Grupo - Modelo de Potts

2018-01-29T13:34:51Z

Eliseuvf: /* Testes numéricos */

Originalmente descrito por Renfrey Potts em 1951 na sua tese de doutorado, esse modelo é uma generalização do modelo de Ising para a interação entre spins em uma rede cristalina.

=Descrição do modelo=
No modelo de Potts a <math>q</math> estados são considerados <math>N</math> spins <math>s_i</math> dispostos em uma rede, geralmente bidimensional retangular, cada spin podendo estar em um dos <math>q</math> estados possíveis.

O Hamiltoniano desse sistema é

<math>H_p = -J \sum_{(i,j)} \delta(s_i,s_j) </math>

onde <math>J</math> é a constante de acoplamento que determina a intensidade da interação, <math>\delta(s_i,s_j)</math> é a função delta de Kronecker que retorna <math>1</math> se <math>s_i=s_j</math> e retorna <math>0</math> para todos os outros casos, e o somatório considera somente os pares <math>(i,j)</math> de spins vizinhos.

No caso ferromagnético, <math>J>0</math>, o nível fundamental de energia possui uma degenerescência igual a <math>q</math>, correspondendo aos valores possíveis para todos os spins alinhados.

==Relação com o modelo de Ising==

É importante notar que para <math>q=2</math> o modelo de Potts é equivalente ao modelo de Ising com constante de acoplamento <math>\frac{J}{2}</math> a menos de uma constante aditiva <math>\sum_{(i,j)}\frac{J}{2}</math> no Hamiltoniano.

<math>H_I = H_p + \sum_{(i,j)}\frac{J}{2} = -J\sum_{(i,j)} \delta(s_i,s_j) + \sum_{(i,j)}\frac{J}{2} = -\frac{J}{2}\sum_{(i,j)} (2\delta(s_i,s_j) - 1) </math>

nesse caso os spins <math>s_i</math> e <math>s_j</math> têm apenas dois valores possíveis e

<math> 2\delta(s_i,s_j) - 1 = \begin{cases}
1, \quad \text{se } s_i = s_j \\
-1, \quad \text{se } s_i \neq s_j
\end{cases}</math>

logo considerando como valores possíveis para os spins <math>\{s_i,s_j\}</math> como <math>-1</math> ou <math>1</math> encontramos

<math>H_I = H_p + \sum_{(i,j)}\frac{J}{2} = -\frac{J}{2}\sum_{(i,j)} s_i s_j </math>

=Simulação Monte Carlo=

A abordagem utilizada para simular por Monte Carlo um sistema seguindo o modelo de Potts com <math>q</math> pequeno é, naturalmente, similar àquela utilizada para o modelo de Ising: seguindo o algoritmo de Metropolis. Entretanto para valores mais elevados de <math>q</math> esse algoritmo se torna ineficiente e o sistema demora um tempo muito longo para entrar em equilíbrio térmico.

==Eficiência do algoritmo de Metropolis==

Para entender porque o algoritmo de Metropolis não é otimo para uma simulação Monte Carlo de um sistema seguindo o modelo de Potts, devemos relembrar como ele resolve o problema de amostragem por importância.

As condições necessárias para a amostragem por importância são:

* Ergodicidade: a garantia de que qualquer estado do sistema é acessível à partir de qualquer outro estado dado um comprimento suficientemente grande da cadeia de Markov.
* Balanço detalhado: a garantia de que a cadeia de Markov de matriz estocástica <math>P(\mu \rightarrow \nu)</math> vai convergir, quando o sistema atingir o equilíbrio térmico, para uma dada distribuição <math>{p_\mu}</math>.
<math>p_\mu P(\mu \rightarrow \nu) = p_\nu P(\nu \rightarrow \mu)</math>

No caso do ensemble canônico essa distribuição é a distribuição de Boltzmann

<math>p_\mu = \frac{1}{Z}e^{-\beta E_\mu}</math>

onde <math>Z</math> é a função de partição e <math>\beta = \frac{1}{k_B T}</math> é o inverso da temperatura.

Considerando a probabilidade de transição de estado <math>P(\mu \rightarrow \nu)</math> como o produto de uma probabilidade de seleção de um novo estado <math>g(\mu \rightarrow \nu)</math> (a probabilidade de considerar <math>\nu</math> como o próximo estado na cadeia dado o estado atual <math>\mu</math>) e uma probabilidade de aceitação de transição <math>A(\mu \rightarrow \nu)</math>

<math>P(\mu \rightarrow \nu) = g(\mu \rightarrow \nu)A(\mu \rightarrow \nu)</math>

o algoritmo de Metropolis atribui um valor fixo e uniforme para a probabilidade de seleção

<math>g(\mu \rightarrow \nu) = \frac{1}{N}, \quad \forall \mu, \nu</math>

que claramente garante a ergodicidade, restando apenas uma condição sobre os valores das probabilidades de aceitação:

<math>\frac{A(\mu \rightarrow \nu)}{A(\nu \rightarrow \mu)} = \frac{p_\nu}{p_\mu} = e^{\beta (E_\nu - E_\mu)}</math>

que é satisfeita com a seguinte lei de seleção:

<math> A(\mu \rightarrow \nu) = \begin{cases}
e^{-\beta(E_\nu - E_\mu)}, \quad \text{se } E_\nu > E_\mu \\
1, \quad \text{caso contrario}
\end{cases}</math>

[[Arquivo:ExemploPottsMetropolis1.png|thumb|upright=1.2|right|Exemplo: rede bidimensional retangular com <math>q=100</math>. Um spin cercado por vizinhos de valores diferentes, a probabilidade de o sistema trocar para um estado de menor energia é <math>4/100=4%</math>, logo teremos que esperar em média <math>25</math> passos para a simulação avançar.]]

O problema desse algoritmo para um modelo como o de Potts, que admite um número elevado de estados possíveis para o spin, é evidenciado quando consideramos um sistema a baixas temperaturas. Para altas temperaturas, a probabilidade de aceitação é unitária ou suficientemente alta por conta de um <math>\beta</math> pequeno tornando o algoritmo eficiente. Entretanto a baixas temperaturas, os spins tendem a se alinhar com seus vizinhos constituindo o fenômeno do ferromagnetismo. Se imaginarmos um spin no estado <math>s_i</math> cercado por vizinhos de valores diferentes, seguindo o algoritmo de Metropolis, seja qual for o valor <math>s_i'</math> selecionado uniformemente para o novo estado desse spin a probabilidade de aceitação é <math>A(\mu \rightarrow \nu) = 1</math> pois essa troca de spin vai diminuir a energia do sistema (quando <math>s_i'</math> for estado de um spin vizinho) ou, no máximo, manter constante a energia do sistema (<math>s_i'</math> continua sendo diferente de todos os spins vizinhos). Com isso, temos uma probabilidade <math>\frac{z}{q}</math> de o sistema trocar para um estado de menor energia, onde <math>z</math> é número de coordenação da rede, aumentando muito o tempo necessário para o sistema entrar em equilíbrio.

De maneira similar, se um spin tem o mesmo estado de um de seus vizinhos, teremos <math>z</math> novos estados <math>\nu</math> com taxa de aceitação unitária enquanto todos outros <math>q-z</math> estados terão uma taxa de aceitação muito baixa (dependendo da temperatura) resultando em uma probabilidade de transição pouco maior que <math>z/q</math>, novamente atrasando a simulação.

==Algoritmo do banho térmico==

Uma solução possível para o problema apresentado é utilizar o algoritmo de banho térmico, que também troca o estado de um spin por vez mas utiliza uma técnica diferente para satisfazer a condição do balanço detalhado. Diferentemente do algoritmo de Metropolis, onde a probabilidade de seleção <math>g(\mu \rightarrow \nu)</math> é uniforme e a probabilidade de aceitação <math>A(\mu \rightarrow \nu)</math> obedece uma dada lei resultando em uma probabilidade de transição <math>P(\mu \rightarrow \nu)</math> que respeita a condição, no algoritmo do banho térmico a taxa de aceitação é unitária

<math>A(\mu \rightarrow \nu) = 1, \quad \forall \mu, \nu</math>

e a taxa de seleção é baseada nos pesos de Boltzmann (peso não nulo inclusive para o estado atual do sistema)

<math>g(\mu \rightarrow \nu) \propto e^{-\beta E_\nu} \propto p_\nu, \quad \forall \mu, \nu</math>

resultando automaticamente numa probabilidade de transição que respeita o balanço detalhado.

Esse algoritmo é muito mais eficiente para sistemas com alto grau de degenerescência, como o modelo de Potts com grau <math>q</math> elevado.

==Testes numéricos==

<math>q=2</math>, rede retangular <math>64\times 64</math> com condições de contorno periódicas a uma temperatura <math>T=2.5\text{J}</math> (<math>k_B=1</math>)

[[Arquivo:Etime-Q2-T2.5-L64.png|thumb|center|700px|Simulação Monte Carlo com <math>q=2</math> (Ising): Energia em função do tempo]]
[[Arquivo:Mtime-Q2-T2.5-L64.png|thumb|center|700px|Simulação Monte Carlo com <math>q=2</math> (Ising): Magnetização em função do tempo]]

Para o modelo de Ising a altas temperaturas, o algoritmo de Metropolis tem uma pequena vantagem, mas para ambos os casos o sistema acaba termalizando em aproximadamente <math>20\text{ MCSweeps}</math> (para uma rede com <math>N</math> spins, <math>1\text{ MCSweep}</math> é equivalente a <math>N</math> passos Monte Carlo, isto é, evolução suficiente para dar a todos os spins uma chance de trocar de estado).

<math>q=2</math>, rede retangular <math>64\times 64</math> com condições de contorno periódicas a uma temperatura <math>T=0.8\text{J}</math> (<math>k_B=1</math>)

[[Arquivo:Etime-Q2-T0.8-L64.png|thumb|center|700px|Simulação Monte Carlo com <math>q=2</math> (Ising): Energia em função do tempo]]
[[Arquivo:Mtime-Q2-T0.8-L64.png|thumb|center|700px|Simulação Monte Carlo com <math>q=2</math> (Ising): Magnetização em função do tempo]]

=Códigos utilizados=
[https://github.com/drfreeman816/PottsModel Modelo de Potts]

=Referências=

Potts, Renfrey B. (1952). "Some Generalized Order-Disorder Transformations". Mathematical Proceedings.

M. E. J. Newman, G. T. Barkema, "Monte Carlo Methods in Statistical Physics". Oxford University Press Inc., New York, 1999.

Grupo - Modelo de Potts

2018-01-29T13:33:44Z

2018-01-29T12:55:18Z

Eliseuvf: Eliseuvf enviou uma nova versão de "Arquivo:Mtime-Q2-L128-T10.png"

Arquivo:Etime-Q2-L128-T10.png

2018-01-29T12:55:06Z

Eliseuvf: Eliseuvf enviou uma nova versão de "Arquivo:Etime-Q2-L128-T10.png"

Arquivo:Mtime-Q2-L128-T10.png

2018-01-29T12:39:13Z

Eliseuvf:

2018-01-29T01:26:46Z

Eliseuvf: /* Relação com o modelo de Ising */

Originalmente descrito por Renfrey Potts em 1951 na sua tese de doutorado, esse modelo é uma generalização do modelo de Ising para a interação entre spins em uma rede cristalina.

=Descrição do modelo=
No modelo de Potts a <math>q</math> estados são considerados <math>N</math> spins <math>s_i</math> dispostos em uma rede, geralmente bidimesnsional retangular, cada spin podendo estar em um dos <math>q</math> estados possíveis.

O Hamiltoniano desse sistema é

<math>H_p = -J \sum_{(i,j)} \delta(s_i,s_j) </math>

onde <math>J</math> é a constante de acoplamento que determina a intensidade da interação, <math>\delta(s_i,s_j)</math> é a função delta de Kronecker que retorna <math>1</math> se <math>s_i=s_j</math> e retorna <math>0</math> para todos os outros casos, e o somatório considera somente os pares <math>(i,j)</math> de spins vizinhos.

No caso ferromagnético, <math>J>0</math>, o nível fundamental de energia possui uma degenerescência igual a <math>q</math>, correspondendo aos valores possíveis para todos os spins alinhados.

==Relação com o modelo de Ising==

É importante notar que para <math>q=2</math> o modelo de Potts é equivalente ao modelo de Ising com constante de acoplamento <math>\frac{J}{2}</math> a menos de uma constante aditiva <math>\sum_{(i,j)}\frac{J}{2}</math> no Hamiltoniano.

<math>H_I = H_p + \sum_{(i,j)}\frac{J}{2} = -J\sum_{(i,j)} \delta(s_i,s_j) + \sum_{(i,j)}\frac{J}{2} = -\frac{J}{2}\sum_{(i,j)} (2\delta(s_i,s_j) - 1) </math>

nesse caso os spins <math>s_i</math> e <math>s_j</math> tem apenas dois valores possíveis e

<math> 2\delta(s_i,s_j) - 1 = \begin{cases}
1, \quad \text{se } s_i = s_j \\
-1, \quad \text{se } s_i \neq s_j
\end{cases}</math>

logo considerando como valores possíveis para os spins <math>\{s_i,s_j\}</math> como <math>-1</math> ou <math>1</math> encontramos

<math>H_I = H_p + \sum_{(i,j)}\frac{J}{2} = -\frac{J}{2}\sum_{(i,j)} s_i s_j </math>

=Simulação Monte Carlo=

A abordagem utilizada para simular por Monte Carlo um sistema seguindo o modelo de Potts com <math>q</math> pequeno é naturalmente similar àquela utilizada para o modelo de Ising, seguindo o algoritmo de Metropolis. Entretanto para valores mais elevados de <math>q</math> esse algoritmo se torna ineficiente e o sistema demora um tempo muito longo para entrar em equilíbrio térmico.

==Eficiência do algoritmo de Metropolis==

Para entender porque o algoritmo de Metropolis não é otimo para uma simulação Monte Carlo de um sistema seguindo o modelo de Potts devemos nos lembrar como ele resolve o problema de amostragem por importância.

As condições necessárias para a amostragem por importância são:

* Ergodicidade: a garantia de que qualquer estado do sistema é acessível à partir de qualquer outro estado dado um comprimento suficientemente grande da cadeia de Markov.
* Balanço detalhado: a garantia de que a cadeia de Markov de matriz estocástica <math>P(\mu \rightarrow \nu)</math> vai convergir, quando o sistema atingir o equilíbrio térmico, para uma dada distribuição <math>{p_\mu}</math>.
<math>p_\mu P(\mu \rightarrow \nu) = p_\nu P(\nu \rightarrow \mu)</math>

No caso do ensemble canônico essa distribuição é a distribuição de Boltzmann

<math>p_\mu = \frac{1}{Z}e^{-\beta E_\mu}</math>

onde <math>Z</math> é a função de partição e <math>\beta = \frac{1}{k_B T}</math> é o inverso da temperatura.

Considerando a probabilidade de transição de estado como o produto de uma probabilidade de seleção de um novo estado <math>g(\mu \rightarrow \nu)</math>, a probabilidade de considerar <math>\nu</math> como o próximo estado na cadeia dado o estado atual <math>\mu</math>, e uma probabilidade de aceitação de transição <math>A(\mu \rightarrow \nu)</math>

<math>P(\mu \rightarrow \nu) = g(\mu \rightarrow \nu)A(\mu \rightarrow \nu)</math>

o algoritmo de Metropolis atribui um valor fixo e uniforme para a probabilidade de seleção

<math>g(\mu \rightarrow \nu) = \frac{1}{N} \quad \forall \mu, \nu</math>

que claramente garante a ergodicidade, restando apenas uma condição sobre os valores das probabilidades de aceitação:

<math>\frac{A(\mu \rightarrow \nu)}{A(\nu \rightarrow \mu)} = \frac{p_\nu}{p_\mu} = e^{\beta (E_\nu - E_\mu)}</math>

que é satisfeita com a seguinte lei de seleção:

<math> A(\mu \rightarrow \nu) = \begin{cases}
e^{-\beta(E_\nu - E_\mu)}, \quad \text{se } E_\nu > E_\mu \\
1, \quad \text{caso contrario}
\end{cases}</math>

[[Arquivo:ExemploPottsMetropolis1.png|thumb|upright=1.2|right|Exemplo: rede bidimensional retangular com <math>q=100</math>. Um spin cercado por vizinhos de valores diferentes, a probabilidade de o sistema trocar para um estado de menor energia é <math>4/100=4%</math>, logo teremos que esperar em média <math>25</math> passos para a simulação avançar.]]

O problema desse algoritmo para um modelo como o de Potts que admite um número elevado de estados possíveis para o spin é evidenciado quando consideramos um sistema à baixa temperatura. Para altas temperaturas a probabilidade de aceitação é igual à <math>1</math> ou suficientemente alta por conta de um <math>\beta</math> pequeno tornando algoritmo eficiente, entretanto à baixa temperatura os spins tendem à se alinhar com seus vizinhos constituindo o fenômeno do ferromagnetismo. Se imaginarmos um spin no estado <math>s_i</math> cercado por vizinhos de valores diferentes, seguindo o algoritmo de Metropolis, seja qual for o valor <math>s_i'</math> selecionado uniformemente para o novo estado desse spin a probabilidade de aceitação é <math>A(\mu \rightarrow \nu) = 1</math> pois essa troca de spin vai diminuir a enrgia do sistema (quando <math>s_i'</math> for estado de um spin vizinho) ou no máximo manter constante a energia do sistema (<math>s_i'</math> continua sendo diferente de todos os spins vizinhos). Com isso, temos um probabilidade de o sistema trocar para um estado de menor energia de <math>\frac{N_v}{q}</math>, onde <math>N_v</math> é número de vizinhos mais próximos de cada spin, aumentando muito o tempo necessário para o sistema entrar em equilíbrio.

De maneira similar, se um spin tem o mesmo estado de um de seus vizinhos teremos <math>N_v</math> novos estados <math>\nu</math> com taxa de aceitação unitária enquanto todos outros <math>q-N_v</math> estados terão uma taxa de aceitação muito baixa (dependendo da temperatura) resultando em uma probabilidade de transição pouco maior que <math>N_v/q</math> novamente atrasando a simulação.

==Algoritmo do banho térmico==

Uma solução possível para o problema apresentado é utilizar o algoritmo de banho térmico que também troca o estado de um spin por vez mas utiliza uma técnica diferente para satisfazer a condição do balanço detalhado. Diferentemente do algoritmo de Metropolis onde a probabilidade de seleção <math>g(\mu \rightarrow \nu)</math> é uniforme e a probabilidade de aceitação <math>A(\mu \rightarrow \nu)</math> obedece uma lei que resulta em uma probabilidade de transição <math>P(\mu \rightarrow \nu)</math> que respeita a condição, no algoritmo do banho térmico a taxa de aceitação é unitária

<math>A(\mu \rightarrow \nu) = 1 \quad \forall \mu, \nu</math>

e a taxa de seleção é baseado nos pesos de Boltzmann (peso não nulo inclusive para o estado atual do sistema)

<math>g(\mu \rightarrow \nu) \propto e^{-\beta E_\nu} \propto p_\nu \quad \forall \mu, \nu</math>

resultando automaticamente numa probabilidade de transição que respeita o balanço detalhado.

Esse algoritmo é muito mais eficiente para sistemas com alto grau de degenerescencia como o modelo de Potts com grau <math>q</math> elevado.

=Códigos utilizados=
[https://github.com/drfreeman816/PottsModel Modelo de Potts]

=Referências=

Potts, Renfrey B. (1952). "Some Generalized Order-Disorder Transformations". Mathematical Proceedings.

M. E. J. Newman, G. T. Barkema, "Monte Carlo Methods in Statistical Physics". Oxford University Press Inc., New York, 1999.