[[Imagem:Neville.png]]

Aqui é descrito um possível mapeamento para fazer o algoritmo de Neville, são descritas as fórmulas do algoritmo de Neville e seu correspondente mapeamento.

Algoritmo de Neville:

P_{12} = \frac{1}{x_1 - x_2}[(x - x_2)P_{11} - (x - x_1)P_{22}]
Olhando em termos da matriz:

A_{12} = P_{12} = \frac{1}{X[1] - X[2]}[(x-X[2])A_{11} - (x-X[1])P_{22}].
Algoritmo de Neville:

P_{23} = \frac{1}{x_2 - x_3}[(x-x_3)P_{22} - (x - x_2)P_{33}]
Mapeamento:

A_{22} = P_{23} = \frac{1}{X[2] - X[3]}[(x-X[3])A_{21} - (x - X[2])A_{31}]
A. N.:

P_{34} = \frac{1}{x_3 - x_4}[(x-x_4)P_{33} - (x-x_3)P_{44}]
M.:

A_{32} = P_{34} = \frac{1}{X[3] - X[4]}[(x-X[4])A_{31} - (x-X[3])A_{41}]

Já é possível notar que

A_{ij} = \frac{1}{X[i] - X[k]}[(x - X[k])A_{i,j-1} - (x - X[i])A_{i+1,j-1}], k=j+i-1
Continuando com o A. N.:

P_{123} = \frac{1}{x_1 - x_3}[(x-x_3)P_{12} - (x-x_1)P_{23}]
M.:

A_{13} = P_{123} = \frac{1}{X[1] - X[3]}[(x-X[3])A_{12} - (x-X[1])A_{22}]
A. N.:

P_{234} = \frac{1}{x_2-x_4}[(x-x_4)P_{23} - (x-x_3)P_{34}]
M.:

A_{23} = P_{234} = \frac{1}{X[2]-X[4]}[(x-X[4])A_{22} - (x-X[3])A_{32}]
A. N.:

P_{1234} = \frac{1}{x_1 - x_4}[(x-x_4)P_{123} - (x-x_1)P_{234}]
M.:

A_{14} = P_{1234} = \frac{1}{X[1] - X[4]}[(x-X[4])A_{13} - (x-X[1])A_{23}]
Chegando finalmente a relação de recorrencia

A_{ij} = \frac{1}{X[i] - X[k]}[(x - X[k])A_{i,j-1} - (x - X[i])A_{i+1,j-1}]
onde

k = j + i − 1
No final do processo, o polinômio interpolador é dado por

P(x) = A14.
A leitura dos pontos é dado pelos valores de X e da primeira coluna da matriz A.

X,Y \rightarrow X[i],A[i][1]
A ordem do preenchimento é fundamental:

j=1;\, i=1,2,3,4
j=2;\, i=1,2,3
j=3;\, i=1,2
j=4;\, i=1
j=1...N; \, i=1...(N-j+1)

Fórmula de Lagrange

2011-10-25T10:47:19Z

Ejagnes:

== Polinômios de Lagrange ==

Baseado no fato de que sobre <math>N</math> pontos <math>(X_1,Y_1), (X_2,Y_2), \cdots, (X_N,Y_N)</math> passa um ''único'' polinômio de grau <math>N-1</math>, o '''Polinômio de Lagrange''' pode ser usado como fórmula de interpolação ou extrapolação:

<math>
P(x)=\sum_{i=1}^N Y_i L_i(x)
</math>

onde

<math>
L_i(x)=\prod_{j=1,j\ne i}^N\frac{x-X_j}{X_i-X_j}=\frac{x-X_1}{X_i-X_1}\cdots\frac{x-X_{i-1}}{X_i-X_{i-1}}
\frac{x-X_{i+1}}{X_i-X_{i+1}}\cdots\frac{x-X_N}{X_i-X_N}
</math>

é um polinômio de grau <math>\;N-1</math> em <math>\;x</math>.
Tendo em vista que <math>L_i(X_j)=\delta_{i,j}\;,</math> onde o delta de Kronecker

<math>\delta_{ij} = \left\{\begin{matrix}
1, & \mbox{se } i=j \\
0, & \mbox{se } i \ne j \end{matrix}\right.
</math>

é fácil verificar que, de fato,<math>\;P(X_i)=Y_i</math>. Assim,<math>\;P(x)</math> pode ser empregado para se estimar o valor de <math>\;Y(x)</math> em pontos <math>\;x</math> não tabulados.

== Exemplo 1 ==

[[Image:lagrangen2.png|right|frame|Fórmula de Lagrange para N=2.]]

Para exemplificar a fórmula de Lagrange, consideramos primeiramente uma reta que passa pelos pontos <math>(X_1,Y_1) = (1,9)</math> e <math>(X_2,Y_2) = (2,13)</math>, tendo assim <math>N = 2</math>. Aplicando a fórmula de Lagrange, temos

:<math>L_1 = \frac{x-X_2}{X_1-X_2} = \frac{x-2}{1-2} = -(x-2)</math>
e
:<math>L_2 = \frac{x-X_1}{X_2-X_1} = \frac{x-1}{2-1} = (x-1)</math>,
assim, o polinômio de Lagrange que passa pelos pontos desejados é dado por:
:<math>P(x)=\sum_{i=1}^N Y_i L_i(x) = Y_1L_1 + Y_2L_2 = 9(-x+2) + 13(x-1) = 4x + 5 </math>.

Note que substituindo na equação acima, <math>P(1) = 9</math> e <math>P(2) = 13</math>.

== Exemplo 2 ==

[[Image:lagrangen3.png|right|frame|Fórmula de Lagrange para N=3.]]

Verificando a fórmula de Lagrange para <math>N = 3</math>. Suponhamos que desejamos encontrar qual é o polinômio que passa pelos pontos <math>(X_1,Y_1) = (2,4)</math>, <math>(X_2,Y_2) = (3,9)</math> e <math>(X_3,Y_3) = (6,36)</math>. Temos que:

:<math>L_1 = \left(\frac{x-X_2}{X_1-X_2}\right) \left(\frac{x-X_3}{X_1-X_3}\right) = \left(\frac{x-3}{2-3}\right) \left(\frac{x-6}{2-6}\right) = \frac{x^2-9x+18}{4}</math>,

:<math>L_2 = \left(\frac{x-X_1}{X_2-X_1}\right) \left(\frac{x-X_3}{X_2-X_3}\right) = \left(\frac{x-2}{3-2}\right) \left(\frac{x-6}{3-6}\right) = -\frac{x^2-8x+12}{3}</math>

e

:<math>L_3 = \left(\frac{x-X_1}{X_3-X_1}\right) \left(\frac{x-X_2}{X_3-X_2}\right) = \left(\frac{x-2}{6-2}\right) \left(\frac{x-3}{6-3}\right) = \frac{x^2-5x+6}{12}</math>,

assim

:<math>P(x)=\sum_{i=1}^N Y_i L_i(x) = Y_1L_1 + Y_2L_2 + Y_3L_3 = 4\frac{x^2-9x+18}{4} - 9\frac{x^2-8x+12}{3} + 36\frac{x^2-5x+6}{12} = x^2 </math>.

== Exemplo 3 ==

Para ilustrar graficamente o método da fórmula de Lagrange, usaremos um exemplo com <math>N=4</math>. Considerando os quatro pontos <math>(X_1,Y_1) = (-1,5)</math>, <math>(X_2,Y_3) = (1,2)</math>, <math>(X_3,Y_3) = (-3,5)</math> e <math>(X_4,Y_4) = (7,4)</math>, as equações <math>L_i</math> ficam

:<math>L_1 = -\frac{1}{64}(x^3-11x^2+31x-21)</math>,

:<math>L_2 = \frac{1}{24}(x^3-9x^2+11x+21)</math>,

:<math>L_3 = -\frac{1}{32}(x^3-7x^2-x+7)</math>

e

:<math>L_4 = \frac{1}{192}(x^3-3x^2-x+3)</math>.

O gráfico abaixo mostra os quatro pontos <math>(X_i,Y_i)</math>, as curvas <math>L_iY_i</math> e a curva final <math>P(x)</math>. Lembre-se que <math>P(x)</math> é a curva gerada pela soma dos polinômios <math>L_iY_i</math>. Note que a curva <math>L_1Y_1</math> passa pelo ponto <math>(X_1,Y_1)</math>, assim como as demais e a curva <math>P(x)</math> passa por todos os pontos.

[[Imagem:lagrange.png|800px]]

== Numericamente ==

Na prática, a implementação numérica do polinômio de Lagrange é complicada.
Computacionalmente não é possível fazer um programa geral para interpolação de ordem arbitrária, isto é fazer um programa que, com os N pontos de entrada <math>{X_i,Y_i}</math>, devolva um polinômio <math>P(x)</math> interpolador de grau N. Isto envolve computação simbólica (do tipo utilizada em programas proprietários como o Mathematica, Maple, ou livres como Maxima).
Por outro lado a implementação numérica do método na força bruta envolve um duplo laço de ordem N:
devem ser somados N termos (os <math>L_i(x)</math>) onde cada um deles é construído como um produto de N-1 termos; ao todo <math>N^2</math> cálculos para cada ponto x (isto fica como exercício a partir da fórmula
geral do <math>P(x)</math>).

O Algoritmo de Neville [http://www.physics.utah.edu/~detar/phys6720/handouts/interpolation/interpolation/node4.html], [[Implementação do algoritmo de Neville]], é muito útil na realização desta tarefa.Ao final, veremos que o polinômio interpolador de grau n pode ser reconstruído com polinômios de grau n-1. Este processo gera uma fórmula de recorrência, que é um recurso bastante comum em algoritmos computacionais.

Para deduzirmos esta fórmula de recorrência, começamos aproximando cada intervalo por um valor constante. Podemos representar esta aproximação por
<math>P_1(x)=Y_1,\; P_2(x)=Y_2,\; \cdots\,\; P_N(x)=Y_N</math>.
Melhorando a descrição, empregando agora uma aproximação linear em cada intervalo <math>[X_i,\;X_{i+1}]</math>, denotamos por <math>P_{12}(x),\;P_{23}(x),\; \cdots,\; P_{N-1,N}(x)</math>, onde <math>P_{i,i+1}(x)\;</math>é o polinômio que passa exatamente sobre
<math>(X_i,Y_i)\;</math>e<math>\;(X_{i+1},Y_{i+1})</math>:

<math>
P_{i,i+1}(x)=\frac{x-X_{i+1}}{X_i-X_{i+1}}Y_i+\frac{x-X_i}{X_{i+1}-X_i}Y_{i+1}\;.
</math>

Vemos que <math>P_{i, i+1}(x)\;</math>pode ser escrito como:

<math>
P_{i,i+1}(x)=\frac{(x-X_{i+1})P_i(x)-(x-X_i)P_{i+1}(x)}{X_i-X_{i+1}}
</math>

Isto sugere que há uma relação entre os polinômios de ordem <math>\;n</math> com os de ordem <math>\;n+1</math>.
Para verificar isto, vamos considerar, agora, uma parábola passando exatamente sobre
<math>(X_i,Y_i)\;,(X_{i+1},Y_{i+1})</math> e<math>\;(X_{i+2},Y_{i+2})</math>, que denotaremos por,<math>\;P_{i,i+1,i+2}(x)</math>:

<math>
P_{i,i+1,i+2}(x)=\frac{x-X_{i+1}}{X_i-X_{i+1}}\frac{x-X_{i+2}}{X_i -X_{i+2}}Y_i
+\frac{x-X_i}{X_{i+1}-X_i}\frac{x-X_{i+2}}{X_{i+1}-X_{i+2}}Y_{i+1}
+\frac{x-X_i}{X_{i+2}-X_i}\frac{x-X_{i+1}}{X_{i+2}-X_{i+1}}Y_{i+2}
</math>

Fatorando <math>\;1/(X_i-X_{i+2})</math> e somando e subtraindo <math>\frac{x-X_i}{X_{i+1}-X_i}(x-X_{i+2})Y_{i+1}</math>, obtemos:

<math>
P_{i,i+1,i+2}(x) =\frac{1}{X_i-X_{i+2}}\left[(x-X_{i+2})P_{i,i+1}(x)
-F(x)\right]
</math>

onde

<math>
F(x)=(x-X_i)\left[\frac{x-X_{i+1}}{X_{i+2}-X_{i+1}}Y_{i+2}
-\frac{X_i-X_{i+2}}{X_{i+1}-X_i}\frac{x-X_{i+2}}{X_{i+1}-X_{i+2}}Y_{i+1}
+\frac{x-X_{i+2}}{X_{i+1}-X_i}Y_{i+1}\right]\;.
</math>

Note que o último termo desta expressão corresponde àquele que foi subtraído após seu termo de sinal contrário ter
sido somado à expressão que levou a<math>\;P_{i,i+1}(x)</math> na equação para<math>\;P_{i,i+1,i+2}(x)</math>.
Rearranjando os termos acima, encontramos:

<math>
F(x)=(x-X_i)\left[\frac{x-X_{i+2}}{X_{i+1}-X_{i+2}}Y_{i+1}+\frac{x-X_{i+1}}{X_{i+2}-X_{i+1}}Y_{i+2}\right]
=(x-X_i)P_{i+1,i+2}(x)\;.
</math>

Substituindo este resultado na equação para<math>\;P_{i,i+1,i+2}(x)</math>, obtemos finalmente:

<math>
P_{i,i+1,i+2}(x) =\frac{1}{X_i-X_{i+2}}\left[(x-X_{i+2})P_{i,i+1}(x)
-(x-X_i)P_{i+1,i+2}(x)\right]
</math>

Assim, notamos que, de fato, há uma relação de recorrência bastante simples entre os polinômios que envolvem
<math>\;n</math> e <math>\;n+1</math> pontos, cuja forma geral é dada por:

<math>
P_{i,i+1,\cdots,i+k}(x) =\frac{1}{X_i-X_{i+k}}\left[(x-X_{i+k})P_{i,i+1,\cdots,i+k-1}(x)
-(x-X_i)P_{i+1,i+2,\cdots,i+k}(x)\right]
</math>

Por ser muito mais simples de se implementar numericamente do que a expressão original para <math>\;P(x)</math>,
é esta relação de recorrência que é, de fato, utilizada em cálculos numéricos. Os erros cometidos podem ser estimados calculando-se as diferenças entre as diferentes ordens do polinômio:

<math>
D^{(1)}_{k,i}(x)=P_{i,i+1,\cdots,i+k}(x)-P_{i,i+1,\cdots,i+k-1}(x)
</math>

e

<math>
D^{(2)}_{k,i}(x)=P_{i,i+1,\cdots,i+k}(x)-P_{i+1,i+2,\cdots,i+k}(x)\;.
</math>

Ao invés de se gerar <math>\;P(x)</math> a partir da relação de recorrência para <math>P_{i,i+1,\cdots,i+k}(x)</math>, pode-se utilizar as equações acima e obter relações de recorrência para <math>\;D^{(1)} \mbox{ e } D^{(2)}</math>. No final, obtemos <math>\;P(x)</math> a partir destas quantidades. Este desenvolvimento é deixado como exercício.

É importante notar que em nenhum ponto da discussão foi evocada a necessidade dos pontos <math>\;\{X_i\}</math> serem igualmente espaçados. Portanto, as fórmulas apresentadas aqui podem ser aplicadas em situações bastante gerais.

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Como discutido na seção [[Interpolação e extrapolação]], é desaconselhável o uso de polinômios de grau elevado. Por isto, apenas um pequeno subconjunto dos valores tabulados, nas vizinhanças do ponto de interesse <math>\;X</math>, deve ser empregado.
Por exemplo, digamos que temos uma tabela com 100 pontos <math>\;\{(X_i,Y_i)\}</math>. Se desejamos estimar o valor de <math>\;Y</math> no interior da região <math>[X_1,\; X_N]</math>, ao invés de construir um polinômio de grau 99, podemos, por exemplo, dividir o espaço em 25 sub-regiões e usar polinômios cúbicos em cada uma delas,
utilizando apenas <math>(X_{i-1},Y_{i-1}),\; (X_i,Y_i),\; (X_{i+1},Y_{i+1})</math> e<math>\;(X_{i+2},Y_{i+2})</math>.

Contudo, devemos notar que, embora a interpolação seja contínua nas interfaces das regiões, a continuidade das derivadas 1a e 2a não é garantida. Em situações em que estas propriedades importam, outras aproximações devem ser adotadas (veja, por exemplo, [[Spline cúbico]]).

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Arquivo:Bisseccao.png

2011-10-18T15:10:03Z

Ejagnes:

Arquivo:Newtoniteration.gif

2011-10-18T15:09:27Z

Ejagnes:

2011-10-18T14:57:22Z

Ejagnes:

Arquivo:Minquadlinear.png

2011-10-18T14:57:07Z

Ejagnes:

Mínimos Quadrados

2011-10-18T14:56:23Z

Ejagnes:

Este o nome que se da ao ajuste ou ''fitting'' de uma função (polinômio) a um conjunto de dados.

Se <math>(X_i, Y_i)</math> com <math>i=1, N</math> representam o conjunto de dados (N) obtidos de um experimento (instrumento) ou
de uma observação (por exemplo, em pesquisa de opinião ou censo) ou de uma simulação numérica.
E se suspeitamos que existe uma correlação entre os X (variável independente ou de entrada, controlada pelo experimento)
e os Y (cuja dependência com X queremos testar), primeiro colocamos os pontos num gráfico para ver se o conjunto forma
uma nuvem dispersa (quando não existe correlação aparente, isto é X e Y não conformam uma função), ou se existe
correlação (os pontos parecem estar sobre alguma curva). 

=Equação linear=

[[Image:minquadlinear.png|right|frame|Exemplo de ajuste linear para um conjunto de pontos.]]

Sendo que um experimento foi realizado e temos <math>N</math> pontos, como descrito acima, e consideramos que um ajuste linear é coerente, uma reta deve ser construída para melhor representar estes pontos. Como mostrado na figura a baixo, para cada ponto, teremos um erro <math>\epsilon_i</math>, que é definido como a distância entre o ponto experimental e a curva (reta neste caso) teórica que desejamos ajustar, ou seja,

:<math>\epsilon_i = Y_i - f(X_i)</math> ,

onde



:<math>f(x) = \alpha_0 + \alpha_1x </math>

é a função que representa a curva de melhor ajuste.

Para encontrar a reta que melhor se ajusta aos dados experimentais, desejamos minimizar o erro <math>\epsilon</math>. Como o erro pode ter tanto valores negativos quanto positivos, o que importa é minimizar o valor absoluto de <math>\epsilon_i</math>. Isto poderia ser feito minimizando módulo de <math>\epsilon_i</math>, mas como a função módulo tem uma descontinuidade, é mais fácil minimizar o quadrado do erro. Para isto, definimos:

:<math>S = \sum_{i=1}^N \epsilon_i^2</math>,
assim
:<math>S = \sum_{i=1}^N [Y_i - f(X_i)]^2 = \sum_{i=1}^N [Y_i - f(X_i;\alpha_0,\alpha_1)]^2 </math>.

Para obter a melhor reta que se ajusta aos dados experimentais, temos que minimizar <math>S</math> em relação às constantes da função <math>(\alpha_0,\alpha_1)</math>:

:<math>\frac{\partial S}{\partial \alpha_i} = 0</math>.

Como a reta possui apenas dois coeficientes, para o ajuste linear temos duas equações:

:<math>\frac{\partial S}{\partial \alpha_0} = \frac{\partial}{\partial \alpha_0}\sum_{i=1}^N [Y_i - (\alpha_0 + \alpha_1X_i)]^2 = 0</math>
e
:<math>\frac{\partial S}{\partial \alpha_1} = \frac{\partial}{\partial \alpha_1}\sum_{i=1}^N [Y_i - (\alpha_0 + \alpha_1X_i)]^2 = 0</math> .

Derivando as equações acima, temos que

:<math>\sum_{i=1}^N Y_i - \sum_{i=1}^N \alpha_0 - \sum_{i=1}^N \alpha_1X_i = 0</math>
e
:<math>\sum_{i=1}^N Y_iX_i - \sum_{i=1}^N \alpha_0X_i - \sum_{i=1}^N \alpha_1X_i^2 = 0</math> .

Assim,

:<math>\alpha_0\underbrace{\sum_{i=1}^N 1}_N + \alpha_1\underbrace{\sum_{i=1}^N X_i}_X = \underbrace{\sum_{i=1}^N Y_i}_Y </math>
e
:<math>\alpha_0\underbrace{\sum_{i=1}^N X_i}_X + \alpha_1\underbrace{\sum_{i=1}^N X_i^2}_{X^2} = \underbrace{\sum_{i=1}^N Y_iX_i}_{YX}</math> .

Lembre-se de que os valores <math>X_i</math> e <math>Y_i</math> são conhecidos (são dados do problema). Desse modo, terminamos com um sistema linear para resolver, que na notação matricial fica

:<math>\begin{pmatrix}N & X \\ X & X^2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_0 \\ \alpha_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} Y \\ YX \end{pmatrix}</math> .

Cuidado com o fato que <math>(X^2 \neq X*X)</math> e <math>(YX \neq Y*X)</math>. Após construir a matriz, resolva com o método que mais lhe agrade (ha diversos métodos de solução de sistemas lineares, tais como a Regra de Cramer ou a eliminação Gaussiana).

=Equação quadrática=

[[Image:minquadquadratico.png|right|frame|Exemplo de ajuste quadrático para um conjunto de pontos.]]

Utilizando o mesmo método descrito para um ajuste linear, considerando que o melhor ajuste para um conjunto de pontos seja uma curva proveniente de função quadrática, temos que a função é dada por

:<math>f(x) = \alpha_0 + \alpha_1x + \alpha_2x^2</math> .

Desse modo, a soma do quadrado do erro fica

:<math>S = \sum_{i=1}^N \epsilon_i^2 = \sum_{i=1}^N [Y_i - (\alpha_0 + \alpha_1X_i + \alpha_2X_i^2)]^2</math>.

Após algumas contas, como feito na seção anterior, temos o sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas para resolver:

:<math>\begin{pmatrix} N & X & X^2 \\ X & X^2 & X^3 \\ X^2 & X^3 & X^4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_0 \\ \alpha_1 \\ \alpha_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} Y \\ YX \\ YX^2 \end{pmatrix} </math> .

Fique atento ao fato de que

:<math>X = \sum_{i=1}^N X_i\, , \, Y = \sum_{i=1}^N Y_i \, , \, X^2 = \sum_{i=1}^N X_i^2 \, , \, X^3 = \sum_{i=1}^N X_i^3 \, , \, X^4 = \sum_{i=1}^N X_i^4 \, , \, YX = \sum_{i=1}^N Y_iX_i \,\, e \,\, YX^2 = \sum_{i=1}^N Y_iX_i^2</math> .

=Polinômio de grau n=

Generalizando o procedimento acima, apresentado para polinômios de grau 1 e 2, podemos ajustar um conjunto de pontos com um polinômio de um grau específico <math>n</math>. Assim, a função será descrita por

:<math>f(x) = \alpha_0 + \alpha_1x + \alpha_2x^2 + \alpha_3x^3 + ... + \alpha_nx^n</math>

e a soma dos quadrados do erro é dada por

:<math>S = \sum_{i=1}^N \epsilon_i^2 = \sum_{i=1}^N [Y_i - f(X_i;\alpha_0,\alpha_1,...,\alpha_n)]^2</math>.

Ao final do procedimento, teremos um sistema linear de <math>n</math> equações e <math>n</math> incógnitas para resolver. O resultado deste sistema são os coeficientes :<math>\alpha_0, \alpha_1, \alpha_2.. \alpha_n</math> que compõem o polinômio que melhor se ajusta aos dados experimentais.

:<math>\begin{pmatrix}N & X & X^2 & \dots & X^n \\ X & X^2 & X^3 & \dots & X^{n+1} \\ X^2 & X^3 & X^4 & \dots & X^{n+2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \, & \vdots \\ X^n & X^{n+1} & X^{n+2} & \dots & X^{2n}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_0 \\ \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} Y \\ YX \\ YX^2 \\ \vdots \\ YX^n \end{pmatrix}</math>

=Outros tipos de funções=

Dependendo do tipo de experimento, podem haver outras relações entre os pontos, como funções exponenciais.

==Exponencial 1==

Se os dados de um experimento se ajustarem bem a uma função exponencial do tipo:

:<math>f(x) = \alpha_1 e^{-\alpha_2x} \, , \, \, \, \alpha_1\, , \, \alpha_2 > 0 </math> ,

definimos uma nova função :

:<math>f_2(x) = \ln(f(x)) = \ln(\alpha_1 e^{-\alpha_2 x}) = \ln(\alpha_1) - \alpha_2 x</math>.

Assim, recaímos no problema do ajuste linear recém visto:

:<math>f_2(x) = c_1 + c_2x</math>, com <math> c_1 = \ln(\alpha_1) </math> e <math> c_2 = - \alpha_2</math>.

==Exponencial 2==

Se a função exponencial for do tipo:

:<math>f(x) = \alpha_1 \alpha_2^x</math>,

supondo <math>f(x)>0</math>, definimos:

:<math>f_2(x) = \ln(f(x)) = \ln(\alpha_1) + x\ln(\alpha_2)</math>.

Assim, como no caso anterior, voltamos para o problema de ajuste linear:

:<math>f_2(x) = c_1 + c_2x</math>,

com <math> c_1 = \ln(\alpha_1) </math> e <math> c_2=\ln(\alpha_2)</math>.

==Algébrica==

Se a função for do tipo:

:<math>f(x) = \alpha_1 x^{\alpha_2}</math> ,

com <math>f(x)>0</math> e <math>x>0</math>, definimos:

:<math>f_2(x) = \ln(f(x)) = \ln(\alpha_1) + \alpha_2\ln(x)</math>.

e assim

:<math>f_2(x) = c_1 + c_2\ln(x)</math> ,

onde <math>c_1 = \ln(\alpha_1)</math> e <math>c_2 = \alpha_2</math>. Note também que os valores de x devem ser transformados em <math>\ln(x)</math> para ajustar os pontos.

----
=Código FORTRAN=
A seguir vemos uma possível implementação do método em linguagem F90. 
Observem a simplicidade do mesmo:

<pre>
! programa fortran para ajuste linear de conjunto de dados
Implicit none
Real :: xi,yi, x,y,xy,x2
Real :: det,a,b

n = 0; x = 0; y = 0; xy = 0; x2 = 0
Do
Read(*,*,end=100) xi,yi
n = n + 1 ! soma do numero de pontosd
x = x + xi; y = y + yi ! somatorio dos x e y
x2 = x2 + xi**2; xy = xy + xi*y ! somatorio dos x**2 e x*y <- cuidado ha um erro aqui (compila mas ...
End Do

100 det = n*x2 - x**2
a = y*x2 - xy*x / det ! <- outro erro aqui
b = ... / det ! fica como exercicio

print*, 'a=', a, 'b=', b
end
</pre>
=Ajuste ponderado=
Dependendo da situação, convém fazer um ajuste levando em conta o erro associado a cada ponto, i.e., atribuindo maior peso para pontos com um erro baixo e menor peso para os pontos onde o erro é sabidamente maior.Ou seja, se definirmos <math>w_i</math> como o peso associado ao ponto <math>(X_i,Y_i)</math>, gostaríamos que ele seja maior quanto menor for o erro associado a este ponto.
Se <math>S_{y_i}</math> é o erro associado a este ponto, e considerando que o ajuste proposto é tal que minimiza a distância quadrática, podemos definir então <math>w_i</math> como:

<math>w_i=S_{y_i}^{-2}</math>

E a variável <math>\chi</math>, para o cálculo do ajuste ponderado, será dada por:

<math>\chi = \sum_{i=1}^N (Y_i - a - b X_i)^{2}w_i</math>

Aplicando o mesmo procedimento anterior para minimizar <math> \chi </math>, obtemos as equações

:<math> \begin{bmatrix}
a[w] + b[Xw] & = &[Yw] \\
a[Xw] + b[X^2w] & = & [XYw]
\end{bmatrix}</math>

E, portanto, os valores de <math>a</math> e <math>b</math> são:

<math>\Delta = [w][X^2w] - [Xw]^2</math>

<math>a = [Yw][X^2w] - [XYw][Xw] / \Delta</math>

<math>b = [w][XYw] - [Xw][Yw] / \Delta</math>

=Erro dos coeficientes=
Vimos como obter os coeficientes (a e b para uma reta) do ajuste de um conjunto de dados. 
Também como fazer esse ajuste quando os erros na variável dependente y não são todos iguais. 
Mas como saber se esses coeficientes são "bons". Ou seja, que margem de erro eles tem. 
Intuitivamente sabemos que quanto maior seja a dispersão dos <math>y_i</math> em volta
da curva do ajuste, maior será nossa incerteza sobre os coeficientes.

Vamos ver como traduzir isso de forma quantitativa. Voltando as expressões dos coeficientes a e b,
eles são funções de <math>x_i</math> e <math>y_i</math>, onde só os segundos são considerados como
fonte de erro. Assim para ver como o erro neles propaga-se para os coeficientes, escrevemos:

<math>a = a(y_i) \Rightarrow \frac{\partial a}{\partial y_i} = \frac{1}{\Delta} \frac{\partial }{\partial y_i} \left\{[Yw][X^2w] - [XYw][Xw]\right\}</math>

<math>\frac{\partial a}{\partial y_i} = \frac{1}{\Delta}\left\{ w_i[X^2w] - x_i w_i [Xw]\right\}</math>

pois só os termos com y contribuem para a derivada. e como os <math>y_i</math> aparecem somados, ao derivar respeito do i-esimo
sobra apenas o que multiplica ele

Para incluir o efeito do erro de cada y_i deveriamos somar i de 1 a N, mas como o erro pode ser para mais o menos
fazemos uma media quadrática deles:

<math>\Delta a = \sqrt{\sum_{i=1}^N \left( \frac{\partial a}{\partial y_i} \Delta y_i \right)^2}</math>

onde:
<math>\left(\frac{\partial a}{\partial y_i}\Delta y_i \right)^2 = \frac{1}{\Delta^2} \left\{ w_i^2[X^2w]^2 + x_i^2 w_i^2 [Xw]^2 - 2w_i[X^2w] x_i w_i [Xw]\right\}w_i^{-1}</math>

o somatório fica:

<math>\frac{1}{\Delta^2} \sum_{i=1}^N \left(w_i[X^2w]^2 + x_i^2 w_i [Xw]^2 - 2 [X^2w] x_i w_i [Xw]\right) =
\frac{1}{\Delta^2} \left([w][X^2w]^2 + [X^2w][Xw]^2 - 2 [X^2w][Xw][Xw]\right)</math>

e com mais algumas simplificações chegamos a simples relação:

<math>\Delta a = \sqrt{\frac{[X^2w]}{\Delta}}</math>

Analogamente para o b (que resulta ser mais fácil), se chega a:

<math>\Delta b = \sqrt{\frac{[w]}{\Delta}}</math>

Podemos interpretar essa expressões no caso sem ponderar, ou seja quando todos os erros são iguais:

<math>w=1/(\Delta y)^2</math>

:<math>\Rightarrow \Delta = w^2 (N[X^2] - [X]^2)= (w N \sigma)^2</math>

onde <math>\sigma^2 = <x^2> - <x>^2</math>

resultando:

<math>\Delta a = \Delta y \sqrt{\frac{<x^2>}{N\sigma^2}}</math>

<math>\Delta b = \Delta y \sqrt{\frac{1}{N\sigma^2}}</math>

Ou seja quanto maior o número e mais espalhadas no eixo X as medidas melhor

Integração Numérica

2011-10-18T14:18:21Z

Ejagnes: /* Cálculo Numérico */

[[Image:integral.jpg|thumb|right|A integração numérica consiste em achar a aproximação numérica para o valor de <math>S</math>]]

'''Integração numérica''' é um termo amplo que abrange até a integração de equações diferenciais como é discutido
em Métodos Computacionais B. Aqui nos referimos exclusivamente ao cálculo numérico da '''integral definida''':

:<math> S = \int_{a}^{b} f(x) dx</math>

O termo '''definida''', quer dizer que a integral se faz entre limites definidos, no caso '''a''' e '''b'''.

O interesse de fazer esse cálculo numericamente se deve a:

# existência de funções contínuas sem '''primitiva,''' o que inviabiliza a conta analítica.
# funções descontinuas ou definidas por trechos mas para as quais a integral não existe (no fundo é a falta de uma primitiva)
# funções (ou tabelas) provenientes de experimentos
# funções continuas e com primitiva de representação simbólica, porem de difícil avaliação na prática (mais difícil que avaliar a própria função)

== Definição ==

Revisemos o conceito de '''integral''' do cálculo:
A '''integral''' definida de uma função f(x) no intervalo [a, b] se define como:

:<math>S = \int_a^b f(x)\, dx = \lim_{N\to\infty} \sum_{i=0}^{N} f(x_i) \Delta x </math>

A integral de f(x) pode ser entendida como a soma de pequenos retângulos de base dx e altura f(x), onde o produto f(x) dx é a área deste retângulo. 
A soma de todas estas pequenas áreas, ou áreas infinitesimais, fornece a área total abaixo da curva. 
Mais precisamente podemos dizer que a integral acima é o valor limite da soma:
: <math> \sum_{i=0}^{N} f(x_i) \Delta x. </math>
onde:
:<math>\Delta x = \frac{b-a}{N}</math>
é o comprimento dos pequenos intervalos nos quais dividimos o intervalo (b-a), <math>f(x_i)</math>
é o valor da função em algum ponto deste intervalo. 
Quando <math>N \to \infty</math> o valor da soma acima é igual a área abaixo da curva.

A integral também é conhecida como antiderivada:
:<math> \int f(x)dx = F(x) \Leftrightarrow \frac{dF(x)}{dx}= f(x)</math>
Relembremos porque:

== Teorema Fundamental do Cálculo ==

Se resolvermos a integral acima entre os limites ''a'' e ''b'', o resultado pode ser escrito como dependendo só dos extremos:

:<math> S = \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math>

Vamos ver agora como se isso for válido, então F(x) é a primitiva procurada.

Calculando a integral entre <math>x</math> e <math>x + \Delta x</math>:

:<math> \int_{x}^{x+\Delta x} f(x') dx' = F(x + \Delta x) - F(x) </math>

Pela definição da integral entre limites definidos podemos escrevê-la como:

:<math> \int_{x}^{x+\Delta x} f(x') dx' = f(x'') \Delta x = F(x + \Delta x) - F(x) </math>

onde <math> x''</math> é um valor de <math>x</math> entre os extremos do intervalo.

Passando o <math>\Delta x</math> para a direita e tomando o limite quando ele vai para zero:

:<math> \lim_{\Delta x \to 0 } f(x'') = \lim_{\Delta x \to 0 } \frac{ F(x + \Delta x) - F(x) }{ \Delta x } \Rightarrow f(x) = \frac{d}{dx} F(x) </math>

Demonstramos que a derivada de F(x) resulta ser a função f(x) que queremos integrar. Em outras palavras, o '''Teorema fundamental do Cálculo'''
diz que resolver uma integral se resume a achar a ''primitiva'', ou seja uma função cuja derivada seja o integrando.

'''O problema prático é que não todas as funções tem primitiva.'''.
Vejamos então.

== Cálculo Numérico ==

[[Image:Trapezio.png|right|frame|Ilustração da regra do retângulo.]]

[[Image:integrationtrapezio.png|right|frame|Ilustração da regra do trapézio.]]

[[Image:Integrationsimpson.png|right|frame|Ilustração da regra de Simpson.]]

O cálculo numérico de uma integral definida se baseia na própria definição acima.
Com a diferença que N é finito. Obviamente quanto maior, melhor. 
-Temos que pelos retângulos definidos pelo extremo esquerdo de cada subintervalo:
:<math>\int_a^b f(x)\, dx \approx S_e = \sum_{i=0}^{N-1} f(x_i) \Delta x </math>
-E pelos retângulos definidos pelo extremo direito de cada subintervalo:
:<math>\int_a^b f(x)\, dx \approx S_d = \sum_{i=1}^{N} f(x_i) \Delta x </math>

Regra do Trapézio:
:<math>\int_a^b f(x)dx \approx S_t = \sum_{i=0}^{N-1} \frac{f(x_i)+f(x_i+\Delta x)}{2}\Delta x</math>
onde:
:<math>x_i = a + i \Delta x,\;\; \Delta x = \frac{b-a}{N}</math>

Esta última pode ser reescrita como:
:<math>\left(\frac{f(a)+f(b)}{2} + \sum_{i=1}^{N-1} f(x_i)\right)\Delta x</math>

Também pode se verificar que a integral calculada com os trapézios é a média das integrais calculadas com retângulos:
:<math>S_t = (S_e + S_d)/2</math>

Regra de Simpson:

Notemos que o método do trapézio é baseado na ideia de passar uma reta por 2 pontos e aproximar a área da função f(x) pela área sob a curva definida pelo trapézio.

A regra de Simpson é uma extensão disto: a ideia é passar uma parábola por três pontos consecutivos e calcular a área definida por ela. Se tivermos apenas 3 pontos, a integral da parábola que passa entre <math> x_{1} , x_{3}</math> é dada por:

:<math>S= \int_{x_1}^{x_3} f(x) \, dx \approx \frac{x_3-x_1}{6}\left[f(x_1) + 4f\left(\frac{x_1+x_3}{2}\right)+f(x_3)\right]</math>

No entanto, para integrarmos sobre toda o intervalo <math>\left[ x_{1} ; x_{n}\right]</math> com boa precisão, é necessário dividi-lo em N intervalos, com N grande. Assim, é preciso traçar uma parábola a cada três pontos consecutivo e a expressão final da fórmula de Simpson é então a soma da área sob todas as parábolas do intervalo <math>\left[ x_{1} ; x_{n}\right]</math> :

:<math>S= \int_{x_1}^{x_n} f(x)dx \simeq \frac{h}{3}\left[f(x_1)+4f(x_2)+2f(x_3)+4f(x_4)+\ldots+4f(x_{n-1})+f(x_n)\right]</math>,

onde <math> h = (x_{n} - x_{1} )/N </math> .

A dedução da regra de Simpson pode ser encontrada por exemplo em [http://www.math.ist.utl.pt/~calves/courses/integra/capiii33.html].

== Programação ==
A seguir um trecho do programa para cálculo da integral da função f(x) (''external function f(x)'') 
entre a e b com N pontos, usando o método dos retângulos pela esquerda:

<pre>
...
Read*, a, b, N
dx = (b-a)/N; S=0

Do i = 0, N-1
x = a + i*dx
S = S + f(x)
EndDo
Print*, "Integral S=", S*dx
...
</pre>

Os outros métodos se programam de maneira similar mudando limites (índice do laço) 
e/ou tratando de forma diferente os valores das pontas.

== Erro associado ao método numérico ==

O método de integração numérico não retorna o valor exato de uma função, visto que não podemos ter no computador <math>N\to\infty</math>. O erro aqui discutido estará vinculado ao número de divisões <math>N</math> realizada na função <math>f(x)</math> dentro do intervalo que se quer saber o valor da integral. Assim, o erro é definido como

:<math>erro=\frac{Int(N)-Int(N-1)}{Int(N)}</math>,
onde <math>Int(N)</math> é o valor retornado pelo método numérico utilizado utilizando <math>N</math> divisões e <math>Int(N-1)</math> utilizando <math>N-1</math> divisões. Note que um teste simples para verificar quando a resposta está convergindo é aumentar <math>N</math> e calcular o erro a cada incremento no seu valor.

Integração Numérica

2011-10-18T14:16:21Z

Ejagnes: /* Cálculo Numérico */

[[Image:integral.jpg|thumb|right|A integração numérica consiste em achar a aproximação numérica para o valor de <math>S</math>]]

'''Integração numérica''' é um termo amplo que abrange até a integração de equações diferenciais como é discutido
em Métodos Computacionais B. Aqui nos referimos exclusivamente ao cálculo numérico da '''integral definida''':

:<math> S = \int_{a}^{b} f(x) dx</math>

O termo '''definida''', quer dizer que a integral se faz entre limites definidos, no caso '''a''' e '''b'''.

O interesse de fazer esse cálculo numericamente se deve a:

# existência de funções contínuas sem '''primitiva,''' o que inviabiliza a conta analítica.
# funções descontinuas ou definidas por trechos mas para as quais a integral não existe (no fundo é a falta de uma primitiva)
# funções (ou tabelas) provenientes de experimentos
# funções continuas e com primitiva de representação simbólica, porem de difícil avaliação na prática (mais difícil que avaliar a própria função)

== Definição ==

Revisemos o conceito de '''integral''' do cálculo:
A '''integral''' definida de uma função f(x) no intervalo [a, b] se define como:

:<math>S = \int_a^b f(x)\, dx = \lim_{N\to\infty} \sum_{i=0}^{N} f(x_i) \Delta x </math>

A integral de f(x) pode ser entendida como a soma de pequenos retângulos de base dx e altura f(x), onde o produto f(x) dx é a área deste retângulo. 
A soma de todas estas pequenas áreas, ou áreas infinitesimais, fornece a área total abaixo da curva. 
Mais precisamente podemos dizer que a integral acima é o valor limite da soma:
: <math> \sum_{i=0}^{N} f(x_i) \Delta x. </math>
onde:
:<math>\Delta x = \frac{b-a}{N}</math>
é o comprimento dos pequenos intervalos nos quais dividimos o intervalo (b-a), <math>f(x_i)</math>
é o valor da função em algum ponto deste intervalo. 
Quando <math>N \to \infty</math> o valor da soma acima é igual a área abaixo da curva.

A integral também é conhecida como antiderivada:
:<math> \int f(x)dx = F(x) \Leftrightarrow \frac{dF(x)}{dx}= f(x)</math>
Relembremos porque:

== Teorema Fundamental do Cálculo ==

Se resolvermos a integral acima entre os limites ''a'' e ''b'', o resultado pode ser escrito como dependendo só dos extremos:

:<math> S = \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math>

Vamos ver agora como se isso for válido, então F(x) é a primitiva procurada.

Calculando a integral entre <math>x</math> e <math>x + \Delta x</math>:

:<math> \int_{x}^{x+\Delta x} f(x') dx' = F(x + \Delta x) - F(x) </math>

Pela definição da integral entre limites definidos podemos escrevê-la como:

:<math> \int_{x}^{x+\Delta x} f(x') dx' = f(x'') \Delta x = F(x + \Delta x) - F(x) </math>

onde <math> x''</math> é um valor de <math>x</math> entre os extremos do intervalo.

Passando o <math>\Delta x</math> para a direita e tomando o limite quando ele vai para zero:

:<math> \lim_{\Delta x \to 0 } f(x'') = \lim_{\Delta x \to 0 } \frac{ F(x + \Delta x) - F(x) }{ \Delta x } \Rightarrow f(x) = \frac{d}{dx} F(x) </math>

Demonstramos que a derivada de F(x) resulta ser a função f(x) que queremos integrar. Em outras palavras, o '''Teorema fundamental do Cálculo'''
diz que resolver uma integral se resume a achar a ''primitiva'', ou seja uma função cuja derivada seja o integrando.

'''O problema prático é que não todas as funções tem primitiva.'''.
Vejamos então.

== Cálculo Numérico ==

[[Image:Trapezio.png|right|frame|Ilustração da regra do retângulo.]]

[[Image:integrationtrapezio.png|right|frame|Ilustração da regra do trapézio.]]

[[Image:Integrationsimpson.png|right|frame|Ilustração da regra de Simpson.]]

O cálculo numérico de uma integral definida se baseia na própria definição acima.
Com a diferença que N é finito. Obviamente quanto maior, melhor. 
-Temos que pelos retângulos definidos pelo extremo esquerdo de cada subintervalo:
:<math>\int_a^b f(x)\, dx \approx S_e = \sum_{i=0}^{N-1} f(x_i) \Delta x </math>
-E pelos retângulos definidos pelo extremo direito de cada subintervalo:
:<math>\int_a^b f(x)\, dx \approx S_d = \sum_{i=1}^{N} f(x_i) \Delta x </math>

-[[Regra do Trapézio]]:
:<math>\int_a^b f(x)dx \approx S_t = \sum_{i=0}^{N-1} \frac{f(x_i)+f(x_i+\Delta x)}{2}\Delta x</math>
onde:
:<math>x_i = a + i \Delta x,\;\; \Delta x = \frac{b-a}{N}</math>

Esta última pode ser reescrita como:
:<math>\left(\frac{f(a)+f(b)}{2} + \sum_{i=1}^{N-1} f(x_i)\right)\Delta x</math>

Também pode se verificar que a integral calculada com os trapézios é a média das integrais calculadas com retângulos:
:<math>S_t = (S_e + S_d)/2</math>

-[[Regra de Simpson]]:

Notemos que o método do trapézio é baseado na ideia de passar uma reta por 2 pontos e aproximar a área da função f(x) pela área sob a curva definida pelo trapézio.

A regra de Simpson é uma extensão disto: a ideia é passar uma parábola por três pontos consecutivos e calcular a área definida por ela. Se tivermos apenas 3 pontos, a integral da parábola que passa entre <math> x_{1} , x_{3}</math> é dada por:

:<math>S= \int_{x_1}^{x_3} f(x) \, dx \approx \frac{x_3-x_1}{6}\left[f(x_1) + 4f\left(\frac{x_1+x_3}{2}\right)+f(x_3)\right]</math>

No entanto, para integrarmos sobre toda o intervalo <math>\left[ x_{1} ; x_{n}\right]</math> com boa precisão, é necessário dividi-lo em N intervalos, com N grande. Assim, é preciso traçar uma parábola a cada três pontos consecutivo e a expressão final da fórmula de Simpson é então a soma da área sob todas as parábolas do intervalo <math>\left[ x_{1} ; x_{n}\right]</math> :

:<math>S= \int_{x_1}^{x_n} f(x)dx \simeq \frac{h}{3}\left[f(x_1)+4f(x_2)+2f(x_3)+4f(x_4)+\ldots+4f(x_{n-1})+f(x_n)\right]</math>,

onde <math> h = (x_{n} - x_{1} )/N </math> .

A dedução da regra de Simpson pode ser encontrada por exemplo em [http://www.math.ist.utl.pt/~calves/courses/integra/capiii33.html].

== Programação ==
A seguir um trecho do programa para cálculo da integral da função f(x) (''external function f(x)'') 
entre a e b com N pontos, usando o método dos retângulos pela esquerda:

<pre>
...
Read*, a, b, N
dx = (b-a)/N; S=0

Do i = 0, N-1
x = a + i*dx
S = S + f(x)
EndDo
Print*, "Integral S=", S*dx
...
</pre>

Os outros métodos se programam de maneira similar mudando limites (índice do laço) 
e/ou tratando de forma diferente os valores das pontas.

== Erro associado ao método numérico ==

O método de integração numérico não retorna o valor exato de uma função, visto que não podemos ter no computador <math>N\to\infty</math>. O erro aqui discutido estará vinculado ao número de divisões <math>N</math> realizada na função <math>f(x)</math> dentro do intervalo que se quer saber o valor da integral. Assim, o erro é definido como

:<math>erro=\frac{Int(N)-Int(N-1)}{Int(N)}</math>,
onde <math>Int(N)</math> é o valor retornado pelo método numérico utilizado utilizando <math>N</math> divisões e <math>Int(N-1)</math> utilizando <math>N-1</math> divisões. Note que um teste simples para verificar quando a resposta está convergindo é aumentar <math>N</math> e calcular o erro a cada incremento no seu valor.

Fórmula de Lagrange

2011-10-14T16:09:46Z

Ejagnes:

== Polinômios de Lagrange ==

Baseado no fato de que sobre <math>N</math> pontos <math>(X_1,Y_1), (X_2,Y_2), \cdots, (X_N,Y_N)</math> passa um ''único'' polinômio de grau <math>N-1</math>, o '''Polinômio de Lagrange''' pode ser usado como fórmula de interpolação ou extrapolação:

<math>
P(x)=\sum_{i=1}^N Y_i L_i(x)
</math>

onde

<math>
L_i(x)=\prod_{j=1,j\ne i}^N\frac{x-X_j}{X_i-X_j}=\frac{x-X_1}{X_i-X_1}\cdots\frac{x-X_{i-1}}{X_i-X_{i-1}}
\frac{x-X_{i+1}}{X_i-X_{i+1}}\cdots\frac{x-X_N}{X_i-X_N}
</math>

é um polinômio de grau <math>\;N-1</math> em <math>\;x</math>.
Tendo em vista que <math>L_i(X_j)=\delta_{i,j}\;,</math> onde o delta de Kronecker

<math>\delta_{ij} = \left\{\begin{matrix}
1, & \mbox{se } i=j \\
0, & \mbox{se } i \ne j \end{matrix}\right.
</math>

é fácil verificar que, de fato,<math>\;P(X_i)=Y_i</math>. Assim,<math>\;P(x)</math> pode ser empregado para se estimar o valor de <math>\;Y(x)</math> em pontos <math>\;x</math> não tabulados.

== Exemplo 1 ==

[[Image:lagrangen2.png|right|frame|Fórmula de Lagrange para N=2.]]

Para exemplificar a fórmula de Lagrange, consideramos primeiramente uma reta que passa pelos pontos <math>(X_1,Y_1) = (1,9)</math> e <math>(X_2,Y_2) = (2,13)</math>, tendo assim <math>N = 2</math>. Aplicando a fórmula de Lagrange, temos

:<math>L_1 = \frac{x-X_2}{X_1-X_2} = \frac{x-2}{1-2} = -(x-2)</math>
e
:<math>L_2 = \frac{x-X_1}{X_2-X_1} = \frac{x-1}{2-1} = (x-1)</math>,
assim, o polinômio de Lagrange que passa pelos pontos desejados é dado por:
:<math>P(x)=\sum_{i=1}^N Y_i L_i(x) = Y_1L_1 + Y_2L_2 = 9(-x+2) + 13(x-1) = 4x + 5 </math>.

Note que substituindo na equação acima, <math>P(1) = 9</math> e <math>P(2) = 13</math>.

== Exemplo 2 ==

[[Image:lagrangen3.png|right|frame|Fórmula de Lagrange para N=3.]]

Verificando a fórmula de Lagrange para <math>N = 3</math>. Suponhamos que desejamos encontrar qual é o polinômio que passa pelos pontos <math>(X_1,Y_1) = (2,4)</math>, <math>(X_2,Y_2) = (3,9)</math> e <math>(X_3,Y_3) = (6,36)</math>. Temos que:

:<math>L_1 = \left(\frac{x-X_2}{X_1-X_2}\right) \left(\frac{x-X_3}{X_1-X_3}\right) = \left(\frac{x-3}{2-3}\right) \left(\frac{x-6}{2-6}\right) = \frac{x^2-9x+18}{4}</math>,

:<math>L_2 = \left(\frac{x-X_1}{X_2-X_1}\right) \left(\frac{x-X_3}{X_2-X_3}\right) = \left(\frac{x-2}{3-2}\right) \left(\frac{x-6}{3-6}\right) = -\frac{x^2-8x+12}{3}</math>

e

:<math>L_3 = \left(\frac{x-X_1}{X_3-X_1}\right) \left(\frac{x-X_2}{X_3-X_2}\right) = \left(\frac{x-2}{6-2}\right) \left(\frac{x-3}{6-3}\right) = \frac{x^2-5x+6}{12}</math>,

assim

:<math>P(x)=\sum_{i=1}^N Y_i L_i(x) = Y_1L_1 + Y_2L_2 + Y_3L_3 = 4\frac{x^2-9x+18}{4} - 9\frac{x^2-8x+12}{3} + 36\frac{x^2-5x+6}{12} = x^2 </math>.

== Exemplo 3 ==

Para ilustrar graficamente o método da fórmula de Lagrange, usaremos um exemplo com <math>N=4</math>. Considerando os quatro pontos <math>(X_1,Y_1) = (-1,5)</math>, <math>(X_2,Y_3) = (1,2)</math>, <math>(X_3,Y_3) = (-3,5)</math> e <math>(X_4,Y_4) = (7,4)</math>, as equações <math>L_i</math> ficam

:<math>L_1 = -\frac{1}{64}(x^3-11x^2+31x-21)</math>,

:<math>L_2 = \frac{1}{24}(x^3-9x^2+11x+21)</math>,

:<math>L_3 = -\frac{1}{32}(x^3-7x^2-x+7)</math>

e

:<math>L_4 = \frac{1}{192}(x^3-3x^2-x+3)</math>.

O gráfico abaixo mostra os quatro pontos <math>(X_i,Y_i)</math>, as curvas <math>L_iY_i</math> e a curva final <math>P(x)</math>. Lembre-se que <math>P(x)</math> é a curva gerada pela soma dos polinômios <math>L_iY_i</math>. Note que a curva <math>L_1Y_1</math> passa pelo ponto <math>(X_1,Y_1)</math>, assim como as demais e a curva <math>P(x)</math> passa por todos os pontos.

[[Imagem:lagrange.png|800px]]

== Numericamente ==

Na prática, a implementação numérica do polinômio de Lagrange é complicada.
Computacionalmente não é possível fazer um programa geral para interpolação de ordem arbitrária, isto é fazer um programa que, com os N pontos de entrada <math>{X_i,Y_i}</math>, devolva um polinômio <math>P(x)</math> interpolador de grau N. Isto envolve computação simbólica (do tipo utilizada em programas proprietários como o Mathematica, Maple, ou livres como Maxima).
Por outro lado a implementação numérica do método na força bruta envolve um duplo laço de ordem N:
devem ser somados N termos (os <math>L_i(x)</math>) onde cada um deles é construído como um produto de N-1 termos; ao todo <math>N^2</math> cálculos para cada ponto x (isto fica como exercício a partir da fórmula
geral do <math>P(x)</math>).

O Algoritmo de Neville [http://www.physics.utah.edu/~detar/phys6720/handouts/interpolation/interpolation/node4.html] é muito útil na realização desta tarefa.Ao final, veremos que o polinômio interpolador de grau n pode ser reconstruído com polinômios de grau n-1. Este processo gera uma fórmula de recorrência, que é um recurso bastante comum em algoritmos computacionais.

Para deduzirmos esta fórmula de recorrência, começamos aproximando cada intervalo por um valor constante. Podemos representar esta aproximação por
<math>P_1(x)=Y_1,\; P_2(x)=Y_2,\; \cdots\,\; P_N(x)=Y_N</math>.
Melhorando a descrição, empregando agora uma aproximação linear em cada intervalo <math>[X_i,\;X_{i+1}]</math>, denotamos por <math>P_{12}(x),\;P_{23}(x),\; \cdots,\; P_{N-1,N}(x)</math>, onde <math>P_{i,i+1}(x)\;</math>é o polinômio que passa exatamente sobre
<math>(X_i,Y_i)\;</math>e<math>\;(X_{i+1},Y_{i+1})</math>:

<math>
P_{i,i+1}(x)=\frac{x-X_{i+1}}{X_i-X_{i+1}}Y_i+\frac{x-X_i}{X_{i+1}-X_i}Y_{i+1}\;.
</math>

Vemos que <math>P_{i, i+1}(x)\;</math>pode ser escrito como:

<math>
P_{i,i+1}(x)=\frac{(x-X_{i+1})P_i(x)-(x-X_i)P_{i+1}(x)}{X_i-X_{i+1}}
</math>

Isto sugere que há uma relação entre os polinômios de ordem <math>\;n</math> com os de ordem <math>\;n+1</math>.
Para verificar isto, vamos considerar, agora, uma parábola passando exatamente sobre
<math>(X_i,Y_i)\;,(X_{i+1},Y_{i+1})</math> e<math>\;(X_{i+2},Y_{i+2})</math>, que denotaremos por,<math>\;P_{i,i+1,i+2}(x)</math>:

<math>
P_{i,i+1,i+2}(x)=\frac{x-X_{i+1}}{X_i-X_{i+1}}\frac{x-X_{i+2}}{X_i -X_{i+2}}Y_i
+\frac{x-X_i}{X_{i+1}-X_i}\frac{x-X_{i+2}}{X_{i+1}-X_{i+2}}Y_{i+1}
+\frac{x-X_i}{X_{i+2}-X_i}\frac{x-X_{i+1}}{X_{i+2}-X_{i+1}}Y_{i+2}
</math>

Fatorando <math>\;1/(X_i-X_{i+2})</math> e somando e subtraindo <math>\frac{x-X_i}{X_{i+1}-X_i}(x-X_{i+2})Y_{i+1}</math>, obtemos:

<math>
P_{i,i+1,i+2}(x) =\frac{1}{X_i-X_{i+2}}\left[(x-X_{i+2})P_{i,i+1}(x)
-F(x)\right]
</math>

onde

<math>
F(x)=(x-X_i)\left[\frac{x-X_{i+1}}{X_{i+2}-X_{i+1}}Y_{i+2}
-\frac{X_i-X_{i+2}}{X_{i+1}-X_i}\frac{x-X_{i+2}}{X_{i+1}-X_{i+2}}Y_{i+1}
+\frac{x-X_{i+2}}{X_{i+1}-X_i}Y_{i+1}\right]\;.
</math>

Note que o último termo desta expressão corresponde àquele que foi subtraído após seu termo de sinal contrário ter
sido somado à expressão que levou a<math>\;P_{i,i+1}(x)</math> na equação para<math>\;P_{i,i+1,i+2}(x)</math>.
Rearranjando os termos acima, encontramos:

<math>
F(x)=(x-X_i)\left[\frac{x-X_{i+2}}{X_{i+1}-X_{i+2}}Y_{i+1}+\frac{x-X_{i+1}}{X_{i+2}-X_{i+1}}Y_{i+2}\right]
=(x-X_i)P_{i+1,i+2}(x)\;.
</math>

Substituindo este resultado na equação para<math>\;P_{i,i+1,i+2}(x)</math>, obtemos finalmente:

<math>
P_{i,i+1,i+2}(x) =\frac{1}{X_i-X_{i+2}}\left[(x-X_{i+2})P_{i,i+1}(x)
-(x-X_i)P_{i+1,i+2}(x)\right]
</math>

Assim, notamos que, de fato, há uma relação de recorrência bastante simples entre os polinômios que envolvem
<math>\;n</math> e <math>\;n+1</math> pontos, cuja forma geral é dada por:

<math>
P_{i,i+1,\cdots,i+k}(x) =\frac{1}{X_i-X_{i+k}}\left[(x-X_{i+k})P_{i,i+1,\cdots,i+k-1}(x)
-(x-X_i)P_{i+1,i+2,\cdots,i+k}(x)\right]
</math>

Por ser muito mais simples de se implementar numericamente do que a expressão original para <math>\;P(x)</math>,
é esta relação de recorrência que é, de fato, utilizada em cálculos numéricos. Os erros cometidos podem ser estimados calculando-se as diferenças entre as diferentes ordens do polinômio:

<math>
D^{(1)}_{k,i}(x)=P_{i,i+1,\cdots,i+k}(x)-P_{i,i+1,\cdots,i+k-1}(x)
</math>

e

<math>
D^{(2)}_{k,i}(x)=P_{i,i+1,\cdots,i+k}(x)-P_{i+1,i+2,\cdots,i+k}(x)\;.
</math>

Ao invés de se gerar <math>\;P(x)</math> a partir da relação de recorrência para <math>P_{i,i+1,\cdots,i+k}(x)</math>, pode-se utilizar as equações acima e obter relações de recorrência para <math>\;D^{(1)} \mbox{ e } D^{(2)}</math>. No final, obtemos <math>\;P(x)</math> a partir destas quantidades. Este desenvolvimento é deixado como exercício.

É importante notar que em nenhum ponto da discussão foi evocada a necessidade dos pontos <math>\;\{X_i\}</math> serem igualmente espaçados. Portanto, as fórmulas apresentadas aqui podem ser aplicadas em situações bastante gerais.

----

Como discutido na seção [[Interpolação e extrapolação]], é desaconselhável o uso de polinômios de grau elevado. Por isto, apenas um pequeno subconjunto dos valores tabulados, nas vizinhanças do ponto de interesse <math>\;X</math>, deve ser empregado.
Por exemplo, digamos que temos uma tabela com 100 pontos <math>\;\{(X_i,Y_i)\}</math>. Se desejamos estimar o valor de <math>\;Y</math> no interior da região <math>[X_1,\; X_N]</math>, ao invés de construir um polinômio de grau 99, podemos, por exemplo, dividir o espaço em 25 sub-regiões e usar polinômios cúbicos em cada uma delas,
utilizando apenas <math>(X_{i-1},Y_{i-1}),\; (X_i,Y_i),\; (X_{i+1},Y_{i+1})</math> e<math>\;(X_{i+2},Y_{i+2})</math>.

Contudo, devemos notar que, embora a interpolação seja contínua nas interfaces das regiões, a continuidade das derivadas 1a e 2a não é garantida. Em situações em que estas propriedades importam, outras aproximações devem ser adotadas (veja, por exemplo, [[Spline cúbico]]).

----

Arquivo:Lagrangen2.png

2011-10-14T16:08:31Z

Ejagnes:

Arquivo:Lagrangen3.png

2011-10-14T16:08:21Z

Ejagnes:

Arquivo:Lagrange.png

2011-10-14T16:08:08Z

Ejagnes:

Fórmula de Lagrange

2011-10-14T16:07:31Z

Ejagnes:

== Polinômios de Lagrange ==

Baseado no fato de que sobre <math>N</math> pontos <math>(X_1,Y_1), (X_2,Y_2), \cdots, (X_N,Y_N)</math> passa um ''único'' polinômio de grau <math>N-1</math>, o '''Polinômio de Lagrange''' pode ser usado como fórmula de interpolação ou extrapolação:

<math>
P(x)=\sum_{i=1}^N Y_i L_i(x)
</math>

onde

<math>
L_i(x)=\prod_{j=1,j\ne i}^N\frac{x-X_j}{X_i-X_j}=\frac{x-X_1}{X_i-X_1}\cdots\frac{x-X_{i-1}}{X_i-X_{i-1}}
\frac{x-X_{i+1}}{X_i-X_{i+1}}\cdots\frac{x-X_N}{X_i-X_N}
</math>

é um polinômio de grau <math>\;N-1</math> em <math>\;x</math>.
Tendo em vista que <math>L_i(X_j)=\delta_{i,j}\;,</math> onde o delta de Kronecker

<math>\delta_{ij} = \left\{\begin{matrix}
1, & \mbox{se } i=j \\
0, & \mbox{se } i \ne j \end{matrix}\right.
</math>

é fácil verificar que, de fato,<math>\;P(X_i)=Y_i</math>. Assim,<math>\;P(x)</math> pode ser empregado para se estimar o valor de <math>\;Y(x)</math> em pontos <math>\;x</math> não tabulados.

== Exemplo 1 ==

[[Image:lagrangen2.png|right|frame|Fórmula de Lagrange para N=2.]]

Para exemplificar a fórmula de Lagrange, consideramos primeiramente uma reta que passa pelos pontos <math>(X_1,Y_1) = (1,9)</math> e <math>(X_2,Y_2) = (2,13)</math>, tendo assim <math>N = 2</math>. Aplicando a fórmula de Lagrange, temos

:<math>L_1 = \frac{x-X_2}{X_1-X_2} = \frac{x-2}{1-2} = -(x-2)</math>
e
:<math>L_2 = \frac{x-X_1}{X_2-X_1} = \frac{x-1}{2-1} = (x-1)</math>,
assim, o polinômio de Lagrange que passa pelos pontos desejados é dado por:
:<math>P(x)=\sum_{i=1}^N Y_i L_i(x) = Y_1L_1 + Y_2L_2 = 9(-x+2) + 13(x-1) = 4x + 5 </math>.

Note que substituindo na equação acima, <math>P(1) = 9</math> e <math>P(2) = 13</math>.

== Exemplo 2 ==

[[Image:lagrangen3.png|right|frame|Fórmula de Lagrange para N=3.]]

Verificando a fórmula de Lagrange para <math>N = 3</math>. Suponhamos que desejamos encontrar qual é o polinômio que passa pelos pontos <math>(X_1,Y_1) = (2,4)</math>, <math>(X_2,Y_2) = (3,9)</math> e <math>(X_3,Y_3) = (6,36)</math>. Temos que:

:<math>L_1 = \left(\frac{x-X_2}{X_1-X_2}\right) \left(\frac{x-X_3}{X_1-X_3}\right) = \left(\frac{x-3}{2-3}\right) \left(\frac{x-6}{2-6}\right) = \frac{x^2-9x+18}{4}</math>,

:<math>L_2 = \left(\frac{x-X_1}{X_2-X_1}\right) \left(\frac{x-X_3}{X_2-X_3}\right) = \left(\frac{x-2}{3-2}\right) \left(\frac{x-6}{3-6}\right) = -\frac{x^2-8x+12}{3}</math>

e

:<math>L_3 = \left(\frac{x-X_1}{X_3-X_1}\right) \left(\frac{x-X_2}{X_3-X_2}\right) = \left(\frac{x-2}{6-2}\right) \left(\frac{x-3}{6-3}\right) = \frac{x^2-5x+6}{12}</math>,

assim

:<math>P(x)=\sum_{i=1}^N Y_i L_i(x) = Y_1L_1 + Y_2L_2 + Y_3L_3 = 4\frac{x^2-9x+18}{4} - 9\frac{x^2-8x+12}{3} + 36\frac{x^2-5x+6}{12} = x^2 </math>.

== Exemplo 3 ==

Para ilustrar graficamente o método da fórmula de Lagrange, usaremos um exemplo com <math>N=4</math>. Considerando os quatro pontos <math>(X_1,Y_1) = (-1,5)</math>, <math>(X_2,Y_3) = (1,2)</math>, <math>(X_3,Y_3) = (-3,5)</math> e <math>(X_4,Y_4) = (7,4)</math>, as equações <math>L_i</math> ficam

:<math>L_1 = -\frac{1}{64}(x^3-11x^2+31x-21)</math>,

:<math>L_2 = \frac{1}{24}(x^3-9x^2+11x+21)</math>,

:<math>L_3 = -\frac{1}{32}(x^3-7x^2-x+7)</math>

e

:<math>L_4 = \frac{1}{192}(x^3-3x^2-x+3)</math>.

O gráfico abaixo mostra os quatro pontos <math>(X_i,Y_i)</math>, as curvas <math>L_iY_i</math> e a curva final <math>P(x)</math>. Lembre-se que <math>P(x)</math> é a curva gerada pela soma dos polinômios <math>L_iY_i</math>. Note que a curva <math>L_1Y_1</math> passa pelo ponto <math>(X_1,Y_1)</math>, assim como as demais e a curva <math>P(x)</math> passa por todos os pontos.

[[Imagem:lagrange.png|800px]]

== Numericamente ==

Na prática, a implementação numérica do polinômio de Lagrange é complicada.
Computacionalmente não é possível fazer um programa geral para interpolação de ordem arbitrária, isto é fazer um programa que, com os N pontos de entrada <math>{X_i,Y_i}</math>, devolva um polinômio <math>P(x)</math> interpolador de grau N. Isto envolve computação simbólica (do tipo utilizada em programas proprietários como o Mathematica, Maple, ou livres como Maxima).
Por outro lado a implementação numérica do método na força bruta envolve um duplo laço de ordem N:
devem ser somados N termos (os <math>L_i(x)</math>) onde cada um deles é construído como um produto de N-1 termos; ao todo <math>N^2</math> cálculos para cada ponto x (isto fica como exercício a partir da fórmula
geral do <math>P(x)</math>).

O Algoritmo de Neville [http://www.physics.utah.edu/~detar/phys6720/handouts/interpolation/interpolation/node4.html] é muito útil na realização desta tarefa.Ao final, veremos que o polinômio interpolador de grau n pode ser reconstruído com polinômios de grau n-1. Este processo gera uma fórmula de recorrência, que é um recurso bastante comum em algoritmos computacionais.

Para deduzirmos esta fórmula de recorrência, começamos aproximando cada intervalo por um valor constante. Podemos representar esta aproximação por
<math>P_1(x)=Y_1,\; P_2(x)=Y_2,\; \cdots\,\; P_N(x)=Y_N</math>.
Melhorando a descrição, empregando agora uma aproximação linear em cada intervalo <math>[X_i,\;X_{i+1}]</math>, denotamos por <math>P_{12}(x),\;P_{23}(x),\; \cdots,\; P_{N-1,N}(x)</math>, onde <math>P_{i,i+1}(x)\;</math>é o polinômio que passa exatamente sobre
<math>(X_i,Y_i)\;</math>e<math>\;(X_{i+1},Y_{i+1})</math>:

<math>
P_{i,i+1}(x)=\frac{x-X_{i+1}}{X_i-X_{i+1}}Y_i+\frac{x-X_i}{X_{i+1}-X_i}Y_{i+1}\;.
</math>

Vemos que <math>P_{i, i+1}(x)\;</math>pode ser escrito como:

<math>
P_{i,i+1}(x)=\frac{(x-X_{i+1})P_i(x)-(x-X_i)P_{i+1}(x)}{X_i-X_{i+1}}
</math>

Isto sugere que há uma relação entre os polinômios de ordem <math>\;n</math> com os de ordem <math>\;n+1</math>.
Para verificar isto, vamos considerar, agora, uma parábola passando exatamente sobre
<math>(X_i,Y_i)\;,(X_{i+1},Y_{i+1})</math> e<math>\;(X_{i+2},Y_{i+2})</math>, que denotaremos por,<math>\;P_{i,i+1,i+2}(x)</math>:

<math>
P_{i,i+1,i+2}(x)=\frac{x-X_{i+1}}{X_i-X_{i+1}}\frac{x-X_{i+2}}{X_i -X_{i+2}}Y_i
+\frac{x-X_i}{X_{i+1}-X_i}\frac{x-X_{i+2}}{X_{i+1}-X_{i+2}}Y_{i+1}
+\frac{x-X_i}{X_{i+2}-X_i}\frac{x-X_{i+1}}{X_{i+2}-X_{i+1}}Y_{i+2}
</math>

Fatorando <math>\;1/(X_i-X_{i+2})</math> e somando e subtraindo <math>\frac{x-X_i}{X_{i+1}-X_i}(x-X_{i+2})Y_{i+1}</math>, obtemos:

<math>
P_{i,i+1,i+2}(x) =\frac{1}{X_i-X_{i+2}}\left[(x-X_{i+2})P_{i,i+1}(x)
-F(x)\right]
</math>

onde

<math>
F(x)=(x-X_i)\left[\frac{x-X_{i+1}}{X_{i+2}-X_{i+1}}Y_{i+2}
-\frac{X_i-X_{i+2}}{X_{i+1}-X_i}\frac{x-X_{i+2}}{X_{i+1}-X_{i+2}}Y_{i+1}
+\frac{x-X_{i+2}}{X_{i+1}-X_i}Y_{i+1}\right]\;.
</math>

Note que o último termo desta expressão corresponde àquele que foi subtraído após seu termo de sinal contrário ter
sido somado à expressão que levou a<math>\;P_{i,i+1}(x)</math> na equação para<math>\;P_{i,i+1,i+2}(x)</math>.
Rearranjando os termos acima, encontramos:

<math>
F(x)=(x-X_i)\left[\frac{x-X_{i+2}}{X_{i+1}-X_{i+2}}Y_{i+1}+\frac{x-X_{i+1}}{X_{i+2}-X_{i+1}}Y_{i+2}\right]
=(x-X_i)P_{i+1,i+2}(x)\;.
</math>

Substituindo este resultado na equação para<math>\;P_{i,i+1,i+2}(x)</math>, obtemos finalmente:

<math>
P_{i,i+1,i+2}(x) =\frac{1}{X_i-X_{i+2}}\left[(x-X_{i+2})P_{i,i+1}(x)
-(x-X_i)P_{i+1,i+2}(x)\right]
</math>

Assim, notamos que, de fato, há uma relação de recorrência bastante simples entre os polinômios que envolvem
<math>\;n</math> e <math>\;n+1</math> pontos, cuja forma geral é dada por:

<math>
P_{i,i+1,\cdots,i+k}(x) =\frac{1}{X_i-X_{i+k}}\left[(x-X_{i+k})P_{i,i+1,\cdots,i+k-1}(x)
-(x-X_i)P_{i+1,i+2,\cdots,i+k}(x)\right]
</math>

Por ser muito mais simples de se implementar numericamente do que a expressão original para <math>\;P(x)</math>,
é esta relação de recorrência que é, de fato, utilizada em cálculos numéricos. Os erros cometidos podem ser estimados calculando-se as diferenças entre as diferentes ordens do polinômio:

<math>
D^{(1)}_{k,i}(x)=P_{i,i+1,\cdots,i+k}(x)-P_{i,i+1,\cdots,i+k-1}(x)
</math>

e

<math>
D^{(2)}_{k,i}(x)=P_{i,i+1,\cdots,i+k}(x)-P_{i+1,i+2,\cdots,i+k}(x)\;.
</math>

Ao invés de se gerar <math>\;P(x)</math> a partir da relação de recorrência para <math>P_{i,i+1,\cdots,i+k}(x)</math>, pode-se utilizar as equações acima e obter relações de recorrência para <math>\;D^{(1)} \mbox{ e } D^{(2)}</math>. No final, obtemos <math>\;P(x)</math> a partir destas quantidades. Este desenvolvimento é deixado como exercício.

É importante notar que em nenhum ponto da discussão foi evocada a necessidade dos pontos <math>\;\{X_i\}</math> serem igualmente espaçados. Portanto, as fórmulas apresentadas aqui podem ser aplicadas em situações bastante gerais.

----

Como discutido na seção [[Interpolação e extrapolação]], é desaconselhável o uso de polinômios de grau elevado. Por isto, apenas um pequeno subconjunto dos valores tabulados, nas vizinhanças do ponto de interesse <math>\;X</math>, deve ser empregado.
Por exemplo, digamos que temos uma tabela com 100 pontos <math>\;\{(X_i,Y_i)\}</math>. Se desejamos estimar o valor de <math>\;Y</math> no interior da região <math>[X_1,\; X_N]</math>, ao invés de construir um polinômio de grau 99, podemos, por exemplo, dividir o espaço em 25 sub-regiões e usar polinômios cúbicos em cada uma delas,
utilizando apenas <math>(X_{i-1},Y_{i-1}),\; (X_i,Y_i),\; (X_{i+1},Y_{i+1})</math> e<math>\;(X_{i+2},Y_{i+2})</math>.

Contudo, devemos notar que, embora a interpolação seja contínua nas interfaces das regiões, a continuidade das derivadas 1a e 2a não é garantida. Em situações em que estas propriedades importam, outras aproximações devem ser adotadas (veja, por exemplo, [[Spline Cúbico]]).

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Métodos computacionais

2011-10-14T16:05:00Z

2011-10-05T15:27:40Z

Ejagnes: