id="equação de distribuição de probabilidade canônica"> <math> P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

para uma determinada temperatura <math>T</math>, Geralmente estas distribuições são estreitas e se faz necessário múltiplas simulações para obter algum parâmetro [https://pt.wikipedia.org/wiki/Termodin%C3%A2mica termodinâmico] para uma distribuição significantemente grande de temperaturas, na Fig. 2 vemos exemplos destas distribuições.
Como <math>g(E)</math> não depende de temperatura do sistema, se pudermos encontrá-lo para todo <math>E</math>, podemos encontrar a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_de_parti%C3%A7%C3%A3o_(mec%C3%A2nica_estat%C3%ADstica) função de partição]

<div id="pf"> <math> Z(T) = \sum_E g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

e o sistema esta essencialmente resolvido, uma vez que grande parte dos parâmetros termodinâmicos podem ser derivados de <math>Z</math>. Além disso, a amostragem de Wang-Landau é provada ser útil em diversas aplicações como o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Antiferromagnetismo antiferromagneto] de Potts
<ref>C. Yamaguchi and Y. Okabe, ‘‘Three-dimensional antiferromagnetic
q-state Potts models: application of the Wang-Landau algorithm,’’ J. Phys.
A 34, 8781– 8794 !2001"</ref>
, sistemas de spins aleatórios<ref>Y. Okabe, Y. Tomita, and C. Yamaguchi, ‘‘Application of new Monte Carlo
algorithms to random spin systems,’’ Comput. Phys. Commun. 146, 63– 68
!2002".</ref>
, sistemas [https://pt.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica quânticos]<ref>
2M. Troyer, S. Wessel, and F. Alet, ‘‘Flat histogram methods for quantum
systems: Algorithms to overcome tunneling problems and calculate the
free energy,’’ Phys. Rev. Lett. 90, 120201 !2003". </ref>, etc... .

==Descrição do algoritmo de Wang Landau==
Descreveremos o funcionamento do algoritmo de Wang-Landau num sistema de spins clássicos de 2 estados numa grade bidimensional com valores discretos de energia e sem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Campo_magn%C3%A9tico campo magnético]([https://pt.wikipedia.org/wiki/Modelo_de_Ising Modelo de Ising]2D). Portanto quando nos referirmos a <math>g(E)</math> como densidade de estados, interpretamos como o número de estados com energia E.
A amostragem de Wang-Landau faz caminhadas aleatórias no espaço de energia mudando os estados de spins aleatoriamente selecionados, porém esta mudança só é aceita com probabilidade proporcional a reciproca da densidade de estados. Durante a caminhada também se acumula o número de vezes que uma energia é visitada durante a caminhada <math>H(E)</math>, isto é, ao visitarmos a energia <math>E_1</math> faz-se a atualização da variável <math> H(E_1) \rightarrow H(E_1) + 1 </math>. Por outro lado, a atualização da densidade de estados <math>g(E_1)</math> se da por um fator multiplicativo <math>f</math> (<math> g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f </math>) controlado ao longo da simulação para que seja muito próximo de 1 ao final das caminhadas.

Podemos descrever os passos do algoritmo da seguinte maneira:
# Inicializamos as densidades de energias com <math>g(E) = 1</math> para todo <math>E</math>, da mesma forma <math>H(E) = 0</math> para todo <math>E</math>.
# Inicializamos <math>f = f_0 = e \approx 2.71828</math> e um sistema <math>L\times L</math> de spins de valor 1 e -1 aleatoriamente distribuídos.
#*O valor de <math>f</math> é arbitrário e deve ser escolhido não muito pequeno, pois irá fazer com que a simulação demore muito tempo para explorar diversas energias, por outro lado se escolhido muito grande, levará a erros estatísticos significativos.
# Começamos a caminhada inicial escolhendo aleatoriamente um dos spins e mudando o seu estado.
# Se denotamos <math>E_1</math> como a energia antes da mudança de estado do spin selecionado e <math>E_2</math> como a energia após, aceitamos este novo estado com a seguinte probabilidade: <math>P(E_1 \rightarrow E_2) = \text{min}\left(\frac{g(E_1)}{g(E_2)},1\right)</math>
#*Se aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_2) \rightarrow g(E_2) \times f</math> e <math>H(E_2) \rightarrow H(E_2) +1</math> respectivamente.
#*Se não aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f</math> e <math>H(E_1) \rightarrow H(E_1) +1</math> respectivamente, de maneira a recontar o estado <math>E_1</math>.
#*Destaca-se que em ambos os casos usamos <math>\ln(g(E)) = \rightarrow \ln(g(E)) + \ln(f)</math>, pois ao longo da simulação acabamos usando números muito grandes.
#Faz-se esta caminhada aleatória nos diferentes estados do sistema até que o histograma <math>H(E)</math> esteja aproximadamente plano.
#*O critério para decidir se um histograma está plano é arbitrário. Para um [https://pt.wikipedia.org/wiki/Hamiltoniano_(mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica) hamiltoniano] de Ising 2D este critério pode ser definido tão alto quanto 95% (i.e. todos os valores de <math>H(E)</math> devem ser pelo menos 95% de <math> \langle H(E) \rangle </math>), porém valores mais altos que isso podem resultar no programa nunca identificando o histograma como plano.
#Checa-se se <math>H(E)</math> está plano a cada 10000 passos MC. Quando está plano, podemos dizer que todos os estados foram visitados uma quantidade de vezes aproximadamente igual e a densidade de estados <math>g(E)</math> converge ao valor real com precisão da ordem de <math>f</math>. (O critério de 10000 passos é arbitrário e pode ser modificado de acordo com o propósito da simulação).
#*Um passo MC corresponde a <math>L^2 = N</math> passos.
#Reduz-se o fator <math>f</math> da seguinte maneira <math>f_1 \rightarrow \sqrt{f_0}</math>, reinicia-se o histograma <math>H(E) = 0</math> e recomeça-se a caminhada aleatória com este novo fator <math>f</math>. (Todos os parâmetros não mencionados neste passo permanecem intocados).
#Continuamos executando os passos 5-7, reduzindo o fator <math>f</math> segundo a seguinte expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math>
#Encerra-se a simulação quando <math>f_{final}</math> estiver da ordem do erro desejado.
#*Claro que <math>f_{final}</math> pode ser escolhido arbitrariamente pequeno, mas sempre com um certo limite razoável <math>(10^{-6}-10^{-8})</math>, ou a simulação pode tomar tempos não razoáveis para completar.

==Observações sobre o algoritmo==
Nesta seção discutimos algumas observações importantes a se levar em conta na implementação do método de amostragem de Wang-Landau
===Fator de modificação f===
Quando tratamos da atualização do fator <math>f</math>, a expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math> é apenas uma recomendação, uma vez que outros valores de <math>n>1</math> podem ser escolhidos para uma atualização do tipo <math>f_{i+1} = f_{i}^{(1/n)}</math>. Não obstante, <math>n = 2</math> é adequado para o sistema estudado (Ising 2D), resultando em boa acurácia em relativamente pouco tempo de simulação.

===Implementação paralela===
A simulação pode ser melhorada ainda fazendo múltiplas caminhadas aleatórias paralelamente no espaço de energias. Restringindo o alcance das caminhadas proporcionalmente com o número de caminhantes em paralelo (e.g. No caso de 2 caminhantes simultâneos, dividimos o espaço de energias em 2 e restringimos um caminhante para a metade inferior das energias, e o outro para a parte superior) e depois juntando as densidades de estados resultantes.
<ref>Vogel, Thomas, et al. "Generic, hierarchical framework for massively parallel Wang-Landau sampling." Physical review letters 110.21 (2013): 210603.</ref>

===Balanço detalhado===
A condição de balanço detalhado inicialmente não é satisfeita uma vez que <math>g(E)</math> é constantemente modificada durante a caminhada aleatória. Porém após várias iterações, a condição é satisfeita a medida que <math>f</math> se aproxima de 1. Observa-se que se <math>P(E_1 \rightarrow E_2)</math> é a probabilidade de transição da energia <math>E_1</math> para a energia <math>E_2</math>, utilizando a equação do passo 4 do algoritmo temos que:

<math>
\frac{P(E_1 \rightarrow E_2)}{P(E_2 \rightarrow E_1)} = \frac{g(E_1)}{g(E_2)}.
</math>

Podemos reescrever a equação de uma forma mais familiar

<math>
\frac{1}{g(E_1)}P(E_1 \rightarrow E_2) = \frac{1}{g(E_2)}P(E_2 \rightarrow E_1)
</math>

que é a condição de balanceamento detalhado, uma vez que interpretamos que <math>1/g(E_1)</math> como a probabilidade do sistema possuir a energia <math>E_1</math> e analogamente para <math>E_2</math>. Concluímos então que a condição de balanço detalhado é satisfeita com precisão proporcional a <math>\ln(f)</math>.
===Escalabilidade===
Quando analisamos um modelo de Ising 2D de tamanho <math>L\times L</math>, temos que o número de configurações <math>(2^N, N = L^2)</math> aumenta exponencialmente com <math>N</math>, enquanto o número de possíveis energias é por volta de <math>2N</math> e aumenta linearmente com N. Implicando que temos uma escalabilidade muito boa para as caminhadas no espaço de energia quando o objetivo é estimar <math>g(E)</math> uma vez que um aumento no tamanho da grade não implica em um aumento exponencial, mas sim linear, no tempo de execução.
===Normalização===
É necessário ressaltar que após a simulação completa, o algoritmo de Wang-Landau nos fornece apenas a densidade de estados relativa. Para extrairmos a real densidade de estados <math>g_n(E)</math> é necessário que utilizemos uma das duas condições: Que o número total de estados possíveis é <math>\sum_Eg_n(E) = Q^N</math> ou que o numero de estados fundamentais é <math>Q</math> (onde <math>Q = 2</math> para o modelo de Ising 2D pois os spins possuem apenas dois estados).

Pela primeira condição, podemos obter a densidade de estados normalizada através da equação

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[\sum_Eg(E)] + N\ln(2)</math>,

enquanto pela segunda condição temos que

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[g(E = -2N)] + \ln(2)</math>.

A segunda normalização é preferível pois garante precisão para estados de menor energia, o que é necessário para o calculo de parâmetros termodinâmicos a baixas temperaturas.

===Grandezas Termodinâmicos===
Uma vez que temos a densidade de estados, podemos calcular diversas grandezas termodinâmicos, como a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_interna energia interna] <math>U(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Calor_espec%C3%ADfico calor especifico] <math>C(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_livre_de_Helmholtz energia livre de Helmholtz] <math>F(T)</math> e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Entropia entropia] <math>S(T)</math> através das seguintes equações:
<div id="equações para parâmetros termodinâmicos">
<math>U(T) = \frac{\sum_EEg(E)e^{-E/k_BT}}{\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}}</math>

<math>C(T) = \frac{\langle E^2\rangle - \langle E\rangle^2}{k_BT^2}</math>

<math>F(T) = -k_BT\ln\left(\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}\right)</math>

<math>S(T) = \frac{U(T) - F(T)}{T}</math>
</div>
Estas grandezas dependem apenas da temperatura uma vez que já foi encontrado a densidade de estados <math>g(E)</math>, o que contorna os problemas de ''critical slowing down'' na temperatura crítica pois a simulação não precisa ser refeita para cada uma das temperaturas, por consequência também dispensa a necessidade do método de repesagem de histogramas, contornando o problema de estatística fraca nas asas dos histogramas.

==Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau==
Podemos aplicar o algoritmo de Wang-Landau para um sistema [https://pt.wikipedia.org/wiki/Ferromagnetismo#:~:text=Ferromagnetismo%20%C3%A9%20o%20mecanismo%20b%C3%A1sico,diferentes%20de%20magnetismo%20s%C3%A3o%20distinguidos. ferromagnético] 2D de Ising com interação de primeiros vizinhos e uma grade quadrada <math>L\times L</math> com [https://pt.wikipedia.org/wiki/Condi%C3%A7%C3%B5es_de_fronteira_peri%C3%B3dicas condições de contorno periódicas] no qual o hamiltoniano é dado por

<math>\mathcal{H} = -\sum_{\langle i,j\rangle}\sigma_{i}\sigma_j</math>,

onde <math>\sigma_{i} = +1</math> para spin para cima, <math>\sigma_{i} = -1</math> para baixo e <math>\langle i,j\rangle</math> indica a soma entre os primeiros vizinhos. Podemos calcular os erros entre os valores obtidos através da simulação e os valores exatos conhecidos para esse sistema através da seguinte expressão

<math>\varepsilon(X) = \frac{|X_{sim}-X_{exato}|}{X_{exato}}</math>,

onde <math>X_{sim}</math> é o valor obtido na simulação para o parâmetro e <math>X_{exato}</math> é o valor exato para o mesmo parâmetro. Na Fig. 1 temos a densidade de estados <math>g(E)</math> para um sistema <math>16 \times 16</math> com <math>f_{final} \sim 10^{-6}</math> e com critério para um histograma <math>H(E)</math> plano de 80%. Com esses parâmetros, a ''Google Compute Engine'' padrão para [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python3] do Google Colab realiza a simulação em <math>\sim 40s</math>. Para as Figs. 1,2,3,4,5,6 os valores exatos estão sobrepostos aos valores obtidos em simulação como uma linha pontilhada.

[[Arquivo: erickStateDensity2.png|400px|thumb|center| Figura 1: Logaritmo da densidade de estados <math>\ln(g(E))</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>, há uma brusca queda na densidade de estados perto das pontas uma vez que as energias <math>-2L^2 + 4</math> e <math>2L^2 - 4</math> são inalcançáveis pelo sistema.]]

Fazendo uso da [[#equação de distribuição de probabilidade canônica]], podemos encontrar a distribuição de probabilidade das energias para uma determinada temperatura <math>T</math>. Devido a natureza do algoritmo, estas distribuições que por meios convencionais levariam tempo demasiadamente grande para ser calculado ou necessitariam de repesagem de histograma são instantaneamente calculadas com o algoritmo de Wang-Landau independentemente da temperatura. Na Fig.2 temos um exemplo das distribuições, incluindo uma próxima da temperatura critica <math>T_c</math>.

[[Arquivo: erickProbs2.png|400px|thumb|center| Figura 2: A distribuição canônica <math>P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}</math> em 3 temperaturas, incluindo a temperatura crítica <math>T_c</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>.]]

Fazendo uso das [[#equações para parâmetros termodinâmicos]], podemos calculá-los para este sistema em função da temperatura quase que instantaneamente. Estes são ilustrados nas Figs. 3,4,5,6.
<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickU2.png|400px|thumb|center| Figura 3: A Energia interna do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickC2.png|400px|thumb|center| Figura 4: O Calor Específico do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o pico se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickF2.png|400px|thumb|center| Figura 5: A Energia Livre do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o começo da queda se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickS2.png|400px|thumb|center| Figura 6: A Entropia do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
</ul></div>

==Código do Exemplo==
[[Exemplo de código para a amostragem de Wang-Landau em Python3]]

==Referências==
<references />

Amostragem de Wang-Landau

2022-10-19T04:25:27Z

Erickc: /* Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau */

O [https://pt.wikipedia.org/wiki/Algoritmo algoritmo] de amostragem de Wang-Landau é um método de amostragem para simulações de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo Monte Carlo] introduzido por F. Wang and D. P. Landau em 2001
<ref>F. Wang and D. P. Landau, ‘‘Efficient, multiple-range random walk algorithm to calculate the density of states,’’ Phys. Rev. Lett. 86, 2050–2053
!2001"; ‘‘Determining the density of states for classical statistical models:
A random walk algorithm to produce a flat histogram,’’ Phys. Rev. E 64,
056101 !2001".
</ref>
(com uma versão didática publicada em 2004 por D.P Landau, Shan-Ho Tsai e M. Exlerem),
<ref>Landau, D. P., Shan-Ho Tsai, and M. Exler. "A new approach to Monte Carlo simulations in statistical physics: Wang-Landau sampling." American Journal of Physics 72.10 (2004): 1294-1302.</ref>
que apresenta diversas vantagens sobre outros métodos para sistemas de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Spin spins]. Dentre eles podemos citar o algoritmo de Metropolis
<ref>N. Metropolis, A. W. Rosenbluth, M. N. Rosenbluth, A. H. Teller, and E.
Teller, ‘‘Equation of state calculations by fast computing machines,’’ J.
Chem. Phys. 21, 1087–1092 !1953".</ref>
, o algoritmo de ''clustering'' de Wolff
<ref>U. Wolff, ‘‘Collective Monte Carlo updating for spin systems,’’ Phys. Rev.
Lett. 62, 361–364 !1989".</ref>
, ou em um modelamento de ''ensamble'' multi-canônico
<ref>B. A. Berg and T. Neuhaus, ‘‘Multicanonical ensemble: A new approach to
simulate first-order phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 68, 9–12 !1992"</ref>
. Nestes dois últimos métodos são utilizados métodos de repesagem de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Histograma histogramas]<ref>
A. M. Ferrenberg and R. H. Swendsen, ‘‘New Monte Carlo technique for
studying phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 61, 2635–2638 !1988"; ‘‘Optimized Monte Carlo data analysis,’’ ibid. 63, 1195–1198 !1989".</ref>
que são limitados em sistemas grandes devido as baixa qualidade estatística nas asas do histograma.
Dentro deste contexto, o algoritmo Wang-Landau promete resolver problemas encontrados em amostragens convencionais como o ''critical slowing down'' para temperaturas próximas da temperatura crítica <math>T_c</math> utilizando-se de caminhadas aleatórias controladas para mapear a densidade de estados <math>g(E)</math> de um sistema, sem depender do método de repesagem de histogramas.

----

A maioria dos algoritmos de amostragem convencionais geram uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_can%C3%B3nico distribuição canônica] não normalizada

<div id="equação de distribuição de probabilidade canônica"> <math> P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

para uma determinada temperatura <math>T</math>, Geralmente estas distribuições são estreitas e se faz necessário múltiplas simulações para obter algum parâmetro [https://pt.wikipedia.org/wiki/Termodin%C3%A2mica termodinâmico] para uma distribuição significantemente grande de temperaturas, na Fig. 2 vemos exemplos destas distribuições.
Como <math>g(E)</math> não depende de temperatura do sistema, se pudermos encontrá-lo para todo <math>E</math>, podemos encontrar a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_de_parti%C3%A7%C3%A3o_(mec%C3%A2nica_estat%C3%ADstica) função de partição]

<div id="pf"> <math> Z(T) = \sum_E g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

e o sistema esta essencialmente resolvido, uma vez que grande parte dos parâmetros termodinâmicos podem ser derivados de <math>Z</math>. Além disso, a amostragem de Wang-Landau é provada ser útil em diversas aplicações como o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Antiferromagnetismo antiferromagneto] de Potts
<ref>C. Yamaguchi and Y. Okabe, ‘‘Three-dimensional antiferromagnetic
q-state Potts models: application of the Wang-Landau algorithm,’’ J. Phys.
A 34, 8781– 8794 !2001"</ref>
, sistemas de spins aleatórios<ref>Y. Okabe, Y. Tomita, and C. Yamaguchi, ‘‘Application of new Monte Carlo
algorithms to random spin systems,’’ Comput. Phys. Commun. 146, 63– 68
!2002".</ref>
, sistemas [https://pt.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica quânticos]<ref>
2M. Troyer, S. Wessel, and F. Alet, ‘‘Flat histogram methods for quantum
systems: Algorithms to overcome tunneling problems and calculate the
free energy,’’ Phys. Rev. Lett. 90, 120201 !2003". </ref>, etc... .

==Descrição do algoritmo de Wang Landau==
Descreveremos o funcionamento do algoritmo de Wang-Landau num sistema de spins clássicos de 2 estados numa grade bidimensional com valores discretos de energia e sem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Campo_magn%C3%A9tico campo magnético]([https://pt.wikipedia.org/wiki/Modelo_de_Ising Modelo de Ising]2D). Portanto quando nos referirmos a <math>g(E)</math> como densidade de estados, interpretamos como o número de estados com energia E.
A amostragem de Wang-Landau faz caminhadas aleatórias no espaço de energia mudando os estados de spins aleatoriamente selecionados, porém esta mudança só é aceita com probabilidade proporcional a reciproca da densidade de estados. Durante a caminhada também se acumula o número de vezes que uma energia é visitada durante a caminhada <math>H(E)</math>, isto é, ao visitarmos a energia <math>E_1</math> faz-se a atualização da variável <math> H(E_1) \rightarrow H(E_1) + 1 </math>. Por outro lado, a atualização da densidade de estados <math>g(E_1)</math> se da por um fator multiplicativo <math>f</math> (<math> g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f </math>) controlado ao longo da simulação para que seja muito próximo de 1 ao final das caminhadas.

Podemos descrever os passos do algoritmo da seguinte maneira:
# Inicializamos as densidades de energias com <math>g(E) = 1</math> para todo <math>E</math>, da mesma forma <math>H(E) = 0</math> para todo <math>E</math>.
# Inicializamos <math>f = f_0 = e \approx 2.71828</math> e um sistema <math>L\times L</math> de spins de valor 1 e -1 aleatoriamente distribuídos.
#*O valor de <math>f</math> é arbitrário e deve ser escolhido não muito pequeno, pois irá fazer com que a simulação demore muito tempo para explorar diversas energias, por outro lado se escolhido muito grande, levará a erros estatísticos significativos.
# Começamos a caminhada inicial escolhendo aleatoriamente um dos spins e mudando o seu estado.
# Se denotamos <math>E_1</math> como a energia antes da mudança de estado do spin selecionado e <math>E_2</math> como a energia após, aceitamos este novo estado com a seguinte probabilidade: <math>P(E_1 \rightarrow E_2) = \text{min}\left(\frac{g(E_1)}{g(E_2)},1\right)</math>
#*Se aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_2) \rightarrow g(E_2) \times f</math> e <math>H(E_2) \rightarrow H(E_2) +1</math> respectivamente.
#*Se não aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f</math> e <math>H(E_1) \rightarrow H(E_1) +1</math> respectivamente, de maneira a recontar o estado <math>E_1</math>.
#*Destaca-se que em ambos os casos usamos <math>\ln(g(E)) = \rightarrow \ln(g(E)) + \ln(f)</math>, pois ao longo da simulação acabamos usando números muito grandes.
#Faz-se esta caminhada aleatória nos diferentes estados do sistema até que o histograma <math>H(E)</math> esteja aproximadamente plano.
#*O critério para decidir se um histograma está plano é arbitrário. Para um [https://pt.wikipedia.org/wiki/Hamiltoniano_(mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica) hamiltoniano] de Ising 2D este critério pode ser definido tão alto quanto 95% (i.e. todos os valores de <math>H(E)</math> devem ser pelo menos 95% de <math> \langle H(E) \rangle </math>), porém valores mais altos que isso podem resultar no programa nunca identificando o histograma como plano.
#Checa-se se <math>H(E)</math> está plano a cada 10000 passos MC. Quando está plano, podemos dizer que todos os estados foram visitados uma quantidade de vezes aproximadamente igual e a densidade de estados <math>g(E)</math> converge ao valor real com precisão da ordem de <math>f</math>. (O critério de 10000 passos é arbitrário e pode ser modificado de acordo com o propósito da simulação).
#*Um passo MC corresponde a <math>L^2 = N</math> passos.
#Reduz-se o fator <math>f</math> da seguinte maneira <math>f_1 \rightarrow \sqrt{f_0}</math>, reinicia-se o histograma <math>H(E) = 0</math> e recomeça-se a caminhada aleatória com este novo fator <math>f</math>. (Todos os parâmetros não mencionados neste passo permanecem intocados).
#Continuamos executando os passos 5-7, reduzindo o fator <math>f</math> segundo a seguinte expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math>
#Encerra-se a simulação quando <math>f_{final}</math> estiver da ordem do erro desejado.
#*Claro que <math>f_{final}</math> pode ser escolhido arbitrariamente pequeno, mas sempre com um certo limite razoável <math>(10^{-6}-10^{-8})</math>, ou a simulação pode tomar tempos não razoáveis para completar.

==Observações sobre o algoritmo==
Nesta seção discutimos algumas observações importantes a se levar em conta na implementação do método de amostragem de Wang-Landau
===Fator de modificação f===
Quando tratamos da atualização do fator <math>f</math>, a expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math> é apenas uma recomendação, uma vez que outros valores de <math>n>1</math> podem ser escolhidos para uma atualização do tipo <math>f_{i+1} = f_{i}^{(1/n)}</math>. Não obstante, <math>n = 2</math> é adequado para o sistema estudado (Ising 2D), resultando em boa acurácia em relativamente pouco tempo de simulação.

===Implementação paralela===
A simulação pode ser melhorada ainda fazendo múltiplas caminhadas aleatórias paralelamente no espaço de energias. Restringindo o alcance das caminhadas proporcionalmente com o número de caminhantes em paralelo (e.g. No caso de 2 caminhantes simultâneos, dividimos o espaço de energias em 2 e restringimos um caminhante para a metade inferior das energias, e o outro para a parte superior) e depois juntando as densidades de estados resultantes.
<ref>Vogel, Thomas, et al. "Generic, hierarchical framework for massively parallel Wang-Landau sampling." Physical review letters 110.21 (2013): 210603.</ref>

===Balanço detalhado===
A condição de balanço detalhado inicialmente não é satisfeita uma vez que <math>g(E)</math> é constantemente modificada durante a caminhada aleatória. Porém após várias iterações, a condição é satisfeita a medida que <math>f</math> se aproxima de 1. Observa-se que se <math>P(E_1 \rightarrow E_2)</math> é a probabilidade de transição da energia <math>E_1</math> para a energia <math>E_2</math>, utilizando a equação do passo 4 do algoritmo temos que:

<math>
\frac{P(E_1 \rightarrow E_2)}{P(E_2 \rightarrow E_1)} = \frac{g(E_1)}{g(E_2)}.
</math>

Podemos reescrever a equação de uma forma mais familiar

<math>
\frac{1}{g(E_1)}P(E_1 \rightarrow E_2) = \frac{1}{g(E_2)}P(E_2 \rightarrow E_1)
</math>

que é a condição de balanceamento detalhado, uma vez que interpretamos que <math>1/g(E_1)</math> como a probabilidade do sistema possuir a energia <math>E_1</math> e analogamente para <math>E_2</math>. Concluímos então que a condição de balanço detalhado é satisfeita com precisão proporcional a <math>\ln(f)</math>.
===Escalabilidade===
Quando analisamos um modelo de Ising 2D de tamanho <math>L\times L</math>, temos que o número de configurações <math>(2^N, N = L^2)</math> aumenta exponencialmente com <math>N</math>, enquanto o número de possíveis energias é por volta de <math>2N</math> e aumenta linearmente com N. Implicando que temos uma escalabilidade muito boa para as caminhadas no espaço de energia quando o objetivo é estimar <math>g(E)</math> uma vez que um aumento no tamanho da grade não implica em um aumento exponencial, mas sim linear, no tempo de execução.
===Normalização===
É necessário ressaltar que após a simulação completa, o algoritmo de Wang-Landau nos fornece apenas a densidade de estados relativa. Para extrairmos a real densidade de estados <math>g_n(E)</math> é necessário que utilizemos uma das duas condições: Que o número total de estados possíveis é <math>\sum_Eg_n(E) = Q^N</math> ou que o numero de estados fundamentais é <math>Q</math> (onde <math>Q = 2</math> para o modelo de Ising 2D pois os spins possuem apenas dois estados).

Pela primeira condição, podemos obter a densidade de estados normalizada através da equação

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[\sum_Eg(E)] + N\ln(2)</math>,

enquanto pela segunda condição temos que

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[g(E = -2N)] + \ln(2)</math>.

A segunda normalização é preferível pois garante precisão para estados de menor energia, o que é necessário para o calculo de parâmetros termodinâmicos a baixas temperaturas.

===Grandezas Termodinâmicos===
Uma vez que temos a densidade de estados, podemos calcular diversas grandezas termodinâmicos, como a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_interna energia interna] <math>U(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Calor_espec%C3%ADfico calor especifico] <math>C(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_livre_de_Helmholtz energia livre de Helmholtz] <math>F(T)</math> e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Entropia entropia] <math>S(T)</math> através das seguintes equações:
<div id="equações para parâmetros termodinâmicos">
<math>U(T) = \frac{\sum_EEg(E)e^{-E/k_BT}}{\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}}</math>

<math>C(T) = \frac{\langle E^2\rangle - \langle E\rangle^2}{k_BT^2}</math>

<math>F(T) = -k_BT\ln\left(\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}\right)</math>

<math>S(T) = \frac{U(T) - F(T)}{T}</math>
</div>
Estas grandezas dependem apenas da temperatura uma vez que já foi encontrado a densidade de estados <math>g(E)</math>, o que contorna os problemas de ''critical slowing down'' na temperatura crítica pois a simulação não precisa ser refeita para cada uma das temperaturas, por consequência também dispensa a necessidade do método de repesagem de histogramas, contornando o problema de estatística fraca nas asas dos histogramas.

==Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau==
Podemos aplicar o algoritmo de Wang-Landau para um sistema [https://pt.wikipedia.org/wiki/Ferromagnetismo#:~:text=Ferromagnetismo%20%C3%A9%20o%20mecanismo%20b%C3%A1sico,diferentes%20de%20magnetismo%20s%C3%A3o%20distinguidos. ferromagnético] 2D de Ising com interação de primeiros vizinhos e uma grade quadrada <math>L\times L</math> com [https://pt.wikipedia.org/wiki/Condi%C3%A7%C3%B5es_de_fronteira_peri%C3%B3dicas condições de contorno periódicas] no qual o hamiltoniano é dado por

<math>\mathcal{H} = -\sum_{\langle i,j\rangle}\sigma_{i}\sigma_j</math>,

onde <math>\sigma_{i} = +1</math> para spin para cima, <math>\sigma_{i} = -1</math> para baixo e <math>\langle i,j\rangle</math> indica a soma entre os primeiros vizinhos. Podemos calcular os erros entre os valores obtidos através da simulação e os valores exatos conhecidos para esse sistema através da seguinte expressão

<math>\varepsilon(X) = \frac{|X_{sim}-X_{exato}|}{X_{exato}}</math>,

onde <math>X_{sim}</math> é o valor obtido na simulação para o parâmetro e <math>X_{exato}</math> é o valor exato para o mesmo parâmetro. Na Fig.1 temos a densidade de estados <math>g(E)</math> para um sistema <math>16 \times 16</math> com <math>f_{final} \sim 10^{-6}</math> e com critério para um histograma <math>H(E)</math> plano de 80%. Com esses parâmetros, a ''Google Compute Engine'' padrão para [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python3] do Google Colab realiza a simulação em <math>\sim 40s</math>. Para as Figs. 1,2,3,4,5,6 os valores exatos estão sobrepostos aos valores obtidos em simulação como uma linha pontilhada.

[[Arquivo: erickStateDensity2.png|400px|thumb|center| Figura 1: Logaritmo da densidade de estados <math>\ln(g(E))</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>, há uma brusca queda na densidade de estados perto das pontas uma vez que as energias <math>-2L^2 + 4</math> e <math>2L^2 - 4</math> são inalcançáveis pelo sistema.]]

Fazendo uso da [[#equação de distribuição de probabilidade canônica]], podemos encontrar a distribuição de probabilidade das energias para uma determinada temperatura <math>T</math>. Devido a natureza do algoritmo, estas distribuições que por meios convencionais levariam tempo demasiadamente grande para ser calculado ou necessitariam de repesagem de histograma são instantaneamente calculadas com o algoritmo de Wang-Landau independentemente da temperatura. Na Fig.2 temos um exemplo das distribuições, incluindo uma próxima da temperatura critica <math>T_c</math>.

[[Arquivo: erickProbs2.png|400px|thumb|center| Figura 2: A distribuição canônica <math>P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}</math> em 3 temperaturas, incluindo a temperatura crítica <math>T_c</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>.]]

Fazendo uso das [[#equações para parâmetros termodinâmicos]], podemos calculá-los para este sistema em função da temperatura quase que instantaneamente. Estes são ilustrados nas Figs. 3,4,5,6.
<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickU2.png|400px|thumb|center| Figura 3: A Energia interna do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickC2.png|400px|thumb|center| Figura 4: O Calor Específico do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o pico se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickF2.png|400px|thumb|center| Figura 5: A Energia Livre do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o começo da queda se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickS2.png|400px|thumb|center| Figura 6: A Entropia do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
</ul></div>

==Código do Exemplo==
[[Exemplo de código para a amostragem de Wang-Landau em Python3]]

==Referências==
<references />

Amostragem de Wang-Landau

2022-10-19T04:24:28Z

Erickc:

O [https://pt.wikipedia.org/wiki/Algoritmo algoritmo] de amostragem de Wang-Landau é um método de amostragem para simulações de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo Monte Carlo] introduzido por F. Wang and D. P. Landau em 2001
<ref>F. Wang and D. P. Landau, ‘‘Efficient, multiple-range random walk algorithm to calculate the density of states,’’ Phys. Rev. Lett. 86, 2050–2053
!2001"; ‘‘Determining the density of states for classical statistical models:
A random walk algorithm to produce a flat histogram,’’ Phys. Rev. E 64,
056101 !2001".
</ref>
(com uma versão didática publicada em 2004 por D.P Landau, Shan-Ho Tsai e M. Exlerem),
<ref>Landau, D. P., Shan-Ho Tsai, and M. Exler. "A new approach to Monte Carlo simulations in statistical physics: Wang-Landau sampling." American Journal of Physics 72.10 (2004): 1294-1302.</ref>
que apresenta diversas vantagens sobre outros métodos para sistemas de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Spin spins]. Dentre eles podemos citar o algoritmo de Metropolis
<ref>N. Metropolis, A. W. Rosenbluth, M. N. Rosenbluth, A. H. Teller, and E.
Teller, ‘‘Equation of state calculations by fast computing machines,’’ J.
Chem. Phys. 21, 1087–1092 !1953".</ref>
, o algoritmo de ''clustering'' de Wolff
<ref>U. Wolff, ‘‘Collective Monte Carlo updating for spin systems,’’ Phys. Rev.
Lett. 62, 361–364 !1989".</ref>
, ou em um modelamento de ''ensamble'' multi-canônico
<ref>B. A. Berg and T. Neuhaus, ‘‘Multicanonical ensemble: A new approach to
simulate first-order phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 68, 9–12 !1992"</ref>
. Nestes dois últimos métodos são utilizados métodos de repesagem de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Histograma histogramas]<ref>
A. M. Ferrenberg and R. H. Swendsen, ‘‘New Monte Carlo technique for
studying phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 61, 2635–2638 !1988"; ‘‘Optimized Monte Carlo data analysis,’’ ibid. 63, 1195–1198 !1989".</ref>
que são limitados em sistemas grandes devido as baixa qualidade estatística nas asas do histograma.
Dentro deste contexto, o algoritmo Wang-Landau promete resolver problemas encontrados em amostragens convencionais como o ''critical slowing down'' para temperaturas próximas da temperatura crítica <math>T_c</math> utilizando-se de caminhadas aleatórias controladas para mapear a densidade de estados <math>g(E)</math> de um sistema, sem depender do método de repesagem de histogramas.

----

A maioria dos algoritmos de amostragem convencionais geram uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_can%C3%B3nico distribuição canônica] não normalizada

<div id="equação de distribuição de probabilidade canônica"> <math> P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

para uma determinada temperatura <math>T</math>, Geralmente estas distribuições são estreitas e se faz necessário múltiplas simulações para obter algum parâmetro [https://pt.wikipedia.org/wiki/Termodin%C3%A2mica termodinâmico] para uma distribuição significantemente grande de temperaturas, na Fig. 2 vemos exemplos destas distribuições.
Como <math>g(E)</math> não depende de temperatura do sistema, se pudermos encontrá-lo para todo <math>E</math>, podemos encontrar a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_de_parti%C3%A7%C3%A3o_(mec%C3%A2nica_estat%C3%ADstica) função de partição]

<div id="pf"> <math> Z(T) = \sum_E g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

e o sistema esta essencialmente resolvido, uma vez que grande parte dos parâmetros termodinâmicos podem ser derivados de <math>Z</math>. Além disso, a amostragem de Wang-Landau é provada ser útil em diversas aplicações como o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Antiferromagnetismo antiferromagneto] de Potts
<ref>C. Yamaguchi and Y. Okabe, ‘‘Three-dimensional antiferromagnetic
q-state Potts models: application of the Wang-Landau algorithm,’’ J. Phys.
A 34, 8781– 8794 !2001"</ref>
, sistemas de spins aleatórios<ref>Y. Okabe, Y. Tomita, and C. Yamaguchi, ‘‘Application of new Monte Carlo
algorithms to random spin systems,’’ Comput. Phys. Commun. 146, 63– 68
!2002".</ref>
, sistemas [https://pt.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica quânticos]<ref>
2M. Troyer, S. Wessel, and F. Alet, ‘‘Flat histogram methods for quantum
systems: Algorithms to overcome tunneling problems and calculate the
free energy,’’ Phys. Rev. Lett. 90, 120201 !2003". </ref>, etc... .

==Descrição do algoritmo de Wang Landau==
Descreveremos o funcionamento do algoritmo de Wang-Landau num sistema de spins clássicos de 2 estados numa grade bidimensional com valores discretos de energia e sem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Campo_magn%C3%A9tico campo magnético]([https://pt.wikipedia.org/wiki/Modelo_de_Ising Modelo de Ising]2D). Portanto quando nos referirmos a <math>g(E)</math> como densidade de estados, interpretamos como o número de estados com energia E.
A amostragem de Wang-Landau faz caminhadas aleatórias no espaço de energia mudando os estados de spins aleatoriamente selecionados, porém esta mudança só é aceita com probabilidade proporcional a reciproca da densidade de estados. Durante a caminhada também se acumula o número de vezes que uma energia é visitada durante a caminhada <math>H(E)</math>, isto é, ao visitarmos a energia <math>E_1</math> faz-se a atualização da variável <math> H(E_1) \rightarrow H(E_1) + 1 </math>. Por outro lado, a atualização da densidade de estados <math>g(E_1)</math> se da por um fator multiplicativo <math>f</math> (<math> g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f </math>) controlado ao longo da simulação para que seja muito próximo de 1 ao final das caminhadas.

Podemos descrever os passos do algoritmo da seguinte maneira:
# Inicializamos as densidades de energias com <math>g(E) = 1</math> para todo <math>E</math>, da mesma forma <math>H(E) = 0</math> para todo <math>E</math>.
# Inicializamos <math>f = f_0 = e \approx 2.71828</math> e um sistema <math>L\times L</math> de spins de valor 1 e -1 aleatoriamente distribuídos.
#*O valor de <math>f</math> é arbitrário e deve ser escolhido não muito pequeno, pois irá fazer com que a simulação demore muito tempo para explorar diversas energias, por outro lado se escolhido muito grande, levará a erros estatísticos significativos.
# Começamos a caminhada inicial escolhendo aleatoriamente um dos spins e mudando o seu estado.
# Se denotamos <math>E_1</math> como a energia antes da mudança de estado do spin selecionado e <math>E_2</math> como a energia após, aceitamos este novo estado com a seguinte probabilidade: <math>P(E_1 \rightarrow E_2) = \text{min}\left(\frac{g(E_1)}{g(E_2)},1\right)</math>
#*Se aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_2) \rightarrow g(E_2) \times f</math> e <math>H(E_2) \rightarrow H(E_2) +1</math> respectivamente.
#*Se não aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f</math> e <math>H(E_1) \rightarrow H(E_1) +1</math> respectivamente, de maneira a recontar o estado <math>E_1</math>.
#*Destaca-se que em ambos os casos usamos <math>\ln(g(E)) = \rightarrow \ln(g(E)) + \ln(f)</math>, pois ao longo da simulação acabamos usando números muito grandes.
#Faz-se esta caminhada aleatória nos diferentes estados do sistema até que o histograma <math>H(E)</math> esteja aproximadamente plano.
#*O critério para decidir se um histograma está plano é arbitrário. Para um [https://pt.wikipedia.org/wiki/Hamiltoniano_(mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica) hamiltoniano] de Ising 2D este critério pode ser definido tão alto quanto 95% (i.e. todos os valores de <math>H(E)</math> devem ser pelo menos 95% de <math> \langle H(E) \rangle </math>), porém valores mais altos que isso podem resultar no programa nunca identificando o histograma como plano.
#Checa-se se <math>H(E)</math> está plano a cada 10000 passos MC. Quando está plano, podemos dizer que todos os estados foram visitados uma quantidade de vezes aproximadamente igual e a densidade de estados <math>g(E)</math> converge ao valor real com precisão da ordem de <math>f</math>. (O critério de 10000 passos é arbitrário e pode ser modificado de acordo com o propósito da simulação).
#*Um passo MC corresponde a <math>L^2 = N</math> passos.
#Reduz-se o fator <math>f</math> da seguinte maneira <math>f_1 \rightarrow \sqrt{f_0}</math>, reinicia-se o histograma <math>H(E) = 0</math> e recomeça-se a caminhada aleatória com este novo fator <math>f</math>. (Todos os parâmetros não mencionados neste passo permanecem intocados).
#Continuamos executando os passos 5-7, reduzindo o fator <math>f</math> segundo a seguinte expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math>
#Encerra-se a simulação quando <math>f_{final}</math> estiver da ordem do erro desejado.
#*Claro que <math>f_{final}</math> pode ser escolhido arbitrariamente pequeno, mas sempre com um certo limite razoável <math>(10^{-6}-10^{-8})</math>, ou a simulação pode tomar tempos não razoáveis para completar.

==Observações sobre o algoritmo==
Nesta seção discutimos algumas observações importantes a se levar em conta na implementação do método de amostragem de Wang-Landau
===Fator de modificação f===
Quando tratamos da atualização do fator <math>f</math>, a expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math> é apenas uma recomendação, uma vez que outros valores de <math>n>1</math> podem ser escolhidos para uma atualização do tipo <math>f_{i+1} = f_{i}^{(1/n)}</math>. Não obstante, <math>n = 2</math> é adequado para o sistema estudado (Ising 2D), resultando em boa acurácia em relativamente pouco tempo de simulação.

===Implementação paralela===
A simulação pode ser melhorada ainda fazendo múltiplas caminhadas aleatórias paralelamente no espaço de energias. Restringindo o alcance das caminhadas proporcionalmente com o número de caminhantes em paralelo (e.g. No caso de 2 caminhantes simultâneos, dividimos o espaço de energias em 2 e restringimos um caminhante para a metade inferior das energias, e o outro para a parte superior) e depois juntando as densidades de estados resultantes.
<ref>Vogel, Thomas, et al. "Generic, hierarchical framework for massively parallel Wang-Landau sampling." Physical review letters 110.21 (2013): 210603.</ref>

===Balanço detalhado===
A condição de balanço detalhado inicialmente não é satisfeita uma vez que <math>g(E)</math> é constantemente modificada durante a caminhada aleatória. Porém após várias iterações, a condição é satisfeita a medida que <math>f</math> se aproxima de 1. Observa-se que se <math>P(E_1 \rightarrow E_2)</math> é a probabilidade de transição da energia <math>E_1</math> para a energia <math>E_2</math>, utilizando a equação do passo 4 do algoritmo temos que:

<math>
\frac{P(E_1 \rightarrow E_2)}{P(E_2 \rightarrow E_1)} = \frac{g(E_1)}{g(E_2)}.
</math>

Podemos reescrever a equação de uma forma mais familiar

<math>
\frac{1}{g(E_1)}P(E_1 \rightarrow E_2) = \frac{1}{g(E_2)}P(E_2 \rightarrow E_1)
</math>

que é a condição de balanceamento detalhado, uma vez que interpretamos que <math>1/g(E_1)</math> como a probabilidade do sistema possuir a energia <math>E_1</math> e analogamente para <math>E_2</math>. Concluímos então que a condição de balanço detalhado é satisfeita com precisão proporcional a <math>\ln(f)</math>.
===Escalabilidade===
Quando analisamos um modelo de Ising 2D de tamanho <math>L\times L</math>, temos que o número de configurações <math>(2^N, N = L^2)</math> aumenta exponencialmente com <math>N</math>, enquanto o número de possíveis energias é por volta de <math>2N</math> e aumenta linearmente com N. Implicando que temos uma escalabilidade muito boa para as caminhadas no espaço de energia quando o objetivo é estimar <math>g(E)</math> uma vez que um aumento no tamanho da grade não implica em um aumento exponencial, mas sim linear, no tempo de execução.
===Normalização===
É necessário ressaltar que após a simulação completa, o algoritmo de Wang-Landau nos fornece apenas a densidade de estados relativa. Para extrairmos a real densidade de estados <math>g_n(E)</math> é necessário que utilizemos uma das duas condições: Que o número total de estados possíveis é <math>\sum_Eg_n(E) = Q^N</math> ou que o numero de estados fundamentais é <math>Q</math> (onde <math>Q = 2</math> para o modelo de Ising 2D pois os spins possuem apenas dois estados).

Pela primeira condição, podemos obter a densidade de estados normalizada através da equação

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[\sum_Eg(E)] + N\ln(2)</math>,

enquanto pela segunda condição temos que

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[g(E = -2N)] + \ln(2)</math>.

A segunda normalização é preferível pois garante precisão para estados de menor energia, o que é necessário para o calculo de parâmetros termodinâmicos a baixas temperaturas.

===Grandezas Termodinâmicos===
Uma vez que temos a densidade de estados, podemos calcular diversas grandezas termodinâmicos, como a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_interna energia interna] <math>U(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Calor_espec%C3%ADfico calor especifico] <math>C(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_livre_de_Helmholtz energia livre de Helmholtz] <math>F(T)</math> e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Entropia entropia] <math>S(T)</math> através das seguintes equações:
<div id="equações para parâmetros termodinâmicos">
<math>U(T) = \frac{\sum_EEg(E)e^{-E/k_BT}}{\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}}</math>

<math>C(T) = \frac{\langle E^2\rangle - \langle E\rangle^2}{k_BT^2}</math>

<math>F(T) = -k_BT\ln\left(\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}\right)</math>

<math>S(T) = \frac{U(T) - F(T)}{T}</math>
</div>
Estas grandezas dependem apenas da temperatura uma vez que já foi encontrado a densidade de estados <math>g(E)</math>, o que contorna os problemas de ''critical slowing down'' na temperatura crítica pois a simulação não precisa ser refeita para cada uma das temperaturas, por consequência também dispensa a necessidade do método de repesagem de histogramas, contornando o problema de estatística fraca nas asas dos histogramas.

==Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau==
Podemos aplicar o algoritmo de Wang-Landau para um sistema [https://pt.wikipedia.org/wiki/Ferromagnetismo#:~:text=Ferromagnetismo%20%C3%A9%20o%20mecanismo%20b%C3%A1sico,diferentes%20de%20magnetismo%20s%C3%A3o%20distinguidos. ferromagnético] 2D de Ising com interação de primeiros vizinhos e uma grade quadrada <math>L\times L</math> com [https://pt.wikipedia.org/wiki/Condi%C3%A7%C3%B5es_de_fronteira_peri%C3%B3dicas condições de contorno periódicas] no qual o hamiltoniano é dado por

<math>\mathcal{H} = -\sum_{\langle i,j\rangle}\sigma_{i}\sigma_j</math>

onde <math>\sigma_{i} = +1</math> para spin para cima, <math>\sigma_{i} = -1</math> para baixo e <math>\langle i,j\rangle</math> indica a soma entre os primeiros vizinhos. Podemos calcular os erros entre os valores obtidos através da simulação e os valores exatos conhecidos para esse sistema através da seguinte expressão

<math>\varepsilon(X) = \frac{|X_{sim}-X_{exato}|}{X_{exato}}</math>,

onde <math>X_{sim}</math> é o valor obtido na simulação para o parâmetro e <math>X_{exato}</math> é o valor exato para o mesmo parâmetro. Na Fig.1 temos a densidade de estados <math>g(E)</math> para um sistema <math>16 \times 16</math> com <math>f_{final} \sim 10^{-6}</math> e com critério para um histograma <math>H(E)</math> plano de 80%. Com esses parâmetros, a ''Google Compute Engine'' padrão para [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python3] do Google Colab realiza a simulação em <math>\sim 40s</math>. Para as Figs. 1,2,3,4,5,6 os valores exatos estão sobrepostos aos valores obtidos em simulação como uma linha pontilhada.

[[Arquivo: erickStateDensity2.png|400px|thumb|center| Figura 1: Logaritmo da densidade de estados <math>\ln(g(E))</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>, há uma brusca queda na densidade de estados perto das pontas uma vez que as energias <math>-2L^2 + 4</math> e <math>2L^2 - 4</math> são inalcançáveis pelo sistema.]]

Fazendo uso da [[#equação de distribuição de probabilidade canônica]], podemos encontrar a distribuição de probabilidade das energias para uma determinada temperatura <math>T</math>. Devido a natureza do algoritmo, estas distribuições que por meios convencionais levariam tempo demasiadamente grande para ser calculado ou necessitariam de repesagem de histograma são instantaneamente calculadas com o algoritmo de Wang-Landau independentemente da temperatura. Na Fig.2 temos um exemplo das distribuições, incluindo uma próxima da temperatura critica <math>T_c</math>.

[[Arquivo: erickProbs2.png|400px|thumb|center| Figura 2: A distribuição canônica <math>P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}</math> em 3 temperaturas, incluindo a temperatura crítica <math>T_c</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>.]]

Fazendo uso das [[#equações para parâmetros termodinâmicos]], podemos calculá-los para este sistema em função da temperatura quase que instantaneamente. Estes são ilustrados nas Figs. 3,4,5,6.
<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickU2.png|400px|thumb|center| Figura 3: A Energia interna do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickC2.png|400px|thumb|center| Figura 4: O Calor Específico do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o pico se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickF2.png|400px|thumb|center| Figura 5: A Energia Livre do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o começo da queda se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickS2.png|400px|thumb|center| Figura 6: A Entropia do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
</ul></div>

==Código do Exemplo==
[[Exemplo de código para a amostragem de Wang-Landau em Python3]]

==Referências==
<references />

Amostragem de Wang-Landau

2022-10-19T04:20:53Z

Erickc: /* Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau */

O [https://pt.wikipedia.org/wiki/Algoritmo algoritmo] de amostragem de Wang-Landau é um método de amostragem para simulações de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo Monte Carlo] introduzido por F. Wang and D. P. Landau em 2001
<ref>F. Wang and D. P. Landau, ‘‘Efficient, multiple-range random walk algorithm to calculate the density of states,’’ Phys. Rev. Lett. 86, 2050–2053
!2001"; ‘‘Determining the density of states for classical statistical models:
A random walk algorithm to produce a flat histogram,’’ Phys. Rev. E 64,
056101 !2001".
</ref>
(com uma versão didática publicada em 2004 por D.P Landau, Shan-Ho Tsai e M. Exlerem),
<ref>Landau, D. P., Shan-Ho Tsai, and M. Exler. "A new approach to Monte Carlo simulations in statistical physics: Wang-Landau sampling." American Journal of Physics 72.10 (2004): 1294-1302.</ref>
que apresenta diversas vantagens sobre outros métodos para sistemas de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Spin spins]. Dentre eles podemos citar o algoritmo de Metropolis
<ref>N. Metropolis, A. W. Rosenbluth, M. N. Rosenbluth, A. H. Teller, and E.
Teller, ‘‘Equation of state calculations by fast computing machines,’’ J.
Chem. Phys. 21, 1087–1092 !1953".</ref>
, o algoritmo de ''clustering'' de Wolff
<ref>U. Wolff, ‘‘Collective Monte Carlo updating for spin systems,’’ Phys. Rev.
Lett. 62, 361–364 !1989".</ref>
, ou em um modelamento de ''ensamble'' multi-canônico
<ref>B. A. Berg and T. Neuhaus, ‘‘Multicanonical ensemble: A new approach to
simulate first-order phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 68, 9–12 !1992"</ref>
. Nestes dois últimos métodos são utilizados métodos de repesagem de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Histograma histogramas]<ref>
A. M. Ferrenberg and R. H. Swendsen, ‘‘New Monte Carlo technique for
studying phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 61, 2635–2638 !1988"; ‘‘Optimized Monte Carlo data analysis,’’ ibid. 63, 1195–1198 !1989".</ref>
que são limitados em sistemas grandes devido as baixa qualidade estatística nas asas do histograma.
Dentro deste contexto, o algoritmo Wang-Landau promete resolver problemas encontrados em amostragens convencionais como o ''critical slowing down'' para temperaturas próximas da temperatura crítica <math>T_c</math> utilizando-se de caminhadas aleatórias controladas para mapear a densidade de estados <math>g(E)</math> de um sistema, sem depender do método de repesagem de histogramas.

----

A maioria dos algoritmos de amostragem convencionais geram uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_can%C3%B3nico distribuição canônica] não normalizada

<div id="equação de distribuição de probabilidade canônica"> <math> P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

para uma determinada temperatura <math>T</math>, Geralmente estas distribuições são estreitas e se faz necessário múltiplas simulações para obter algum parâmetro [https://pt.wikipedia.org/wiki/Termodin%C3%A2mica termodinâmico] para uma distribuição significantemente grande de temperaturas.
Como <math>g(E)</math> não depende de temperatura do sistema, se pudermos encontrá-lo para todo <math>E</math>, podemos encontrar a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_de_parti%C3%A7%C3%A3o_(mec%C3%A2nica_estat%C3%ADstica) função de partição]

<div id="pf"> <math> Z(T) = \sum_E g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

e o sistema esta essencialmente resolvido, uma vez que grande parte dos parâmetros termodinâmicos podem ser derivados de <math>Z</math>. Além disso, a amostragem de Wang-Landau é provada ser útil em diversas aplicações como o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Antiferromagnetismo antiferromagneto] de Potts
<ref>C. Yamaguchi and Y. Okabe, ‘‘Three-dimensional antiferromagnetic
q-state Potts models: application of the Wang-Landau algorithm,’’ J. Phys.
A 34, 8781– 8794 !2001"</ref>
, sistemas de spins aleatórios<ref>Y. Okabe, Y. Tomita, and C. Yamaguchi, ‘‘Application of new Monte Carlo
algorithms to random spin systems,’’ Comput. Phys. Commun. 146, 63– 68
!2002".</ref>
, sistemas [https://pt.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica quânticos]<ref>
2M. Troyer, S. Wessel, and F. Alet, ‘‘Flat histogram methods for quantum
systems: Algorithms to overcome tunneling problems and calculate the
free energy,’’ Phys. Rev. Lett. 90, 120201 !2003". </ref>, etc... .

==Descrição do algoritmo de Wang Landau==
Descreveremos o funcionamento do algoritmo de Wang-Landau num sistema de spins clássicos de 2 estados numa grade bidimensional com valores discretos de energia e sem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Campo_magn%C3%A9tico campo magnético]([https://pt.wikipedia.org/wiki/Modelo_de_Ising Modelo de Ising]2D). Portanto quando nos referirmos a <math>g(E)</math> como densidade de estados, interpretamos como o número de estados com energia E.
A amostragem de Wang-Landau faz caminhadas aleatórias no espaço de energia mudando os estados de spins aleatoriamente selecionados, porém esta mudança só é aceita com probabilidade proporcional a reciproca da densidade de estados. Durante a caminhada também se acumula o número de vezes que uma energia é visitada durante a caminhada <math>H(E)</math>, isto é, ao visitarmos a energia <math>E_1</math> faz-se a atualização da variável <math> H(E_1) \rightarrow H(E_1) + 1 </math>. Por outro lado, a atualização da densidade de estados <math>g(E_1)</math> se da por um fator multiplicativo <math>f</math> (<math> g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f </math>) controlado ao longo da simulação para que seja muito próximo de 1 ao final das caminhadas.

Podemos descrever os passos do algoritmo da seguinte maneira:
# Inicializamos as densidades de energias com <math>g(E) = 1</math> para todo <math>E</math>, da mesma forma <math>H(E) = 0</math> para todo <math>E</math>.
# Inicializamos <math>f = f_0 = e \approx 2.71828</math> e um sistema <math>L\times L</math> de spins de valor 1 e -1 aleatoriamente distribuídos.
#*O valor de <math>f</math> é arbitrário e deve ser escolhido não muito pequeno, pois irá fazer com que a simulação demore muito tempo para explorar diversas energias, por outro lado se escolhido muito grande, levará a erros estatísticos significativos.
# Começamos a caminhada inicial escolhendo aleatoriamente um dos spins e mudando o seu estado.
# Se denotamos <math>E_1</math> como a energia antes da mudança de estado do spin selecionado e <math>E_2</math> como a energia após, aceitamos este novo estado com a seguinte probabilidade: <math>P(E_1 \rightarrow E_2) = \text{min}\left(\frac{g(E_1)}{g(E_2)},1\right)</math>
#*Se aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_2) \rightarrow g(E_2) \times f</math> e <math>H(E_2) \rightarrow H(E_2) +1</math> respectivamente.
#*Se não aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f</math> e <math>H(E_1) \rightarrow H(E_1) +1</math> respectivamente, de maneira a recontar o estado <math>E_1</math>.
#*Destaca-se que em ambos os casos usamos <math>\ln(g(E)) = \rightarrow \ln(g(E)) + \ln(f)</math>, pois ao longo da simulação acabamos usando números muito grandes.
#Faz-se esta caminhada aleatória nos diferentes estados do sistema até que o histograma <math>H(E)</math> esteja aproximadamente plano.
#*O critério para decidir se um histograma está plano é arbitrário. Para um [https://pt.wikipedia.org/wiki/Hamiltoniano_(mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica) hamiltoniano] de Ising 2D este critério pode ser definido tão alto quanto 95% (i.e. todos os valores de <math>H(E)</math> devem ser pelo menos 95% de <math> \langle H(E) \rangle </math>), porém valores mais altos que isso podem resultar no programa nunca identificando o histograma como plano.
#Checa-se se <math>H(E)</math> está plano a cada 10000 passos MC. Quando está plano, podemos dizer que todos os estados foram visitados uma quantidade de vezes aproximadamente igual e a densidade de estados <math>g(E)</math> converge ao valor real com precisão da ordem de <math>f</math>. (O critério de 10000 passos é arbitrário e pode ser modificado de acordo com o propósito da simulação).
#*Um passo MC corresponde a <math>L^2 = N</math> passos.
#Reduz-se o fator <math>f</math> da seguinte maneira <math>f_1 \rightarrow \sqrt{f_0}</math>, reinicia-se o histograma <math>H(E) = 0</math> e recomeça-se a caminhada aleatória com este novo fator <math>f</math>. (Todos os parâmetros não mencionados neste passo permanecem intocados).
#Continuamos executando os passos 5-7, reduzindo o fator <math>f</math> segundo a seguinte expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math>
#Encerra-se a simulação quando <math>f_{final}</math> estiver da ordem do erro desejado.
#*Claro que <math>f_{final}</math> pode ser escolhido arbitrariamente pequeno, mas sempre com um certo limite razoável <math>(10^{-6}-10^{-8})</math>, ou a simulação pode tomar tempos não razoáveis para completar.

==Observações sobre o algoritmo==
Nesta seção discutimos algumas observações importantes a se levar em conta na implementação do método de amostragem de Wang-Landau
===Fator de modificação f===
Quando tratamos da atualização do fator <math>f</math>, a expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math> é apenas uma recomendação, uma vez que outros valores de <math>n>1</math> podem ser escolhidos para uma atualização do tipo <math>f_{i+1} = f_{i}^{(1/n)}</math>. Não obstante, <math>n = 2</math> é adequado para o sistema estudado (Ising 2D), resultando em boa acurácia em relativamente pouco tempo de simulação.

===Implementação paralela===
A simulação pode ser melhorada ainda fazendo múltiplas caminhadas aleatórias paralelamente no espaço de energias. Restringindo o alcance das caminhadas proporcionalmente com o número de caminhantes em paralelo (e.g. No caso de 2 caminhantes simultâneos, dividimos o espaço de energias em 2 e restringimos um caminhante para a metade inferior das energias, e o outro para a parte superior) e depois juntando as densidades de estados resultantes.
<ref>Vogel, Thomas, et al. "Generic, hierarchical framework for massively parallel Wang-Landau sampling." Physical review letters 110.21 (2013): 210603.</ref>

===Balanço detalhado===
A condição de balanço detalhado inicialmente não é satisfeita uma vez que <math>g(E)</math> é constantemente modificada durante a caminhada aleatória. Porém após várias iterações, a condição é satisfeita a medida que <math>f</math> se aproxima de 1. Observa-se que se <math>P(E_1 \rightarrow E_2)</math> é a probabilidade de transição da energia <math>E_1</math> para a energia <math>E_2</math>, utilizando a equação do passo 4 do algoritmo temos que:

<math>
\frac{P(E_1 \rightarrow E_2)}{P(E_2 \rightarrow E_1)} = \frac{g(E_1)}{g(E_2)}.
</math>

Podemos reescrever a equação de uma forma mais familiar

<math>
\frac{1}{g(E_1)}P(E_1 \rightarrow E_2) = \frac{1}{g(E_2)}P(E_2 \rightarrow E_1)
</math>

que é a condição de balanceamento detalhado, uma vez que interpretamos que <math>1/g(E_1)</math> como a probabilidade do sistema possuir a energia <math>E_1</math> e analogamente para <math>E_2</math>. Concluímos então que a condição de balanço detalhado é satisfeita com precisão proporcional a <math>\ln(f)</math>.
===Escalabilidade===
Quando analisamos um modelo de Ising 2D de tamanho <math>L\times L</math>, temos que o número de configurações <math>(2^N, N = L^2)</math> aumenta exponencialmente com <math>N</math>, enquanto o número de possíveis energias é por volta de <math>2N</math> e aumenta linearmente com N. Implicando que temos uma escalabilidade muito boa para as caminhadas no espaço de energia quando o objetivo é estimar <math>g(E)</math> uma vez que um aumento no tamanho da grade não implica em um aumento exponencial, mas sim linear, no tempo de execução.
===Normalização===
É necessário ressaltar que após a simulação completa, o algoritmo de Wang-Landau nos fornece apenas a densidade de estados relativa. Para extrairmos a real densidade de estados <math>g_n(E)</math> é necessário que utilizemos uma das duas condições: Que o número total de estados possíveis é <math>\sum_Eg_n(E) = Q^N</math> ou que o numero de estados fundamentais é <math>Q</math> (onde <math>Q = 2</math> para o modelo de Ising 2D pois os spins possuem apenas dois estados).

Pela primeira condição, podemos obter a densidade de estados normalizada através da equação

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[\sum_Eg(E)] + N\ln(2)</math>,

enquanto pela segunda condição temos que

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[g(E = -2N)] + \ln(2)</math>.

A segunda normalização é preferível pois garante precisão para estados de menor energia, o que é necessário para o calculo de parâmetros termodinâmicos a baixas temperaturas.

===Grandezas Termodinâmicos===
Uma vez que temos a densidade de estados, podemos calcular diversas grandezas termodinâmicos, como a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_interna energia interna] <math>U(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Calor_espec%C3%ADfico calor especifico] <math>C(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_livre_de_Helmholtz energia livre de Helmholtz] <math>F(T)</math> e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Entropia entropia] <math>S(T)</math> através das seguintes equações:
<div id="equações para parâmetros termodinâmicos">
<math>U(T) = \frac{\sum_EEg(E)e^{-E/k_BT}}{\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}}</math>

<math>C(T) = \frac{\langle E^2\rangle - \langle E\rangle^2}{k_BT^2}</math>

<math>F(T) = -k_BT\ln\left(\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}\right)</math>

<math>S(T) = \frac{U(T) - F(T)}{T}</math>
</div>
Estas grandezas dependem apenas da temperatura uma vez que já foi encontrado a densidade de estados <math>g(E)</math>, o que contorna os problemas de ''critical slowing down'' na temperatura crítica pois a simulação não precisa ser refeita para cada uma das temperaturas, por consequência também dispensa a necessidade do método de repesagem de histogramas, contornando o problema de estatística fraca nas asas dos histogramas.

==Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau==
Podemos aplicar o algoritmo de Wang-Landau para um sistema [https://pt.wikipedia.org/wiki/Ferromagnetismo#:~:text=Ferromagnetismo%20%C3%A9%20o%20mecanismo%20b%C3%A1sico,diferentes%20de%20magnetismo%20s%C3%A3o%20distinguidos. ferromagnético] 2D de Ising com interação de primeiros vizinhos e uma grade quadrada <math>L\times L</math> com [https://pt.wikipedia.org/wiki/Condi%C3%A7%C3%B5es_de_fronteira_peri%C3%B3dicas condições de contorno periódicas] no qual o hamiltoniano é dado por

<math>\mathcal{H} = -\sum_{\langle i,j\rangle}\sigma_{i}\sigma_j</math>

onde <math>\sigma_{i} = +1</math> para spin para cima, <math>\sigma_{i} = -1</math> para baixo e <math>\langle i,j\rangle</math> indica a soma entre os primeiros vizinhos. Podemos calcular os erros entre os valores obtidos através da simulação e os valores exatos conhecidos para esse sistema através da seguinte expressão

<math>\varepsilon(X) = \frac{|X_{sim}-X_{exato}|}{X_{exato}}</math>,

onde <math>X_{sim}</math> é o valor obtido na simulação para o parâmetro e <math>X_{exato}</math> é o valor exato para o mesmo parâmetro. Na Fig.1 temos a densidade de estados <math>g(E)</math> para um sistema <math>16 \times 16</math> com <math>f_{final} \sim 10^{-6}</math> e com critério para um histograma <math>H(E)</math> plano de 80%. Com esses parâmetros, a ''Google Compute Engine'' padrão para [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python3] do Google Colab realiza a simulação em <math>\sim 40s</math>. Para as Figs. 1,2,3,4,5,6 os valores exatos estão sobrepostos aos valores obtidos em simulação como uma linha pontilhada.

[[Arquivo: erickStateDensity2.png|400px|thumb|center| Figura 1: Logaritmo da densidade de estados <math>\ln(g(E))</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>, há uma brusca queda na densidade de estados perto das pontas uma vez que as energias <math>-2L^2 + 4</math> e <math>2L^2 - 4</math> são inalcançáveis pelo sistema.]]

Fazendo uso da [[#equação de distribuição de probabilidade canônica]], podemos encontrar a distribuição de probabilidade das energias para uma determinada temperatura <math>T</math>. Devido a natureza do algoritmo, estas distribuições que por meios convencionais levariam tempo demasiadamente grande para ser calculado ou necessitariam de repesagem de histograma são instantaneamente calculadas com o algoritmo de Wang-Landau independentemente da temperatura. Na Fig.2 temos um exemplo das distribuições, incluindo uma próxima da temperatura critica <math>T_c</math>.

[[Arquivo: erickProbs2.png|400px|thumb|center| Figura 2: A distribuição canônica <math>P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}</math> em 3 temperaturas, incluindo a temperatura crítica <math>T_c</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>.]]

Fazendo uso das [[#equações para parâmetros termodinâmicos]], podemos calculá-los para este sistema em função da temperatura quase que instantaneamente. Estes são ilustrados nas Figs. 3,4,5,6.
<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickU2.png|400px|thumb|center| Figura 3: A Energia interna do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickC2.png|400px|thumb|center| Figura 4: O Calor Específico do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o pico se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickF2.png|400px|thumb|center| Figura 5: A Energia Livre do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o começo da queda se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickS2.png|400px|thumb|center| Figura 6: A Entropia do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
</ul></div>

==Código do Exemplo==
[[Exemplo de código para a amostragem de Wang-Landau em Python3]]

==Referências==
<references />

Amostragem de Wang-Landau

2022-10-19T04:18:54Z

Erickc: /* Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau */

O [https://pt.wikipedia.org/wiki/Algoritmo algoritmo] de amostragem de Wang-Landau é um método de amostragem para simulações de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo Monte Carlo] introduzido por F. Wang and D. P. Landau em 2001
<ref>F. Wang and D. P. Landau, ‘‘Efficient, multiple-range random walk algorithm to calculate the density of states,’’ Phys. Rev. Lett. 86, 2050–2053
!2001"; ‘‘Determining the density of states for classical statistical models:
A random walk algorithm to produce a flat histogram,’’ Phys. Rev. E 64,
056101 !2001".
</ref>
(com uma versão didática publicada em 2004 por D.P Landau, Shan-Ho Tsai e M. Exlerem),
<ref>Landau, D. P., Shan-Ho Tsai, and M. Exler. "A new approach to Monte Carlo simulations in statistical physics: Wang-Landau sampling." American Journal of Physics 72.10 (2004): 1294-1302.</ref>
que apresenta diversas vantagens sobre outros métodos para sistemas de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Spin spins]. Dentre eles podemos citar o algoritmo de Metropolis
<ref>N. Metropolis, A. W. Rosenbluth, M. N. Rosenbluth, A. H. Teller, and E.
Teller, ‘‘Equation of state calculations by fast computing machines,’’ J.
Chem. Phys. 21, 1087–1092 !1953".</ref>
, o algoritmo de ''clustering'' de Wolff
<ref>U. Wolff, ‘‘Collective Monte Carlo updating for spin systems,’’ Phys. Rev.
Lett. 62, 361–364 !1989".</ref>
, ou em um modelamento de ''ensamble'' multi-canônico
<ref>B. A. Berg and T. Neuhaus, ‘‘Multicanonical ensemble: A new approach to
simulate first-order phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 68, 9–12 !1992"</ref>
. Nestes dois últimos métodos são utilizados métodos de repesagem de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Histograma histogramas]<ref>
A. M. Ferrenberg and R. H. Swendsen, ‘‘New Monte Carlo technique for
studying phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 61, 2635–2638 !1988"; ‘‘Optimized Monte Carlo data analysis,’’ ibid. 63, 1195–1198 !1989".</ref>
que são limitados em sistemas grandes devido as baixa qualidade estatística nas asas do histograma.
Dentro deste contexto, o algoritmo Wang-Landau promete resolver problemas encontrados em amostragens convencionais como o ''critical slowing down'' para temperaturas próximas da temperatura crítica <math>T_c</math> utilizando-se de caminhadas aleatórias controladas para mapear a densidade de estados <math>g(E)</math> de um sistema, sem depender do método de repesagem de histogramas.

----

A maioria dos algoritmos de amostragem convencionais geram uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_can%C3%B3nico distribuição canônica] não normalizada

<div id="equação de distribuição de probabilidade canônica"> <math> P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

para uma determinada temperatura <math>T</math>, Geralmente estas distribuições são estreitas e se faz necessário múltiplas simulações para obter algum parâmetro [https://pt.wikipedia.org/wiki/Termodin%C3%A2mica termodinâmico] para uma distribuição significantemente grande de temperaturas.
Como <math>g(E)</math> não depende de temperatura do sistema, se pudermos encontrá-lo para todo <math>E</math>, podemos encontrar a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_de_parti%C3%A7%C3%A3o_(mec%C3%A2nica_estat%C3%ADstica) função de partição]

<div id="pf"> <math> Z(T) = \sum_E g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

e o sistema esta essencialmente resolvido, uma vez que grande parte dos parâmetros termodinâmicos podem ser derivados de <math>Z</math>. Além disso, a amostragem de Wang-Landau é provada ser útil em diversas aplicações como o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Antiferromagnetismo antiferromagneto] de Potts
<ref>C. Yamaguchi and Y. Okabe, ‘‘Three-dimensional antiferromagnetic
q-state Potts models: application of the Wang-Landau algorithm,’’ J. Phys.
A 34, 8781– 8794 !2001"</ref>
, sistemas de spins aleatórios<ref>Y. Okabe, Y. Tomita, and C. Yamaguchi, ‘‘Application of new Monte Carlo
algorithms to random spin systems,’’ Comput. Phys. Commun. 146, 63– 68
!2002".</ref>
, sistemas [https://pt.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica quânticos]<ref>
2M. Troyer, S. Wessel, and F. Alet, ‘‘Flat histogram methods for quantum
systems: Algorithms to overcome tunneling problems and calculate the
free energy,’’ Phys. Rev. Lett. 90, 120201 !2003". </ref>, etc... .

==Descrição do algoritmo de Wang Landau==
Descreveremos o funcionamento do algoritmo de Wang-Landau num sistema de spins clássicos de 2 estados numa grade bidimensional com valores discretos de energia e sem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Campo_magn%C3%A9tico campo magnético]([https://pt.wikipedia.org/wiki/Modelo_de_Ising Modelo de Ising]2D). Portanto quando nos referirmos a <math>g(E)</math> como densidade de estados, interpretamos como o número de estados com energia E.
A amostragem de Wang-Landau faz caminhadas aleatórias no espaço de energia mudando os estados de spins aleatoriamente selecionados, porém esta mudança só é aceita com probabilidade proporcional a reciproca da densidade de estados. Durante a caminhada também se acumula o número de vezes que uma energia é visitada durante a caminhada <math>H(E)</math>, isto é, ao visitarmos a energia <math>E_1</math> faz-se a atualização da variável <math> H(E_1) \rightarrow H(E_1) + 1 </math>. Por outro lado, a atualização da densidade de estados <math>g(E_1)</math> se da por um fator multiplicativo <math>f</math> (<math> g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f </math>) controlado ao longo da simulação para que seja muito próximo de 1 ao final das caminhadas.

Podemos descrever os passos do algoritmo da seguinte maneira:
# Inicializamos as densidades de energias com <math>g(E) = 1</math> para todo <math>E</math>, da mesma forma <math>H(E) = 0</math> para todo <math>E</math>.
# Inicializamos <math>f = f_0 = e \approx 2.71828</math> e um sistema <math>L\times L</math> de spins de valor 1 e -1 aleatoriamente distribuídos.
#*O valor de <math>f</math> é arbitrário e deve ser escolhido não muito pequeno, pois irá fazer com que a simulação demore muito tempo para explorar diversas energias, por outro lado se escolhido muito grande, levará a erros estatísticos significativos.
# Começamos a caminhada inicial escolhendo aleatoriamente um dos spins e mudando o seu estado.
# Se denotamos <math>E_1</math> como a energia antes da mudança de estado do spin selecionado e <math>E_2</math> como a energia após, aceitamos este novo estado com a seguinte probabilidade: <math>P(E_1 \rightarrow E_2) = \text{min}\left(\frac{g(E_1)}{g(E_2)},1\right)</math>
#*Se aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_2) \rightarrow g(E_2) \times f</math> e <math>H(E_2) \rightarrow H(E_2) +1</math> respectivamente.
#*Se não aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f</math> e <math>H(E_1) \rightarrow H(E_1) +1</math> respectivamente, de maneira a recontar o estado <math>E_1</math>.
#*Destaca-se que em ambos os casos usamos <math>\ln(g(E)) = \rightarrow \ln(g(E)) + \ln(f)</math>, pois ao longo da simulação acabamos usando números muito grandes.
#Faz-se esta caminhada aleatória nos diferentes estados do sistema até que o histograma <math>H(E)</math> esteja aproximadamente plano.
#*O critério para decidir se um histograma está plano é arbitrário. Para um [https://pt.wikipedia.org/wiki/Hamiltoniano_(mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica) hamiltoniano] de Ising 2D este critério pode ser definido tão alto quanto 95% (i.e. todos os valores de <math>H(E)</math> devem ser pelo menos 95% de <math> \langle H(E) \rangle </math>), porém valores mais altos que isso podem resultar no programa nunca identificando o histograma como plano.
#Checa-se se <math>H(E)</math> está plano a cada 10000 passos MC. Quando está plano, podemos dizer que todos os estados foram visitados uma quantidade de vezes aproximadamente igual e a densidade de estados <math>g(E)</math> converge ao valor real com precisão da ordem de <math>f</math>. (O critério de 10000 passos é arbitrário e pode ser modificado de acordo com o propósito da simulação).
#*Um passo MC corresponde a <math>L^2 = N</math> passos.
#Reduz-se o fator <math>f</math> da seguinte maneira <math>f_1 \rightarrow \sqrt{f_0}</math>, reinicia-se o histograma <math>H(E) = 0</math> e recomeça-se a caminhada aleatória com este novo fator <math>f</math>. (Todos os parâmetros não mencionados neste passo permanecem intocados).
#Continuamos executando os passos 5-7, reduzindo o fator <math>f</math> segundo a seguinte expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math>
#Encerra-se a simulação quando <math>f_{final}</math> estiver da ordem do erro desejado.
#*Claro que <math>f_{final}</math> pode ser escolhido arbitrariamente pequeno, mas sempre com um certo limite razoável <math>(10^{-6}-10^{-8})</math>, ou a simulação pode tomar tempos não razoáveis para completar.

==Observações sobre o algoritmo==
Nesta seção discutimos algumas observações importantes a se levar em conta na implementação do método de amostragem de Wang-Landau
===Fator de modificação f===
Quando tratamos da atualização do fator <math>f</math>, a expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math> é apenas uma recomendação, uma vez que outros valores de <math>n>1</math> podem ser escolhidos para uma atualização do tipo <math>f_{i+1} = f_{i}^{(1/n)}</math>. Não obstante, <math>n = 2</math> é adequado para o sistema estudado (Ising 2D), resultando em boa acurácia em relativamente pouco tempo de simulação.

===Implementação paralela===
A simulação pode ser melhorada ainda fazendo múltiplas caminhadas aleatórias paralelamente no espaço de energias. Restringindo o alcance das caminhadas proporcionalmente com o número de caminhantes em paralelo (e.g. No caso de 2 caminhantes simultâneos, dividimos o espaço de energias em 2 e restringimos um caminhante para a metade inferior das energias, e o outro para a parte superior) e depois juntando as densidades de estados resultantes.
<ref>Vogel, Thomas, et al. "Generic, hierarchical framework for massively parallel Wang-Landau sampling." Physical review letters 110.21 (2013): 210603.</ref>

===Balanço detalhado===
A condição de balanço detalhado inicialmente não é satisfeita uma vez que <math>g(E)</math> é constantemente modificada durante a caminhada aleatória. Porém após várias iterações, a condição é satisfeita a medida que <math>f</math> se aproxima de 1. Observa-se que se <math>P(E_1 \rightarrow E_2)</math> é a probabilidade de transição da energia <math>E_1</math> para a energia <math>E_2</math>, utilizando a equação do passo 4 do algoritmo temos que:

<math>
\frac{P(E_1 \rightarrow E_2)}{P(E_2 \rightarrow E_1)} = \frac{g(E_1)}{g(E_2)}.
</math>

Podemos reescrever a equação de uma forma mais familiar

<math>
\frac{1}{g(E_1)}P(E_1 \rightarrow E_2) = \frac{1}{g(E_2)}P(E_2 \rightarrow E_1)
</math>

que é a condição de balanceamento detalhado, uma vez que interpretamos que <math>1/g(E_1)</math> como a probabilidade do sistema possuir a energia <math>E_1</math> e analogamente para <math>E_2</math>. Concluímos então que a condição de balanço detalhado é satisfeita com precisão proporcional a <math>\ln(f)</math>.
===Escalabilidade===
Quando analisamos um modelo de Ising 2D de tamanho <math>L\times L</math>, temos que o número de configurações <math>(2^N, N = L^2)</math> aumenta exponencialmente com <math>N</math>, enquanto o número de possíveis energias é por volta de <math>2N</math> e aumenta linearmente com N. Implicando que temos uma escalabilidade muito boa para as caminhadas no espaço de energia quando o objetivo é estimar <math>g(E)</math> uma vez que um aumento no tamanho da grade não implica em um aumento exponencial, mas sim linear, no tempo de execução.
===Normalização===
É necessário ressaltar que após a simulação completa, o algoritmo de Wang-Landau nos fornece apenas a densidade de estados relativa. Para extrairmos a real densidade de estados <math>g_n(E)</math> é necessário que utilizemos uma das duas condições: Que o número total de estados possíveis é <math>\sum_Eg_n(E) = Q^N</math> ou que o numero de estados fundamentais é <math>Q</math> (onde <math>Q = 2</math> para o modelo de Ising 2D pois os spins possuem apenas dois estados).

Pela primeira condição, podemos obter a densidade de estados normalizada através da equação

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[\sum_Eg(E)] + N\ln(2)</math>,

enquanto pela segunda condição temos que

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[g(E = -2N)] + \ln(2)</math>.

A segunda normalização é preferível pois garante precisão para estados de menor energia, o que é necessário para o calculo de parâmetros termodinâmicos a baixas temperaturas.

===Grandezas Termodinâmicos===
Uma vez que temos a densidade de estados, podemos calcular diversas grandezas termodinâmicos, como a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_interna energia interna] <math>U(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Calor_espec%C3%ADfico calor especifico] <math>C(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_livre_de_Helmholtz energia livre de Helmholtz] <math>F(T)</math> e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Entropia entropia] <math>S(T)</math> através das seguintes equações:
<div id="equações para parâmetros termodinâmicos">
<math>U(T) = \frac{\sum_EEg(E)e^{-E/k_BT}}{\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}}</math>

<math>C(T) = \frac{\langle E^2\rangle - \langle E\rangle^2}{k_BT^2}</math>

<math>F(T) = -k_BT\ln\left(\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}\right)</math>

<math>S(T) = \frac{U(T) - F(T)}{T}</math>
</div>
Estas grandezas dependem apenas da temperatura uma vez que já foi encontrado a densidade de estados <math>g(E)</math>, o que contorna os problemas de ''critical slowing down'' na temperatura crítica pois a simulação não precisa ser refeita para cada uma das temperaturas, por consequência também dispensa a necessidade do método de repesagem de histogramas, contornando o problema de estatística fraca nas asas dos histogramas.

==Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau==
Podemos aplicar o algoritmo de Wang-Landau para um sistema [https://pt.wikipedia.org/wiki/Ferromagnetismo#:~:text=Ferromagnetismo%20%C3%A9%20o%20mecanismo%20b%C3%A1sico,diferentes%20de%20magnetismo%20s%C3%A3o%20distinguidos. ferromagnético] 2D de Ising com interação de primeiros vizinhos e uma grade quadrada <math>L\times L</math> com [https://pt.wikipedia.org/wiki/Condi%C3%A7%C3%B5es_de_fronteira_peri%C3%B3dicas condições de contorno periódicas] no qual o hamiltoniano é dado por

<math>\mathcal{H} = -\sum_{\langle i,j\rangle}\sigma_{i}\sigma_j</math>

onde <math>\sigma_{i} = +1</math> para spin para cima, <math>\sigma_{i} = -1</math> para baixo e <math>\langle i,j\rangle</math> indica a soma entre os primeiros vizinhos. Podemos calcular os erros entre os valores obtidos através da simulação e os valores exatos conhecidos para esse sistema através da seguinte expressão

<math>\varepsilon(X) = \frac{|X_{sim}-X_{exato}|}{X_{exato}}</math>,

onde <math>X_{sim}</math> é o valor obtido na simulação para o parâmetro e <math>X_{exato}</math> é o valor exato para o mesmo parâmetro. Na Fig.1 temos a densidade de estados <math>g(E)</math> para um sistema <math>16 \times 16</math> com <math>f_{final} \sim 10^{-6}</math> e com critério para um histograma <math>H(E)</math> plano de 80%. Com esses parâmetros, a ''Google Compute Engine'' padrão para [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python3] do Google Colab realiza a simulação em <math>\sim 40s</math>.

[[Arquivo: erickStateDensity2.png|400px|thumb|center| Figura 1: Logaritmo da densidade de estados <math>\ln(g(E))</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>, há uma brusca queda na densidade de estados perto das pontas uma vez que as energias <math>-2L^2 + 4</math> e <math>2L^2 - 4</math> são inalcançáveis pelo sistema.]]

Fazendo uso da [[#equação de distribuição de probabilidade canônica]], podemos encontrar a distribuição de probabilidade das energias para uma determinada temperatura <math>T</math>. Devido a natureza do algoritmo, estas distribuições que por meios convencionais levariam tempo demasiadamente grande para ser calculado ou necessitariam de repesagem de histograma são instantaneamente calculadas com o algoritmo de Wang-Landau independentemente da temperatura. Na Fig.2 temos um exemplo das distribuições, incluindo uma próxima da temperatura critica <math>T_c</math>.

[[Arquivo: erickProbs2.png|400px|thumb|center| Figura 2: A distribuição canônica <math>P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}</math> em 3 temperaturas, incluindo a temperatura crítica <math>T_c</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>.]]

Fazendo uso das [[#equações para parâmetros termodinâmicos]], podemos calculá-los para este sistema em função da temperatura quase que instantaneamente. Estes são ilustrados nas Figs. 3,4,5,6.
<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickU2.png|400px|thumb|center| Figura 3: A Energia interna do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickC2.png|400px|thumb|center| Figura 4: O Calor Específico do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o pico se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickF2.png|400px|thumb|center| Figura 5: A Energia Livre do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o começo da queda se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickS2.png|400px|thumb|center| Figura 6: A Entropia do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
</ul></div>

==Código do Exemplo==
[[Exemplo de código para a amostragem de Wang-Landau em Python3]]

==Referências==
<references />

Amostragem de Wang-Landau

2022-10-19T04:18:14Z

Erickc: /* Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau */

O [https://pt.wikipedia.org/wiki/Algoritmo algoritmo] de amostragem de Wang-Landau é um método de amostragem para simulações de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo Monte Carlo] introduzido por F. Wang and D. P. Landau em 2001
<ref>F. Wang and D. P. Landau, ‘‘Efficient, multiple-range random walk algorithm to calculate the density of states,’’ Phys. Rev. Lett. 86, 2050–2053
!2001"; ‘‘Determining the density of states for classical statistical models:
A random walk algorithm to produce a flat histogram,’’ Phys. Rev. E 64,
056101 !2001".
</ref>
(com uma versão didática publicada em 2004 por D.P Landau, Shan-Ho Tsai e M. Exlerem),
<ref>Landau, D. P., Shan-Ho Tsai, and M. Exler. "A new approach to Monte Carlo simulations in statistical physics: Wang-Landau sampling." American Journal of Physics 72.10 (2004): 1294-1302.</ref>
que apresenta diversas vantagens sobre outros métodos para sistemas de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Spin spins]. Dentre eles podemos citar o algoritmo de Metropolis
<ref>N. Metropolis, A. W. Rosenbluth, M. N. Rosenbluth, A. H. Teller, and E.
Teller, ‘‘Equation of state calculations by fast computing machines,’’ J.
Chem. Phys. 21, 1087–1092 !1953".</ref>
, o algoritmo de ''clustering'' de Wolff
<ref>U. Wolff, ‘‘Collective Monte Carlo updating for spin systems,’’ Phys. Rev.
Lett. 62, 361–364 !1989".</ref>
, ou em um modelamento de ''ensamble'' multi-canônico
<ref>B. A. Berg and T. Neuhaus, ‘‘Multicanonical ensemble: A new approach to
simulate first-order phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 68, 9–12 !1992"</ref>
. Nestes dois últimos métodos são utilizados métodos de repesagem de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Histograma histogramas]<ref>
A. M. Ferrenberg and R. H. Swendsen, ‘‘New Monte Carlo technique for
studying phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 61, 2635–2638 !1988"; ‘‘Optimized Monte Carlo data analysis,’’ ibid. 63, 1195–1198 !1989".</ref>
que são limitados em sistemas grandes devido as baixa qualidade estatística nas asas do histograma.
Dentro deste contexto, o algoritmo Wang-Landau promete resolver problemas encontrados em amostragens convencionais como o ''critical slowing down'' para temperaturas próximas da temperatura crítica <math>T_c</math> utilizando-se de caminhadas aleatórias controladas para mapear a densidade de estados <math>g(E)</math> de um sistema, sem depender do método de repesagem de histogramas.

----

A maioria dos algoritmos de amostragem convencionais geram uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_can%C3%B3nico distribuição canônica] não normalizada

<div id="equação de distribuição de probabilidade canônica"> <math> P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

para uma determinada temperatura <math>T</math>, Geralmente estas distribuições são estreitas e se faz necessário múltiplas simulações para obter algum parâmetro [https://pt.wikipedia.org/wiki/Termodin%C3%A2mica termodinâmico] para uma distribuição significantemente grande de temperaturas.
Como <math>g(E)</math> não depende de temperatura do sistema, se pudermos encontrá-lo para todo <math>E</math>, podemos encontrar a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_de_parti%C3%A7%C3%A3o_(mec%C3%A2nica_estat%C3%ADstica) função de partição]

<div id="pf"> <math> Z(T) = \sum_E g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

e o sistema esta essencialmente resolvido, uma vez que grande parte dos parâmetros termodinâmicos podem ser derivados de <math>Z</math>. Além disso, a amostragem de Wang-Landau é provada ser útil em diversas aplicações como o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Antiferromagnetismo antiferromagneto] de Potts
<ref>C. Yamaguchi and Y. Okabe, ‘‘Three-dimensional antiferromagnetic
q-state Potts models: application of the Wang-Landau algorithm,’’ J. Phys.
A 34, 8781– 8794 !2001"</ref>
, sistemas de spins aleatórios<ref>Y. Okabe, Y. Tomita, and C. Yamaguchi, ‘‘Application of new Monte Carlo
algorithms to random spin systems,’’ Comput. Phys. Commun. 146, 63– 68
!2002".</ref>
, sistemas [https://pt.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica quânticos]<ref>
2M. Troyer, S. Wessel, and F. Alet, ‘‘Flat histogram methods for quantum
systems: Algorithms to overcome tunneling problems and calculate the
free energy,’’ Phys. Rev. Lett. 90, 120201 !2003". </ref>, etc... .

==Descrição do algoritmo de Wang Landau==
Descreveremos o funcionamento do algoritmo de Wang-Landau num sistema de spins clássicos de 2 estados numa grade bidimensional com valores discretos de energia e sem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Campo_magn%C3%A9tico campo magnético]([https://pt.wikipedia.org/wiki/Modelo_de_Ising Modelo de Ising]2D). Portanto quando nos referirmos a <math>g(E)</math> como densidade de estados, interpretamos como o número de estados com energia E.
A amostragem de Wang-Landau faz caminhadas aleatórias no espaço de energia mudando os estados de spins aleatoriamente selecionados, porém esta mudança só é aceita com probabilidade proporcional a reciproca da densidade de estados. Durante a caminhada também se acumula o número de vezes que uma energia é visitada durante a caminhada <math>H(E)</math>, isto é, ao visitarmos a energia <math>E_1</math> faz-se a atualização da variável <math> H(E_1) \rightarrow H(E_1) + 1 </math>. Por outro lado, a atualização da densidade de estados <math>g(E_1)</math> se da por um fator multiplicativo <math>f</math> (<math> g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f </math>) controlado ao longo da simulação para que seja muito próximo de 1 ao final das caminhadas.

Podemos descrever os passos do algoritmo da seguinte maneira:
# Inicializamos as densidades de energias com <math>g(E) = 1</math> para todo <math>E</math>, da mesma forma <math>H(E) = 0</math> para todo <math>E</math>.
# Inicializamos <math>f = f_0 = e \approx 2.71828</math> e um sistema <math>L\times L</math> de spins de valor 1 e -1 aleatoriamente distribuídos.
#*O valor de <math>f</math> é arbitrário e deve ser escolhido não muito pequeno, pois irá fazer com que a simulação demore muito tempo para explorar diversas energias, por outro lado se escolhido muito grande, levará a erros estatísticos significativos.
# Começamos a caminhada inicial escolhendo aleatoriamente um dos spins e mudando o seu estado.
# Se denotamos <math>E_1</math> como a energia antes da mudança de estado do spin selecionado e <math>E_2</math> como a energia após, aceitamos este novo estado com a seguinte probabilidade: <math>P(E_1 \rightarrow E_2) = \text{min}\left(\frac{g(E_1)}{g(E_2)},1\right)</math>
#*Se aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_2) \rightarrow g(E_2) \times f</math> e <math>H(E_2) \rightarrow H(E_2) +1</math> respectivamente.
#*Se não aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f</math> e <math>H(E_1) \rightarrow H(E_1) +1</math> respectivamente, de maneira a recontar o estado <math>E_1</math>.
#*Destaca-se que em ambos os casos usamos <math>\ln(g(E)) = \rightarrow \ln(g(E)) + \ln(f)</math>, pois ao longo da simulação acabamos usando números muito grandes.
#Faz-se esta caminhada aleatória nos diferentes estados do sistema até que o histograma <math>H(E)</math> esteja aproximadamente plano.
#*O critério para decidir se um histograma está plano é arbitrário. Para um [https://pt.wikipedia.org/wiki/Hamiltoniano_(mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica) hamiltoniano] de Ising 2D este critério pode ser definido tão alto quanto 95% (i.e. todos os valores de <math>H(E)</math> devem ser pelo menos 95% de <math> \langle H(E) \rangle </math>), porém valores mais altos que isso podem resultar no programa nunca identificando o histograma como plano.
#Checa-se se <math>H(E)</math> está plano a cada 10000 passos MC. Quando está plano, podemos dizer que todos os estados foram visitados uma quantidade de vezes aproximadamente igual e a densidade de estados <math>g(E)</math> converge ao valor real com precisão da ordem de <math>f</math>. (O critério de 10000 passos é arbitrário e pode ser modificado de acordo com o propósito da simulação).
#*Um passo MC corresponde a <math>L^2 = N</math> passos.
#Reduz-se o fator <math>f</math> da seguinte maneira <math>f_1 \rightarrow \sqrt{f_0}</math>, reinicia-se o histograma <math>H(E) = 0</math> e recomeça-se a caminhada aleatória com este novo fator <math>f</math>. (Todos os parâmetros não mencionados neste passo permanecem intocados).
#Continuamos executando os passos 5-7, reduzindo o fator <math>f</math> segundo a seguinte expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math>
#Encerra-se a simulação quando <math>f_{final}</math> estiver da ordem do erro desejado.
#*Claro que <math>f_{final}</math> pode ser escolhido arbitrariamente pequeno, mas sempre com um certo limite razoável <math>(10^{-6}-10^{-8})</math>, ou a simulação pode tomar tempos não razoáveis para completar.

==Observações sobre o algoritmo==
Nesta seção discutimos algumas observações importantes a se levar em conta na implementação do método de amostragem de Wang-Landau
===Fator de modificação f===
Quando tratamos da atualização do fator <math>f</math>, a expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math> é apenas uma recomendação, uma vez que outros valores de <math>n>1</math> podem ser escolhidos para uma atualização do tipo <math>f_{i+1} = f_{i}^{(1/n)}</math>. Não obstante, <math>n = 2</math> é adequado para o sistema estudado (Ising 2D), resultando em boa acurácia em relativamente pouco tempo de simulação.

===Implementação paralela===
A simulação pode ser melhorada ainda fazendo múltiplas caminhadas aleatórias paralelamente no espaço de energias. Restringindo o alcance das caminhadas proporcionalmente com o número de caminhantes em paralelo (e.g. No caso de 2 caminhantes simultâneos, dividimos o espaço de energias em 2 e restringimos um caminhante para a metade inferior das energias, e o outro para a parte superior) e depois juntando as densidades de estados resultantes.
<ref>Vogel, Thomas, et al. "Generic, hierarchical framework for massively parallel Wang-Landau sampling." Physical review letters 110.21 (2013): 210603.</ref>

===Balanço detalhado===
A condição de balanço detalhado inicialmente não é satisfeita uma vez que <math>g(E)</math> é constantemente modificada durante a caminhada aleatória. Porém após várias iterações, a condição é satisfeita a medida que <math>f</math> se aproxima de 1. Observa-se que se <math>P(E_1 \rightarrow E_2)</math> é a probabilidade de transição da energia <math>E_1</math> para a energia <math>E_2</math>, utilizando a equação do passo 4 do algoritmo temos que:

<math>
\frac{P(E_1 \rightarrow E_2)}{P(E_2 \rightarrow E_1)} = \frac{g(E_1)}{g(E_2)}.
</math>

Podemos reescrever a equação de uma forma mais familiar

<math>
\frac{1}{g(E_1)}P(E_1 \rightarrow E_2) = \frac{1}{g(E_2)}P(E_2 \rightarrow E_1)
</math>

que é a condição de balanceamento detalhado, uma vez que interpretamos que <math>1/g(E_1)</math> como a probabilidade do sistema possuir a energia <math>E_1</math> e analogamente para <math>E_2</math>. Concluímos então que a condição de balanço detalhado é satisfeita com precisão proporcional a <math>\ln(f)</math>.
===Escalabilidade===
Quando analisamos um modelo de Ising 2D de tamanho <math>L\times L</math>, temos que o número de configurações <math>(2^N, N = L^2)</math> aumenta exponencialmente com <math>N</math>, enquanto o número de possíveis energias é por volta de <math>2N</math> e aumenta linearmente com N. Implicando que temos uma escalabilidade muito boa para as caminhadas no espaço de energia quando o objetivo é estimar <math>g(E)</math> uma vez que um aumento no tamanho da grade não implica em um aumento exponencial, mas sim linear, no tempo de execução.
===Normalização===
É necessário ressaltar que após a simulação completa, o algoritmo de Wang-Landau nos fornece apenas a densidade de estados relativa. Para extrairmos a real densidade de estados <math>g_n(E)</math> é necessário que utilizemos uma das duas condições: Que o número total de estados possíveis é <math>\sum_Eg_n(E) = Q^N</math> ou que o numero de estados fundamentais é <math>Q</math> (onde <math>Q = 2</math> para o modelo de Ising 2D pois os spins possuem apenas dois estados).

Pela primeira condição, podemos obter a densidade de estados normalizada através da equação

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[\sum_Eg(E)] + N\ln(2)</math>,

enquanto pela segunda condição temos que

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[g(E = -2N)] + \ln(2)</math>.

A segunda normalização é preferível pois garante precisão para estados de menor energia, o que é necessário para o calculo de parâmetros termodinâmicos a baixas temperaturas.

===Grandezas Termodinâmicos===
Uma vez que temos a densidade de estados, podemos calcular diversas grandezas termodinâmicos, como a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_interna energia interna] <math>U(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Calor_espec%C3%ADfico calor especifico] <math>C(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_livre_de_Helmholtz energia livre de Helmholtz] <math>F(T)</math> e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Entropia entropia] <math>S(T)</math> através das seguintes equações:
<div id="equações para parâmetros termodinâmicos">
<math>U(T) = \frac{\sum_EEg(E)e^{-E/k_BT}}{\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}}</math>

<math>C(T) = \frac{\langle E^2\rangle - \langle E\rangle^2}{k_BT^2}</math>

<math>F(T) = -k_BT\ln\left(\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}\right)</math>

<math>S(T) = \frac{U(T) - F(T)}{T}</math>
</div>
Estas grandezas dependem apenas da temperatura uma vez que já foi encontrado a densidade de estados <math>g(E)</math>, o que contorna os problemas de ''critical slowing down'' na temperatura crítica pois a simulação não precisa ser refeita para cada uma das temperaturas, por consequência também dispensa a necessidade do método de repesagem de histogramas, contornando o problema de estatística fraca nas asas dos histogramas.

==Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau==
Podemos aplicar o algoritmo de Wang-Landau para um sistema [https://pt.wikipedia.org/wiki/Ferromagnetismo#:~:text=Ferromagnetismo%20%C3%A9%20o%20mecanismo%20b%C3%A1sico,diferentes%20de%20magnetismo%20s%C3%A3o%20distinguidos. ferromagnético] 2D de Ising com interação de primeiros vizinhos e uma grade quadrada <math>L\times L</math> com [https://pt.wikipedia.org/wiki/Condi%C3%A7%C3%B5es_de_fronteira_peri%C3%B3dicas condições de contorno periódicas] no qual o hamiltoniano é dado por

<math>\mathcal{H} = -\sum_{\langle i,j\rangle}\sigma_{i}\sigma_j</math>

onde <math>\sigma_{i} = +1</math> para spin para cima, <math>\sigma_{i} = -1</math> para baixo e <math>\langle i,j\rangle</math> indica a soma entre os primeiros vizinhos. Podemos calcular os erros entre os valores obtidos através da simulação e os valores exatos conhecidos para esse sistema através da seguinte expressão

<math>\epsilon(X) = \frac{|X_{sim}-X_{exato}|}{X_{exato}}</math>,

onde <math>X_{sim}</math> é o valor obtido na simulação para o parâmetro e <math>X_{exato}</math> é o valor exato para o mesmo parâmetro. Na Fig.1 temos a densidade de estados <math>g(E)</math> para um sistema <math>16 \times 16</math> com <math>f_{final} \sim 10^{-6}</math> e com critério para um histograma <math>H(E)</math> plano de 80%. Com esses parâmetros, a ''Google Compute Engine'' padrão para [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python3] do Google Colab realiza a simulação em <math>\sim 40s</math>.

[[Arquivo: erickStateDensity2.png|400px|thumb|center| Figura 1: Logaritmo da densidade de estados <math>\ln(g(E))</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>, há uma brusca queda na densidade de estados perto das pontas uma vez que as energias <math>-2L^2 + 4</math> e <math>2L^2 - 4</math> são inalcançáveis pelo sistema.]]

Fazendo uso da [[#equação de distribuição de probabilidade canônica]], podemos encontrar a distribuição de probabilidade das energias para uma determinada temperatura <math>T</math>. Devido a natureza do algoritmo, estas distribuições que por meios convencionais levariam tempo demasiadamente grande para ser calculado ou necessitariam de repesagem de histograma são instantaneamente calculadas com o algoritmo de Wang-Landau independentemente da temperatura. Na Fig.2 temos um exemplo das distribuições, incluindo uma próxima da temperatura critica <math>T_c</math>.

[[Arquivo: erickProbs2.png|400px|thumb|center| Figura 2: A distribuição canônica <math>P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}</math> em 3 temperaturas, incluindo a temperatura crítica <math>T_c</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>.]]

Fazendo uso das [[#equações para parâmetros termodinâmicos]], podemos calculá-los para este sistema em função da temperatura quase que instantaneamente. Estes são ilustrados nas Figs. 3,4,5,6.
<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickU2.png|400px|thumb|center| Figura 3: A Energia interna do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickC2.png|400px|thumb|center| Figura 4: O Calor Específico do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o pico se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickF2.png|400px|thumb|center| Figura 5: A Energia Livre do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o começo da queda se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickS2.png|400px|thumb|center| Figura 6: A Entropia do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
</ul></div>

==Código do Exemplo==
[[Exemplo de código para a amostragem de Wang-Landau em Python3]]

==Referências==
<references />

Amostragem de Wang-Landau

2022-10-19T04:17:56Z

Erickc: /* Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau */

O [https://pt.wikipedia.org/wiki/Algoritmo algoritmo] de amostragem de Wang-Landau é um método de amostragem para simulações de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo Monte Carlo] introduzido por F. Wang and D. P. Landau em 2001
<ref>F. Wang and D. P. Landau, ‘‘Efficient, multiple-range random walk algorithm to calculate the density of states,’’ Phys. Rev. Lett. 86, 2050–2053
!2001"; ‘‘Determining the density of states for classical statistical models:
A random walk algorithm to produce a flat histogram,’’ Phys. Rev. E 64,
056101 !2001".
</ref>
(com uma versão didática publicada em 2004 por D.P Landau, Shan-Ho Tsai e M. Exlerem),
<ref>Landau, D. P., Shan-Ho Tsai, and M. Exler. "A new approach to Monte Carlo simulations in statistical physics: Wang-Landau sampling." American Journal of Physics 72.10 (2004): 1294-1302.</ref>
que apresenta diversas vantagens sobre outros métodos para sistemas de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Spin spins]. Dentre eles podemos citar o algoritmo de Metropolis
<ref>N. Metropolis, A. W. Rosenbluth, M. N. Rosenbluth, A. H. Teller, and E.
Teller, ‘‘Equation of state calculations by fast computing machines,’’ J.
Chem. Phys. 21, 1087–1092 !1953".</ref>
, o algoritmo de ''clustering'' de Wolff
<ref>U. Wolff, ‘‘Collective Monte Carlo updating for spin systems,’’ Phys. Rev.
Lett. 62, 361–364 !1989".</ref>
, ou em um modelamento de ''ensamble'' multi-canônico
<ref>B. A. Berg and T. Neuhaus, ‘‘Multicanonical ensemble: A new approach to
simulate first-order phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 68, 9–12 !1992"</ref>
. Nestes dois últimos métodos são utilizados métodos de repesagem de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Histograma histogramas]<ref>
A. M. Ferrenberg and R. H. Swendsen, ‘‘New Monte Carlo technique for
studying phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 61, 2635–2638 !1988"; ‘‘Optimized Monte Carlo data analysis,’’ ibid. 63, 1195–1198 !1989".</ref>
que são limitados em sistemas grandes devido as baixa qualidade estatística nas asas do histograma.
Dentro deste contexto, o algoritmo Wang-Landau promete resolver problemas encontrados em amostragens convencionais como o ''critical slowing down'' para temperaturas próximas da temperatura crítica <math>T_c</math> utilizando-se de caminhadas aleatórias controladas para mapear a densidade de estados <math>g(E)</math> de um sistema, sem depender do método de repesagem de histogramas.

----

A maioria dos algoritmos de amostragem convencionais geram uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_can%C3%B3nico distribuição canônica] não normalizada

<div id="equação de distribuição de probabilidade canônica"> <math> P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

para uma determinada temperatura <math>T</math>, Geralmente estas distribuições são estreitas e se faz necessário múltiplas simulações para obter algum parâmetro [https://pt.wikipedia.org/wiki/Termodin%C3%A2mica termodinâmico] para uma distribuição significantemente grande de temperaturas.
Como <math>g(E)</math> não depende de temperatura do sistema, se pudermos encontrá-lo para todo <math>E</math>, podemos encontrar a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_de_parti%C3%A7%C3%A3o_(mec%C3%A2nica_estat%C3%ADstica) função de partição]

<div id="pf"> <math> Z(T) = \sum_E g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

e o sistema esta essencialmente resolvido, uma vez que grande parte dos parâmetros termodinâmicos podem ser derivados de <math>Z</math>. Além disso, a amostragem de Wang-Landau é provada ser útil em diversas aplicações como o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Antiferromagnetismo antiferromagneto] de Potts
<ref>C. Yamaguchi and Y. Okabe, ‘‘Three-dimensional antiferromagnetic
q-state Potts models: application of the Wang-Landau algorithm,’’ J. Phys.
A 34, 8781– 8794 !2001"</ref>
, sistemas de spins aleatórios<ref>Y. Okabe, Y. Tomita, and C. Yamaguchi, ‘‘Application of new Monte Carlo
algorithms to random spin systems,’’ Comput. Phys. Commun. 146, 63– 68
!2002".</ref>
, sistemas [https://pt.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica quânticos]<ref>
2M. Troyer, S. Wessel, and F. Alet, ‘‘Flat histogram methods for quantum
systems: Algorithms to overcome tunneling problems and calculate the
free energy,’’ Phys. Rev. Lett. 90, 120201 !2003". </ref>, etc... .

==Descrição do algoritmo de Wang Landau==
Descreveremos o funcionamento do algoritmo de Wang-Landau num sistema de spins clássicos de 2 estados numa grade bidimensional com valores discretos de energia e sem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Campo_magn%C3%A9tico campo magnético]([https://pt.wikipedia.org/wiki/Modelo_de_Ising Modelo de Ising]2D). Portanto quando nos referirmos a <math>g(E)</math> como densidade de estados, interpretamos como o número de estados com energia E.
A amostragem de Wang-Landau faz caminhadas aleatórias no espaço de energia mudando os estados de spins aleatoriamente selecionados, porém esta mudança só é aceita com probabilidade proporcional a reciproca da densidade de estados. Durante a caminhada também se acumula o número de vezes que uma energia é visitada durante a caminhada <math>H(E)</math>, isto é, ao visitarmos a energia <math>E_1</math> faz-se a atualização da variável <math> H(E_1) \rightarrow H(E_1) + 1 </math>. Por outro lado, a atualização da densidade de estados <math>g(E_1)</math> se da por um fator multiplicativo <math>f</math> (<math> g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f </math>) controlado ao longo da simulação para que seja muito próximo de 1 ao final das caminhadas.

Podemos descrever os passos do algoritmo da seguinte maneira:
# Inicializamos as densidades de energias com <math>g(E) = 1</math> para todo <math>E</math>, da mesma forma <math>H(E) = 0</math> para todo <math>E</math>.
# Inicializamos <math>f = f_0 = e \approx 2.71828</math> e um sistema <math>L\times L</math> de spins de valor 1 e -1 aleatoriamente distribuídos.
#*O valor de <math>f</math> é arbitrário e deve ser escolhido não muito pequeno, pois irá fazer com que a simulação demore muito tempo para explorar diversas energias, por outro lado se escolhido muito grande, levará a erros estatísticos significativos.
# Começamos a caminhada inicial escolhendo aleatoriamente um dos spins e mudando o seu estado.
# Se denotamos <math>E_1</math> como a energia antes da mudança de estado do spin selecionado e <math>E_2</math> como a energia após, aceitamos este novo estado com a seguinte probabilidade: <math>P(E_1 \rightarrow E_2) = \text{min}\left(\frac{g(E_1)}{g(E_2)},1\right)</math>
#*Se aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_2) \rightarrow g(E_2) \times f</math> e <math>H(E_2) \rightarrow H(E_2) +1</math> respectivamente.
#*Se não aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f</math> e <math>H(E_1) \rightarrow H(E_1) +1</math> respectivamente, de maneira a recontar o estado <math>E_1</math>.
#*Destaca-se que em ambos os casos usamos <math>\ln(g(E)) = \rightarrow \ln(g(E)) + \ln(f)</math>, pois ao longo da simulação acabamos usando números muito grandes.
#Faz-se esta caminhada aleatória nos diferentes estados do sistema até que o histograma <math>H(E)</math> esteja aproximadamente plano.
#*O critério para decidir se um histograma está plano é arbitrário. Para um [https://pt.wikipedia.org/wiki/Hamiltoniano_(mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica) hamiltoniano] de Ising 2D este critério pode ser definido tão alto quanto 95% (i.e. todos os valores de <math>H(E)</math> devem ser pelo menos 95% de <math> \langle H(E) \rangle </math>), porém valores mais altos que isso podem resultar no programa nunca identificando o histograma como plano.
#Checa-se se <math>H(E)</math> está plano a cada 10000 passos MC. Quando está plano, podemos dizer que todos os estados foram visitados uma quantidade de vezes aproximadamente igual e a densidade de estados <math>g(E)</math> converge ao valor real com precisão da ordem de <math>f</math>. (O critério de 10000 passos é arbitrário e pode ser modificado de acordo com o propósito da simulação).
#*Um passo MC corresponde a <math>L^2 = N</math> passos.
#Reduz-se o fator <math>f</math> da seguinte maneira <math>f_1 \rightarrow \sqrt{f_0}</math>, reinicia-se o histograma <math>H(E) = 0</math> e recomeça-se a caminhada aleatória com este novo fator <math>f</math>. (Todos os parâmetros não mencionados neste passo permanecem intocados).
#Continuamos executando os passos 5-7, reduzindo o fator <math>f</math> segundo a seguinte expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math>
#Encerra-se a simulação quando <math>f_{final}</math> estiver da ordem do erro desejado.
#*Claro que <math>f_{final}</math> pode ser escolhido arbitrariamente pequeno, mas sempre com um certo limite razoável <math>(10^{-6}-10^{-8})</math>, ou a simulação pode tomar tempos não razoáveis para completar.

==Observações sobre o algoritmo==
Nesta seção discutimos algumas observações importantes a se levar em conta na implementação do método de amostragem de Wang-Landau
===Fator de modificação f===
Quando tratamos da atualização do fator <math>f</math>, a expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math> é apenas uma recomendação, uma vez que outros valores de <math>n>1</math> podem ser escolhidos para uma atualização do tipo <math>f_{i+1} = f_{i}^{(1/n)}</math>. Não obstante, <math>n = 2</math> é adequado para o sistema estudado (Ising 2D), resultando em boa acurácia em relativamente pouco tempo de simulação.

===Implementação paralela===
A simulação pode ser melhorada ainda fazendo múltiplas caminhadas aleatórias paralelamente no espaço de energias. Restringindo o alcance das caminhadas proporcionalmente com o número de caminhantes em paralelo (e.g. No caso de 2 caminhantes simultâneos, dividimos o espaço de energias em 2 e restringimos um caminhante para a metade inferior das energias, e o outro para a parte superior) e depois juntando as densidades de estados resultantes.
<ref>Vogel, Thomas, et al. "Generic, hierarchical framework for massively parallel Wang-Landau sampling." Physical review letters 110.21 (2013): 210603.</ref>

===Balanço detalhado===
A condição de balanço detalhado inicialmente não é satisfeita uma vez que <math>g(E)</math> é constantemente modificada durante a caminhada aleatória. Porém após várias iterações, a condição é satisfeita a medida que <math>f</math> se aproxima de 1. Observa-se que se <math>P(E_1 \rightarrow E_2)</math> é a probabilidade de transição da energia <math>E_1</math> para a energia <math>E_2</math>, utilizando a equação do passo 4 do algoritmo temos que:

<math>
\frac{P(E_1 \rightarrow E_2)}{P(E_2 \rightarrow E_1)} = \frac{g(E_1)}{g(E_2)}.
</math>

Podemos reescrever a equação de uma forma mais familiar

<math>
\frac{1}{g(E_1)}P(E_1 \rightarrow E_2) = \frac{1}{g(E_2)}P(E_2 \rightarrow E_1)
</math>

que é a condição de balanceamento detalhado, uma vez que interpretamos que <math>1/g(E_1)</math> como a probabilidade do sistema possuir a energia <math>E_1</math> e analogamente para <math>E_2</math>. Concluímos então que a condição de balanço detalhado é satisfeita com precisão proporcional a <math>\ln(f)</math>.
===Escalabilidade===
Quando analisamos um modelo de Ising 2D de tamanho <math>L\times L</math>, temos que o número de configurações <math>(2^N, N = L^2)</math> aumenta exponencialmente com <math>N</math>, enquanto o número de possíveis energias é por volta de <math>2N</math> e aumenta linearmente com N. Implicando que temos uma escalabilidade muito boa para as caminhadas no espaço de energia quando o objetivo é estimar <math>g(E)</math> uma vez que um aumento no tamanho da grade não implica em um aumento exponencial, mas sim linear, no tempo de execução.
===Normalização===
É necessário ressaltar que após a simulação completa, o algoritmo de Wang-Landau nos fornece apenas a densidade de estados relativa. Para extrairmos a real densidade de estados <math>g_n(E)</math> é necessário que utilizemos uma das duas condições: Que o número total de estados possíveis é <math>\sum_Eg_n(E) = Q^N</math> ou que o numero de estados fundamentais é <math>Q</math> (onde <math>Q = 2</math> para o modelo de Ising 2D pois os spins possuem apenas dois estados).

Pela primeira condição, podemos obter a densidade de estados normalizada através da equação

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[\sum_Eg(E)] + N\ln(2)</math>,

enquanto pela segunda condição temos que

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[g(E = -2N)] + \ln(2)</math>.

A segunda normalização é preferível pois garante precisão para estados de menor energia, o que é necessário para o calculo de parâmetros termodinâmicos a baixas temperaturas.

===Grandezas Termodinâmicos===
Uma vez que temos a densidade de estados, podemos calcular diversas grandezas termodinâmicos, como a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_interna energia interna] <math>U(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Calor_espec%C3%ADfico calor especifico] <math>C(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_livre_de_Helmholtz energia livre de Helmholtz] <math>F(T)</math> e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Entropia entropia] <math>S(T)</math> através das seguintes equações:
<div id="equações para parâmetros termodinâmicos">
<math>U(T) = \frac{\sum_EEg(E)e^{-E/k_BT}}{\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}}</math>

<math>C(T) = \frac{\langle E^2\rangle - \langle E\rangle^2}{k_BT^2}</math>

<math>F(T) = -k_BT\ln\left(\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}\right)</math>

<math>S(T) = \frac{U(T) - F(T)}{T}</math>
</div>
Estas grandezas dependem apenas da temperatura uma vez que já foi encontrado a densidade de estados <math>g(E)</math>, o que contorna os problemas de ''critical slowing down'' na temperatura crítica pois a simulação não precisa ser refeita para cada uma das temperaturas, por consequência também dispensa a necessidade do método de repesagem de histogramas, contornando o problema de estatística fraca nas asas dos histogramas.

==Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau==
Podemos aplicar o algoritmo de Wang-Landau para um sistema [https://pt.wikipedia.org/wiki/Ferromagnetismo#:~:text=Ferromagnetismo%20%C3%A9%20o%20mecanismo%20b%C3%A1sico,diferentes%20de%20magnetismo%20s%C3%A3o%20distinguidos. ferromagnético] 2D de Ising com interação de primeiros vizinhos e uma grade quadrada <math>L\times L</math> com [https://pt.wikipedia.org/wiki/Condi%C3%A7%C3%B5es_de_fronteira_peri%C3%B3dicas condições de contorno periódicas] no qual o hamiltoniano é dado por

<math>\mathcal{H} = -\sum_{\langle i,j\rangle}\sigma_{i}\sigma_j</math>

onde <math>\sigma_{i} = +1</math> para spin para cima, <math>\sigma_{i} = -1</math> para baixo e <math>\langle i,j\rangle</math> indica a soma entre os primeiros vizinhos. Podemos calcular os erros entre os valores obtidos através da simulação e os valores exatos conhecidos para esse sistema através da seguinte expressão

<math>\epsilon{X} = \frac{|X_{sim}-X_{exato}|}{X_{exato}}</math>,

onde <math>X_{sim}</math> é o valor obtido na simulação para o parâmetro e <math>X_{exato}</math> é o valor exato para o mesmo parâmetro. Na Fig.1 temos a densidade de estados <math>g(E)</math> para um sistema <math>16 \times 16</math> com <math>f_{final} \sim 10^{-6}</math> e com critério para um histograma <math>H(E)</math> plano de 80%. Com esses parâmetros, a ''Google Compute Engine'' padrão para [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python3] do Google Colab realiza a simulação em <math>\sim 40s</math>.

[[Arquivo: erickStateDensity2.png|400px|thumb|center| Figura 1: Logaritmo da densidade de estados <math>\ln(g(E))</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>, há uma brusca queda na densidade de estados perto das pontas uma vez que as energias <math>-2L^2 + 4</math> e <math>2L^2 - 4</math> são inalcançáveis pelo sistema.]]

Fazendo uso da [[#equação de distribuição de probabilidade canônica]], podemos encontrar a distribuição de probabilidade das energias para uma determinada temperatura <math>T</math>. Devido a natureza do algoritmo, estas distribuições que por meios convencionais levariam tempo demasiadamente grande para ser calculado ou necessitariam de repesagem de histograma são instantaneamente calculadas com o algoritmo de Wang-Landau independentemente da temperatura. Na Fig.2 temos um exemplo das distribuições, incluindo uma próxima da temperatura critica <math>T_c</math>.

[[Arquivo: erickProbs2.png|400px|thumb|center| Figura 2: A distribuição canônica <math>P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}</math> em 3 temperaturas, incluindo a temperatura crítica <math>T_c</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>.]]

Fazendo uso das [[#equações para parâmetros termodinâmicos]], podemos calculá-los para este sistema em função da temperatura quase que instantaneamente. Estes são ilustrados nas Figs. 3,4,5,6.
<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickU2.png|400px|thumb|center| Figura 3: A Energia interna do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickC2.png|400px|thumb|center| Figura 4: O Calor Específico do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o pico se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickF2.png|400px|thumb|center| Figura 5: A Energia Livre do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o começo da queda se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickS2.png|400px|thumb|center| Figura 6: A Entropia do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
</ul></div>

==Código do Exemplo==
[[Exemplo de código para a amostragem de Wang-Landau em Python3]]

==Referências==
<references />

Amostragem de Wang-Landau

2022-10-19T04:17:37Z

Erickc: /* Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau */

O [https://pt.wikipedia.org/wiki/Algoritmo algoritmo] de amostragem de Wang-Landau é um método de amostragem para simulações de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo Monte Carlo] introduzido por F. Wang and D. P. Landau em 2001
<ref>F. Wang and D. P. Landau, ‘‘Efficient, multiple-range random walk algorithm to calculate the density of states,’’ Phys. Rev. Lett. 86, 2050–2053
!2001"; ‘‘Determining the density of states for classical statistical models:
A random walk algorithm to produce a flat histogram,’’ Phys. Rev. E 64,
056101 !2001".
</ref>
(com uma versão didática publicada em 2004 por D.P Landau, Shan-Ho Tsai e M. Exlerem),
<ref>Landau, D. P., Shan-Ho Tsai, and M. Exler. "A new approach to Monte Carlo simulations in statistical physics: Wang-Landau sampling." American Journal of Physics 72.10 (2004): 1294-1302.</ref>
que apresenta diversas vantagens sobre outros métodos para sistemas de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Spin spins]. Dentre eles podemos citar o algoritmo de Metropolis
<ref>N. Metropolis, A. W. Rosenbluth, M. N. Rosenbluth, A. H. Teller, and E.
Teller, ‘‘Equation of state calculations by fast computing machines,’’ J.
Chem. Phys. 21, 1087–1092 !1953".</ref>
, o algoritmo de ''clustering'' de Wolff
<ref>U. Wolff, ‘‘Collective Monte Carlo updating for spin systems,’’ Phys. Rev.
Lett. 62, 361–364 !1989".</ref>
, ou em um modelamento de ''ensamble'' multi-canônico
<ref>B. A. Berg and T. Neuhaus, ‘‘Multicanonical ensemble: A new approach to
simulate first-order phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 68, 9–12 !1992"</ref>
. Nestes dois últimos métodos são utilizados métodos de repesagem de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Histograma histogramas]<ref>
A. M. Ferrenberg and R. H. Swendsen, ‘‘New Monte Carlo technique for
studying phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 61, 2635–2638 !1988"; ‘‘Optimized Monte Carlo data analysis,’’ ibid. 63, 1195–1198 !1989".</ref>
que são limitados em sistemas grandes devido as baixa qualidade estatística nas asas do histograma.
Dentro deste contexto, o algoritmo Wang-Landau promete resolver problemas encontrados em amostragens convencionais como o ''critical slowing down'' para temperaturas próximas da temperatura crítica <math>T_c</math> utilizando-se de caminhadas aleatórias controladas para mapear a densidade de estados <math>g(E)</math> de um sistema, sem depender do método de repesagem de histogramas.

----

A maioria dos algoritmos de amostragem convencionais geram uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_can%C3%B3nico distribuição canônica] não normalizada

<div id="equação de distribuição de probabilidade canônica"> <math> P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

para uma determinada temperatura <math>T</math>, Geralmente estas distribuições são estreitas e se faz necessário múltiplas simulações para obter algum parâmetro [https://pt.wikipedia.org/wiki/Termodin%C3%A2mica termodinâmico] para uma distribuição significantemente grande de temperaturas.
Como <math>g(E)</math> não depende de temperatura do sistema, se pudermos encontrá-lo para todo <math>E</math>, podemos encontrar a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_de_parti%C3%A7%C3%A3o_(mec%C3%A2nica_estat%C3%ADstica) função de partição]

<div id="pf"> <math> Z(T) = \sum_E g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

e o sistema esta essencialmente resolvido, uma vez que grande parte dos parâmetros termodinâmicos podem ser derivados de <math>Z</math>. Além disso, a amostragem de Wang-Landau é provada ser útil em diversas aplicações como o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Antiferromagnetismo antiferromagneto] de Potts
<ref>C. Yamaguchi and Y. Okabe, ‘‘Three-dimensional antiferromagnetic
q-state Potts models: application of the Wang-Landau algorithm,’’ J. Phys.
A 34, 8781– 8794 !2001"</ref>
, sistemas de spins aleatórios<ref>Y. Okabe, Y. Tomita, and C. Yamaguchi, ‘‘Application of new Monte Carlo
algorithms to random spin systems,’’ Comput. Phys. Commun. 146, 63– 68
!2002".</ref>
, sistemas [https://pt.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica quânticos]<ref>
2M. Troyer, S. Wessel, and F. Alet, ‘‘Flat histogram methods for quantum
systems: Algorithms to overcome tunneling problems and calculate the
free energy,’’ Phys. Rev. Lett. 90, 120201 !2003". </ref>, etc... .

==Descrição do algoritmo de Wang Landau==
Descreveremos o funcionamento do algoritmo de Wang-Landau num sistema de spins clássicos de 2 estados numa grade bidimensional com valores discretos de energia e sem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Campo_magn%C3%A9tico campo magnético]([https://pt.wikipedia.org/wiki/Modelo_de_Ising Modelo de Ising]2D). Portanto quando nos referirmos a <math>g(E)</math> como densidade de estados, interpretamos como o número de estados com energia E.
A amostragem de Wang-Landau faz caminhadas aleatórias no espaço de energia mudando os estados de spins aleatoriamente selecionados, porém esta mudança só é aceita com probabilidade proporcional a reciproca da densidade de estados. Durante a caminhada também se acumula o número de vezes que uma energia é visitada durante a caminhada <math>H(E)</math>, isto é, ao visitarmos a energia <math>E_1</math> faz-se a atualização da variável <math> H(E_1) \rightarrow H(E_1) + 1 </math>. Por outro lado, a atualização da densidade de estados <math>g(E_1)</math> se da por um fator multiplicativo <math>f</math> (<math> g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f </math>) controlado ao longo da simulação para que seja muito próximo de 1 ao final das caminhadas.

Podemos descrever os passos do algoritmo da seguinte maneira:
# Inicializamos as densidades de energias com <math>g(E) = 1</math> para todo <math>E</math>, da mesma forma <math>H(E) = 0</math> para todo <math>E</math>.
# Inicializamos <math>f = f_0 = e \approx 2.71828</math> e um sistema <math>L\times L</math> de spins de valor 1 e -1 aleatoriamente distribuídos.
#*O valor de <math>f</math> é arbitrário e deve ser escolhido não muito pequeno, pois irá fazer com que a simulação demore muito tempo para explorar diversas energias, por outro lado se escolhido muito grande, levará a erros estatísticos significativos.
# Começamos a caminhada inicial escolhendo aleatoriamente um dos spins e mudando o seu estado.
# Se denotamos <math>E_1</math> como a energia antes da mudança de estado do spin selecionado e <math>E_2</math> como a energia após, aceitamos este novo estado com a seguinte probabilidade: <math>P(E_1 \rightarrow E_2) = \text{min}\left(\frac{g(E_1)}{g(E_2)},1\right)</math>
#*Se aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_2) \rightarrow g(E_2) \times f</math> e <math>H(E_2) \rightarrow H(E_2) +1</math> respectivamente.
#*Se não aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f</math> e <math>H(E_1) \rightarrow H(E_1) +1</math> respectivamente, de maneira a recontar o estado <math>E_1</math>.
#*Destaca-se que em ambos os casos usamos <math>\ln(g(E)) = \rightarrow \ln(g(E)) + \ln(f)</math>, pois ao longo da simulação acabamos usando números muito grandes.
#Faz-se esta caminhada aleatória nos diferentes estados do sistema até que o histograma <math>H(E)</math> esteja aproximadamente plano.
#*O critério para decidir se um histograma está plano é arbitrário. Para um [https://pt.wikipedia.org/wiki/Hamiltoniano_(mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica) hamiltoniano] de Ising 2D este critério pode ser definido tão alto quanto 95% (i.e. todos os valores de <math>H(E)</math> devem ser pelo menos 95% de <math> \langle H(E) \rangle </math>), porém valores mais altos que isso podem resultar no programa nunca identificando o histograma como plano.
#Checa-se se <math>H(E)</math> está plano a cada 10000 passos MC. Quando está plano, podemos dizer que todos os estados foram visitados uma quantidade de vezes aproximadamente igual e a densidade de estados <math>g(E)</math> converge ao valor real com precisão da ordem de <math>f</math>. (O critério de 10000 passos é arbitrário e pode ser modificado de acordo com o propósito da simulação).
#*Um passo MC corresponde a <math>L^2 = N</math> passos.
#Reduz-se o fator <math>f</math> da seguinte maneira <math>f_1 \rightarrow \sqrt{f_0}</math>, reinicia-se o histograma <math>H(E) = 0</math> e recomeça-se a caminhada aleatória com este novo fator <math>f</math>. (Todos os parâmetros não mencionados neste passo permanecem intocados).
#Continuamos executando os passos 5-7, reduzindo o fator <math>f</math> segundo a seguinte expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math>
#Encerra-se a simulação quando <math>f_{final}</math> estiver da ordem do erro desejado.
#*Claro que <math>f_{final}</math> pode ser escolhido arbitrariamente pequeno, mas sempre com um certo limite razoável <math>(10^{-6}-10^{-8})</math>, ou a simulação pode tomar tempos não razoáveis para completar.

==Observações sobre o algoritmo==
Nesta seção discutimos algumas observações importantes a se levar em conta na implementação do método de amostragem de Wang-Landau
===Fator de modificação f===
Quando tratamos da atualização do fator <math>f</math>, a expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math> é apenas uma recomendação, uma vez que outros valores de <math>n>1</math> podem ser escolhidos para uma atualização do tipo <math>f_{i+1} = f_{i}^{(1/n)}</math>. Não obstante, <math>n = 2</math> é adequado para o sistema estudado (Ising 2D), resultando em boa acurácia em relativamente pouco tempo de simulação.

===Implementação paralela===
A simulação pode ser melhorada ainda fazendo múltiplas caminhadas aleatórias paralelamente no espaço de energias. Restringindo o alcance das caminhadas proporcionalmente com o número de caminhantes em paralelo (e.g. No caso de 2 caminhantes simultâneos, dividimos o espaço de energias em 2 e restringimos um caminhante para a metade inferior das energias, e o outro para a parte superior) e depois juntando as densidades de estados resultantes.
<ref>Vogel, Thomas, et al. "Generic, hierarchical framework for massively parallel Wang-Landau sampling." Physical review letters 110.21 (2013): 210603.</ref>

===Balanço detalhado===
A condição de balanço detalhado inicialmente não é satisfeita uma vez que <math>g(E)</math> é constantemente modificada durante a caminhada aleatória. Porém após várias iterações, a condição é satisfeita a medida que <math>f</math> se aproxima de 1. Observa-se que se <math>P(E_1 \rightarrow E_2)</math> é a probabilidade de transição da energia <math>E_1</math> para a energia <math>E_2</math>, utilizando a equação do passo 4 do algoritmo temos que:

<math>
\frac{P(E_1 \rightarrow E_2)}{P(E_2 \rightarrow E_1)} = \frac{g(E_1)}{g(E_2)}.
</math>

Podemos reescrever a equação de uma forma mais familiar

<math>
\frac{1}{g(E_1)}P(E_1 \rightarrow E_2) = \frac{1}{g(E_2)}P(E_2 \rightarrow E_1)
</math>

que é a condição de balanceamento detalhado, uma vez que interpretamos que <math>1/g(E_1)</math> como a probabilidade do sistema possuir a energia <math>E_1</math> e analogamente para <math>E_2</math>. Concluímos então que a condição de balanço detalhado é satisfeita com precisão proporcional a <math>\ln(f)</math>.
===Escalabilidade===
Quando analisamos um modelo de Ising 2D de tamanho <math>L\times L</math>, temos que o número de configurações <math>(2^N, N = L^2)</math> aumenta exponencialmente com <math>N</math>, enquanto o número de possíveis energias é por volta de <math>2N</math> e aumenta linearmente com N. Implicando que temos uma escalabilidade muito boa para as caminhadas no espaço de energia quando o objetivo é estimar <math>g(E)</math> uma vez que um aumento no tamanho da grade não implica em um aumento exponencial, mas sim linear, no tempo de execução.
===Normalização===
É necessário ressaltar que após a simulação completa, o algoritmo de Wang-Landau nos fornece apenas a densidade de estados relativa. Para extrairmos a real densidade de estados <math>g_n(E)</math> é necessário que utilizemos uma das duas condições: Que o número total de estados possíveis é <math>\sum_Eg_n(E) = Q^N</math> ou que o numero de estados fundamentais é <math>Q</math> (onde <math>Q = 2</math> para o modelo de Ising 2D pois os spins possuem apenas dois estados).

Pela primeira condição, podemos obter a densidade de estados normalizada através da equação

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[\sum_Eg(E)] + N\ln(2)</math>,

enquanto pela segunda condição temos que

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[g(E = -2N)] + \ln(2)</math>.

A segunda normalização é preferível pois garante precisão para estados de menor energia, o que é necessário para o calculo de parâmetros termodinâmicos a baixas temperaturas.

===Grandezas Termodinâmicos===
Uma vez que temos a densidade de estados, podemos calcular diversas grandezas termodinâmicos, como a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_interna energia interna] <math>U(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Calor_espec%C3%ADfico calor especifico] <math>C(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_livre_de_Helmholtz energia livre de Helmholtz] <math>F(T)</math> e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Entropia entropia] <math>S(T)</math> através das seguintes equações:
<div id="equações para parâmetros termodinâmicos">
<math>U(T) = \frac{\sum_EEg(E)e^{-E/k_BT}}{\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}}</math>

<math>C(T) = \frac{\langle E^2\rangle - \langle E\rangle^2}{k_BT^2}</math>

<math>F(T) = -k_BT\ln\left(\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}\right)</math>

<math>S(T) = \frac{U(T) - F(T)}{T}</math>
</div>
Estas grandezas dependem apenas da temperatura uma vez que já foi encontrado a densidade de estados <math>g(E)</math>, o que contorna os problemas de ''critical slowing down'' na temperatura crítica pois a simulação não precisa ser refeita para cada uma das temperaturas, por consequência também dispensa a necessidade do método de repesagem de histogramas, contornando o problema de estatística fraca nas asas dos histogramas.

==Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau==
Podemos aplicar o algoritmo de Wang-Landau para um sistema [https://pt.wikipedia.org/wiki/Ferromagnetismo#:~:text=Ferromagnetismo%20%C3%A9%20o%20mecanismo%20b%C3%A1sico,diferentes%20de%20magnetismo%20s%C3%A3o%20distinguidos. ferromagnético] 2D de Ising com interação de primeiros vizinhos e uma grade quadrada <math>L\times L</math> com [https://pt.wikipedia.org/wiki/Condi%C3%A7%C3%B5es_de_fronteira_peri%C3%B3dicas condições de contorno periódicas] no qual o hamiltoniano é dado por

<math>\mathcal{H} = -\sum_{\langle i,j\rangle}\sigma_{i}\sigma_j</math>

onde <math>\sigma_{i} = +1</math> para spin para cima, <math>\sigma_{i} = -1</math> para baixo e <math>\langle i,j\rangle</math> indica a soma entre os primeiros vizinhos. Podemos calcular os erros entre os valores obtidos através da simulação e os valores exatos conhecidos para esse sistema através da seguinte expressão

<math>\epsilon{X} = \frac{|X_{sim}-X_{exato}|}{X_{exato}}</math>,

onde <math>X_{sim}</math> é o valor obtido na simulação para o parâmetro e <math>X_{exato}</math> é o valor exato para o mesmo parâmetro. Na Fig.1 temos a densidade de estados <math>g(E)</math> para um sistema <math>16 \times 16</math> com <math>f_{final} \sim 10^{-6}</math> e com critério para um histograma <math>H(E)</math> plano de 80%. Com esses parâmetros, a ''Google Compute Engine'' padrão para [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python3] do Google Colab realiza a simulação em <math>\sim 40s</math>.

[[Arquivo: erickStateDensity2.png|400px|thumb|center| Figura 1: Logaritmo da densidade de estados <math>\ln(g(E))</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>, há uma brusca queda na densidade de estados perto das pontas uma vez que as energias <math>-2L^2 + 4</math> e <math>2L^2 - 4</math> são inalcançáveis pelo sistema.]]

Fazendo uso da [[#equação de distribuição de probabilidade canônica]], podemos encontrar a distribuição de probabilidade das energias para uma determinada temperatura <math>T</math>. Devido a natureza do algoritmo, estas distribuições que por meios convencionais levariam tempo demasiadamente grande para ser calculado ou necessitariam de repesagem de histograma são instantaneamente calculadas com o algoritmo de Wang-Landau independentemente da temperatura. Na Fig.2 temos um exemplo das distribuições, incluindo uma próxima da temperatura critica <math>T_c</math>.

[[Arquivo: erickProbs2.png|400px|thumb|center| Figura 2: A distribuição canônica <math>P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}</math> em 3 temperaturas, incluindo a temperatura crítica <math>T_c</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>.]]

Fazendo uso das [[#equações para parâmetros termodinâmicos]], podemos calculá-los para este sistema em função da temperatura quase que instantaneamente. Estes são ilustrados nas Figs. 3,4,5,6.
<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickU2.png|400px|thumb|center| Figura 3: A Energia interna do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickC2.png|400px|thumb|center| Figura 4: O Calor Específico do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o pico se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickF2.png|400px|thumb|center| Figura 5: A Energia Livre do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o começo da queda se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickS2.png|400px|thumb|center| Figura 6: A Entropia do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
</ul></div>

==Código do Exemplo==
[[Exemplo de código para a amostragem de Wang-Landau em Python3]]

==Referências==
<references />

Amostragem de Wang-Landau

2022-10-19T04:17:26Z

Erickc: /* Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau */

O [https://pt.wikipedia.org/wiki/Algoritmo algoritmo] de amostragem de Wang-Landau é um método de amostragem para simulações de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo Monte Carlo] introduzido por F. Wang and D. P. Landau em 2001
<ref>F. Wang and D. P. Landau, ‘‘Efficient, multiple-range random walk algorithm to calculate the density of states,’’ Phys. Rev. Lett. 86, 2050–2053
!2001"; ‘‘Determining the density of states for classical statistical models:
A random walk algorithm to produce a flat histogram,’’ Phys. Rev. E 64,
056101 !2001".
</ref>
(com uma versão didática publicada em 2004 por D.P Landau, Shan-Ho Tsai e M. Exlerem),
<ref>Landau, D. P., Shan-Ho Tsai, and M. Exler. "A new approach to Monte Carlo simulations in statistical physics: Wang-Landau sampling." American Journal of Physics 72.10 (2004): 1294-1302.</ref>
que apresenta diversas vantagens sobre outros métodos para sistemas de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Spin spins]. Dentre eles podemos citar o algoritmo de Metropolis
<ref>N. Metropolis, A. W. Rosenbluth, M. N. Rosenbluth, A. H. Teller, and E.
Teller, ‘‘Equation of state calculations by fast computing machines,’’ J.
Chem. Phys. 21, 1087–1092 !1953".</ref>
, o algoritmo de ''clustering'' de Wolff
<ref>U. Wolff, ‘‘Collective Monte Carlo updating for spin systems,’’ Phys. Rev.
Lett. 62, 361–364 !1989".</ref>
, ou em um modelamento de ''ensamble'' multi-canônico
<ref>B. A. Berg and T. Neuhaus, ‘‘Multicanonical ensemble: A new approach to
simulate first-order phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 68, 9–12 !1992"</ref>
. Nestes dois últimos métodos são utilizados métodos de repesagem de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Histograma histogramas]<ref>
A. M. Ferrenberg and R. H. Swendsen, ‘‘New Monte Carlo technique for
studying phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 61, 2635–2638 !1988"; ‘‘Optimized Monte Carlo data analysis,’’ ibid. 63, 1195–1198 !1989".</ref>
que são limitados em sistemas grandes devido as baixa qualidade estatística nas asas do histograma.
Dentro deste contexto, o algoritmo Wang-Landau promete resolver problemas encontrados em amostragens convencionais como o ''critical slowing down'' para temperaturas próximas da temperatura crítica <math>T_c</math> utilizando-se de caminhadas aleatórias controladas para mapear a densidade de estados <math>g(E)</math> de um sistema, sem depender do método de repesagem de histogramas.

----

A maioria dos algoritmos de amostragem convencionais geram uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_can%C3%B3nico distribuição canônica] não normalizada

<div id="equação de distribuição de probabilidade canônica"> <math> P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

para uma determinada temperatura <math>T</math>, Geralmente estas distribuições são estreitas e se faz necessário múltiplas simulações para obter algum parâmetro [https://pt.wikipedia.org/wiki/Termodin%C3%A2mica termodinâmico] para uma distribuição significantemente grande de temperaturas.
Como <math>g(E)</math> não depende de temperatura do sistema, se pudermos encontrá-lo para todo <math>E</math>, podemos encontrar a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_de_parti%C3%A7%C3%A3o_(mec%C3%A2nica_estat%C3%ADstica) função de partição]

<div id="pf"> <math> Z(T) = \sum_E g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

e o sistema esta essencialmente resolvido, uma vez que grande parte dos parâmetros termodinâmicos podem ser derivados de <math>Z</math>. Além disso, a amostragem de Wang-Landau é provada ser útil em diversas aplicações como o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Antiferromagnetismo antiferromagneto] de Potts
<ref>C. Yamaguchi and Y. Okabe, ‘‘Three-dimensional antiferromagnetic
q-state Potts models: application of the Wang-Landau algorithm,’’ J. Phys.
A 34, 8781– 8794 !2001"</ref>
, sistemas de spins aleatórios<ref>Y. Okabe, Y. Tomita, and C. Yamaguchi, ‘‘Application of new Monte Carlo
algorithms to random spin systems,’’ Comput. Phys. Commun. 146, 63– 68
!2002".</ref>
, sistemas [https://pt.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica quânticos]<ref>
2M. Troyer, S. Wessel, and F. Alet, ‘‘Flat histogram methods for quantum
systems: Algorithms to overcome tunneling problems and calculate the
free energy,’’ Phys. Rev. Lett. 90, 120201 !2003". </ref>, etc... .

==Descrição do algoritmo de Wang Landau==
Descreveremos o funcionamento do algoritmo de Wang-Landau num sistema de spins clássicos de 2 estados numa grade bidimensional com valores discretos de energia e sem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Campo_magn%C3%A9tico campo magnético]([https://pt.wikipedia.org/wiki/Modelo_de_Ising Modelo de Ising]2D). Portanto quando nos referirmos a <math>g(E)</math> como densidade de estados, interpretamos como o número de estados com energia E.
A amostragem de Wang-Landau faz caminhadas aleatórias no espaço de energia mudando os estados de spins aleatoriamente selecionados, porém esta mudança só é aceita com probabilidade proporcional a reciproca da densidade de estados. Durante a caminhada também se acumula o número de vezes que uma energia é visitada durante a caminhada <math>H(E)</math>, isto é, ao visitarmos a energia <math>E_1</math> faz-se a atualização da variável <math> H(E_1) \rightarrow H(E_1) + 1 </math>. Por outro lado, a atualização da densidade de estados <math>g(E_1)</math> se da por um fator multiplicativo <math>f</math> (<math> g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f </math>) controlado ao longo da simulação para que seja muito próximo de 1 ao final das caminhadas.

Podemos descrever os passos do algoritmo da seguinte maneira:
# Inicializamos as densidades de energias com <math>g(E) = 1</math> para todo <math>E</math>, da mesma forma <math>H(E) = 0</math> para todo <math>E</math>.
# Inicializamos <math>f = f_0 = e \approx 2.71828</math> e um sistema <math>L\times L</math> de spins de valor 1 e -1 aleatoriamente distribuídos.
#*O valor de <math>f</math> é arbitrário e deve ser escolhido não muito pequeno, pois irá fazer com que a simulação demore muito tempo para explorar diversas energias, por outro lado se escolhido muito grande, levará a erros estatísticos significativos.
# Começamos a caminhada inicial escolhendo aleatoriamente um dos spins e mudando o seu estado.
# Se denotamos <math>E_1</math> como a energia antes da mudança de estado do spin selecionado e <math>E_2</math> como a energia após, aceitamos este novo estado com a seguinte probabilidade: <math>P(E_1 \rightarrow E_2) = \text{min}\left(\frac{g(E_1)}{g(E_2)},1\right)</math>
#*Se aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_2) \rightarrow g(E_2) \times f</math> e <math>H(E_2) \rightarrow H(E_2) +1</math> respectivamente.
#*Se não aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f</math> e <math>H(E_1) \rightarrow H(E_1) +1</math> respectivamente, de maneira a recontar o estado <math>E_1</math>.
#*Destaca-se que em ambos os casos usamos <math>\ln(g(E)) = \rightarrow \ln(g(E)) + \ln(f)</math>, pois ao longo da simulação acabamos usando números muito grandes.
#Faz-se esta caminhada aleatória nos diferentes estados do sistema até que o histograma <math>H(E)</math> esteja aproximadamente plano.
#*O critério para decidir se um histograma está plano é arbitrário. Para um [https://pt.wikipedia.org/wiki/Hamiltoniano_(mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica) hamiltoniano] de Ising 2D este critério pode ser definido tão alto quanto 95% (i.e. todos os valores de <math>H(E)</math> devem ser pelo menos 95% de <math> \langle H(E) \rangle </math>), porém valores mais altos que isso podem resultar no programa nunca identificando o histograma como plano.
#Checa-se se <math>H(E)</math> está plano a cada 10000 passos MC. Quando está plano, podemos dizer que todos os estados foram visitados uma quantidade de vezes aproximadamente igual e a densidade de estados <math>g(E)</math> converge ao valor real com precisão da ordem de <math>f</math>. (O critério de 10000 passos é arbitrário e pode ser modificado de acordo com o propósito da simulação).
#*Um passo MC corresponde a <math>L^2 = N</math> passos.
#Reduz-se o fator <math>f</math> da seguinte maneira <math>f_1 \rightarrow \sqrt{f_0}</math>, reinicia-se o histograma <math>H(E) = 0</math> e recomeça-se a caminhada aleatória com este novo fator <math>f</math>. (Todos os parâmetros não mencionados neste passo permanecem intocados).
#Continuamos executando os passos 5-7, reduzindo o fator <math>f</math> segundo a seguinte expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math>
#Encerra-se a simulação quando <math>f_{final}</math> estiver da ordem do erro desejado.
#*Claro que <math>f_{final}</math> pode ser escolhido arbitrariamente pequeno, mas sempre com um certo limite razoável <math>(10^{-6}-10^{-8})</math>, ou a simulação pode tomar tempos não razoáveis para completar.

==Observações sobre o algoritmo==
Nesta seção discutimos algumas observações importantes a se levar em conta na implementação do método de amostragem de Wang-Landau
===Fator de modificação f===
Quando tratamos da atualização do fator <math>f</math>, a expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math> é apenas uma recomendação, uma vez que outros valores de <math>n>1</math> podem ser escolhidos para uma atualização do tipo <math>f_{i+1} = f_{i}^{(1/n)}</math>. Não obstante, <math>n = 2</math> é adequado para o sistema estudado (Ising 2D), resultando em boa acurácia em relativamente pouco tempo de simulação.

===Implementação paralela===
A simulação pode ser melhorada ainda fazendo múltiplas caminhadas aleatórias paralelamente no espaço de energias. Restringindo o alcance das caminhadas proporcionalmente com o número de caminhantes em paralelo (e.g. No caso de 2 caminhantes simultâneos, dividimos o espaço de energias em 2 e restringimos um caminhante para a metade inferior das energias, e o outro para a parte superior) e depois juntando as densidades de estados resultantes.
<ref>Vogel, Thomas, et al. "Generic, hierarchical framework for massively parallel Wang-Landau sampling." Physical review letters 110.21 (2013): 210603.</ref>

===Balanço detalhado===
A condição de balanço detalhado inicialmente não é satisfeita uma vez que <math>g(E)</math> é constantemente modificada durante a caminhada aleatória. Porém após várias iterações, a condição é satisfeita a medida que <math>f</math> se aproxima de 1. Observa-se que se <math>P(E_1 \rightarrow E_2)</math> é a probabilidade de transição da energia <math>E_1</math> para a energia <math>E_2</math>, utilizando a equação do passo 4 do algoritmo temos que:

<math>
\frac{P(E_1 \rightarrow E_2)}{P(E_2 \rightarrow E_1)} = \frac{g(E_1)}{g(E_2)}.
</math>

Podemos reescrever a equação de uma forma mais familiar

<math>
\frac{1}{g(E_1)}P(E_1 \rightarrow E_2) = \frac{1}{g(E_2)}P(E_2 \rightarrow E_1)
</math>

que é a condição de balanceamento detalhado, uma vez que interpretamos que <math>1/g(E_1)</math> como a probabilidade do sistema possuir a energia <math>E_1</math> e analogamente para <math>E_2</math>. Concluímos então que a condição de balanço detalhado é satisfeita com precisão proporcional a <math>\ln(f)</math>.
===Escalabilidade===
Quando analisamos um modelo de Ising 2D de tamanho <math>L\times L</math>, temos que o número de configurações <math>(2^N, N = L^2)</math> aumenta exponencialmente com <math>N</math>, enquanto o número de possíveis energias é por volta de <math>2N</math> e aumenta linearmente com N. Implicando que temos uma escalabilidade muito boa para as caminhadas no espaço de energia quando o objetivo é estimar <math>g(E)</math> uma vez que um aumento no tamanho da grade não implica em um aumento exponencial, mas sim linear, no tempo de execução.
===Normalização===
É necessário ressaltar que após a simulação completa, o algoritmo de Wang-Landau nos fornece apenas a densidade de estados relativa. Para extrairmos a real densidade de estados <math>g_n(E)</math> é necessário que utilizemos uma das duas condições: Que o número total de estados possíveis é <math>\sum_Eg_n(E) = Q^N</math> ou que o numero de estados fundamentais é <math>Q</math> (onde <math>Q = 2</math> para o modelo de Ising 2D pois os spins possuem apenas dois estados).

Pela primeira condição, podemos obter a densidade de estados normalizada através da equação

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[\sum_Eg(E)] + N\ln(2)</math>,

enquanto pela segunda condição temos que

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[g(E = -2N)] + \ln(2)</math>.

A segunda normalização é preferível pois garante precisão para estados de menor energia, o que é necessário para o calculo de parâmetros termodinâmicos a baixas temperaturas.

===Grandezas Termodinâmicos===
Uma vez que temos a densidade de estados, podemos calcular diversas grandezas termodinâmicos, como a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_interna energia interna] <math>U(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Calor_espec%C3%ADfico calor especifico] <math>C(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_livre_de_Helmholtz energia livre de Helmholtz] <math>F(T)</math> e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Entropia entropia] <math>S(T)</math> através das seguintes equações:
<div id="equações para parâmetros termodinâmicos">
<math>U(T) = \frac{\sum_EEg(E)e^{-E/k_BT}}{\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}}</math>

<math>C(T) = \frac{\langle E^2\rangle - \langle E\rangle^2}{k_BT^2}</math>

<math>F(T) = -k_BT\ln\left(\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}\right)</math>

<math>S(T) = \frac{U(T) - F(T)}{T}</math>
</div>
Estas grandezas dependem apenas da temperatura uma vez que já foi encontrado a densidade de estados <math>g(E)</math>, o que contorna os problemas de ''critical slowing down'' na temperatura crítica pois a simulação não precisa ser refeita para cada uma das temperaturas, por consequência também dispensa a necessidade do método de repesagem de histogramas, contornando o problema de estatística fraca nas asas dos histogramas.

==Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau==
Podemos aplicar o algoritmo de Wang-Landau para um sistema [https://pt.wikipedia.org/wiki/Ferromagnetismo#:~:text=Ferromagnetismo%20%C3%A9%20o%20mecanismo%20b%C3%A1sico,diferentes%20de%20magnetismo%20s%C3%A3o%20distinguidos. ferromagnético] 2D de Ising com interação de primeiros vizinhos e uma grade quadrada <math>L\times L</math> com [https://pt.wikipedia.org/wiki/Condi%C3%A7%C3%B5es_de_fronteira_peri%C3%B3dicas condições de contorno periódicas] no qual o hamiltoniano é dado por

<math>\mathcal{H} = -\sum_{\langle i,j\rangle}\sigma_{i}\sigma_j</math>

onde <math>\sigma_{i} = +1</math> para spin para cima, <math>\sigma_{i} = -1</math> para baixo e <math>\langle i,j\rangle</math> indica a soma entre os primeiros vizinhos. Podemos calcular os erros entre os valores obtidos através da simulação e os valores exatos conhecidos para esse sistema através da seguinte expressão

<math>\epsilon{X} = \frac{|X_{sim}-X_{exato}|}{X_{exato}}</math>,

onde <math>X_{sim}</math> é o valor obtido na simulação para um parâmetro e <math>X_{exato}</math> é o valor exato para o mesmo parâmetro. Na Fig.1 temos a densidade de estados <math>g(E)</math> para um sistema <math>16 \times 16</math> com <math>f_{final} \sim 10^{-6}</math> e com critério para um histograma <math>H(E)</math> plano de 80%. Com esses parâmetros, a ''Google Compute Engine'' padrão para [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python3] do Google Colab realiza a simulação em <math>\sim 40s</math>.

[[Arquivo: erickStateDensity2.png|400px|thumb|center| Figura 1: Logaritmo da densidade de estados <math>\ln(g(E))</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>, há uma brusca queda na densidade de estados perto das pontas uma vez que as energias <math>-2L^2 + 4</math> e <math>2L^2 - 4</math> são inalcançáveis pelo sistema.]]

Fazendo uso da [[#equação de distribuição de probabilidade canônica]], podemos encontrar a distribuição de probabilidade das energias para uma determinada temperatura <math>T</math>. Devido a natureza do algoritmo, estas distribuições que por meios convencionais levariam tempo demasiadamente grande para ser calculado ou necessitariam de repesagem de histograma são instantaneamente calculadas com o algoritmo de Wang-Landau independentemente da temperatura. Na Fig.2 temos um exemplo das distribuições, incluindo uma próxima da temperatura critica <math>T_c</math>.

[[Arquivo: erickProbs2.png|400px|thumb|center| Figura 2: A distribuição canônica <math>P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}</math> em 3 temperaturas, incluindo a temperatura crítica <math>T_c</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>.]]

Fazendo uso das [[#equações para parâmetros termodinâmicos]], podemos calculá-los para este sistema em função da temperatura quase que instantaneamente. Estes são ilustrados nas Figs. 3,4,5,6.
<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickU2.png|400px|thumb|center| Figura 3: A Energia interna do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickC2.png|400px|thumb|center| Figura 4: O Calor Específico do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o pico se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickF2.png|400px|thumb|center| Figura 5: A Energia Livre do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o começo da queda se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickS2.png|400px|thumb|center| Figura 6: A Entropia do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
</ul></div>

==Código do Exemplo==
[[Exemplo de código para a amostragem de Wang-Landau em Python3]]

==Referências==
<references />

Amostragem de Wang-Landau

2022-10-19T04:17:06Z

Erickc: /* Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau */

O [https://pt.wikipedia.org/wiki/Algoritmo algoritmo] de amostragem de Wang-Landau é um método de amostragem para simulações de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo Monte Carlo] introduzido por F. Wang and D. P. Landau em 2001
<ref>F. Wang and D. P. Landau, ‘‘Efficient, multiple-range random walk algorithm to calculate the density of states,’’ Phys. Rev. Lett. 86, 2050–2053
!2001"; ‘‘Determining the density of states for classical statistical models:
A random walk algorithm to produce a flat histogram,’’ Phys. Rev. E 64,
056101 !2001".
</ref>
(com uma versão didática publicada em 2004 por D.P Landau, Shan-Ho Tsai e M. Exlerem),
<ref>Landau, D. P., Shan-Ho Tsai, and M. Exler. "A new approach to Monte Carlo simulations in statistical physics: Wang-Landau sampling." American Journal of Physics 72.10 (2004): 1294-1302.</ref>
que apresenta diversas vantagens sobre outros métodos para sistemas de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Spin spins]. Dentre eles podemos citar o algoritmo de Metropolis
<ref>N. Metropolis, A. W. Rosenbluth, M. N. Rosenbluth, A. H. Teller, and E.
Teller, ‘‘Equation of state calculations by fast computing machines,’’ J.
Chem. Phys. 21, 1087–1092 !1953".</ref>
, o algoritmo de ''clustering'' de Wolff
<ref>U. Wolff, ‘‘Collective Monte Carlo updating for spin systems,’’ Phys. Rev.
Lett. 62, 361–364 !1989".</ref>
, ou em um modelamento de ''ensamble'' multi-canônico
<ref>B. A. Berg and T. Neuhaus, ‘‘Multicanonical ensemble: A new approach to
simulate first-order phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 68, 9–12 !1992"</ref>
. Nestes dois últimos métodos são utilizados métodos de repesagem de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Histograma histogramas]<ref>
A. M. Ferrenberg and R. H. Swendsen, ‘‘New Monte Carlo technique for
studying phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 61, 2635–2638 !1988"; ‘‘Optimized Monte Carlo data analysis,’’ ibid. 63, 1195–1198 !1989".</ref>
que são limitados em sistemas grandes devido as baixa qualidade estatística nas asas do histograma.
Dentro deste contexto, o algoritmo Wang-Landau promete resolver problemas encontrados em amostragens convencionais como o ''critical slowing down'' para temperaturas próximas da temperatura crítica <math>T_c</math> utilizando-se de caminhadas aleatórias controladas para mapear a densidade de estados <math>g(E)</math> de um sistema, sem depender do método de repesagem de histogramas.

----

A maioria dos algoritmos de amostragem convencionais geram uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_can%C3%B3nico distribuição canônica] não normalizada

<div id="equação de distribuição de probabilidade canônica"> <math> P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

para uma determinada temperatura <math>T</math>, Geralmente estas distribuições são estreitas e se faz necessário múltiplas simulações para obter algum parâmetro [https://pt.wikipedia.org/wiki/Termodin%C3%A2mica termodinâmico] para uma distribuição significantemente grande de temperaturas.
Como <math>g(E)</math> não depende de temperatura do sistema, se pudermos encontrá-lo para todo <math>E</math>, podemos encontrar a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_de_parti%C3%A7%C3%A3o_(mec%C3%A2nica_estat%C3%ADstica) função de partição]

<div id="pf"> <math> Z(T) = \sum_E g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

e o sistema esta essencialmente resolvido, uma vez que grande parte dos parâmetros termodinâmicos podem ser derivados de <math>Z</math>. Além disso, a amostragem de Wang-Landau é provada ser útil em diversas aplicações como o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Antiferromagnetismo antiferromagneto] de Potts
<ref>C. Yamaguchi and Y. Okabe, ‘‘Three-dimensional antiferromagnetic
q-state Potts models: application of the Wang-Landau algorithm,’’ J. Phys.
A 34, 8781– 8794 !2001"</ref>
, sistemas de spins aleatórios<ref>Y. Okabe, Y. Tomita, and C. Yamaguchi, ‘‘Application of new Monte Carlo
algorithms to random spin systems,’’ Comput. Phys. Commun. 146, 63– 68
!2002".</ref>
, sistemas [https://pt.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica quânticos]<ref>
2M. Troyer, S. Wessel, and F. Alet, ‘‘Flat histogram methods for quantum
systems: Algorithms to overcome tunneling problems and calculate the
free energy,’’ Phys. Rev. Lett. 90, 120201 !2003". </ref>, etc... .

==Descrição do algoritmo de Wang Landau==
Descreveremos o funcionamento do algoritmo de Wang-Landau num sistema de spins clássicos de 2 estados numa grade bidimensional com valores discretos de energia e sem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Campo_magn%C3%A9tico campo magnético]([https://pt.wikipedia.org/wiki/Modelo_de_Ising Modelo de Ising]2D). Portanto quando nos referirmos a <math>g(E)</math> como densidade de estados, interpretamos como o número de estados com energia E.
A amostragem de Wang-Landau faz caminhadas aleatórias no espaço de energia mudando os estados de spins aleatoriamente selecionados, porém esta mudança só é aceita com probabilidade proporcional a reciproca da densidade de estados. Durante a caminhada também se acumula o número de vezes que uma energia é visitada durante a caminhada <math>H(E)</math>, isto é, ao visitarmos a energia <math>E_1</math> faz-se a atualização da variável <math> H(E_1) \rightarrow H(E_1) + 1 </math>. Por outro lado, a atualização da densidade de estados <math>g(E_1)</math> se da por um fator multiplicativo <math>f</math> (<math> g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f </math>) controlado ao longo da simulação para que seja muito próximo de 1 ao final das caminhadas.

Podemos descrever os passos do algoritmo da seguinte maneira:
# Inicializamos as densidades de energias com <math>g(E) = 1</math> para todo <math>E</math>, da mesma forma <math>H(E) = 0</math> para todo <math>E</math>.
# Inicializamos <math>f = f_0 = e \approx 2.71828</math> e um sistema <math>L\times L</math> de spins de valor 1 e -1 aleatoriamente distribuídos.
#*O valor de <math>f</math> é arbitrário e deve ser escolhido não muito pequeno, pois irá fazer com que a simulação demore muito tempo para explorar diversas energias, por outro lado se escolhido muito grande, levará a erros estatísticos significativos.
# Começamos a caminhada inicial escolhendo aleatoriamente um dos spins e mudando o seu estado.
# Se denotamos <math>E_1</math> como a energia antes da mudança de estado do spin selecionado e <math>E_2</math> como a energia após, aceitamos este novo estado com a seguinte probabilidade: <math>P(E_1 \rightarrow E_2) = \text{min}\left(\frac{g(E_1)}{g(E_2)},1\right)</math>
#*Se aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_2) \rightarrow g(E_2) \times f</math> e <math>H(E_2) \rightarrow H(E_2) +1</math> respectivamente.
#*Se não aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f</math> e <math>H(E_1) \rightarrow H(E_1) +1</math> respectivamente, de maneira a recontar o estado <math>E_1</math>.
#*Destaca-se que em ambos os casos usamos <math>\ln(g(E)) = \rightarrow \ln(g(E)) + \ln(f)</math>, pois ao longo da simulação acabamos usando números muito grandes.
#Faz-se esta caminhada aleatória nos diferentes estados do sistema até que o histograma <math>H(E)</math> esteja aproximadamente plano.
#*O critério para decidir se um histograma está plano é arbitrário. Para um [https://pt.wikipedia.org/wiki/Hamiltoniano_(mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica) hamiltoniano] de Ising 2D este critério pode ser definido tão alto quanto 95% (i.e. todos os valores de <math>H(E)</math> devem ser pelo menos 95% de <math> \langle H(E) \rangle </math>), porém valores mais altos que isso podem resultar no programa nunca identificando o histograma como plano.
#Checa-se se <math>H(E)</math> está plano a cada 10000 passos MC. Quando está plano, podemos dizer que todos os estados foram visitados uma quantidade de vezes aproximadamente igual e a densidade de estados <math>g(E)</math> converge ao valor real com precisão da ordem de <math>f</math>. (O critério de 10000 passos é arbitrário e pode ser modificado de acordo com o propósito da simulação).
#*Um passo MC corresponde a <math>L^2 = N</math> passos.
#Reduz-se o fator <math>f</math> da seguinte maneira <math>f_1 \rightarrow \sqrt{f_0}</math>, reinicia-se o histograma <math>H(E) = 0</math> e recomeça-se a caminhada aleatória com este novo fator <math>f</math>. (Todos os parâmetros não mencionados neste passo permanecem intocados).
#Continuamos executando os passos 5-7, reduzindo o fator <math>f</math> segundo a seguinte expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math>
#Encerra-se a simulação quando <math>f_{final}</math> estiver da ordem do erro desejado.
#*Claro que <math>f_{final}</math> pode ser escolhido arbitrariamente pequeno, mas sempre com um certo limite razoável <math>(10^{-6}-10^{-8})</math>, ou a simulação pode tomar tempos não razoáveis para completar.

==Observações sobre o algoritmo==
Nesta seção discutimos algumas observações importantes a se levar em conta na implementação do método de amostragem de Wang-Landau
===Fator de modificação f===
Quando tratamos da atualização do fator <math>f</math>, a expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math> é apenas uma recomendação, uma vez que outros valores de <math>n>1</math> podem ser escolhidos para uma atualização do tipo <math>f_{i+1} = f_{i}^{(1/n)}</math>. Não obstante, <math>n = 2</math> é adequado para o sistema estudado (Ising 2D), resultando em boa acurácia em relativamente pouco tempo de simulação.

===Implementação paralela===
A simulação pode ser melhorada ainda fazendo múltiplas caminhadas aleatórias paralelamente no espaço de energias. Restringindo o alcance das caminhadas proporcionalmente com o número de caminhantes em paralelo (e.g. No caso de 2 caminhantes simultâneos, dividimos o espaço de energias em 2 e restringimos um caminhante para a metade inferior das energias, e o outro para a parte superior) e depois juntando as densidades de estados resultantes.
<ref>Vogel, Thomas, et al. "Generic, hierarchical framework for massively parallel Wang-Landau sampling." Physical review letters 110.21 (2013): 210603.</ref>

===Balanço detalhado===
A condição de balanço detalhado inicialmente não é satisfeita uma vez que <math>g(E)</math> é constantemente modificada durante a caminhada aleatória. Porém após várias iterações, a condição é satisfeita a medida que <math>f</math> se aproxima de 1. Observa-se que se <math>P(E_1 \rightarrow E_2)</math> é a probabilidade de transição da energia <math>E_1</math> para a energia <math>E_2</math>, utilizando a equação do passo 4 do algoritmo temos que:

<math>
\frac{P(E_1 \rightarrow E_2)}{P(E_2 \rightarrow E_1)} = \frac{g(E_1)}{g(E_2)}.
</math>

Podemos reescrever a equação de uma forma mais familiar

<math>
\frac{1}{g(E_1)}P(E_1 \rightarrow E_2) = \frac{1}{g(E_2)}P(E_2 \rightarrow E_1)
</math>

que é a condição de balanceamento detalhado, uma vez que interpretamos que <math>1/g(E_1)</math> como a probabilidade do sistema possuir a energia <math>E_1</math> e analogamente para <math>E_2</math>. Concluímos então que a condição de balanço detalhado é satisfeita com precisão proporcional a <math>\ln(f)</math>.
===Escalabilidade===
Quando analisamos um modelo de Ising 2D de tamanho <math>L\times L</math>, temos que o número de configurações <math>(2^N, N = L^2)</math> aumenta exponencialmente com <math>N</math>, enquanto o número de possíveis energias é por volta de <math>2N</math> e aumenta linearmente com N. Implicando que temos uma escalabilidade muito boa para as caminhadas no espaço de energia quando o objetivo é estimar <math>g(E)</math> uma vez que um aumento no tamanho da grade não implica em um aumento exponencial, mas sim linear, no tempo de execução.
===Normalização===
É necessário ressaltar que após a simulação completa, o algoritmo de Wang-Landau nos fornece apenas a densidade de estados relativa. Para extrairmos a real densidade de estados <math>g_n(E)</math> é necessário que utilizemos uma das duas condições: Que o número total de estados possíveis é <math>\sum_Eg_n(E) = Q^N</math> ou que o numero de estados fundamentais é <math>Q</math> (onde <math>Q = 2</math> para o modelo de Ising 2D pois os spins possuem apenas dois estados).

Pela primeira condição, podemos obter a densidade de estados normalizada através da equação

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[\sum_Eg(E)] + N\ln(2)</math>,

enquanto pela segunda condição temos que

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[g(E = -2N)] + \ln(2)</math>.

A segunda normalização é preferível pois garante precisão para estados de menor energia, o que é necessário para o calculo de parâmetros termodinâmicos a baixas temperaturas.

===Grandezas Termodinâmicos===
Uma vez que temos a densidade de estados, podemos calcular diversas grandezas termodinâmicos, como a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_interna energia interna] <math>U(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Calor_espec%C3%ADfico calor especifico] <math>C(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_livre_de_Helmholtz energia livre de Helmholtz] <math>F(T)</math> e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Entropia entropia] <math>S(T)</math> através das seguintes equações:
<div id="equações para parâmetros termodinâmicos">
<math>U(T) = \frac{\sum_EEg(E)e^{-E/k_BT}}{\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}}</math>

<math>C(T) = \frac{\langle E^2\rangle - \langle E\rangle^2}{k_BT^2}</math>

<math>F(T) = -k_BT\ln\left(\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}\right)</math>

<math>S(T) = \frac{U(T) - F(T)}{T}</math>
</div>
Estas grandezas dependem apenas da temperatura uma vez que já foi encontrado a densidade de estados <math>g(E)</math>, o que contorna os problemas de ''critical slowing down'' na temperatura crítica pois a simulação não precisa ser refeita para cada uma das temperaturas, por consequência também dispensa a necessidade do método de repesagem de histogramas, contornando o problema de estatística fraca nas asas dos histogramas.

==Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau==
Podemos aplicar o algoritmo de Wang-Landau para um sistema [https://pt.wikipedia.org/wiki/Ferromagnetismo#:~:text=Ferromagnetismo%20%C3%A9%20o%20mecanismo%20b%C3%A1sico,diferentes%20de%20magnetismo%20s%C3%A3o%20distinguidos. ferromagnético] 2D de Ising com interação de primeiros vizinhos e uma grade quadrada <math>L\times L</math> com [https://pt.wikipedia.org/wiki/Condi%C3%A7%C3%B5es_de_fronteira_peri%C3%B3dicas condições de contorno periódicas] no qual o hamiltoniano é dado por

<math>\mathcal{H} = -\sum_{\langle i,j\rangle}\sigma_{i}\sigma_j</math>

onde <math>\sigma_{i} = +1</math> para spin para cima, <math>\sigma_{i} = -1</math> para baixo e <math>\langle i,j\rangle</math> indica a soma entre os primeiros vizinhos. Podemos calcular os erros entre os valores obtidos através da simulação e os valores exatos conhecidos para esse sistema através da seguinte expressão

<math>\epsilon{X} = \frac{|X_{sim}-X_{exato}|}{X_{exato}}</math>,

onde <math>X_{sim}</math> é o valor obtido na simulação e <math>X_{exato}</math> é o valor exato para o mesmo parâmetro. Na Fig.1 temos a densidade de estados <math>g(E)</math> para um sistema <math>16 \times 16</math> com <math>f_{final} \sim 10^{-6}</math> e com critério para um histograma <math>H(E)</math> plano de 80%. Com esses parâmetros, a ''Google Compute Engine'' padrão para [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python3] do Google Colab realiza a simulação em <math>\sim 40s</math>.

[[Arquivo: erickStateDensity2.png|400px|thumb|center| Figura 1: Logaritmo da densidade de estados <math>\ln(g(E))</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>, há uma brusca queda na densidade de estados perto das pontas uma vez que as energias <math>-2L^2 + 4</math> e <math>2L^2 - 4</math> são inalcançáveis pelo sistema.]]

Fazendo uso da [[#equação de distribuição de probabilidade canônica]], podemos encontrar a distribuição de probabilidade das energias para uma determinada temperatura <math>T</math>. Devido a natureza do algoritmo, estas distribuições que por meios convencionais levariam tempo demasiadamente grande para ser calculado ou necessitariam de repesagem de histograma são instantaneamente calculadas com o algoritmo de Wang-Landau independentemente da temperatura. Na Fig.2 temos um exemplo das distribuições, incluindo uma próxima da temperatura critica <math>T_c</math>.

[[Arquivo: erickProbs2.png|400px|thumb|center| Figura 2: A distribuição canônica <math>P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}</math> em 3 temperaturas, incluindo a temperatura crítica <math>T_c</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>.]]

Fazendo uso das [[#equações para parâmetros termodinâmicos]], podemos calculá-los para este sistema em função da temperatura quase que instantaneamente. Estes são ilustrados nas Figs. 3,4,5,6.
<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickU2.png|400px|thumb|center| Figura 3: A Energia interna do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickC2.png|400px|thumb|center| Figura 4: O Calor Específico do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o pico se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickF2.png|400px|thumb|center| Figura 5: A Energia Livre do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o começo da queda se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickS2.png|400px|thumb|center| Figura 6: A Entropia do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
</ul></div>

==Código do Exemplo==
[[Exemplo de código para a amostragem de Wang-Landau em Python3]]

==Referências==
<references />

Amostragem de Wang-Landau

2022-10-19T04:16:46Z

Erickc: /* Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau */

O [https://pt.wikipedia.org/wiki/Algoritmo algoritmo] de amostragem de Wang-Landau é um método de amostragem para simulações de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo Monte Carlo] introduzido por F. Wang and D. P. Landau em 2001
<ref>F. Wang and D. P. Landau, ‘‘Efficient, multiple-range random walk algorithm to calculate the density of states,’’ Phys. Rev. Lett. 86, 2050–2053
!2001"; ‘‘Determining the density of states for classical statistical models:
A random walk algorithm to produce a flat histogram,’’ Phys. Rev. E 64,
056101 !2001".
</ref>
(com uma versão didática publicada em 2004 por D.P Landau, Shan-Ho Tsai e M. Exlerem),
<ref>Landau, D. P., Shan-Ho Tsai, and M. Exler. "A new approach to Monte Carlo simulations in statistical physics: Wang-Landau sampling." American Journal of Physics 72.10 (2004): 1294-1302.</ref>
que apresenta diversas vantagens sobre outros métodos para sistemas de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Spin spins]. Dentre eles podemos citar o algoritmo de Metropolis
<ref>N. Metropolis, A. W. Rosenbluth, M. N. Rosenbluth, A. H. Teller, and E.
Teller, ‘‘Equation of state calculations by fast computing machines,’’ J.
Chem. Phys. 21, 1087–1092 !1953".</ref>
, o algoritmo de ''clustering'' de Wolff
<ref>U. Wolff, ‘‘Collective Monte Carlo updating for spin systems,’’ Phys. Rev.
Lett. 62, 361–364 !1989".</ref>
, ou em um modelamento de ''ensamble'' multi-canônico
<ref>B. A. Berg and T. Neuhaus, ‘‘Multicanonical ensemble: A new approach to
simulate first-order phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 68, 9–12 !1992"</ref>
. Nestes dois últimos métodos são utilizados métodos de repesagem de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Histograma histogramas]<ref>
A. M. Ferrenberg and R. H. Swendsen, ‘‘New Monte Carlo technique for
studying phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 61, 2635–2638 !1988"; ‘‘Optimized Monte Carlo data analysis,’’ ibid. 63, 1195–1198 !1989".</ref>
que são limitados em sistemas grandes devido as baixa qualidade estatística nas asas do histograma.
Dentro deste contexto, o algoritmo Wang-Landau promete resolver problemas encontrados em amostragens convencionais como o ''critical slowing down'' para temperaturas próximas da temperatura crítica <math>T_c</math> utilizando-se de caminhadas aleatórias controladas para mapear a densidade de estados <math>g(E)</math> de um sistema, sem depender do método de repesagem de histogramas.

----

A maioria dos algoritmos de amostragem convencionais geram uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_can%C3%B3nico distribuição canônica] não normalizada

<div id="equação de distribuição de probabilidade canônica"> <math> P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

para uma determinada temperatura <math>T</math>, Geralmente estas distribuições são estreitas e se faz necessário múltiplas simulações para obter algum parâmetro [https://pt.wikipedia.org/wiki/Termodin%C3%A2mica termodinâmico] para uma distribuição significantemente grande de temperaturas.
Como <math>g(E)</math> não depende de temperatura do sistema, se pudermos encontrá-lo para todo <math>E</math>, podemos encontrar a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_de_parti%C3%A7%C3%A3o_(mec%C3%A2nica_estat%C3%ADstica) função de partição]

<div id="pf"> <math> Z(T) = \sum_E g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

e o sistema esta essencialmente resolvido, uma vez que grande parte dos parâmetros termodinâmicos podem ser derivados de <math>Z</math>. Além disso, a amostragem de Wang-Landau é provada ser útil em diversas aplicações como o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Antiferromagnetismo antiferromagneto] de Potts
<ref>C. Yamaguchi and Y. Okabe, ‘‘Three-dimensional antiferromagnetic
q-state Potts models: application of the Wang-Landau algorithm,’’ J. Phys.
A 34, 8781– 8794 !2001"</ref>
, sistemas de spins aleatórios<ref>Y. Okabe, Y. Tomita, and C. Yamaguchi, ‘‘Application of new Monte Carlo
algorithms to random spin systems,’’ Comput. Phys. Commun. 146, 63– 68
!2002".</ref>
, sistemas [https://pt.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica quânticos]<ref>
2M. Troyer, S. Wessel, and F. Alet, ‘‘Flat histogram methods for quantum
systems: Algorithms to overcome tunneling problems and calculate the
free energy,’’ Phys. Rev. Lett. 90, 120201 !2003". </ref>, etc... .

==Descrição do algoritmo de Wang Landau==
Descreveremos o funcionamento do algoritmo de Wang-Landau num sistema de spins clássicos de 2 estados numa grade bidimensional com valores discretos de energia e sem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Campo_magn%C3%A9tico campo magnético]([https://pt.wikipedia.org/wiki/Modelo_de_Ising Modelo de Ising]2D). Portanto quando nos referirmos a <math>g(E)</math> como densidade de estados, interpretamos como o número de estados com energia E.
A amostragem de Wang-Landau faz caminhadas aleatórias no espaço de energia mudando os estados de spins aleatoriamente selecionados, porém esta mudança só é aceita com probabilidade proporcional a reciproca da densidade de estados. Durante a caminhada também se acumula o número de vezes que uma energia é visitada durante a caminhada <math>H(E)</math>, isto é, ao visitarmos a energia <math>E_1</math> faz-se a atualização da variável <math> H(E_1) \rightarrow H(E_1) + 1 </math>. Por outro lado, a atualização da densidade de estados <math>g(E_1)</math> se da por um fator multiplicativo <math>f</math> (<math> g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f </math>) controlado ao longo da simulação para que seja muito próximo de 1 ao final das caminhadas.

Podemos descrever os passos do algoritmo da seguinte maneira:
# Inicializamos as densidades de energias com <math>g(E) = 1</math> para todo <math>E</math>, da mesma forma <math>H(E) = 0</math> para todo <math>E</math>.
# Inicializamos <math>f = f_0 = e \approx 2.71828</math> e um sistema <math>L\times L</math> de spins de valor 1 e -1 aleatoriamente distribuídos.
#*O valor de <math>f</math> é arbitrário e deve ser escolhido não muito pequeno, pois irá fazer com que a simulação demore muito tempo para explorar diversas energias, por outro lado se escolhido muito grande, levará a erros estatísticos significativos.
# Começamos a caminhada inicial escolhendo aleatoriamente um dos spins e mudando o seu estado.
# Se denotamos <math>E_1</math> como a energia antes da mudança de estado do spin selecionado e <math>E_2</math> como a energia após, aceitamos este novo estado com a seguinte probabilidade: <math>P(E_1 \rightarrow E_2) = \text{min}\left(\frac{g(E_1)}{g(E_2)},1\right)</math>
#*Se aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_2) \rightarrow g(E_2) \times f</math> e <math>H(E_2) \rightarrow H(E_2) +1</math> respectivamente.
#*Se não aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f</math> e <math>H(E_1) \rightarrow H(E_1) +1</math> respectivamente, de maneira a recontar o estado <math>E_1</math>.
#*Destaca-se que em ambos os casos usamos <math>\ln(g(E)) = \rightarrow \ln(g(E)) + \ln(f)</math>, pois ao longo da simulação acabamos usando números muito grandes.
#Faz-se esta caminhada aleatória nos diferentes estados do sistema até que o histograma <math>H(E)</math> esteja aproximadamente plano.
#*O critério para decidir se um histograma está plano é arbitrário. Para um [https://pt.wikipedia.org/wiki/Hamiltoniano_(mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica) hamiltoniano] de Ising 2D este critério pode ser definido tão alto quanto 95% (i.e. todos os valores de <math>H(E)</math> devem ser pelo menos 95% de <math> \langle H(E) \rangle </math>), porém valores mais altos que isso podem resultar no programa nunca identificando o histograma como plano.
#Checa-se se <math>H(E)</math> está plano a cada 10000 passos MC. Quando está plano, podemos dizer que todos os estados foram visitados uma quantidade de vezes aproximadamente igual e a densidade de estados <math>g(E)</math> converge ao valor real com precisão da ordem de <math>f</math>. (O critério de 10000 passos é arbitrário e pode ser modificado de acordo com o propósito da simulação).
#*Um passo MC corresponde a <math>L^2 = N</math> passos.
#Reduz-se o fator <math>f</math> da seguinte maneira <math>f_1 \rightarrow \sqrt{f_0}</math>, reinicia-se o histograma <math>H(E) = 0</math> e recomeça-se a caminhada aleatória com este novo fator <math>f</math>. (Todos os parâmetros não mencionados neste passo permanecem intocados).
#Continuamos executando os passos 5-7, reduzindo o fator <math>f</math> segundo a seguinte expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math>
#Encerra-se a simulação quando <math>f_{final}</math> estiver da ordem do erro desejado.
#*Claro que <math>f_{final}</math> pode ser escolhido arbitrariamente pequeno, mas sempre com um certo limite razoável <math>(10^{-6}-10^{-8})</math>, ou a simulação pode tomar tempos não razoáveis para completar.

==Observações sobre o algoritmo==
Nesta seção discutimos algumas observações importantes a se levar em conta na implementação do método de amostragem de Wang-Landau
===Fator de modificação f===
Quando tratamos da atualização do fator <math>f</math>, a expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math> é apenas uma recomendação, uma vez que outros valores de <math>n>1</math> podem ser escolhidos para uma atualização do tipo <math>f_{i+1} = f_{i}^{(1/n)}</math>. Não obstante, <math>n = 2</math> é adequado para o sistema estudado (Ising 2D), resultando em boa acurácia em relativamente pouco tempo de simulação.

===Implementação paralela===
A simulação pode ser melhorada ainda fazendo múltiplas caminhadas aleatórias paralelamente no espaço de energias. Restringindo o alcance das caminhadas proporcionalmente com o número de caminhantes em paralelo (e.g. No caso de 2 caminhantes simultâneos, dividimos o espaço de energias em 2 e restringimos um caminhante para a metade inferior das energias, e o outro para a parte superior) e depois juntando as densidades de estados resultantes.
<ref>Vogel, Thomas, et al. "Generic, hierarchical framework for massively parallel Wang-Landau sampling." Physical review letters 110.21 (2013): 210603.</ref>

===Balanço detalhado===
A condição de balanço detalhado inicialmente não é satisfeita uma vez que <math>g(E)</math> é constantemente modificada durante a caminhada aleatória. Porém após várias iterações, a condição é satisfeita a medida que <math>f</math> se aproxima de 1. Observa-se que se <math>P(E_1 \rightarrow E_2)</math> é a probabilidade de transição da energia <math>E_1</math> para a energia <math>E_2</math>, utilizando a equação do passo 4 do algoritmo temos que:

<math>
\frac{P(E_1 \rightarrow E_2)}{P(E_2 \rightarrow E_1)} = \frac{g(E_1)}{g(E_2)}.
</math>

Podemos reescrever a equação de uma forma mais familiar

<math>
\frac{1}{g(E_1)}P(E_1 \rightarrow E_2) = \frac{1}{g(E_2)}P(E_2 \rightarrow E_1)
</math>

que é a condição de balanceamento detalhado, uma vez que interpretamos que <math>1/g(E_1)</math> como a probabilidade do sistema possuir a energia <math>E_1</math> e analogamente para <math>E_2</math>. Concluímos então que a condição de balanço detalhado é satisfeita com precisão proporcional a <math>\ln(f)</math>.
===Escalabilidade===
Quando analisamos um modelo de Ising 2D de tamanho <math>L\times L</math>, temos que o número de configurações <math>(2^N, N = L^2)</math> aumenta exponencialmente com <math>N</math>, enquanto o número de possíveis energias é por volta de <math>2N</math> e aumenta linearmente com N. Implicando que temos uma escalabilidade muito boa para as caminhadas no espaço de energia quando o objetivo é estimar <math>g(E)</math> uma vez que um aumento no tamanho da grade não implica em um aumento exponencial, mas sim linear, no tempo de execução.
===Normalização===
É necessário ressaltar que após a simulação completa, o algoritmo de Wang-Landau nos fornece apenas a densidade de estados relativa. Para extrairmos a real densidade de estados <math>g_n(E)</math> é necessário que utilizemos uma das duas condições: Que o número total de estados possíveis é <math>\sum_Eg_n(E) = Q^N</math> ou que o numero de estados fundamentais é <math>Q</math> (onde <math>Q = 2</math> para o modelo de Ising 2D pois os spins possuem apenas dois estados).

Pela primeira condição, podemos obter a densidade de estados normalizada através da equação

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[\sum_Eg(E)] + N\ln(2)</math>,

enquanto pela segunda condição temos que

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[g(E = -2N)] + \ln(2)</math>.

A segunda normalização é preferível pois garante precisão para estados de menor energia, o que é necessário para o calculo de parâmetros termodinâmicos a baixas temperaturas.

===Grandezas Termodinâmicos===
Uma vez que temos a densidade de estados, podemos calcular diversas grandezas termodinâmicos, como a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_interna energia interna] <math>U(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Calor_espec%C3%ADfico calor especifico] <math>C(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_livre_de_Helmholtz energia livre de Helmholtz] <math>F(T)</math> e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Entropia entropia] <math>S(T)</math> através das seguintes equações:
<div id="equações para parâmetros termodinâmicos">
<math>U(T) = \frac{\sum_EEg(E)e^{-E/k_BT}}{\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}}</math>

<math>C(T) = \frac{\langle E^2\rangle - \langle E\rangle^2}{k_BT^2}</math>

<math>F(T) = -k_BT\ln\left(\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}\right)</math>

<math>S(T) = \frac{U(T) - F(T)}{T}</math>
</div>
Estas grandezas dependem apenas da temperatura uma vez que já foi encontrado a densidade de estados <math>g(E)</math>, o que contorna os problemas de ''critical slowing down'' na temperatura crítica pois a simulação não precisa ser refeita para cada uma das temperaturas, por consequência também dispensa a necessidade do método de repesagem de histogramas, contornando o problema de estatística fraca nas asas dos histogramas.

==Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau==
Podemos aplicar o algoritmo de Wang-Landau para um sistema [https://pt.wikipedia.org/wiki/Ferromagnetismo#:~:text=Ferromagnetismo%20%C3%A9%20o%20mecanismo%20b%C3%A1sico,diferentes%20de%20magnetismo%20s%C3%A3o%20distinguidos. ferromagnético] 2D de Ising com interação de primeiros vizinhos e uma grade quadrada <math>L\times L</math> com [https://pt.wikipedia.org/wiki/Condi%C3%A7%C3%B5es_de_fronteira_peri%C3%B3dicas condições de contorno periódicas] no qual o hamiltoniano é dado por

<math>\mathcal{H} = -\sum_{\langle i,j\rangle}\sigma_{i}\sigma_j</math>

onde <math>\sigma_{i} = +1</math> para spin para cima, <math>\sigma_{i} = -1</math> para baixo e <math>\langle i,j\rangle</math> indica a soma entre os primeiros vizinhos. Podemos calcular os erros entre os valores obtidos através da simulação e os valores exatos conhecidos para esse sistema através da seguinte expressão

<math>\epsilon{X} = \frac{|X_{sim}-X_{exato}|}{X_{exato}}</math>,

onde $X_{sim}$ é o valor obtido na simulação e $X_{exato}$ é o valor exato para o mesmo parâmetro. Na Fig.1 temos a densidade de estados <math>g(E)</math> para um sistema <math>16 \times 16</math> com <math>f_{final} \sim 10^{-6}</math> e com critério para um histograma <math>H(E)</math> plano de 80%. Com esses parâmetros, a ''Google Compute Engine'' padrão para [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python3] do Google Colab realiza a simulação em <math>\sim 40s</math>.

[[Arquivo: erickStateDensity2.png|400px|thumb|center| Figura 1: Logaritmo da densidade de estados <math>\ln(g(E))</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>, há uma brusca queda na densidade de estados perto das pontas uma vez que as energias <math>-2L^2 + 4</math> e <math>2L^2 - 4</math> são inalcançáveis pelo sistema.]]

Fazendo uso da [[#equação de distribuição de probabilidade canônica]], podemos encontrar a distribuição de probabilidade das energias para uma determinada temperatura <math>T</math>. Devido a natureza do algoritmo, estas distribuições que por meios convencionais levariam tempo demasiadamente grande para ser calculado ou necessitariam de repesagem de histograma são instantaneamente calculadas com o algoritmo de Wang-Landau independentemente da temperatura. Na Fig.2 temos um exemplo das distribuições, incluindo uma próxima da temperatura critica <math>T_c</math>.

[[Arquivo: erickProbs2.png|400px|thumb|center| Figura 2: A distribuição canônica <math>P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}</math> em 3 temperaturas, incluindo a temperatura crítica <math>T_c</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>.]]

Fazendo uso das [[#equações para parâmetros termodinâmicos]], podemos calculá-los para este sistema em função da temperatura quase que instantaneamente. Estes são ilustrados nas Figs. 3,4,5,6.
<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickU2.png|400px|thumb|center| Figura 3: A Energia interna do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickC2.png|400px|thumb|center| Figura 4: O Calor Específico do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o pico se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickF2.png|400px|thumb|center| Figura 5: A Energia Livre do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o começo da queda se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickS2.png|400px|thumb|center| Figura 6: A Entropia do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
</ul></div>

==Código do Exemplo==
[[Exemplo de código para a amostragem de Wang-Landau em Python3]]

==Referências==
<references />

Amostragem de Wang-Landau

2022-10-19T04:15:38Z

Erickc: /* Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau */

O [https://pt.wikipedia.org/wiki/Algoritmo algoritmo] de amostragem de Wang-Landau é um método de amostragem para simulações de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo Monte Carlo] introduzido por F. Wang and D. P. Landau em 2001
<ref>F. Wang and D. P. Landau, ‘‘Efficient, multiple-range random walk algorithm to calculate the density of states,’’ Phys. Rev. Lett. 86, 2050–2053
!2001"; ‘‘Determining the density of states for classical statistical models:
A random walk algorithm to produce a flat histogram,’’ Phys. Rev. E 64,
056101 !2001".
</ref>
(com uma versão didática publicada em 2004 por D.P Landau, Shan-Ho Tsai e M. Exlerem),
<ref>Landau, D. P., Shan-Ho Tsai, and M. Exler. "A new approach to Monte Carlo simulations in statistical physics: Wang-Landau sampling." American Journal of Physics 72.10 (2004): 1294-1302.</ref>
que apresenta diversas vantagens sobre outros métodos para sistemas de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Spin spins]. Dentre eles podemos citar o algoritmo de Metropolis
<ref>N. Metropolis, A. W. Rosenbluth, M. N. Rosenbluth, A. H. Teller, and E.
Teller, ‘‘Equation of state calculations by fast computing machines,’’ J.
Chem. Phys. 21, 1087–1092 !1953".</ref>
, o algoritmo de ''clustering'' de Wolff
<ref>U. Wolff, ‘‘Collective Monte Carlo updating for spin systems,’’ Phys. Rev.
Lett. 62, 361–364 !1989".</ref>
, ou em um modelamento de ''ensamble'' multi-canônico
<ref>B. A. Berg and T. Neuhaus, ‘‘Multicanonical ensemble: A new approach to
simulate first-order phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 68, 9–12 !1992"</ref>
. Nestes dois últimos métodos são utilizados métodos de repesagem de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Histograma histogramas]<ref>
A. M. Ferrenberg and R. H. Swendsen, ‘‘New Monte Carlo technique for
studying phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 61, 2635–2638 !1988"; ‘‘Optimized Monte Carlo data analysis,’’ ibid. 63, 1195–1198 !1989".</ref>
que são limitados em sistemas grandes devido as baixa qualidade estatística nas asas do histograma.
Dentro deste contexto, o algoritmo Wang-Landau promete resolver problemas encontrados em amostragens convencionais como o ''critical slowing down'' para temperaturas próximas da temperatura crítica <math>T_c</math> utilizando-se de caminhadas aleatórias controladas para mapear a densidade de estados <math>g(E)</math> de um sistema, sem depender do método de repesagem de histogramas.

----

A maioria dos algoritmos de amostragem convencionais geram uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_can%C3%B3nico distribuição canônica] não normalizada

<div id="equação de distribuição de probabilidade canônica"> <math> P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

para uma determinada temperatura <math>T</math>, Geralmente estas distribuições são estreitas e se faz necessário múltiplas simulações para obter algum parâmetro [https://pt.wikipedia.org/wiki/Termodin%C3%A2mica termodinâmico] para uma distribuição significantemente grande de temperaturas.
Como <math>g(E)</math> não depende de temperatura do sistema, se pudermos encontrá-lo para todo <math>E</math>, podemos encontrar a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_de_parti%C3%A7%C3%A3o_(mec%C3%A2nica_estat%C3%ADstica) função de partição]

<div id="pf"> <math> Z(T) = \sum_E g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

e o sistema esta essencialmente resolvido, uma vez que grande parte dos parâmetros termodinâmicos podem ser derivados de <math>Z</math>. Além disso, a amostragem de Wang-Landau é provada ser útil em diversas aplicações como o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Antiferromagnetismo antiferromagneto] de Potts
<ref>C. Yamaguchi and Y. Okabe, ‘‘Three-dimensional antiferromagnetic
q-state Potts models: application of the Wang-Landau algorithm,’’ J. Phys.
A 34, 8781– 8794 !2001"</ref>
, sistemas de spins aleatórios<ref>Y. Okabe, Y. Tomita, and C. Yamaguchi, ‘‘Application of new Monte Carlo
algorithms to random spin systems,’’ Comput. Phys. Commun. 146, 63– 68
!2002".</ref>
, sistemas [https://pt.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica quânticos]<ref>
2M. Troyer, S. Wessel, and F. Alet, ‘‘Flat histogram methods for quantum
systems: Algorithms to overcome tunneling problems and calculate the
free energy,’’ Phys. Rev. Lett. 90, 120201 !2003". </ref>, etc... .

==Descrição do algoritmo de Wang Landau==
Descreveremos o funcionamento do algoritmo de Wang-Landau num sistema de spins clássicos de 2 estados numa grade bidimensional com valores discretos de energia e sem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Campo_magn%C3%A9tico campo magnético]([https://pt.wikipedia.org/wiki/Modelo_de_Ising Modelo de Ising]2D). Portanto quando nos referirmos a <math>g(E)</math> como densidade de estados, interpretamos como o número de estados com energia E.
A amostragem de Wang-Landau faz caminhadas aleatórias no espaço de energia mudando os estados de spins aleatoriamente selecionados, porém esta mudança só é aceita com probabilidade proporcional a reciproca da densidade de estados. Durante a caminhada também se acumula o número de vezes que uma energia é visitada durante a caminhada <math>H(E)</math>, isto é, ao visitarmos a energia <math>E_1</math> faz-se a atualização da variável <math> H(E_1) \rightarrow H(E_1) + 1 </math>. Por outro lado, a atualização da densidade de estados <math>g(E_1)</math> se da por um fator multiplicativo <math>f</math> (<math> g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f </math>) controlado ao longo da simulação para que seja muito próximo de 1 ao final das caminhadas.

Podemos descrever os passos do algoritmo da seguinte maneira:
# Inicializamos as densidades de energias com <math>g(E) = 1</math> para todo <math>E</math>, da mesma forma <math>H(E) = 0</math> para todo <math>E</math>.
# Inicializamos <math>f = f_0 = e \approx 2.71828</math> e um sistema <math>L\times L</math> de spins de valor 1 e -1 aleatoriamente distribuídos.
#*O valor de <math>f</math> é arbitrário e deve ser escolhido não muito pequeno, pois irá fazer com que a simulação demore muito tempo para explorar diversas energias, por outro lado se escolhido muito grande, levará a erros estatísticos significativos.
# Começamos a caminhada inicial escolhendo aleatoriamente um dos spins e mudando o seu estado.
# Se denotamos <math>E_1</math> como a energia antes da mudança de estado do spin selecionado e <math>E_2</math> como a energia após, aceitamos este novo estado com a seguinte probabilidade: <math>P(E_1 \rightarrow E_2) = \text{min}\left(\frac{g(E_1)}{g(E_2)},1\right)</math>
#*Se aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_2) \rightarrow g(E_2) \times f</math> e <math>H(E_2) \rightarrow H(E_2) +1</math> respectivamente.
#*Se não aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f</math> e <math>H(E_1) \rightarrow H(E_1) +1</math> respectivamente, de maneira a recontar o estado <math>E_1</math>.
#*Destaca-se que em ambos os casos usamos <math>\ln(g(E)) = \rightarrow \ln(g(E)) + \ln(f)</math>, pois ao longo da simulação acabamos usando números muito grandes.
#Faz-se esta caminhada aleatória nos diferentes estados do sistema até que o histograma <math>H(E)</math> esteja aproximadamente plano.
#*O critério para decidir se um histograma está plano é arbitrário. Para um [https://pt.wikipedia.org/wiki/Hamiltoniano_(mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica) hamiltoniano] de Ising 2D este critério pode ser definido tão alto quanto 95% (i.e. todos os valores de <math>H(E)</math> devem ser pelo menos 95% de <math> \langle H(E) \rangle </math>), porém valores mais altos que isso podem resultar no programa nunca identificando o histograma como plano.
#Checa-se se <math>H(E)</math> está plano a cada 10000 passos MC. Quando está plano, podemos dizer que todos os estados foram visitados uma quantidade de vezes aproximadamente igual e a densidade de estados <math>g(E)</math> converge ao valor real com precisão da ordem de <math>f</math>. (O critério de 10000 passos é arbitrário e pode ser modificado de acordo com o propósito da simulação).
#*Um passo MC corresponde a <math>L^2 = N</math> passos.
#Reduz-se o fator <math>f</math> da seguinte maneira <math>f_1 \rightarrow \sqrt{f_0}</math>, reinicia-se o histograma <math>H(E) = 0</math> e recomeça-se a caminhada aleatória com este novo fator <math>f</math>. (Todos os parâmetros não mencionados neste passo permanecem intocados).
#Continuamos executando os passos 5-7, reduzindo o fator <math>f</math> segundo a seguinte expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math>
#Encerra-se a simulação quando <math>f_{final}</math> estiver da ordem do erro desejado.
#*Claro que <math>f_{final}</math> pode ser escolhido arbitrariamente pequeno, mas sempre com um certo limite razoável <math>(10^{-6}-10^{-8})</math>, ou a simulação pode tomar tempos não razoáveis para completar.

==Observações sobre o algoritmo==
Nesta seção discutimos algumas observações importantes a se levar em conta na implementação do método de amostragem de Wang-Landau
===Fator de modificação f===
Quando tratamos da atualização do fator <math>f</math>, a expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math> é apenas uma recomendação, uma vez que outros valores de <math>n>1</math> podem ser escolhidos para uma atualização do tipo <math>f_{i+1} = f_{i}^{(1/n)}</math>. Não obstante, <math>n = 2</math> é adequado para o sistema estudado (Ising 2D), resultando em boa acurácia em relativamente pouco tempo de simulação.

===Implementação paralela===
A simulação pode ser melhorada ainda fazendo múltiplas caminhadas aleatórias paralelamente no espaço de energias. Restringindo o alcance das caminhadas proporcionalmente com o número de caminhantes em paralelo (e.g. No caso de 2 caminhantes simultâneos, dividimos o espaço de energias em 2 e restringimos um caminhante para a metade inferior das energias, e o outro para a parte superior) e depois juntando as densidades de estados resultantes.
<ref>Vogel, Thomas, et al. "Generic, hierarchical framework for massively parallel Wang-Landau sampling." Physical review letters 110.21 (2013): 210603.</ref>

===Balanço detalhado===
A condição de balanço detalhado inicialmente não é satisfeita uma vez que <math>g(E)</math> é constantemente modificada durante a caminhada aleatória. Porém após várias iterações, a condição é satisfeita a medida que <math>f</math> se aproxima de 1. Observa-se que se <math>P(E_1 \rightarrow E_2)</math> é a probabilidade de transição da energia <math>E_1</math> para a energia <math>E_2</math>, utilizando a equação do passo 4 do algoritmo temos que:

<math>
\frac{P(E_1 \rightarrow E_2)}{P(E_2 \rightarrow E_1)} = \frac{g(E_1)}{g(E_2)}.
</math>

Podemos reescrever a equação de uma forma mais familiar

<math>
\frac{1}{g(E_1)}P(E_1 \rightarrow E_2) = \frac{1}{g(E_2)}P(E_2 \rightarrow E_1)
</math>

que é a condição de balanceamento detalhado, uma vez que interpretamos que <math>1/g(E_1)</math> como a probabilidade do sistema possuir a energia <math>E_1</math> e analogamente para <math>E_2</math>. Concluímos então que a condição de balanço detalhado é satisfeita com precisão proporcional a <math>\ln(f)</math>.
===Escalabilidade===
Quando analisamos um modelo de Ising 2D de tamanho <math>L\times L</math>, temos que o número de configurações <math>(2^N, N = L^2)</math> aumenta exponencialmente com <math>N</math>, enquanto o número de possíveis energias é por volta de <math>2N</math> e aumenta linearmente com N. Implicando que temos uma escalabilidade muito boa para as caminhadas no espaço de energia quando o objetivo é estimar <math>g(E)</math> uma vez que um aumento no tamanho da grade não implica em um aumento exponencial, mas sim linear, no tempo de execução.
===Normalização===
É necessário ressaltar que após a simulação completa, o algoritmo de Wang-Landau nos fornece apenas a densidade de estados relativa. Para extrairmos a real densidade de estados <math>g_n(E)</math> é necessário que utilizemos uma das duas condições: Que o número total de estados possíveis é <math>\sum_Eg_n(E) = Q^N</math> ou que o numero de estados fundamentais é <math>Q</math> (onde <math>Q = 2</math> para o modelo de Ising 2D pois os spins possuem apenas dois estados).

Pela primeira condição, podemos obter a densidade de estados normalizada através da equação

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[\sum_Eg(E)] + N\ln(2)</math>,

enquanto pela segunda condição temos que

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[g(E = -2N)] + \ln(2)</math>.

A segunda normalização é preferível pois garante precisão para estados de menor energia, o que é necessário para o calculo de parâmetros termodinâmicos a baixas temperaturas.

===Grandezas Termodinâmicos===
Uma vez que temos a densidade de estados, podemos calcular diversas grandezas termodinâmicos, como a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_interna energia interna] <math>U(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Calor_espec%C3%ADfico calor especifico] <math>C(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_livre_de_Helmholtz energia livre de Helmholtz] <math>F(T)</math> e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Entropia entropia] <math>S(T)</math> através das seguintes equações:
<div id="equações para parâmetros termodinâmicos">
<math>U(T) = \frac{\sum_EEg(E)e^{-E/k_BT}}{\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}}</math>

<math>C(T) = \frac{\langle E^2\rangle - \langle E\rangle^2}{k_BT^2}</math>

<math>F(T) = -k_BT\ln\left(\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}\right)</math>

<math>S(T) = \frac{U(T) - F(T)}{T}</math>
</div>
Estas grandezas dependem apenas da temperatura uma vez que já foi encontrado a densidade de estados <math>g(E)</math>, o que contorna os problemas de ''critical slowing down'' na temperatura crítica pois a simulação não precisa ser refeita para cada uma das temperaturas, por consequência também dispensa a necessidade do método de repesagem de histogramas, contornando o problema de estatística fraca nas asas dos histogramas.

==Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau==
Podemos aplicar o algoritmo de Wang-Landau para um sistema [https://pt.wikipedia.org/wiki/Ferromagnetismo#:~:text=Ferromagnetismo%20%C3%A9%20o%20mecanismo%20b%C3%A1sico,diferentes%20de%20magnetismo%20s%C3%A3o%20distinguidos. ferromagnético] 2D de Ising com interação de primeiros vizinhos e uma grade quadrada <math>L\times L</math> com [https://pt.wikipedia.org/wiki/Condi%C3%A7%C3%B5es_de_fronteira_peri%C3%B3dicas condições de contorno periódicas] no qual o hamiltoniano é dado por

<math>\mathcal{H} = -\sum_{\langle i,j\rangle}\sigma_{i}\sigma_j</math>

onde <math>\sigma_{i} = +1</math> para spin para cima, <math>\sigma_{i} = -1</math> para baixo e <math>\langle i,j\rangle</math> indica a soma entre os primeiros vizinhos.
----
Podemos calcular os erros entre os valores obtidos através da simulação e os valores exatos conhecidos para esse sistema através da seguinte expressão

<math>\epsilon{X} = \frac{|X_{sim}-X_{exato}|}{X_{exato}}</math>

----
Na Fig.1 temos a densidade de estados <math>g(E)</math> para um sistema <math>16 \times 16</math> com <math>f_{final} \sim 10^{-6}</math> e com critério para um histograma <math>H(E)</math> plano de 80%. Com esses parâmetros, a ''Google Compute Engine'' padrão para [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python3] do Google Colab realiza a simulação em <math>\sim 40s</math>.

[[Arquivo: erickStateDensity2.png|400px|thumb|center| Figura 1: Logaritmo da densidade de estados <math>\ln(g(E))</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>, há uma brusca queda na densidade de estados perto das pontas uma vez que as energias <math>-2L^2 + 4</math> e <math>2L^2 - 4</math> são inalcançáveis pelo sistema.]]

Fazendo uso da [[#equação de distribuição de probabilidade canônica]], podemos encontrar a distribuição de probabilidade das energias para uma determinada temperatura <math>T</math>. Devido a natureza do algoritmo, estas distribuições que por meios convencionais levariam tempo demasiadamente grande para ser calculado ou necessitariam de repesagem de histograma são instantaneamente calculadas com o algoritmo de Wang-Landau independentemente da temperatura. Na Fig.2 temos um exemplo das distribuições, incluindo uma próxima da temperatura critica <math>T_c</math>.

[[Arquivo: erickProbs2.png|400px|thumb|center| Figura 2: A distribuição canônica <math>P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}</math> em 3 temperaturas, incluindo a temperatura crítica <math>T_c</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>.]]

Fazendo uso das [[#equações para parâmetros termodinâmicos]], podemos calculá-los para este sistema em função da temperatura quase que instantaneamente. Estes são ilustrados nas Figs. 3,4,5,6.
<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickU2.png|400px|thumb|center| Figura 3: A Energia interna do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickC2.png|400px|thumb|center| Figura 4: O Calor Específico do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o pico se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickF2.png|400px|thumb|center| Figura 5: A Energia Livre do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o começo da queda se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickS2.png|400px|thumb|center| Figura 6: A Entropia do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
</ul></div>

==Código do Exemplo==
[[Exemplo de código para a amostragem de Wang-Landau em Python3]]

==Referências==
<references />

Amostragem de Wang-Landau

2022-10-19T04:14:27Z

Erickc: /* Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau */

O [https://pt.wikipedia.org/wiki/Algoritmo algoritmo] de amostragem de Wang-Landau é um método de amostragem para simulações de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo Monte Carlo] introduzido por F. Wang and D. P. Landau em 2001
<ref>F. Wang and D. P. Landau, ‘‘Efficient, multiple-range random walk algorithm to calculate the density of states,’’ Phys. Rev. Lett. 86, 2050–2053
!2001"; ‘‘Determining the density of states for classical statistical models:
A random walk algorithm to produce a flat histogram,’’ Phys. Rev. E 64,
056101 !2001".
</ref>
(com uma versão didática publicada em 2004 por D.P Landau, Shan-Ho Tsai e M. Exlerem),
<ref>Landau, D. P., Shan-Ho Tsai, and M. Exler. "A new approach to Monte Carlo simulations in statistical physics: Wang-Landau sampling." American Journal of Physics 72.10 (2004): 1294-1302.</ref>
que apresenta diversas vantagens sobre outros métodos para sistemas de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Spin spins]. Dentre eles podemos citar o algoritmo de Metropolis
<ref>N. Metropolis, A. W. Rosenbluth, M. N. Rosenbluth, A. H. Teller, and E.
Teller, ‘‘Equation of state calculations by fast computing machines,’’ J.
Chem. Phys. 21, 1087–1092 !1953".</ref>
, o algoritmo de ''clustering'' de Wolff
<ref>U. Wolff, ‘‘Collective Monte Carlo updating for spin systems,’’ Phys. Rev.
Lett. 62, 361–364 !1989".</ref>
, ou em um modelamento de ''ensamble'' multi-canônico
<ref>B. A. Berg and T. Neuhaus, ‘‘Multicanonical ensemble: A new approach to
simulate first-order phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 68, 9–12 !1992"</ref>
. Nestes dois últimos métodos são utilizados métodos de repesagem de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Histograma histogramas]<ref>
A. M. Ferrenberg and R. H. Swendsen, ‘‘New Monte Carlo technique for
studying phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 61, 2635–2638 !1988"; ‘‘Optimized Monte Carlo data analysis,’’ ibid. 63, 1195–1198 !1989".</ref>
que são limitados em sistemas grandes devido as baixa qualidade estatística nas asas do histograma.
Dentro deste contexto, o algoritmo Wang-Landau promete resolver problemas encontrados em amostragens convencionais como o ''critical slowing down'' para temperaturas próximas da temperatura crítica <math>T_c</math> utilizando-se de caminhadas aleatórias controladas para mapear a densidade de estados <math>g(E)</math> de um sistema, sem depender do método de repesagem de histogramas.

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A maioria dos algoritmos de amostragem convencionais geram uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_can%C3%B3nico distribuição canônica] não normalizada

<div id="equação de distribuição de probabilidade canônica"> <math> P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

para uma determinada temperatura <math>T</math>, Geralmente estas distribuições são estreitas e se faz necessário múltiplas simulações para obter algum parâmetro [https://pt.wikipedia.org/wiki/Termodin%C3%A2mica termodinâmico] para uma distribuição significantemente grande de temperaturas.
Como <math>g(E)</math> não depende de temperatura do sistema, se pudermos encontrá-lo para todo <math>E</math>, podemos encontrar a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_de_parti%C3%A7%C3%A3o_(mec%C3%A2nica_estat%C3%ADstica) função de partição]

<div id="pf"> <math> Z(T) = \sum_E g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

e o sistema esta essencialmente resolvido, uma vez que grande parte dos parâmetros termodinâmicos podem ser derivados de <math>Z</math>. Além disso, a amostragem de Wang-Landau é provada ser útil em diversas aplicações como o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Antiferromagnetismo antiferromagneto] de Potts
<ref>C. Yamaguchi and Y. Okabe, ‘‘Three-dimensional antiferromagnetic
q-state Potts models: application of the Wang-Landau algorithm,’’ J. Phys.
A 34, 8781– 8794 !2001"</ref>
, sistemas de spins aleatórios<ref>Y. Okabe, Y. Tomita, and C. Yamaguchi, ‘‘Application of new Monte Carlo
algorithms to random spin systems,’’ Comput. Phys. Commun. 146, 63– 68
!2002".</ref>
, sistemas [https://pt.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica quânticos]<ref>
2M. Troyer, S. Wessel, and F. Alet, ‘‘Flat histogram methods for quantum
systems: Algorithms to overcome tunneling problems and calculate the
free energy,’’ Phys. Rev. Lett. 90, 120201 !2003". </ref>, etc... .

==Descrição do algoritmo de Wang Landau==
Descreveremos o funcionamento do algoritmo de Wang-Landau num sistema de spins clássicos de 2 estados numa grade bidimensional com valores discretos de energia e sem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Campo_magn%C3%A9tico campo magnético]([https://pt.wikipedia.org/wiki/Modelo_de_Ising Modelo de Ising]2D). Portanto quando nos referirmos a <math>g(E)</math> como densidade de estados, interpretamos como o número de estados com energia E.
A amostragem de Wang-Landau faz caminhadas aleatórias no espaço de energia mudando os estados de spins aleatoriamente selecionados, porém esta mudança só é aceita com probabilidade proporcional a reciproca da densidade de estados. Durante a caminhada também se acumula o número de vezes que uma energia é visitada durante a caminhada <math>H(E)</math>, isto é, ao visitarmos a energia <math>E_1</math> faz-se a atualização da variável <math> H(E_1) \rightarrow H(E_1) + 1 </math>. Por outro lado, a atualização da densidade de estados <math>g(E_1)</math> se da por um fator multiplicativo <math>f</math> (<math> g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f </math>) controlado ao longo da simulação para que seja muito próximo de 1 ao final das caminhadas.

Podemos descrever os passos do algoritmo da seguinte maneira:
# Inicializamos as densidades de energias com <math>g(E) = 1</math> para todo <math>E</math>, da mesma forma <math>H(E) = 0</math> para todo <math>E</math>.
# Inicializamos <math>f = f_0 = e \approx 2.71828</math> e um sistema <math>L\times L</math> de spins de valor 1 e -1 aleatoriamente distribuídos.
#*O valor de <math>f</math> é arbitrário e deve ser escolhido não muito pequeno, pois irá fazer com que a simulação demore muito tempo para explorar diversas energias, por outro lado se escolhido muito grande, levará a erros estatísticos significativos.
# Começamos a caminhada inicial escolhendo aleatoriamente um dos spins e mudando o seu estado.
# Se denotamos <math>E_1</math> como a energia antes da mudança de estado do spin selecionado e <math>E_2</math> como a energia após, aceitamos este novo estado com a seguinte probabilidade: <math>P(E_1 \rightarrow E_2) = \text{min}\left(\frac{g(E_1)}{g(E_2)},1\right)</math>
#*Se aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_2) \rightarrow g(E_2) \times f</math> e <math>H(E_2) \rightarrow H(E_2) +1</math> respectivamente.
#*Se não aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f</math> e <math>H(E_1) \rightarrow H(E_1) +1</math> respectivamente, de maneira a recontar o estado <math>E_1</math>.
#*Destaca-se que em ambos os casos usamos <math>\ln(g(E)) = \rightarrow \ln(g(E)) + \ln(f)</math>, pois ao longo da simulação acabamos usando números muito grandes.
#Faz-se esta caminhada aleatória nos diferentes estados do sistema até que o histograma <math>H(E)</math> esteja aproximadamente plano.
#*O critério para decidir se um histograma está plano é arbitrário. Para um [https://pt.wikipedia.org/wiki/Hamiltoniano_(mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica) hamiltoniano] de Ising 2D este critério pode ser definido tão alto quanto 95% (i.e. todos os valores de <math>H(E)</math> devem ser pelo menos 95% de <math> \langle H(E) \rangle </math>), porém valores mais altos que isso podem resultar no programa nunca identificando o histograma como plano.
#Checa-se se <math>H(E)</math> está plano a cada 10000 passos MC. Quando está plano, podemos dizer que todos os estados foram visitados uma quantidade de vezes aproximadamente igual e a densidade de estados <math>g(E)</math> converge ao valor real com precisão da ordem de <math>f</math>. (O critério de 10000 passos é arbitrário e pode ser modificado de acordo com o propósito da simulação).
#*Um passo MC corresponde a <math>L^2 = N</math> passos.
#Reduz-se o fator <math>f</math> da seguinte maneira <math>f_1 \rightarrow \sqrt{f_0}</math>, reinicia-se o histograma <math>H(E) = 0</math> e recomeça-se a caminhada aleatória com este novo fator <math>f</math>. (Todos os parâmetros não mencionados neste passo permanecem intocados).
#Continuamos executando os passos 5-7, reduzindo o fator <math>f</math> segundo a seguinte expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math>
#Encerra-se a simulação quando <math>f_{final}</math> estiver da ordem do erro desejado.
#*Claro que <math>f_{final}</math> pode ser escolhido arbitrariamente pequeno, mas sempre com um certo limite razoável <math>(10^{-6}-10^{-8})</math>, ou a simulação pode tomar tempos não razoáveis para completar.

==Observações sobre o algoritmo==
Nesta seção discutimos algumas observações importantes a se levar em conta na implementação do método de amostragem de Wang-Landau
===Fator de modificação f===
Quando tratamos da atualização do fator <math>f</math>, a expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math> é apenas uma recomendação, uma vez que outros valores de <math>n>1</math> podem ser escolhidos para uma atualização do tipo <math>f_{i+1} = f_{i}^{(1/n)}</math>. Não obstante, <math>n = 2</math> é adequado para o sistema estudado (Ising 2D), resultando em boa acurácia em relativamente pouco tempo de simulação.

===Implementação paralela===
A simulação pode ser melhorada ainda fazendo múltiplas caminhadas aleatórias paralelamente no espaço de energias. Restringindo o alcance das caminhadas proporcionalmente com o número de caminhantes em paralelo (e.g. No caso de 2 caminhantes simultâneos, dividimos o espaço de energias em 2 e restringimos um caminhante para a metade inferior das energias, e o outro para a parte superior) e depois juntando as densidades de estados resultantes.
<ref>Vogel, Thomas, et al. "Generic, hierarchical framework for massively parallel Wang-Landau sampling." Physical review letters 110.21 (2013): 210603.</ref>

===Balanço detalhado===
A condição de balanço detalhado inicialmente não é satisfeita uma vez que <math>g(E)</math> é constantemente modificada durante a caminhada aleatória. Porém após várias iterações, a condição é satisfeita a medida que <math>f</math> se aproxima de 1. Observa-se que se <math>P(E_1 \rightarrow E_2)</math> é a probabilidade de transição da energia <math>E_1</math> para a energia <math>E_2</math>, utilizando a equação do passo 4 do algoritmo temos que:

<math>
\frac{P(E_1 \rightarrow E_2)}{P(E_2 \rightarrow E_1)} = \frac{g(E_1)}{g(E_2)}.
</math>

Podemos reescrever a equação de uma forma mais familiar

<math>
\frac{1}{g(E_1)}P(E_1 \rightarrow E_2) = \frac{1}{g(E_2)}P(E_2 \rightarrow E_1)
</math>

que é a condição de balanceamento detalhado, uma vez que interpretamos que <math>1/g(E_1)</math> como a probabilidade do sistema possuir a energia <math>E_1</math> e analogamente para <math>E_2</math>. Concluímos então que a condição de balanço detalhado é satisfeita com precisão proporcional a <math>\ln(f)</math>.
===Escalabilidade===
Quando analisamos um modelo de Ising 2D de tamanho <math>L\times L</math>, temos que o número de configurações <math>(2^N, N = L^2)</math> aumenta exponencialmente com <math>N</math>, enquanto o número de possíveis energias é por volta de <math>2N</math> e aumenta linearmente com N. Implicando que temos uma escalabilidade muito boa para as caminhadas no espaço de energia quando o objetivo é estimar <math>g(E)</math> uma vez que um aumento no tamanho da grade não implica em um aumento exponencial, mas sim linear, no tempo de execução.
===Normalização===
É necessário ressaltar que após a simulação completa, o algoritmo de Wang-Landau nos fornece apenas a densidade de estados relativa. Para extrairmos a real densidade de estados <math>g_n(E)</math> é necessário que utilizemos uma das duas condições: Que o número total de estados possíveis é <math>\sum_Eg_n(E) = Q^N</math> ou que o numero de estados fundamentais é <math>Q</math> (onde <math>Q = 2</math> para o modelo de Ising 2D pois os spins possuem apenas dois estados).

Pela primeira condição, podemos obter a densidade de estados normalizada através da equação

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[\sum_Eg(E)] + N\ln(2)</math>,

enquanto pela segunda condição temos que

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[g(E = -2N)] + \ln(2)</math>.

A segunda normalização é preferível pois garante precisão para estados de menor energia, o que é necessário para o calculo de parâmetros termodinâmicos a baixas temperaturas.

===Grandezas Termodinâmicos===
Uma vez que temos a densidade de estados, podemos calcular diversas grandezas termodinâmicos, como a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_interna energia interna] <math>U(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Calor_espec%C3%ADfico calor especifico] <math>C(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_livre_de_Helmholtz energia livre de Helmholtz] <math>F(T)</math> e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Entropia entropia] <math>S(T)</math> através das seguintes equações:
<div id="equações para parâmetros termodinâmicos">
<math>U(T) = \frac{\sum_EEg(E)e^{-E/k_BT}}{\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}}</math>

<math>C(T) = \frac{\langle E^2\rangle - \langle E\rangle^2}{k_BT^2}</math>

<math>F(T) = -k_BT\ln\left(\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}\right)</math>

<math>S(T) = \frac{U(T) - F(T)}{T}</math>
</div>
Estas grandezas dependem apenas da temperatura uma vez que já foi encontrado a densidade de estados <math>g(E)</math>, o que contorna os problemas de ''critical slowing down'' na temperatura crítica pois a simulação não precisa ser refeita para cada uma das temperaturas, por consequência também dispensa a necessidade do método de repesagem de histogramas, contornando o problema de estatística fraca nas asas dos histogramas.

==Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau==
Podemos aplicar o algoritmo de Wang-Landau para um sistema [https://pt.wikipedia.org/wiki/Ferromagnetismo#:~:text=Ferromagnetismo%20%C3%A9%20o%20mecanismo%20b%C3%A1sico,diferentes%20de%20magnetismo%20s%C3%A3o%20distinguidos. ferromagnético] 2D de Ising com interação de primeiros vizinhos e uma grade quadrada <math>L\times L</math> com [https://pt.wikipedia.org/wiki/Condi%C3%A7%C3%B5es_de_fronteira_peri%C3%B3dicas condições de contorno periódicas] no qual o hamiltoniano é dado por

<math>\mathcal{H} = -\sum_{\langle i,j\rangle}\sigma_{i}\sigma_j</math>

onde <math>\sigma_{i} = +1</math> para spin para cima, <math>\sigma_{i} = -1</math> para baixo e <math>\langle i,j\rangle</math> indica a soma entre os primeiros vizinhos.
----
Podemos calcular os erros entre os valores obtidos através da simulação e os valores exatos conhecidos para esse sistema através da seguinte expressão]
<math>\epsilon{X} = \frac{|X_{sim}-X_{exato}|}{X_{exato}}</math>
----
Na Fig.1 temos a densidade de estados <math>g(E)</math> para um sistema <math>16 \times 16</math> com <math>f_{final} \sim 10^{-6}</math> e com critério para um histograma <math>H(E)</math> plano de 80%. Com esses parâmetros, a ''Google Compute Engine'' padrão para [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python3] do Google Colab realiza a simulação em <math>\sim 40s</math>.

[[Arquivo: erickStateDensity2.png|400px|thumb|center| Figura 1: Logaritmo da densidade de estados <math>\ln(g(E))</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>, há uma brusca queda na densidade de estados perto das pontas uma vez que as energias <math>-2L^2 + 4</math> e <math>2L^2 - 4</math> são inalcançáveis pelo sistema.]]

Fazendo uso da [[#equação de distribuição de probabilidade canônica]], podemos encontrar a distribuição de probabilidade das energias para uma determinada temperatura <math>T</math>. Devido a natureza do algoritmo, estas distribuições que por meios convencionais levariam tempo demasiadamente grande para ser calculado ou necessitariam de repesagem de histograma são instantaneamente calculadas com o algoritmo de Wang-Landau independentemente da temperatura. Na Fig.2 temos um exemplo das distribuições, incluindo uma próxima da temperatura critica <math>T_c</math>.

[[Arquivo: erickProbs2.png|400px|thumb|center| Figura 2: A distribuição canônica <math>P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}</math> em 3 temperaturas, incluindo a temperatura crítica <math>T_c</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>.]]

Fazendo uso das [[#equações para parâmetros termodinâmicos]], podemos calculá-los para este sistema em função da temperatura quase que instantaneamente. Estes são ilustrados nas Figs. 3,4,5,6.
<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickU2.png|400px|thumb|center| Figura 3: A Energia interna do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickC2.png|400px|thumb|center| Figura 4: O Calor Específico do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o pico se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickF2.png|400px|thumb|center| Figura 5: A Energia Livre do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o começo da queda se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickS2.png|400px|thumb|center| Figura 6: A Entropia do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
</ul></div>

==Código do Exemplo==
[[Exemplo de código para a amostragem de Wang-Landau em Python3]]

==Referências==
<references />

Amostragem de Wang-Landau

2022-10-19T04:09:05Z

Erickc: /* Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau */

O [https://pt.wikipedia.org/wiki/Algoritmo algoritmo] de amostragem de Wang-Landau é um método de amostragem para simulações de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo Monte Carlo] introduzido por F. Wang and D. P. Landau em 2001
<ref>F. Wang and D. P. Landau, ‘‘Efficient, multiple-range random walk algorithm to calculate the density of states,’’ Phys. Rev. Lett. 86, 2050–2053
!2001"; ‘‘Determining the density of states for classical statistical models:
A random walk algorithm to produce a flat histogram,’’ Phys. Rev. E 64,
056101 !2001".
</ref>
(com uma versão didática publicada em 2004 por D.P Landau, Shan-Ho Tsai e M. Exlerem),
<ref>Landau, D. P., Shan-Ho Tsai, and M. Exler. "A new approach to Monte Carlo simulations in statistical physics: Wang-Landau sampling." American Journal of Physics 72.10 (2004): 1294-1302.</ref>
que apresenta diversas vantagens sobre outros métodos para sistemas de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Spin spins]. Dentre eles podemos citar o algoritmo de Metropolis
<ref>N. Metropolis, A. W. Rosenbluth, M. N. Rosenbluth, A. H. Teller, and E.
Teller, ‘‘Equation of state calculations by fast computing machines,’’ J.
Chem. Phys. 21, 1087–1092 !1953".</ref>
, o algoritmo de ''clustering'' de Wolff
<ref>U. Wolff, ‘‘Collective Monte Carlo updating for spin systems,’’ Phys. Rev.
Lett. 62, 361–364 !1989".</ref>
, ou em um modelamento de ''ensamble'' multi-canônico
<ref>B. A. Berg and T. Neuhaus, ‘‘Multicanonical ensemble: A new approach to
simulate first-order phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 68, 9–12 !1992"</ref>
. Nestes dois últimos métodos são utilizados métodos de repesagem de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Histograma histogramas]<ref>
A. M. Ferrenberg and R. H. Swendsen, ‘‘New Monte Carlo technique for
studying phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 61, 2635–2638 !1988"; ‘‘Optimized Monte Carlo data analysis,’’ ibid. 63, 1195–1198 !1989".</ref>
que são limitados em sistemas grandes devido as baixa qualidade estatística nas asas do histograma.
Dentro deste contexto, o algoritmo Wang-Landau promete resolver problemas encontrados em amostragens convencionais como o ''critical slowing down'' para temperaturas próximas da temperatura crítica <math>T_c</math> utilizando-se de caminhadas aleatórias controladas para mapear a densidade de estados <math>g(E)</math> de um sistema, sem depender do método de repesagem de histogramas.

----

A maioria dos algoritmos de amostragem convencionais geram uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_can%C3%B3nico distribuição canônica] não normalizada

<div id="equação de distribuição de probabilidade canônica"> <math> P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

para uma determinada temperatura <math>T</math>, Geralmente estas distribuições são estreitas e se faz necessário múltiplas simulações para obter algum parâmetro [https://pt.wikipedia.org/wiki/Termodin%C3%A2mica termodinâmico] para uma distribuição significantemente grande de temperaturas.
Como <math>g(E)</math> não depende de temperatura do sistema, se pudermos encontrá-lo para todo <math>E</math>, podemos encontrar a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_de_parti%C3%A7%C3%A3o_(mec%C3%A2nica_estat%C3%ADstica) função de partição]

<div id="pf"> <math> Z(T) = \sum_E g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

e o sistema esta essencialmente resolvido, uma vez que grande parte dos parâmetros termodinâmicos podem ser derivados de <math>Z</math>. Além disso, a amostragem de Wang-Landau é provada ser útil em diversas aplicações como o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Antiferromagnetismo antiferromagneto] de Potts
<ref>C. Yamaguchi and Y. Okabe, ‘‘Three-dimensional antiferromagnetic
q-state Potts models: application of the Wang-Landau algorithm,’’ J. Phys.
A 34, 8781– 8794 !2001"</ref>
, sistemas de spins aleatórios<ref>Y. Okabe, Y. Tomita, and C. Yamaguchi, ‘‘Application of new Monte Carlo
algorithms to random spin systems,’’ Comput. Phys. Commun. 146, 63– 68
!2002".</ref>
, sistemas [https://pt.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica quânticos]<ref>
2M. Troyer, S. Wessel, and F. Alet, ‘‘Flat histogram methods for quantum
systems: Algorithms to overcome tunneling problems and calculate the
free energy,’’ Phys. Rev. Lett. 90, 120201 !2003". </ref>, etc... .

==Descrição do algoritmo de Wang Landau==
Descreveremos o funcionamento do algoritmo de Wang-Landau num sistema de spins clássicos de 2 estados numa grade bidimensional com valores discretos de energia e sem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Campo_magn%C3%A9tico campo magnético]([https://pt.wikipedia.org/wiki/Modelo_de_Ising Modelo de Ising]2D). Portanto quando nos referirmos a <math>g(E)</math> como densidade de estados, interpretamos como o número de estados com energia E.
A amostragem de Wang-Landau faz caminhadas aleatórias no espaço de energia mudando os estados de spins aleatoriamente selecionados, porém esta mudança só é aceita com probabilidade proporcional a reciproca da densidade de estados. Durante a caminhada também se acumula o número de vezes que uma energia é visitada durante a caminhada <math>H(E)</math>, isto é, ao visitarmos a energia <math>E_1</math> faz-se a atualização da variável <math> H(E_1) \rightarrow H(E_1) + 1 </math>. Por outro lado, a atualização da densidade de estados <math>g(E_1)</math> se da por um fator multiplicativo <math>f</math> (<math> g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f </math>) controlado ao longo da simulação para que seja muito próximo de 1 ao final das caminhadas.

Podemos descrever os passos do algoritmo da seguinte maneira:
# Inicializamos as densidades de energias com <math>g(E) = 1</math> para todo <math>E</math>, da mesma forma <math>H(E) = 0</math> para todo <math>E</math>.
# Inicializamos <math>f = f_0 = e \approx 2.71828</math> e um sistema <math>L\times L</math> de spins de valor 1 e -1 aleatoriamente distribuídos.
#*O valor de <math>f</math> é arbitrário e deve ser escolhido não muito pequeno, pois irá fazer com que a simulação demore muito tempo para explorar diversas energias, por outro lado se escolhido muito grande, levará a erros estatísticos significativos.
# Começamos a caminhada inicial escolhendo aleatoriamente um dos spins e mudando o seu estado.
# Se denotamos <math>E_1</math> como a energia antes da mudança de estado do spin selecionado e <math>E_2</math> como a energia após, aceitamos este novo estado com a seguinte probabilidade: <math>P(E_1 \rightarrow E_2) = \text{min}\left(\frac{g(E_1)}{g(E_2)},1\right)</math>
#*Se aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_2) \rightarrow g(E_2) \times f</math> e <math>H(E_2) \rightarrow H(E_2) +1</math> respectivamente.
#*Se não aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f</math> e <math>H(E_1) \rightarrow H(E_1) +1</math> respectivamente, de maneira a recontar o estado <math>E_1</math>.
#*Destaca-se que em ambos os casos usamos <math>\ln(g(E)) = \rightarrow \ln(g(E)) + \ln(f)</math>, pois ao longo da simulação acabamos usando números muito grandes.
#Faz-se esta caminhada aleatória nos diferentes estados do sistema até que o histograma <math>H(E)</math> esteja aproximadamente plano.
#*O critério para decidir se um histograma está plano é arbitrário. Para um [https://pt.wikipedia.org/wiki/Hamiltoniano_(mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica) hamiltoniano] de Ising 2D este critério pode ser definido tão alto quanto 95% (i.e. todos os valores de <math>H(E)</math> devem ser pelo menos 95% de <math> \langle H(E) \rangle </math>), porém valores mais altos que isso podem resultar no programa nunca identificando o histograma como plano.
#Checa-se se <math>H(E)</math> está plano a cada 10000 passos MC. Quando está plano, podemos dizer que todos os estados foram visitados uma quantidade de vezes aproximadamente igual e a densidade de estados <math>g(E)</math> converge ao valor real com precisão da ordem de <math>f</math>. (O critério de 10000 passos é arbitrário e pode ser modificado de acordo com o propósito da simulação).
#*Um passo MC corresponde a <math>L^2 = N</math> passos.
#Reduz-se o fator <math>f</math> da seguinte maneira <math>f_1 \rightarrow \sqrt{f_0}</math>, reinicia-se o histograma <math>H(E) = 0</math> e recomeça-se a caminhada aleatória com este novo fator <math>f</math>. (Todos os parâmetros não mencionados neste passo permanecem intocados).
#Continuamos executando os passos 5-7, reduzindo o fator <math>f</math> segundo a seguinte expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math>
#Encerra-se a simulação quando <math>f_{final}</math> estiver da ordem do erro desejado.
#*Claro que <math>f_{final}</math> pode ser escolhido arbitrariamente pequeno, mas sempre com um certo limite razoável <math>(10^{-6}-10^{-8})</math>, ou a simulação pode tomar tempos não razoáveis para completar.

==Observações sobre o algoritmo==
Nesta seção discutimos algumas observações importantes a se levar em conta na implementação do método de amostragem de Wang-Landau
===Fator de modificação f===
Quando tratamos da atualização do fator <math>f</math>, a expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math> é apenas uma recomendação, uma vez que outros valores de <math>n>1</math> podem ser escolhidos para uma atualização do tipo <math>f_{i+1} = f_{i}^{(1/n)}</math>. Não obstante, <math>n = 2</math> é adequado para o sistema estudado (Ising 2D), resultando em boa acurácia em relativamente pouco tempo de simulação.

===Implementação paralela===
A simulação pode ser melhorada ainda fazendo múltiplas caminhadas aleatórias paralelamente no espaço de energias. Restringindo o alcance das caminhadas proporcionalmente com o número de caminhantes em paralelo (e.g. No caso de 2 caminhantes simultâneos, dividimos o espaço de energias em 2 e restringimos um caminhante para a metade inferior das energias, e o outro para a parte superior) e depois juntando as densidades de estados resultantes.
<ref>Vogel, Thomas, et al. "Generic, hierarchical framework for massively parallel Wang-Landau sampling." Physical review letters 110.21 (2013): 210603.</ref>

===Balanço detalhado===
A condição de balanço detalhado inicialmente não é satisfeita uma vez que <math>g(E)</math> é constantemente modificada durante a caminhada aleatória. Porém após várias iterações, a condição é satisfeita a medida que <math>f</math> se aproxima de 1. Observa-se que se <math>P(E_1 \rightarrow E_2)</math> é a probabilidade de transição da energia <math>E_1</math> para a energia <math>E_2</math>, utilizando a equação do passo 4 do algoritmo temos que:

<math>
\frac{P(E_1 \rightarrow E_2)}{P(E_2 \rightarrow E_1)} = \frac{g(E_1)}{g(E_2)}.
</math>

Podemos reescrever a equação de uma forma mais familiar

<math>
\frac{1}{g(E_1)}P(E_1 \rightarrow E_2) = \frac{1}{g(E_2)}P(E_2 \rightarrow E_1)
</math>

que é a condição de balanceamento detalhado, uma vez que interpretamos que <math>1/g(E_1)</math> como a probabilidade do sistema possuir a energia <math>E_1</math> e analogamente para <math>E_2</math>. Concluímos então que a condição de balanço detalhado é satisfeita com precisão proporcional a <math>\ln(f)</math>.
===Escalabilidade===
Quando analisamos um modelo de Ising 2D de tamanho <math>L\times L</math>, temos que o número de configurações <math>(2^N, N = L^2)</math> aumenta exponencialmente com <math>N</math>, enquanto o número de possíveis energias é por volta de <math>2N</math> e aumenta linearmente com N. Implicando que temos uma escalabilidade muito boa para as caminhadas no espaço de energia quando o objetivo é estimar <math>g(E)</math> uma vez que um aumento no tamanho da grade não implica em um aumento exponencial, mas sim linear, no tempo de execução.
===Normalização===
É necessário ressaltar que após a simulação completa, o algoritmo de Wang-Landau nos fornece apenas a densidade de estados relativa. Para extrairmos a real densidade de estados <math>g_n(E)</math> é necessário que utilizemos uma das duas condições: Que o número total de estados possíveis é <math>\sum_Eg_n(E) = Q^N</math> ou que o numero de estados fundamentais é <math>Q</math> (onde <math>Q = 2</math> para o modelo de Ising 2D pois os spins possuem apenas dois estados).

Pela primeira condição, podemos obter a densidade de estados normalizada através da equação

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[\sum_Eg(E)] + N\ln(2)</math>,

enquanto pela segunda condição temos que

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[g(E = -2N)] + \ln(2)</math>.

A segunda normalização é preferível pois garante precisão para estados de menor energia, o que é necessário para o calculo de parâmetros termodinâmicos a baixas temperaturas.

===Grandezas Termodinâmicos===
Uma vez que temos a densidade de estados, podemos calcular diversas grandezas termodinâmicos, como a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_interna energia interna] <math>U(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Calor_espec%C3%ADfico calor especifico] <math>C(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_livre_de_Helmholtz energia livre de Helmholtz] <math>F(T)</math> e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Entropia entropia] <math>S(T)</math> através das seguintes equações:
<div id="equações para parâmetros termodinâmicos">
<math>U(T) = \frac{\sum_EEg(E)e^{-E/k_BT}}{\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}}</math>

<math>C(T) = \frac{\langle E^2\rangle - \langle E\rangle^2}{k_BT^2}</math>

<math>F(T) = -k_BT\ln\left(\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}\right)</math>

<math>S(T) = \frac{U(T) - F(T)}{T}</math>
</div>
Estas grandezas dependem apenas da temperatura uma vez que já foi encontrado a densidade de estados <math>g(E)</math>, o que contorna os problemas de ''critical slowing down'' na temperatura crítica pois a simulação não precisa ser refeita para cada uma das temperaturas, por consequência também dispensa a necessidade do método de repesagem de histogramas, contornando o problema de estatística fraca nas asas dos histogramas.

==Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau==
Podemos aplicar o algoritmo de Wang-Landau para um sistema [https://pt.wikipedia.org/wiki/Ferromagnetismo#:~:text=Ferromagnetismo%20%C3%A9%20o%20mecanismo%20b%C3%A1sico,diferentes%20de%20magnetismo%20s%C3%A3o%20distinguidos. ferromagnético] 2D de Ising com interação de primeiros vizinhos e uma grade quadrada <math>L\times L</math> com [https://pt.wikipedia.org/wiki/Condi%C3%A7%C3%B5es_de_fronteira_peri%C3%B3dicas condições de contorno periódicas] no qual o hamiltoniano é dado por

<math>\mathcal{H} = -\sum_{\langle i,j\rangle}\sigma_{i}\sigma_j</math>

onde <math>\sigma_{i} = +1</math> para spin para cima, <math>\sigma_{i} = -1</math> para baixo e <math>\langle i,j\rangle</math> indica a soma entre os primeiros vizinhos. Na Fig.1 temos a densidade de estados <math>g(E)</math> para um sistema <math>16 \times 16</math> com <math>f_{final} \sim 10^{-6}</math> e com critério para um histograma <math>H(E)</math> plano de 80%. Com esses parâmetros, a ''Google Compute Engine'' padrão para [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python3] do Google Colab realiza a simulação em <math>\sim 40s</math>.

[[Arquivo: erickStateDensity2.png|400px|thumb|center| Figura 1: Logaritmo da densidade de estados <math>\ln(g(E))</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>, há uma brusca queda na densidade de estados perto das pontas uma vez que as energias <math>-2L^2 + 4</math> e <math>2L^2 - 4</math> são inalcançáveis pelo sistema.]]

Fazendo uso da [[#equação de distribuição de probabilidade canônica]], podemos encontrar a distribuição de probabilidade das energias para uma determinada temperatura <math>T</math>. Devido a natureza do algoritmo, estas distribuições que por meios convencionais levariam tempo demasiadamente grande para ser calculado ou necessitariam de repesagem de histograma são instantaneamente calculadas com o algoritmo de Wang-Landau independentemente da temperatura. Na Fig.2 temos um exemplo das distribuições, incluindo uma próxima da temperatura critica <math>T_c</math>.

[[Arquivo: erickProbs2.png|400px|thumb|center| Figura 2: A distribuição canônica <math>P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}</math> em 3 temperaturas, incluindo a temperatura crítica <math>T_c</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>.]]

Fazendo uso das [[#equações para parâmetros termodinâmicos]], podemos calculá-los para este sistema em função da temperatura quase que instantaneamente. Estes são ilustrados nas Figs. 3,4,5,6.
<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickU2.png|400px|thumb|center| Figura 3: A Energia interna do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickC2.png|400px|thumb|center| Figura 4: O Calor Específico do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o pico se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickF2.png|400px|thumb|center| Figura 5: A Energia Livre do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o começo da queda se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickS2.png|400px|thumb|center| Figura 6: A Entropia do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
</ul></div>

==Código do Exemplo==
[[Exemplo de código para a amostragem de Wang-Landau em Python3]]

==Referências==
<references />

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Amostragem de Wang-Landau

2022-10-19T01:10:18Z

Erickc: /* Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau */

O [https://pt.wikipedia.org/wiki/Algoritmo algoritmo] de amostragem de Wang-Landau é um método de amostragem para simulações de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo Monte Carlo] introduzido por F. Wang and D. P. Landau em 2001
<ref>F. Wang and D. P. Landau, ‘‘Efficient, multiple-range random walk algorithm to calculate the density of states,’’ Phys. Rev. Lett. 86, 2050–2053
!2001"; ‘‘Determining the density of states for classical statistical models:
A random walk algorithm to produce a flat histogram,’’ Phys. Rev. E 64,
056101 !2001".
</ref>
(com uma versão didática publicada em 2004 por D.P Landau, Shan-Ho Tsai e M. Exlerem),
<ref>Landau, D. P., Shan-Ho Tsai, and M. Exler. "A new approach to Monte Carlo simulations in statistical physics: Wang-Landau sampling." American Journal of Physics 72.10 (2004): 1294-1302.</ref>
que apresenta diversas vantagens sobre outros métodos para sistemas de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Spin spins]. Dentre eles podemos citar o algoritmo de Metropolis
<ref>N. Metropolis, A. W. Rosenbluth, M. N. Rosenbluth, A. H. Teller, and E.
Teller, ‘‘Equation of state calculations by fast computing machines,’’ J.
Chem. Phys. 21, 1087–1092 !1953".</ref>
, o algoritmo de ''clustering'' de Wolff
<ref>U. Wolff, ‘‘Collective Monte Carlo updating for spin systems,’’ Phys. Rev.
Lett. 62, 361–364 !1989".</ref>
, ou em um modelamento de ''ensamble'' multi-canônico
<ref>B. A. Berg and T. Neuhaus, ‘‘Multicanonical ensemble: A new approach to
simulate first-order phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 68, 9–12 !1992"</ref>
. Nestes dois últimos métodos são utilizados métodos de repesagem de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Histograma histogramas]<ref>
A. M. Ferrenberg and R. H. Swendsen, ‘‘New Monte Carlo technique for
studying phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 61, 2635–2638 !1988"; ‘‘Optimized Monte Carlo data analysis,’’ ibid. 63, 1195–1198 !1989".</ref>
que são limitados em sistemas grandes devido as baixa qualidade estatística nas asas do histograma.
Dentro deste contexto, o algoritmo Wang-Landau promete resolver problemas encontrados em amostragens convencionais como o ''critical slowing down'' para temperaturas próximas da temperatura crítica <math>T_c</math> utilizando-se de caminhadas aleatórias controladas para mapear a densidade de estados <math>g(E)</math> de um sistema, sem depender do método de repesagem de histogramas.

----

A maioria dos algoritmos de amostragem convencionais geram uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_can%C3%B3nico distribuição canônica] não normalizada

<div id="equação de distribuição de probabilidade canônica"> <math> P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

para uma determinada temperatura <math>T</math>, Geralmente estas distribuições são estreitas e se faz necessário múltiplas simulações para obter algum parâmetro [https://pt.wikipedia.org/wiki/Termodin%C3%A2mica termodinâmico] para uma distribuição significantemente grande de temperaturas.
Como <math>g(E)</math> não depende de temperatura do sistema, se pudermos encontrá-lo para todo <math>E</math>, podemos encontrar a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_de_parti%C3%A7%C3%A3o_(mec%C3%A2nica_estat%C3%ADstica) função de partição]

<div id="pf"> <math> Z(T) = \sum_E g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

e o sistema esta essencialmente resolvido, uma vez que grande parte dos parâmetros termodinâmicos podem ser derivados de <math>Z</math>. Além disso, a amostragem de Wang-Landau é provada ser útil em diversas aplicações como o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Antiferromagnetismo antiferromagneto] de Potts
<ref>C. Yamaguchi and Y. Okabe, ‘‘Three-dimensional antiferromagnetic
q-state Potts models: application of the Wang-Landau algorithm,’’ J. Phys.
A 34, 8781– 8794 !2001"</ref>
, sistemas de spins aleatórios<ref>Y. Okabe, Y. Tomita, and C. Yamaguchi, ‘‘Application of new Monte Carlo
algorithms to random spin systems,’’ Comput. Phys. Commun. 146, 63– 68
!2002".</ref>
, sistemas [https://pt.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica quânticos]<ref>
2M. Troyer, S. Wessel, and F. Alet, ‘‘Flat histogram methods for quantum
systems: Algorithms to overcome tunneling problems and calculate the
free energy,’’ Phys. Rev. Lett. 90, 120201 !2003". </ref>, etc... .

==Descrição do algoritmo de Wang Landau==
Descreveremos o funcionamento do algoritmo de Wang-Landau num sistema de spins clássicos de 2 estados numa grade bidimensional com valores discretos de energia e sem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Campo_magn%C3%A9tico campo magnético]([https://pt.wikipedia.org/wiki/Modelo_de_Ising Modelo de Ising]2D). Portanto quando nos referirmos a <math>g(E)</math> como densidade de estados, interpretamos como o número de estados com energia E.
A amostragem de Wang-Landau faz caminhadas aleatórias no espaço de energia mudando os estados de spins aleatoriamente selecionados, porém esta mudança só é aceita com probabilidade proporcional a reciproca da densidade de estados. Durante a caminhada também se acumula o número de vezes que uma energia é visitada durante a caminhada <math>H(E)</math>, isto é, ao visitarmos a energia <math>E_1</math> faz-se a atualização da variável <math> H(E_1) \rightarrow H(E_1) + 1 </math>. Por outro lado, a atualização da densidade de estados <math>g(E_1)</math> se da por um fator multiplicativo <math>f</math> (<math> g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f </math>) controlado ao longo da simulação para que seja muito próximo de 1 ao final das caminhadas.

Podemos descrever os passos do algoritmo da seguinte maneira:
# Inicializamos as densidades de energias com <math>g(E) = 1</math> para todo <math>E</math>, da mesma forma <math>H(E) = 0</math> para todo <math>E</math>.
# Inicializamos <math>f = f_0 = e \approx 2.71828</math> e um sistema <math>L\times L</math> de spins de valor 1 e -1 aleatoriamente distribuídos.
#*O valor de <math>f</math> é arbitrário e deve ser escolhido não muito pequeno, pois irá fazer com que a simulação demore muito tempo para explorar diversas energias, por outro lado se escolhido muito grande, levará a erros estatísticos significativos.
# Começamos a caminhada inicial escolhendo aleatoriamente um dos spins e mudando o seu estado.
# Se denotamos <math>E_1</math> como a energia antes da mudança de estado do spin selecionado e <math>E_2</math> como a energia após, aceitamos este novo estado com a seguinte probabilidade: <math>P(E_1 \rightarrow E_2) = \text{min}\left(\frac{g(E_1)}{g(E_2)},1\right)</math>
#*Se aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_2) \rightarrow g(E_2) \times f</math> e <math>H(E_2) \rightarrow H(E_2) +1</math> respectivamente.
#*Se não aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f</math> e <math>H(E_1) \rightarrow H(E_1) +1</math> respectivamente, de maneira a recontar o estado <math>E_1</math>.
#*Destaca-se que em ambos os casos usamos <math>\ln(g(E)) = \rightarrow \ln(g(E)) + \ln(f)</math>, pois ao longo da simulação acabamos usando números muito grandes.
#Faz-se esta caminhada aleatória nos diferentes estados do sistema até que o histograma <math>H(E)</math> esteja aproximadamente plano.
#*O critério para decidir se um histograma está plano é arbitrário. Para um [https://pt.wikipedia.org/wiki/Hamiltoniano_(mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica) hamiltoniano] de Ising 2D este critério pode ser definido tão alto quanto 95% (i.e. todos os valores de <math>H(E)</math> devem ser pelo menos 95% de <math> \langle H(E) \rangle </math>), porém valores mais altos que isso podem resultar no programa nunca identificando o histograma como plano.
#Checa-se se <math>H(E)</math> está plano a cada 10000 passos MC. Quando está plano, podemos dizer que todos os estados foram visitados uma quantidade de vezes aproximadamente igual e a densidade de estados <math>g(E)</math> converge ao valor real com precisão da ordem de <math>f</math>. (O critério de 10000 passos é arbitrário e pode ser modificado de acordo com o propósito da simulação).
#*Um passo MC corresponde a <math>L^2 = N</math> passos.
#Reduz-se o fator <math>f</math> da seguinte maneira <math>f_1 \rightarrow \sqrt{f_0}</math>, reinicia-se o histograma <math>H(E) = 0</math> e recomeça-se a caminhada aleatória com este novo fator <math>f</math>. (Todos os parâmetros não mencionados neste passo permanecem intocados).
#Continuamos executando os passos 5-7, reduzindo o fator <math>f</math> segundo a seguinte expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math>
#Encerra-se a simulação quando <math>f_{final}</math> estiver da ordem do erro desejado.
#*Claro que <math>f_{final}</math> pode ser escolhido arbitrariamente pequeno, mas sempre com um certo limite razoável <math>(10^{-6}-10^{-8})</math>, ou a simulação pode tomar tempos não razoáveis para completar.

==Observações sobre o algoritmo==
Nesta seção discutimos algumas observações importantes a se levar em conta na implementação do método de amostragem de Wang-Landau
===Fator de modificação f===
Quando tratamos da atualização do fator <math>f</math>, a expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math> é apenas uma recomendação, uma vez que outros valores de <math>n>1</math> podem ser escolhidos para uma atualização do tipo <math>f_{i+1} = f_{i}^{(1/n)}</math>. Não obstante, <math>n = 2</math> é adequado para o sistema estudado (Ising 2D), resultando em boa acurácia em relativamente pouco tempo de simulação.

===Implementação paralela===
A simulação pode ser melhorada ainda fazendo múltiplas caminhadas aleatórias paralelamente no espaço de energias. Restringindo o alcance das caminhadas proporcionalmente com o número de caminhantes em paralelo (e.g. No caso de 2 caminhantes simultâneos, dividimos o espaço de energias em 2 e restringimos um caminhante para a metade inferior das energias, e o outro para a parte superior) e depois juntando as densidades de estados resultantes.
<ref>Vogel, Thomas, et al. "Generic, hierarchical framework for massively parallel Wang-Landau sampling." Physical review letters 110.21 (2013): 210603.</ref>

===Balanço detalhado===
A condição de balanço detalhado inicialmente não é satisfeita uma vez que <math>g(E)</math> é constantemente modificada durante a caminhada aleatória. Porém após várias iterações, a condição é satisfeita a medida que <math>f</math> se aproxima de 1. Observa-se que se <math>P(E_1 \rightarrow E_2)</math> é a probabilidade de transição da energia <math>E_1</math> para a energia <math>E_2</math>, utilizando a equação do passo 4 do algoritmo temos que:

<math>
\frac{P(E_1 \rightarrow E_2)}{P(E_2 \rightarrow E_1)} = \frac{g(E_1)}{g(E_2)}.
</math>

Podemos reescrever a equação de uma forma mais familiar

<math>
\frac{1}{g(E_1)}P(E_1 \rightarrow E_2) = \frac{1}{g(E_2)}P(E_2 \rightarrow E_1)
</math>

que é a condição de balanceamento detalhado, uma vez que interpretamos que <math>1/g(E_1)</math> como a probabilidade do sistema possuir a energia <math>E_1</math> e analogamente para <math>E_2</math>. Concluímos então que a condição de balanço detalhado é satisfeita com precisão proporcional a <math>\ln(f)</math>.
===Escalabilidade===
Quando analisamos um modelo de Ising 2D de tamanho <math>L\times L</math>, temos que o número de configurações <math>(2^N, N = L^2)</math> aumenta exponencialmente com <math>N</math>, enquanto o número de possíveis energias é por volta de <math>2N</math> e aumenta linearmente com N. Implicando que temos uma escalabilidade muito boa para as caminhadas no espaço de energia quando o objetivo é estimar <math>g(E)</math> uma vez que um aumento no tamanho da grade não implica em um aumento exponencial, mas sim linear, no tempo de execução.
===Normalização===
É necessário ressaltar que após a simulação completa, o algoritmo de Wang-Landau nos fornece apenas a densidade de estados relativa. Para extrairmos a real densidade de estados <math>g_n(E)</math> é necessário que utilizemos uma das duas condições: Que o número total de estados possíveis é <math>\sum_Eg_n(E) = Q^N</math> ou que o numero de estados fundamentais é <math>Q</math> (onde <math>Q = 2</math> para o modelo de Ising 2D pois os spins possuem apenas dois estados).

Pela primeira condição, podemos obter a densidade de estados normalizada através da equação

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[\sum_Eg(E)] + N\ln(2)</math>,

enquanto pela segunda condição temos que

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[g(E = -2N)] + \ln(2)</math>.

A segunda normalização é preferível pois garante precisão para estados de menor energia, o que é necessário para o calculo de parâmetros termodinâmicos a baixas temperaturas.

===Grandezas Termodinâmicos===
Uma vez que temos a densidade de estados, podemos calcular diversas grandezas termodinâmicos, como a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_interna energia interna] <math>U(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Calor_espec%C3%ADfico calor especifico] <math>C(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_livre_de_Helmholtz energia livre de Helmholtz] <math>F(T)</math> e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Entropia entropia] <math>S(T)</math> através das seguintes equações:
<div id="equações para parâmetros termodinâmicos">
<math>U(T) = \frac{\sum_EEg(E)e^{-E/k_BT}}{\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}}</math>

<math>C(T) = \frac{\langle E^2\rangle - \langle E\rangle^2}{k_BT^2}</math>

<math>F(T) = -k_BT\ln\left(\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}\right)</math>

<math>S(T) = \frac{U(T) - F(T)}{T}</math>
</div>
Estas grandezas dependem apenas da temperatura uma vez que já foi encontrado a densidade de estados <math>g(E)</math>, o que contorna os problemas de ''critical slowing down'' na temperatura crítica pois a simulação não precisa ser refeita para cada uma das temperaturas, por consequência também dispensa a necessidade do método de repesagem de histogramas, contornando o problema de estatística fraca nas asas dos histogramas.

==Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau==
Podemos aplicar o algoritmo de Wang-Landau para um sistema [https://pt.wikipedia.org/wiki/Ferromagnetismo#:~:text=Ferromagnetismo%20%C3%A9%20o%20mecanismo%20b%C3%A1sico,diferentes%20de%20magnetismo%20s%C3%A3o%20distinguidos. ferromagnético] 2D de Ising com interação de primeiros vizinhos e uma grade quadrada <math>L\times L</math> com [https://pt.wikipedia.org/wiki/Condi%C3%A7%C3%B5es_de_fronteira_peri%C3%B3dicas condições de contorno periódicas] no qual o hamiltoniano é dado por

<math>\mathcal{H} = -\sum_{\langle i,j\rangle}\sigma_{i}\sigma_j</math>

onde <math>\sigma_{i} = +1</math> para spin para cima, <math>\sigma_{i} = -1</math> para baixo e <math>\langle i,j\rangle</math> indica a soma entre os primeiros vizinhos. Na Fig.1 temos a densidade de estados <math>g(E)</math> para um sistema <math>16 \times 16</math> com <math>f_{final} \sim 10^{-6}</math> e com critério para um histograma <math>H(E)</math> plano de 80%. Com esses parâmetros, a ''Google Compute Engine'' padrão para [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python3] do Google Colab realiza a simulação em <math>\sim 40s</math>.

[[Arquivo: erickStateDensity.png|400px|thumb|center| Figura 1: Logaritmo da densidade de estados <math>\ln(g(E))</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>, há uma brusca queda na densidade de estados perto das pontas uma vez que as energias <math>-2L^2 + 4</math> e <math>2L^2 - 4</math> são inalcançáveis pelo sistema.]]

Fazendo uso da [[#equação de distribuição de probabilidade canônica]], podemos encontrar a distribuição de probabilidade das energias para uma determinada temperatura <math>T</math>. Devido a natureza do algoritmo, estas distribuições que por meios convencionais levariam tempo demasiadamente grande para ser calculado ou necessitariam de repesagem de histograma são instantaneamente calculadas com o algoritmo de Wang-Landau independentemente da temperatura. Na Fig.2 temos um exemplo das distribuições, incluindo uma próxima da temperatura critica <math>T_c</math>.

[[Arquivo: erickProbs.png|400px|thumb|center| Figura 2: A distribuição canônica <math>P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}</math> em 3 temperaturas, incluindo a temperatura crítica <math>T_c</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>.]]

Fazendo uso das [[#equações para parâmetros termodinâmicos]], podemos calculá-los para este sistema em função da temperatura quase que instantaneamente. Estes são ilustrados nas Figs. 3,4,5,6.
<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickU.png|400px|thumb|center| Figura 3: A Energia interna do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickC.png|400px|thumb|center| Figura 4: O Calor Específico do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o pico se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickF.png|400px|thumb|center| Figura 5: A Energia Livre do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o começo da queda se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickS.png|400px|thumb|center| Figura 6: A Entropia do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
</ul></div>

==Código do Exemplo==
[[Exemplo de código para a amostragem de Wang-Landau em Python3]]

==Referências==
<references />

Amostragem de Wang-Landau

2022-10-19T01:08:28Z

Erickc: /* Grandezas Termodinâmicos */

O [https://pt.wikipedia.org/wiki/Algoritmo algoritmo] de amostragem de Wang-Landau é um método de amostragem para simulações de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo Monte Carlo] introduzido por F. Wang and D. P. Landau em 2001
<ref>F. Wang and D. P. Landau, ‘‘Efficient, multiple-range random walk algorithm to calculate the density of states,’’ Phys. Rev. Lett. 86, 2050–2053
!2001"; ‘‘Determining the density of states for classical statistical models:
A random walk algorithm to produce a flat histogram,’’ Phys. Rev. E 64,
056101 !2001".
</ref>
(com uma versão didática publicada em 2004 por D.P Landau, Shan-Ho Tsai e M. Exlerem),
<ref>Landau, D. P., Shan-Ho Tsai, and M. Exler. "A new approach to Monte Carlo simulations in statistical physics: Wang-Landau sampling." American Journal of Physics 72.10 (2004): 1294-1302.</ref>
que apresenta diversas vantagens sobre outros métodos para sistemas de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Spin spins]. Dentre eles podemos citar o algoritmo de Metropolis
<ref>N. Metropolis, A. W. Rosenbluth, M. N. Rosenbluth, A. H. Teller, and E.
Teller, ‘‘Equation of state calculations by fast computing machines,’’ J.
Chem. Phys. 21, 1087–1092 !1953".</ref>
, o algoritmo de ''clustering'' de Wolff
<ref>U. Wolff, ‘‘Collective Monte Carlo updating for spin systems,’’ Phys. Rev.
Lett. 62, 361–364 !1989".</ref>
, ou em um modelamento de ''ensamble'' multi-canônico
<ref>B. A. Berg and T. Neuhaus, ‘‘Multicanonical ensemble: A new approach to
simulate first-order phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 68, 9–12 !1992"</ref>
. Nestes dois últimos métodos são utilizados métodos de repesagem de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Histograma histogramas]<ref>
A. M. Ferrenberg and R. H. Swendsen, ‘‘New Monte Carlo technique for
studying phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 61, 2635–2638 !1988"; ‘‘Optimized Monte Carlo data analysis,’’ ibid. 63, 1195–1198 !1989".</ref>
que são limitados em sistemas grandes devido as baixa qualidade estatística nas asas do histograma.
Dentro deste contexto, o algoritmo Wang-Landau promete resolver problemas encontrados em amostragens convencionais como o ''critical slowing down'' para temperaturas próximas da temperatura crítica <math>T_c</math> utilizando-se de caminhadas aleatórias controladas para mapear a densidade de estados <math>g(E)</math> de um sistema, sem depender do método de repesagem de histogramas.

----

A maioria dos algoritmos de amostragem convencionais geram uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_can%C3%B3nico distribuição canônica] não normalizada

<div id="equação de distribuição de probabilidade canônica"> <math> P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

para uma determinada temperatura <math>T</math>, Geralmente estas distribuições são estreitas e se faz necessário múltiplas simulações para obter algum parâmetro [https://pt.wikipedia.org/wiki/Termodin%C3%A2mica termodinâmico] para uma distribuição significantemente grande de temperaturas.
Como <math>g(E)</math> não depende de temperatura do sistema, se pudermos encontrá-lo para todo <math>E</math>, podemos encontrar a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_de_parti%C3%A7%C3%A3o_(mec%C3%A2nica_estat%C3%ADstica) função de partição]

<div id="pf"> <math> Z(T) = \sum_E g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

e o sistema esta essencialmente resolvido, uma vez que grande parte dos parâmetros termodinâmicos podem ser derivados de <math>Z</math>. Além disso, a amostragem de Wang-Landau é provada ser útil em diversas aplicações como o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Antiferromagnetismo antiferromagneto] de Potts
<ref>C. Yamaguchi and Y. Okabe, ‘‘Three-dimensional antiferromagnetic
q-state Potts models: application of the Wang-Landau algorithm,’’ J. Phys.
A 34, 8781– 8794 !2001"</ref>
, sistemas de spins aleatórios<ref>Y. Okabe, Y. Tomita, and C. Yamaguchi, ‘‘Application of new Monte Carlo
algorithms to random spin systems,’’ Comput. Phys. Commun. 146, 63– 68
!2002".</ref>
, sistemas [https://pt.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica quânticos]<ref>
2M. Troyer, S. Wessel, and F. Alet, ‘‘Flat histogram methods for quantum
systems: Algorithms to overcome tunneling problems and calculate the
free energy,’’ Phys. Rev. Lett. 90, 120201 !2003". </ref>, etc... .

==Descrição do algoritmo de Wang Landau==
Descreveremos o funcionamento do algoritmo de Wang-Landau num sistema de spins clássicos de 2 estados numa grade bidimensional com valores discretos de energia e sem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Campo_magn%C3%A9tico campo magnético]([https://pt.wikipedia.org/wiki/Modelo_de_Ising Modelo de Ising]2D). Portanto quando nos referirmos a <math>g(E)</math> como densidade de estados, interpretamos como o número de estados com energia E.
A amostragem de Wang-Landau faz caminhadas aleatórias no espaço de energia mudando os estados de spins aleatoriamente selecionados, porém esta mudança só é aceita com probabilidade proporcional a reciproca da densidade de estados. Durante a caminhada também se acumula o número de vezes que uma energia é visitada durante a caminhada <math>H(E)</math>, isto é, ao visitarmos a energia <math>E_1</math> faz-se a atualização da variável <math> H(E_1) \rightarrow H(E_1) + 1 </math>. Por outro lado, a atualização da densidade de estados <math>g(E_1)</math> se da por um fator multiplicativo <math>f</math> (<math> g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f </math>) controlado ao longo da simulação para que seja muito próximo de 1 ao final das caminhadas.

Podemos descrever os passos do algoritmo da seguinte maneira:
# Inicializamos as densidades de energias com <math>g(E) = 1</math> para todo <math>E</math>, da mesma forma <math>H(E) = 0</math> para todo <math>E</math>.
# Inicializamos <math>f = f_0 = e \approx 2.71828</math> e um sistema <math>L\times L</math> de spins de valor 1 e -1 aleatoriamente distribuídos.
#*O valor de <math>f</math> é arbitrário e deve ser escolhido não muito pequeno, pois irá fazer com que a simulação demore muito tempo para explorar diversas energias, por outro lado se escolhido muito grande, levará a erros estatísticos significativos.
# Começamos a caminhada inicial escolhendo aleatoriamente um dos spins e mudando o seu estado.
# Se denotamos <math>E_1</math> como a energia antes da mudança de estado do spin selecionado e <math>E_2</math> como a energia após, aceitamos este novo estado com a seguinte probabilidade: <math>P(E_1 \rightarrow E_2) = \text{min}\left(\frac{g(E_1)}{g(E_2)},1\right)</math>
#*Se aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_2) \rightarrow g(E_2) \times f</math> e <math>H(E_2) \rightarrow H(E_2) +1</math> respectivamente.
#*Se não aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f</math> e <math>H(E_1) \rightarrow H(E_1) +1</math> respectivamente, de maneira a recontar o estado <math>E_1</math>.
#*Destaca-se que em ambos os casos usamos <math>\ln(g(E)) = \rightarrow \ln(g(E)) + \ln(f)</math>, pois ao longo da simulação acabamos usando números muito grandes.
#Faz-se esta caminhada aleatória nos diferentes estados do sistema até que o histograma <math>H(E)</math> esteja aproximadamente plano.
#*O critério para decidir se um histograma está plano é arbitrário. Para um [https://pt.wikipedia.org/wiki/Hamiltoniano_(mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica) hamiltoniano] de Ising 2D este critério pode ser definido tão alto quanto 95% (i.e. todos os valores de <math>H(E)</math> devem ser pelo menos 95% de <math> \langle H(E) \rangle </math>), porém valores mais altos que isso podem resultar no programa nunca identificando o histograma como plano.
#Checa-se se <math>H(E)</math> está plano a cada 10000 passos MC. Quando está plano, podemos dizer que todos os estados foram visitados uma quantidade de vezes aproximadamente igual e a densidade de estados <math>g(E)</math> converge ao valor real com precisão da ordem de <math>f</math>. (O critério de 10000 passos é arbitrário e pode ser modificado de acordo com o propósito da simulação).
#*Um passo MC corresponde a <math>L^2 = N</math> passos.
#Reduz-se o fator <math>f</math> da seguinte maneira <math>f_1 \rightarrow \sqrt{f_0}</math>, reinicia-se o histograma <math>H(E) = 0</math> e recomeça-se a caminhada aleatória com este novo fator <math>f</math>. (Todos os parâmetros não mencionados neste passo permanecem intocados).
#Continuamos executando os passos 5-7, reduzindo o fator <math>f</math> segundo a seguinte expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math>
#Encerra-se a simulação quando <math>f_{final}</math> estiver da ordem do erro desejado.
#*Claro que <math>f_{final}</math> pode ser escolhido arbitrariamente pequeno, mas sempre com um certo limite razoável <math>(10^{-6}-10^{-8})</math>, ou a simulação pode tomar tempos não razoáveis para completar.

==Observações sobre o algoritmo==
Nesta seção discutimos algumas observações importantes a se levar em conta na implementação do método de amostragem de Wang-Landau
===Fator de modificação f===
Quando tratamos da atualização do fator <math>f</math>, a expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math> é apenas uma recomendação, uma vez que outros valores de <math>n>1</math> podem ser escolhidos para uma atualização do tipo <math>f_{i+1} = f_{i}^{(1/n)}</math>. Não obstante, <math>n = 2</math> é adequado para o sistema estudado (Ising 2D), resultando em boa acurácia em relativamente pouco tempo de simulação.

===Implementação paralela===
A simulação pode ser melhorada ainda fazendo múltiplas caminhadas aleatórias paralelamente no espaço de energias. Restringindo o alcance das caminhadas proporcionalmente com o número de caminhantes em paralelo (e.g. No caso de 2 caminhantes simultâneos, dividimos o espaço de energias em 2 e restringimos um caminhante para a metade inferior das energias, e o outro para a parte superior) e depois juntando as densidades de estados resultantes.
<ref>Vogel, Thomas, et al. "Generic, hierarchical framework for massively parallel Wang-Landau sampling." Physical review letters 110.21 (2013): 210603.</ref>

===Balanço detalhado===
A condição de balanço detalhado inicialmente não é satisfeita uma vez que <math>g(E)</math> é constantemente modificada durante a caminhada aleatória. Porém após várias iterações, a condição é satisfeita a medida que <math>f</math> se aproxima de 1. Observa-se que se <math>P(E_1 \rightarrow E_2)</math> é a probabilidade de transição da energia <math>E_1</math> para a energia <math>E_2</math>, utilizando a equação do passo 4 do algoritmo temos que:

<math>
\frac{P(E_1 \rightarrow E_2)}{P(E_2 \rightarrow E_1)} = \frac{g(E_1)}{g(E_2)}.
</math>

Podemos reescrever a equação de uma forma mais familiar

<math>
\frac{1}{g(E_1)}P(E_1 \rightarrow E_2) = \frac{1}{g(E_2)}P(E_2 \rightarrow E_1)
</math>

que é a condição de balanceamento detalhado, uma vez que interpretamos que <math>1/g(E_1)</math> como a probabilidade do sistema possuir a energia <math>E_1</math> e analogamente para <math>E_2</math>. Concluímos então que a condição de balanço detalhado é satisfeita com precisão proporcional a <math>\ln(f)</math>.
===Escalabilidade===
Quando analisamos um modelo de Ising 2D de tamanho <math>L\times L</math>, temos que o número de configurações <math>(2^N, N = L^2)</math> aumenta exponencialmente com <math>N</math>, enquanto o número de possíveis energias é por volta de <math>2N</math> e aumenta linearmente com N. Implicando que temos uma escalabilidade muito boa para as caminhadas no espaço de energia quando o objetivo é estimar <math>g(E)</math> uma vez que um aumento no tamanho da grade não implica em um aumento exponencial, mas sim linear, no tempo de execução.
===Normalização===
É necessário ressaltar que após a simulação completa, o algoritmo de Wang-Landau nos fornece apenas a densidade de estados relativa. Para extrairmos a real densidade de estados <math>g_n(E)</math> é necessário que utilizemos uma das duas condições: Que o número total de estados possíveis é <math>\sum_Eg_n(E) = Q^N</math> ou que o numero de estados fundamentais é <math>Q</math> (onde <math>Q = 2</math> para o modelo de Ising 2D pois os spins possuem apenas dois estados).

Pela primeira condição, podemos obter a densidade de estados normalizada através da equação

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[\sum_Eg(E)] + N\ln(2)</math>,

enquanto pela segunda condição temos que

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[g(E = -2N)] + \ln(2)</math>.

A segunda normalização é preferível pois garante precisão para estados de menor energia, o que é necessário para o calculo de parâmetros termodinâmicos a baixas temperaturas.

===Grandezas Termodinâmicos===
Uma vez que temos a densidade de estados, podemos calcular diversas grandezas termodinâmicos, como a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_interna energia interna] <math>U(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Calor_espec%C3%ADfico calor especifico] <math>C(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_livre_de_Helmholtz energia livre de Helmholtz] <math>F(T)</math> e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Entropia entropia] <math>S(T)</math> através das seguintes equações:
<div id="equações para parâmetros termodinâmicos">
<math>U(T) = \frac{\sum_EEg(E)e^{-E/k_BT}}{\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}}</math>

<math>C(T) = \frac{\langle E^2\rangle - \langle E\rangle^2}{k_BT^2}</math>

<math>F(T) = -k_BT\ln\left(\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}\right)</math>

<math>S(T) = \frac{U(T) - F(T)}{T}</math>
</div>
Estas grandezas dependem apenas da temperatura uma vez que já foi encontrado a densidade de estados <math>g(E)</math>, o que contorna os problemas de ''critical slowing down'' na temperatura crítica pois a simulação não precisa ser refeita para cada uma das temperaturas, por consequência também dispensa a necessidade do método de repesagem de histogramas, contornando o problema de estatística fraca nas asas dos histogramas.

==Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau==
Podemos aplicar o algoritmo de Wang-Landau para um sistema [https://pt.wikipedia.org/wiki/Ferromagnetismo#:~:text=Ferromagnetismo%20%C3%A9%20o%20mecanismo%20b%C3%A1sico,diferentes%20de%20magnetismo%20s%C3%A3o%20distinguidos. ferromagnético] 2D de Ising com interação de primeiros vizinhos e uma grade quadrada <math>L\times L</math> com [https://pt.wikipedia.org/wiki/Condi%C3%A7%C3%B5es_de_fronteira_peri%C3%B3dicas condições de contorno periódicas] no qual o hamiltoniano é dado por

<math>\mathcal{H} = -\sum_{\langle i,j\rangle}\sigma_{i}\sigma_j</math>

onde <math>\sigma_{i} = +1</math> para spin para cima, <math>\sigma_{i} = -1</math> para baixo e <math>\langle i,j\rangle</math> indica a soma entre os primeiros vizinhos. Na Fig.1 temos a densidade de estados <math>g(E)</math> para um sistema <math>16 \times 16</math> com <math>f_{final} \sim 10^{-6}</math> e com critério para um histograma <math>H(E)</math> plano de 80%. Com esses parâmetros, a ''Google Compute Engine'' padrão para [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python3] do Google Colab realiza a simulação em <math>\sim 40s</math>.

[[Arquivo: erickStateDensity.png|400px|thumb|center| Figura 1: Logaritmo da densidade de estados <math>\ln(g(E))</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>, há uma brusca queda na densidade de estados perto das pontas uma vez que as energias <math>-2L^2 + 8</math> e <math>2L^2 - 8</math> são inalcançáveis pelo sistema.]]

Fazendo uso da [[#equação de distribuição de probabilidade canônica]], podemos encontrar a distribuição de probabilidade das energias para uma determinada temperatura <math>T</math>. Devido a natureza do algoritmo, estas distribuições que por meios convencionais levariam tempo demasiadamente grande para ser calculado ou necessitariam de repesagem de histograma são instantaneamente calculadas com o algoritmo de Wang-Landau independentemente da temperatura. Na Fig.2 temos um exemplo das distribuições, incluindo uma próxima da temperatura critica <math>T_c</math>.

[[Arquivo: erickProbs.png|400px|thumb|center| Figura 2: A distribuição canônica <math>P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}</math> em 3 temperaturas, incluindo a temperatura crítica <math>T_c</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>.]]

Fazendo uso das [[#equações para parâmetros termodinâmicos]], podemos calculá-los para este sistema em função da temperatura quase que instantaneamente. Estes são ilustrados nas Figs. 3,4,5,6.
<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickU.png|400px|thumb|center| Figura 3: A Energia interna do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickC.png|400px|thumb|center| Figura 4: O Calor Específico do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o pico se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickF.png|400px|thumb|center| Figura 5: A Energia Livre do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o começo da queda se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickS.png|400px|thumb|center| Figura 6: A Entropia do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
</ul></div>

==Código do Exemplo==
[[Exemplo de código para a amostragem de Wang-Landau em Python3]]

==Referências==
<references />

Amostragem de Wang-Landau

2022-10-19T01:07:56Z

Erickc: /* Grandezas Termodinâmicos */

O [https://pt.wikipedia.org/wiki/Algoritmo algoritmo] de amostragem de Wang-Landau é um método de amostragem para simulações de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo Monte Carlo] introduzido por F. Wang and D. P. Landau em 2001
<ref>F. Wang and D. P. Landau, ‘‘Efficient, multiple-range random walk algorithm to calculate the density of states,’’ Phys. Rev. Lett. 86, 2050–2053
!2001"; ‘‘Determining the density of states for classical statistical models:
A random walk algorithm to produce a flat histogram,’’ Phys. Rev. E 64,
056101 !2001".
</ref>
(com uma versão didática publicada em 2004 por D.P Landau, Shan-Ho Tsai e M. Exlerem),
<ref>Landau, D. P., Shan-Ho Tsai, and M. Exler. "A new approach to Monte Carlo simulations in statistical physics: Wang-Landau sampling." American Journal of Physics 72.10 (2004): 1294-1302.</ref>
que apresenta diversas vantagens sobre outros métodos para sistemas de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Spin spins]. Dentre eles podemos citar o algoritmo de Metropolis
<ref>N. Metropolis, A. W. Rosenbluth, M. N. Rosenbluth, A. H. Teller, and E.
Teller, ‘‘Equation of state calculations by fast computing machines,’’ J.
Chem. Phys. 21, 1087–1092 !1953".</ref>
, o algoritmo de ''clustering'' de Wolff
<ref>U. Wolff, ‘‘Collective Monte Carlo updating for spin systems,’’ Phys. Rev.
Lett. 62, 361–364 !1989".</ref>
, ou em um modelamento de ''ensamble'' multi-canônico
<ref>B. A. Berg and T. Neuhaus, ‘‘Multicanonical ensemble: A new approach to
simulate first-order phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 68, 9–12 !1992"</ref>
. Nestes dois últimos métodos são utilizados métodos de repesagem de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Histograma histogramas]<ref>
A. M. Ferrenberg and R. H. Swendsen, ‘‘New Monte Carlo technique for
studying phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 61, 2635–2638 !1988"; ‘‘Optimized Monte Carlo data analysis,’’ ibid. 63, 1195–1198 !1989".</ref>
que são limitados em sistemas grandes devido as baixa qualidade estatística nas asas do histograma.
Dentro deste contexto, o algoritmo Wang-Landau promete resolver problemas encontrados em amostragens convencionais como o ''critical slowing down'' para temperaturas próximas da temperatura crítica <math>T_c</math> utilizando-se de caminhadas aleatórias controladas para mapear a densidade de estados <math>g(E)</math> de um sistema, sem depender do método de repesagem de histogramas.

----

A maioria dos algoritmos de amostragem convencionais geram uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_can%C3%B3nico distribuição canônica] não normalizada

<div id="equação de distribuição de probabilidade canônica"> <math> P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

para uma determinada temperatura <math>T</math>, Geralmente estas distribuições são estreitas e se faz necessário múltiplas simulações para obter algum parâmetro [https://pt.wikipedia.org/wiki/Termodin%C3%A2mica termodinâmico] para uma distribuição significantemente grande de temperaturas.
Como <math>g(E)</math> não depende de temperatura do sistema, se pudermos encontrá-lo para todo <math>E</math>, podemos encontrar a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_de_parti%C3%A7%C3%A3o_(mec%C3%A2nica_estat%C3%ADstica) função de partição]

<div id="pf"> <math> Z(T) = \sum_E g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

e o sistema esta essencialmente resolvido, uma vez que grande parte dos parâmetros termodinâmicos podem ser derivados de <math>Z</math>. Além disso, a amostragem de Wang-Landau é provada ser útil em diversas aplicações como o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Antiferromagnetismo antiferromagneto] de Potts
<ref>C. Yamaguchi and Y. Okabe, ‘‘Three-dimensional antiferromagnetic
q-state Potts models: application of the Wang-Landau algorithm,’’ J. Phys.
A 34, 8781– 8794 !2001"</ref>
, sistemas de spins aleatórios<ref>Y. Okabe, Y. Tomita, and C. Yamaguchi, ‘‘Application of new Monte Carlo
algorithms to random spin systems,’’ Comput. Phys. Commun. 146, 63– 68
!2002".</ref>
, sistemas [https://pt.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica quânticos]<ref>
2M. Troyer, S. Wessel, and F. Alet, ‘‘Flat histogram methods for quantum
systems: Algorithms to overcome tunneling problems and calculate the
free energy,’’ Phys. Rev. Lett. 90, 120201 !2003". </ref>, etc... .

==Descrição do algoritmo de Wang Landau==
Descreveremos o funcionamento do algoritmo de Wang-Landau num sistema de spins clássicos de 2 estados numa grade bidimensional com valores discretos de energia e sem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Campo_magn%C3%A9tico campo magnético]([https://pt.wikipedia.org/wiki/Modelo_de_Ising Modelo de Ising]2D). Portanto quando nos referirmos a <math>g(E)</math> como densidade de estados, interpretamos como o número de estados com energia E.
A amostragem de Wang-Landau faz caminhadas aleatórias no espaço de energia mudando os estados de spins aleatoriamente selecionados, porém esta mudança só é aceita com probabilidade proporcional a reciproca da densidade de estados. Durante a caminhada também se acumula o número de vezes que uma energia é visitada durante a caminhada <math>H(E)</math>, isto é, ao visitarmos a energia <math>E_1</math> faz-se a atualização da variável <math> H(E_1) \rightarrow H(E_1) + 1 </math>. Por outro lado, a atualização da densidade de estados <math>g(E_1)</math> se da por um fator multiplicativo <math>f</math> (<math> g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f </math>) controlado ao longo da simulação para que seja muito próximo de 1 ao final das caminhadas.

Podemos descrever os passos do algoritmo da seguinte maneira:
# Inicializamos as densidades de energias com <math>g(E) = 1</math> para todo <math>E</math>, da mesma forma <math>H(E) = 0</math> para todo <math>E</math>.
# Inicializamos <math>f = f_0 = e \approx 2.71828</math> e um sistema <math>L\times L</math> de spins de valor 1 e -1 aleatoriamente distribuídos.
#*O valor de <math>f</math> é arbitrário e deve ser escolhido não muito pequeno, pois irá fazer com que a simulação demore muito tempo para explorar diversas energias, por outro lado se escolhido muito grande, levará a erros estatísticos significativos.
# Começamos a caminhada inicial escolhendo aleatoriamente um dos spins e mudando o seu estado.
# Se denotamos <math>E_1</math> como a energia antes da mudança de estado do spin selecionado e <math>E_2</math> como a energia após, aceitamos este novo estado com a seguinte probabilidade: <math>P(E_1 \rightarrow E_2) = \text{min}\left(\frac{g(E_1)}{g(E_2)},1\right)</math>
#*Se aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_2) \rightarrow g(E_2) \times f</math> e <math>H(E_2) \rightarrow H(E_2) +1</math> respectivamente.
#*Se não aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f</math> e <math>H(E_1) \rightarrow H(E_1) +1</math> respectivamente, de maneira a recontar o estado <math>E_1</math>.
#*Destaca-se que em ambos os casos usamos <math>\ln(g(E)) = \rightarrow \ln(g(E)) + \ln(f)</math>, pois ao longo da simulação acabamos usando números muito grandes.
#Faz-se esta caminhada aleatória nos diferentes estados do sistema até que o histograma <math>H(E)</math> esteja aproximadamente plano.
#*O critério para decidir se um histograma está plano é arbitrário. Para um [https://pt.wikipedia.org/wiki/Hamiltoniano_(mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica) hamiltoniano] de Ising 2D este critério pode ser definido tão alto quanto 95% (i.e. todos os valores de <math>H(E)</math> devem ser pelo menos 95% de <math> \langle H(E) \rangle </math>), porém valores mais altos que isso podem resultar no programa nunca identificando o histograma como plano.
#Checa-se se <math>H(E)</math> está plano a cada 10000 passos MC. Quando está plano, podemos dizer que todos os estados foram visitados uma quantidade de vezes aproximadamente igual e a densidade de estados <math>g(E)</math> converge ao valor real com precisão da ordem de <math>f</math>. (O critério de 10000 passos é arbitrário e pode ser modificado de acordo com o propósito da simulação).
#*Um passo MC corresponde a <math>L^2 = N</math> passos.
#Reduz-se o fator <math>f</math> da seguinte maneira <math>f_1 \rightarrow \sqrt{f_0}</math>, reinicia-se o histograma <math>H(E) = 0</math> e recomeça-se a caminhada aleatória com este novo fator <math>f</math>. (Todos os parâmetros não mencionados neste passo permanecem intocados).
#Continuamos executando os passos 5-7, reduzindo o fator <math>f</math> segundo a seguinte expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math>
#Encerra-se a simulação quando <math>f_{final}</math> estiver da ordem do erro desejado.
#*Claro que <math>f_{final}</math> pode ser escolhido arbitrariamente pequeno, mas sempre com um certo limite razoável <math>(10^{-6}-10^{-8})</math>, ou a simulação pode tomar tempos não razoáveis para completar.

==Observações sobre o algoritmo==
Nesta seção discutimos algumas observações importantes a se levar em conta na implementação do método de amostragem de Wang-Landau
===Fator de modificação f===
Quando tratamos da atualização do fator <math>f</math>, a expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math> é apenas uma recomendação, uma vez que outros valores de <math>n>1</math> podem ser escolhidos para uma atualização do tipo <math>f_{i+1} = f_{i}^{(1/n)}</math>. Não obstante, <math>n = 2</math> é adequado para o sistema estudado (Ising 2D), resultando em boa acurácia em relativamente pouco tempo de simulação.

===Implementação paralela===
A simulação pode ser melhorada ainda fazendo múltiplas caminhadas aleatórias paralelamente no espaço de energias. Restringindo o alcance das caminhadas proporcionalmente com o número de caminhantes em paralelo (e.g. No caso de 2 caminhantes simultâneos, dividimos o espaço de energias em 2 e restringimos um caminhante para a metade inferior das energias, e o outro para a parte superior) e depois juntando as densidades de estados resultantes.
<ref>Vogel, Thomas, et al. "Generic, hierarchical framework for massively parallel Wang-Landau sampling." Physical review letters 110.21 (2013): 210603.</ref>

===Balanço detalhado===
A condição de balanço detalhado inicialmente não é satisfeita uma vez que <math>g(E)</math> é constantemente modificada durante a caminhada aleatória. Porém após várias iterações, a condição é satisfeita a medida que <math>f</math> se aproxima de 1. Observa-se que se <math>P(E_1 \rightarrow E_2)</math> é a probabilidade de transição da energia <math>E_1</math> para a energia <math>E_2</math>, utilizando a equação do passo 4 do algoritmo temos que:

<math>
\frac{P(E_1 \rightarrow E_2)}{P(E_2 \rightarrow E_1)} = \frac{g(E_1)}{g(E_2)}.
</math>

Podemos reescrever a equação de uma forma mais familiar

<math>
\frac{1}{g(E_1)}P(E_1 \rightarrow E_2) = \frac{1}{g(E_2)}P(E_2 \rightarrow E_1)
</math>

que é a condição de balanceamento detalhado, uma vez que interpretamos que <math>1/g(E_1)</math> como a probabilidade do sistema possuir a energia <math>E_1</math> e analogamente para <math>E_2</math>. Concluímos então que a condição de balanço detalhado é satisfeita com precisão proporcional a <math>\ln(f)</math>.
===Escalabilidade===
Quando analisamos um modelo de Ising 2D de tamanho <math>L\times L</math>, temos que o número de configurações <math>(2^N, N = L^2)</math> aumenta exponencialmente com <math>N</math>, enquanto o número de possíveis energias é por volta de <math>2N</math> e aumenta linearmente com N. Implicando que temos uma escalabilidade muito boa para as caminhadas no espaço de energia quando o objetivo é estimar <math>g(E)</math> uma vez que um aumento no tamanho da grade não implica em um aumento exponencial, mas sim linear, no tempo de execução.
===Normalização===
É necessário ressaltar que após a simulação completa, o algoritmo de Wang-Landau nos fornece apenas a densidade de estados relativa. Para extrairmos a real densidade de estados <math>g_n(E)</math> é necessário que utilizemos uma das duas condições: Que o número total de estados possíveis é <math>\sum_Eg_n(E) = Q^N</math> ou que o numero de estados fundamentais é <math>Q</math> (onde <math>Q = 2</math> para o modelo de Ising 2D pois os spins possuem apenas dois estados).

Pela primeira condição, podemos obter a densidade de estados normalizada através da equação

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[\sum_Eg(E)] + N\ln(2)</math>,

enquanto pela segunda condição temos que

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[g(E = -2N)] + \ln(2)</math>.

A segunda normalização é preferível pois garante precisão para estados de menor energia, o que é necessário para o calculo de parâmetros termodinâmicos a baixas temperaturas.

===Grandezas Termodinâmicos===
Uma vez que temos a densidade de estados, podemos calcular diversos grandezas termodinâmicos, como a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_interna energia interna] <math>U(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Calor_espec%C3%ADfico calor especifico] <math>C(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_livre_de_Helmholtz energia livre de Helmholtz] <math>F(T)</math> e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Entropia entropia] <math>S(T)</math> através das seguintes equações:
<div id="equações para parâmetros termodinâmicos">
<math>U(T) = \frac{\sum_EEg(E)e^{-E/k_BT}}{\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}}</math>

<math>C(T) = \frac{\langle E^2\rangle - \langle E\rangle^2}{k_BT^2}</math>

<math>F(T) = -k_BT\ln\left(\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}\right)</math>

<math>S(T) = \frac{U(T) - F(T)}{T}</math>
</div>
Estes parâmetros termodinâmicos dependem apenas da temperatura uma vez que já foi encontrado a densidade de estados <math>g(E)</math>, o que contorna os problemas de ''critical slowing down'' na temperatura crítica pois a simulação não precisa ser refeita para cada uma das temperaturas, por consequência também dispensa a necessidade de repesagem de histogramas, contornando o problema de estatística fraca nas asas dos histogramas.

==Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau==
Podemos aplicar o algoritmo de Wang-Landau para um sistema [https://pt.wikipedia.org/wiki/Ferromagnetismo#:~:text=Ferromagnetismo%20%C3%A9%20o%20mecanismo%20b%C3%A1sico,diferentes%20de%20magnetismo%20s%C3%A3o%20distinguidos. ferromagnético] 2D de Ising com interação de primeiros vizinhos e uma grade quadrada <math>L\times L</math> com [https://pt.wikipedia.org/wiki/Condi%C3%A7%C3%B5es_de_fronteira_peri%C3%B3dicas condições de contorno periódicas] no qual o hamiltoniano é dado por

<math>\mathcal{H} = -\sum_{\langle i,j\rangle}\sigma_{i}\sigma_j</math>

onde <math>\sigma_{i} = +1</math> para spin para cima, <math>\sigma_{i} = -1</math> para baixo e <math>\langle i,j\rangle</math> indica a soma entre os primeiros vizinhos. Na Fig.1 temos a densidade de estados <math>g(E)</math> para um sistema <math>16 \times 16</math> com <math>f_{final} \sim 10^{-6}</math> e com critério para um histograma <math>H(E)</math> plano de 80%. Com esses parâmetros, a ''Google Compute Engine'' padrão para [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python3] do Google Colab realiza a simulação em <math>\sim 40s</math>.

[[Arquivo: erickStateDensity.png|400px|thumb|center| Figura 1: Logaritmo da densidade de estados <math>\ln(g(E))</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>, há uma brusca queda na densidade de estados perto das pontas uma vez que as energias <math>-2L^2 + 8</math> e <math>2L^2 - 8</math> são inalcançáveis pelo sistema.]]

Fazendo uso da [[#equação de distribuição de probabilidade canônica]], podemos encontrar a distribuição de probabilidade das energias para uma determinada temperatura <math>T</math>. Devido a natureza do algoritmo, estas distribuições que por meios convencionais levariam tempo demasiadamente grande para ser calculado ou necessitariam de repesagem de histograma são instantaneamente calculadas com o algoritmo de Wang-Landau independentemente da temperatura. Na Fig.2 temos um exemplo das distribuições, incluindo uma próxima da temperatura critica <math>T_c</math>.

[[Arquivo: erickProbs.png|400px|thumb|center| Figura 2: A distribuição canônica <math>P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}</math> em 3 temperaturas, incluindo a temperatura crítica <math>T_c</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>.]]

Fazendo uso das [[#equações para parâmetros termodinâmicos]], podemos calculá-los para este sistema em função da temperatura quase que instantaneamente. Estes são ilustrados nas Figs. 3,4,5,6.
<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickU.png|400px|thumb|center| Figura 3: A Energia interna do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickC.png|400px|thumb|center| Figura 4: O Calor Específico do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o pico se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickF.png|400px|thumb|center| Figura 5: A Energia Livre do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o começo da queda se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickS.png|400px|thumb|center| Figura 6: A Entropia do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
</ul></div>

==Código do Exemplo==
[[Exemplo de código para a amostragem de Wang-Landau em Python3]]

==Referências==
<references />

Amostragem de Wang-Landau

2022-10-19T01:07:32Z

Erickc: /* Parâmetros Termodinâmicos */

O [https://pt.wikipedia.org/wiki/Algoritmo algoritmo] de amostragem de Wang-Landau é um método de amostragem para simulações de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo Monte Carlo] introduzido por F. Wang and D. P. Landau em 2001
<ref>F. Wang and D. P. Landau, ‘‘Efficient, multiple-range random walk algorithm to calculate the density of states,’’ Phys. Rev. Lett. 86, 2050–2053
!2001"; ‘‘Determining the density of states for classical statistical models:
A random walk algorithm to produce a flat histogram,’’ Phys. Rev. E 64,
056101 !2001".
</ref>
(com uma versão didática publicada em 2004 por D.P Landau, Shan-Ho Tsai e M. Exlerem),
<ref>Landau, D. P., Shan-Ho Tsai, and M. Exler. "A new approach to Monte Carlo simulations in statistical physics: Wang-Landau sampling." American Journal of Physics 72.10 (2004): 1294-1302.</ref>
que apresenta diversas vantagens sobre outros métodos para sistemas de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Spin spins]. Dentre eles podemos citar o algoritmo de Metropolis
<ref>N. Metropolis, A. W. Rosenbluth, M. N. Rosenbluth, A. H. Teller, and E.
Teller, ‘‘Equation of state calculations by fast computing machines,’’ J.
Chem. Phys. 21, 1087–1092 !1953".</ref>
, o algoritmo de ''clustering'' de Wolff
<ref>U. Wolff, ‘‘Collective Monte Carlo updating for spin systems,’’ Phys. Rev.
Lett. 62, 361–364 !1989".</ref>
, ou em um modelamento de ''ensamble'' multi-canônico
<ref>B. A. Berg and T. Neuhaus, ‘‘Multicanonical ensemble: A new approach to
simulate first-order phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 68, 9–12 !1992"</ref>
. Nestes dois últimos métodos são utilizados métodos de repesagem de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Histograma histogramas]<ref>
A. M. Ferrenberg and R. H. Swendsen, ‘‘New Monte Carlo technique for
studying phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 61, 2635–2638 !1988"; ‘‘Optimized Monte Carlo data analysis,’’ ibid. 63, 1195–1198 !1989".</ref>
que são limitados em sistemas grandes devido as baixa qualidade estatística nas asas do histograma.
Dentro deste contexto, o algoritmo Wang-Landau promete resolver problemas encontrados em amostragens convencionais como o ''critical slowing down'' para temperaturas próximas da temperatura crítica <math>T_c</math> utilizando-se de caminhadas aleatórias controladas para mapear a densidade de estados <math>g(E)</math> de um sistema, sem depender do método de repesagem de histogramas.

----

A maioria dos algoritmos de amostragem convencionais geram uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_can%C3%B3nico distribuição canônica] não normalizada

<div id="equação de distribuição de probabilidade canônica"> <math> P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

para uma determinada temperatura <math>T</math>, Geralmente estas distribuições são estreitas e se faz necessário múltiplas simulações para obter algum parâmetro [https://pt.wikipedia.org/wiki/Termodin%C3%A2mica termodinâmico] para uma distribuição significantemente grande de temperaturas.
Como <math>g(E)</math> não depende de temperatura do sistema, se pudermos encontrá-lo para todo <math>E</math>, podemos encontrar a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_de_parti%C3%A7%C3%A3o_(mec%C3%A2nica_estat%C3%ADstica) função de partição]

<div id="pf"> <math> Z(T) = \sum_E g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

e o sistema esta essencialmente resolvido, uma vez que grande parte dos parâmetros termodinâmicos podem ser derivados de <math>Z</math>. Além disso, a amostragem de Wang-Landau é provada ser útil em diversas aplicações como o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Antiferromagnetismo antiferromagneto] de Potts
<ref>C. Yamaguchi and Y. Okabe, ‘‘Three-dimensional antiferromagnetic
q-state Potts models: application of the Wang-Landau algorithm,’’ J. Phys.
A 34, 8781– 8794 !2001"</ref>
, sistemas de spins aleatórios<ref>Y. Okabe, Y. Tomita, and C. Yamaguchi, ‘‘Application of new Monte Carlo
algorithms to random spin systems,’’ Comput. Phys. Commun. 146, 63– 68
!2002".</ref>
, sistemas [https://pt.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica quânticos]<ref>
2M. Troyer, S. Wessel, and F. Alet, ‘‘Flat histogram methods for quantum
systems: Algorithms to overcome tunneling problems and calculate the
free energy,’’ Phys. Rev. Lett. 90, 120201 !2003". </ref>, etc... .

==Descrição do algoritmo de Wang Landau==
Descreveremos o funcionamento do algoritmo de Wang-Landau num sistema de spins clássicos de 2 estados numa grade bidimensional com valores discretos de energia e sem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Campo_magn%C3%A9tico campo magnético]([https://pt.wikipedia.org/wiki/Modelo_de_Ising Modelo de Ising]2D). Portanto quando nos referirmos a <math>g(E)</math> como densidade de estados, interpretamos como o número de estados com energia E.
A amostragem de Wang-Landau faz caminhadas aleatórias no espaço de energia mudando os estados de spins aleatoriamente selecionados, porém esta mudança só é aceita com probabilidade proporcional a reciproca da densidade de estados. Durante a caminhada também se acumula o número de vezes que uma energia é visitada durante a caminhada <math>H(E)</math>, isto é, ao visitarmos a energia <math>E_1</math> faz-se a atualização da variável <math> H(E_1) \rightarrow H(E_1) + 1 </math>. Por outro lado, a atualização da densidade de estados <math>g(E_1)</math> se da por um fator multiplicativo <math>f</math> (<math> g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f </math>) controlado ao longo da simulação para que seja muito próximo de 1 ao final das caminhadas.

Podemos descrever os passos do algoritmo da seguinte maneira:
# Inicializamos as densidades de energias com <math>g(E) = 1</math> para todo <math>E</math>, da mesma forma <math>H(E) = 0</math> para todo <math>E</math>.
# Inicializamos <math>f = f_0 = e \approx 2.71828</math> e um sistema <math>L\times L</math> de spins de valor 1 e -1 aleatoriamente distribuídos.
#*O valor de <math>f</math> é arbitrário e deve ser escolhido não muito pequeno, pois irá fazer com que a simulação demore muito tempo para explorar diversas energias, por outro lado se escolhido muito grande, levará a erros estatísticos significativos.
# Começamos a caminhada inicial escolhendo aleatoriamente um dos spins e mudando o seu estado.
# Se denotamos <math>E_1</math> como a energia antes da mudança de estado do spin selecionado e <math>E_2</math> como a energia após, aceitamos este novo estado com a seguinte probabilidade: <math>P(E_1 \rightarrow E_2) = \text{min}\left(\frac{g(E_1)}{g(E_2)},1\right)</math>
#*Se aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_2) \rightarrow g(E_2) \times f</math> e <math>H(E_2) \rightarrow H(E_2) +1</math> respectivamente.
#*Se não aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f</math> e <math>H(E_1) \rightarrow H(E_1) +1</math> respectivamente, de maneira a recontar o estado <math>E_1</math>.
#*Destaca-se que em ambos os casos usamos <math>\ln(g(E)) = \rightarrow \ln(g(E)) + \ln(f)</math>, pois ao longo da simulação acabamos usando números muito grandes.
#Faz-se esta caminhada aleatória nos diferentes estados do sistema até que o histograma <math>H(E)</math> esteja aproximadamente plano.
#*O critério para decidir se um histograma está plano é arbitrário. Para um [https://pt.wikipedia.org/wiki/Hamiltoniano_(mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica) hamiltoniano] de Ising 2D este critério pode ser definido tão alto quanto 95% (i.e. todos os valores de <math>H(E)</math> devem ser pelo menos 95% de <math> \langle H(E) \rangle </math>), porém valores mais altos que isso podem resultar no programa nunca identificando o histograma como plano.
#Checa-se se <math>H(E)</math> está plano a cada 10000 passos MC. Quando está plano, podemos dizer que todos os estados foram visitados uma quantidade de vezes aproximadamente igual e a densidade de estados <math>g(E)</math> converge ao valor real com precisão da ordem de <math>f</math>. (O critério de 10000 passos é arbitrário e pode ser modificado de acordo com o propósito da simulação).
#*Um passo MC corresponde a <math>L^2 = N</math> passos.
#Reduz-se o fator <math>f</math> da seguinte maneira <math>f_1 \rightarrow \sqrt{f_0}</math>, reinicia-se o histograma <math>H(E) = 0</math> e recomeça-se a caminhada aleatória com este novo fator <math>f</math>. (Todos os parâmetros não mencionados neste passo permanecem intocados).
#Continuamos executando os passos 5-7, reduzindo o fator <math>f</math> segundo a seguinte expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math>
#Encerra-se a simulação quando <math>f_{final}</math> estiver da ordem do erro desejado.
#*Claro que <math>f_{final}</math> pode ser escolhido arbitrariamente pequeno, mas sempre com um certo limite razoável <math>(10^{-6}-10^{-8})</math>, ou a simulação pode tomar tempos não razoáveis para completar.

==Observações sobre o algoritmo==
Nesta seção discutimos algumas observações importantes a se levar em conta na implementação do método de amostragem de Wang-Landau
===Fator de modificação f===
Quando tratamos da atualização do fator <math>f</math>, a expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math> é apenas uma recomendação, uma vez que outros valores de <math>n>1</math> podem ser escolhidos para uma atualização do tipo <math>f_{i+1} = f_{i}^{(1/n)}</math>. Não obstante, <math>n = 2</math> é adequado para o sistema estudado (Ising 2D), resultando em boa acurácia em relativamente pouco tempo de simulação.

===Implementação paralela===
A simulação pode ser melhorada ainda fazendo múltiplas caminhadas aleatórias paralelamente no espaço de energias. Restringindo o alcance das caminhadas proporcionalmente com o número de caminhantes em paralelo (e.g. No caso de 2 caminhantes simultâneos, dividimos o espaço de energias em 2 e restringimos um caminhante para a metade inferior das energias, e o outro para a parte superior) e depois juntando as densidades de estados resultantes.
<ref>Vogel, Thomas, et al. "Generic, hierarchical framework for massively parallel Wang-Landau sampling." Physical review letters 110.21 (2013): 210603.</ref>

===Balanço detalhado===
A condição de balanço detalhado inicialmente não é satisfeita uma vez que <math>g(E)</math> é constantemente modificada durante a caminhada aleatória. Porém após várias iterações, a condição é satisfeita a medida que <math>f</math> se aproxima de 1. Observa-se que se <math>P(E_1 \rightarrow E_2)</math> é a probabilidade de transição da energia <math>E_1</math> para a energia <math>E_2</math>, utilizando a equação do passo 4 do algoritmo temos que:

<math>
\frac{P(E_1 \rightarrow E_2)}{P(E_2 \rightarrow E_1)} = \frac{g(E_1)}{g(E_2)}.
</math>

Podemos reescrever a equação de uma forma mais familiar

<math>
\frac{1}{g(E_1)}P(E_1 \rightarrow E_2) = \frac{1}{g(E_2)}P(E_2 \rightarrow E_1)
</math>

que é a condição de balanceamento detalhado, uma vez que interpretamos que <math>1/g(E_1)</math> como a probabilidade do sistema possuir a energia <math>E_1</math> e analogamente para <math>E_2</math>. Concluímos então que a condição de balanço detalhado é satisfeita com precisão proporcional a <math>\ln(f)</math>.
===Escalabilidade===
Quando analisamos um modelo de Ising 2D de tamanho <math>L\times L</math>, temos que o número de configurações <math>(2^N, N = L^2)</math> aumenta exponencialmente com <math>N</math>, enquanto o número de possíveis energias é por volta de <math>2N</math> e aumenta linearmente com N. Implicando que temos uma escalabilidade muito boa para as caminhadas no espaço de energia quando o objetivo é estimar <math>g(E)</math> uma vez que um aumento no tamanho da grade não implica em um aumento exponencial, mas sim linear, no tempo de execução.
===Normalização===
É necessário ressaltar que após a simulação completa, o algoritmo de Wang-Landau nos fornece apenas a densidade de estados relativa. Para extrairmos a real densidade de estados <math>g_n(E)</math> é necessário que utilizemos uma das duas condições: Que o número total de estados possíveis é <math>\sum_Eg_n(E) = Q^N</math> ou que o numero de estados fundamentais é <math>Q</math> (onde <math>Q = 2</math> para o modelo de Ising 2D pois os spins possuem apenas dois estados).

Pela primeira condição, podemos obter a densidade de estados normalizada através da equação

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[\sum_Eg(E)] + N\ln(2)</math>,

enquanto pela segunda condição temos que

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[g(E = -2N)] + \ln(2)</math>.

A segunda normalização é preferível pois garante precisão para estados de menor energia, o que é necessário para o calculo de parâmetros termodinâmicos a baixas temperaturas.

===Grandezas Termodinâmicos===
Uma vez que temos a densidade de estados, podemos calcular diversos parâmetros termodinâmicos, como a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_interna energia interna] <math>U(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Calor_espec%C3%ADfico calor especifico] <math>C(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_livre_de_Helmholtz energia livre de Helmholtz] <math>F(T)</math> e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Entropia entropia] <math>S(T)</math> através das seguintes equações:
<div id="equações para parâmetros termodinâmicos">
<math>U(T) = \frac{\sum_EEg(E)e^{-E/k_BT}}{\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}}</math>

<math>C(T) = \frac{\langle E^2\rangle - \langle E\rangle^2}{k_BT^2}</math>

<math>F(T) = -k_BT\ln\left(\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}\right)</math>

<math>S(T) = \frac{U(T) - F(T)}{T}</math>
</div>
Estes parâmetros termodinâmicos dependem apenas da temperatura uma vez que já foi encontrado a densidade de estados <math>g(E)</math>, o que contorna os problemas de ''critical slowing down'' na temperatura crítica pois a simulação não precisa ser refeita para cada uma das temperaturas, por consequência também dispensa a necessidade de repesagem de histogramas, contornando o problema de estatística fraca nas asas dos histogramas.

==Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau==
Podemos aplicar o algoritmo de Wang-Landau para um sistema [https://pt.wikipedia.org/wiki/Ferromagnetismo#:~:text=Ferromagnetismo%20%C3%A9%20o%20mecanismo%20b%C3%A1sico,diferentes%20de%20magnetismo%20s%C3%A3o%20distinguidos. ferromagnético] 2D de Ising com interação de primeiros vizinhos e uma grade quadrada <math>L\times L</math> com [https://pt.wikipedia.org/wiki/Condi%C3%A7%C3%B5es_de_fronteira_peri%C3%B3dicas condições de contorno periódicas] no qual o hamiltoniano é dado por

<math>\mathcal{H} = -\sum_{\langle i,j\rangle}\sigma_{i}\sigma_j</math>

onde <math>\sigma_{i} = +1</math> para spin para cima, <math>\sigma_{i} = -1</math> para baixo e <math>\langle i,j\rangle</math> indica a soma entre os primeiros vizinhos. Na Fig.1 temos a densidade de estados <math>g(E)</math> para um sistema <math>16 \times 16</math> com <math>f_{final} \sim 10^{-6}</math> e com critério para um histograma <math>H(E)</math> plano de 80%. Com esses parâmetros, a ''Google Compute Engine'' padrão para [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python3] do Google Colab realiza a simulação em <math>\sim 40s</math>.

[[Arquivo: erickStateDensity.png|400px|thumb|center| Figura 1: Logaritmo da densidade de estados <math>\ln(g(E))</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>, há uma brusca queda na densidade de estados perto das pontas uma vez que as energias <math>-2L^2 + 8</math> e <math>2L^2 - 8</math> são inalcançáveis pelo sistema.]]

Fazendo uso da [[#equação de distribuição de probabilidade canônica]], podemos encontrar a distribuição de probabilidade das energias para uma determinada temperatura <math>T</math>. Devido a natureza do algoritmo, estas distribuições que por meios convencionais levariam tempo demasiadamente grande para ser calculado ou necessitariam de repesagem de histograma são instantaneamente calculadas com o algoritmo de Wang-Landau independentemente da temperatura. Na Fig.2 temos um exemplo das distribuições, incluindo uma próxima da temperatura critica <math>T_c</math>.

[[Arquivo: erickProbs.png|400px|thumb|center| Figura 2: A distribuição canônica <math>P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}</math> em 3 temperaturas, incluindo a temperatura crítica <math>T_c</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>.]]

Fazendo uso das [[#equações para parâmetros termodinâmicos]], podemos calculá-los para este sistema em função da temperatura quase que instantaneamente. Estes são ilustrados nas Figs. 3,4,5,6.
<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickU.png|400px|thumb|center| Figura 3: A Energia interna do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickC.png|400px|thumb|center| Figura 4: O Calor Específico do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o pico se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickF.png|400px|thumb|center| Figura 5: A Energia Livre do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o começo da queda se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickS.png|400px|thumb|center| Figura 6: A Entropia do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
</ul></div>

==Código do Exemplo==
[[Exemplo de código para a amostragem de Wang-Landau em Python3]]

==Referências==
<references />

Amostragem de Wang-Landau

2022-10-19T01:07:14Z

Erickc: /* Normalização */

O [https://pt.wikipedia.org/wiki/Algoritmo algoritmo] de amostragem de Wang-Landau é um método de amostragem para simulações de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo Monte Carlo] introduzido por F. Wang and D. P. Landau em 2001
<ref>F. Wang and D. P. Landau, ‘‘Efficient, multiple-range random walk algorithm to calculate the density of states,’’ Phys. Rev. Lett. 86, 2050–2053
!2001"; ‘‘Determining the density of states for classical statistical models:
A random walk algorithm to produce a flat histogram,’’ Phys. Rev. E 64,
056101 !2001".
</ref>
(com uma versão didática publicada em 2004 por D.P Landau, Shan-Ho Tsai e M. Exlerem),
<ref>Landau, D. P., Shan-Ho Tsai, and M. Exler. "A new approach to Monte Carlo simulations in statistical physics: Wang-Landau sampling." American Journal of Physics 72.10 (2004): 1294-1302.</ref>
que apresenta diversas vantagens sobre outros métodos para sistemas de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Spin spins]. Dentre eles podemos citar o algoritmo de Metropolis
<ref>N. Metropolis, A. W. Rosenbluth, M. N. Rosenbluth, A. H. Teller, and E.
Teller, ‘‘Equation of state calculations by fast computing machines,’’ J.
Chem. Phys. 21, 1087–1092 !1953".</ref>
, o algoritmo de ''clustering'' de Wolff
<ref>U. Wolff, ‘‘Collective Monte Carlo updating for spin systems,’’ Phys. Rev.
Lett. 62, 361–364 !1989".</ref>
, ou em um modelamento de ''ensamble'' multi-canônico
<ref>B. A. Berg and T. Neuhaus, ‘‘Multicanonical ensemble: A new approach to
simulate first-order phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 68, 9–12 !1992"</ref>
. Nestes dois últimos métodos são utilizados métodos de repesagem de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Histograma histogramas]<ref>
A. M. Ferrenberg and R. H. Swendsen, ‘‘New Monte Carlo technique for
studying phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 61, 2635–2638 !1988"; ‘‘Optimized Monte Carlo data analysis,’’ ibid. 63, 1195–1198 !1989".</ref>
que são limitados em sistemas grandes devido as baixa qualidade estatística nas asas do histograma.
Dentro deste contexto, o algoritmo Wang-Landau promete resolver problemas encontrados em amostragens convencionais como o ''critical slowing down'' para temperaturas próximas da temperatura crítica <math>T_c</math> utilizando-se de caminhadas aleatórias controladas para mapear a densidade de estados <math>g(E)</math> de um sistema, sem depender do método de repesagem de histogramas.

----

A maioria dos algoritmos de amostragem convencionais geram uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_can%C3%B3nico distribuição canônica] não normalizada

<div id="equação de distribuição de probabilidade canônica"> <math> P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

para uma determinada temperatura <math>T</math>, Geralmente estas distribuições são estreitas e se faz necessário múltiplas simulações para obter algum parâmetro [https://pt.wikipedia.org/wiki/Termodin%C3%A2mica termodinâmico] para uma distribuição significantemente grande de temperaturas.
Como <math>g(E)</math> não depende de temperatura do sistema, se pudermos encontrá-lo para todo <math>E</math>, podemos encontrar a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_de_parti%C3%A7%C3%A3o_(mec%C3%A2nica_estat%C3%ADstica) função de partição]

<div id="pf"> <math> Z(T) = \sum_E g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

e o sistema esta essencialmente resolvido, uma vez que grande parte dos parâmetros termodinâmicos podem ser derivados de <math>Z</math>. Além disso, a amostragem de Wang-Landau é provada ser útil em diversas aplicações como o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Antiferromagnetismo antiferromagneto] de Potts
<ref>C. Yamaguchi and Y. Okabe, ‘‘Three-dimensional antiferromagnetic
q-state Potts models: application of the Wang-Landau algorithm,’’ J. Phys.
A 34, 8781– 8794 !2001"</ref>
, sistemas de spins aleatórios<ref>Y. Okabe, Y. Tomita, and C. Yamaguchi, ‘‘Application of new Monte Carlo
algorithms to random spin systems,’’ Comput. Phys. Commun. 146, 63– 68
!2002".</ref>
, sistemas [https://pt.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica quânticos]<ref>
2M. Troyer, S. Wessel, and F. Alet, ‘‘Flat histogram methods for quantum
systems: Algorithms to overcome tunneling problems and calculate the
free energy,’’ Phys. Rev. Lett. 90, 120201 !2003". </ref>, etc... .

==Descrição do algoritmo de Wang Landau==
Descreveremos o funcionamento do algoritmo de Wang-Landau num sistema de spins clássicos de 2 estados numa grade bidimensional com valores discretos de energia e sem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Campo_magn%C3%A9tico campo magnético]([https://pt.wikipedia.org/wiki/Modelo_de_Ising Modelo de Ising]2D). Portanto quando nos referirmos a <math>g(E)</math> como densidade de estados, interpretamos como o número de estados com energia E.
A amostragem de Wang-Landau faz caminhadas aleatórias no espaço de energia mudando os estados de spins aleatoriamente selecionados, porém esta mudança só é aceita com probabilidade proporcional a reciproca da densidade de estados. Durante a caminhada também se acumula o número de vezes que uma energia é visitada durante a caminhada <math>H(E)</math>, isto é, ao visitarmos a energia <math>E_1</math> faz-se a atualização da variável <math> H(E_1) \rightarrow H(E_1) + 1 </math>. Por outro lado, a atualização da densidade de estados <math>g(E_1)</math> se da por um fator multiplicativo <math>f</math> (<math> g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f </math>) controlado ao longo da simulação para que seja muito próximo de 1 ao final das caminhadas.

Podemos descrever os passos do algoritmo da seguinte maneira:
# Inicializamos as densidades de energias com <math>g(E) = 1</math> para todo <math>E</math>, da mesma forma <math>H(E) = 0</math> para todo <math>E</math>.
# Inicializamos <math>f = f_0 = e \approx 2.71828</math> e um sistema <math>L\times L</math> de spins de valor 1 e -1 aleatoriamente distribuídos.
#*O valor de <math>f</math> é arbitrário e deve ser escolhido não muito pequeno, pois irá fazer com que a simulação demore muito tempo para explorar diversas energias, por outro lado se escolhido muito grande, levará a erros estatísticos significativos.
# Começamos a caminhada inicial escolhendo aleatoriamente um dos spins e mudando o seu estado.
# Se denotamos <math>E_1</math> como a energia antes da mudança de estado do spin selecionado e <math>E_2</math> como a energia após, aceitamos este novo estado com a seguinte probabilidade: <math>P(E_1 \rightarrow E_2) = \text{min}\left(\frac{g(E_1)}{g(E_2)},1\right)</math>
#*Se aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_2) \rightarrow g(E_2) \times f</math> e <math>H(E_2) \rightarrow H(E_2) +1</math> respectivamente.
#*Se não aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f</math> e <math>H(E_1) \rightarrow H(E_1) +1</math> respectivamente, de maneira a recontar o estado <math>E_1</math>.
#*Destaca-se que em ambos os casos usamos <math>\ln(g(E)) = \rightarrow \ln(g(E)) + \ln(f)</math>, pois ao longo da simulação acabamos usando números muito grandes.
#Faz-se esta caminhada aleatória nos diferentes estados do sistema até que o histograma <math>H(E)</math> esteja aproximadamente plano.
#*O critério para decidir se um histograma está plano é arbitrário. Para um [https://pt.wikipedia.org/wiki/Hamiltoniano_(mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica) hamiltoniano] de Ising 2D este critério pode ser definido tão alto quanto 95% (i.e. todos os valores de <math>H(E)</math> devem ser pelo menos 95% de <math> \langle H(E) \rangle </math>), porém valores mais altos que isso podem resultar no programa nunca identificando o histograma como plano.
#Checa-se se <math>H(E)</math> está plano a cada 10000 passos MC. Quando está plano, podemos dizer que todos os estados foram visitados uma quantidade de vezes aproximadamente igual e a densidade de estados <math>g(E)</math> converge ao valor real com precisão da ordem de <math>f</math>. (O critério de 10000 passos é arbitrário e pode ser modificado de acordo com o propósito da simulação).
#*Um passo MC corresponde a <math>L^2 = N</math> passos.
#Reduz-se o fator <math>f</math> da seguinte maneira <math>f_1 \rightarrow \sqrt{f_0}</math>, reinicia-se o histograma <math>H(E) = 0</math> e recomeça-se a caminhada aleatória com este novo fator <math>f</math>. (Todos os parâmetros não mencionados neste passo permanecem intocados).
#Continuamos executando os passos 5-7, reduzindo o fator <math>f</math> segundo a seguinte expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math>
#Encerra-se a simulação quando <math>f_{final}</math> estiver da ordem do erro desejado.
#*Claro que <math>f_{final}</math> pode ser escolhido arbitrariamente pequeno, mas sempre com um certo limite razoável <math>(10^{-6}-10^{-8})</math>, ou a simulação pode tomar tempos não razoáveis para completar.

==Observações sobre o algoritmo==
Nesta seção discutimos algumas observações importantes a se levar em conta na implementação do método de amostragem de Wang-Landau
===Fator de modificação f===
Quando tratamos da atualização do fator <math>f</math>, a expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math> é apenas uma recomendação, uma vez que outros valores de <math>n>1</math> podem ser escolhidos para uma atualização do tipo <math>f_{i+1} = f_{i}^{(1/n)}</math>. Não obstante, <math>n = 2</math> é adequado para o sistema estudado (Ising 2D), resultando em boa acurácia em relativamente pouco tempo de simulação.

===Implementação paralela===
A simulação pode ser melhorada ainda fazendo múltiplas caminhadas aleatórias paralelamente no espaço de energias. Restringindo o alcance das caminhadas proporcionalmente com o número de caminhantes em paralelo (e.g. No caso de 2 caminhantes simultâneos, dividimos o espaço de energias em 2 e restringimos um caminhante para a metade inferior das energias, e o outro para a parte superior) e depois juntando as densidades de estados resultantes.
<ref>Vogel, Thomas, et al. "Generic, hierarchical framework for massively parallel Wang-Landau sampling." Physical review letters 110.21 (2013): 210603.</ref>

===Balanço detalhado===
A condição de balanço detalhado inicialmente não é satisfeita uma vez que <math>g(E)</math> é constantemente modificada durante a caminhada aleatória. Porém após várias iterações, a condição é satisfeita a medida que <math>f</math> se aproxima de 1. Observa-se que se <math>P(E_1 \rightarrow E_2)</math> é a probabilidade de transição da energia <math>E_1</math> para a energia <math>E_2</math>, utilizando a equação do passo 4 do algoritmo temos que:

<math>
\frac{P(E_1 \rightarrow E_2)}{P(E_2 \rightarrow E_1)} = \frac{g(E_1)}{g(E_2)}.
</math>

Podemos reescrever a equação de uma forma mais familiar

<math>
\frac{1}{g(E_1)}P(E_1 \rightarrow E_2) = \frac{1}{g(E_2)}P(E_2 \rightarrow E_1)
</math>

que é a condição de balanceamento detalhado, uma vez que interpretamos que <math>1/g(E_1)</math> como a probabilidade do sistema possuir a energia <math>E_1</math> e analogamente para <math>E_2</math>. Concluímos então que a condição de balanço detalhado é satisfeita com precisão proporcional a <math>\ln(f)</math>.
===Escalabilidade===
Quando analisamos um modelo de Ising 2D de tamanho <math>L\times L</math>, temos que o número de configurações <math>(2^N, N = L^2)</math> aumenta exponencialmente com <math>N</math>, enquanto o número de possíveis energias é por volta de <math>2N</math> e aumenta linearmente com N. Implicando que temos uma escalabilidade muito boa para as caminhadas no espaço de energia quando o objetivo é estimar <math>g(E)</math> uma vez que um aumento no tamanho da grade não implica em um aumento exponencial, mas sim linear, no tempo de execução.
===Normalização===
É necessário ressaltar que após a simulação completa, o algoritmo de Wang-Landau nos fornece apenas a densidade de estados relativa. Para extrairmos a real densidade de estados <math>g_n(E)</math> é necessário que utilizemos uma das duas condições: Que o número total de estados possíveis é <math>\sum_Eg_n(E) = Q^N</math> ou que o numero de estados fundamentais é <math>Q</math> (onde <math>Q = 2</math> para o modelo de Ising 2D pois os spins possuem apenas dois estados).

Pela primeira condição, podemos obter a densidade de estados normalizada através da equação

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[\sum_Eg(E)] + N\ln(2)</math>,

enquanto pela segunda condição temos que

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[g(E = -2N)] + \ln(2)</math>.

A segunda normalização é preferível pois garante precisão para estados de menor energia, o que é necessário para o calculo de parâmetros termodinâmicos a baixas temperaturas.

===Parâmetros Termodinâmicos===
Uma vez que temos a densidade de estados, podemos calcular diversos parâmetros termodinâmicos, como a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_interna energia interna] <math>U(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Calor_espec%C3%ADfico calor especifico] <math>C(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_livre_de_Helmholtz energia livre de Helmholtz] <math>F(T)</math> e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Entropia entropia] <math>S(T)</math> através das seguintes equações:
<div id="equações para parâmetros termodinâmicos">
<math>U(T) = \frac{\sum_EEg(E)e^{-E/k_BT}}{\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}}</math>

<math>C(T) = \frac{\langle E^2\rangle - \langle E\rangle^2}{k_BT^2}</math>

<math>F(T) = -k_BT\ln\left(\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}\right)</math>

<math>S(T) = \frac{U(T) - F(T)}{T}</math>
</div>
Estes parâmetros termodinâmicos dependem apenas da temperatura uma vez que já foi encontrado a densidade de estados <math>g(E)</math>, o que contorna os problemas de ''critical slowing down'' na temperatura crítica pois a simulação não precisa ser refeita para cada uma das temperaturas, por consequência também dispensa a necessidade de repesagem de histogramas, contornando o problema de estatística fraca nas asas dos histogramas.

==Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau==
Podemos aplicar o algoritmo de Wang-Landau para um sistema [https://pt.wikipedia.org/wiki/Ferromagnetismo#:~:text=Ferromagnetismo%20%C3%A9%20o%20mecanismo%20b%C3%A1sico,diferentes%20de%20magnetismo%20s%C3%A3o%20distinguidos. ferromagnético] 2D de Ising com interação de primeiros vizinhos e uma grade quadrada <math>L\times L</math> com [https://pt.wikipedia.org/wiki/Condi%C3%A7%C3%B5es_de_fronteira_peri%C3%B3dicas condições de contorno periódicas] no qual o hamiltoniano é dado por

<math>\mathcal{H} = -\sum_{\langle i,j\rangle}\sigma_{i}\sigma_j</math>

onde <math>\sigma_{i} = +1</math> para spin para cima, <math>\sigma_{i} = -1</math> para baixo e <math>\langle i,j\rangle</math> indica a soma entre os primeiros vizinhos. Na Fig.1 temos a densidade de estados <math>g(E)</math> para um sistema <math>16 \times 16</math> com <math>f_{final} \sim 10^{-6}</math> e com critério para um histograma <math>H(E)</math> plano de 80%. Com esses parâmetros, a ''Google Compute Engine'' padrão para [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python3] do Google Colab realiza a simulação em <math>\sim 40s</math>.

[[Arquivo: erickStateDensity.png|400px|thumb|center| Figura 1: Logaritmo da densidade de estados <math>\ln(g(E))</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>, há uma brusca queda na densidade de estados perto das pontas uma vez que as energias <math>-2L^2 + 8</math> e <math>2L^2 - 8</math> são inalcançáveis pelo sistema.]]

Fazendo uso da [[#equação de distribuição de probabilidade canônica]], podemos encontrar a distribuição de probabilidade das energias para uma determinada temperatura <math>T</math>. Devido a natureza do algoritmo, estas distribuições que por meios convencionais levariam tempo demasiadamente grande para ser calculado ou necessitariam de repesagem de histograma são instantaneamente calculadas com o algoritmo de Wang-Landau independentemente da temperatura. Na Fig.2 temos um exemplo das distribuições, incluindo uma próxima da temperatura critica <math>T_c</math>.

[[Arquivo: erickProbs.png|400px|thumb|center| Figura 2: A distribuição canônica <math>P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}</math> em 3 temperaturas, incluindo a temperatura crítica <math>T_c</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>.]]

Fazendo uso das [[#equações para parâmetros termodinâmicos]], podemos calculá-los para este sistema em função da temperatura quase que instantaneamente. Estes são ilustrados nas Figs. 3,4,5,6.
<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickU.png|400px|thumb|center| Figura 3: A Energia interna do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickC.png|400px|thumb|center| Figura 4: O Calor Específico do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o pico se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickF.png|400px|thumb|center| Figura 5: A Energia Livre do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o começo da queda se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickS.png|400px|thumb|center| Figura 6: A Entropia do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
</ul></div>

==Código do Exemplo==
[[Exemplo de código para a amostragem de Wang-Landau em Python3]]

==Referências==
<references />

Amostragem de Wang-Landau

2022-10-19T01:04:27Z

Erickc: /* Fator de modificação f */

O [https://pt.wikipedia.org/wiki/Algoritmo algoritmo] de amostragem de Wang-Landau é um método de amostragem para simulações de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo Monte Carlo] introduzido por F. Wang and D. P. Landau em 2001
<ref>F. Wang and D. P. Landau, ‘‘Efficient, multiple-range random walk algorithm to calculate the density of states,’’ Phys. Rev. Lett. 86, 2050–2053
!2001"; ‘‘Determining the density of states for classical statistical models:
A random walk algorithm to produce a flat histogram,’’ Phys. Rev. E 64,
056101 !2001".
</ref>
(com uma versão didática publicada em 2004 por D.P Landau, Shan-Ho Tsai e M. Exlerem),
<ref>Landau, D. P., Shan-Ho Tsai, and M. Exler. "A new approach to Monte Carlo simulations in statistical physics: Wang-Landau sampling." American Journal of Physics 72.10 (2004): 1294-1302.</ref>
que apresenta diversas vantagens sobre outros métodos para sistemas de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Spin spins]. Dentre eles podemos citar o algoritmo de Metropolis
<ref>N. Metropolis, A. W. Rosenbluth, M. N. Rosenbluth, A. H. Teller, and E.
Teller, ‘‘Equation of state calculations by fast computing machines,’’ J.
Chem. Phys. 21, 1087–1092 !1953".</ref>
, o algoritmo de ''clustering'' de Wolff
<ref>U. Wolff, ‘‘Collective Monte Carlo updating for spin systems,’’ Phys. Rev.
Lett. 62, 361–364 !1989".</ref>
, ou em um modelamento de ''ensamble'' multi-canônico
<ref>B. A. Berg and T. Neuhaus, ‘‘Multicanonical ensemble: A new approach to
simulate first-order phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 68, 9–12 !1992"</ref>
. Nestes dois últimos métodos são utilizados métodos de repesagem de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Histograma histogramas]<ref>
A. M. Ferrenberg and R. H. Swendsen, ‘‘New Monte Carlo technique for
studying phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 61, 2635–2638 !1988"; ‘‘Optimized Monte Carlo data analysis,’’ ibid. 63, 1195–1198 !1989".</ref>
que são limitados em sistemas grandes devido as baixa qualidade estatística nas asas do histograma.
Dentro deste contexto, o algoritmo Wang-Landau promete resolver problemas encontrados em amostragens convencionais como o ''critical slowing down'' para temperaturas próximas da temperatura crítica <math>T_c</math> utilizando-se de caminhadas aleatórias controladas para mapear a densidade de estados <math>g(E)</math> de um sistema, sem depender do método de repesagem de histogramas.

----

A maioria dos algoritmos de amostragem convencionais geram uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_can%C3%B3nico distribuição canônica] não normalizada

<div id="equação de distribuição de probabilidade canônica"> <math> P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

para uma determinada temperatura <math>T</math>, Geralmente estas distribuições são estreitas e se faz necessário múltiplas simulações para obter algum parâmetro [https://pt.wikipedia.org/wiki/Termodin%C3%A2mica termodinâmico] para uma distribuição significantemente grande de temperaturas.
Como <math>g(E)</math> não depende de temperatura do sistema, se pudermos encontrá-lo para todo <math>E</math>, podemos encontrar a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_de_parti%C3%A7%C3%A3o_(mec%C3%A2nica_estat%C3%ADstica) função de partição]

<div id="pf"> <math> Z(T) = \sum_E g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

e o sistema esta essencialmente resolvido, uma vez que grande parte dos parâmetros termodinâmicos podem ser derivados de <math>Z</math>. Além disso, a amostragem de Wang-Landau é provada ser útil em diversas aplicações como o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Antiferromagnetismo antiferromagneto] de Potts
<ref>C. Yamaguchi and Y. Okabe, ‘‘Three-dimensional antiferromagnetic
q-state Potts models: application of the Wang-Landau algorithm,’’ J. Phys.
A 34, 8781– 8794 !2001"</ref>
, sistemas de spins aleatórios<ref>Y. Okabe, Y. Tomita, and C. Yamaguchi, ‘‘Application of new Monte Carlo
algorithms to random spin systems,’’ Comput. Phys. Commun. 146, 63– 68
!2002".</ref>
, sistemas [https://pt.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica quânticos]<ref>
2M. Troyer, S. Wessel, and F. Alet, ‘‘Flat histogram methods for quantum
systems: Algorithms to overcome tunneling problems and calculate the
free energy,’’ Phys. Rev. Lett. 90, 120201 !2003". </ref>, etc... .

==Descrição do algoritmo de Wang Landau==
Descreveremos o funcionamento do algoritmo de Wang-Landau num sistema de spins clássicos de 2 estados numa grade bidimensional com valores discretos de energia e sem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Campo_magn%C3%A9tico campo magnético]([https://pt.wikipedia.org/wiki/Modelo_de_Ising Modelo de Ising]2D). Portanto quando nos referirmos a <math>g(E)</math> como densidade de estados, interpretamos como o número de estados com energia E.
A amostragem de Wang-Landau faz caminhadas aleatórias no espaço de energia mudando os estados de spins aleatoriamente selecionados, porém esta mudança só é aceita com probabilidade proporcional a reciproca da densidade de estados. Durante a caminhada também se acumula o número de vezes que uma energia é visitada durante a caminhada <math>H(E)</math>, isto é, ao visitarmos a energia <math>E_1</math> faz-se a atualização da variável <math> H(E_1) \rightarrow H(E_1) + 1 </math>. Por outro lado, a atualização da densidade de estados <math>g(E_1)</math> se da por um fator multiplicativo <math>f</math> (<math> g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f </math>) controlado ao longo da simulação para que seja muito próximo de 1 ao final das caminhadas.

Podemos descrever os passos do algoritmo da seguinte maneira:
# Inicializamos as densidades de energias com <math>g(E) = 1</math> para todo <math>E</math>, da mesma forma <math>H(E) = 0</math> para todo <math>E</math>.
# Inicializamos <math>f = f_0 = e \approx 2.71828</math> e um sistema <math>L\times L</math> de spins de valor 1 e -1 aleatoriamente distribuídos.
#*O valor de <math>f</math> é arbitrário e deve ser escolhido não muito pequeno, pois irá fazer com que a simulação demore muito tempo para explorar diversas energias, por outro lado se escolhido muito grande, levará a erros estatísticos significativos.
# Começamos a caminhada inicial escolhendo aleatoriamente um dos spins e mudando o seu estado.
# Se denotamos <math>E_1</math> como a energia antes da mudança de estado do spin selecionado e <math>E_2</math> como a energia após, aceitamos este novo estado com a seguinte probabilidade: <math>P(E_1 \rightarrow E_2) = \text{min}\left(\frac{g(E_1)}{g(E_2)},1\right)</math>
#*Se aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_2) \rightarrow g(E_2) \times f</math> e <math>H(E_2) \rightarrow H(E_2) +1</math> respectivamente.
#*Se não aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f</math> e <math>H(E_1) \rightarrow H(E_1) +1</math> respectivamente, de maneira a recontar o estado <math>E_1</math>.
#*Destaca-se que em ambos os casos usamos <math>\ln(g(E)) = \rightarrow \ln(g(E)) + \ln(f)</math>, pois ao longo da simulação acabamos usando números muito grandes.
#Faz-se esta caminhada aleatória nos diferentes estados do sistema até que o histograma <math>H(E)</math> esteja aproximadamente plano.
#*O critério para decidir se um histograma está plano é arbitrário. Para um [https://pt.wikipedia.org/wiki/Hamiltoniano_(mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica) hamiltoniano] de Ising 2D este critério pode ser definido tão alto quanto 95% (i.e. todos os valores de <math>H(E)</math> devem ser pelo menos 95% de <math> \langle H(E) \rangle </math>), porém valores mais altos que isso podem resultar no programa nunca identificando o histograma como plano.
#Checa-se se <math>H(E)</math> está plano a cada 10000 passos MC. Quando está plano, podemos dizer que todos os estados foram visitados uma quantidade de vezes aproximadamente igual e a densidade de estados <math>g(E)</math> converge ao valor real com precisão da ordem de <math>f</math>. (O critério de 10000 passos é arbitrário e pode ser modificado de acordo com o propósito da simulação).
#*Um passo MC corresponde a <math>L^2 = N</math> passos.
#Reduz-se o fator <math>f</math> da seguinte maneira <math>f_1 \rightarrow \sqrt{f_0}</math>, reinicia-se o histograma <math>H(E) = 0</math> e recomeça-se a caminhada aleatória com este novo fator <math>f</math>. (Todos os parâmetros não mencionados neste passo permanecem intocados).
#Continuamos executando os passos 5-7, reduzindo o fator <math>f</math> segundo a seguinte expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math>
#Encerra-se a simulação quando <math>f_{final}</math> estiver da ordem do erro desejado.
#*Claro que <math>f_{final}</math> pode ser escolhido arbitrariamente pequeno, mas sempre com um certo limite razoável <math>(10^{-6}-10^{-8})</math>, ou a simulação pode tomar tempos não razoáveis para completar.

==Observações sobre o algoritmo==
Nesta seção discutimos algumas observações importantes a se levar em conta na implementação do método de amostragem de Wang-Landau
===Fator de modificação f===
Quando tratamos da atualização do fator <math>f</math>, a expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math> é apenas uma recomendação, uma vez que outros valores de <math>n>1</math> podem ser escolhidos para uma atualização do tipo <math>f_{i+1} = f_{i}^{(1/n)}</math>. Não obstante, <math>n = 2</math> é adequado para o sistema estudado (Ising 2D), resultando em boa acurácia em relativamente pouco tempo de simulação.

===Implementação paralela===
A simulação pode ser melhorada ainda fazendo múltiplas caminhadas aleatórias paralelamente no espaço de energias. Restringindo o alcance das caminhadas proporcionalmente com o número de caminhantes em paralelo (e.g. No caso de 2 caminhantes simultâneos, dividimos o espaço de energias em 2 e restringimos um caminhante para a metade inferior das energias, e o outro para a parte superior) e depois juntando as densidades de estados resultantes.
<ref>Vogel, Thomas, et al. "Generic, hierarchical framework for massively parallel Wang-Landau sampling." Physical review letters 110.21 (2013): 210603.</ref>

===Balanço detalhado===
A condição de balanço detalhado inicialmente não é satisfeita uma vez que <math>g(E)</math> é constantemente modificada durante a caminhada aleatória. Porém após várias iterações, a condição é satisfeita a medida que <math>f</math> se aproxima de 1. Observa-se que se <math>P(E_1 \rightarrow E_2)</math> é a probabilidade de transição da energia <math>E_1</math> para a energia <math>E_2</math>, utilizando a equação do passo 4 do algoritmo temos que:

<math>
\frac{P(E_1 \rightarrow E_2)}{P(E_2 \rightarrow E_1)} = \frac{g(E_1)}{g(E_2)}.
</math>

Podemos reescrever a equação de uma forma mais familiar

<math>
\frac{1}{g(E_1)}P(E_1 \rightarrow E_2) = \frac{1}{g(E_2)}P(E_2 \rightarrow E_1)
</math>

que é a condição de balanceamento detalhado, uma vez que interpretamos que <math>1/g(E_1)</math> como a probabilidade do sistema possuir a energia <math>E_1</math> e analogamente para <math>E_2</math>. Concluímos então que a condição de balanço detalhado é satisfeita com precisão proporcional a <math>\ln(f)</math>.
===Escalabilidade===
Quando analisamos um modelo de Ising 2D de tamanho <math>L\times L</math>, temos que o número de configurações <math>(2^N, N = L^2)</math> aumenta exponencialmente com <math>N</math>, enquanto o número de possíveis energias é por volta de <math>2N</math> e aumenta linearmente com N. Implicando que temos uma escalabilidade muito boa para as caminhadas no espaço de energia quando o objetivo é estimar <math>g(E)</math> uma vez que um aumento no tamanho da grade não implica em um aumento exponencial, mas sim linear, no tempo de execução.
===Normalização===
É necessário ressaltar que após a simulação completa, o algoritmo de Wang-Landau nos fornece apenas a densidade de estados relativa. Para extrairmos a real densidade de estados <math>g_n(E)</math> é necessário que utilizemos uma das duas condições: Que o número total de estados possíveis é <math>\sum_Eg_n(E) = Q^N</math> ou que o numero de estados fundamentais é <math>Q</math> (onde <math>Q = 2</math> para o modelo de Ising 2D pois os spins possuem apenas dois estados).

Pela primeira condição, podemos obter a densidade de estados normalizada através da equação

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[\sum_Eg(E)] + N\ln(2)</math>,

enquanto pela segunda condição temos que

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[g(E = -2N)] + \ln(2)</math>.

A segunda normalização é preferível pois garante precisão para estados de menor energia, o que é necessário para o calculo de parâmetros termodinâmicos há baixas temperaturas.
===Parâmetros Termodinâmicos===
Uma vez que temos a densidade de estados, podemos calcular diversos parâmetros termodinâmicos, como a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_interna energia interna] <math>U(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Calor_espec%C3%ADfico calor especifico] <math>C(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_livre_de_Helmholtz energia livre de Helmholtz] <math>F(T)</math> e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Entropia entropia] <math>S(T)</math> através das seguintes equações:
<div id="equações para parâmetros termodinâmicos">
<math>U(T) = \frac{\sum_EEg(E)e^{-E/k_BT}}{\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}}</math>

<math>C(T) = \frac{\langle E^2\rangle - \langle E\rangle^2}{k_BT^2}</math>

<math>F(T) = -k_BT\ln\left(\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}\right)</math>

<math>S(T) = \frac{U(T) - F(T)}{T}</math>
</div>
Estes parâmetros termodinâmicos dependem apenas da temperatura uma vez que já foi encontrado a densidade de estados <math>g(E)</math>, o que contorna os problemas de ''critical slowing down'' na temperatura crítica pois a simulação não precisa ser refeita para cada uma das temperaturas, por consequência também dispensa a necessidade de repesagem de histogramas, contornando o problema de estatística fraca nas asas dos histogramas.

==Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau==
Podemos aplicar o algoritmo de Wang-Landau para um sistema [https://pt.wikipedia.org/wiki/Ferromagnetismo#:~:text=Ferromagnetismo%20%C3%A9%20o%20mecanismo%20b%C3%A1sico,diferentes%20de%20magnetismo%20s%C3%A3o%20distinguidos. ferromagnético] 2D de Ising com interação de primeiros vizinhos e uma grade quadrada <math>L\times L</math> com [https://pt.wikipedia.org/wiki/Condi%C3%A7%C3%B5es_de_fronteira_peri%C3%B3dicas condições de contorno periódicas] no qual o hamiltoniano é dado por

<math>\mathcal{H} = -\sum_{\langle i,j\rangle}\sigma_{i}\sigma_j</math>

onde <math>\sigma_{i} = +1</math> para spin para cima, <math>\sigma_{i} = -1</math> para baixo e <math>\langle i,j\rangle</math> indica a soma entre os primeiros vizinhos. Na Fig.1 temos a densidade de estados <math>g(E)</math> para um sistema <math>16 \times 16</math> com <math>f_{final} \sim 10^{-6}</math> e com critério para um histograma <math>H(E)</math> plano de 80%. Com esses parâmetros, a ''Google Compute Engine'' padrão para [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python3] do Google Colab realiza a simulação em <math>\sim 40s</math>.

[[Arquivo: erickStateDensity.png|400px|thumb|center| Figura 1: Logaritmo da densidade de estados <math>\ln(g(E))</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>, há uma brusca queda na densidade de estados perto das pontas uma vez que as energias <math>-2L^2 + 8</math> e <math>2L^2 - 8</math> são inalcançáveis pelo sistema.]]

Fazendo uso da [[#equação de distribuição de probabilidade canônica]], podemos encontrar a distribuição de probabilidade das energias para uma determinada temperatura <math>T</math>. Devido a natureza do algoritmo, estas distribuições que por meios convencionais levariam tempo demasiadamente grande para ser calculado ou necessitariam de repesagem de histograma são instantaneamente calculadas com o algoritmo de Wang-Landau independentemente da temperatura. Na Fig.2 temos um exemplo das distribuições, incluindo uma próxima da temperatura critica <math>T_c</math>.

[[Arquivo: erickProbs.png|400px|thumb|center| Figura 2: A distribuição canônica <math>P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}</math> em 3 temperaturas, incluindo a temperatura crítica <math>T_c</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>.]]

Fazendo uso das [[#equações para parâmetros termodinâmicos]], podemos calculá-los para este sistema em função da temperatura quase que instantaneamente. Estes são ilustrados nas Figs. 3,4,5,6.
<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickU.png|400px|thumb|center| Figura 3: A Energia interna do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickC.png|400px|thumb|center| Figura 4: O Calor Específico do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o pico se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickF.png|400px|thumb|center| Figura 5: A Energia Livre do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o começo da queda se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickS.png|400px|thumb|center| Figura 6: A Entropia do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
</ul></div>

==Código do Exemplo==
[[Exemplo de código para a amostragem de Wang-Landau em Python3]]

==Referências==
<references />

Amostragem de Wang-Landau

2022-10-19T01:04:06Z

Erickc: /* Observações sobre o algoritmo */

O [https://pt.wikipedia.org/wiki/Algoritmo algoritmo] de amostragem de Wang-Landau é um método de amostragem para simulações de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo Monte Carlo] introduzido por F. Wang and D. P. Landau em 2001
<ref>F. Wang and D. P. Landau, ‘‘Efficient, multiple-range random walk algorithm to calculate the density of states,’’ Phys. Rev. Lett. 86, 2050–2053
!2001"; ‘‘Determining the density of states for classical statistical models:
A random walk algorithm to produce a flat histogram,’’ Phys. Rev. E 64,
056101 !2001".
</ref>
(com uma versão didática publicada em 2004 por D.P Landau, Shan-Ho Tsai e M. Exlerem),
<ref>Landau, D. P., Shan-Ho Tsai, and M. Exler. "A new approach to Monte Carlo simulations in statistical physics: Wang-Landau sampling." American Journal of Physics 72.10 (2004): 1294-1302.</ref>
que apresenta diversas vantagens sobre outros métodos para sistemas de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Spin spins]. Dentre eles podemos citar o algoritmo de Metropolis
<ref>N. Metropolis, A. W. Rosenbluth, M. N. Rosenbluth, A. H. Teller, and E.
Teller, ‘‘Equation of state calculations by fast computing machines,’’ J.
Chem. Phys. 21, 1087–1092 !1953".</ref>
, o algoritmo de ''clustering'' de Wolff
<ref>U. Wolff, ‘‘Collective Monte Carlo updating for spin systems,’’ Phys. Rev.
Lett. 62, 361–364 !1989".</ref>
, ou em um modelamento de ''ensamble'' multi-canônico
<ref>B. A. Berg and T. Neuhaus, ‘‘Multicanonical ensemble: A new approach to
simulate first-order phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 68, 9–12 !1992"</ref>
. Nestes dois últimos métodos são utilizados métodos de repesagem de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Histograma histogramas]<ref>
A. M. Ferrenberg and R. H. Swendsen, ‘‘New Monte Carlo technique for
studying phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 61, 2635–2638 !1988"; ‘‘Optimized Monte Carlo data analysis,’’ ibid. 63, 1195–1198 !1989".</ref>
que são limitados em sistemas grandes devido as baixa qualidade estatística nas asas do histograma.
Dentro deste contexto, o algoritmo Wang-Landau promete resolver problemas encontrados em amostragens convencionais como o ''critical slowing down'' para temperaturas próximas da temperatura crítica <math>T_c</math> utilizando-se de caminhadas aleatórias controladas para mapear a densidade de estados <math>g(E)</math> de um sistema, sem depender do método de repesagem de histogramas.

----

A maioria dos algoritmos de amostragem convencionais geram uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_can%C3%B3nico distribuição canônica] não normalizada

<div id="equação de distribuição de probabilidade canônica"> <math> P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

para uma determinada temperatura <math>T</math>, Geralmente estas distribuições são estreitas e se faz necessário múltiplas simulações para obter algum parâmetro [https://pt.wikipedia.org/wiki/Termodin%C3%A2mica termodinâmico] para uma distribuição significantemente grande de temperaturas.
Como <math>g(E)</math> não depende de temperatura do sistema, se pudermos encontrá-lo para todo <math>E</math>, podemos encontrar a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_de_parti%C3%A7%C3%A3o_(mec%C3%A2nica_estat%C3%ADstica) função de partição]

<div id="pf"> <math> Z(T) = \sum_E g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

e o sistema esta essencialmente resolvido, uma vez que grande parte dos parâmetros termodinâmicos podem ser derivados de <math>Z</math>. Além disso, a amostragem de Wang-Landau é provada ser útil em diversas aplicações como o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Antiferromagnetismo antiferromagneto] de Potts
<ref>C. Yamaguchi and Y. Okabe, ‘‘Three-dimensional antiferromagnetic
q-state Potts models: application of the Wang-Landau algorithm,’’ J. Phys.
A 34, 8781– 8794 !2001"</ref>
, sistemas de spins aleatórios<ref>Y. Okabe, Y. Tomita, and C. Yamaguchi, ‘‘Application of new Monte Carlo
algorithms to random spin systems,’’ Comput. Phys. Commun. 146, 63– 68
!2002".</ref>
, sistemas [https://pt.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica quânticos]<ref>
2M. Troyer, S. Wessel, and F. Alet, ‘‘Flat histogram methods for quantum
systems: Algorithms to overcome tunneling problems and calculate the
free energy,’’ Phys. Rev. Lett. 90, 120201 !2003". </ref>, etc... .

==Descrição do algoritmo de Wang Landau==
Descreveremos o funcionamento do algoritmo de Wang-Landau num sistema de spins clássicos de 2 estados numa grade bidimensional com valores discretos de energia e sem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Campo_magn%C3%A9tico campo magnético]([https://pt.wikipedia.org/wiki/Modelo_de_Ising Modelo de Ising]2D). Portanto quando nos referirmos a <math>g(E)</math> como densidade de estados, interpretamos como o número de estados com energia E.
A amostragem de Wang-Landau faz caminhadas aleatórias no espaço de energia mudando os estados de spins aleatoriamente selecionados, porém esta mudança só é aceita com probabilidade proporcional a reciproca da densidade de estados. Durante a caminhada também se acumula o número de vezes que uma energia é visitada durante a caminhada <math>H(E)</math>, isto é, ao visitarmos a energia <math>E_1</math> faz-se a atualização da variável <math> H(E_1) \rightarrow H(E_1) + 1 </math>. Por outro lado, a atualização da densidade de estados <math>g(E_1)</math> se da por um fator multiplicativo <math>f</math> (<math> g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f </math>) controlado ao longo da simulação para que seja muito próximo de 1 ao final das caminhadas.

Podemos descrever os passos do algoritmo da seguinte maneira:
# Inicializamos as densidades de energias com <math>g(E) = 1</math> para todo <math>E</math>, da mesma forma <math>H(E) = 0</math> para todo <math>E</math>.
# Inicializamos <math>f = f_0 = e \approx 2.71828</math> e um sistema <math>L\times L</math> de spins de valor 1 e -1 aleatoriamente distribuídos.
#*O valor de <math>f</math> é arbitrário e deve ser escolhido não muito pequeno, pois irá fazer com que a simulação demore muito tempo para explorar diversas energias, por outro lado se escolhido muito grande, levará a erros estatísticos significativos.
# Começamos a caminhada inicial escolhendo aleatoriamente um dos spins e mudando o seu estado.
# Se denotamos <math>E_1</math> como a energia antes da mudança de estado do spin selecionado e <math>E_2</math> como a energia após, aceitamos este novo estado com a seguinte probabilidade: <math>P(E_1 \rightarrow E_2) = \text{min}\left(\frac{g(E_1)}{g(E_2)},1\right)</math>
#*Se aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_2) \rightarrow g(E_2) \times f</math> e <math>H(E_2) \rightarrow H(E_2) +1</math> respectivamente.
#*Se não aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f</math> e <math>H(E_1) \rightarrow H(E_1) +1</math> respectivamente, de maneira a recontar o estado <math>E_1</math>.
#*Destaca-se que em ambos os casos usamos <math>\ln(g(E)) = \rightarrow \ln(g(E)) + \ln(f)</math>, pois ao longo da simulação acabamos usando números muito grandes.
#Faz-se esta caminhada aleatória nos diferentes estados do sistema até que o histograma <math>H(E)</math> esteja aproximadamente plano.
#*O critério para decidir se um histograma está plano é arbitrário. Para um [https://pt.wikipedia.org/wiki/Hamiltoniano_(mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica) hamiltoniano] de Ising 2D este critério pode ser definido tão alto quanto 95% (i.e. todos os valores de <math>H(E)</math> devem ser pelo menos 95% de <math> \langle H(E) \rangle </math>), porém valores mais altos que isso podem resultar no programa nunca identificando o histograma como plano.
#Checa-se se <math>H(E)</math> está plano a cada 10000 passos MC. Quando está plano, podemos dizer que todos os estados foram visitados uma quantidade de vezes aproximadamente igual e a densidade de estados <math>g(E)</math> converge ao valor real com precisão da ordem de <math>f</math>. (O critério de 10000 passos é arbitrário e pode ser modificado de acordo com o propósito da simulação).
#*Um passo MC corresponde a <math>L^2 = N</math> passos.
#Reduz-se o fator <math>f</math> da seguinte maneira <math>f_1 \rightarrow \sqrt{f_0}</math>, reinicia-se o histograma <math>H(E) = 0</math> e recomeça-se a caminhada aleatória com este novo fator <math>f</math>. (Todos os parâmetros não mencionados neste passo permanecem intocados).
#Continuamos executando os passos 5-7, reduzindo o fator <math>f</math> segundo a seguinte expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math>
#Encerra-se a simulação quando <math>f_{final}</math> estiver da ordem do erro desejado.
#*Claro que <math>f_{final}</math> pode ser escolhido arbitrariamente pequeno, mas sempre com um certo limite razoável <math>(10^{-6}-10^{-8})</math>, ou a simulação pode tomar tempos não razoáveis para completar.

==Observações sobre o algoritmo==
Nesta seção discutimos algumas observações importantes a se levar em conta na implementação do método de amostragem de Wang-Landau
===Fator de modificação f===
Quando tratamos da atualização do fator <math>f</math>, a expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math> é apenas uma recomendação, uma vez que outros valores de <math>n>1</math> podem ser escolhidos para uma atualização do tipo <math>f_{i+1} = f_{i}^{(1/n)}</math>. Não obstante, <math>n = 2</math> é adequado para o sistema estudado, resultando em boa acurácia em relativamente pouco tempo de simulação.
===Implementação paralela===
A simulação pode ser melhorada ainda fazendo múltiplas caminhadas aleatórias paralelamente no espaço de energias. Restringindo o alcance das caminhadas proporcionalmente com o número de caminhantes em paralelo (e.g. No caso de 2 caminhantes simultâneos, dividimos o espaço de energias em 2 e restringimos um caminhante para a metade inferior das energias, e o outro para a parte superior) e depois juntando as densidades de estados resultantes.
<ref>Vogel, Thomas, et al. "Generic, hierarchical framework for massively parallel Wang-Landau sampling." Physical review letters 110.21 (2013): 210603.</ref>

===Balanço detalhado===
A condição de balanço detalhado inicialmente não é satisfeita uma vez que <math>g(E)</math> é constantemente modificada durante a caminhada aleatória. Porém após várias iterações, a condição é satisfeita a medida que <math>f</math> se aproxima de 1. Observa-se que se <math>P(E_1 \rightarrow E_2)</math> é a probabilidade de transição da energia <math>E_1</math> para a energia <math>E_2</math>, utilizando a equação do passo 4 do algoritmo temos que:

<math>
\frac{P(E_1 \rightarrow E_2)}{P(E_2 \rightarrow E_1)} = \frac{g(E_1)}{g(E_2)}.
</math>

Podemos reescrever a equação de uma forma mais familiar

<math>
\frac{1}{g(E_1)}P(E_1 \rightarrow E_2) = \frac{1}{g(E_2)}P(E_2 \rightarrow E_1)
</math>

que é a condição de balanceamento detalhado, uma vez que interpretamos que <math>1/g(E_1)</math> como a probabilidade do sistema possuir a energia <math>E_1</math> e analogamente para <math>E_2</math>. Concluímos então que a condição de balanço detalhado é satisfeita com precisão proporcional a <math>\ln(f)</math>.
===Escalabilidade===
Quando analisamos um modelo de Ising 2D de tamanho <math>L\times L</math>, temos que o número de configurações <math>(2^N, N = L^2)</math> aumenta exponencialmente com <math>N</math>, enquanto o número de possíveis energias é por volta de <math>2N</math> e aumenta linearmente com N. Implicando que temos uma escalabilidade muito boa para as caminhadas no espaço de energia quando o objetivo é estimar <math>g(E)</math> uma vez que um aumento no tamanho da grade não implica em um aumento exponencial, mas sim linear, no tempo de execução.
===Normalização===
É necessário ressaltar que após a simulação completa, o algoritmo de Wang-Landau nos fornece apenas a densidade de estados relativa. Para extrairmos a real densidade de estados <math>g_n(E)</math> é necessário que utilizemos uma das duas condições: Que o número total de estados possíveis é <math>\sum_Eg_n(E) = Q^N</math> ou que o numero de estados fundamentais é <math>Q</math> (onde <math>Q = 2</math> para o modelo de Ising 2D pois os spins possuem apenas dois estados).

Pela primeira condição, podemos obter a densidade de estados normalizada através da equação

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[\sum_Eg(E)] + N\ln(2)</math>,

enquanto pela segunda condição temos que

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[g(E = -2N)] + \ln(2)</math>.

A segunda normalização é preferível pois garante precisão para estados de menor energia, o que é necessário para o calculo de parâmetros termodinâmicos há baixas temperaturas.
===Parâmetros Termodinâmicos===
Uma vez que temos a densidade de estados, podemos calcular diversos parâmetros termodinâmicos, como a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_interna energia interna] <math>U(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Calor_espec%C3%ADfico calor especifico] <math>C(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_livre_de_Helmholtz energia livre de Helmholtz] <math>F(T)</math> e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Entropia entropia] <math>S(T)</math> através das seguintes equações:
<div id="equações para parâmetros termodinâmicos">
<math>U(T) = \frac{\sum_EEg(E)e^{-E/k_BT}}{\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}}</math>

<math>C(T) = \frac{\langle E^2\rangle - \langle E\rangle^2}{k_BT^2}</math>

<math>F(T) = -k_BT\ln\left(\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}\right)</math>

<math>S(T) = \frac{U(T) - F(T)}{T}</math>
</div>
Estes parâmetros termodinâmicos dependem apenas da temperatura uma vez que já foi encontrado a densidade de estados <math>g(E)</math>, o que contorna os problemas de ''critical slowing down'' na temperatura crítica pois a simulação não precisa ser refeita para cada uma das temperaturas, por consequência também dispensa a necessidade de repesagem de histogramas, contornando o problema de estatística fraca nas asas dos histogramas.

==Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau==
Podemos aplicar o algoritmo de Wang-Landau para um sistema [https://pt.wikipedia.org/wiki/Ferromagnetismo#:~:text=Ferromagnetismo%20%C3%A9%20o%20mecanismo%20b%C3%A1sico,diferentes%20de%20magnetismo%20s%C3%A3o%20distinguidos. ferromagnético] 2D de Ising com interação de primeiros vizinhos e uma grade quadrada <math>L\times L</math> com [https://pt.wikipedia.org/wiki/Condi%C3%A7%C3%B5es_de_fronteira_peri%C3%B3dicas condições de contorno periódicas] no qual o hamiltoniano é dado por

<math>\mathcal{H} = -\sum_{\langle i,j\rangle}\sigma_{i}\sigma_j</math>

onde <math>\sigma_{i} = +1</math> para spin para cima, <math>\sigma_{i} = -1</math> para baixo e <math>\langle i,j\rangle</math> indica a soma entre os primeiros vizinhos. Na Fig.1 temos a densidade de estados <math>g(E)</math> para um sistema <math>16 \times 16</math> com <math>f_{final} \sim 10^{-6}</math> e com critério para um histograma <math>H(E)</math> plano de 80%. Com esses parâmetros, a ''Google Compute Engine'' padrão para [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python3] do Google Colab realiza a simulação em <math>\sim 40s</math>.

[[Arquivo: erickStateDensity.png|400px|thumb|center| Figura 1: Logaritmo da densidade de estados <math>\ln(g(E))</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>, há uma brusca queda na densidade de estados perto das pontas uma vez que as energias <math>-2L^2 + 8</math> e <math>2L^2 - 8</math> são inalcançáveis pelo sistema.]]

Fazendo uso da [[#equação de distribuição de probabilidade canônica]], podemos encontrar a distribuição de probabilidade das energias para uma determinada temperatura <math>T</math>. Devido a natureza do algoritmo, estas distribuições que por meios convencionais levariam tempo demasiadamente grande para ser calculado ou necessitariam de repesagem de histograma são instantaneamente calculadas com o algoritmo de Wang-Landau independentemente da temperatura. Na Fig.2 temos um exemplo das distribuições, incluindo uma próxima da temperatura critica <math>T_c</math>.

[[Arquivo: erickProbs.png|400px|thumb|center| Figura 2: A distribuição canônica <math>P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}</math> em 3 temperaturas, incluindo a temperatura crítica <math>T_c</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>.]]

Fazendo uso das [[#equações para parâmetros termodinâmicos]], podemos calculá-los para este sistema em função da temperatura quase que instantaneamente. Estes são ilustrados nas Figs. 3,4,5,6.
<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickU.png|400px|thumb|center| Figura 3: A Energia interna do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickC.png|400px|thumb|center| Figura 4: O Calor Específico do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o pico se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickF.png|400px|thumb|center| Figura 5: A Energia Livre do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o começo da queda se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickS.png|400px|thumb|center| Figura 6: A Entropia do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
</ul></div>

==Código do Exemplo==
[[Exemplo de código para a amostragem de Wang-Landau em Python3]]

==Referências==
<references />

Amostragem de Wang-Landau

2022-10-19T00:59:37Z

Erickc:

O [https://pt.wikipedia.org/wiki/Algoritmo algoritmo] de amostragem de Wang-Landau é um método de amostragem para simulações de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo Monte Carlo] introduzido por F. Wang and D. P. Landau em 2001
<ref>F. Wang and D. P. Landau, ‘‘Efficient, multiple-range random walk algorithm to calculate the density of states,’’ Phys. Rev. Lett. 86, 2050–2053
!2001"; ‘‘Determining the density of states for classical statistical models:
A random walk algorithm to produce a flat histogram,’’ Phys. Rev. E 64,
056101 !2001".
</ref>
(com uma versão didática publicada em 2004 por D.P Landau, Shan-Ho Tsai e M. Exlerem),
<ref>Landau, D. P., Shan-Ho Tsai, and M. Exler. "A new approach to Monte Carlo simulations in statistical physics: Wang-Landau sampling." American Journal of Physics 72.10 (2004): 1294-1302.</ref>
que apresenta diversas vantagens sobre outros métodos para sistemas de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Spin spins]. Dentre eles podemos citar o algoritmo de Metropolis
<ref>N. Metropolis, A. W. Rosenbluth, M. N. Rosenbluth, A. H. Teller, and E.
Teller, ‘‘Equation of state calculations by fast computing machines,’’ J.
Chem. Phys. 21, 1087–1092 !1953".</ref>
, o algoritmo de ''clustering'' de Wolff
<ref>U. Wolff, ‘‘Collective Monte Carlo updating for spin systems,’’ Phys. Rev.
Lett. 62, 361–364 !1989".</ref>
, ou em um modelamento de ''ensamble'' multi-canônico
<ref>B. A. Berg and T. Neuhaus, ‘‘Multicanonical ensemble: A new approach to
simulate first-order phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 68, 9–12 !1992"</ref>
. Nestes dois últimos métodos são utilizados métodos de repesagem de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Histograma histogramas]<ref>
A. M. Ferrenberg and R. H. Swendsen, ‘‘New Monte Carlo technique for
studying phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 61, 2635–2638 !1988"; ‘‘Optimized Monte Carlo data analysis,’’ ibid. 63, 1195–1198 !1989".</ref>
que são limitados em sistemas grandes devido as baixa qualidade estatística nas asas do histograma.
Dentro deste contexto, o algoritmo Wang-Landau promete resolver problemas encontrados em amostragens convencionais como o ''critical slowing down'' para temperaturas próximas da temperatura crítica <math>T_c</math> utilizando-se de caminhadas aleatórias controladas para mapear a densidade de estados <math>g(E)</math> de um sistema, sem depender do método de repesagem de histogramas.

----

A maioria dos algoritmos de amostragem convencionais geram uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_can%C3%B3nico distribuição canônica] não normalizada

<div id="equação de distribuição de probabilidade canônica"> <math> P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

para uma determinada temperatura <math>T</math>, Geralmente estas distribuições são estreitas e se faz necessário múltiplas simulações para obter algum parâmetro [https://pt.wikipedia.org/wiki/Termodin%C3%A2mica termodinâmico] para uma distribuição significantemente grande de temperaturas.
Como <math>g(E)</math> não depende de temperatura do sistema, se pudermos encontrá-lo para todo <math>E</math>, podemos encontrar a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_de_parti%C3%A7%C3%A3o_(mec%C3%A2nica_estat%C3%ADstica) função de partição]

<div id="pf"> <math> Z(T) = \sum_E g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

e o sistema esta essencialmente resolvido, uma vez que grande parte dos parâmetros termodinâmicos podem ser derivados de <math>Z</math>. Além disso, a amostragem de Wang-Landau é provada ser útil em diversas aplicações como o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Antiferromagnetismo antiferromagneto] de Potts
<ref>C. Yamaguchi and Y. Okabe, ‘‘Three-dimensional antiferromagnetic
q-state Potts models: application of the Wang-Landau algorithm,’’ J. Phys.
A 34, 8781– 8794 !2001"</ref>
, sistemas de spins aleatórios<ref>Y. Okabe, Y. Tomita, and C. Yamaguchi, ‘‘Application of new Monte Carlo
algorithms to random spin systems,’’ Comput. Phys. Commun. 146, 63– 68
!2002".</ref>
, sistemas [https://pt.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica quânticos]<ref>
2M. Troyer, S. Wessel, and F. Alet, ‘‘Flat histogram methods for quantum
systems: Algorithms to overcome tunneling problems and calculate the
free energy,’’ Phys. Rev. Lett. 90, 120201 !2003". </ref>, etc... .

==Descrição do algoritmo de Wang Landau==
Descreveremos o funcionamento do algoritmo de Wang-Landau num sistema de spins clássicos de 2 estados numa grade bidimensional com valores discretos de energia e sem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Campo_magn%C3%A9tico campo magnético]([https://pt.wikipedia.org/wiki/Modelo_de_Ising Modelo de Ising]2D). Portanto quando nos referirmos a <math>g(E)</math> como densidade de estados, interpretamos como o número de estados com energia E.
A amostragem de Wang-Landau faz caminhadas aleatórias no espaço de energia mudando os estados de spins aleatoriamente selecionados, porém esta mudança só é aceita com probabilidade proporcional a reciproca da densidade de estados. Durante a caminhada também se acumula o número de vezes que uma energia é visitada durante a caminhada <math>H(E)</math>, isto é, ao visitarmos a energia <math>E_1</math> faz-se a atualização da variável <math> H(E_1) \rightarrow H(E_1) + 1 </math>. Por outro lado, a atualização da densidade de estados <math>g(E_1)</math> se da por um fator multiplicativo <math>f</math> (<math> g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f </math>) controlado ao longo da simulação para que seja muito próximo de 1 ao final das caminhadas.

Podemos descrever os passos do algoritmo da seguinte maneira:
# Inicializamos as densidades de energias com <math>g(E) = 1</math> para todo <math>E</math>, da mesma forma <math>H(E) = 0</math> para todo <math>E</math>.
# Inicializamos <math>f = f_0 = e \approx 2.71828</math> e um sistema <math>L\times L</math> de spins de valor 1 e -1 aleatoriamente distribuídos.
#*O valor de <math>f</math> é arbitrário e deve ser escolhido não muito pequeno, pois irá fazer com que a simulação demore muito tempo para explorar diversas energias, por outro lado se escolhido muito grande, levará a erros estatísticos significativos.
# Começamos a caminhada inicial escolhendo aleatoriamente um dos spins e mudando o seu estado.
# Se denotamos <math>E_1</math> como a energia antes da mudança de estado do spin selecionado e <math>E_2</math> como a energia após, aceitamos este novo estado com a seguinte probabilidade: <math>P(E_1 \rightarrow E_2) = \text{min}\left(\frac{g(E_1)}{g(E_2)},1\right)</math>
#*Se aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_2) \rightarrow g(E_2) \times f</math> e <math>H(E_2) \rightarrow H(E_2) +1</math> respectivamente.
#*Se não aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f</math> e <math>H(E_1) \rightarrow H(E_1) +1</math> respectivamente, de maneira a recontar o estado <math>E_1</math>.
#*Destaca-se que em ambos os casos usamos <math>\ln(g(E)) = \rightarrow \ln(g(E)) + \ln(f)</math>, pois ao longo da simulação acabamos usando números muito grandes.
#Faz-se esta caminhada aleatória nos diferentes estados do sistema até que o histograma <math>H(E)</math> esteja aproximadamente plano.
#*O critério para decidir se um histograma está plano é arbitrário. Para um [https://pt.wikipedia.org/wiki/Hamiltoniano_(mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica) hamiltoniano] de Ising 2D este critério pode ser definido tão alto quanto 95% (i.e. todos os valores de <math>H(E)</math> devem ser pelo menos 95% de <math> \langle H(E) \rangle </math>), porém valores mais altos que isso podem resultar no programa nunca identificando o histograma como plano.
#Checa-se se <math>H(E)</math> está plano a cada 10000 passos MC. Quando está plano, podemos dizer que todos os estados foram visitados uma quantidade de vezes aproximadamente igual e a densidade de estados <math>g(E)</math> converge ao valor real com precisão da ordem de <math>f</math>. (O critério de 10000 passos é arbitrário e pode ser modificado de acordo com o propósito da simulação).
#*Um passo MC corresponde a <math>L^2 = N</math> passos.
#Reduz-se o fator <math>f</math> da seguinte maneira <math>f_1 \rightarrow \sqrt{f_0}</math>, reinicia-se o histograma <math>H(E) = 0</math> e recomeça-se a caminhada aleatória com este novo fator <math>f</math>. (Todos os parâmetros não mencionados neste passo permanecem intocados).
#Continuamos executando os passos 5-7, reduzindo o fator <math>f</math> segundo a seguinte expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math>
#Encerra-se a simulação quando <math>f_{final}</math> estiver da ordem do erro desejado.
#*Claro que <math>f_{final}</math> pode ser escolhido arbitrariamente pequeno, mas sempre com um certo limite razoável <math>(10^{-6}-10^{-8})</math>, ou a simulação pode tomar tempos não razoáveis para completar.

==Observações sobre o algoritmo==
Nesta seção discutimos algumas observações importantes a se levar em conta na implementação do método de amostragem de Wang-Landau
===Fator de modificação f===
Quando tratamos da atualização do fator <math>f</math>, a expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math> é apenas uma recomendação, uma vez que outros valores de <math>n>1</math> podem ser escolhidos para uma atualização do tipo <math>f_{i+1} = f_{i}^{(1/n)}</math>. Não obstante, <math>n = 2</math> é adequado para grande parte dos sistemas estudados, resultando em boa acurácia em relativamente pouco tempo de simulação.
===Implementação paralela===
A simulação pode ser melhorada ainda fazendo múltiplas caminhadas aleatórias paralelamente no espaço de energias. Restringindo o alcance das caminhadas proporcionalmente com o número de caminhantes em paralelo (e.g. No caso de 2 caminhantes simultâneos, dividimos o espaço de energias em 2 e restringimos um caminhante para a metade inferior das energias, e o outro para a parte superior) e depois juntando as densidades de estados resultantes.
<ref>Vogel, Thomas, et al. "Generic, hierarchical framework for massively parallel Wang-Landau sampling." Physical review letters 110.21 (2013): 210603.</ref>

===Balanço detalhado===
A condição de balanço detalhado inicialmente não é satisfeita uma vez que <math>g(E)</math> é constantemente modificada durante a caminhada aleatória. Porém após várias iterações, a condição é satisfeita a medida que <math>f</math> se aproxima de 1. Observa-se que se <math>P(E_1 \rightarrow E_2)</math> é a probabilidade de transição da energia <math>E_1</math> para a energia <math>E_2</math>, utilizando a equação do passo 4 do algoritmo temos que:

<math>
\frac{P(E_1 \rightarrow E_2)}{P(E_2 \rightarrow E_1)} = \frac{g(E_1)}{g(E_2)}.
</math>

Podemos reescrever a equação de uma forma mais familiar

<math>
\frac{1}{g(E_1)}P(E_1 \rightarrow E_2) = \frac{1}{g(E_2)}P(E_2 \rightarrow E_1)
</math>

que é a condição de balanceamento detalhado, uma vez que interpretamos que <math>1/g(E_1)</math> como a probabilidade do sistema possuir a energia <math>E_1</math> e analogamente para <math>E_2</math>. Concluímos então que a condição de balanço detalhado é satisfeita com precisão proporcional a <math>\ln(f)</math>.
===Escalabilidade===
Quando analisamos um modelo de Ising 2D de tamanho <math>L\times L</math>, temos que o número de configurações <math>(2^N, N = L^2)</math> aumenta exponencialmente com <math>N</math>, enquanto o número de possíveis energias é por volta de <math>2N</math> e aumenta linearmente com N. Implicando que temos uma escalabilidade muito boa para as caminhadas no espaço de energia quando o objetivo é estimar <math>g(E)</math> uma vez que um aumento no tamanho da grade não implica em um aumento exponencial, mas sim linear, no tempo de execução.
===Normalização===
É necessário ressaltar que após a simulação completa, o algoritmo de Wang-Landau nos fornece apenas a densidade de estados relativa. Para extrairmos a real densidade de estados <math>g_n(E)</math> é necessário que utilizemos uma das duas condições: Que o número total de estados possíveis é <math>\sum_Eg_n(E) = Q^N</math> ou que o numero de estados fundamentais é <math>Q</math> (onde <math>Q = 2</math> para o modelo de Ising 2D pois os spins possuem apenas dois estados).

Pela primeira condição, podemos obter a densidade de estados normalizada através da equação

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[\sum_Eg(E)] + N\ln(2)</math>,

enquanto pela segunda condição temos que

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[g(E = -2N)] + \ln(2)</math>.

A segunda normalização é preferível pois garante precisão para estados de menor energia, o que é necessário para o calculo de parâmetros termodinâmicos há baixas temperaturas.
===Parâmetros Termodinâmicos===
Uma vez que temos a densidade de estados, podemos calcular diversos parâmetros termodinâmicos, como a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_interna energia interna] <math>U(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Calor_espec%C3%ADfico calor especifico] <math>C(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_livre_de_Helmholtz energia livre de Helmholtz] <math>F(T)</math> e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Entropia entropia] <math>S(T)</math> através das seguintes equações:
<div id="equações para parâmetros termodinâmicos">
<math>U(T) = \frac{\sum_EEg(E)e^{-E/k_BT}}{\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}}</math>

<math>C(T) = \frac{\langle E^2\rangle - \langle E\rangle^2}{k_BT^2}</math>

<math>F(T) = -k_BT\ln\left(\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}\right)</math>

<math>S(T) = \frac{U(T) - F(T)}{T}</math>
</div>
Estes parâmetros termodinâmicos dependem apenas da temperatura uma vez que já foi encontrado a densidade de estados <math>g(E)</math>, o que contorna os problemas de ''critical slowing down'' na temperatura crítica pois a simulação não precisa ser refeita para cada uma das temperaturas, por consequência também dispensa a necessidade de repesagem de histogramas, contornando o problema de estatística fraca nas asas dos histogramas.

==Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau==
Podemos aplicar o algoritmo de Wang-Landau para um sistema [https://pt.wikipedia.org/wiki/Ferromagnetismo#:~:text=Ferromagnetismo%20%C3%A9%20o%20mecanismo%20b%C3%A1sico,diferentes%20de%20magnetismo%20s%C3%A3o%20distinguidos. ferromagnético] 2D de Ising com interação de primeiros vizinhos e uma grade quadrada <math>L\times L</math> com [https://pt.wikipedia.org/wiki/Condi%C3%A7%C3%B5es_de_fronteira_peri%C3%B3dicas condições de contorno periódicas] no qual o hamiltoniano é dado por

<math>\mathcal{H} = -\sum_{\langle i,j\rangle}\sigma_{i}\sigma_j</math>

onde <math>\sigma_{i} = +1</math> para spin para cima, <math>\sigma_{i} = -1</math> para baixo e <math>\langle i,j\rangle</math> indica a soma entre os primeiros vizinhos. Na Fig.1 temos a densidade de estados <math>g(E)</math> para um sistema <math>16 \times 16</math> com <math>f_{final} \sim 10^{-6}</math> e com critério para um histograma <math>H(E)</math> plano de 80%. Com esses parâmetros, a ''Google Compute Engine'' padrão para [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python3] do Google Colab realiza a simulação em <math>\sim 40s</math>.

[[Arquivo: erickStateDensity.png|400px|thumb|center| Figura 1: Logaritmo da densidade de estados <math>\ln(g(E))</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>, há uma brusca queda na densidade de estados perto das pontas uma vez que as energias <math>-2L^2 + 8</math> e <math>2L^2 - 8</math> são inalcançáveis pelo sistema.]]

Fazendo uso da [[#equação de distribuição de probabilidade canônica]], podemos encontrar a distribuição de probabilidade das energias para uma determinada temperatura <math>T</math>. Devido a natureza do algoritmo, estas distribuições que por meios convencionais levariam tempo demasiadamente grande para ser calculado ou necessitariam de repesagem de histograma são instantaneamente calculadas com o algoritmo de Wang-Landau independentemente da temperatura. Na Fig.2 temos um exemplo das distribuições, incluindo uma próxima da temperatura critica <math>T_c</math>.

[[Arquivo: erickProbs.png|400px|thumb|center| Figura 2: A distribuição canônica <math>P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}</math> em 3 temperaturas, incluindo a temperatura crítica <math>T_c</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>.]]

Fazendo uso das [[#equações para parâmetros termodinâmicos]], podemos calculá-los para este sistema em função da temperatura quase que instantaneamente. Estes são ilustrados nas Figs. 3,4,5,6.
<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickU.png|400px|thumb|center| Figura 3: A Energia interna do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickC.png|400px|thumb|center| Figura 4: O Calor Específico do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o pico se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickF.png|400px|thumb|center| Figura 5: A Energia Livre do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o começo da queda se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickS.png|400px|thumb|center| Figura 6: A Entropia do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
</ul></div>

==Código do Exemplo==
[[Exemplo de código para a amostragem de Wang-Landau em Python3]]

==Referências==
<references />

Amostragem de Wang-Landau

2022-10-19T00:51:31Z

Erickc: /* Implementação paralela */

O [https://pt.wikipedia.org/wiki/Algoritmo algoritmo] de amostragem de Wang-Landau é um método de amostragem para simulações de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo Monte Carlo] introduzido por D.P Landau, Shan-Ho Tsai e M. Exlerem em 2004
<ref>Landau, D. P., Shan-Ho Tsai, and M. Exler. "A new approach to Monte Carlo simulations in statistical physics: Wang-Landau sampling." American Journal of Physics 72.10 (2004): 1294-1302.
</ref>
com suas primeiras concepções traçadas por F. Wang and D. P. Landau em 2001
<ref>F. Wang and D. P. Landau, ‘‘Efficient, multiple-range random walk algorithm to calculate the density of states,’’ Phys. Rev. Lett. 86, 2050–2053
!2001"; ‘‘Determining the density of states for classical statistical models:
A random walk algorithm to produce a flat histogram,’’ Phys. Rev. E 64,
056101 !2001".</ref>
que apresenta diversas vantagens sobre outros métodos para sistemas de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Spin spins]. Dentre eles podemos citar o algoritmo de Metropolis
<ref>N. Metropolis, A. W. Rosenbluth, M. N. Rosenbluth, A. H. Teller, and E.
Teller, ‘‘Equation of state calculations by fast computing machines,’’ J.
Chem. Phys. 21, 1087–1092 !1953".</ref>
, o algoritmo de ''clustering'' de Wolff
<ref>U. Wolff, ‘‘Collective Monte Carlo updating for spin systems,’’ Phys. Rev.
Lett. 62, 361–364 !1989".</ref>
, ou em um modelamento de ''ensamble'' multi-canônico
<ref>B. A. Berg and T. Neuhaus, ‘‘Multicanonical ensemble: A new approach to
simulate first-order phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 68, 9–12 !1992"</ref>
. Nestes dois últimos métodos são utilizados métodos de repesagem de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Histograma histogramas]<ref>
A. M. Ferrenberg and R. H. Swendsen, ‘‘New Monte Carlo technique for
studying phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 61, 2635–2638 !1988"; ‘‘Optimized Monte Carlo data analysis,’’ ibid. 63, 1195–1198 !1989".</ref>
que são limitados em sistemas grandes devido as baixa qualidade estatística nas asas do histograma.
Dentro deste contexto, o algoritmo Wang-Landau promete resolver problemas encontrados em amostragens convencionais como o ''critical slowing down'' para temperaturas próximas da temperatura crítica <math>T_c</math> utilizando-se de caminhadas aleatórias controladas para mapear a densidade de estados <math>g(E)</math> de um sistema, sem fazer uso de qualquer repesagem de histogramas.

----

A maioria dos algoritmos de amostragem convencionais geram uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_can%C3%B3nico distribuição canônica] não normalizada

<div id="equação de distribuição de probabilidade canônica"> <math> P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

para uma determinada temperatura <math>T</math>, Geralmente estas distribuições são estreitas e se faz necessário múltiplas simulações para obter algum parâmetro [https://pt.wikipedia.org/wiki/Termodin%C3%A2mica termodinâmico] para uma distribuição significantemente grande de temperaturas.
Como <math>g(E)</math> não depende de temperatura do sistema, se pudermos encontrá-lo para todo <math>E</math>, podemos encontrar a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_de_parti%C3%A7%C3%A3o_(mec%C3%A2nica_estat%C3%ADstica) função de partição]

<div id="pf"> <math> Z(T) = \sum_E g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

e o sistema esta essencialmente resolvido, uma vez que grande parte dos parâmetros termodinâmicos podem ser derivados de <math>Z</math>. Além disso, a amostragem de Wang-Landau é provada ser útil em diversas aplicações como o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Antiferromagnetismo antiferromagneto] de Potts
<ref>C. Yamaguchi and Y. Okabe, ‘‘Three-dimensional antiferromagnetic
q-state Potts models: application of the Wang-Landau algorithm,’’ J. Phys.
A 34, 8781– 8794 !2001"</ref>
, sistemas de spins aleatórios<ref>Y. Okabe, Y. Tomita, and C. Yamaguchi, ‘‘Application of new Monte Carlo
algorithms to random spin systems,’’ Comput. Phys. Commun. 146, 63– 68
!2002".</ref>
, sistemas [https://pt.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica quânticos]<ref>
2M. Troyer, S. Wessel, and F. Alet, ‘‘Flat histogram methods for quantum
systems: Algorithms to overcome tunneling problems and calculate the
free energy,’’ Phys. Rev. Lett. 90, 120201 !2003". </ref>, etc... .

==Descrição do algoritmo de Wang Landau==
Descreveremos o funcionamento do algoritmo de Wang-Landau num sistema de spins clássicos de 2 estados numa grade bidimensional com valores discretos de energia e sem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Campo_magn%C3%A9tico campo magnético]([https://pt.wikipedia.org/wiki/Modelo_de_Ising Modelo de Ising]2D). Portanto quando nos referirmos a <math>g(E)</math> como densidade de estados, interpretamos como o número de estados com energia E.
A amostragem de Wang-Landau faz caminhadas aleatórias no espaço de energia mudando os estados de spins aleatoriamente selecionados, porém esta mudança só é aceita com probabilidade proporcional a reciproca da densidade de estados. Durante a caminhada também se acumula o número de vezes que uma energia é visitada durante a caminhada <math>H(E)</math>, isto é, ao visitarmos a energia <math>E_1</math> faz-se a atualização da variável <math> H(E_1) \rightarrow H(E_1) + 1 </math>. Por outro lado, a atualização da densidade de estados <math>g(E_1)</math> se da por um fator multiplicativo <math>f</math> (<math> g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f </math>) controlado ao longo da simulação para que seja muito próximo de 1 ao final das caminhadas.

Podemos descrever os passos do algoritmo da seguinte maneira:
# Inicializamos as densidades de energias com <math>g(E) = 1</math> para todo <math>E</math>, da mesma forma <math>H(E) = 0</math> para todo <math>E</math>.
# Inicializamos <math>f = f_0 = e \approx 2.71828</math> e um sistema <math>L\times L</math> de spins de valor 1 e -1 aleatoriamente distribuídos.
#*O valor de <math>f</math> é arbitrário e deve ser escolhido não muito pequeno, pois irá fazer com que a simulação demore muito tempo para explorar diversas energias, por outro lado se escolhido muito grande, levará a erros estatísticos significativos.
# Começamos a caminhada inicial escolhendo aleatoriamente um dos spins e mudando o seu estado.
# Se denotamos <math>E_1</math> como a energia antes da mudança de estado do spin selecionado e <math>E_2</math> como a energia após, aceitamos este novo estado com a seguinte probabilidade: <math>P(E_1 \rightarrow E_2) = \text{min}\left(\frac{g(E_1)}{g(E_2)},1\right)</math>
#*Se aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_2) \rightarrow g(E_2) \times f</math> e <math>H(E_2) \rightarrow H(E_2) +1</math> respectivamente.
#*Se não aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f</math> e <math>H(E_1) \rightarrow H(E_1) +1</math> respectivamente, de maneira a recontar o estado <math>E_1</math>.
#*Destaca-se que em ambos os casos usamos <math>\ln(g(E)) = \rightarrow \ln(g(E)) + \ln(f)</math>, pois ao longo da simulação acabamos usando números muito grandes.
#Faz-se esta caminhada aleatória nos diferentes estados do sistema até que o histograma <math>H(E)</math> esteja aproximadamente plano.
#*O critério para decidir se um histograma está plano é arbitrário. Para um [https://pt.wikipedia.org/wiki/Hamiltoniano_(mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica) hamiltoniano] de Ising 2D este critério pode ser definido tão alto quanto 95% (i.e. todos os valores de <math>H(E)</math> devem ser pelo menos 95% de <math> \langle H(E) \rangle </math>), porém valores mais altos que isso podem resultar no programa nunca identificando o histograma como plano.
#Checa-se se <math>H(E)</math> está plano a cada 10000 passos MC. Quando está plano, podemos dizer que todos os estados foram visitados uma quantidade de vezes aproximadamente igual e a densidade de estados <math>g(E)</math> converge ao valor real com precisão da ordem de <math>f</math>. (O critério de 10000 passos é arbitrário e pode ser modificado de acordo com o propósito da simulação).
#*Um passo MC corresponde a <math>L^2 = N</math> passos.
#Reduz-se o fator <math>f</math> da seguinte maneira <math>f_1 \rightarrow \sqrt{f_0}</math>, reinicia-se o histograma <math>H(E) = 0</math> e recomeça-se a caminhada aleatória com este novo fator <math>f</math>. (Todos os parâmetros não mencionados neste passo permanecem intocados).
#Continuamos executando os passos 5-7, reduzindo o fator <math>f</math> segundo a seguinte expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math>
#Encerra-se a simulação quando <math>f_{final}</math> estiver da ordem do erro desejado.
#*Claro que <math>f_{final}</math> pode ser escolhido arbitrariamente pequeno, mas sempre com um certo limite razoável <math>(10^{-6}-10^{-8})</math>, ou a simulação pode tomar tempos não razoáveis para completar.

==Observações sobre o algoritmo==
Nesta seção discutimos algumas observações importantes a se levar em conta na implementação do método de amostragem de Wang-Landau
===Fator de modificação f===
Quando tratamos da atualização do fator <math>f</math>, a expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math> é apenas uma recomendação, uma vez que outros valores de <math>n>1</math> podem ser escolhidos para uma atualização do tipo <math>f_{i+1} = f_{i}^{(1/n)}</math>. Não obstante, <math>n = 2</math> é adequado para grande parte dos sistemas estudados, resultando em boa acurácia em relativamente pouco tempo de simulação.
===Implementação paralela===
A simulação pode ser melhorada ainda fazendo múltiplas caminhadas aleatórias paralelamente no espaço de energias. Restringindo o alcance das caminhadas proporcionalmente com o número de caminhantes em paralelo (e.g. No caso de 2 caminhantes simultâneos, dividimos o espaço de energias em 2 e restringimos um caminhante para a metade inferior das energias, e o outro para a parte superior) e depois juntando as densidades de estados resultantes.
<ref>Vogel, Thomas, et al. "Generic, hierarchical framework for massively parallel Wang-Landau sampling." Physical review letters 110.21 (2013): 210603.</ref>

===Balanço detalhado===
A condição de balanço detalhado inicialmente não é satisfeita uma vez que <math>g(E)</math> é constantemente modificada durante a caminhada aleatória. Porém após várias iterações, a condição é satisfeita a medida que <math>f</math> se aproxima de 1. Observa-se que se <math>P(E_1 \rightarrow E_2)</math> é a probabilidade de transição da energia <math>E_1</math> para a energia <math>E_2</math>, utilizando a equação do passo 4 do algoritmo temos que:

<math>
\frac{P(E_1 \rightarrow E_2)}{P(E_2 \rightarrow E_1)} = \frac{g(E_1)}{g(E_2)}.
</math>

Podemos reescrever a equação de uma forma mais familiar

<math>
\frac{1}{g(E_1)}P(E_1 \rightarrow E_2) = \frac{1}{g(E_2)}P(E_2 \rightarrow E_1)
</math>

que é a condição de balanceamento detalhado, uma vez que interpretamos que <math>1/g(E_1)</math> como a probabilidade do sistema possuir a energia <math>E_1</math> e analogamente para <math>E_2</math>. Concluímos então que a condição de balanço detalhado é satisfeita com precisão proporcional a <math>\ln(f)</math>.
===Escalabilidade===
Quando analisamos um modelo de Ising 2D de tamanho <math>L\times L</math>, temos que o número de configurações <math>(2^N, N = L^2)</math> aumenta exponencialmente com <math>N</math>, enquanto o número de possíveis energias é por volta de <math>2N</math> e aumenta linearmente com N. Implicando que temos uma escalabilidade muito boa para as caminhadas no espaço de energia quando o objetivo é estimar <math>g(E)</math> uma vez que um aumento no tamanho da grade não implica em um aumento exponencial, mas sim linear, no tempo de execução.
===Normalização===
É necessário ressaltar que após a simulação completa, o algoritmo de Wang-Landau nos fornece apenas a densidade de estados relativa. Para extrairmos a real densidade de estados <math>g_n(E)</math> é necessário que utilizemos uma das duas condições: Que o número total de estados possíveis é <math>\sum_Eg_n(E) = Q^N</math> ou que o numero de estados fundamentais é <math>Q</math> (onde <math>Q = 2</math> para o modelo de Ising 2D pois os spins possuem apenas dois estados).

Pela primeira condição, podemos obter a densidade de estados normalizada através da equação

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[\sum_Eg(E)] + N\ln(2)</math>,

enquanto pela segunda condição temos que

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[g(E = -2N)] + \ln(2)</math>.

A segunda normalização é preferível pois garante precisão para estados de menor energia, o que é necessário para o calculo de parâmetros termodinâmicos há baixas temperaturas.
===Parâmetros Termodinâmicos===
Uma vez que temos a densidade de estados, podemos calcular diversos parâmetros termodinâmicos, como a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_interna energia interna] <math>U(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Calor_espec%C3%ADfico calor especifico] <math>C(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_livre_de_Helmholtz energia livre de Helmholtz] <math>F(T)</math> e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Entropia entropia] <math>S(T)</math> através das seguintes equações:
<div id="equações para parâmetros termodinâmicos">
<math>U(T) = \frac{\sum_EEg(E)e^{-E/k_BT}}{\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}}</math>

<math>C(T) = \frac{\langle E^2\rangle - \langle E\rangle^2}{k_BT^2}</math>

<math>F(T) = -k_BT\ln\left(\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}\right)</math>

<math>S(T) = \frac{U(T) - F(T)}{T}</math>
</div>
Estes parâmetros termodinâmicos dependem apenas da temperatura uma vez que já foi encontrado a densidade de estados <math>g(E)</math>, o que contorna os problemas de ''critical slowing down'' na temperatura crítica pois a simulação não precisa ser refeita para cada uma das temperaturas, por consequência também dispensa a necessidade de repesagem de histogramas, contornando o problema de estatística fraca nas asas dos histogramas.

==Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau==
Podemos aplicar o algoritmo de Wang-Landau para um sistema [https://pt.wikipedia.org/wiki/Ferromagnetismo#:~:text=Ferromagnetismo%20%C3%A9%20o%20mecanismo%20b%C3%A1sico,diferentes%20de%20magnetismo%20s%C3%A3o%20distinguidos. ferromagnético] 2D de Ising com interação de primeiros vizinhos e uma grade quadrada <math>L\times L</math> com [https://pt.wikipedia.org/wiki/Condi%C3%A7%C3%B5es_de_fronteira_peri%C3%B3dicas condições de contorno periódicas] no qual o hamiltoniano é dado por

<math>\mathcal{H} = -\sum_{\langle i,j\rangle}\sigma_{i}\sigma_j</math>

onde <math>\sigma_{i} = +1</math> para spin para cima, <math>\sigma_{i} = -1</math> para baixo e <math>\langle i,j\rangle</math> indica a soma entre os primeiros vizinhos. Na Fig.1 temos a densidade de estados <math>g(E)</math> para um sistema <math>16 \times 16</math> com <math>f_{final} \sim 10^{-6}</math> e com critério para um histograma <math>H(E)</math> plano de 80%. Com esses parâmetros, a ''Google Compute Engine'' padrão para [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python3] do Google Colab realiza a simulação em <math>\sim 40s</math>.

[[Arquivo: erickStateDensity.png|400px|thumb|center| Figura 1: Logaritmo da densidade de estados <math>\ln(g(E))</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>, há uma brusca queda na densidade de estados perto das pontas uma vez que as energias <math>-2L^2 + 8</math> e <math>2L^2 - 8</math> são inalcançáveis pelo sistema.]]

Fazendo uso da [[#equação de distribuição de probabilidade canônica]], podemos encontrar a distribuição de probabilidade das energias para uma determinada temperatura <math>T</math>. Devido a natureza do algoritmo, estas distribuições que por meios convencionais levariam tempo demasiadamente grande para ser calculado ou necessitariam de repesagem de histograma são instantaneamente calculadas com o algoritmo de Wang-Landau independentemente da temperatura. Na Fig.2 temos um exemplo das distribuições, incluindo uma próxima da temperatura critica <math>T_c</math>.

[[Arquivo: erickProbs.png|400px|thumb|center| Figura 2: A distribuição canônica <math>P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}</math> em 3 temperaturas, incluindo a temperatura crítica <math>T_c</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>.]]

Fazendo uso das [[#equações para parâmetros termodinâmicos]], podemos calculá-los para este sistema em função da temperatura quase que instantaneamente. Estes são ilustrados nas Figs. 3,4,5,6.
<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickU.png|400px|thumb|center| Figura 3: A Energia interna do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickC.png|400px|thumb|center| Figura 4: O Calor Específico do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o pico se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickF.png|400px|thumb|center| Figura 5: A Energia Livre do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o começo da queda se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickS.png|400px|thumb|center| Figura 6: A Entropia do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
</ul></div>

==Código do Exemplo==
[[Exemplo de código para a amostragem de Wang-Landau em Python3]]

==Referências==
<references />

Amostragem de Wang-Landau

2022-10-19T00:47:42Z

Erickc: /* Descrição do algoritmo de Wang Landau */

O [https://pt.wikipedia.org/wiki/Algoritmo algoritmo] de amostragem de Wang-Landau é um método de amostragem para simulações de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo Monte Carlo] introduzido por D.P Landau, Shan-Ho Tsai e M. Exlerem em 2004
<ref>Landau, D. P., Shan-Ho Tsai, and M. Exler. "A new approach to Monte Carlo simulations in statistical physics: Wang-Landau sampling." American Journal of Physics 72.10 (2004): 1294-1302.
</ref>
com suas primeiras concepções traçadas por F. Wang and D. P. Landau em 2001
<ref>F. Wang and D. P. Landau, ‘‘Efficient, multiple-range random walk algorithm to calculate the density of states,’’ Phys. Rev. Lett. 86, 2050–2053
!2001"; ‘‘Determining the density of states for classical statistical models:
A random walk algorithm to produce a flat histogram,’’ Phys. Rev. E 64,
056101 !2001".</ref>
que apresenta diversas vantagens sobre outros métodos para sistemas de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Spin spins]. Dentre eles podemos citar o algoritmo de Metropolis
<ref>N. Metropolis, A. W. Rosenbluth, M. N. Rosenbluth, A. H. Teller, and E.
Teller, ‘‘Equation of state calculations by fast computing machines,’’ J.
Chem. Phys. 21, 1087–1092 !1953".</ref>
, o algoritmo de ''clustering'' de Wolff
<ref>U. Wolff, ‘‘Collective Monte Carlo updating for spin systems,’’ Phys. Rev.
Lett. 62, 361–364 !1989".</ref>
, ou em um modelamento de ''ensamble'' multi-canônico
<ref>B. A. Berg and T. Neuhaus, ‘‘Multicanonical ensemble: A new approach to
simulate first-order phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 68, 9–12 !1992"</ref>
. Nestes dois últimos métodos são utilizados métodos de repesagem de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Histograma histogramas]<ref>
A. M. Ferrenberg and R. H. Swendsen, ‘‘New Monte Carlo technique for
studying phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 61, 2635–2638 !1988"; ‘‘Optimized Monte Carlo data analysis,’’ ibid. 63, 1195–1198 !1989".</ref>
que são limitados em sistemas grandes devido as baixa qualidade estatística nas asas do histograma.
Dentro deste contexto, o algoritmo Wang-Landau promete resolver problemas encontrados em amostragens convencionais como o ''critical slowing down'' para temperaturas próximas da temperatura crítica <math>T_c</math> utilizando-se de caminhadas aleatórias controladas para mapear a densidade de estados <math>g(E)</math> de um sistema, sem fazer uso de qualquer repesagem de histogramas.

----

A maioria dos algoritmos de amostragem convencionais geram uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_can%C3%B3nico distribuição canônica] não normalizada

<div id="equação de distribuição de probabilidade canônica"> <math> P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

para uma determinada temperatura <math>T</math>, Geralmente estas distribuições são estreitas e se faz necessário múltiplas simulações para obter algum parâmetro [https://pt.wikipedia.org/wiki/Termodin%C3%A2mica termodinâmico] para uma distribuição significantemente grande de temperaturas.
Como <math>g(E)</math> não depende de temperatura do sistema, se pudermos encontrá-lo para todo <math>E</math>, podemos encontrar a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_de_parti%C3%A7%C3%A3o_(mec%C3%A2nica_estat%C3%ADstica) função de partição]

<div id="pf"> <math> Z(T) = \sum_E g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

e o sistema esta essencialmente resolvido, uma vez que grande parte dos parâmetros termodinâmicos podem ser derivados de <math>Z</math>. Além disso, a amostragem de Wang-Landau é provada ser útil em diversas aplicações como o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Antiferromagnetismo antiferromagneto] de Potts
<ref>C. Yamaguchi and Y. Okabe, ‘‘Three-dimensional antiferromagnetic
q-state Potts models: application of the Wang-Landau algorithm,’’ J. Phys.
A 34, 8781– 8794 !2001"</ref>
, sistemas de spins aleatórios<ref>Y. Okabe, Y. Tomita, and C. Yamaguchi, ‘‘Application of new Monte Carlo
algorithms to random spin systems,’’ Comput. Phys. Commun. 146, 63– 68
!2002".</ref>
, sistemas [https://pt.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica quânticos]<ref>
2M. Troyer, S. Wessel, and F. Alet, ‘‘Flat histogram methods for quantum
systems: Algorithms to overcome tunneling problems and calculate the
free energy,’’ Phys. Rev. Lett. 90, 120201 !2003". </ref>, etc... .

==Descrição do algoritmo de Wang Landau==
Descreveremos o funcionamento do algoritmo de Wang-Landau num sistema de spins clássicos de 2 estados numa grade bidimensional com valores discretos de energia e sem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Campo_magn%C3%A9tico campo magnético]([https://pt.wikipedia.org/wiki/Modelo_de_Ising Modelo de Ising]2D). Portanto quando nos referirmos a <math>g(E)</math> como densidade de estados, interpretamos como o número de estados com energia E.
A amostragem de Wang-Landau faz caminhadas aleatórias no espaço de energia mudando os estados de spins aleatoriamente selecionados, porém esta mudança só é aceita com probabilidade proporcional a reciproca da densidade de estados. Durante a caminhada também se acumula o número de vezes que uma energia é visitada durante a caminhada <math>H(E)</math>, isto é, ao visitarmos a energia <math>E_1</math> faz-se a atualização da variável <math> H(E_1) \rightarrow H(E_1) + 1 </math>. Por outro lado, a atualização da densidade de estados <math>g(E_1)</math> se da por um fator multiplicativo <math>f</math> (<math> g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f </math>) controlado ao longo da simulação para que seja muito próximo de 1 ao final das caminhadas.

Podemos descrever os passos do algoritmo da seguinte maneira:
# Inicializamos as densidades de energias com <math>g(E) = 1</math> para todo <math>E</math>, da mesma forma <math>H(E) = 0</math> para todo <math>E</math>.
# Inicializamos <math>f = f_0 = e \approx 2.71828</math> e um sistema <math>L\times L</math> de spins de valor 1 e -1 aleatoriamente distribuídos.
#*O valor de <math>f</math> é arbitrário e deve ser escolhido não muito pequeno, pois irá fazer com que a simulação demore muito tempo para explorar diversas energias, por outro lado se escolhido muito grande, levará a erros estatísticos significativos.
# Começamos a caminhada inicial escolhendo aleatoriamente um dos spins e mudando o seu estado.
# Se denotamos <math>E_1</math> como a energia antes da mudança de estado do spin selecionado e <math>E_2</math> como a energia após, aceitamos este novo estado com a seguinte probabilidade: <math>P(E_1 \rightarrow E_2) = \text{min}\left(\frac{g(E_1)}{g(E_2)},1\right)</math>
#*Se aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_2) \rightarrow g(E_2) \times f</math> e <math>H(E_2) \rightarrow H(E_2) +1</math> respectivamente.
#*Se não aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f</math> e <math>H(E_1) \rightarrow H(E_1) +1</math> respectivamente, de maneira a recontar o estado <math>E_1</math>.
#*Destaca-se que em ambos os casos usamos <math>\ln(g(E)) = \rightarrow \ln(g(E)) + \ln(f)</math>, pois ao longo da simulação acabamos usando números muito grandes.
#Faz-se esta caminhada aleatória nos diferentes estados do sistema até que o histograma <math>H(E)</math> esteja aproximadamente plano.
#*O critério para decidir se um histograma está plano é arbitrário. Para um [https://pt.wikipedia.org/wiki/Hamiltoniano_(mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica) hamiltoniano] de Ising 2D este critério pode ser definido tão alto quanto 95% (i.e. todos os valores de <math>H(E)</math> devem ser pelo menos 95% de <math> \langle H(E) \rangle </math>), porém valores mais altos que isso podem resultar no programa nunca identificando o histograma como plano.
#Checa-se se <math>H(E)</math> está plano a cada 10000 passos MC. Quando está plano, podemos dizer que todos os estados foram visitados uma quantidade de vezes aproximadamente igual e a densidade de estados <math>g(E)</math> converge ao valor real com precisão da ordem de <math>f</math>. (O critério de 10000 passos é arbitrário e pode ser modificado de acordo com o propósito da simulação).
#*Um passo MC corresponde a <math>L^2 = N</math> passos.
#Reduz-se o fator <math>f</math> da seguinte maneira <math>f_1 \rightarrow \sqrt{f_0}</math>, reinicia-se o histograma <math>H(E) = 0</math> e recomeça-se a caminhada aleatória com este novo fator <math>f</math>. (Todos os parâmetros não mencionados neste passo permanecem intocados).
#Continuamos executando os passos 5-7, reduzindo o fator <math>f</math> segundo a seguinte expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math>
#Encerra-se a simulação quando <math>f_{final}</math> estiver da ordem do erro desejado.
#*Claro que <math>f_{final}</math> pode ser escolhido arbitrariamente pequeno, mas sempre com um certo limite razoável <math>(10^{-6}-10^{-8})</math>, ou a simulação pode tomar tempos não razoáveis para completar.

==Observações sobre o algoritmo==
Nesta seção discutimos algumas observações importantes a se levar em conta na implementação do método de amostragem de Wang-Landau
===Fator de modificação f===
Quando tratamos da atualização do fator <math>f</math>, a expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math> é apenas uma recomendação, uma vez que outros valores de <math>n>1</math> podem ser escolhidos para uma atualização do tipo <math>f_{i+1} = f_{i}^{(1/n)}</math>. Não obstante, <math>n = 2</math> é adequado para grande parte dos sistemas estudados, resultando em boa acurácia em relativamente pouco tempo de simulação.
===Implementação paralela===
A simulação pode ser melhorada ainda fazendo múltiplas caminhadas aleatórias paralelamente no espaço de energias. Restringindo o alcance das caminhadas proporcionalmente com o número de caminhantes em paralelo (e.g. No caso de 2 caminhantes simultâneos, dividimos o espaço de energias em 2 e restringimos um caminhante para a metade inferior das energias, e o outro para a parte superior) e depois juntando as densidades de estados resultantes.
<ref>1B. J. Schulz, K. Binder, M. Mu¨ller, and D. P. Landau, ‘‘Avoiding boundary
effects in Wang-Landau sampling,’’ Phys. Rev. E 67, 067102 !2003".</ref>
===Balanço detalhado===
A condição de balanço detalhado inicialmente não é satisfeita uma vez que <math>g(E)</math> é constantemente modificada durante a caminhada aleatória. Porém após várias iterações, a condição é satisfeita a medida que <math>f</math> se aproxima de 1. Observa-se que se <math>P(E_1 \rightarrow E_2)</math> é a probabilidade de transição da energia <math>E_1</math> para a energia <math>E_2</math>, utilizando a equação do passo 4 do algoritmo temos que:

<math>
\frac{P(E_1 \rightarrow E_2)}{P(E_2 \rightarrow E_1)} = \frac{g(E_1)}{g(E_2)}.
</math>

Podemos reescrever a equação de uma forma mais familiar

<math>
\frac{1}{g(E_1)}P(E_1 \rightarrow E_2) = \frac{1}{g(E_2)}P(E_2 \rightarrow E_1)
</math>

que é a condição de balanceamento detalhado, uma vez que interpretamos que <math>1/g(E_1)</math> como a probabilidade do sistema possuir a energia <math>E_1</math> e analogamente para <math>E_2</math>. Concluímos então que a condição de balanço detalhado é satisfeita com precisão proporcional a <math>\ln(f)</math>.
===Escalabilidade===
Quando analisamos um modelo de Ising 2D de tamanho <math>L\times L</math>, temos que o número de configurações <math>(2^N, N = L^2)</math> aumenta exponencialmente com <math>N</math>, enquanto o número de possíveis energias é por volta de <math>2N</math> e aumenta linearmente com N. Implicando que temos uma escalabilidade muito boa para as caminhadas no espaço de energia quando o objetivo é estimar <math>g(E)</math> uma vez que um aumento no tamanho da grade não implica em um aumento exponencial, mas sim linear, no tempo de execução.
===Normalização===
É necessário ressaltar que após a simulação completa, o algoritmo de Wang-Landau nos fornece apenas a densidade de estados relativa. Para extrairmos a real densidade de estados <math>g_n(E)</math> é necessário que utilizemos uma das duas condições: Que o número total de estados possíveis é <math>\sum_Eg_n(E) = Q^N</math> ou que o numero de estados fundamentais é <math>Q</math> (onde <math>Q = 2</math> para o modelo de Ising 2D pois os spins possuem apenas dois estados).

Pela primeira condição, podemos obter a densidade de estados normalizada através da equação

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[\sum_Eg(E)] + N\ln(2)</math>,

enquanto pela segunda condição temos que

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[g(E = -2N)] + \ln(2)</math>.

A segunda normalização é preferível pois garante precisão para estados de menor energia, o que é necessário para o calculo de parâmetros termodinâmicos há baixas temperaturas.
===Parâmetros Termodinâmicos===
Uma vez que temos a densidade de estados, podemos calcular diversos parâmetros termodinâmicos, como a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_interna energia interna] <math>U(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Calor_espec%C3%ADfico calor especifico] <math>C(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_livre_de_Helmholtz energia livre de Helmholtz] <math>F(T)</math> e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Entropia entropia] <math>S(T)</math> através das seguintes equações:
<div id="equações para parâmetros termodinâmicos">
<math>U(T) = \frac{\sum_EEg(E)e^{-E/k_BT}}{\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}}</math>

<math>C(T) = \frac{\langle E^2\rangle - \langle E\rangle^2}{k_BT^2}</math>

<math>F(T) = -k_BT\ln\left(\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}\right)</math>

<math>S(T) = \frac{U(T) - F(T)}{T}</math>
</div>
Estes parâmetros termodinâmicos dependem apenas da temperatura uma vez que já foi encontrado a densidade de estados <math>g(E)</math>, o que contorna os problemas de ''critical slowing down'' na temperatura crítica pois a simulação não precisa ser refeita para cada uma das temperaturas, por consequência também dispensa a necessidade de repesagem de histogramas, contornando o problema de estatística fraca nas asas dos histogramas.

==Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau==
Podemos aplicar o algoritmo de Wang-Landau para um sistema [https://pt.wikipedia.org/wiki/Ferromagnetismo#:~:text=Ferromagnetismo%20%C3%A9%20o%20mecanismo%20b%C3%A1sico,diferentes%20de%20magnetismo%20s%C3%A3o%20distinguidos. ferromagnético] 2D de Ising com interação de primeiros vizinhos e uma grade quadrada <math>L\times L</math> com [https://pt.wikipedia.org/wiki/Condi%C3%A7%C3%B5es_de_fronteira_peri%C3%B3dicas condições de contorno periódicas] no qual o hamiltoniano é dado por

<math>\mathcal{H} = -\sum_{\langle i,j\rangle}\sigma_{i}\sigma_j</math>

onde <math>\sigma_{i} = +1</math> para spin para cima, <math>\sigma_{i} = -1</math> para baixo e <math>\langle i,j\rangle</math> indica a soma entre os primeiros vizinhos. Na Fig.1 temos a densidade de estados <math>g(E)</math> para um sistema <math>16 \times 16</math> com <math>f_{final} \sim 10^{-6}</math> e com critério para um histograma <math>H(E)</math> plano de 80%. Com esses parâmetros, a ''Google Compute Engine'' padrão para [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python3] do Google Colab realiza a simulação em <math>\sim 40s</math>.

[[Arquivo: erickStateDensity.png|400px|thumb|center| Figura 1: Logaritmo da densidade de estados <math>\ln(g(E))</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>, há uma brusca queda na densidade de estados perto das pontas uma vez que as energias <math>-2L^2 + 8</math> e <math>2L^2 - 8</math> são inalcançáveis pelo sistema.]]

Fazendo uso da [[#equação de distribuição de probabilidade canônica]], podemos encontrar a distribuição de probabilidade das energias para uma determinada temperatura <math>T</math>. Devido a natureza do algoritmo, estas distribuições que por meios convencionais levariam tempo demasiadamente grande para ser calculado ou necessitariam de repesagem de histograma são instantaneamente calculadas com o algoritmo de Wang-Landau independentemente da temperatura. Na Fig.2 temos um exemplo das distribuições, incluindo uma próxima da temperatura critica <math>T_c</math>.

[[Arquivo: erickProbs.png|400px|thumb|center| Figura 2: A distribuição canônica <math>P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}</math> em 3 temperaturas, incluindo a temperatura crítica <math>T_c</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>.]]

Fazendo uso das [[#equações para parâmetros termodinâmicos]], podemos calculá-los para este sistema em função da temperatura quase que instantaneamente. Estes são ilustrados nas Figs. 3,4,5,6.
<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickU.png|400px|thumb|center| Figura 3: A Energia interna do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickC.png|400px|thumb|center| Figura 4: O Calor Específico do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o pico se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickF.png|400px|thumb|center| Figura 5: A Energia Livre do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o começo da queda se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickS.png|400px|thumb|center| Figura 6: A Entropia do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
</ul></div>

==Código do Exemplo==
[[Exemplo de código para a amostragem de Wang-Landau em Python3]]

==Referências==
<references />

Amostragem de Wang-Landau

2022-10-19T00:46:17Z

Erickc:

O [https://pt.wikipedia.org/wiki/Algoritmo algoritmo] de amostragem de Wang-Landau é um método de amostragem para simulações de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo Monte Carlo] introduzido por D.P Landau, Shan-Ho Tsai e M. Exlerem em 2004
<ref>Landau, D. P., Shan-Ho Tsai, and M. Exler. "A new approach to Monte Carlo simulations in statistical physics: Wang-Landau sampling." American Journal of Physics 72.10 (2004): 1294-1302.
</ref>
com suas primeiras concepções traçadas por F. Wang and D. P. Landau em 2001
<ref>F. Wang and D. P. Landau, ‘‘Efficient, multiple-range random walk algorithm to calculate the density of states,’’ Phys. Rev. Lett. 86, 2050–2053
!2001"; ‘‘Determining the density of states for classical statistical models:
A random walk algorithm to produce a flat histogram,’’ Phys. Rev. E 64,
056101 !2001".</ref>
que apresenta diversas vantagens sobre outros métodos para sistemas de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Spin spins]. Dentre eles podemos citar o algoritmo de Metropolis
<ref>N. Metropolis, A. W. Rosenbluth, M. N. Rosenbluth, A. H. Teller, and E.
Teller, ‘‘Equation of state calculations by fast computing machines,’’ J.
Chem. Phys. 21, 1087–1092 !1953".</ref>
, o algoritmo de ''clustering'' de Wolff
<ref>U. Wolff, ‘‘Collective Monte Carlo updating for spin systems,’’ Phys. Rev.
Lett. 62, 361–364 !1989".</ref>
, ou em um modelamento de ''ensamble'' multi-canônico
<ref>B. A. Berg and T. Neuhaus, ‘‘Multicanonical ensemble: A new approach to
simulate first-order phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 68, 9–12 !1992"</ref>
. Nestes dois últimos métodos são utilizados métodos de repesagem de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Histograma histogramas]<ref>
A. M. Ferrenberg and R. H. Swendsen, ‘‘New Monte Carlo technique for
studying phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 61, 2635–2638 !1988"; ‘‘Optimized Monte Carlo data analysis,’’ ibid. 63, 1195–1198 !1989".</ref>
que são limitados em sistemas grandes devido as baixa qualidade estatística nas asas do histograma.
Dentro deste contexto, o algoritmo Wang-Landau promete resolver problemas encontrados em amostragens convencionais como o ''critical slowing down'' para temperaturas próximas da temperatura crítica <math>T_c</math> utilizando-se de caminhadas aleatórias controladas para mapear a densidade de estados <math>g(E)</math> de um sistema, sem fazer uso de qualquer repesagem de histogramas.

----

A maioria dos algoritmos de amostragem convencionais geram uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_can%C3%B3nico distribuição canônica] não normalizada

<div id="equação de distribuição de probabilidade canônica"> <math> P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

para uma determinada temperatura <math>T</math>, Geralmente estas distribuições são estreitas e se faz necessário múltiplas simulações para obter algum parâmetro [https://pt.wikipedia.org/wiki/Termodin%C3%A2mica termodinâmico] para uma distribuição significantemente grande de temperaturas.
Como <math>g(E)</math> não depende de temperatura do sistema, se pudermos encontrá-lo para todo <math>E</math>, podemos encontrar a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_de_parti%C3%A7%C3%A3o_(mec%C3%A2nica_estat%C3%ADstica) função de partição]

<div id="pf"> <math> Z(T) = \sum_E g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

e o sistema esta essencialmente resolvido, uma vez que grande parte dos parâmetros termodinâmicos podem ser derivados de <math>Z</math>. Além disso, a amostragem de Wang-Landau é provada ser útil em diversas aplicações como o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Antiferromagnetismo antiferromagneto] de Potts
<ref>C. Yamaguchi and Y. Okabe, ‘‘Three-dimensional antiferromagnetic
q-state Potts models: application of the Wang-Landau algorithm,’’ J. Phys.
A 34, 8781– 8794 !2001"</ref>
, sistemas de spins aleatórios<ref>Y. Okabe, Y. Tomita, and C. Yamaguchi, ‘‘Application of new Monte Carlo
algorithms to random spin systems,’’ Comput. Phys. Commun. 146, 63– 68
!2002".</ref>
, sistemas [https://pt.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica quânticos]<ref>
2M. Troyer, S. Wessel, and F. Alet, ‘‘Flat histogram methods for quantum
systems: Algorithms to overcome tunneling problems and calculate the
free energy,’’ Phys. Rev. Lett. 90, 120201 !2003". </ref>, etc... .

==Descrição do algoritmo de Wang Landau==
Descreveremos o funcionamento do algoritmo de Wang-Landau num sistema de spins clássicos de 2 estados numa grade bidimensional com valores discretos de energia e sem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Campo_magn%C3%A9tico campo magnético]([https://pt.wikipedia.org/wiki/Modelo_de_Ising Modelo de Ising]2D). Portanto quando nos referirmos a <math>g(E)</math> como densidade de estados, interpretamos como o número de estados com energia E.
A amostragem de Wang-Landau faz caminhadas aleatórias no espaço de energia mudando os estados de spins aleatoriamente selecionados, porém esta mudança só é aceita com probabilidade proporcional a reciproca da densidade de estados. Durante a caminhada também se acumula o número de vezes que uma energia é visitada durante a caminhada <math>H(E)</math>, isto é, ao visitarmos a energia <math>E_1</math> faz-se a atualização da variável <math> H(E_1) \rightarrow H(E_1) + 1 </math>. Por outro lado, a atualização da densidade de estados <math>g(E_1)</math> se da por um fator multiplicativo <math>f</math> (<math> g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f </math>) controlado ao longo da simulação para que seja muito próximo de 1 ao final das caminhadas.

Podemos descrever os passos do algoritmo da seguinte maneira:
# Inicializamos as densidades de energias com <math>g(E) = 1</math> para todo <math>E</math>, da mesma forma <math>H(E) = 0</math> para todo <math>E</math>.
# Inicializamos <math>f = f_0 = e \approx 2.71828</math> e um sistema <math>L\times L</math> de spins de valor 1 e -1 aleatoriamente distribuídos.
#*O valor de <math>f</math> é arbitrário e deve ser escolhido não muito pequeno, pois irá fazer com que a simulação demore muito tempo para explorar diversas energias, por outro lado se escolhido muito grande, levará a erros estatísticos significativos.
# Começamos a caminhada inicial escolhendo aleatoriamente um dos spins e mudando o seu estado.
# Se denotamos <math>E_1</math> como a energia antes da mudança de estado do spin selecionado e <math>E_2</math> como a energia após, aceitamos este novo estado com a seguinte probabilidade: <math>P(E_1 \rightarrow E_2) = \text{min}\left(\frac{g(E_1)}{g(E_2)},1\right)</math>
#*Se aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_2) \rightarrow g(E_2) \times f</math> e <math>H(E_2) \rightarrow H(E_2) +1</math> respectivamente.
#*Se não aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f</math> e <math>H(E_1) \rightarrow H(E_1) +1</math> respectivamente, de maneira a recontar o estado <math>E_1</math>.
#*Destaca-se que em ambos os casos usamos <math>\ln(g(E)) = \rightarrow \ln(g(E)) + \ln(f)</math>, pois ao longo da simulação acabamos usando números muito grandes.
#Faz-se esta caminhada aleatória nos diferentes estados do sistema até que o histograma <math>H(E)</math> esteja aproximadamente plano.
#*O critério para decidir se um histograma está plano é arbitrário. Para um [https://pt.wikipedia.org/wiki/Hamiltoniano_(mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica) hamiltoniano] de Ising 2D este critério pode ser definido tão alto quanto 95% (i.e. todos os valores de <math>H(E)</math> devem ser pelo menos 95% de <math> \langle H(E) \rangle </math>), porém valores mais altos que isso podem resultar no programa nunca identificando o histograma como plano.
#Checa-se se <math>H(E)</math> está plano a cada 10000 passos MC. Quando está plano, podemos dizer que todos os estados foram visitados uma quantidade de vezes aproximadamente igual e a densidade de estados <math>g(E)</math> converge ao valor real com precisão da ordem de <math>f</math>.
#*Um passo MC corresponde a <math>L^2 = N</math> passos.
#Reduz-se o fator <math>f</math> da seguinte maneira <math>f_1 \rightarrow \sqrt{f_0}</math>, reinicia-se o histograma <math>H(E) = 0</math> e recomeça-se a caminhada aleatória com este novo fator <math>f</math>. (Todos os parâmetros não mencionados neste passo permanecem intocados).
#Continuamos executando os passos 5-7, reduzindo o fator <math>f</math> segundo a seguinte expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math>
#Encerra-se a simulação quando <math>f_{final}</math> estiver da ordem do erro desejado.
#*Claro que <math>f_{final}</math> pode ser escolhido arbitrariamente pequeno, mas sempre com um certo limite razoável <math>(10^{-6}-10^{-8})</math>, ou a simulação pode tomar tempos não razoáveis para completar.

==Observações sobre o algoritmo==
Nesta seção discutimos algumas observações importantes a se levar em conta na implementação do método de amostragem de Wang-Landau
===Fator de modificação f===
Quando tratamos da atualização do fator <math>f</math>, a expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math> é apenas uma recomendação, uma vez que outros valores de <math>n>1</math> podem ser escolhidos para uma atualização do tipo <math>f_{i+1} = f_{i}^{(1/n)}</math>. Não obstante, <math>n = 2</math> é adequado para grande parte dos sistemas estudados, resultando em boa acurácia em relativamente pouco tempo de simulação.
===Implementação paralela===
A simulação pode ser melhorada ainda fazendo múltiplas caminhadas aleatórias paralelamente no espaço de energias. Restringindo o alcance das caminhadas proporcionalmente com o número de caminhantes em paralelo (e.g. No caso de 2 caminhantes simultâneos, dividimos o espaço de energias em 2 e restringimos um caminhante para a metade inferior das energias, e o outro para a parte superior) e depois juntando as densidades de estados resultantes.
<ref>1B. J. Schulz, K. Binder, M. Mu¨ller, and D. P. Landau, ‘‘Avoiding boundary
effects in Wang-Landau sampling,’’ Phys. Rev. E 67, 067102 !2003".</ref>
===Balanço detalhado===
A condição de balanço detalhado inicialmente não é satisfeita uma vez que <math>g(E)</math> é constantemente modificada durante a caminhada aleatória. Porém após várias iterações, a condição é satisfeita a medida que <math>f</math> se aproxima de 1. Observa-se que se <math>P(E_1 \rightarrow E_2)</math> é a probabilidade de transição da energia <math>E_1</math> para a energia <math>E_2</math>, utilizando a equação do passo 4 do algoritmo temos que:

<math>
\frac{P(E_1 \rightarrow E_2)}{P(E_2 \rightarrow E_1)} = \frac{g(E_1)}{g(E_2)}.
</math>

Podemos reescrever a equação de uma forma mais familiar

<math>
\frac{1}{g(E_1)}P(E_1 \rightarrow E_2) = \frac{1}{g(E_2)}P(E_2 \rightarrow E_1)
</math>

que é a condição de balanceamento detalhado, uma vez que interpretamos que <math>1/g(E_1)</math> como a probabilidade do sistema possuir a energia <math>E_1</math> e analogamente para <math>E_2</math>. Concluímos então que a condição de balanço detalhado é satisfeita com precisão proporcional a <math>\ln(f)</math>.
===Escalabilidade===
Quando analisamos um modelo de Ising 2D de tamanho <math>L\times L</math>, temos que o número de configurações <math>(2^N, N = L^2)</math> aumenta exponencialmente com <math>N</math>, enquanto o número de possíveis energias é por volta de <math>2N</math> e aumenta linearmente com N. Implicando que temos uma escalabilidade muito boa para as caminhadas no espaço de energia quando o objetivo é estimar <math>g(E)</math> uma vez que um aumento no tamanho da grade não implica em um aumento exponencial, mas sim linear, no tempo de execução.
===Normalização===
É necessário ressaltar que após a simulação completa, o algoritmo de Wang-Landau nos fornece apenas a densidade de estados relativa. Para extrairmos a real densidade de estados <math>g_n(E)</math> é necessário que utilizemos uma das duas condições: Que o número total de estados possíveis é <math>\sum_Eg_n(E) = Q^N</math> ou que o numero de estados fundamentais é <math>Q</math> (onde <math>Q = 2</math> para o modelo de Ising 2D pois os spins possuem apenas dois estados).

Pela primeira condição, podemos obter a densidade de estados normalizada através da equação

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[\sum_Eg(E)] + N\ln(2)</math>,

enquanto pela segunda condição temos que

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[g(E = -2N)] + \ln(2)</math>.

A segunda normalização é preferível pois garante precisão para estados de menor energia, o que é necessário para o calculo de parâmetros termodinâmicos há baixas temperaturas.
===Parâmetros Termodinâmicos===
Uma vez que temos a densidade de estados, podemos calcular diversos parâmetros termodinâmicos, como a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_interna energia interna] <math>U(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Calor_espec%C3%ADfico calor especifico] <math>C(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_livre_de_Helmholtz energia livre de Helmholtz] <math>F(T)</math> e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Entropia entropia] <math>S(T)</math> através das seguintes equações:
<div id="equações para parâmetros termodinâmicos">
<math>U(T) = \frac{\sum_EEg(E)e^{-E/k_BT}}{\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}}</math>

<math>C(T) = \frac{\langle E^2\rangle - \langle E\rangle^2}{k_BT^2}</math>

<math>F(T) = -k_BT\ln\left(\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}\right)</math>

<math>S(T) = \frac{U(T) - F(T)}{T}</math>
</div>
Estes parâmetros termodinâmicos dependem apenas da temperatura uma vez que já foi encontrado a densidade de estados <math>g(E)</math>, o que contorna os problemas de ''critical slowing down'' na temperatura crítica pois a simulação não precisa ser refeita para cada uma das temperaturas, por consequência também dispensa a necessidade de repesagem de histogramas, contornando o problema de estatística fraca nas asas dos histogramas.

==Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau==
Podemos aplicar o algoritmo de Wang-Landau para um sistema [https://pt.wikipedia.org/wiki/Ferromagnetismo#:~:text=Ferromagnetismo%20%C3%A9%20o%20mecanismo%20b%C3%A1sico,diferentes%20de%20magnetismo%20s%C3%A3o%20distinguidos. ferromagnético] 2D de Ising com interação de primeiros vizinhos e uma grade quadrada <math>L\times L</math> com [https://pt.wikipedia.org/wiki/Condi%C3%A7%C3%B5es_de_fronteira_peri%C3%B3dicas condições de contorno periódicas] no qual o hamiltoniano é dado por

<math>\mathcal{H} = -\sum_{\langle i,j\rangle}\sigma_{i}\sigma_j</math>

onde <math>\sigma_{i} = +1</math> para spin para cima, <math>\sigma_{i} = -1</math> para baixo e <math>\langle i,j\rangle</math> indica a soma entre os primeiros vizinhos. Na Fig.1 temos a densidade de estados <math>g(E)</math> para um sistema <math>16 \times 16</math> com <math>f_{final} \sim 10^{-6}</math> e com critério para um histograma <math>H(E)</math> plano de 80%. Com esses parâmetros, a ''Google Compute Engine'' padrão para [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python3] do Google Colab realiza a simulação em <math>\sim 40s</math>.

[[Arquivo: erickStateDensity.png|400px|thumb|center| Figura 1: Logaritmo da densidade de estados <math>\ln(g(E))</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>, há uma brusca queda na densidade de estados perto das pontas uma vez que as energias <math>-2L^2 + 8</math> e <math>2L^2 - 8</math> são inalcançáveis pelo sistema.]]

Fazendo uso da [[#equação de distribuição de probabilidade canônica]], podemos encontrar a distribuição de probabilidade das energias para uma determinada temperatura <math>T</math>. Devido a natureza do algoritmo, estas distribuições que por meios convencionais levariam tempo demasiadamente grande para ser calculado ou necessitariam de repesagem de histograma são instantaneamente calculadas com o algoritmo de Wang-Landau independentemente da temperatura. Na Fig.2 temos um exemplo das distribuições, incluindo uma próxima da temperatura critica <math>T_c</math>.

[[Arquivo: erickProbs.png|400px|thumb|center| Figura 2: A distribuição canônica <math>P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}</math> em 3 temperaturas, incluindo a temperatura crítica <math>T_c</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>.]]

Fazendo uso das [[#equações para parâmetros termodinâmicos]], podemos calculá-los para este sistema em função da temperatura quase que instantaneamente. Estes são ilustrados nas Figs. 3,4,5,6.
<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickU.png|400px|thumb|center| Figura 3: A Energia interna do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickC.png|400px|thumb|center| Figura 4: O Calor Específico do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o pico se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickF.png|400px|thumb|center| Figura 5: A Energia Livre do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o começo da queda se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickS.png|400px|thumb|center| Figura 6: A Entropia do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
</ul></div>

==Código do Exemplo==
[[Exemplo de código para a amostragem de Wang-Landau em Python3]]

==Referências==
<references />

Amostragem de Wang-Landau

2022-10-17T18:40:33Z

Erickc: /* Exemplo de código */

O [https://pt.wikipedia.org/wiki/Algoritmo algoritmo] de amostragem de Wang-Landau é um método de amostragem para simulações de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo Monte Carlo] introduzido por D.P Landau, Shan-Ho Tsai e M. Exlerem em 2004
<ref>Landau, D. P., Shan-Ho Tsai, and M. Exler. "A new approach to Monte Carlo simulations in statistical physics: Wang-Landau sampling." American Journal of Physics 72.10 (2004): 1294-1302.
</ref>
com suas primeiras concepções traçadas por F. Wang and D. P. Landau em 2001
<ref>F. Wang and D. P. Landau, ‘‘Efficient, multiple-range random walk algorithm to calculate the density of states,’’ Phys. Rev. Lett. 86, 2050–2053
!2001"; ‘‘Determining the density of states for classical statistical models:
A random walk algorithm to produce a flat histogram,’’ Phys. Rev. E 64,
056101 !2001".</ref>
que apresenta diversas vantagens sobre outros métodos para sistemas de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Spin spins]. Dentre eles podemos citar o algoritmo de Metropolis
<ref>N. Metropolis, A. W. Rosenbluth, M. N. Rosenbluth, A. H. Teller, and E.
Teller, ‘‘Equation of state calculations by fast computing machines,’’ J.
Chem. Phys. 21, 1087–1092 !1953".</ref>
, o algoritmo de ''clustering'' de Wolff
<ref>U. Wolff, ‘‘Collective Monte Carlo updating for spin systems,’’ Phys. Rev.
Lett. 62, 361–364 !1989".</ref>
, ou em um modelamento de ''ensamble'' multi-canônico
<ref>B. A. Berg and T. Neuhaus, ‘‘Multicanonical ensemble: A new approach to
simulate first-order phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 68, 9–12 !1992"</ref>
. Nestes dois últimos métodos são utilizados métodos de repesagem de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Histograma histogramas]<ref>
A. M. Ferrenberg and R. H. Swendsen, ‘‘New Monte Carlo technique for
studying phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 61, 2635–2638 !1988"; ‘‘Optimized Monte Carlo data analysis,’’ ibid. 63, 1195–1198 !1989".</ref>
que são limitados em sistemas grandes devido as baixa qualidade estatística nas asas do histograma.
Dentro deste contexto, o algoritmo Wang-Landau promete resolver problemas encontrados em amostragens convencionais como o ''critical slowing down'' para temperaturas próximas da temperatura crítica <math>T_c</math> utilizando-se de caminhadas aleatórias controladas para mapear a densidade de estados <math>g(E)</math> de um sistema, sem fazer uso de qualquer repesagem de histogramas.

----

A maioria dos algoritmos de amostragem convencionais geram uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_can%C3%B3nico distribuição canônica] não normalizada

<div id="equação de distribuição de probabilidade canônica"> <math> P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

para uma determinada temperatura <math>T</math>, Geralmente estas distribuições são estreitas e se faz necessário múltiplas simulações para obter algum parâmetro [https://pt.wikipedia.org/wiki/Termodin%C3%A2mica termodinâmico] para uma distribuição significantemente grande de temperaturas.
Como <math>g(E)</math>não depende de temperatura do sistema, se pudermos encontrá-lo para todo <math>E</math>, podemos encontrar a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_de_parti%C3%A7%C3%A3o_(mec%C3%A2nica_estat%C3%ADstica) função de partição]

<div id="pf"> <math> Z(T) = \sum_E g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

e o sistema esta essencialmente resolvido, uma vez que grande parte dos parâmetros termodinâmicos podem ser derivados de <math>Z</math>. Além disso, a amostragem de Wang-Landau é provada ser útil em diversas aplicações como o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Antiferromagnetismo antiferromagneto] de Potts
<ref>C. Yamaguchi and Y. Okabe, ‘‘Three-dimensional antiferromagnetic
q-state Potts models: application of the Wang-Landau algorithm,’’ J. Phys.
A 34, 8781– 8794 !2001"</ref>
, sistemas de spins aleatórios<ref>Y. Okabe, Y. Tomita, and C. Yamaguchi, ‘‘Application of new Monte Carlo
algorithms to random spin systems,’’ Comput. Phys. Commun. 146, 63– 68
!2002".</ref>
, sistemas [https://pt.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica quânticos]<ref>
2M. Troyer, S. Wessel, and F. Alet, ‘‘Flat histogram methods for quantum
systems: Algorithms to overcome tunneling problems and calculate the
free energy,’’ Phys. Rev. Lett. 90, 120201 !2003". </ref>, etc... .

==Descrição do algoritmo de Wang Landau==
Descreveremos o funcionamento do algoritmo de Wang-Landau num sistema de spins clássicos de 2 estados numa grade bidimensional com valores discretos de energia e sem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Campo_magn%C3%A9tico campo magnético]([https://pt.wikipedia.org/wiki/Modelo_de_Ising Modelo de Ising]2D). Portanto quando nos referirmos a <math>g(E)</math> como densidade de estados, interpretamos como o número de estados com energia E.
A amostragem de Wang-Landau faz caminhadas aleatórias no espaço de energia mudando os estados de spins aleatoriamente selecionados, porém esta mudança só é aceita com probabilidade proporcional a reciproca da densidade de estados. Durante a caminhada também se acumula o número de vezes que uma energia é visitada durante a caminhada <math>H(E)</math>, isto é, ao visitarmos a energia <math>E_1</math> faz-se a atualização da variável <math> H(E_1) \rightarrow H(E_1) + 1 </math>. Por outro lado, a atualização da densidade de estados <math>g(E_1)</math> se da por um fator multiplicativo <math>f</math> (<math> g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f </math>) controlado ao longo da simulação para que seja muito próximo de 1 ao final das caminhadas.

Podemos descrever os passos do algoritmo da seguinte maneira:
# Inicializamos as densidades de energias com <math>g(E) = 1</math> para todo <math>E</math>, da mesma forma <math>H(E) = 0</math> para todo <math>E</math>.
# Inicializamos <math>f = f_0 = e \approx 2.71828</math> e um sistema <math>L\times L</math> de spins de valor 1 e -1 aleatoriamente distribuídos.
#*O valor de <math>f</math> é arbitrário e deve ser escolhido não muito pequeno, pois irá fazer com que a simulação demore muito tempo para explorar diversas energias, por outro lado se escolhido muito grande, levará a erros estatísticos significativos.
# Começamos a caminhada inicial escolhendo aleatoriamente um dos spins e mudando o seu estado.
# Se denotamos <math>E_1</math> como a energia antes da mudança de estado do spin selecionado e <math>E_2</math> como a energia após, aceitamos este novo estado com a seguinte probabilidade: <math>P(E_1 \rightarrow E_2) = \text{min}\left(\frac{g(E_1)}{g(E_2)},1\right)</math>
#*Se aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_2) \rightarrow g(E_2) \times f</math> e <math>H(E_2) \rightarrow H(E_2) +1</math> respectivamente.
#*Se não aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f</math> e <math>H(E_1) \rightarrow H(E_1) +1</math> respectivamente, de maneira a recontar o estado <math>E_1</math>.
#*Destaca-se que em ambos os casos usamos <math>\ln(g(E)) = \rightarrow \ln(g(E)) + \ln(f)</math>, pois ao longo da simulação acabamos usando números muito grandes.
#Faz-se esta caminhada aleatória nos diferentes estados do sistema até que o histograma <math>H(E)</math> esteja aproximadamente plano.
#*O critério para decidir se um histograma está plano é arbitrário. Para um [https://pt.wikipedia.org/wiki/Hamiltoniano_(mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica) hamiltoniano] de Ising 2D este critério pode ser definido tão alto quanto 95% (i.e. todos os valores de <math>H(E)</math> devem ser pelo menos 95% de <math> \langle H(E) \rangle </math>), porém valores mais altos que isso podem resultar no programa nunca identificando o histograma como plano.
#Checa-se se <math>H(E)</math> está plano a cada 10000 passos MC. Quando está plano, podemos dizer que todos os estados foram visitados uma quantidade de vezes aproximadamente igual e a densidade de estados <math>g(E)</math> converge ao valor real com precisão da ordem de <math>f</math>.
#*Um passo MC corresponde a <math>L^2 = N</math> passos.
#Reduz-se o fator <math>f</math> da seguinte maneira <math>f_1 \rightarrow \sqrt{f_0}</math>, reinicia-se o histograma <math>H(E) = 0</math> e recomeça-se a caminhada aleatória com este novo fator <math>f</math>. (Todos os parâmetros não mencionados neste passo permanecem intocados).
#Continuamos executando os passos 5-7, reduzindo o fator <math>f</math> segundo a seguinte expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math>
#Encerra-se a simulação quando <math>f_{final}</math> estiver da ordem do erro desejado.
#*Claro que <math>f_{final}</math> pode ser escolhido arbitrariamente pequeno, mas sempre com um certo limite razoável <math>(10^{-6}-10^{-8})</math>, ou a simulação pode tomar tempos não razoáveis para completar.

==Observações sobre o algoritmo==
Nesta seção discutimos algumas observações importantes a se levar em conta na implementação do método de amostragem de Wang-Landau
===Fator de modificação f===
Quando tratamos da atualização do fator <math>f</math>, a expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math> é apenas uma recomendação, uma vez que outros valores de <math>n>1</math> podem ser escolhidos para uma atualização do tipo <math>f_{i+1} = f_{i}^{(1/n)}</math>. Não obstante, <math>n = 2</math> é adequado para grande parte dos sistemas estudados, resultando em boa acurácia em relativamente pouco tempo de simulação.
===Implementação paralela===
A simulação pode ser melhorada ainda fazendo múltiplas caminhadas aleatórias paralelamente no espaço de energias. Restringindo o alcance das caminhadas proporcionalmente com o número de caminhantes em paralelo (e.g. No caso de 2 caminhantes simultâneos, dividimos o espaço de energias em 2 e restringimos um caminhante para a metade inferior das energias, e o outro para a parte superior) e depois juntando as densidades de estados resultantes.
===Balanço detalhado===
A condição de balanço detalhado inicialmente não é satisfeita uma vez que <math>g(E)</math> é constantemente modificada durante a caminhada aleatória. Porém após várias iterações, a condição é satisfeita a medida que <math>f</math> se aproxima de 1. Observa-se que se <math>P(E_1 \rightarrow E_2)</math> é a probabilidade de transição da energia <math>E_1</math> para a energia <math>E_2</math>, utilizando a equação do passo 4 do algoritmo temos que:

<math>
\frac{P(E_1 \rightarrow E_2)}{P(E_2 \rightarrow E_1)} = \frac{g(E_1)}{g(E_2)}.
</math>

Podemos reescrever a equação de uma forma mais familiar

<math>
\frac{1}{g(E_1)}P(E_1 \rightarrow E_2) = \frac{1}{g(E_2)}P(E_2 \rightarrow E_1)
</math>

que é a condição de balanceamento detalhado, uma vez que interpretamos que <math>1/g(E_1)</math> como a probabilidade do sistema possuir a energia <math>E_1</math> e analogamente para <math>E_2</math>. Concluímos então que a condição de balanço detalhado é satisfeita com precisão proporcional a <math>\ln(f)</math>.
===Escalabilidade===
Quando analisamos um modelo de Ising 2D de tamanho <math>L\times L</math>, temos que o número de configurações <math>(2^N, N = L^2)</math> aumenta exponencialmente com <math>N</math>, enquanto o número de possíveis energias é por volta de <math>2N</math> e aumenta linearmente com N. Implicando que temos uma escalabilidade muito boa para as caminhadas no espaço de energia quando o objetivo é estimar <math>g(E)</math> uma vez que um aumento no tamanho da grade não implica em um aumento exponencial, mas sim linear, no tempo de execução.
===Normalização===
É necessário ressaltar que após a simulação completa, o algoritmo de Wang-Landau nos fornece apenas a densidade de estados relativa. Para extrairmos a real densidade de estados <math>g_n(E)</math> é necessário que utilizemos uma das duas condições: Que o número total de estados possíveis é <math>\sum_Eg_n(E) = Q^N</math> ou que o numero de estados fundamentais é <math>Q</math> (onde <math>Q = 2</math> para o modelo de Ising 2D pois os spins possuem apenas dois estados).

Pela primeira condição, podemos obter a densidade de estados normalizada através da equação

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[\sum_Eg(E)] + N\ln(2)</math>,

enquanto pela segunda condição temos que

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[g(E = -2N)] + \ln(2)</math>.

A segunda normalização é preferível pois garante precisão para estados de menor energia, o que é necessário para o calculo de parâmetros termodinâmicos há baixas temperaturas.
===Parâmetros Termodinâmicos===
Uma vez que temos a densidade de estados, podemos calcular diversos parâmetros termodinâmicos, como a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_interna energia interna] <math>U(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Calor_espec%C3%ADfico calor especifico] <math>C(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_livre_de_Helmholtz energia livre de Helmholtz] <math>F(T)</math> e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Entropia entropia] <math>S(T)</math> através das seguintes equações:
<div id="equações para parâmetros termodinâmicos">
<math>U(T) = \frac{\sum_EEg(E)e^{-E/k_BT}}{\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}}</math>

<math>C(T) = \frac{\langle E^2\rangle - \langle E\rangle^2}{k_BT^2}</math>

<math>F(T) = -k_BT\ln\left(\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}\right)</math>

<math>S(T) = \frac{U(T) - F(T)}{T}</math>
</div>
Estes parâmetros termodinâmicos dependem apenas da temperatura uma vez que já foi encontrado a densidade de estados <math>g(E)</math>, o que contorna os problemas de ''critical slowing down'' na temperatura crítica pois a simulação não precisa ser refeita para cada uma das temperaturas, por consequência também dispensa a necessidade de repesagem de histogramas, contornando o problema de estatística fraca nas asas dos histogramas.

==Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau==
Podemos aplicar o algoritmo de Wang-Landau para um sistema [https://pt.wikipedia.org/wiki/Ferromagnetismo#:~:text=Ferromagnetismo%20%C3%A9%20o%20mecanismo%20b%C3%A1sico,diferentes%20de%20magnetismo%20s%C3%A3o%20distinguidos. ferromagnético] 2D de Ising com interação de primeiros vizinhos e uma grade quadrada <math>L\times L</math> com [https://pt.wikipedia.org/wiki/Condi%C3%A7%C3%B5es_de_fronteira_peri%C3%B3dicas condições de contorno periódicas] no qual o hamiltoniano é dado por

<math>\mathcal{H} = -\sum_{\langle i,j\rangle}\sigma_{i}\sigma_j</math>

onde <math>\sigma_{i} = +1</math> para spin para cima, <math>\sigma_{i} = -1</math> para baixo e <math>\langle i,j\rangle</math> indica a soma entre os primeiros vizinhos. Na Fig.1 temos a densidade de estados <math>g(E)</math> para um sistema <math>16 \times 16</math> com <math>f_{final} \sim 10^{-6}</math> e com critério para um histograma <math>H(E)</math> plano de 80%. Com esses parâmetros, a ''Google Compute Engine'' padrão para [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python3] do Google Colab realiza a simulação em <math>\sim 40s</math>.

[[Arquivo: erickStateDensity.png|400px|thumb|center| Figura 1: Logaritmo da densidade de estados <math>\ln(g(E))</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>, há uma brusca queda na densidade de estados perto das pontas uma vez que as energias <math>-2L^2 + 8</math> e <math>2L^2 - 8</math> são inalcançáveis pelo sistema.]]

Fazendo uso da [[#equação de distribuição de probabilidade canônica]], podemos encontrar a distribuição de probabilidade das energias para uma determinada temperatura <math>T</math>. Devido a natureza do algoritmo, estas distribuições que por meios convencionais levariam tempo demasiadamente grande para ser calculado ou necessitariam de repesagem de histograma são instantaneamente calculadas com o algoritmo de Wang-Landau independentemente da temperatura. Na Fig.2 temos um exemplo das distribuições, incluindo uma próxima da temperatura critica <math>T_c</math>.

[[Arquivo: erickProbs.png|400px|thumb|center| Figura 2: A distribuição canônica <math>P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}</math> em 3 temperaturas, incluindo a temperatura crítica <math>T_c</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>.]]

Fazendo uso das [[#equações para parâmetros termodinâmicos]], podemos calculá-los para este sistema em função da temperatura quase que instantaneamente. Estes são ilustrados nas Figs. 3,4,5,6.
<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickU.png|400px|thumb|center| Figura 3: A Energia interna do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickC.png|400px|thumb|center| Figura 4: O Calor Específico do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o pico se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickF.png|400px|thumb|center| Figura 5: A Energia Livre do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o começo da queda se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickS.png|400px|thumb|center| Figura 6: A Entropia do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
</ul></div>

==Código do Exemplo==
[[Exemplo de código para a amostragem de Wang-Landau em Python3]]

==Referências==
<references />

Amostragem de Wang-Landau

2022-10-17T18:37:51Z

Erickc: /* Parâmetros Termodinâmicos */

O [https://pt.wikipedia.org/wiki/Algoritmo algoritmo] de amostragem de Wang-Landau é um método de amostragem para simulações de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo Monte Carlo] introduzido por D.P Landau, Shan-Ho Tsai e M. Exlerem em 2004
<ref>Landau, D. P., Shan-Ho Tsai, and M. Exler. "A new approach to Monte Carlo simulations in statistical physics: Wang-Landau sampling." American Journal of Physics 72.10 (2004): 1294-1302.
</ref>
com suas primeiras concepções traçadas por F. Wang and D. P. Landau em 2001
<ref>F. Wang and D. P. Landau, ‘‘Efficient, multiple-range random walk algorithm to calculate the density of states,’’ Phys. Rev. Lett. 86, 2050–2053
!2001"; ‘‘Determining the density of states for classical statistical models:
A random walk algorithm to produce a flat histogram,’’ Phys. Rev. E 64,
056101 !2001".</ref>
que apresenta diversas vantagens sobre outros métodos para sistemas de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Spin spins]. Dentre eles podemos citar o algoritmo de Metropolis
<ref>N. Metropolis, A. W. Rosenbluth, M. N. Rosenbluth, A. H. Teller, and E.
Teller, ‘‘Equation of state calculations by fast computing machines,’’ J.
Chem. Phys. 21, 1087–1092 !1953".</ref>
, o algoritmo de ''clustering'' de Wolff
<ref>U. Wolff, ‘‘Collective Monte Carlo updating for spin systems,’’ Phys. Rev.
Lett. 62, 361–364 !1989".</ref>
, ou em um modelamento de ''ensamble'' multi-canônico
<ref>B. A. Berg and T. Neuhaus, ‘‘Multicanonical ensemble: A new approach to
simulate first-order phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 68, 9–12 !1992"</ref>
. Nestes dois últimos métodos são utilizados métodos de repesagem de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Histograma histogramas]<ref>
A. M. Ferrenberg and R. H. Swendsen, ‘‘New Monte Carlo technique for
studying phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 61, 2635–2638 !1988"; ‘‘Optimized Monte Carlo data analysis,’’ ibid. 63, 1195–1198 !1989".</ref>
que são limitados em sistemas grandes devido as baixa qualidade estatística nas asas do histograma.
Dentro deste contexto, o algoritmo Wang-Landau promete resolver problemas encontrados em amostragens convencionais como o ''critical slowing down'' para temperaturas próximas da temperatura crítica <math>T_c</math> utilizando-se de caminhadas aleatórias controladas para mapear a densidade de estados <math>g(E)</math> de um sistema, sem fazer uso de qualquer repesagem de histogramas.

----

A maioria dos algoritmos de amostragem convencionais geram uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_can%C3%B3nico distribuição canônica] não normalizada

<div id="equação de distribuição de probabilidade canônica"> <math> P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

para uma determinada temperatura <math>T</math>, Geralmente estas distribuições são estreitas e se faz necessário múltiplas simulações para obter algum parâmetro [https://pt.wikipedia.org/wiki/Termodin%C3%A2mica termodinâmico] para uma distribuição significantemente grande de temperaturas.
Como <math>g(E)</math>não depende de temperatura do sistema, se pudermos encontrá-lo para todo <math>E</math>, podemos encontrar a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_de_parti%C3%A7%C3%A3o_(mec%C3%A2nica_estat%C3%ADstica) função de partição]

<div id="pf"> <math> Z(T) = \sum_E g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

e o sistema esta essencialmente resolvido, uma vez que grande parte dos parâmetros termodinâmicos podem ser derivados de <math>Z</math>. Além disso, a amostragem de Wang-Landau é provada ser útil em diversas aplicações como o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Antiferromagnetismo antiferromagneto] de Potts
<ref>C. Yamaguchi and Y. Okabe, ‘‘Three-dimensional antiferromagnetic
q-state Potts models: application of the Wang-Landau algorithm,’’ J. Phys.
A 34, 8781– 8794 !2001"</ref>
, sistemas de spins aleatórios<ref>Y. Okabe, Y. Tomita, and C. Yamaguchi, ‘‘Application of new Monte Carlo
algorithms to random spin systems,’’ Comput. Phys. Commun. 146, 63– 68
!2002".</ref>
, sistemas [https://pt.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica quânticos]<ref>
2M. Troyer, S. Wessel, and F. Alet, ‘‘Flat histogram methods for quantum
systems: Algorithms to overcome tunneling problems and calculate the
free energy,’’ Phys. Rev. Lett. 90, 120201 !2003". </ref>, etc... .

==Descrição do algoritmo de Wang Landau==
Descreveremos o funcionamento do algoritmo de Wang-Landau num sistema de spins clássicos de 2 estados numa grade bidimensional com valores discretos de energia e sem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Campo_magn%C3%A9tico campo magnético]([https://pt.wikipedia.org/wiki/Modelo_de_Ising Modelo de Ising]2D). Portanto quando nos referirmos a <math>g(E)</math> como densidade de estados, interpretamos como o número de estados com energia E.
A amostragem de Wang-Landau faz caminhadas aleatórias no espaço de energia mudando os estados de spins aleatoriamente selecionados, porém esta mudança só é aceita com probabilidade proporcional a reciproca da densidade de estados. Durante a caminhada também se acumula o número de vezes que uma energia é visitada durante a caminhada <math>H(E)</math>, isto é, ao visitarmos a energia <math>E_1</math> faz-se a atualização da variável <math> H(E_1) \rightarrow H(E_1) + 1 </math>. Por outro lado, a atualização da densidade de estados <math>g(E_1)</math> se da por um fator multiplicativo <math>f</math> (<math> g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f </math>) controlado ao longo da simulação para que seja muito próximo de 1 ao final das caminhadas.

Podemos descrever os passos do algoritmo da seguinte maneira:
# Inicializamos as densidades de energias com <math>g(E) = 1</math> para todo <math>E</math>, da mesma forma <math>H(E) = 0</math> para todo <math>E</math>.
# Inicializamos <math>f = f_0 = e \approx 2.71828</math> e um sistema <math>L\times L</math> de spins de valor 1 e -1 aleatoriamente distribuídos.
#*O valor de <math>f</math> é arbitrário e deve ser escolhido não muito pequeno, pois irá fazer com que a simulação demore muito tempo para explorar diversas energias, por outro lado se escolhido muito grande, levará a erros estatísticos significativos.
# Começamos a caminhada inicial escolhendo aleatoriamente um dos spins e mudando o seu estado.
# Se denotamos <math>E_1</math> como a energia antes da mudança de estado do spin selecionado e <math>E_2</math> como a energia após, aceitamos este novo estado com a seguinte probabilidade: <math>P(E_1 \rightarrow E_2) = \text{min}\left(\frac{g(E_1)}{g(E_2)},1\right)</math>
#*Se aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_2) \rightarrow g(E_2) \times f</math> e <math>H(E_2) \rightarrow H(E_2) +1</math> respectivamente.
#*Se não aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f</math> e <math>H(E_1) \rightarrow H(E_1) +1</math> respectivamente, de maneira a recontar o estado <math>E_1</math>.
#*Destaca-se que em ambos os casos usamos <math>\ln(g(E)) = \rightarrow \ln(g(E)) + \ln(f)</math>, pois ao longo da simulação acabamos usando números muito grandes.
#Faz-se esta caminhada aleatória nos diferentes estados do sistema até que o histograma <math>H(E)</math> esteja aproximadamente plano.
#*O critério para decidir se um histograma está plano é arbitrário. Para um [https://pt.wikipedia.org/wiki/Hamiltoniano_(mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica) hamiltoniano] de Ising 2D este critério pode ser definido tão alto quanto 95% (i.e. todos os valores de <math>H(E)</math> devem ser pelo menos 95% de <math> \langle H(E) \rangle </math>), porém valores mais altos que isso podem resultar no programa nunca identificando o histograma como plano.
#Checa-se se <math>H(E)</math> está plano a cada 10000 passos MC. Quando está plano, podemos dizer que todos os estados foram visitados uma quantidade de vezes aproximadamente igual e a densidade de estados <math>g(E)</math> converge ao valor real com precisão da ordem de <math>f</math>.
#*Um passo MC corresponde a <math>L^2 = N</math> passos.
#Reduz-se o fator <math>f</math> da seguinte maneira <math>f_1 \rightarrow \sqrt{f_0}</math>, reinicia-se o histograma <math>H(E) = 0</math> e recomeça-se a caminhada aleatória com este novo fator <math>f</math>. (Todos os parâmetros não mencionados neste passo permanecem intocados).
#Continuamos executando os passos 5-7, reduzindo o fator <math>f</math> segundo a seguinte expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math>
#Encerra-se a simulação quando <math>f_{final}</math> estiver da ordem do erro desejado.
#*Claro que <math>f_{final}</math> pode ser escolhido arbitrariamente pequeno, mas sempre com um certo limite razoável <math>(10^{-6}-10^{-8})</math>, ou a simulação pode tomar tempos não razoáveis para completar.

==Observações sobre o algoritmo==
Nesta seção discutimos algumas observações importantes a se levar em conta na implementação do método de amostragem de Wang-Landau
===Fator de modificação f===
Quando tratamos da atualização do fator <math>f</math>, a expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math> é apenas uma recomendação, uma vez que outros valores de <math>n>1</math> podem ser escolhidos para uma atualização do tipo <math>f_{i+1} = f_{i}^{(1/n)}</math>. Não obstante, <math>n = 2</math> é adequado para grande parte dos sistemas estudados, resultando em boa acurácia em relativamente pouco tempo de simulação.
===Implementação paralela===
A simulação pode ser melhorada ainda fazendo múltiplas caminhadas aleatórias paralelamente no espaço de energias. Restringindo o alcance das caminhadas proporcionalmente com o número de caminhantes em paralelo (e.g. No caso de 2 caminhantes simultâneos, dividimos o espaço de energias em 2 e restringimos um caminhante para a metade inferior das energias, e o outro para a parte superior) e depois juntando as densidades de estados resultantes.
===Balanço detalhado===
A condição de balanço detalhado inicialmente não é satisfeita uma vez que <math>g(E)</math> é constantemente modificada durante a caminhada aleatória. Porém após várias iterações, a condição é satisfeita a medida que <math>f</math> se aproxima de 1. Observa-se que se <math>P(E_1 \rightarrow E_2)</math> é a probabilidade de transição da energia <math>E_1</math> para a energia <math>E_2</math>, utilizando a equação do passo 4 do algoritmo temos que:

<math>
\frac{P(E_1 \rightarrow E_2)}{P(E_2 \rightarrow E_1)} = \frac{g(E_1)}{g(E_2)}.
</math>

Podemos reescrever a equação de uma forma mais familiar

<math>
\frac{1}{g(E_1)}P(E_1 \rightarrow E_2) = \frac{1}{g(E_2)}P(E_2 \rightarrow E_1)
</math>

que é a condição de balanceamento detalhado, uma vez que interpretamos que <math>1/g(E_1)</math> como a probabilidade do sistema possuir a energia <math>E_1</math> e analogamente para <math>E_2</math>. Concluímos então que a condição de balanço detalhado é satisfeita com precisão proporcional a <math>\ln(f)</math>.
===Escalabilidade===
Quando analisamos um modelo de Ising 2D de tamanho <math>L\times L</math>, temos que o número de configurações <math>(2^N, N = L^2)</math> aumenta exponencialmente com <math>N</math>, enquanto o número de possíveis energias é por volta de <math>2N</math> e aumenta linearmente com N. Implicando que temos uma escalabilidade muito boa para as caminhadas no espaço de energia quando o objetivo é estimar <math>g(E)</math> uma vez que um aumento no tamanho da grade não implica em um aumento exponencial, mas sim linear, no tempo de execução.
===Normalização===
É necessário ressaltar que após a simulação completa, o algoritmo de Wang-Landau nos fornece apenas a densidade de estados relativa. Para extrairmos a real densidade de estados <math>g_n(E)</math> é necessário que utilizemos uma das duas condições: Que o número total de estados possíveis é <math>\sum_Eg_n(E) = Q^N</math> ou que o numero de estados fundamentais é <math>Q</math> (onde <math>Q = 2</math> para o modelo de Ising 2D pois os spins possuem apenas dois estados).

Pela primeira condição, podemos obter a densidade de estados normalizada através da equação

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[\sum_Eg(E)] + N\ln(2)</math>,

enquanto pela segunda condição temos que

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[g(E = -2N)] + \ln(2)</math>.

A segunda normalização é preferível pois garante precisão para estados de menor energia, o que é necessário para o calculo de parâmetros termodinâmicos há baixas temperaturas.
===Parâmetros Termodinâmicos===
Uma vez que temos a densidade de estados, podemos calcular diversos parâmetros termodinâmicos, como a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_interna energia interna] <math>U(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Calor_espec%C3%ADfico calor especifico] <math>C(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_livre_de_Helmholtz energia livre de Helmholtz] <math>F(T)</math> e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Entropia entropia] <math>S(T)</math> através das seguintes equações:
<div id="equações para parâmetros termodinâmicos">
<math>U(T) = \frac{\sum_EEg(E)e^{-E/k_BT}}{\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}}</math>

<math>C(T) = \frac{\langle E^2\rangle - \langle E\rangle^2}{k_BT^2}</math>

<math>F(T) = -k_BT\ln\left(\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}\right)</math>

<math>S(T) = \frac{U(T) - F(T)}{T}</math>
</div>
Estes parâmetros termodinâmicos dependem apenas da temperatura uma vez que já foi encontrado a densidade de estados <math>g(E)</math>, o que contorna os problemas de ''critical slowing down'' na temperatura crítica pois a simulação não precisa ser refeita para cada uma das temperaturas, por consequência também dispensa a necessidade de repesagem de histogramas, contornando o problema de estatística fraca nas asas dos histogramas.

==Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau==
Podemos aplicar o algoritmo de Wang-Landau para um sistema [https://pt.wikipedia.org/wiki/Ferromagnetismo#:~:text=Ferromagnetismo%20%C3%A9%20o%20mecanismo%20b%C3%A1sico,diferentes%20de%20magnetismo%20s%C3%A3o%20distinguidos. ferromagnético] 2D de Ising com interação de primeiros vizinhos e uma grade quadrada <math>L\times L</math> com [https://pt.wikipedia.org/wiki/Condi%C3%A7%C3%B5es_de_fronteira_peri%C3%B3dicas condições de contorno periódicas] no qual o hamiltoniano é dado por

<math>\mathcal{H} = -\sum_{\langle i,j\rangle}\sigma_{i}\sigma_j</math>

onde <math>\sigma_{i} = +1</math> para spin para cima, <math>\sigma_{i} = -1</math> para baixo e <math>\langle i,j\rangle</math> indica a soma entre os primeiros vizinhos. Na Fig.1 temos a densidade de estados <math>g(E)</math> para um sistema <math>16 \times 16</math> com <math>f_{final} \sim 10^{-6}</math> e com critério para um histograma <math>H(E)</math> plano de 80%. Com esses parâmetros, a ''Google Compute Engine'' padrão para [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python3] do Google Colab realiza a simulação em <math>\sim 40s</math>.

[[Arquivo: erickStateDensity.png|400px|thumb|center| Figura 1: Logaritmo da densidade de estados <math>\ln(g(E))</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>, há uma brusca queda na densidade de estados perto das pontas uma vez que as energias <math>-2L^2 + 8</math> e <math>2L^2 - 8</math> são inalcançáveis pelo sistema.]]

Fazendo uso da [[#equação de distribuição de probabilidade canônica]], podemos encontrar a distribuição de probabilidade das energias para uma determinada temperatura <math>T</math>. Devido a natureza do algoritmo, estas distribuições que por meios convencionais levariam tempo demasiadamente grande para ser calculado ou necessitariam de repesagem de histograma são instantaneamente calculadas com o algoritmo de Wang-Landau independentemente da temperatura. Na Fig.2 temos um exemplo das distribuições, incluindo uma próxima da temperatura critica <math>T_c</math>.

[[Arquivo: erickProbs.png|400px|thumb|center| Figura 2: A distribuição canônica <math>P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}</math> em 3 temperaturas, incluindo a temperatura crítica <math>T_c</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>.]]

Fazendo uso das [[#equações para parâmetros termodinâmicos]], podemos calculá-los para este sistema em função da temperatura quase que instantaneamente. Estes são ilustrados nas Figs. 3,4,5,6.
<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickU.png|400px|thumb|center| Figura 3: A Energia interna do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickC.png|400px|thumb|center| Figura 4: O Calor Específico do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o pico se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickF.png|400px|thumb|center| Figura 5: A Energia Livre do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o começo da queda se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickS.png|400px|thumb|center| Figura 6: A Entropia do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
</ul></div>

==Exemplo de código==
[[Exemplo de código para a amostragem de Wang-Landau em Python3]]
==Referências==
<references />

Amostragem de Wang-Landau

2022-10-17T18:37:20Z

Erickc:

O [https://pt.wikipedia.org/wiki/Algoritmo algoritmo] de amostragem de Wang-Landau é um método de amostragem para simulações de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo Monte Carlo] introduzido por D.P Landau, Shan-Ho Tsai e M. Exlerem em 2004
<ref>Landau, D. P., Shan-Ho Tsai, and M. Exler. "A new approach to Monte Carlo simulations in statistical physics: Wang-Landau sampling." American Journal of Physics 72.10 (2004): 1294-1302.
</ref>
com suas primeiras concepções traçadas por F. Wang and D. P. Landau em 2001
<ref>F. Wang and D. P. Landau, ‘‘Efficient, multiple-range random walk algorithm to calculate the density of states,’’ Phys. Rev. Lett. 86, 2050–2053
!2001"; ‘‘Determining the density of states for classical statistical models:
A random walk algorithm to produce a flat histogram,’’ Phys. Rev. E 64,
056101 !2001".</ref>
que apresenta diversas vantagens sobre outros métodos para sistemas de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Spin spins]. Dentre eles podemos citar o algoritmo de Metropolis
<ref>N. Metropolis, A. W. Rosenbluth, M. N. Rosenbluth, A. H. Teller, and E.
Teller, ‘‘Equation of state calculations by fast computing machines,’’ J.
Chem. Phys. 21, 1087–1092 !1953".</ref>
, o algoritmo de ''clustering'' de Wolff
<ref>U. Wolff, ‘‘Collective Monte Carlo updating for spin systems,’’ Phys. Rev.
Lett. 62, 361–364 !1989".</ref>
, ou em um modelamento de ''ensamble'' multi-canônico
<ref>B. A. Berg and T. Neuhaus, ‘‘Multicanonical ensemble: A new approach to
simulate first-order phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 68, 9–12 !1992"</ref>
. Nestes dois últimos métodos são utilizados métodos de repesagem de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Histograma histogramas]<ref>
A. M. Ferrenberg and R. H. Swendsen, ‘‘New Monte Carlo technique for
studying phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 61, 2635–2638 !1988"; ‘‘Optimized Monte Carlo data analysis,’’ ibid. 63, 1195–1198 !1989".</ref>
que são limitados em sistemas grandes devido as baixa qualidade estatística nas asas do histograma.
Dentro deste contexto, o algoritmo Wang-Landau promete resolver problemas encontrados em amostragens convencionais como o ''critical slowing down'' para temperaturas próximas da temperatura crítica <math>T_c</math> utilizando-se de caminhadas aleatórias controladas para mapear a densidade de estados <math>g(E)</math> de um sistema, sem fazer uso de qualquer repesagem de histogramas.

----

A maioria dos algoritmos de amostragem convencionais geram uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_can%C3%B3nico distribuição canônica] não normalizada

<div id="equação de distribuição de probabilidade canônica"> <math> P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

para uma determinada temperatura <math>T</math>, Geralmente estas distribuições são estreitas e se faz necessário múltiplas simulações para obter algum parâmetro [https://pt.wikipedia.org/wiki/Termodin%C3%A2mica termodinâmico] para uma distribuição significantemente grande de temperaturas.
Como <math>g(E)</math>não depende de temperatura do sistema, se pudermos encontrá-lo para todo <math>E</math>, podemos encontrar a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_de_parti%C3%A7%C3%A3o_(mec%C3%A2nica_estat%C3%ADstica) função de partição]

<div id="pf"> <math> Z(T) = \sum_E g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

e o sistema esta essencialmente resolvido, uma vez que grande parte dos parâmetros termodinâmicos podem ser derivados de <math>Z</math>. Além disso, a amostragem de Wang-Landau é provada ser útil em diversas aplicações como o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Antiferromagnetismo antiferromagneto] de Potts
<ref>C. Yamaguchi and Y. Okabe, ‘‘Three-dimensional antiferromagnetic
q-state Potts models: application of the Wang-Landau algorithm,’’ J. Phys.
A 34, 8781– 8794 !2001"</ref>
, sistemas de spins aleatórios<ref>Y. Okabe, Y. Tomita, and C. Yamaguchi, ‘‘Application of new Monte Carlo
algorithms to random spin systems,’’ Comput. Phys. Commun. 146, 63– 68
!2002".</ref>
, sistemas [https://pt.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica quânticos]<ref>
2M. Troyer, S. Wessel, and F. Alet, ‘‘Flat histogram methods for quantum
systems: Algorithms to overcome tunneling problems and calculate the
free energy,’’ Phys. Rev. Lett. 90, 120201 !2003". </ref>, etc... .

==Descrição do algoritmo de Wang Landau==
Descreveremos o funcionamento do algoritmo de Wang-Landau num sistema de spins clássicos de 2 estados numa grade bidimensional com valores discretos de energia e sem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Campo_magn%C3%A9tico campo magnético]([https://pt.wikipedia.org/wiki/Modelo_de_Ising Modelo de Ising]2D). Portanto quando nos referirmos a <math>g(E)</math> como densidade de estados, interpretamos como o número de estados com energia E.
A amostragem de Wang-Landau faz caminhadas aleatórias no espaço de energia mudando os estados de spins aleatoriamente selecionados, porém esta mudança só é aceita com probabilidade proporcional a reciproca da densidade de estados. Durante a caminhada também se acumula o número de vezes que uma energia é visitada durante a caminhada <math>H(E)</math>, isto é, ao visitarmos a energia <math>E_1</math> faz-se a atualização da variável <math> H(E_1) \rightarrow H(E_1) + 1 </math>. Por outro lado, a atualização da densidade de estados <math>g(E_1)</math> se da por um fator multiplicativo <math>f</math> (<math> g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f </math>) controlado ao longo da simulação para que seja muito próximo de 1 ao final das caminhadas.

Podemos descrever os passos do algoritmo da seguinte maneira:
# Inicializamos as densidades de energias com <math>g(E) = 1</math> para todo <math>E</math>, da mesma forma <math>H(E) = 0</math> para todo <math>E</math>.
# Inicializamos <math>f = f_0 = e \approx 2.71828</math> e um sistema <math>L\times L</math> de spins de valor 1 e -1 aleatoriamente distribuídos.
#*O valor de <math>f</math> é arbitrário e deve ser escolhido não muito pequeno, pois irá fazer com que a simulação demore muito tempo para explorar diversas energias, por outro lado se escolhido muito grande, levará a erros estatísticos significativos.
# Começamos a caminhada inicial escolhendo aleatoriamente um dos spins e mudando o seu estado.
# Se denotamos <math>E_1</math> como a energia antes da mudança de estado do spin selecionado e <math>E_2</math> como a energia após, aceitamos este novo estado com a seguinte probabilidade: <math>P(E_1 \rightarrow E_2) = \text{min}\left(\frac{g(E_1)}{g(E_2)},1\right)</math>
#*Se aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_2) \rightarrow g(E_2) \times f</math> e <math>H(E_2) \rightarrow H(E_2) +1</math> respectivamente.
#*Se não aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f</math> e <math>H(E_1) \rightarrow H(E_1) +1</math> respectivamente, de maneira a recontar o estado <math>E_1</math>.
#*Destaca-se que em ambos os casos usamos <math>\ln(g(E)) = \rightarrow \ln(g(E)) + \ln(f)</math>, pois ao longo da simulação acabamos usando números muito grandes.
#Faz-se esta caminhada aleatória nos diferentes estados do sistema até que o histograma <math>H(E)</math> esteja aproximadamente plano.
#*O critério para decidir se um histograma está plano é arbitrário. Para um [https://pt.wikipedia.org/wiki/Hamiltoniano_(mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica) hamiltoniano] de Ising 2D este critério pode ser definido tão alto quanto 95% (i.e. todos os valores de <math>H(E)</math> devem ser pelo menos 95% de <math> \langle H(E) \rangle </math>), porém valores mais altos que isso podem resultar no programa nunca identificando o histograma como plano.
#Checa-se se <math>H(E)</math> está plano a cada 10000 passos MC. Quando está plano, podemos dizer que todos os estados foram visitados uma quantidade de vezes aproximadamente igual e a densidade de estados <math>g(E)</math> converge ao valor real com precisão da ordem de <math>f</math>.
#*Um passo MC corresponde a <math>L^2 = N</math> passos.
#Reduz-se o fator <math>f</math> da seguinte maneira <math>f_1 \rightarrow \sqrt{f_0}</math>, reinicia-se o histograma <math>H(E) = 0</math> e recomeça-se a caminhada aleatória com este novo fator <math>f</math>. (Todos os parâmetros não mencionados neste passo permanecem intocados).
#Continuamos executando os passos 5-7, reduzindo o fator <math>f</math> segundo a seguinte expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math>
#Encerra-se a simulação quando <math>f_{final}</math> estiver da ordem do erro desejado.
#*Claro que <math>f_{final}</math> pode ser escolhido arbitrariamente pequeno, mas sempre com um certo limite razoável <math>(10^{-6}-10^{-8})</math>, ou a simulação pode tomar tempos não razoáveis para completar.

==Observações sobre o algoritmo==
Nesta seção discutimos algumas observações importantes a se levar em conta na implementação do método de amostragem de Wang-Landau
===Fator de modificação f===
Quando tratamos da atualização do fator <math>f</math>, a expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math> é apenas uma recomendação, uma vez que outros valores de <math>n>1</math> podem ser escolhidos para uma atualização do tipo <math>f_{i+1} = f_{i}^{(1/n)}</math>. Não obstante, <math>n = 2</math> é adequado para grande parte dos sistemas estudados, resultando em boa acurácia em relativamente pouco tempo de simulação.
===Implementação paralela===
A simulação pode ser melhorada ainda fazendo múltiplas caminhadas aleatórias paralelamente no espaço de energias. Restringindo o alcance das caminhadas proporcionalmente com o número de caminhantes em paralelo (e.g. No caso de 2 caminhantes simultâneos, dividimos o espaço de energias em 2 e restringimos um caminhante para a metade inferior das energias, e o outro para a parte superior) e depois juntando as densidades de estados resultantes.
===Balanço detalhado===
A condição de balanço detalhado inicialmente não é satisfeita uma vez que <math>g(E)</math> é constantemente modificada durante a caminhada aleatória. Porém após várias iterações, a condição é satisfeita a medida que <math>f</math> se aproxima de 1. Observa-se que se <math>P(E_1 \rightarrow E_2)</math> é a probabilidade de transição da energia <math>E_1</math> para a energia <math>E_2</math>, utilizando a equação do passo 4 do algoritmo temos que:

<math>
\frac{P(E_1 \rightarrow E_2)}{P(E_2 \rightarrow E_1)} = \frac{g(E_1)}{g(E_2)}.
</math>

Podemos reescrever a equação de uma forma mais familiar

<math>
\frac{1}{g(E_1)}P(E_1 \rightarrow E_2) = \frac{1}{g(E_2)}P(E_2 \rightarrow E_1)
</math>

que é a condição de balanceamento detalhado, uma vez que interpretamos que <math>1/g(E_1)</math> como a probabilidade do sistema possuir a energia <math>E_1</math> e analogamente para <math>E_2</math>. Concluímos então que a condição de balanço detalhado é satisfeita com precisão proporcional a <math>\ln(f)</math>.
===Escalabilidade===
Quando analisamos um modelo de Ising 2D de tamanho <math>L\times L</math>, temos que o número de configurações <math>(2^N, N = L^2)</math> aumenta exponencialmente com <math>N</math>, enquanto o número de possíveis energias é por volta de <math>2N</math> e aumenta linearmente com N. Implicando que temos uma escalabilidade muito boa para as caminhadas no espaço de energia quando o objetivo é estimar <math>g(E)</math> uma vez que um aumento no tamanho da grade não implica em um aumento exponencial, mas sim linear, no tempo de execução.
===Normalização===
É necessário ressaltar que após a simulação completa, o algoritmo de Wang-Landau nos fornece apenas a densidade de estados relativa. Para extrairmos a real densidade de estados <math>g_n(E)</math> é necessário que utilizemos uma das duas condições: Que o número total de estados possíveis é <math>\sum_Eg_n(E) = Q^N</math> ou que o numero de estados fundamentais é <math>Q</math> (onde <math>Q = 2</math> para o modelo de Ising 2D pois os spins possuem apenas dois estados).

Pela primeira condição, podemos obter a densidade de estados normalizada através da equação

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[\sum_Eg(E)] + N\ln(2)</math>,

enquanto pela segunda condição temos que

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[g(E = -2N)] + \ln(2)</math>.

A segunda normalização é preferível pois garante precisão para estados de menor energia, o que é necessário para o calculo de parâmetros termodinâmicos há baixas temperaturas.
===Parâmetros Termodinâmicos===
Uma vez que temos a densidade de estados, podemos calcular diversos parâmetros termodinâmicos, como a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_interna energia interna] <math>U(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Calor_espec%C3%ADfico calor especifico] <math>C(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_livre_de_Helmholtz energia livre de Helmholtz] <math>F(T)</math> e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Entropia entropia] <math>S(T)</math> através das seguintes equações:
<div id="equações para parâmetros termodinâmicos">
<math>U(T) = \frac{\sum_EEg(E)e^{-E/k_BT}}{\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}}</math>

<math>C(T) = \frac{\langle E^2\rangle - \langle E\rangle^2}{k_BT^2}</math>

<math>F(T) = -k_BT\ln\left(\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}\right)</math>

<math>S(T) = \frac{U(T) - F(T)}{T}</math>
<\div>
Estes parâmetros termodinâmicos dependem apenas da temperatura uma vez que já foi encontrado a densidade de estados <math>g(E)</math>, o que contorna os problemas de ''critical slowing down'' na temperatura crítica pois a simulação não precisa ser refeita para cada uma das temperaturas, por consequência também dispensa a necessidade de repesagem de histogramas, contornando o problema de estatística fraca nas asas dos histogramas.

==Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau==
Podemos aplicar o algoritmo de Wang-Landau para um sistema [https://pt.wikipedia.org/wiki/Ferromagnetismo#:~:text=Ferromagnetismo%20%C3%A9%20o%20mecanismo%20b%C3%A1sico,diferentes%20de%20magnetismo%20s%C3%A3o%20distinguidos. ferromagnético] 2D de Ising com interação de primeiros vizinhos e uma grade quadrada <math>L\times L</math> com [https://pt.wikipedia.org/wiki/Condi%C3%A7%C3%B5es_de_fronteira_peri%C3%B3dicas condições de contorno periódicas] no qual o hamiltoniano é dado por

<math>\mathcal{H} = -\sum_{\langle i,j\rangle}\sigma_{i}\sigma_j</math>

onde <math>\sigma_{i} = +1</math> para spin para cima, <math>\sigma_{i} = -1</math> para baixo e <math>\langle i,j\rangle</math> indica a soma entre os primeiros vizinhos. Na Fig.1 temos a densidade de estados <math>g(E)</math> para um sistema <math>16 \times 16</math> com <math>f_{final} \sim 10^{-6}</math> e com critério para um histograma <math>H(E)</math> plano de 80%. Com esses parâmetros, a ''Google Compute Engine'' padrão para [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python3] do Google Colab realiza a simulação em <math>\sim 40s</math>.

[[Arquivo: erickStateDensity.png|400px|thumb|center| Figura 1: Logaritmo da densidade de estados <math>\ln(g(E))</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>, há uma brusca queda na densidade de estados perto das pontas uma vez que as energias <math>-2L^2 + 8</math> e <math>2L^2 - 8</math> são inalcançáveis pelo sistema.]]

Fazendo uso da [[#equação de distribuição de probabilidade canônica]], podemos encontrar a distribuição de probabilidade das energias para uma determinada temperatura <math>T</math>. Devido a natureza do algoritmo, estas distribuições que por meios convencionais levariam tempo demasiadamente grande para ser calculado ou necessitariam de repesagem de histograma são instantaneamente calculadas com o algoritmo de Wang-Landau independentemente da temperatura. Na Fig.2 temos um exemplo das distribuições, incluindo uma próxima da temperatura critica <math>T_c</math>.

[[Arquivo: erickProbs.png|400px|thumb|center| Figura 2: A distribuição canônica <math>P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}</math> em 3 temperaturas, incluindo a temperatura crítica <math>T_c</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>.]]

Fazendo uso das [[#equações para parâmetros termodinâmicos]], podemos calculá-los para este sistema em função da temperatura quase que instantaneamente. Estes são ilustrados nas Figs. 3,4,5,6.
<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickU.png|400px|thumb|center| Figura 3: A Energia interna do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickC.png|400px|thumb|center| Figura 4: O Calor Específico do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o pico se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickF.png|400px|thumb|center| Figura 5: A Energia Livre do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o começo da queda se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickS.png|400px|thumb|center| Figura 6: A Entropia do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
</ul></div>

==Exemplo de código==
[[Exemplo de código para a amostragem de Wang-Landau em Python3]]
==Referências==
<references />

Amostragem de Wang-Landau

2022-10-17T18:34:25Z

Erickc:

O [https://pt.wikipedia.org/wiki/Algoritmo algoritmo] de amostragem de Wang-Landau é um método de amostragem para simulações de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo Monte Carlo] introduzido por D.P Landau, Shan-Ho Tsai e M. Exlerem em 2004
<ref>Landau, D. P., Shan-Ho Tsai, and M. Exler. "A new approach to Monte Carlo simulations in statistical physics: Wang-Landau sampling." American Journal of Physics 72.10 (2004): 1294-1302.
</ref>
com suas primeiras concepções traçadas por F. Wang and D. P. Landau em 2001
<ref>F. Wang and D. P. Landau, ‘‘Efficient, multiple-range random walk algorithm to calculate the density of states,’’ Phys. Rev. Lett. 86, 2050–2053
!2001"; ‘‘Determining the density of states for classical statistical models:
A random walk algorithm to produce a flat histogram,’’ Phys. Rev. E 64,
056101 !2001".</ref>
que apresenta diversas vantagens sobre outros métodos para sistemas de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Spin spins]. Dentre eles podemos citar o algoritmo de Metropolis
<ref>N. Metropolis, A. W. Rosenbluth, M. N. Rosenbluth, A. H. Teller, and E.
Teller, ‘‘Equation of state calculations by fast computing machines,’’ J.
Chem. Phys. 21, 1087–1092 !1953".</ref>
, o algoritmo de ''clustering'' de Wolff
<ref>U. Wolff, ‘‘Collective Monte Carlo updating for spin systems,’’ Phys. Rev.
Lett. 62, 361–364 !1989".</ref>
, ou em um modelamento de ''ensamble'' multi-canônico
<ref>B. A. Berg and T. Neuhaus, ‘‘Multicanonical ensemble: A new approach to
simulate first-order phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 68, 9–12 !1992"</ref>
. Nestes dois últimos métodos são utilizados métodos de repesagem de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Histograma histogramas]<ref>
A. M. Ferrenberg and R. H. Swendsen, ‘‘New Monte Carlo technique for
studying phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 61, 2635–2638 !1988"; ‘‘Optimized Monte Carlo data analysis,’’ ibid. 63, 1195–1198 !1989".</ref>
que são limitados em sistemas grandes devido as baixa qualidade estatística nas asas do histograma.
Dentro deste contexto, o algoritmo Wang-Landau promete resolver problemas encontrados em amostragens convencionais como o ''critical slowing down'' para temperaturas próximas da temperatura crítica <math>T_c</math> utilizando-se de caminhadas aleatórias controladas para mapear a densidade de estados <math>g(E)</math> de um sistema, sem fazer uso de qualquer repesagem de histogramas.

----

A maioria dos algoritmos de amostragem convencionais geram uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_can%C3%B3nico distribuição canônica] não normalizada

<div id="equação de distribuição de probabilidade canônica"> <math> P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

para uma determinada temperatura <math>T</math>, Geralmente estas distribuições são estreitas e se faz necessário múltiplas simulações para obter algum parâmetro [https://pt.wikipedia.org/wiki/Termodin%C3%A2mica termodinâmico] para uma distribuição significantemente grande de temperaturas.
Como <math>g(E)</math>não depende de temperatura do sistema, se pudermos encontrá-lo para todo <math>E</math>, podemos encontrar a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_de_parti%C3%A7%C3%A3o_(mec%C3%A2nica_estat%C3%ADstica) função de partição]

<div id="pf"> <math> Z(T) = \sum_E g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

e o sistema esta essencialmente resolvido, uma vez que grande parte dos parâmetros termodinâmicos podem ser derivados de <math>Z</math>. Além disso, a amostragem de Wang-Landau é provada ser útil em diversas aplicações como o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Antiferromagnetismo antiferromagneto] de Potts
<ref>C. Yamaguchi and Y. Okabe, ‘‘Three-dimensional antiferromagnetic
q-state Potts models: application of the Wang-Landau algorithm,’’ J. Phys.
A 34, 8781– 8794 !2001"</ref>
, sistemas de spins aleatórios<ref>Y. Okabe, Y. Tomita, and C. Yamaguchi, ‘‘Application of new Monte Carlo
algorithms to random spin systems,’’ Comput. Phys. Commun. 146, 63– 68
!2002".</ref>
, sistemas [https://pt.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica quânticos]<ref>
2M. Troyer, S. Wessel, and F. Alet, ‘‘Flat histogram methods for quantum
systems: Algorithms to overcome tunneling problems and calculate the
free energy,’’ Phys. Rev. Lett. 90, 120201 !2003". </ref>, etc... .

==Descrição do algoritmo de Wang Landau==
Descreveremos o funcionamento do algoritmo de Wang-Landau num sistema de spins clássicos de 2 estados numa grade bidimensional com valores discretos de energia e sem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Campo_magn%C3%A9tico campo magnético]([https://pt.wikipedia.org/wiki/Modelo_de_Ising Modelo de Ising]2D). Portanto quando nos referirmos a <math>g(E)</math> como densidade de estados, interpretamos como o número de estados com energia E.
A amostragem de Wang-Landau faz caminhadas aleatórias no espaço de energia mudando os estados de spins aleatoriamente selecionados, porém esta mudança só é aceita com probabilidade proporcional a reciproca da densidade de estados. Durante a caminhada também se acumula o número de vezes que uma energia é visitada durante a caminhada <math>H(E)</math>, isto é, ao visitarmos a energia <math>E_1</math> faz-se a atualização da variável <math> H(E_1) \rightarrow H(E_1) + 1 </math>. Por outro lado, a atualização da densidade de estados <math>g(E_1)</math> se da por um fator multiplicativo <math>f</math> (<math> g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f </math>) controlado ao longo da simulação para que seja muito próximo de 1 ao final das caminhadas.

Podemos descrever os passos do algoritmo da seguinte maneira:
# Inicializamos as densidades de energias com <math>g(E) = 1</math> para todo <math>E</math>, da mesma forma <math>H(E) = 0</math> para todo <math>E</math>.
# Inicializamos <math>f = f_0 = e \approx 2.71828</math> e um sistema <math>L\times L</math> de spins de valor 1 e -1 aleatoriamente distribuídos.
#*O valor de <math>f</math> é arbitrário e deve ser escolhido não muito pequeno, pois irá fazer com que a simulação demore muito tempo para explorar diversas energias, por outro lado se escolhido muito grande, levará a erros estatísticos significativos.
# Começamos a caminhada inicial escolhendo aleatoriamente um dos spins e mudando o seu estado.
# Se denotamos <math>E_1</math> como a energia antes da mudança de estado do spin selecionado e <math>E_2</math> como a energia após, aceitamos este novo estado com a seguinte probabilidade: <math>P(E_1 \rightarrow E_2) = \text{min}\left(\frac{g(E_1)}{g(E_2)},1\right)</math>
#*Se aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_2) \rightarrow g(E_2) \times f</math> e <math>H(E_2) \rightarrow H(E_2) +1</math> respectivamente.
#*Se não aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f</math> e <math>H(E_1) \rightarrow H(E_1) +1</math> respectivamente, de maneira a recontar o estado <math>E_1</math>.
#*Destaca-se que em ambos os casos usamos <math>\ln(g(E)) = \rightarrow \ln(g(E)) + \ln(f)</math>, pois ao longo da simulação acabamos usando números muito grandes.
#Faz-se esta caminhada aleatória nos diferentes estados do sistema até que o histograma <math>H(E)</math> esteja aproximadamente plano.
#*O critério para decidir se um histograma está plano é arbitrário. Para um [https://pt.wikipedia.org/wiki/Hamiltoniano_(mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica) hamiltoniano] de Ising 2D este critério pode ser definido tão alto quanto 95% (i.e. todos os valores de <math>H(E)</math> devem ser pelo menos 95% de <math> \langle H(E) \rangle </math>), porém valores mais altos que isso podem resultar no programa nunca identificando o histograma como plano.
#Checa-se se <math>H(E)</math> está plano a cada 10000 passos MC. Quando está plano, podemos dizer que todos os estados foram visitados uma quantidade de vezes aproximadamente igual e a densidade de estados <math>g(E)</math> converge ao valor real com precisão da ordem de <math>f</math>.
#*Um passo MC corresponde a <math>L^2 = N</math> passos.
#Reduz-se o fator <math>f</math> da seguinte maneira <math>f_1 \rightarrow \sqrt{f_0}</math>, reinicia-se o histograma <math>H(E) = 0</math> e recomeça-se a caminhada aleatória com este novo fator <math>f</math>. (Todos os parâmetros não mencionados neste passo permanecem intocados).
#Continuamos executando os passos 5-7, reduzindo o fator <math>f</math> segundo a seguinte expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math>
#Encerra-se a simulação quando <math>f_{final}</math> estiver da ordem do erro desejado.
#*Claro que <math>f_{final}</math> pode ser escolhido arbitrariamente pequeno, mas sempre com um certo limite razoável <math>(10^{-6}-10^{-8})</math>, ou a simulação pode tomar tempos não razoáveis para completar.

==Observações sobre o algoritmo==
Nesta seção discutimos algumas observações importantes a se levar em conta na implementação do método de amostragem de Wang-Landau
===Fator de modificação f===
Quando tratamos da atualização do fator <math>f</math>, a expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math> é apenas uma recomendação, uma vez que outros valores de <math>n>1</math> podem ser escolhidos para uma atualização do tipo <math>f_{i+1} = f_{i}^{(1/n)}</math>. Não obstante, <math>n = 2</math> é adequado para grande parte dos sistemas estudados, resultando em boa acurácia em relativamente pouco tempo de simulação.
===Implementação paralela===
A simulação pode ser melhorada ainda fazendo múltiplas caminhadas aleatórias paralelamente no espaço de energias. Restringindo o alcance das caminhadas proporcionalmente com o número de caminhantes em paralelo (e.g. No caso de 2 caminhantes simultâneos, dividimos o espaço de energias em 2 e restringimos um caminhante para a metade inferior das energias, e o outro para a parte superior) e depois juntando as densidades de estados resultantes.
===Balanço detalhado===
A condição de balanço detalhado inicialmente não é satisfeita uma vez que <math>g(E)</math> é constantemente modificada durante a caminhada aleatória. Porém após várias iterações, a condição é satisfeita a medida que <math>f</math> se aproxima de 1. Observa-se que se <math>P(E_1 \rightarrow E_2)</math> é a probabilidade de transição da energia <math>E_1</math> para a energia <math>E_2</math>, utilizando a equação do passo 4 do algoritmo temos que:

<math>
\frac{P(E_1 \rightarrow E_2)}{P(E_2 \rightarrow E_1)} = \frac{g(E_1)}{g(E_2)}.
</math>

Podemos reescrever a equação de uma forma mais familiar

<math>
\frac{1}{g(E_1)}P(E_1 \rightarrow E_2) = \frac{1}{g(E_2)}P(E_2 \rightarrow E_1)
</math>

que é a condição de balanceamento detalhado, uma vez que interpretamos que <math>1/g(E_1)</math> como a probabilidade do sistema possuir a energia <math>E_1</math> e analogamente para <math>E_2</math>. Concluímos então que a condição de balanço detalhado é satisfeita com precisão proporcional a <math>\ln(f)</math>.
===Escalabilidade===
Quando analisamos um modelo de Ising 2D de tamanho <math>L\times L</math>, temos que o número de configurações <math>(2^N, N = L^2)</math> aumenta exponencialmente com <math>N</math>, enquanto o número de possíveis energias é por volta de <math>2N</math> e aumenta linearmente com N. Implicando que temos uma escalabilidade muito boa para as caminhadas no espaço de energia quando o objetivo é estimar <math>g(E)</math> uma vez que um aumento no tamanho da grade não implica em um aumento exponencial, mas sim linear, no tempo de execução.
===Normalização===
É necessário ressaltar que após a simulação completa, o algoritmo de Wang-Landau nos fornece apenas a densidade de estados relativa. Para extrairmos a real densidade de estados <math>g_n(E)</math> é necessário que utilizemos uma das duas condições: Que o número total de estados possíveis é <math>\sum_Eg_n(E) = Q^N</math> ou que o numero de estados fundamentais é <math>Q</math> (onde <math>Q = 2</math> para o modelo de Ising 2D pois os spins possuem apenas dois estados).

Pela primeira condição, podemos obter a densidade de estados normalizada através da equação

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[\sum_Eg(E)] + N\ln(2)</math>,

enquanto pela segunda condição temos que

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[g(E = -2N)] + \ln(2)</math>.

A segunda normalização é preferível pois garante precisão para estados de menor energia, o que é necessário para o calculo de parâmetros termodinâmicos há baixas temperaturas.
===Parâmetros Termodinâmicos===
Uma vez que temos a densidade de estados, podemos calcular diversos parâmetros termodinâmicos, como a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_interna energia interna] <math>U(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Calor_espec%C3%ADfico calor especifico] <math>C(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_livre_de_Helmholtz energia livre de Helmholtz] <math>F(T)</math> e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Entropia entropia] <math>S(T)</math> através das seguintes equações:
<math>U(T) = \frac{\sum_EEg(E)e^{-E/k_BT}}{\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}}</math>

<math>C(T) = \frac{\langle E^2\rangle - \langle E\rangle^2}{k_BT^2}</math>

<math>F(T) = -k_BT\ln\left(\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}\right)</math>

<math>S(T) = \frac{U(T) - F(T)}{T}</math>
Estes parâmetros termodinâmicos dependem apenas da temperatura uma vez que já foi encontrado a densidade de estados <math>g(E)</math>, o que contorna os problemas de ''critical slowing down'' na temperatura crítica pois a simulação não precisa ser refeita para cada uma das temperaturas, por consequência também dispensa a necessidade de repesagem de histogramas, contornando o problema de estatística fraca nas asas dos histogramas.

==Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau==
Podemos aplicar o algoritmo de Wang-Landau para um sistema [https://pt.wikipedia.org/wiki/Ferromagnetismo#:~:text=Ferromagnetismo%20%C3%A9%20o%20mecanismo%20b%C3%A1sico,diferentes%20de%20magnetismo%20s%C3%A3o%20distinguidos. ferromagnético] 2D de Ising com interação de primeiros vizinhos e uma grade quadrada <math>L\times L</math> com [https://pt.wikipedia.org/wiki/Condi%C3%A7%C3%B5es_de_fronteira_peri%C3%B3dicas condições de contorno periódicas] no qual o hamiltoniano é dado por

<math>\mathcal{H} = -\sum_{\langle i,j\rangle}\sigma_{i}\sigma_j</math>

onde <math>\sigma_{i} = +1</math> para spin para cima, <math>\sigma_{i} = -1</math> para baixo e <math>\langle i,j\rangle</math> indica a soma entre os primeiros vizinhos. Na Fig.1 temos a densidade de estados <math>g(E)</math> para um sistema <math>16 \times 16</math> com <math>f_{final} \sim 10^{-6}</math> e com critério para um histograma <math>H(E)</math> plano de 80%. Com esses parâmetros, a ''Google Compute Engine'' padrão para [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python3] do Google Colab realiza a simulação em <math>\sim 40s</math>.

[[Arquivo: erickStateDensity.png|400px|thumb|center| Figura 1: Logaritmo da densidade de estados <math>\ln(g(E))</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>, há uma brusca queda na densidade de estados perto das pontas uma vez que as energias <math>-2L^2 + 8</math> e <math>2L^2 - 8</math> são inalcançáveis pelo sistema.]]

Fazendo uso da [[#equação de distribuição de probabilidade canônica]], podemos encontrar a distribuição de probabilidade das energias para uma determinada temperatura <math>T</math>. Devido a natureza do algoritmo, estas distribuições que por meios convencionais levariam tempo demasiadamente grande para ser calculado ou necessitariam de repesagem de histograma são instantaneamente calculadas com o algoritmo de Wang-Landau independentemente da temperatura. Na Fig.2 temos um exemplo das distribuições, incluindo uma próxima da temperatura critica <math>T_c</math>.

[[Arquivo: erickProbs.png|400px|thumb|center| Figura 2: A distribuição canônica <math>P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}</math> em 3 temperaturas, incluindo a temperatura crítica <math>T_c</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>.]]

Fazendo uso das equações supracitadas, podemos calcular os parâmetros termodinâmicos para este sistema em função da temperatura quase que instantaneamente. Estes são ilustrados nas Figs. 3,4,5,6.
<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickU.png|400px|thumb|center| Figura 3: A Energia interna do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickC.png|400px|thumb|center| Figura 4: O Calor Específico do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o pico se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickF.png|400px|thumb|center| Figura 5: A Energia Livre do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o começo da queda se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickS.png|400px|thumb|center| Figura 6: A Entropia do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
</ul></div>

==Exemplo de código==
[[Exemplo de código para a amostragem de Wang-Landau em Python3]]
==Referências==
<references />

Amostragem de Wang-Landau

2022-10-17T18:32:44Z

Erickc: /* Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau */

O [https://pt.wikipedia.org/wiki/Algoritmo algoritmo] de amostragem de Wang-Landau é um método de amostragem para simulações de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo Monte Carlo] introduzido por D.P Landau, Shan-Ho Tsai e M. Exlerem em 2004
<ref>Landau, D. P., Shan-Ho Tsai, and M. Exler. "A new approach to Monte Carlo simulations in statistical physics: Wang-Landau sampling." American Journal of Physics 72.10 (2004): 1294-1302.
</ref>
com suas primeiras concepções traçadas por F. Wang and D. P. Landau em 2001
<ref>F. Wang and D. P. Landau, ‘‘Efficient, multiple-range random walk algorithm to calculate the density of states,’’ Phys. Rev. Lett. 86, 2050–2053
!2001"; ‘‘Determining the density of states for classical statistical models:
A random walk algorithm to produce a flat histogram,’’ Phys. Rev. E 64,
056101 !2001".</ref>
que apresenta diversas vantagens sobre outros métodos para sistemas de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Spin spins]. Dentre eles podemos citar o algoritmo de Metropolis
<ref>N. Metropolis, A. W. Rosenbluth, M. N. Rosenbluth, A. H. Teller, and E.
Teller, ‘‘Equation of state calculations by fast computing machines,’’ J.
Chem. Phys. 21, 1087–1092 !1953".</ref>
, o algoritmo de ''clustering'' de Wolff
<ref>U. Wolff, ‘‘Collective Monte Carlo updating for spin systems,’’ Phys. Rev.
Lett. 62, 361–364 !1989".</ref>
, ou em um modelamento de ''ensamble'' multi-canônico
<ref>B. A. Berg and T. Neuhaus, ‘‘Multicanonical ensemble: A new approach to
simulate first-order phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 68, 9–12 !1992"</ref>
. Nestes dois últimos métodos são utilizados métodos de repesagem de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Histograma histogramas]<ref>
A. M. Ferrenberg and R. H. Swendsen, ‘‘New Monte Carlo technique for
studying phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 61, 2635–2638 !1988"; ‘‘Optimized Monte Carlo data analysis,’’ ibid. 63, 1195–1198 !1989".</ref>
que são limitados em sistemas grandes devido as baixa qualidade estatística nas asas do histograma.
Dentro deste contexto, o algoritmo Wang-Landau promete resolver problemas encontrados em amostragens convencionais como o ''critical slowing down'' para temperaturas próximas da temperatura crítica <math>T_c</math> utilizando-se de caminhadas aleatórias controladas para mapear a densidade de estados <math>g(E)</math> de um sistema, sem fazer uso de qualquer repesagem de histogramas.

----

A maioria dos algoritmos de amostragem convencionais geram uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_can%C3%B3nico distribuição canônica] não normalizada

<div id="dpc"> <math> P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

para uma determinada temperatura <math>T</math>, Geralmente estas distribuições são estreitas e se faz necessário múltiplas simulações para obter algum parâmetro [https://pt.wikipedia.org/wiki/Termodin%C3%A2mica termodinâmico] para uma distribuição significantemente grande de temperaturas.
Como <math>g(E)</math>não depende de temperatura do sistema, se pudermos encontrá-lo para todo <math>E</math>, podemos encontrar a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_de_parti%C3%A7%C3%A3o_(mec%C3%A2nica_estat%C3%ADstica) função de partição]

<div id="pf"> <math> Z(T) = \sum_E g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

e o sistema esta essencialmente resolvido, uma vez que grande parte dos parâmetros termodinâmicos podem ser derivados de <math>Z</math>. Além disso, a amostragem de Wang-Landau é provada ser útil em diversas aplicações como o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Antiferromagnetismo antiferromagneto] de Potts
<ref>C. Yamaguchi and Y. Okabe, ‘‘Three-dimensional antiferromagnetic
q-state Potts models: application of the Wang-Landau algorithm,’’ J. Phys.
A 34, 8781– 8794 !2001"</ref>
, sistemas de spins aleatórios<ref>Y. Okabe, Y. Tomita, and C. Yamaguchi, ‘‘Application of new Monte Carlo
algorithms to random spin systems,’’ Comput. Phys. Commun. 146, 63– 68
!2002".</ref>
, sistemas [https://pt.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica quânticos]<ref>
2M. Troyer, S. Wessel, and F. Alet, ‘‘Flat histogram methods for quantum
systems: Algorithms to overcome tunneling problems and calculate the
free energy,’’ Phys. Rev. Lett. 90, 120201 !2003". </ref>, etc... .

==Descrição do algoritmo de Wang Landau==
Descreveremos o funcionamento do algoritmo de Wang-Landau num sistema de spins clássicos de 2 estados numa grade bidimensional com valores discretos de energia e sem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Campo_magn%C3%A9tico campo magnético]([https://pt.wikipedia.org/wiki/Modelo_de_Ising Modelo de Ising]2D). Portanto quando nos referirmos a <math>g(E)</math> como densidade de estados, interpretamos como o número de estados com energia E.
A amostragem de Wang-Landau faz caminhadas aleatórias no espaço de energia mudando os estados de spins aleatoriamente selecionados, porém esta mudança só é aceita com probabilidade proporcional a reciproca da densidade de estados. Durante a caminhada também se acumula o número de vezes que uma energia é visitada durante a caminhada <math>H(E)</math>, isto é, ao visitarmos a energia <math>E_1</math> faz-se a atualização da variável <math> H(E_1) \rightarrow H(E_1) + 1 </math>. Por outro lado, a atualização da densidade de estados <math>g(E_1)</math> se da por um fator multiplicativo <math>f</math> (<math> g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f </math>) controlado ao longo da simulação para que seja muito próximo de 1 ao final das caminhadas.

Podemos descrever os passos do algoritmo da seguinte maneira:
# Inicializamos as densidades de energias com <math>g(E) = 1</math> para todo <math>E</math>, da mesma forma <math>H(E) = 0</math> para todo <math>E</math>.
# Inicializamos <math>f = f_0 = e \approx 2.71828</math> e um sistema <math>L\times L</math> de spins de valor 1 e -1 aleatoriamente distribuídos.
#*O valor de <math>f</math> é arbitrário e deve ser escolhido não muito pequeno, pois irá fazer com que a simulação demore muito tempo para explorar diversas energias, por outro lado se escolhido muito grande, levará a erros estatísticos significativos.
# Começamos a caminhada inicial escolhendo aleatoriamente um dos spins e mudando o seu estado.
# Se denotamos <math>E_1</math> como a energia antes da mudança de estado do spin selecionado e <math>E_2</math> como a energia após, aceitamos este novo estado com a seguinte probabilidade: <math>P(E_1 \rightarrow E_2) = \text{min}\left(\frac{g(E_1)}{g(E_2)},1\right)</math>
#*Se aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_2) \rightarrow g(E_2) \times f</math> e <math>H(E_2) \rightarrow H(E_2) +1</math> respectivamente.
#*Se não aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f</math> e <math>H(E_1) \rightarrow H(E_1) +1</math> respectivamente, de maneira a recontar o estado <math>E_1</math>.
#*Destaca-se que em ambos os casos usamos <math>\ln(g(E)) = \rightarrow \ln(g(E)) + \ln(f)</math>, pois ao longo da simulação acabamos usando números muito grandes.
#Faz-se esta caminhada aleatória nos diferentes estados do sistema até que o histograma <math>H(E)</math> esteja aproximadamente plano.
#*O critério para decidir se um histograma está plano é arbitrário. Para um [https://pt.wikipedia.org/wiki/Hamiltoniano_(mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica) hamiltoniano] de Ising 2D este critério pode ser definido tão alto quanto 95% (i.e. todos os valores de <math>H(E)</math> devem ser pelo menos 95% de <math> \langle H(E) \rangle </math>), porém valores mais altos que isso podem resultar no programa nunca identificando o histograma como plano.
#Checa-se se <math>H(E)</math> está plano a cada 10000 passos MC. Quando está plano, podemos dizer que todos os estados foram visitados uma quantidade de vezes aproximadamente igual e a densidade de estados <math>g(E)</math> converge ao valor real com precisão da ordem de <math>f</math>.
#*Um passo MC corresponde a <math>L^2 = N</math> passos.
#Reduz-se o fator <math>f</math> da seguinte maneira <math>f_1 \rightarrow \sqrt{f_0}</math>, reinicia-se o histograma <math>H(E) = 0</math> e recomeça-se a caminhada aleatória com este novo fator <math>f</math>. (Todos os parâmetros não mencionados neste passo permanecem intocados).
#Continuamos executando os passos 5-7, reduzindo o fator <math>f</math> segundo a seguinte expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math>
#Encerra-se a simulação quando <math>f_{final}</math> estiver da ordem do erro desejado.
#*Claro que <math>f_{final}</math> pode ser escolhido arbitrariamente pequeno, mas sempre com um certo limite razoável <math>(10^{-6}-10^{-8})</math>, ou a simulação pode tomar tempos não razoáveis para completar.

==Observações sobre o algoritmo==
Nesta seção discutimos algumas observações importantes a se levar em conta na implementação do método de amostragem de Wang-Landau
===Fator de modificação f===
Quando tratamos da atualização do fator <math>f</math>, a expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math> é apenas uma recomendação, uma vez que outros valores de <math>n>1</math> podem ser escolhidos para uma atualização do tipo <math>f_{i+1} = f_{i}^{(1/n)}</math>. Não obstante, <math>n = 2</math> é adequado para grande parte dos sistemas estudados, resultando em boa acurácia em relativamente pouco tempo de simulação.
===Implementação paralela===
A simulação pode ser melhorada ainda fazendo múltiplas caminhadas aleatórias paralelamente no espaço de energias. Restringindo o alcance das caminhadas proporcionalmente com o número de caminhantes em paralelo (e.g. No caso de 2 caminhantes simultâneos, dividimos o espaço de energias em 2 e restringimos um caminhante para a metade inferior das energias, e o outro para a parte superior) e depois juntando as densidades de estados resultantes.
===Balanço detalhado===
A condição de balanço detalhado inicialmente não é satisfeita uma vez que <math>g(E)</math> é constantemente modificada durante a caminhada aleatória. Porém após várias iterações, a condição é satisfeita a medida que <math>f</math> se aproxima de 1. Observa-se que se <math>P(E_1 \rightarrow E_2)</math> é a probabilidade de transição da energia <math>E_1</math> para a energia <math>E_2</math>, utilizando a equação do passo 4 do algoritmo temos que:

<math>
\frac{P(E_1 \rightarrow E_2)}{P(E_2 \rightarrow E_1)} = \frac{g(E_1)}{g(E_2)}.
</math>

Podemos reescrever a equação de uma forma mais familiar

<math>
\frac{1}{g(E_1)}P(E_1 \rightarrow E_2) = \frac{1}{g(E_2)}P(E_2 \rightarrow E_1)
</math>

que é a condição de balanceamento detalhado, uma vez que interpretamos que <math>1/g(E_1)</math> como a probabilidade do sistema possuir a energia <math>E_1</math> e analogamente para <math>E_2</math>. Concluímos então que a condição de balanço detalhado é satisfeita com precisão proporcional a <math>\ln(f)</math>.
===Escalabilidade===
Quando analisamos um modelo de Ising 2D de tamanho <math>L\times L</math>, temos que o número de configurações <math>(2^N, N = L^2)</math> aumenta exponencialmente com <math>N</math>, enquanto o número de possíveis energias é por volta de <math>2N</math> e aumenta linearmente com N. Implicando que temos uma escalabilidade muito boa para as caminhadas no espaço de energia quando o objetivo é estimar <math>g(E)</math> uma vez que um aumento no tamanho da grade não implica em um aumento exponencial, mas sim linear, no tempo de execução.
===Normalização===
É necessário ressaltar que após a simulação completa, o algoritmo de Wang-Landau nos fornece apenas a densidade de estados relativa. Para extrairmos a real densidade de estados <math>g_n(E)</math> é necessário que utilizemos uma das duas condições: Que o número total de estados possíveis é <math>\sum_Eg_n(E) = Q^N</math> ou que o numero de estados fundamentais é <math>Q</math> (onde <math>Q = 2</math> para o modelo de Ising 2D pois os spins possuem apenas dois estados).

Pela primeira condição, podemos obter a densidade de estados normalizada através da equação

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[\sum_Eg(E)] + N\ln(2)</math>,

enquanto pela segunda condição temos que

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[g(E = -2N)] + \ln(2)</math>.

A segunda normalização é preferível pois garante precisão para estados de menor energia, o que é necessário para o calculo de parâmetros termodinâmicos há baixas temperaturas.
===Parâmetros Termodinâmicos===
Uma vez que temos a densidade de estados, podemos calcular diversos parâmetros termodinâmicos, como a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_interna energia interna] <math>U(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Calor_espec%C3%ADfico calor especifico] <math>C(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_livre_de_Helmholtz energia livre de Helmholtz] <math>F(T)</math> e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Entropia entropia] <math>S(T)</math> através das seguintes equações:
<math>U(T) = \frac{\sum_EEg(E)e^{-E/k_BT}}{\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}}</math>

<math>C(T) = \frac{\langle E^2\rangle - \langle E\rangle^2}{k_BT^2}</math>

<math>F(T) = -k_BT\ln\left(\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}\right)</math>

<math>S(T) = \frac{U(T) - F(T)}{T}</math>
Estes parâmetros termodinâmicos dependem apenas da temperatura uma vez que já foi encontrado a densidade de estados <math>g(E)</math>, o que contorna os problemas de ''critical slowing down'' na temperatura crítica pois a simulação não precisa ser refeita para cada uma das temperaturas, por consequência também dispensa a necessidade de repesagem de histogramas, contornando o problema de estatística fraca nas asas dos histogramas.

==Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau==
Podemos aplicar o algoritmo de Wang-Landau para um sistema [https://pt.wikipedia.org/wiki/Ferromagnetismo#:~:text=Ferromagnetismo%20%C3%A9%20o%20mecanismo%20b%C3%A1sico,diferentes%20de%20magnetismo%20s%C3%A3o%20distinguidos. ferromagnético] 2D de Ising com interação de primeiros vizinhos e uma grade quadrada <math>L\times L</math> com [https://pt.wikipedia.org/wiki/Condi%C3%A7%C3%B5es_de_fronteira_peri%C3%B3dicas condições de contorno periódicas] no qual o hamiltoniano é dado por

<math>\mathcal{H} = -\sum_{\langle i,j\rangle}\sigma_{i}\sigma_j</math>

onde <math>\sigma_{i} = +1</math> para spin para cima, <math>\sigma_{i} = -1</math> para baixo e <math>\langle i,j\rangle</math> indica a soma entre os primeiros vizinhos. Na Fig.1 temos a densidade de estados <math>g(E)</math> para um sistema <math>16 \times 16</math> com <math>f_{final} \sim 10^{-6}</math> e com critério para um histograma <math>H(E)</math> plano de 80%. Com esses parâmetros, a ''Google Compute Engine'' padrão para [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python3] do Google Colab realiza a simulação em <math>\sim 40s</math>.

[[Arquivo: erickStateDensity.png|400px|thumb|center| Figura 1: Logaritmo da densidade de estados <math>\ln(g(E))</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>, há uma brusca queda na densidade de estados perto das pontas uma vez que as energias <math>-2L^2 + 8</math> e <math>2L^2 - 8</math> são inalcançáveis pelo sistema.]]

Fazendo uso da [[#equação de distribuição de probabilidade canônica]], podemos encontrar a distribuição de probabilidade das energias para uma determinada temperatura <math>T</math>. Devido a natureza do algoritmo, estas distribuições que por meios convencionais levariam tempo demasiadamente grande para ser calculado ou necessitariam de repesagem de histograma são instantaneamente calculadas com o algoritmo de Wang-Landau independentemente da temperatura. Na Fig.2 temos um exemplo das distribuições, incluindo uma próxima da temperatura critica <math>T_c</math>.

[[Arquivo: erickProbs.png|400px|thumb|center| Figura 2: A distribuição canônica <math>P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}</math> em 3 temperaturas, incluindo a temperatura crítica <math>T_c</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>.]]

Fazendo uso das equações supracitadas, podemos calcular os parâmetros termodinâmicos para este sistema em função da temperatura quase que instantaneamente. Estes são ilustrados nas Figs. 3,4,5,6.
<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickU.png|400px|thumb|center| Figura 3: A Energia interna do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickC.png|400px|thumb|center| Figura 4: O Calor Específico do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o pico se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickF.png|400px|thumb|center| Figura 5: A Energia Livre do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o começo da queda se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickS.png|400px|thumb|center| Figura 6: A Entropia do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
</ul></div>

==Exemplo de código==
[[Exemplo de código para a amostragem de Wang-Landau em Python3]]
==Referências==
<references />

Amostragem de Wang-Landau

2022-10-17T18:31:38Z

Erickc: /* Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau */

O [https://pt.wikipedia.org/wiki/Algoritmo algoritmo] de amostragem de Wang-Landau é um método de amostragem para simulações de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo Monte Carlo] introduzido por D.P Landau, Shan-Ho Tsai e M. Exlerem em 2004
<ref>Landau, D. P., Shan-Ho Tsai, and M. Exler. "A new approach to Monte Carlo simulations in statistical physics: Wang-Landau sampling." American Journal of Physics 72.10 (2004): 1294-1302.
</ref>
com suas primeiras concepções traçadas por F. Wang and D. P. Landau em 2001
<ref>F. Wang and D. P. Landau, ‘‘Efficient, multiple-range random walk algorithm to calculate the density of states,’’ Phys. Rev. Lett. 86, 2050–2053
!2001"; ‘‘Determining the density of states for classical statistical models:
A random walk algorithm to produce a flat histogram,’’ Phys. Rev. E 64,
056101 !2001".</ref>
que apresenta diversas vantagens sobre outros métodos para sistemas de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Spin spins]. Dentre eles podemos citar o algoritmo de Metropolis
<ref>N. Metropolis, A. W. Rosenbluth, M. N. Rosenbluth, A. H. Teller, and E.
Teller, ‘‘Equation of state calculations by fast computing machines,’’ J.
Chem. Phys. 21, 1087–1092 !1953".</ref>
, o algoritmo de ''clustering'' de Wolff
<ref>U. Wolff, ‘‘Collective Monte Carlo updating for spin systems,’’ Phys. Rev.
Lett. 62, 361–364 !1989".</ref>
, ou em um modelamento de ''ensamble'' multi-canônico
<ref>B. A. Berg and T. Neuhaus, ‘‘Multicanonical ensemble: A new approach to
simulate first-order phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 68, 9–12 !1992"</ref>
. Nestes dois últimos métodos são utilizados métodos de repesagem de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Histograma histogramas]<ref>
A. M. Ferrenberg and R. H. Swendsen, ‘‘New Monte Carlo technique for
studying phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 61, 2635–2638 !1988"; ‘‘Optimized Monte Carlo data analysis,’’ ibid. 63, 1195–1198 !1989".</ref>
que são limitados em sistemas grandes devido as baixa qualidade estatística nas asas do histograma.
Dentro deste contexto, o algoritmo Wang-Landau promete resolver problemas encontrados em amostragens convencionais como o ''critical slowing down'' para temperaturas próximas da temperatura crítica <math>T_c</math> utilizando-se de caminhadas aleatórias controladas para mapear a densidade de estados <math>g(E)</math> de um sistema, sem fazer uso de qualquer repesagem de histogramas.

----

A maioria dos algoritmos de amostragem convencionais geram uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_can%C3%B3nico distribuição canônica] não normalizada

<div id="dpc"> <math> P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

para uma determinada temperatura <math>T</math>, Geralmente estas distribuições são estreitas e se faz necessário múltiplas simulações para obter algum parâmetro [https://pt.wikipedia.org/wiki/Termodin%C3%A2mica termodinâmico] para uma distribuição significantemente grande de temperaturas.
Como <math>g(E)</math>não depende de temperatura do sistema, se pudermos encontrá-lo para todo <math>E</math>, podemos encontrar a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_de_parti%C3%A7%C3%A3o_(mec%C3%A2nica_estat%C3%ADstica) função de partição]

<div id="pf"> <math> Z(T) = \sum_E g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

e o sistema esta essencialmente resolvido, uma vez que grande parte dos parâmetros termodinâmicos podem ser derivados de <math>Z</math>. Além disso, a amostragem de Wang-Landau é provada ser útil em diversas aplicações como o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Antiferromagnetismo antiferromagneto] de Potts
<ref>C. Yamaguchi and Y. Okabe, ‘‘Three-dimensional antiferromagnetic
q-state Potts models: application of the Wang-Landau algorithm,’’ J. Phys.
A 34, 8781– 8794 !2001"</ref>
, sistemas de spins aleatórios<ref>Y. Okabe, Y. Tomita, and C. Yamaguchi, ‘‘Application of new Monte Carlo
algorithms to random spin systems,’’ Comput. Phys. Commun. 146, 63– 68
!2002".</ref>
, sistemas [https://pt.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica quânticos]<ref>
2M. Troyer, S. Wessel, and F. Alet, ‘‘Flat histogram methods for quantum
systems: Algorithms to overcome tunneling problems and calculate the
free energy,’’ Phys. Rev. Lett. 90, 120201 !2003". </ref>, etc... .

==Descrição do algoritmo de Wang Landau==
Descreveremos o funcionamento do algoritmo de Wang-Landau num sistema de spins clássicos de 2 estados numa grade bidimensional com valores discretos de energia e sem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Campo_magn%C3%A9tico campo magnético]([https://pt.wikipedia.org/wiki/Modelo_de_Ising Modelo de Ising]2D). Portanto quando nos referirmos a <math>g(E)</math> como densidade de estados, interpretamos como o número de estados com energia E.
A amostragem de Wang-Landau faz caminhadas aleatórias no espaço de energia mudando os estados de spins aleatoriamente selecionados, porém esta mudança só é aceita com probabilidade proporcional a reciproca da densidade de estados. Durante a caminhada também se acumula o número de vezes que uma energia é visitada durante a caminhada <math>H(E)</math>, isto é, ao visitarmos a energia <math>E_1</math> faz-se a atualização da variável <math> H(E_1) \rightarrow H(E_1) + 1 </math>. Por outro lado, a atualização da densidade de estados <math>g(E_1)</math> se da por um fator multiplicativo <math>f</math> (<math> g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f </math>) controlado ao longo da simulação para que seja muito próximo de 1 ao final das caminhadas.

Podemos descrever os passos do algoritmo da seguinte maneira:
# Inicializamos as densidades de energias com <math>g(E) = 1</math> para todo <math>E</math>, da mesma forma <math>H(E) = 0</math> para todo <math>E</math>.
# Inicializamos <math>f = f_0 = e \approx 2.71828</math> e um sistema <math>L\times L</math> de spins de valor 1 e -1 aleatoriamente distribuídos.
#*O valor de <math>f</math> é arbitrário e deve ser escolhido não muito pequeno, pois irá fazer com que a simulação demore muito tempo para explorar diversas energias, por outro lado se escolhido muito grande, levará a erros estatísticos significativos.
# Começamos a caminhada inicial escolhendo aleatoriamente um dos spins e mudando o seu estado.
# Se denotamos <math>E_1</math> como a energia antes da mudança de estado do spin selecionado e <math>E_2</math> como a energia após, aceitamos este novo estado com a seguinte probabilidade: <math>P(E_1 \rightarrow E_2) = \text{min}\left(\frac{g(E_1)}{g(E_2)},1\right)</math>
#*Se aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_2) \rightarrow g(E_2) \times f</math> e <math>H(E_2) \rightarrow H(E_2) +1</math> respectivamente.
#*Se não aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f</math> e <math>H(E_1) \rightarrow H(E_1) +1</math> respectivamente, de maneira a recontar o estado <math>E_1</math>.
#*Destaca-se que em ambos os casos usamos <math>\ln(g(E)) = \rightarrow \ln(g(E)) + \ln(f)</math>, pois ao longo da simulação acabamos usando números muito grandes.
#Faz-se esta caminhada aleatória nos diferentes estados do sistema até que o histograma <math>H(E)</math> esteja aproximadamente plano.
#*O critério para decidir se um histograma está plano é arbitrário. Para um [https://pt.wikipedia.org/wiki/Hamiltoniano_(mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica) hamiltoniano] de Ising 2D este critério pode ser definido tão alto quanto 95% (i.e. todos os valores de <math>H(E)</math> devem ser pelo menos 95% de <math> \langle H(E) \rangle </math>), porém valores mais altos que isso podem resultar no programa nunca identificando o histograma como plano.
#Checa-se se <math>H(E)</math> está plano a cada 10000 passos MC. Quando está plano, podemos dizer que todos os estados foram visitados uma quantidade de vezes aproximadamente igual e a densidade de estados <math>g(E)</math> converge ao valor real com precisão da ordem de <math>f</math>.
#*Um passo MC corresponde a <math>L^2 = N</math> passos.
#Reduz-se o fator <math>f</math> da seguinte maneira <math>f_1 \rightarrow \sqrt{f_0}</math>, reinicia-se o histograma <math>H(E) = 0</math> e recomeça-se a caminhada aleatória com este novo fator <math>f</math>. (Todos os parâmetros não mencionados neste passo permanecem intocados).
#Continuamos executando os passos 5-7, reduzindo o fator <math>f</math> segundo a seguinte expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math>
#Encerra-se a simulação quando <math>f_{final}</math> estiver da ordem do erro desejado.
#*Claro que <math>f_{final}</math> pode ser escolhido arbitrariamente pequeno, mas sempre com um certo limite razoável <math>(10^{-6}-10^{-8})</math>, ou a simulação pode tomar tempos não razoáveis para completar.

==Observações sobre o algoritmo==
Nesta seção discutimos algumas observações importantes a se levar em conta na implementação do método de amostragem de Wang-Landau
===Fator de modificação f===
Quando tratamos da atualização do fator <math>f</math>, a expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math> é apenas uma recomendação, uma vez que outros valores de <math>n>1</math> podem ser escolhidos para uma atualização do tipo <math>f_{i+1} = f_{i}^{(1/n)}</math>. Não obstante, <math>n = 2</math> é adequado para grande parte dos sistemas estudados, resultando em boa acurácia em relativamente pouco tempo de simulação.
===Implementação paralela===
A simulação pode ser melhorada ainda fazendo múltiplas caminhadas aleatórias paralelamente no espaço de energias. Restringindo o alcance das caminhadas proporcionalmente com o número de caminhantes em paralelo (e.g. No caso de 2 caminhantes simultâneos, dividimos o espaço de energias em 2 e restringimos um caminhante para a metade inferior das energias, e o outro para a parte superior) e depois juntando as densidades de estados resultantes.
===Balanço detalhado===
A condição de balanço detalhado inicialmente não é satisfeita uma vez que <math>g(E)</math> é constantemente modificada durante a caminhada aleatória. Porém após várias iterações, a condição é satisfeita a medida que <math>f</math> se aproxima de 1. Observa-se que se <math>P(E_1 \rightarrow E_2)</math> é a probabilidade de transição da energia <math>E_1</math> para a energia <math>E_2</math>, utilizando a equação do passo 4 do algoritmo temos que:

<math>
\frac{P(E_1 \rightarrow E_2)}{P(E_2 \rightarrow E_1)} = \frac{g(E_1)}{g(E_2)}.
</math>

Podemos reescrever a equação de uma forma mais familiar

<math>
\frac{1}{g(E_1)}P(E_1 \rightarrow E_2) = \frac{1}{g(E_2)}P(E_2 \rightarrow E_1)
</math>

que é a condição de balanceamento detalhado, uma vez que interpretamos que <math>1/g(E_1)</math> como a probabilidade do sistema possuir a energia <math>E_1</math> e analogamente para <math>E_2</math>. Concluímos então que a condição de balanço detalhado é satisfeita com precisão proporcional a <math>\ln(f)</math>.
===Escalabilidade===
Quando analisamos um modelo de Ising 2D de tamanho <math>L\times L</math>, temos que o número de configurações <math>(2^N, N = L^2)</math> aumenta exponencialmente com <math>N</math>, enquanto o número de possíveis energias é por volta de <math>2N</math> e aumenta linearmente com N. Implicando que temos uma escalabilidade muito boa para as caminhadas no espaço de energia quando o objetivo é estimar <math>g(E)</math> uma vez que um aumento no tamanho da grade não implica em um aumento exponencial, mas sim linear, no tempo de execução.
===Normalização===
É necessário ressaltar que após a simulação completa, o algoritmo de Wang-Landau nos fornece apenas a densidade de estados relativa. Para extrairmos a real densidade de estados <math>g_n(E)</math> é necessário que utilizemos uma das duas condições: Que o número total de estados possíveis é <math>\sum_Eg_n(E) = Q^N</math> ou que o numero de estados fundamentais é <math>Q</math> (onde <math>Q = 2</math> para o modelo de Ising 2D pois os spins possuem apenas dois estados).

Pela primeira condição, podemos obter a densidade de estados normalizada através da equação

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[\sum_Eg(E)] + N\ln(2)</math>,

enquanto pela segunda condição temos que

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[g(E = -2N)] + \ln(2)</math>.

A segunda normalização é preferível pois garante precisão para estados de menor energia, o que é necessário para o calculo de parâmetros termodinâmicos há baixas temperaturas.
===Parâmetros Termodinâmicos===
Uma vez que temos a densidade de estados, podemos calcular diversos parâmetros termodinâmicos, como a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_interna energia interna] <math>U(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Calor_espec%C3%ADfico calor especifico] <math>C(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_livre_de_Helmholtz energia livre de Helmholtz] <math>F(T)</math> e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Entropia entropia] <math>S(T)</math> através das seguintes equações:
<math>U(T) = \frac{\sum_EEg(E)e^{-E/k_BT}}{\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}}</math>

<math>C(T) = \frac{\langle E^2\rangle - \langle E\rangle^2}{k_BT^2}</math>

<math>F(T) = -k_BT\ln\left(\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}\right)</math>

<math>S(T) = \frac{U(T) - F(T)}{T}</math>
Estes parâmetros termodinâmicos dependem apenas da temperatura uma vez que já foi encontrado a densidade de estados <math>g(E)</math>, o que contorna os problemas de ''critical slowing down'' na temperatura crítica pois a simulação não precisa ser refeita para cada uma das temperaturas, por consequência também dispensa a necessidade de repesagem de histogramas, contornando o problema de estatística fraca nas asas dos histogramas.

==Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau==
Podemos aplicar o algoritmo de Wang-Landau para um sistema [https://pt.wikipedia.org/wiki/Ferromagnetismo#:~:text=Ferromagnetismo%20%C3%A9%20o%20mecanismo%20b%C3%A1sico,diferentes%20de%20magnetismo%20s%C3%A3o%20distinguidos. ferromagnético] 2D de Ising com interação de primeiros vizinhos e uma grade quadrada <math>L\times L</math> com [https://pt.wikipedia.org/wiki/Condi%C3%A7%C3%B5es_de_fronteira_peri%C3%B3dicas condições de contorno periódicas] no qual o hamiltoniano é dado por

<math>\mathcal{H} = -\sum_{\langle i,j\rangle}\sigma_{i}\sigma_j</math>

onde <math>\sigma_{i} = +1</math> para spin para cima, <math>\sigma_{i} = -1</math> para baixo e <math>\langle i,j\rangle</math> indica a soma entre os primeiros vizinhos. Na Fig.1 temos a densidade de estados <math>g(E)</math> para um sistema <math>16 \times 16</math> com <math>f_{final} \sim 10^{-6}</math> e com critério para um histograma <math>H(E)</math> plano de 80%. Com esses parâmetros, a ''Google Compute Engine'' padrão para [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python3] do Google Colab realiza a simulação em <math>\sim 40s</math>.

[[Arquivo: erickStateDensity.png|400px|thumb|center| Figura 1: Logaritmo da densidade de estados <math>\ln(g(E))</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>, há uma brusca queda na densidade de estados perto das pontas uma vez que as energias <math>-2L^2 + 8</math> e <math>2L^2 - 8</math> são inalcançáveis pelo sistema.]]

Fazendo uso da [[#dpc equação de distribuição de probabilidade canônica]], podemos encontrar a distribuição de probabilidade das energias para uma determinada temperatura <math>T</math>. Devido a natureza do algoritmo, estas distribuições que por meios convencionais levariam tempo demasiadamente grande para ser calculado ou necessitariam de repesagem de histograma são instantaneamente calculadas com o algoritmo de Wang-Landau independentemente da temperatura. Na Fig.2 temos um exemplo das distribuições, incluindo uma próxima da temperatura critica <math>T_c</math>.

[[Arquivo: erickProbs.png|400px|thumb|center| Figura 2: A distribuição canônica <math>P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}</math> em 3 temperaturas, incluindo a temperatura crítica <math>T_c</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>.]]

Fazendo uso das equações supracitadas, podemos calcular os parâmetros termodinâmicos para este sistema em função da temperatura quase que instantaneamente. Estes são ilustrados nas Figs. 3,4,5,6.
<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickU.png|400px|thumb|center| Figura 3: A Energia interna do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickC.png|400px|thumb|center| Figura 4: O Calor Específico do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o pico se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickF.png|400px|thumb|center| Figura 5: A Energia Livre do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o começo da queda se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickS.png|400px|thumb|center| Figura 6: A Entropia do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
</ul></div>

==Exemplo de código==
[[Exemplo de código para a amostragem de Wang-Landau em Python3]]
==Referências==
<references />

Amostragem de Wang-Landau

2022-10-17T18:29:34Z

Erickc:

O [https://pt.wikipedia.org/wiki/Algoritmo algoritmo] de amostragem de Wang-Landau é um método de amostragem para simulações de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo Monte Carlo] introduzido por D.P Landau, Shan-Ho Tsai e M. Exlerem em 2004
<ref>Landau, D. P., Shan-Ho Tsai, and M. Exler. "A new approach to Monte Carlo simulations in statistical physics: Wang-Landau sampling." American Journal of Physics 72.10 (2004): 1294-1302.
</ref>
com suas primeiras concepções traçadas por F. Wang and D. P. Landau em 2001
<ref>F. Wang and D. P. Landau, ‘‘Efficient, multiple-range random walk algorithm to calculate the density of states,’’ Phys. Rev. Lett. 86, 2050–2053
!2001"; ‘‘Determining the density of states for classical statistical models:
A random walk algorithm to produce a flat histogram,’’ Phys. Rev. E 64,
056101 !2001".</ref>
que apresenta diversas vantagens sobre outros métodos para sistemas de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Spin spins]. Dentre eles podemos citar o algoritmo de Metropolis
<ref>N. Metropolis, A. W. Rosenbluth, M. N. Rosenbluth, A. H. Teller, and E.
Teller, ‘‘Equation of state calculations by fast computing machines,’’ J.
Chem. Phys. 21, 1087–1092 !1953".</ref>
, o algoritmo de ''clustering'' de Wolff
<ref>U. Wolff, ‘‘Collective Monte Carlo updating for spin systems,’’ Phys. Rev.
Lett. 62, 361–364 !1989".</ref>
, ou em um modelamento de ''ensamble'' multi-canônico
<ref>B. A. Berg and T. Neuhaus, ‘‘Multicanonical ensemble: A new approach to
simulate first-order phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 68, 9–12 !1992"</ref>
. Nestes dois últimos métodos são utilizados métodos de repesagem de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Histograma histogramas]<ref>
A. M. Ferrenberg and R. H. Swendsen, ‘‘New Monte Carlo technique for
studying phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 61, 2635–2638 !1988"; ‘‘Optimized Monte Carlo data analysis,’’ ibid. 63, 1195–1198 !1989".</ref>
que são limitados em sistemas grandes devido as baixa qualidade estatística nas asas do histograma.
Dentro deste contexto, o algoritmo Wang-Landau promete resolver problemas encontrados em amostragens convencionais como o ''critical slowing down'' para temperaturas próximas da temperatura crítica <math>T_c</math> utilizando-se de caminhadas aleatórias controladas para mapear a densidade de estados <math>g(E)</math> de um sistema, sem fazer uso de qualquer repesagem de histogramas.

----

A maioria dos algoritmos de amostragem convencionais geram uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_can%C3%B3nico distribuição canônica] não normalizada

<div id="dpc"> <math> P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

para uma determinada temperatura <math>T</math>, Geralmente estas distribuições são estreitas e se faz necessário múltiplas simulações para obter algum parâmetro [https://pt.wikipedia.org/wiki/Termodin%C3%A2mica termodinâmico] para uma distribuição significantemente grande de temperaturas.
Como <math>g(E)</math>não depende de temperatura do sistema, se pudermos encontrá-lo para todo <math>E</math>, podemos encontrar a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_de_parti%C3%A7%C3%A3o_(mec%C3%A2nica_estat%C3%ADstica) função de partição]

<div id="pf"> <math> Z(T) = \sum_E g(E)e^{-E/K_BT}, </math> </div>

e o sistema esta essencialmente resolvido, uma vez que grande parte dos parâmetros termodinâmicos podem ser derivados de <math>Z</math>. Além disso, a amostragem de Wang-Landau é provada ser útil em diversas aplicações como o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Antiferromagnetismo antiferromagneto] de Potts
<ref>C. Yamaguchi and Y. Okabe, ‘‘Three-dimensional antiferromagnetic
q-state Potts models: application of the Wang-Landau algorithm,’’ J. Phys.
A 34, 8781– 8794 !2001"</ref>
, sistemas de spins aleatórios<ref>Y. Okabe, Y. Tomita, and C. Yamaguchi, ‘‘Application of new Monte Carlo
algorithms to random spin systems,’’ Comput. Phys. Commun. 146, 63– 68
!2002".</ref>
, sistemas [https://pt.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica quânticos]<ref>
2M. Troyer, S. Wessel, and F. Alet, ‘‘Flat histogram methods for quantum
systems: Algorithms to overcome tunneling problems and calculate the
free energy,’’ Phys. Rev. Lett. 90, 120201 !2003". </ref>, etc... .

==Descrição do algoritmo de Wang Landau==
Descreveremos o funcionamento do algoritmo de Wang-Landau num sistema de spins clássicos de 2 estados numa grade bidimensional com valores discretos de energia e sem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Campo_magn%C3%A9tico campo magnético]([https://pt.wikipedia.org/wiki/Modelo_de_Ising Modelo de Ising]2D). Portanto quando nos referirmos a <math>g(E)</math> como densidade de estados, interpretamos como o número de estados com energia E.
A amostragem de Wang-Landau faz caminhadas aleatórias no espaço de energia mudando os estados de spins aleatoriamente selecionados, porém esta mudança só é aceita com probabilidade proporcional a reciproca da densidade de estados. Durante a caminhada também se acumula o número de vezes que uma energia é visitada durante a caminhada <math>H(E)</math>, isto é, ao visitarmos a energia <math>E_1</math> faz-se a atualização da variável <math> H(E_1) \rightarrow H(E_1) + 1 </math>. Por outro lado, a atualização da densidade de estados <math>g(E_1)</math> se da por um fator multiplicativo <math>f</math> (<math> g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f </math>) controlado ao longo da simulação para que seja muito próximo de 1 ao final das caminhadas.

Podemos descrever os passos do algoritmo da seguinte maneira:
# Inicializamos as densidades de energias com <math>g(E) = 1</math> para todo <math>E</math>, da mesma forma <math>H(E) = 0</math> para todo <math>E</math>.
# Inicializamos <math>f = f_0 = e \approx 2.71828</math> e um sistema <math>L\times L</math> de spins de valor 1 e -1 aleatoriamente distribuídos.
#*O valor de <math>f</math> é arbitrário e deve ser escolhido não muito pequeno, pois irá fazer com que a simulação demore muito tempo para explorar diversas energias, por outro lado se escolhido muito grande, levará a erros estatísticos significativos.
# Começamos a caminhada inicial escolhendo aleatoriamente um dos spins e mudando o seu estado.
# Se denotamos <math>E_1</math> como a energia antes da mudança de estado do spin selecionado e <math>E_2</math> como a energia após, aceitamos este novo estado com a seguinte probabilidade: <math>P(E_1 \rightarrow E_2) = \text{min}\left(\frac{g(E_1)}{g(E_2)},1\right)</math>
#*Se aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_2) \rightarrow g(E_2) \times f</math> e <math>H(E_2) \rightarrow H(E_2) +1</math> respectivamente.
#*Se não aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f</math> e <math>H(E_1) \rightarrow H(E_1) +1</math> respectivamente, de maneira a recontar o estado <math>E_1</math>.
#*Destaca-se que em ambos os casos usamos <math>\ln(g(E)) = \rightarrow \ln(g(E)) + \ln(f)</math>, pois ao longo da simulação acabamos usando números muito grandes.
#Faz-se esta caminhada aleatória nos diferentes estados do sistema até que o histograma <math>H(E)</math> esteja aproximadamente plano.
#*O critério para decidir se um histograma está plano é arbitrário. Para um [https://pt.wikipedia.org/wiki/Hamiltoniano_(mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica) hamiltoniano] de Ising 2D este critério pode ser definido tão alto quanto 95% (i.e. todos os valores de <math>H(E)</math> devem ser pelo menos 95% de <math> \langle H(E) \rangle </math>), porém valores mais altos que isso podem resultar no programa nunca identificando o histograma como plano.
#Checa-se se <math>H(E)</math> está plano a cada 10000 passos MC. Quando está plano, podemos dizer que todos os estados foram visitados uma quantidade de vezes aproximadamente igual e a densidade de estados <math>g(E)</math> converge ao valor real com precisão da ordem de <math>f</math>.
#*Um passo MC corresponde a <math>L^2 = N</math> passos.
#Reduz-se o fator <math>f</math> da seguinte maneira <math>f_1 \rightarrow \sqrt{f_0}</math>, reinicia-se o histograma <math>H(E) = 0</math> e recomeça-se a caminhada aleatória com este novo fator <math>f</math>. (Todos os parâmetros não mencionados neste passo permanecem intocados).
#Continuamos executando os passos 5-7, reduzindo o fator <math>f</math> segundo a seguinte expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math>
#Encerra-se a simulação quando <math>f_{final}</math> estiver da ordem do erro desejado.
#*Claro que <math>f_{final}</math> pode ser escolhido arbitrariamente pequeno, mas sempre com um certo limite razoável <math>(10^{-6}-10^{-8})</math>, ou a simulação pode tomar tempos não razoáveis para completar.

==Observações sobre o algoritmo==
Nesta seção discutimos algumas observações importantes a se levar em conta na implementação do método de amostragem de Wang-Landau
===Fator de modificação f===
Quando tratamos da atualização do fator <math>f</math>, a expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math> é apenas uma recomendação, uma vez que outros valores de <math>n>1</math> podem ser escolhidos para uma atualização do tipo <math>f_{i+1} = f_{i}^{(1/n)}</math>. Não obstante, <math>n = 2</math> é adequado para grande parte dos sistemas estudados, resultando em boa acurácia em relativamente pouco tempo de simulação.
===Implementação paralela===
A simulação pode ser melhorada ainda fazendo múltiplas caminhadas aleatórias paralelamente no espaço de energias. Restringindo o alcance das caminhadas proporcionalmente com o número de caminhantes em paralelo (e.g. No caso de 2 caminhantes simultâneos, dividimos o espaço de energias em 2 e restringimos um caminhante para a metade inferior das energias, e o outro para a parte superior) e depois juntando as densidades de estados resultantes.
===Balanço detalhado===
A condição de balanço detalhado inicialmente não é satisfeita uma vez que <math>g(E)</math> é constantemente modificada durante a caminhada aleatória. Porém após várias iterações, a condição é satisfeita a medida que <math>f</math> se aproxima de 1. Observa-se que se <math>P(E_1 \rightarrow E_2)</math> é a probabilidade de transição da energia <math>E_1</math> para a energia <math>E_2</math>, utilizando a equação do passo 4 do algoritmo temos que:

<math>
\frac{P(E_1 \rightarrow E_2)}{P(E_2 \rightarrow E_1)} = \frac{g(E_1)}{g(E_2)}.
</math>

Podemos reescrever a equação de uma forma mais familiar

<math>
\frac{1}{g(E_1)}P(E_1 \rightarrow E_2) = \frac{1}{g(E_2)}P(E_2 \rightarrow E_1)
</math>

que é a condição de balanceamento detalhado, uma vez que interpretamos que <math>1/g(E_1)</math> como a probabilidade do sistema possuir a energia <math>E_1</math> e analogamente para <math>E_2</math>. Concluímos então que a condição de balanço detalhado é satisfeita com precisão proporcional a <math>\ln(f)</math>.
===Escalabilidade===
Quando analisamos um modelo de Ising 2D de tamanho <math>L\times L</math>, temos que o número de configurações <math>(2^N, N = L^2)</math> aumenta exponencialmente com <math>N</math>, enquanto o número de possíveis energias é por volta de <math>2N</math> e aumenta linearmente com N. Implicando que temos uma escalabilidade muito boa para as caminhadas no espaço de energia quando o objetivo é estimar <math>g(E)</math> uma vez que um aumento no tamanho da grade não implica em um aumento exponencial, mas sim linear, no tempo de execução.
===Normalização===
É necessário ressaltar que após a simulação completa, o algoritmo de Wang-Landau nos fornece apenas a densidade de estados relativa. Para extrairmos a real densidade de estados <math>g_n(E)</math> é necessário que utilizemos uma das duas condições: Que o número total de estados possíveis é <math>\sum_Eg_n(E) = Q^N</math> ou que o numero de estados fundamentais é <math>Q</math> (onde <math>Q = 2</math> para o modelo de Ising 2D pois os spins possuem apenas dois estados).

Pela primeira condição, podemos obter a densidade de estados normalizada através da equação

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[\sum_Eg(E)] + N\ln(2)</math>,

enquanto pela segunda condição temos que

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[g(E = -2N)] + \ln(2)</math>.

A segunda normalização é preferível pois garante precisão para estados de menor energia, o que é necessário para o calculo de parâmetros termodinâmicos há baixas temperaturas.
===Parâmetros Termodinâmicos===
Uma vez que temos a densidade de estados, podemos calcular diversos parâmetros termodinâmicos, como a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_interna energia interna] <math>U(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Calor_espec%C3%ADfico calor especifico] <math>C(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_livre_de_Helmholtz energia livre de Helmholtz] <math>F(T)</math> e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Entropia entropia] <math>S(T)</math> através das seguintes equações:
<math>U(T) = \frac{\sum_EEg(E)e^{-E/k_BT}}{\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}}</math>

<math>C(T) = \frac{\langle E^2\rangle - \langle E\rangle^2}{k_BT^2}</math>

<math>F(T) = -k_BT\ln\left(\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}\right)</math>

<math>S(T) = \frac{U(T) - F(T)}{T}</math>
Estes parâmetros termodinâmicos dependem apenas da temperatura uma vez que já foi encontrado a densidade de estados <math>g(E)</math>, o que contorna os problemas de ''critical slowing down'' na temperatura crítica pois a simulação não precisa ser refeita para cada uma das temperaturas, por consequência também dispensa a necessidade de repesagem de histogramas, contornando o problema de estatística fraca nas asas dos histogramas.

==Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau==
Podemos aplicar o algoritmo de Wang-Landau para um sistema [https://pt.wikipedia.org/wiki/Ferromagnetismo#:~:text=Ferromagnetismo%20%C3%A9%20o%20mecanismo%20b%C3%A1sico,diferentes%20de%20magnetismo%20s%C3%A3o%20distinguidos. ferromagnético] 2D de Ising com interação de primeiros vizinhos e uma grade quadrada <math>L\times L</math> com [https://pt.wikipedia.org/wiki/Condi%C3%A7%C3%B5es_de_fronteira_peri%C3%B3dicas condições de contorno periódicas] no qual o hamiltoniano é dado por

<math>\mathcal{H} = -\sum_{\langle i,j\rangle}\sigma_{i}\sigma_j</math>

onde <math>\sigma_{i} = +1</math> para spin para cima, <math>\sigma_{i} = -1</math> para baixo e <math>\langle i,j\rangle</math> indica a soma entre os primeiros vizinhos. Na Fig.1 temos a densidade de estados <math>g(E)</math> para um sistema <math>16 \times 16</math> com <math>f_{final} \sim 10^{-6}</math> e com critério para um histograma <math>H(E)</math> plano de 80%. Com esses parâmetros, a ''Google Compute Engine'' padrão para [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python3] do Google Colab realiza a simulação em <math>\sim 40s</math>.

[[Arquivo: erickStateDensity.png|400px|thumb|center| Figura 1: Logaritmo da densidade de estados <math>\ln(g(E))</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>, há uma brusca queda na densidade de estados perto das pontas uma vez que as energias <math>-2L^2 + 8</math> e <math>2L^2 - 8</math> são inalcançáveis pelo sistema.]]

Fazendo uso da equação de distribuição de probabilidade canônica, podemos encontrar a distribuição de probabilidade das energias para uma determinada temperatura <math>T</math>. Devido a natureza do algoritmo, estas distribuições que por meios convencionais levariam tempo demasiadamente grande para ser calculado ou necessitariam de repesagem de histograma são instantaneamente calculadas com o algoritmo de Wang-Landau independentemente da temperatura. Na Fig.2 temos um exemplo das distribuições, incluindo uma próxima da temperatura critica <math>T_c</math>.

[[Arquivo: erickProbs.png|400px|thumb|center| Figura 2: A distribuição canônica <math>P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}</math> em 3 temperaturas, incluindo a temperatura crítica <math>T_c</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>.]]

Fazendo uso das equações supracitadas, podemos calcular os parâmetros termodinâmicos para este sistema em função da temperatura quase que instantaneamente. Estes são ilustrados nas Figs. 3,4,5,6.
<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickU.png|400px|thumb|center| Figura 3: A Energia interna do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickC.png|400px|thumb|center| Figura 4: O Calor Específico do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o pico se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickF.png|400px|thumb|center| Figura 5: A Energia Livre do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o começo da queda se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickS.png|400px|thumb|center| Figura 6: A Entropia do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
</ul></div>

==Exemplo de código==
[[Exemplo de código para a amostragem de Wang-Landau em Python3]]
==Referências==
<references />

Amostragem de Wang-Landau

2022-10-17T18:26:51Z

Erickc: /* Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau */

O [https://pt.wikipedia.org/wiki/Algoritmo algoritmo] de amostragem de Wang-Landau é um método de amostragem para simulações de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo Monte Carlo] introduzido por D.P Landau, Shan-Ho Tsai e M. Exlerem em 2004
<ref>Landau, D. P., Shan-Ho Tsai, and M. Exler. "A new approach to Monte Carlo simulations in statistical physics: Wang-Landau sampling." American Journal of Physics 72.10 (2004): 1294-1302.
</ref>
com suas primeiras concepções traçadas por F. Wang and D. P. Landau em 2001
<ref>F. Wang and D. P. Landau, ‘‘Efficient, multiple-range random walk algorithm to calculate the density of states,’’ Phys. Rev. Lett. 86, 2050–2053
!2001"; ‘‘Determining the density of states for classical statistical models:
A random walk algorithm to produce a flat histogram,’’ Phys. Rev. E 64,
056101 !2001".</ref>
que apresenta diversas vantagens sobre outros métodos para sistemas de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Spin spins]. Dentre eles podemos citar o algoritmo de Metropolis
<ref>N. Metropolis, A. W. Rosenbluth, M. N. Rosenbluth, A. H. Teller, and E.
Teller, ‘‘Equation of state calculations by fast computing machines,’’ J.
Chem. Phys. 21, 1087–1092 !1953".</ref>
, o algoritmo de ''clustering'' de Wolff
<ref>U. Wolff, ‘‘Collective Monte Carlo updating for spin systems,’’ Phys. Rev.
Lett. 62, 361–364 !1989".</ref>
, ou em um modelamento de ''ensamble'' multi-canônico
<ref>B. A. Berg and T. Neuhaus, ‘‘Multicanonical ensemble: A new approach to
simulate first-order phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 68, 9–12 !1992"</ref>
. Nestes dois últimos métodos são utilizados métodos de repesagem de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Histograma histogramas]<ref>
A. M. Ferrenberg and R. H. Swendsen, ‘‘New Monte Carlo technique for
studying phase transitions,’’ Phys. Rev. Lett. 61, 2635–2638 !1988"; ‘‘Optimized Monte Carlo data analysis,’’ ibid. 63, 1195–1198 !1989".</ref>
que são limitados em sistemas grandes devido as baixa qualidade estatística nas asas do histograma.
Dentro deste contexto, o algoritmo Wang-Landau promete resolver problemas encontrados em amostragens convencionais como o ''critical slowing down'' para temperaturas próximas da temperatura crítica <math>T_c</math> utilizando-se de caminhadas aleatórias controladas para mapear a densidade de estados <math>g(E)</math> de um sistema, sem fazer uso de qualquer repesagem de histogramas.

----

A maioria dos algoritmos de amostragem convencionais geram uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_can%C3%B3nico distribuição canônica] não normalizada

<math> P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}, </math>

para uma determinada temperatura <math>T</math>, Geralmente estas distribuições são estreitas e se faz necessário múltiplas simulações para obter algum parâmetro [https://pt.wikipedia.org/wiki/Termodin%C3%A2mica termodinâmico] para uma distribuição significantemente grande de temperaturas.
Como <math>g(E)</math>não depende de temperatura do sistema, se pudermos encontrá-lo para todo <math>E</math>, podemos encontrar a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_de_parti%C3%A7%C3%A3o_(mec%C3%A2nica_estat%C3%ADstica) função de partição]

<math> Z(T) = \sum_E g(E)e^{-E/K_BT}, </math>

e o sistema esta essencialmente resolvido, uma vez que grande parte dos parâmetros termodinâmicos podem ser derivados de <math>Z</math>. Além disso, a amostragem de Wang-Landau é provada ser útil em diversas aplicações como o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Antiferromagnetismo antiferromagneto] de Potts
<ref>C. Yamaguchi and Y. Okabe, ‘‘Three-dimensional antiferromagnetic
q-state Potts models: application of the Wang-Landau algorithm,’’ J. Phys.
A 34, 8781– 8794 !2001"</ref>
, sistemas de spins aleatórios<ref>Y. Okabe, Y. Tomita, and C. Yamaguchi, ‘‘Application of new Monte Carlo
algorithms to random spin systems,’’ Comput. Phys. Commun. 146, 63– 68
!2002".</ref>
, sistemas [https://pt.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica quânticos]<ref>
2M. Troyer, S. Wessel, and F. Alet, ‘‘Flat histogram methods for quantum
systems: Algorithms to overcome tunneling problems and calculate the
free energy,’’ Phys. Rev. Lett. 90, 120201 !2003". </ref>, etc... .

==Descrição do algoritmo de Wang Landau==
Descreveremos o funcionamento do algoritmo de Wang-Landau num sistema de spins clássicos de 2 estados numa grade bidimensional com valores discretos de energia e sem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Campo_magn%C3%A9tico campo magnético]([https://pt.wikipedia.org/wiki/Modelo_de_Ising Modelo de Ising]2D). Portanto quando nos referirmos a <math>g(E)</math> como densidade de estados, interpretamos como o número de estados com energia E.
A amostragem de Wang-Landau faz caminhadas aleatórias no espaço de energia mudando os estados de spins aleatoriamente selecionados, porém esta mudança só é aceita com probabilidade proporcional a reciproca da densidade de estados. Durante a caminhada também se acumula o número de vezes que uma energia é visitada durante a caminhada <math>H(E)</math>, isto é, ao visitarmos a energia <math>E_1</math> faz-se a atualização da variável <math> H(E_1) \rightarrow H(E_1) + 1 </math>. Por outro lado, a atualização da densidade de estados <math>g(E_1)</math> se da por um fator multiplicativo <math>f</math> (<math> g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f </math>) controlado ao longo da simulação para que seja muito próximo de 1 ao final das caminhadas.

Podemos descrever os passos do algoritmo da seguinte maneira:
# Inicializamos as densidades de energias com <math>g(E) = 1</math> para todo <math>E</math>, da mesma forma <math>H(E) = 0</math> para todo <math>E</math>.
# Inicializamos <math>f = f_0 = e \approx 2.71828</math> e um sistema <math>L\times L</math> de spins de valor 1 e -1 aleatoriamente distribuídos.
#*O valor de <math>f</math> é arbitrário e deve ser escolhido não muito pequeno, pois irá fazer com que a simulação demore muito tempo para explorar diversas energias, por outro lado se escolhido muito grande, levará a erros estatísticos significativos.
# Começamos a caminhada inicial escolhendo aleatoriamente um dos spins e mudando o seu estado.
# Se denotamos <math>E_1</math> como a energia antes da mudança de estado do spin selecionado e <math>E_2</math> como a energia após, aceitamos este novo estado com a seguinte probabilidade: <math>P(E_1 \rightarrow E_2) = \text{min}\left(\frac{g(E_1)}{g(E_2)},1\right)</math>
#*Se aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_2) \rightarrow g(E_2) \times f</math> e <math>H(E_2) \rightarrow H(E_2) +1</math> respectivamente.
#*Se não aceitarmos a mudança de estado do spin, fazemos as atualizações de <math>g(E)</math> e <math>H(E)</math> como <math>g(E_1) \rightarrow g(E_1) \times f</math> e <math>H(E_1) \rightarrow H(E_1) +1</math> respectivamente, de maneira a recontar o estado <math>E_1</math>.
#*Destaca-se que em ambos os casos usamos <math>\ln(g(E)) = \rightarrow \ln(g(E)) + \ln(f)</math>, pois ao longo da simulação acabamos usando números muito grandes.
#Faz-se esta caminhada aleatória nos diferentes estados do sistema até que o histograma <math>H(E)</math> esteja aproximadamente plano.
#*O critério para decidir se um histograma está plano é arbitrário. Para um [https://pt.wikipedia.org/wiki/Hamiltoniano_(mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica) hamiltoniano] de Ising 2D este critério pode ser definido tão alto quanto 95% (i.e. todos os valores de <math>H(E)</math> devem ser pelo menos 95% de <math> \langle H(E) \rangle </math>), porém valores mais altos que isso podem resultar no programa nunca identificando o histograma como plano.
#Checa-se se <math>H(E)</math> está plano a cada 10000 passos MC. Quando está plano, podemos dizer que todos os estados foram visitados uma quantidade de vezes aproximadamente igual e a densidade de estados <math>g(E)</math> converge ao valor real com precisão da ordem de <math>f</math>.
#*Um passo MC corresponde a <math>L^2 = N</math> passos.
#Reduz-se o fator <math>f</math> da seguinte maneira <math>f_1 \rightarrow \sqrt{f_0}</math>, reinicia-se o histograma <math>H(E) = 0</math> e recomeça-se a caminhada aleatória com este novo fator <math>f</math>. (Todos os parâmetros não mencionados neste passo permanecem intocados).
#Continuamos executando os passos 5-7, reduzindo o fator <math>f</math> segundo a seguinte expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math>
#Encerra-se a simulação quando <math>f_{final}</math> estiver da ordem do erro desejado.
#*Claro que <math>f_{final}</math> pode ser escolhido arbitrariamente pequeno, mas sempre com um certo limite razoável <math>(10^{-6}-10^{-8})</math>, ou a simulação pode tomar tempos não razoáveis para completar.

==Observações sobre o algoritmo==
Nesta seção discutimos algumas observações importantes a se levar em conta na implementação do método de amostragem de Wang-Landau
===Fator de modificação f===
Quando tratamos da atualização do fator <math>f</math>, a expressão <math>f_{i+1} = \sqrt{f_{i}}</math> é apenas uma recomendação, uma vez que outros valores de <math>n>1</math> podem ser escolhidos para uma atualização do tipo <math>f_{i+1} = f_{i}^{(1/n)}</math>. Não obstante, <math>n = 2</math> é adequado para grande parte dos sistemas estudados, resultando em boa acurácia em relativamente pouco tempo de simulação.
===Implementação paralela===
A simulação pode ser melhorada ainda fazendo múltiplas caminhadas aleatórias paralelamente no espaço de energias. Restringindo o alcance das caminhadas proporcionalmente com o número de caminhantes em paralelo (e.g. No caso de 2 caminhantes simultâneos, dividimos o espaço de energias em 2 e restringimos um caminhante para a metade inferior das energias, e o outro para a parte superior) e depois juntando as densidades de estados resultantes.
===Balanço detalhado===
A condição de balanço detalhado inicialmente não é satisfeita uma vez que <math>g(E)</math> é constantemente modificada durante a caminhada aleatória. Porém após várias iterações, a condição é satisfeita a medida que <math>f</math> se aproxima de 1. Observa-se que se <math>P(E_1 \rightarrow E_2)</math> é a probabilidade de transição da energia <math>E_1</math> para a energia <math>E_2</math>, utilizando a equação do passo 4 do algoritmo temos que:

<math>
\frac{P(E_1 \rightarrow E_2)}{P(E_2 \rightarrow E_1)} = \frac{g(E_1)}{g(E_2)}.
</math>

Podemos reescrever a equação de uma forma mais familiar

<math>
\frac{1}{g(E_1)}P(E_1 \rightarrow E_2) = \frac{1}{g(E_2)}P(E_2 \rightarrow E_1)
</math>

que é a condição de balanceamento detalhado, uma vez que interpretamos que <math>1/g(E_1)</math> como a probabilidade do sistema possuir a energia <math>E_1</math> e analogamente para <math>E_2</math>. Concluímos então que a condição de balanço detalhado é satisfeita com precisão proporcional a <math>\ln(f)</math>.
===Escalabilidade===
Quando analisamos um modelo de Ising 2D de tamanho <math>L\times L</math>, temos que o número de configurações <math>(2^N, N = L^2)</math> aumenta exponencialmente com <math>N</math>, enquanto o número de possíveis energias é por volta de <math>2N</math> e aumenta linearmente com N. Implicando que temos uma escalabilidade muito boa para as caminhadas no espaço de energia quando o objetivo é estimar <math>g(E)</math> uma vez que um aumento no tamanho da grade não implica em um aumento exponencial, mas sim linear, no tempo de execução.
===Normalização===
É necessário ressaltar que após a simulação completa, o algoritmo de Wang-Landau nos fornece apenas a densidade de estados relativa. Para extrairmos a real densidade de estados <math>g_n(E)</math> é necessário que utilizemos uma das duas condições: Que o número total de estados possíveis é <math>\sum_Eg_n(E) = Q^N</math> ou que o numero de estados fundamentais é <math>Q</math> (onde <math>Q = 2</math> para o modelo de Ising 2D pois os spins possuem apenas dois estados).

Pela primeira condição, podemos obter a densidade de estados normalizada através da equação

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[\sum_Eg(E)] + N\ln(2)</math>,

enquanto pela segunda condição temos que

<math>\ln[g_n(E)] = \ln[g(E)] - \ln[g(E = -2N)] + \ln(2)</math>.

A segunda normalização é preferível pois garante precisão para estados de menor energia, o que é necessário para o calculo de parâmetros termodinâmicos há baixas temperaturas.
===Parâmetros Termodinâmicos===
Uma vez que temos a densidade de estados, podemos calcular diversos parâmetros termodinâmicos, como a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_interna energia interna] <math>U(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Calor_espec%C3%ADfico calor especifico] <math>C(T)</math>, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_livre_de_Helmholtz energia livre de Helmholtz] <math>F(T)</math> e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Entropia entropia] <math>S(T)</math> através das seguintes equações:
<math>U(T) = \frac{\sum_EEg(E)e^{-E/k_BT}}{\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}}</math>

<math>C(T) = \frac{\langle E^2\rangle - \langle E\rangle^2}{k_BT^2}</math>

<math>F(T) = -k_BT\ln\left(\sum_Eg(E)e^{-E/k_BT}\right)</math>

<math>S(T) = \frac{U(T) - F(T)}{T}</math>
Estes parâmetros termodinâmicos dependem apenas da temperatura uma vez que já foi encontrado a densidade de estados <math>g(E)</math>, o que contorna os problemas de ''critical slowing down'' na temperatura crítica pois a simulação não precisa ser refeita para cada uma das temperaturas, por consequência também dispensa a necessidade de repesagem de histogramas, contornando o problema de estatística fraca nas asas dos histogramas.

==Exemplo: Modelo de Ising 2D por amostragem de Wang-Landau==
Podemos aplicar o algoritmo de Wang-Landau para um sistema [https://pt.wikipedia.org/wiki/Ferromagnetismo#:~:text=Ferromagnetismo%20%C3%A9%20o%20mecanismo%20b%C3%A1sico,diferentes%20de%20magnetismo%20s%C3%A3o%20distinguidos. ferromagnético] 2D de Ising com interação de primeiros vizinhos e uma grade quadrada <math>L\times L</math> com [https://pt.wikipedia.org/wiki/Condi%C3%A7%C3%B5es_de_fronteira_peri%C3%B3dicas condições de contorno periódicas] no qual o hamiltoniano é dado por

<math>\mathcal{H} = -\sum_{\langle i,j\rangle}\sigma_{i}\sigma_j</math>

onde <math>\sigma_{i} = +1</math> para spin para cima, <math>\sigma_{i} = -1</math> para baixo e <math>\langle i,j\rangle</math> indica a soma entre os primeiros vizinhos. Na Fig.1 temos a densidade de estados <math>g(E)</math> para um sistema <math>16 \times 16</math> com <math>f_{final} \sim 10^{-6}</math> e com critério para um histograma <math>H(E)</math> plano de 80%. Com esses parâmetros, a ''Google Compute Engine'' padrão para [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python3] do Google Colab realiza a simulação em <math>\sim 40s</math>.

[[Arquivo: erickStateDensity.png|400px|thumb|center| Figura 1: Logaritmo da densidade de estados <math>\ln(g(E))</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>, há uma brusca queda na densidade de estados perto das pontas uma vez que as energias <math>-2L^2 + 8</math> e <math>2L^2 - 8</math> são inalcançáveis pelo sistema.]]

Fazendo uso da equação de distribuição de probabilidade canônica, podemos encontrar a distribuição de probabilidade das energias para uma determinada temperatura <math>T</math>. Devido a natureza do algoritmo, estas distribuições que por meios convencionais levariam tempo demasiadamente grande para ser calculado ou necessitariam de repesagem de histograma são instantaneamente calculadas com o algoritmo de Wang-Landau independentemente da temperatura. Na Fig.2 temos um exemplo das distribuições, incluindo uma próxima da temperatura critica <math>T_c</math>.

[[Arquivo: erickProbs.png|400px|thumb|center| Figura 2: A distribuição canônica <math>P(E,T) = g(E)e^{-E/K_BT}</math> em 3 temperaturas, incluindo a temperatura crítica <math>T_c</math> para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>.]]

Fazendo uso das equações supracitadas, podemos calcular os parâmetros termodinâmicos para este sistema em função da temperatura quase que instantaneamente. Estes são ilustrados nas Figs. 3,4,5,6.
<div><ul>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickU.png|400px|thumb|center| Figura 3: A Energia interna do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickC.png|400px|thumb|center| Figura 4: O Calor Específico do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o pico se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickF.png|400px|thumb|center| Figura 5: A Energia Livre do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que o começo da queda se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
<li style="display: inline-block;">[[Arquivo: erickS.png|400px|thumb|center| Figura 6: A Entropia do sistema em função da temperatura para o modelo de Ising 2D com <math>L = 16</math>. Perceba que a inflexão se da aproximadamente na temperatura crítica <math>k_BT_c \approx 2.3</math>.]]</li>
</ul></div>

==Exemplo de código==
[[Exemplo de código para a amostragem de Wang-Landau em Python3]]
==Referências==
<references />