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Equação de Klein-Gordon

2025-01-08T17:21:51Z

Eduardoleite: /* Código utilizado */

== INTRODUÇÃO ==
A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os bósons de Higgs) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein <math>E=p^2c^2 + m^2c^4 </math>. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

<math> \left( \Box + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right) \psi(x,t)= 0 </math>

onde <math> \left( \Box = \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} -\nabla^2 \right) </math> é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

<math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \psi - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math>

<math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math> (em uma dimensão)

Inicialmente, a equação pode ser interpretada como uma equação de um campo escalar que pode ser quantizado, onde é introduzido um campo quantico que é descrito por partículas sem spin. No reino da física de partículas, as interações eletromagnéticas podem ser incorporadas formando o tópico da eletrodinâmica escalar, por exemplo. Entretando, a solução da equação não pode ser interpretada diretamente como a densidade de probabilidade vista na equação de Schrodinger, em vez disso, a densidade de probabilidade relativística é definida usando uma corrente de probabilidade associada. Na mecânica quântica relativística, a função de onda <math> \psi(x,t) </math> é usada para descrever o estado de uma partícula no espaço-tempo.

== MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ==

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos <math>\Delta t </math> criando uma sequência de pontos <math>t_n=n\Delta t </math>. Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos <math>\Delta x </math> criando uma sequência de pontos <math>x_i=i\Delta x </math>.
Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}</math> e <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \approx \frac{u_i^{n+1} - 2u_i^n + u_i^{n-1}}{(\Delta t)^2} </math> para o tempo.

<math>\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1}^n - u_i^n}{\Delta x} e \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2} </math> para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2} \approx \frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2}</math>

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \approx \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x- \Delta x,t)}{(\Delta x)^2} </math>

ou seja:

<math>\frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2} = c^2 \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta x)^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi </math>

isso nos leva a equação final:

<math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta,t) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi </math>

chamarei <math>\alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x} </math> e <math> \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar} </math>

portanto, <math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\alpha^2 \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) - \beta^2 \psi </math>

ou, mais usualmente: <math>\psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 ( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \beta^2 \psi </math>

== CRITÉRIO DE ESTABILIDADE ==

Forma Contínua e Discretização: A equação de Klein-Gordon contínua é: <math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi. </math>

A forma discreta, usando diferenças finitas centralizadas no tempo e no espaço, é: <math> \psi_i^{n+1} = 2 \psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} (\psi_{i+1}^n - 2 \psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi_i^n. </math> Aqui, definimos os coeficientes: <math> \alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x}, \quad \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar}. </math>

Suposição de Solução Harmônica: Substituímos uma solução da forma: <math> \psi_i^n = G^n e^{i k x_i}, </math> onde:

na equação: <math> G^{n+1} e^{i k x_i} = 2 G^n e^{i k x_i} - G^{n-1} e^{i k x_i} + \alpha^2 G^n \left(e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}}\right) - \beta^2 G^n e^{i k x_i}. </math>

Simplificação:

Como <math> e^{i k x_{i+1}} = e^{i k x_i} e^{i k \Delta x} </math> e <math> e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} e^{-i k \Delta x} </math>, o termo centralizado se torna: <math> e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} \left(e^{i k \Delta x} - 2 + e^{-i k \Delta x}\right). </math>
Usando <math> e^{i k \Delta x} + e^{-i k \Delta x} = 2 \cos(k \Delta x) </math>, temos: <math> e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} \left(-2 + 2 \cos(k \Delta x)\right). </math>
Substituímos isso na equação e cancelamos o fator <math> e^{i k x_i} </math>, que nunca é zero: <math> G^{n+1} = 2 G^n - G^{n-1} - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) G^n - \beta^2 G^n. </math>

Simplificando mais, obtemos: <math> G^{n+1} = (2 - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) - \beta^2) G^n - G^{n-1}. </math>

Equação Característica: Assumimos uma solução na forma de uma equação quadrática <math> G </math>: <math> G^2 - G \left(2 - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) - \beta^2 \right) + 1 = 0. </math>

Condição de Estabilidade: Para estabilidade, as raízes de <math> G </math> devem satisfazer <math> |G| \leq 1 </math>. Isso leva ao critério: <math> \alpha \leq 1, \quad \text{ou seja,} \quad \frac{c \Delta t}{\Delta x} \leq 1. </math>

Conclusão Matemática:
A condição <math> \alpha \leq 1 </math> garante que os termos oscilatórios na solução não crescem exponencialmente. Essa análise também mostra que:

Quanto menor o passo de tempo <math> \Delta t </math>, mais precisa e estável é a solução.
A relação entre os passos de tempo e espaço é crucial: aumentar muito <math> \Delta t </math> sem ajustar <math> \Delta x </math> pode levar à instabilidade.

== C.C e C.I ==

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condições iniciais e de contorno:

<math> \psi(x,0) = Ae^{-\frac{x-x_0}{2\sigma^2}}</math> que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e <math>\frac{\partial \psi(x,0)}{\partial t} =0 </math> que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, <math> x_0 </math> é a posição central do pulso e <math> \sigma </math> é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que <math>\psi(0,t)= 0 </math> e <math>\psi(L,t)=0 </math> o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas:

[[Arquivo:Estatico.png]]

[[Arquivo:Klein 2.gif]]

[[Arquivo:Estabilidade.gif]]

Localização Inicial: No gráfico mostrado, <math> \psi(x,t) </math> tem um pico bem definido, o que sugere que a partícula está localizada inicialmente em torno de um ponto central no espaço. Isso significa que a probabilidade da partícula estar presente é maior nessa região (em torno do pico), e diminui nas bordas. No gráfico mostrado acima, <math> \psi(x,t) </math> tem um pico bem definido, o que sugere que a partícula está localizada inicialmente em torno de um ponto central no espaço. Isso significa que a probabilidade da partícula estar presente é maior nessa região (em torno do pico), e diminui nas bordas.

= Código utilizado =

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from matplotlib.animation import FuncAnimation

L = 10.0 # Comprimento da simulação

Nx = 100 # Número de pontos espaciais

dx = L / Nx # Passo espacial

T_max = 30 # Tempo máximo de simulação

m = 1.0 # Massa da partícula

c = 1.0 # Velocidade da luz

hbar = 1.0 # Constante de Planck reduzida

A = 1.0 # Amplitude do pulso

x0 = L / 2 # Posição central do pulso

sigma = 0.5 # Largura do pulso

x = np.linspace(0, L, Nx)

phi_0 = A * np.exp(-((x - x0)**2) / (2 * sigma**2))

dphi_0 = np.zeros(Nx) # Derivada inicial nula

#estabilidade
alpha_stable = 0.5 # Valor estável para alpha (c * dt / dx)

dt_stable = alpha_stable * dx / c

alpha_unstable = 1.5 # Valor instável para alpha (c * dt / dx)

dt_unstable = alpha_unstable * dx / c

Nt_stable = int(T_max / dt_stable)

Nt_unstable = int(T_max / dt_unstable)

def evolve_wave(dt, Nt):

phi = np.zeros((Nt, Nx))

phi[0, :] = phi_0

phi[1, :] = phi_0 + dt * dphi_0

for n in range(1, Nt-1):

for i in range(1, Nx-1):

phi[n+1, i] = 2 * phi[n, i] - phi[n-1, i] + (dt**2) * (

(phi[n, i+1] - 2 * phi[n, i] + phi[n, i-1]) / dx**2

- (m**2 * c**2 / hbar**2) * phi[n, i]
)

return phi

phi_stable = evolve_wave(dt_stable, Nt_stable)

phi_unstable = evolve_wave(dt_unstable, Nt_unstable)

fig, ax = plt.subplots(2, 1, figsize=(10, 8))

def update_stable(frame):

ax[0].cla()

ax[0].plot(x, phi_stable[frame, :], label=f'Tempo: {frame * dt_stable:.2f}s')

ax[0].set_title("Evolução Estável")

ax[0].set_xlim(0, L)

ax[0].set_ylim(-1.5, 1.5)

ax[0].legend()

def update_unstable(frame):

ax[1].cla()

ax[1].plot(x, phi_unstable[frame, :], label=f'Tempo: {frame * dt_unstable:.2f}s')

ax[1].set_title("Evolução Instável")

ax[1].set_xlim(0, L)

ax[1].set_ylim(-1.5, 1.5)

ax[1].legend()

def init():

for a in ax:

a.clear()

return ax

# Atualização combinada para animação
def update(frame):

update_stable(frame)

update_unstable(frame)

return ax

# Criando a animação
frames_stable = range(0, Nt_stable, max(1, Nt_stable // 150))

frames_unstable = range(0, Nt_unstable, max(1, Nt_unstable // 150))

ani = FuncAnimation(fig, update, frames=min(len(frames_stable), len(frames_unstable)),

init_func=init, blit=False)

# Salvando as animações

fig.tight_layout()

ani.save('klein_gordon_stable_vs_unstable.gif', writer='pillow', fps=30)

plt.show()

Equação de Klein-Gordon

2025-01-08T17:17:23Z

Eduardoleite: /* Código utilizado */

== INTRODUÇÃO ==
A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os bósons de Higgs) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein <math>E=p^2c^2 + m^2c^4 </math>. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

<math> \left( \Box + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right) \psi(x,t)= 0 </math>

onde <math> \left( \Box = \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} -\nabla^2 \right) </math> é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

<math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \psi - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math>

<math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math> (em uma dimensão)

Inicialmente, a equação pode ser interpretada como uma equação de um campo escalar que pode ser quantizado, onde é introduzido um campo quantico que é descrito por partículas sem spin. No reino da física de partículas, as interações eletromagnéticas podem ser incorporadas formando o tópico da eletrodinâmica escalar, por exemplo. Entretando, a solução da equação não pode ser interpretada diretamente como a densidade de probabilidade vista na equação de Schrodinger, em vez disso, a densidade de probabilidade relativística é definida usando uma corrente de probabilidade associada. Na mecânica quântica relativística, a função de onda <math> \psi(x,t) </math> é usada para descrever o estado de uma partícula no espaço-tempo.

== MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ==

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos <math>\Delta t </math> criando uma sequência de pontos <math>t_n=n\Delta t </math>. Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos <math>\Delta x </math> criando uma sequência de pontos <math>x_i=i\Delta x </math>.
Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}</math> e <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \approx \frac{u_i^{n+1} - 2u_i^n + u_i^{n-1}}{(\Delta t)^2} </math> para o tempo.

<math>\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1}^n - u_i^n}{\Delta x} e \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2} </math> para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2} \approx \frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2}</math>

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \approx \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x- \Delta x,t)}{(\Delta x)^2} </math>

ou seja:

<math>\frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2} = c^2 \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta x)^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi </math>

isso nos leva a equação final:

<math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta,t) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi </math>

chamarei <math>\alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x} </math> e <math> \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar} </math>

portanto, <math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\alpha^2 \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) - \beta^2 \psi </math>

ou, mais usualmente: <math>\psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 ( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \beta^2 \psi </math>

== CRITÉRIO DE ESTABILIDADE ==

Forma Contínua e Discretização: A equação de Klein-Gordon contínua é: <math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi. </math>

A forma discreta, usando diferenças finitas centralizadas no tempo e no espaço, é: <math> \psi_i^{n+1} = 2 \psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} (\psi_{i+1}^n - 2 \psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi_i^n. </math> Aqui, definimos os coeficientes: <math> \alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x}, \quad \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar}. </math>

Suposição de Solução Harmônica: Substituímos uma solução da forma: <math> \psi_i^n = G^n e^{i k x_i}, </math> onde:

na equação: <math> G^{n+1} e^{i k x_i} = 2 G^n e^{i k x_i} - G^{n-1} e^{i k x_i} + \alpha^2 G^n \left(e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}}\right) - \beta^2 G^n e^{i k x_i}. </math>

Simplificação:

Como <math> e^{i k x_{i+1}} = e^{i k x_i} e^{i k \Delta x} </math> e <math> e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} e^{-i k \Delta x} </math>, o termo centralizado se torna: <math> e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} \left(e^{i k \Delta x} - 2 + e^{-i k \Delta x}\right). </math>
Usando <math> e^{i k \Delta x} + e^{-i k \Delta x} = 2 \cos(k \Delta x) </math>, temos: <math> e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} \left(-2 + 2 \cos(k \Delta x)\right). </math>
Substituímos isso na equação e cancelamos o fator <math> e^{i k x_i} </math>, que nunca é zero: <math> G^{n+1} = 2 G^n - G^{n-1} - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) G^n - \beta^2 G^n. </math>

Simplificando mais, obtemos: <math> G^{n+1} = (2 - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) - \beta^2) G^n - G^{n-1}. </math>

Equação Característica: Assumimos uma solução na forma de uma equação quadrática <math> G </math>: <math> G^2 - G \left(2 - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) - \beta^2 \right) + 1 = 0. </math>

Condição de Estabilidade: Para estabilidade, as raízes de <math> G </math> devem satisfazer <math> |G| \leq 1 </math>. Isso leva ao critério: <math> \alpha \leq 1, \quad \text{ou seja,} \quad \frac{c \Delta t}{\Delta x} \leq 1. </math>

Conclusão Matemática:
A condição <math> \alpha \leq 1 </math> garante que os termos oscilatórios na solução não crescem exponencialmente. Essa análise também mostra que:

Quanto menor o passo de tempo <math> \Delta t </math>, mais precisa e estável é a solução.
A relação entre os passos de tempo e espaço é crucial: aumentar muito <math> \Delta t </math> sem ajustar <math> \Delta x </math> pode levar à instabilidade.

== C.C e C.I ==

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condições iniciais e de contorno:

<math> \psi(x,0) = Ae^{-\frac{x-x_0}{2\sigma^2}}</math> que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e <math>\frac{\partial \psi(x,0)}{\partial t} =0 </math> que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, <math> x_0 </math> é a posição central do pulso e <math> \sigma </math> é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que <math>\psi(0,t)= 0 </math> e <math>\psi(L,t)=0 </math> o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas:

[[Arquivo:Estatico.png]]

[[Arquivo:Klein 2.gif]]

[[Arquivo:Estabilidade.gif]]

Localização Inicial: No gráfico mostrado, <math> \psi(x,t) </math> tem um pico bem definido, o que sugere que a partícula está localizada inicialmente em torno de um ponto central no espaço. Isso significa que a probabilidade da partícula estar presente é maior nessa região (em torno do pico), e diminui nas bordas. No gráfico mostrado acima, <math> \psi(x,t) </math> tem um pico bem definido, o que sugere que a partícula está localizada inicialmente em torno de um ponto central no espaço. Isso significa que a probabilidade da partícula estar presente é maior nessa região (em torno do pico), e diminui nas bordas.

= Código utilizado =

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.animation import FuncAnimation

L = 10.0 # Comprimento da simulação
Nx = 100 # Número de pontos espaciais
dx = L / Nx # Passo espacial
T_max = 30 # Tempo máximo de simulação
m = 1.0 # Massa da partícula
c = 1.0 # Velocidade da luz
hbar = 1.0 # Constante de Planck reduzida

A = 1.0 # Amplitude do pulso
x0 = L / 2 # Posição central do pulso
sigma = 0.5 # Largura do pulso

x = np.linspace(0, L, Nx)

phi_0 = A * np.exp(-((x - x0)**2) / (2 * sigma**2))
dphi_0 = np.zeros(Nx) # Derivada inicial nula

#estabilidade
alpha_stable = 0.5 # Valor estável para alpha (c * dt / dx)
dt_stable = alpha_stable * dx / c
alpha_unstable = 1.5 # Valor instável para alpha (c * dt / dx)
dt_unstable = alpha_unstable * dx / c

Nt_stable = int(T_max / dt_stable)
Nt_unstable = int(T_max / dt_unstable)

def evolve_wave(dt, Nt):
phi = np.zeros((Nt, Nx))
phi[0, :] = phi_0
phi[1, :] = phi_0 + dt * dphi_0

for n in range(1, Nt-1):
for i in range(1, Nx-1):
phi[n+1, i] = 2 * phi[n, i] - phi[n-1, i] + (dt**2) * (
(phi[n, i+1] - 2 * phi[n, i] + phi[n, i-1]) / dx**2
- (m**2 * c**2 / hbar**2) * phi[n, i]
)

return phi

phi_stable = evolve_wave(dt_stable, Nt_stable)
phi_unstable = evolve_wave(dt_unstable, Nt_unstable)

fig, ax = plt.subplots(2, 1, figsize=(10, 8))

def update_stable(frame):
ax[0].cla()
ax[0].plot(x, phi_stable[frame, :], label=f'Tempo: {frame * dt_stable:.2f}s')
ax[0].set_title("Evolução Estável")
ax[0].set_xlim(0, L)
ax[0].set_ylim(-1.5, 1.5)
ax[0].legend()

def update_unstable(frame):
ax[1].cla()
ax[1].plot(x, phi_unstable[frame, :], label=f'Tempo: {frame * dt_unstable:.2f}s')
ax[1].set_title("Evolução Instável")
ax[1].set_xlim(0, L)
ax[1].set_ylim(-1.5, 1.5)
ax[1].legend()

def init():
for a in ax:
a.clear()
return ax

# Atualização combinada para animação
def update(frame):
update_stable(frame)
update_unstable(frame)
return ax

# Criando a animação
frames_stable = range(0, Nt_stable, max(1, Nt_stable // 150))
frames_unstable = range(0, Nt_unstable, max(1, Nt_unstable // 150))
ani = FuncAnimation(fig, update, frames=min(len(frames_stable), len(frames_unstable)), init_func=init, blit=False)

# Salvando as animações
fig.tight_layout()
ani.save('klein_gordon_stable_vs_unstable.gif', writer='pillow', fps=30)

plt.show()

Equação de Klein-Gordon

2025-01-08T17:16:14Z

Eduardoleite: /* Código utilizado */

== INTRODUÇÃO ==
A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os bósons de Higgs) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein <math>E=p^2c^2 + m^2c^4 </math>. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

<math> \left( \Box + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right) \psi(x,t)= 0 </math>

onde <math> \left( \Box = \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} -\nabla^2 \right) </math> é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

<math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \psi - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math>

<math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math> (em uma dimensão)

Inicialmente, a equação pode ser interpretada como uma equação de um campo escalar que pode ser quantizado, onde é introduzido um campo quantico que é descrito por partículas sem spin. No reino da física de partículas, as interações eletromagnéticas podem ser incorporadas formando o tópico da eletrodinâmica escalar, por exemplo. Entretando, a solução da equação não pode ser interpretada diretamente como a densidade de probabilidade vista na equação de Schrodinger, em vez disso, a densidade de probabilidade relativística é definida usando uma corrente de probabilidade associada. Na mecânica quântica relativística, a função de onda <math> \psi(x,t) </math> é usada para descrever o estado de uma partícula no espaço-tempo.

== MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ==

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos <math>\Delta t </math> criando uma sequência de pontos <math>t_n=n\Delta t </math>. Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos <math>\Delta x </math> criando uma sequência de pontos <math>x_i=i\Delta x </math>.
Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}</math> e <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \approx \frac{u_i^{n+1} - 2u_i^n + u_i^{n-1}}{(\Delta t)^2} </math> para o tempo.

<math>\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1}^n - u_i^n}{\Delta x} e \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2} </math> para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2} \approx \frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2}</math>

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \approx \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x- \Delta x,t)}{(\Delta x)^2} </math>

ou seja:

<math>\frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2} = c^2 \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta x)^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi </math>

isso nos leva a equação final:

<math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta,t) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi </math>

chamarei <math>\alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x} </math> e <math> \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar} </math>

portanto, <math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\alpha^2 \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) - \beta^2 \psi </math>

ou, mais usualmente: <math>\psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 ( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \beta^2 \psi </math>

== CRITÉRIO DE ESTABILIDADE ==

Forma Contínua e Discretização: A equação de Klein-Gordon contínua é: <math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi. </math>

A forma discreta, usando diferenças finitas centralizadas no tempo e no espaço, é: <math> \psi_i^{n+1} = 2 \psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} (\psi_{i+1}^n - 2 \psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi_i^n. </math> Aqui, definimos os coeficientes: <math> \alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x}, \quad \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar}. </math>

Suposição de Solução Harmônica: Substituímos uma solução da forma: <math> \psi_i^n = G^n e^{i k x_i}, </math> onde:

na equação: <math> G^{n+1} e^{i k x_i} = 2 G^n e^{i k x_i} - G^{n-1} e^{i k x_i} + \alpha^2 G^n \left(e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}}\right) - \beta^2 G^n e^{i k x_i}. </math>

Simplificação:

Como <math> e^{i k x_{i+1}} = e^{i k x_i} e^{i k \Delta x} </math> e <math> e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} e^{-i k \Delta x} </math>, o termo centralizado se torna: <math> e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} \left(e^{i k \Delta x} - 2 + e^{-i k \Delta x}\right). </math>
Usando <math> e^{i k \Delta x} + e^{-i k \Delta x} = 2 \cos(k \Delta x) </math>, temos: <math> e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} \left(-2 + 2 \cos(k \Delta x)\right). </math>
Substituímos isso na equação e cancelamos o fator <math> e^{i k x_i} </math>, que nunca é zero: <math> G^{n+1} = 2 G^n - G^{n-1} - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) G^n - \beta^2 G^n. </math>

Simplificando mais, obtemos: <math> G^{n+1} = (2 - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) - \beta^2) G^n - G^{n-1}. </math>

Equação Característica: Assumimos uma solução na forma de uma equação quadrática <math> G </math>: <math> G^2 - G \left(2 - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) - \beta^2 \right) + 1 = 0. </math>

Condição de Estabilidade: Para estabilidade, as raízes de <math> G </math> devem satisfazer <math> |G| \leq 1 </math>. Isso leva ao critério: <math> \alpha \leq 1, \quad \text{ou seja,} \quad \frac{c \Delta t}{\Delta x} \leq 1. </math>

Conclusão Matemática:
A condição <math> \alpha \leq 1 </math> garante que os termos oscilatórios na solução não crescem exponencialmente. Essa análise também mostra que:

Quanto menor o passo de tempo <math> \Delta t </math>, mais precisa e estável é a solução.
A relação entre os passos de tempo e espaço é crucial: aumentar muito <math> \Delta t </math> sem ajustar <math> \Delta x </math> pode levar à instabilidade.

== C.C e C.I ==

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condições iniciais e de contorno:

<math> \psi(x,0) = Ae^{-\frac{x-x_0}{2\sigma^2}}</math> que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e <math>\frac{\partial \psi(x,0)}{\partial t} =0 </math> que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, <math> x_0 </math> é a posição central do pulso e <math> \sigma </math> é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que <math>\psi(0,t)= 0 </math> e <math>\psi(L,t)=0 </math> o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas:

[[Arquivo:Estatico.png]]

[[Arquivo:Klein 2.gif]]

[[Arquivo:Estabilidade.gif]]

Localização Inicial: No gráfico mostrado, <math> \psi(x,t) </math> tem um pico bem definido, o que sugere que a partícula está localizada inicialmente em torno de um ponto central no espaço. Isso significa que a probabilidade da partícula estar presente é maior nessa região (em torno do pico), e diminui nas bordas. No gráfico mostrado acima, <math> \psi(x,t) </math> tem um pico bem definido, o que sugere que a partícula está localizada inicialmente em torno de um ponto central no espaço. Isso significa que a probabilidade da partícula estar presente é maior nessa região (em torno do pico), e diminui nas bordas.

= Código utilizado =

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.animation import FuncAnimation

# Parâmetros gerais
L = 10.0 # Comprimento da simulação
Nx = 100 # Número de pontos espaciais
dx = L / Nx # Passo espacial
T_max = 30 # Tempo máximo de simulação
m = 1.0 # Massa da partícula
c = 1.0 # Velocidade da luz
hbar = 1.0 # Constante de Planck reduzida

# Parâmetros para o pulso gaussiano
A = 1.0 # Amplitude do pulso
x0 = L / 2 # Posição central do pulso
sigma = 0.5 # Largura do pulso

# Discretização espacial
x = np.linspace(0, L, Nx)

# Função de onda inicial: pulso gaussiano
phi_0 = A * np.exp(-((x - x0)**2) / (2 * sigma**2))
dphi_0 = np.zeros(Nx) # Derivada inicial nula

# Parâmetros para estabilidade
alpha_stable = 0.5 # Valor estável para alpha (c * dt / dx)
dt_stable = alpha_stable * dx / c
alpha_unstable = 1.5 # Valor instável para alpha (c * dt / dx)
dt_unstable = alpha_unstable * dx / c

Nt_stable = int(T_max / dt_stable)
Nt_unstable = int(T_max / dt_unstable)

# Função para evolução temporal
def evolve_wave(dt, Nt):
phi = np.zeros((Nt, Nx))
phi[0, :] = phi_0
phi[1, :] = phi_0 + dt * dphi_0

for n in range(1, Nt-1):
for i in range(1, Nx-1):
phi[n+1, i] = 2 * phi[n, i] - phi[n-1, i] + (dt**2) * (
(phi[n, i+1] - 2 * phi[n, i] + phi[n, i-1]) / dx**2
- (m**2 * c**2 / hbar**2) * phi[n, i]
)

return phi

# Evoluir para casos estável e instável
phi_stable = evolve_wave(dt_stable, Nt_stable)
phi_unstable = evolve_wave(dt_unstable, Nt_unstable)

# Inicializando o gráfico
fig, ax = plt.subplots(2, 1, figsize=(10, 8))

# Estável
def update_stable(frame):
ax[0].cla()
ax[0].plot(x, phi_stable[frame, :], label=f'Tempo: {frame * dt_stable:.2f}s')
ax[0].set_title("Evolução Estável")
ax[0].set_xlim(0, L)
ax[0].set_ylim(-1.5, 1.5)
ax[0].legend()

# Instável
def update_unstable(frame):
ax[1].cla()
ax[1].plot(x, phi_unstable[frame, :], label=f'Tempo: {frame * dt_unstable:.2f}s')
ax[1].set_title("Evolução Instável")
ax[1].set_xlim(0, L)
ax[1].set_ylim(-1.5, 1.5)
ax[1].legend()

# Função de inicialização
def init():
for a in ax:
a.clear()
return ax

# Atualização combinada para animação
def update(frame):
update_stable(frame)
update_unstable(frame)
return ax

# Criando a animação
frames_stable = range(0, Nt_stable, max(1, Nt_stable // 150))
frames_unstable = range(0, Nt_unstable, max(1, Nt_unstable // 150))
ani = FuncAnimation(fig, update, frames=min(len(frames_stable), len(frames_unstable)), init_func=init, blit=False)

# Salvando as animações
fig.tight_layout()
ani.save('klein_gordon_stable_vs_unstable.gif', writer='pillow', fps=30)

plt.show()

Equação de Klein-Gordon

2025-01-08T16:55:48Z

Eduardoleite: /* CRITÉRIO DE ESTABILIDADE */

== INTRODUÇÃO ==
A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os bósons de Higgs) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein <math>E=p^2c^2 + m^2c^4 </math>. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

<math> \left( \Box + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right) \psi(x,t)= 0 </math>

onde <math> \left( \Box = \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} -\nabla^2 \right) </math> é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

<math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \psi - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math>

<math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math> (em uma dimensão)

Inicialmente, a equação pode ser interpretada como uma equação de um campo escalar que pode ser quantizado, onde é introduzido um campo quantico que é descrito por partículas sem spin. No reino da física de partículas, as interações eletromagnéticas podem ser incorporadas formando o tópico da eletrodinâmica escalar, por exemplo. Entretando, a solução da equação não pode ser interpretada diretamente como a densidade de probabilidade vista na equação de Schrodinger, em vez disso, a densidade de probabilidade relativística é definida usando uma corrente de probabilidade associada. Na mecânica quântica relativística, a função de onda <math> \psi(x,t) </math> é usada para descrever o estado de uma partícula no espaço-tempo.

== MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ==

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos <math>\Delta t </math> criando uma sequência de pontos <math>t_n=n\Delta t </math>. Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos <math>\Delta x </math> criando uma sequência de pontos <math>x_i=i\Delta x </math>.
Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}</math> e <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \approx \frac{u_i^{n+1} - 2u_i^n + u_i^{n-1}}{(\Delta t)^2} </math> para o tempo.

<math>\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1}^n - u_i^n}{\Delta x} e \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2} </math> para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2} \approx \frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2}</math>

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \approx \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x- \Delta x,t)}{(\Delta x)^2} </math>

ou seja:

<math>\frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2} = c^2 \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta x)^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi </math>

isso nos leva a equação final:

<math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta,t) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi </math>

chamarei <math>\alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x} </math> e <math> \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar} </math>

portanto, <math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\alpha^2 \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) - \beta^2 \psi </math>

ou, mais usualmente: <math>\psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 ( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \beta^2 \psi </math>

== CRITÉRIO DE ESTABILIDADE ==

Forma Contínua e Discretização: A equação de Klein-Gordon contínua é: <math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi. </math>

A forma discreta, usando diferenças finitas centralizadas no tempo e no espaço, é: <math> \psi_i^{n+1} = 2 \psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} (\psi_{i+1}^n - 2 \psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi_i^n. </math> Aqui, definimos os coeficientes: <math> \alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x}, \quad \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar}. </math>

Suposição de Solução Harmônica: Substituímos uma solução da forma: <math> \psi_i^n = G^n e^{i k x_i}, </math> onde:

na equação: <math> G^{n+1} e^{i k x_i} = 2 G^n e^{i k x_i} - G^{n-1} e^{i k x_i} + \alpha^2 G^n \left(e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}}\right) - \beta^2 G^n e^{i k x_i}. </math>

Simplificação:

Como <math> e^{i k x_{i+1}} = e^{i k x_i} e^{i k \Delta x} </math> e <math> e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} e^{-i k \Delta x} </math>, o termo centralizado se torna: <math> e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} \left(e^{i k \Delta x} - 2 + e^{-i k \Delta x}\right). </math>
Usando <math> e^{i k \Delta x} + e^{-i k \Delta x} = 2 \cos(k \Delta x) </math>, temos: <math> e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} \left(-2 + 2 \cos(k \Delta x)\right). </math>
Substituímos isso na equação e cancelamos o fator <math> e^{i k x_i} </math>, que nunca é zero: <math> G^{n+1} = 2 G^n - G^{n-1} - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) G^n - \beta^2 G^n. </math>

Simplificando mais, obtemos: <math> G^{n+1} = (2 - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) - \beta^2) G^n - G^{n-1}. </math>

Equação Característica: Assumimos uma solução na forma de uma equação quadrática <math> G </math>: <math> G^2 - G \left(2 - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) - \beta^2 \right) + 1 = 0. </math>

Condição de Estabilidade: Para estabilidade, as raízes de <math> G </math> devem satisfazer <math> |G| \leq 1 </math>. Isso leva ao critério: <math> \alpha \leq 1, \quad \text{ou seja,} \quad \frac{c \Delta t}{\Delta x} \leq 1. </math>

Conclusão Matemática:
A condição <math> \alpha \leq 1 </math> garante que os termos oscilatórios na solução não crescem exponencialmente. Essa análise também mostra que:

Quanto menor o passo de tempo <math> \Delta t </math>, mais precisa e estável é a solução.
A relação entre os passos de tempo e espaço é crucial: aumentar muito <math> \Delta t </math> sem ajustar <math> \Delta x </math> pode levar à instabilidade.

== C.C e C.I ==

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condições iniciais e de contorno:

<math> \psi(x,0) = Ae^{-\frac{x-x_0}{2\sigma^2}}</math> que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e <math>\frac{\partial \psi(x,0)}{\partial t} =0 </math> que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, <math> x_0 </math> é a posição central do pulso e <math> \sigma </math> é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que <math>\psi(0,t)= 0 </math> e <math>\psi(L,t)=0 </math> o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas:

[[Arquivo:Estatico.png]]

[[Arquivo:Klein 2.gif]]

[[Arquivo:Estabilidade.gif]]

Localização Inicial: No gráfico mostrado, <math> \psi(x,t) </math> tem um pico bem definido, o que sugere que a partícula está localizada inicialmente em torno de um ponto central no espaço. Isso significa que a probabilidade da partícula estar presente é maior nessa região (em torno do pico), e diminui nas bordas. No gráfico mostrado acima, <math> \psi(x,t) </math> tem um pico bem definido, o que sugere que a partícula está localizada inicialmente em torno de um ponto central no espaço. Isso significa que a probabilidade da partícula estar presente é maior nessa região (em torno do pico), e diminui nas bordas.

== Código utilizado ==

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.animation import FuncAnimation

# Parâmetros gerais
L = 10.0 # Comprimento da simulação
Nx = 100 # Número de pontos espaciais
dx = L / Nx # Passo espacial
T_max = 30 # Tempo máximo de simulação
m = 1.0 # Massa da partícula
c = 1.0 # Velocidade da luz
hbar = 1.0 # Constante de Planck reduzida

# Parâmetros para o pulso gaussiano
A = 1.0 # Amplitude do pulso
x0 = L / 2 # Posição central do pulso
sigma = 0.5 # Largura do pulso

# Discretização espacial
x = np.linspace(0, L, Nx)

# Função de onda inicial: pulso gaussiano
phi_0 = A * np.exp(-((x - x0)**2) / (2 * sigma**2))
dphi_0 = np.zeros(Nx) # Derivada inicial nula

# Parâmetros para estabilidade
alpha_stable = 0.5 # Valor estável para alpha (c * dt / dx)
dt_stable = alpha_stable * dx / c
alpha_unstable = 1.5 # Valor instável para alpha (c * dt / dx)
dt_unstable = alpha_unstable * dx / c

Nt_stable = int(T_max / dt_stable)
Nt_unstable = int(T_max / dt_unstable)

# Função para evolução temporal
def evolve_wave(dt, Nt):
phi = np.zeros((Nt, Nx))
phi[0, :] = phi_0
phi[1, :] = phi_0 + dt * dphi_0

for n in range(1, Nt-1):
for i in range(1, Nx-1):
phi[n+1, i] = 2 * phi[n, i] - phi[n-1, i] + (dt**2) * (
(phi[n, i+1] - 2 * phi[n, i] + phi[n, i-1]) / dx**2
- (m**2 * c**2 / hbar**2) * phi[n, i]
)

return phi

# Evoluir para casos estável e instável
phi_stable = evolve_wave(dt_stable, Nt_stable)
phi_unstable = evolve_wave(dt_unstable, Nt_unstable)

# Inicializando o gráfico
fig, ax = plt.subplots(2, 1, figsize=(10, 8))

# Estável
def update_stable(frame):
ax[0].cla()
ax[0].plot(x, phi_stable[frame, :], label=f'Tempo: {frame * dt_stable:.2f}s')
ax[0].set_title("Evolução Estável")
ax[0].set_xlim(0, L)
ax[0].set_ylim(-1.5, 1.5)
ax[0].legend()

# Instável
def update_unstable(frame):
ax[1].cla()
ax[1].plot(x, phi_unstable[frame, :], label=f'Tempo: {frame * dt_unstable:.2f}s')
ax[1].set_title("Evolução Instável")
ax[1].set_xlim(0, L)
ax[1].set_ylim(-1.5, 1.5)
ax[1].legend()

# Função de inicialização
def init():
for a in ax:
a.clear()
return ax

# Atualização combinada para animação
def update(frame):
update_stable(frame)
update_unstable(frame)
return ax

# Criando a animação
frames_stable = range(0, Nt_stable, max(1, Nt_stable // 150))
frames_unstable = range(0, Nt_unstable, max(1, Nt_unstable // 150))
ani = FuncAnimation(fig, update, frames=min(len(frames_stable), len(frames_unstable)), init_func=init, blit=False)

# Salvando as animações
fig.tight_layout()
ani.save('klein_gordon_stable_vs_unstable.gif', writer='pillow', fps=30)

plt.show()

Equação de Klein-Gordon

2025-01-08T15:17:10Z

Eduardoleite: /* Código utilizado */

== INTRODUÇÃO ==
A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os bósons de Higgs) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein <math>E=p^2c^2 + m^2c^4 </math>. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

<math> \left( \Box + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right) \psi(x,t)= 0 </math>

onde <math> \left( \Box = \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} -\nabla^2 \right) </math> é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

<math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \psi - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math>

<math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math> (em uma dimensão)

Inicialmente, a equação pode ser interpretada como uma equação de um campo escalar que pode ser quantizado, onde é introduzido um campo quantico que é descrito por partículas sem spin. No reino da física de partículas, as interações eletromagnéticas podem ser incorporadas formando o tópico da eletrodinâmica escalar, por exemplo. Entretando, a solução da equação não pode ser interpretada diretamente como a densidade de probabilidade vista na equação de Schrodinger, em vez disso, a densidade de probabilidade relativística é definida usando uma corrente de probabilidade associada. Na mecânica quântica relativística, a função de onda <math> \psi(x,t) </math> é usada para descrever o estado de uma partícula no espaço-tempo.

== MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ==

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos <math>\Delta t </math> criando uma sequência de pontos <math>t_n=n\Delta t </math>. Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos <math>\Delta x </math> criando uma sequência de pontos <math>x_i=i\Delta x </math>.
Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}</math> e <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \approx \frac{u_i^{n+1} - 2u_i^n + u_i^{n-1}}{(\Delta t)^2} </math> para o tempo.

<math>\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1}^n - u_i^n}{\Delta x} e \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2} </math> para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2} \approx \frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2}</math>

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \approx \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x- \Delta x,t)}{(\Delta x)^2} </math>

ou seja:

<math>\frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2} = c^2 \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta x)^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi </math>

isso nos leva a equação final:

<math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta,t) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi </math>

chamarei <math>\alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x} </math> e <math> \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar} </math>

portanto, <math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\alpha^2 \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) - \beta^2 \psi </math>

ou, mais usualmente: <math>\psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 ( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \beta^2 \psi </math>

== CRITÉRIO DE ESTABILIDADE ==

Forma Contínua e Discretização: A equação de Klein-Gordon contínua é: <math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi. </math>

A forma discreta, usando diferenças finitas centralizadas no tempo e no espaço, é: <math> \psi_i^{n+1} = 2 \psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} (\psi_{i+1}^n - 2 \psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi_i^n. </math> Aqui, definimos os coeficientes: <math> \alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x}, \quad \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar}. </math>

Suposição de Solução Harmônica: Substituímos uma solução da forma: <math> \psi_i^n = G^n e^{i k x_i}, </math> onde:

na equação: <math> G^{n+1} e^{i k x_i} = 2 G^n e^{i k x_i} - G^{n-1} e^{i k x_i} + \alpha^2 G^n \left(e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}}\right) - \beta^2 G^n e^{i k x_i}. </math>

Simplificação:

Como <math> e^{i k x_{i+1}} = e^{i k x_i} e^{i k \Delta x} </math> e <math> e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} e^{-i k \Delta x} </math>, o termo centralizado se torna: <math> e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} \left(e^{i k \Delta x} - 2 + e^{-i k \Delta x}\right). </math>
Usando <math> e^{i k \Delta x} + e^{-i k \Delta x} = 2 \cos(k \Delta x) </math>, temos: <math> e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} \left(-2 + 2 \cos(k \Delta x)\right). </math>
Substituímos isso na equação e cancelamos o fator <math> e^{i k x_i} </math>, que nunca é zero: <math> G^{n+1} = 2 G^n - G^{n-1} - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) G^n - \beta^2 G^n. </math>

Simplificando mais, obtemos: <math> G^{n+1} = (2 - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) - \beta^2) G^n - G^{n-1}. </math>

Equação Característica: Assumimos uma solução na forma de uma equação quadrática <math> G </math>: <math> G^2 - G \left(2 - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) - \beta^2 \right) + 1 = 0. </math>

Condição de Estabilidade: Para estabilidade, as raízes de <math> G </math> devem satisfazer <math> |G| \leq 1 </math>. Isso leva ao critério: <math> \alpha \leq 1, \quad \text{ou seja,} \quad \frac{c \Delta t}{\Delta x} \leq 1. </math>

Conclusão Matemática:
A condição <math> \alpha \leq 1 </math> garante que os termos oscilatórios na solução não crescem exponencialmente. Essa análise também mostra que:

Quanto menor o passo de tempo <math> \Delta t </math>, mais precisa e estável é a solução.
A relação entre os passos de tempo e espaço é crucial: aumentar muito <math> \Delta t </math> sem ajustar <math> \Delta x </math> pode levar à instabilidade.

== C.C e C.I ==

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condições iniciais e de contorno:

<math> \psi(x,0) = Ae^{-\frac{x-x_0}{2\sigma^2}}</math> que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e <math>\frac{\partial \psi(x,0)}{\partial t} =0 </math> que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, <math> x_0 </math> é a posição central do pulso e <math> \sigma </math> é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que <math>\psi(0,t)= 0 </math> e <math>\psi(L,t)=0 </math> o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas:

[[Arquivo:Estatico.png]]

[[Arquivo:Klein 2.gif]]

[[Arquivo:Estabilidade.gif]]

Localização Inicial: No gráfico mostrado, <math> \psi(x,t) </math> tem um pico bem definido, o que sugere que a partícula está localizada inicialmente em torno de um ponto central no espaço. Isso significa que a probabilidade da partícula estar presente é maior nessa região (em torno do pico), e diminui nas bordas. No gráfico mostrado acima, <math> \psi(x,t) </math> tem um pico bem definido, o que sugere que a partícula está localizada inicialmente em torno de um ponto central no espaço. Isso significa que a probabilidade da partícula estar presente é maior nessa região (em torno do pico), e diminui nas bordas.

== Código utilizado ==

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.animation import FuncAnimation

# Parâmetros gerais
L = 10.0 # Comprimento da simulação
Nx = 100 # Número de pontos espaciais
dx = L / Nx # Passo espacial
T_max = 30 # Tempo máximo de simulação
m = 1.0 # Massa da partícula
c = 1.0 # Velocidade da luz
hbar = 1.0 # Constante de Planck reduzida

# Parâmetros para o pulso gaussiano
A = 1.0 # Amplitude do pulso
x0 = L / 2 # Posição central do pulso
sigma = 0.5 # Largura do pulso

# Discretização espacial
x = np.linspace(0, L, Nx)

# Função de onda inicial: pulso gaussiano
phi_0 = A * np.exp(-((x - x0)**2) / (2 * sigma**2))
dphi_0 = np.zeros(Nx) # Derivada inicial nula

# Parâmetros para estabilidade
alpha_stable = 0.5 # Valor estável para alpha (c * dt / dx)
dt_stable = alpha_stable * dx / c
alpha_unstable = 1.5 # Valor instável para alpha (c * dt / dx)
dt_unstable = alpha_unstable * dx / c

Nt_stable = int(T_max / dt_stable)
Nt_unstable = int(T_max / dt_unstable)

# Função para evolução temporal
def evolve_wave(dt, Nt):
phi = np.zeros((Nt, Nx))
phi[0, :] = phi_0
phi[1, :] = phi_0 + dt * dphi_0

for n in range(1, Nt-1):
for i in range(1, Nx-1):
phi[n+1, i] = 2 * phi[n, i] - phi[n-1, i] + (dt**2) * (
(phi[n, i+1] - 2 * phi[n, i] + phi[n, i-1]) / dx**2
- (m**2 * c**2 / hbar**2) * phi[n, i]
)

return phi

# Evoluir para casos estável e instável
phi_stable = evolve_wave(dt_stable, Nt_stable)
phi_unstable = evolve_wave(dt_unstable, Nt_unstable)

# Inicializando o gráfico
fig, ax = plt.subplots(2, 1, figsize=(10, 8))

# Estável
def update_stable(frame):
ax[0].cla()
ax[0].plot(x, phi_stable[frame, :], label=f'Tempo: {frame * dt_stable:.2f}s')
ax[0].set_title("Evolução Estável")
ax[0].set_xlim(0, L)
ax[0].set_ylim(-1.5, 1.5)
ax[0].legend()

# Instável
def update_unstable(frame):
ax[1].cla()
ax[1].plot(x, phi_unstable[frame, :], label=f'Tempo: {frame * dt_unstable:.2f}s')
ax[1].set_title("Evolução Instável")
ax[1].set_xlim(0, L)
ax[1].set_ylim(-1.5, 1.5)
ax[1].legend()

# Função de inicialização
def init():
for a in ax:
a.clear()
return ax

# Atualização combinada para animação
def update(frame):
update_stable(frame)
update_unstable(frame)
return ax

# Criando a animação
frames_stable = range(0, Nt_stable, max(1, Nt_stable // 150))
frames_unstable = range(0, Nt_unstable, max(1, Nt_unstable // 150))
ani = FuncAnimation(fig, update, frames=min(len(frames_stable), len(frames_unstable)), init_func=init, blit=False)

# Salvando as animações
fig.tight_layout()
ani.save('klein_gordon_stable_vs_unstable.gif', writer='pillow', fps=30)

plt.show()

Equação de Klein-Gordon

2025-01-08T15:16:44Z

Eduardoleite: /* Código utilizadi */

== INTRODUÇÃO ==
A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os bósons de Higgs) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein <math>E=p^2c^2 + m^2c^4 </math>. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

<math> \left( \Box + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right) \psi(x,t)= 0 </math>

onde <math> \left( \Box = \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} -\nabla^2 \right) </math> é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

<math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \psi - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math>

<math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math> (em uma dimensão)

Inicialmente, a equação pode ser interpretada como uma equação de um campo escalar que pode ser quantizado, onde é introduzido um campo quantico que é descrito por partículas sem spin. No reino da física de partículas, as interações eletromagnéticas podem ser incorporadas formando o tópico da eletrodinâmica escalar, por exemplo. Entretando, a solução da equação não pode ser interpretada diretamente como a densidade de probabilidade vista na equação de Schrodinger, em vez disso, a densidade de probabilidade relativística é definida usando uma corrente de probabilidade associada. Na mecânica quântica relativística, a função de onda <math> \psi(x,t) </math> é usada para descrever o estado de uma partícula no espaço-tempo.

== MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ==

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos <math>\Delta t </math> criando uma sequência de pontos <math>t_n=n\Delta t </math>. Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos <math>\Delta x </math> criando uma sequência de pontos <math>x_i=i\Delta x </math>.
Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}</math> e <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \approx \frac{u_i^{n+1} - 2u_i^n + u_i^{n-1}}{(\Delta t)^2} </math> para o tempo.

<math>\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1}^n - u_i^n}{\Delta x} e \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2} </math> para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2} \approx \frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2}</math>

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \approx \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x- \Delta x,t)}{(\Delta x)^2} </math>

ou seja:

<math>\frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2} = c^2 \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta x)^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi </math>

isso nos leva a equação final:

<math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta,t) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi </math>

chamarei <math>\alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x} </math> e <math> \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar} </math>

portanto, <math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\alpha^2 \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) - \beta^2 \psi </math>

ou, mais usualmente: <math>\psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 ( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \beta^2 \psi </math>

== CRITÉRIO DE ESTABILIDADE ==

Forma Contínua e Discretização: A equação de Klein-Gordon contínua é: <math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi. </math>

A forma discreta, usando diferenças finitas centralizadas no tempo e no espaço, é: <math> \psi_i^{n+1} = 2 \psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} (\psi_{i+1}^n - 2 \psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi_i^n. </math> Aqui, definimos os coeficientes: <math> \alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x}, \quad \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar}. </math>

Suposição de Solução Harmônica: Substituímos uma solução da forma: <math> \psi_i^n = G^n e^{i k x_i}, </math> onde:

na equação: <math> G^{n+1} e^{i k x_i} = 2 G^n e^{i k x_i} - G^{n-1} e^{i k x_i} + \alpha^2 G^n \left(e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}}\right) - \beta^2 G^n e^{i k x_i}. </math>

Simplificação:

Como <math> e^{i k x_{i+1}} = e^{i k x_i} e^{i k \Delta x} </math> e <math> e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} e^{-i k \Delta x} </math>, o termo centralizado se torna: <math> e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} \left(e^{i k \Delta x} - 2 + e^{-i k \Delta x}\right). </math>
Usando <math> e^{i k \Delta x} + e^{-i k \Delta x} = 2 \cos(k \Delta x) </math>, temos: <math> e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} \left(-2 + 2 \cos(k \Delta x)\right). </math>
Substituímos isso na equação e cancelamos o fator <math> e^{i k x_i} </math>, que nunca é zero: <math> G^{n+1} = 2 G^n - G^{n-1} - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) G^n - \beta^2 G^n. </math>

Simplificando mais, obtemos: <math> G^{n+1} = (2 - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) - \beta^2) G^n - G^{n-1}. </math>

Equação Característica: Assumimos uma solução na forma de uma equação quadrática <math> G </math>: <math> G^2 - G \left(2 - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) - \beta^2 \right) + 1 = 0. </math>

Condição de Estabilidade: Para estabilidade, as raízes de <math> G </math> devem satisfazer <math> |G| \leq 1 </math>. Isso leva ao critério: <math> \alpha \leq 1, \quad \text{ou seja,} \quad \frac{c \Delta t}{\Delta x} \leq 1. </math>

Conclusão Matemática:
A condição <math> \alpha \leq 1 </math> garante que os termos oscilatórios na solução não crescem exponencialmente. Essa análise também mostra que:

Quanto menor o passo de tempo <math> \Delta t </math>, mais precisa e estável é a solução.
A relação entre os passos de tempo e espaço é crucial: aumentar muito <math> \Delta t </math> sem ajustar <math> \Delta x </math> pode levar à instabilidade.

== C.C e C.I ==

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condições iniciais e de contorno:

<math> \psi(x,0) = Ae^{-\frac{x-x_0}{2\sigma^2}}</math> que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e <math>\frac{\partial \psi(x,0)}{\partial t} =0 </math> que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, <math> x_0 </math> é a posição central do pulso e <math> \sigma </math> é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que <math>\psi(0,t)= 0 </math> e <math>\psi(L,t)=0 </math> o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas:

[[Arquivo:Estatico.png]]

[[Arquivo:Klein 2.gif]]

[[Arquivo:Estabilidade.gif]]

Localização Inicial: No gráfico mostrado, <math> \psi(x,t) </math> tem um pico bem definido, o que sugere que a partícula está localizada inicialmente em torno de um ponto central no espaço. Isso significa que a probabilidade da partícula estar presente é maior nessa região (em torno do pico), e diminui nas bordas. No gráfico mostrado acima, <math> \psi(x,t) </math> tem um pico bem definido, o que sugere que a partícula está localizada inicialmente em torno de um ponto central no espaço. Isso significa que a probabilidade da partícula estar presente é maior nessa região (em torno do pico), e diminui nas bordas.

=== Código utilizado ===

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.animation import FuncAnimation

# Parâmetros gerais
L = 10.0 # Comprimento da simulação
Nx = 100 # Número de pontos espaciais
dx = L / Nx # Passo espacial
T_max = 30 # Tempo máximo de simulação
m = 1.0 # Massa da partícula
c = 1.0 # Velocidade da luz
hbar = 1.0 # Constante de Planck reduzida

# Parâmetros para o pulso gaussiano
A = 1.0 # Amplitude do pulso
x0 = L / 2 # Posição central do pulso
sigma = 0.5 # Largura do pulso

# Discretização espacial
x = np.linspace(0, L, Nx)

# Função de onda inicial: pulso gaussiano
phi_0 = A * np.exp(-((x - x0)**2) / (2 * sigma**2))
dphi_0 = np.zeros(Nx) # Derivada inicial nula

# Parâmetros para estabilidade
alpha_stable = 0.5 # Valor estável para alpha (c * dt / dx)
dt_stable = alpha_stable * dx / c
alpha_unstable = 1.5 # Valor instável para alpha (c * dt / dx)
dt_unstable = alpha_unstable * dx / c

Nt_stable = int(T_max / dt_stable)
Nt_unstable = int(T_max / dt_unstable)

# Função para evolução temporal
def evolve_wave(dt, Nt):
phi = np.zeros((Nt, Nx))
phi[0, :] = phi_0
phi[1, :] = phi_0 + dt * dphi_0

for n in range(1, Nt-1):
for i in range(1, Nx-1):
phi[n+1, i] = 2 * phi[n, i] - phi[n-1, i] + (dt**2) * (
(phi[n, i+1] - 2 * phi[n, i] + phi[n, i-1]) / dx**2
- (m**2 * c**2 / hbar**2) * phi[n, i]
)

return phi

# Evoluir para casos estável e instável
phi_stable = evolve_wave(dt_stable, Nt_stable)
phi_unstable = evolve_wave(dt_unstable, Nt_unstable)

# Inicializando o gráfico
fig, ax = plt.subplots(2, 1, figsize=(10, 8))

# Estável
def update_stable(frame):
ax[0].cla()
ax[0].plot(x, phi_stable[frame, :], label=f'Tempo: {frame * dt_stable:.2f}s')
ax[0].set_title("Evolução Estável")
ax[0].set_xlim(0, L)
ax[0].set_ylim(-1.5, 1.5)
ax[0].legend()

# Instável
def update_unstable(frame):
ax[1].cla()
ax[1].plot(x, phi_unstable[frame, :], label=f'Tempo: {frame * dt_unstable:.2f}s')
ax[1].set_title("Evolução Instável")
ax[1].set_xlim(0, L)
ax[1].set_ylim(-1.5, 1.5)
ax[1].legend()

# Função de inicialização
def init():
for a in ax:
a.clear()
return ax

# Atualização combinada para animação
def update(frame):
update_stable(frame)
update_unstable(frame)
return ax

# Criando a animação
frames_stable = range(0, Nt_stable, max(1, Nt_stable // 150))
frames_unstable = range(0, Nt_unstable, max(1, Nt_unstable // 150))
ani = FuncAnimation(fig, update, frames=min(len(frames_stable), len(frames_unstable)), init_func=init, blit=False)

# Salvando as animações
fig.tight_layout()
ani.save('klein_gordon_stable_vs_unstable.gif', writer='pillow', fps=30)

plt.show()

Equação de Klein-Gordon

2025-01-08T15:16:14Z

Eduardoleite:

== INTRODUÇÃO ==
A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os bósons de Higgs) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein <math>E=p^2c^2 + m^2c^4 </math>. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

<math> \left( \Box + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right) \psi(x,t)= 0 </math>

onde <math> \left( \Box = \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} -\nabla^2 \right) </math> é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

<math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \psi - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math>

<math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math> (em uma dimensão)

Inicialmente, a equação pode ser interpretada como uma equação de um campo escalar que pode ser quantizado, onde é introduzido um campo quantico que é descrito por partículas sem spin. No reino da física de partículas, as interações eletromagnéticas podem ser incorporadas formando o tópico da eletrodinâmica escalar, por exemplo. Entretando, a solução da equação não pode ser interpretada diretamente como a densidade de probabilidade vista na equação de Schrodinger, em vez disso, a densidade de probabilidade relativística é definida usando uma corrente de probabilidade associada. Na mecânica quântica relativística, a função de onda <math> \psi(x,t) </math> é usada para descrever o estado de uma partícula no espaço-tempo.

== MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ==

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos <math>\Delta t </math> criando uma sequência de pontos <math>t_n=n\Delta t </math>. Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos <math>\Delta x </math> criando uma sequência de pontos <math>x_i=i\Delta x </math>.
Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}</math> e <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \approx \frac{u_i^{n+1} - 2u_i^n + u_i^{n-1}}{(\Delta t)^2} </math> para o tempo.

<math>\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1}^n - u_i^n}{\Delta x} e \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2} </math> para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2} \approx \frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2}</math>

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \approx \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x- \Delta x,t)}{(\Delta x)^2} </math>

ou seja:

<math>\frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2} = c^2 \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta x)^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi </math>

isso nos leva a equação final:

<math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta,t) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi </math>

chamarei <math>\alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x} </math> e <math> \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar} </math>

portanto, <math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\alpha^2 \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) - \beta^2 \psi </math>

ou, mais usualmente: <math>\psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 ( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \beta^2 \psi </math>

== CRITÉRIO DE ESTABILIDADE ==

Forma Contínua e Discretização: A equação de Klein-Gordon contínua é: <math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi. </math>

A forma discreta, usando diferenças finitas centralizadas no tempo e no espaço, é: <math> \psi_i^{n+1} = 2 \psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} (\psi_{i+1}^n - 2 \psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi_i^n. </math> Aqui, definimos os coeficientes: <math> \alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x}, \quad \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar}. </math>

Suposição de Solução Harmônica: Substituímos uma solução da forma: <math> \psi_i^n = G^n e^{i k x_i}, </math> onde:

na equação: <math> G^{n+1} e^{i k x_i} = 2 G^n e^{i k x_i} - G^{n-1} e^{i k x_i} + \alpha^2 G^n \left(e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}}\right) - \beta^2 G^n e^{i k x_i}. </math>

Simplificação:

Como <math> e^{i k x_{i+1}} = e^{i k x_i} e^{i k \Delta x} </math> e <math> e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} e^{-i k \Delta x} </math>, o termo centralizado se torna: <math> e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} \left(e^{i k \Delta x} - 2 + e^{-i k \Delta x}\right). </math>
Usando <math> e^{i k \Delta x} + e^{-i k \Delta x} = 2 \cos(k \Delta x) </math>, temos: <math> e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} \left(-2 + 2 \cos(k \Delta x)\right). </math>
Substituímos isso na equação e cancelamos o fator <math> e^{i k x_i} </math>, que nunca é zero: <math> G^{n+1} = 2 G^n - G^{n-1} - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) G^n - \beta^2 G^n. </math>

Simplificando mais, obtemos: <math> G^{n+1} = (2 - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) - \beta^2) G^n - G^{n-1}. </math>

Equação Característica: Assumimos uma solução na forma de uma equação quadrática <math> G </math>: <math> G^2 - G \left(2 - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) - \beta^2 \right) + 1 = 0. </math>

Condição de Estabilidade: Para estabilidade, as raízes de <math> G </math> devem satisfazer <math> |G| \leq 1 </math>. Isso leva ao critério: <math> \alpha \leq 1, \quad \text{ou seja,} \quad \frac{c \Delta t}{\Delta x} \leq 1. </math>

Conclusão Matemática:
A condição <math> \alpha \leq 1 </math> garante que os termos oscilatórios na solução não crescem exponencialmente. Essa análise também mostra que:

Quanto menor o passo de tempo <math> \Delta t </math>, mais precisa e estável é a solução.
A relação entre os passos de tempo e espaço é crucial: aumentar muito <math> \Delta t </math> sem ajustar <math> \Delta x </math> pode levar à instabilidade.

== C.C e C.I ==

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condições iniciais e de contorno:

<math> \psi(x,0) = Ae^{-\frac{x-x_0}{2\sigma^2}}</math> que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e <math>\frac{\partial \psi(x,0)}{\partial t} =0 </math> que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, <math> x_0 </math> é a posição central do pulso e <math> \sigma </math> é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que <math>\psi(0,t)= 0 </math> e <math>\psi(L,t)=0 </math> o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas:

[[Arquivo:Estatico.png]]

[[Arquivo:Klein 2.gif]]

[[Arquivo:Estabilidade.gif]]

Localização Inicial: No gráfico mostrado, <math> \psi(x,t) </math> tem um pico bem definido, o que sugere que a partícula está localizada inicialmente em torno de um ponto central no espaço. Isso significa que a probabilidade da partícula estar presente é maior nessa região (em torno do pico), e diminui nas bordas. No gráfico mostrado acima, <math> \psi(x,t) </math> tem um pico bem definido, o que sugere que a partícula está localizada inicialmente em torno de um ponto central no espaço. Isso significa que a probabilidade da partícula estar presente é maior nessa região (em torno do pico), e diminui nas bordas.

== Código utilizadi ==

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.animation import FuncAnimation

# Parâmetros gerais
L = 10.0 # Comprimento da simulação
Nx = 100 # Número de pontos espaciais
dx = L / Nx # Passo espacial
T_max = 30 # Tempo máximo de simulação
m = 1.0 # Massa da partícula
c = 1.0 # Velocidade da luz
hbar = 1.0 # Constante de Planck reduzida

# Parâmetros para o pulso gaussiano
A = 1.0 # Amplitude do pulso
x0 = L / 2 # Posição central do pulso
sigma = 0.5 # Largura do pulso

# Discretização espacial
x = np.linspace(0, L, Nx)

# Função de onda inicial: pulso gaussiano
phi_0 = A * np.exp(-((x - x0)**2) / (2 * sigma**2))
dphi_0 = np.zeros(Nx) # Derivada inicial nula

# Parâmetros para estabilidade
alpha_stable = 0.5 # Valor estável para alpha (c * dt / dx)
dt_stable = alpha_stable * dx / c
alpha_unstable = 1.5 # Valor instável para alpha (c * dt / dx)
dt_unstable = alpha_unstable * dx / c

Nt_stable = int(T_max / dt_stable)
Nt_unstable = int(T_max / dt_unstable)

# Função para evolução temporal
def evolve_wave(dt, Nt):
phi = np.zeros((Nt, Nx))
phi[0, :] = phi_0
phi[1, :] = phi_0 + dt * dphi_0

for n in range(1, Nt-1):
for i in range(1, Nx-1):
phi[n+1, i] = 2 * phi[n, i] - phi[n-1, i] + (dt**2) * (
(phi[n, i+1] - 2 * phi[n, i] + phi[n, i-1]) / dx**2
- (m**2 * c**2 / hbar**2) * phi[n, i]
)

return phi

# Evoluir para casos estável e instável
phi_stable = evolve_wave(dt_stable, Nt_stable)
phi_unstable = evolve_wave(dt_unstable, Nt_unstable)

# Inicializando o gráfico
fig, ax = plt.subplots(2, 1, figsize=(10, 8))

# Estável
def update_stable(frame):
ax[0].cla()
ax[0].plot(x, phi_stable[frame, :], label=f'Tempo: {frame * dt_stable:.2f}s')
ax[0].set_title("Evolução Estável")
ax[0].set_xlim(0, L)
ax[0].set_ylim(-1.5, 1.5)
ax[0].legend()

# Instável
def update_unstable(frame):
ax[1].cla()
ax[1].plot(x, phi_unstable[frame, :], label=f'Tempo: {frame * dt_unstable:.2f}s')
ax[1].set_title("Evolução Instável")
ax[1].set_xlim(0, L)
ax[1].set_ylim(-1.5, 1.5)
ax[1].legend()

# Função de inicialização
def init():
for a in ax:
a.clear()
return ax

# Atualização combinada para animação
def update(frame):
update_stable(frame)
update_unstable(frame)
return ax

# Criando a animação
frames_stable = range(0, Nt_stable, max(1, Nt_stable // 150))
frames_unstable = range(0, Nt_unstable, max(1, Nt_unstable // 150))
ani = FuncAnimation(fig, update, frames=min(len(frames_stable), len(frames_unstable)), init_func=init, blit=False)

# Salvando as animações
fig.tight_layout()
ani.save('klein_gordon_stable_vs_unstable.gif', writer='pillow', fps=30)

plt.show()

Equação de Klein-Gordon

2025-01-08T15:12:12Z

Eduardoleite: /* INTRODUÇÃO */

Equação de Klein-Gordon

2025-01-08T14:57:01Z

Eduardoleite: /* C.C e C.I */

== INTRODUÇÃO ==
A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os mésons, em seu modelo básico) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein <math>E=p^2c^2 + m^2c^4 </math>. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

<math> \left( \Box + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right) \psi(x,t)= 0 </math>

onde <math> \left( \Box = \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} -\nabla^2 \right) </math> é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

<math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \psi - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math>

<math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math> (em uma dimensão)

Inicialmente, a equação pode ser interpretada como uma equação de um campo escalar que pode ser quantizado, onde é introduzido um campo quantico que é descrito por partículas sem spin. No reino da física de partículas, as interações eletromagnéticas podem ser incorporadas formando o tópico da eletrodinâmica escalar, por exemplo. Entretando, a solução da equação não pode ser interpretada diretamente como a densidade de probabilidade vista na equação de Schrodinger, em vez disso, a densidade de probabilidade relativística é definida usando uma corrente de probabilidade associada. Na mecânica quântica relativística, a função de onda <math> \psi(x,t) <\math> é usada para descrever o estado de uma partícula no espaço-tempo.

== MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ==

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos <math>\Delta t </math> criando uma sequência de pontos <math>t_n=n\Delta t </math>. Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos <math>\Delta x </math> criando uma sequência de pontos <math>x_i=i\Delta x </math>.
Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}</math> e <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \approx \frac{u_i^{n+1} - 2u_i^n + u_i^{n-1}}{(\Delta t)^2} </math> para o tempo.

<math>\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1}^n - u_i^n}{\Delta x} e \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2} </math> para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2} \approx \frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2}</math>

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \approx \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x- \Delta x,t)}{(\Delta x)^2} </math>

ou seja:

<math>\frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2} = c^2 \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta x)^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi </math>

isso nos leva a equação final:

<math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta,t) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi </math>

chamarei <math>\alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x} </math> e <math> \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar} </math>

portanto, <math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\alpha^2 \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) - \beta^2 \psi </math>

ou, mais usualmente: <math>\psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 ( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \beta^2 \psi </math>

== CRITÉRIO DE ESTABILIDADE ==

Forma Contínua e Discretização: A equação de Klein-Gordon contínua é: <math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi. </math>

A forma discreta, usando diferenças finitas centralizadas no tempo e no espaço, é: <math> \psi_i^{n+1} = 2 \psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} (\psi_{i+1}^n - 2 \psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi_i^n. </math> Aqui, definimos os coeficientes: <math> \alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x}, \quad \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar}. </math>

Suposição de Solução Harmônica: Substituímos uma solução da forma: <math> \psi_i^n = G^n e^{i k x_i}, </math> onde:

na equação: <math> G^{n+1} e^{i k x_i} = 2 G^n e^{i k x_i} - G^{n-1} e^{i k x_i} + \alpha^2 G^n \left(e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}}\right) - \beta^2 G^n e^{i k x_i}. </math>

Simplificação:

Como <math> e^{i k x_{i+1}} = e^{i k x_i} e^{i k \Delta x} </math> e <math> e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} e^{-i k \Delta x} </math>, o termo centralizado se torna: <math> e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} \left(e^{i k \Delta x} - 2 + e^{-i k \Delta x}\right). </math>
Usando <math> e^{i k \Delta x} + e^{-i k \Delta x} = 2 \cos(k \Delta x) </math>, temos: <math> e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} \left(-2 + 2 \cos(k \Delta x)\right). </math>
Substituímos isso na equação e cancelamos o fator <math> e^{i k x_i} </math>, que nunca é zero: <math> G^{n+1} = 2 G^n - G^{n-1} - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) G^n - \beta^2 G^n. </math>

Simplificando mais, obtemos: <math> G^{n+1} = (2 - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) - \beta^2) G^n - G^{n-1}. </math>

Equação Característica: Assumimos uma solução na forma de uma equação quadrática <math> G </math>: <math> G^2 - G \left(2 - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) - \beta^2 \right) + 1 = 0. </math>

Condição de Estabilidade: Para estabilidade, as raízes de <math> G </math> devem satisfazer <math> |G| \leq 1 </math>. Isso leva ao critério: <math> \alpha \leq 1, \quad \text{ou seja,} \quad \frac{c \Delta t}{\Delta x} \leq 1. </math>

Conclusão Matemática:
A condição <math> \alpha \leq 1 </math> garante que os termos oscilatórios na solução não crescem exponencialmente. Essa análise também mostra que:

Quanto menor o passo de tempo <math> \Delta t </math>, mais precisa e estável é a solução.
A relação entre os passos de tempo e espaço é crucial: aumentar muito <math> \Delta t </math> sem ajustar <math> \Delta x </math> pode levar à instabilidade.

== C.C e C.I ==

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condições iniciais e de contorno:

<math> \psi(x,0) = Ae^{-\frac{x-x_0}{2\sigma^2}}</math> que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e <math>\frac{\partial \psi(x,0)}{\partial t} =0 </math> que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, <math> x_0 </math> é a posição central do pulso e <math> \sigma </math> é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que <math>\psi(0,t)= 0 </math> e <math>\psi(L,t)=0 </math> o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas:

[[Arquivo:Estatico.png]]

[[Arquivo:Klein 2.gif]]

[[Arquivo:Estabilidade.gif]]

Localização Inicial: No gráfico mostrado, <math> \psi(x,t) </math> tem um pico bem definido, o que sugere que a partícula está localizada inicialmente em torno de um ponto central no espaço. Isso significa que a probabilidade da partícula estar presente é maior nessa região (em torno do pico), e diminui nas bordas. No gráfico mostrado acima, <math> \psi(x,t) </math> tem um pico bem definido, o que sugere que a partícula está localizada inicialmente em torno de um ponto central no espaço. Isso significa que a probabilidade da partícula estar presente é maior nessa região (em torno do pico), e diminui nas bordas.

Equação de Klein-Gordon

2025-01-08T14:55:30Z

Eduardoleite: /* C.C e C.I */

== INTRODUÇÃO ==
A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os mésons, em seu modelo básico) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein <math>E=p^2c^2 + m^2c^4 </math>. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

<math> \left( \Box + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right) \psi(x,t)= 0 </math>

onde <math> \left( \Box = \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} -\nabla^2 \right) </math> é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

<math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \psi - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math>

<math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math> (em uma dimensão)

Inicialmente, a equação pode ser interpretada como uma equação de um campo escalar que pode ser quantizado, onde é introduzido um campo quantico que é descrito por partículas sem spin. No reino da física de partículas, as interações eletromagnéticas podem ser incorporadas formando o tópico da eletrodinâmica escalar, por exemplo. Entretando, a solução da equação não pode ser interpretada diretamente como a densidade de probabilidade vista na equação de Schrodinger, em vez disso, a densidade de probabilidade relativística é definida usando uma corrente de probabilidade associada. Na mecânica quântica relativística, a função de onda <math> \psi(x,t) <\math> é usada para descrever o estado de uma partícula no espaço-tempo.

== MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ==

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos <math>\Delta t </math> criando uma sequência de pontos <math>t_n=n\Delta t </math>. Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos <math>\Delta x </math> criando uma sequência de pontos <math>x_i=i\Delta x </math>.
Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}</math> e <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \approx \frac{u_i^{n+1} - 2u_i^n + u_i^{n-1}}{(\Delta t)^2} </math> para o tempo.

<math>\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1}^n - u_i^n}{\Delta x} e \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2} </math> para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2} \approx \frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2}</math>

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \approx \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x- \Delta x,t)}{(\Delta x)^2} </math>

ou seja:

<math>\frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2} = c^2 \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta x)^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi </math>

isso nos leva a equação final:

<math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta,t) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi </math>

chamarei <math>\alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x} </math> e <math> \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar} </math>

portanto, <math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\alpha^2 \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) - \beta^2 \psi </math>

ou, mais usualmente: <math>\psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 ( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \beta^2 \psi </math>

== CRITÉRIO DE ESTABILIDADE ==

Forma Contínua e Discretização: A equação de Klein-Gordon contínua é: <math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi. </math>

A forma discreta, usando diferenças finitas centralizadas no tempo e no espaço, é: <math> \psi_i^{n+1} = 2 \psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} (\psi_{i+1}^n - 2 \psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi_i^n. </math> Aqui, definimos os coeficientes: <math> \alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x}, \quad \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar}. </math>

Suposição de Solução Harmônica: Substituímos uma solução da forma: <math> \psi_i^n = G^n e^{i k x_i}, </math> onde:

na equação: <math> G^{n+1} e^{i k x_i} = 2 G^n e^{i k x_i} - G^{n-1} e^{i k x_i} + \alpha^2 G^n \left(e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}}\right) - \beta^2 G^n e^{i k x_i}. </math>

Simplificação:

Como <math> e^{i k x_{i+1}} = e^{i k x_i} e^{i k \Delta x} </math> e <math> e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} e^{-i k \Delta x} </math>, o termo centralizado se torna: <math> e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} \left(e^{i k \Delta x} - 2 + e^{-i k \Delta x}\right). </math>
Usando <math> e^{i k \Delta x} + e^{-i k \Delta x} = 2 \cos(k \Delta x) </math>, temos: <math> e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} \left(-2 + 2 \cos(k \Delta x)\right). </math>
Substituímos isso na equação e cancelamos o fator <math> e^{i k x_i} </math>, que nunca é zero: <math> G^{n+1} = 2 G^n - G^{n-1} - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) G^n - \beta^2 G^n. </math>

Simplificando mais, obtemos: <math> G^{n+1} = (2 - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) - \beta^2) G^n - G^{n-1}. </math>

Equação Característica: Assumimos uma solução na forma de uma equação quadrática <math> G </math>: <math> G^2 - G \left(2 - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) - \beta^2 \right) + 1 = 0. </math>

Condição de Estabilidade: Para estabilidade, as raízes de <math> G </math> devem satisfazer <math> |G| \leq 1 </math>. Isso leva ao critério: <math> \alpha \leq 1, \quad \text{ou seja,} \quad \frac{c \Delta t}{\Delta x} \leq 1. </math>

Conclusão Matemática:
A condição <math> \alpha \leq 1 </math> garante que os termos oscilatórios na solução não crescem exponencialmente. Essa análise também mostra que:

Quanto menor o passo de tempo <math> \Delta t </math>, mais precisa e estável é a solução.
A relação entre os passos de tempo e espaço é crucial: aumentar muito <math> \Delta t </math> sem ajustar <math> \Delta x </math> pode levar à instabilidade.

== C.C e C.I ==

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condições iniciais e de contorno:

<math> \psi(x,0) = Ae^{-\frac{x-x_0}{2\sigma^2}}</math> que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e <math>\frac{\partial \psi(x,0)}{\partial t} =0 </math> que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, <math> x_0 </math> é a posição central do pulso e <math> \sigma </math> é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que <math>\psi(0,t)= 0 </math> e <math>\psi(L,t)=0 </math> o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas:

[[Arquivo:Estatico.png]]

[[Arquivo:Klein 2.gif]]

[[Arquivo:Estabilidade.gif]]

Localização Inicial: No gráfico mostrado, <math> \psi(x,t) <\math> tem um pico bem definido, o que sugere que a partícula está localizada inicialmente em torno de um ponto central no espaço. Isso significa que a probabilidade da partícula estar presente é maior nessa região (em torno do pico), e diminui nas bordas. No gráfico mostrado acima, <math> \psi(x,t) <\math> tem um pico bem definido, o que sugere que a partícula está localizada inicialmente em torno de um ponto central no espaço. Isso significa que a probabilidade da partícula estar presente é maior nessa região (em torno do pico), e diminui nas bordas.

Equação de Klein-Gordon

2025-01-08T14:13:54Z

Eduardoleite: /* C.C e C.I */

== INTRODUÇÃO ==
A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os mésons, em seu modelo básico) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein <math>E=p^2c^2 + m^2c^4 </math>. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

<math> \left( \Box + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right) \psi(x,t)= 0 </math>

onde <math> \left( \Box = \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} -\nabla^2 \right) </math> é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

<math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \psi - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math>

<math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math> (em uma dimensão)

Inicialmente, a equação pode ser interpretada como uma equação de um campo escalar que pode ser quantizado, onde é introduzido um campo quantico que é descrito por partículas sem spin. No reino da física de partículas, as interações eletromagnéticas podem ser incorporadas formando o tópico da eletrodinâmica escalar, por exemplo. Entretando, a solução da equação não pode ser interpretada diretamente como a densidade de probabilidade vista na equação de Schrodinger, em vez disso, a densidade de probabilidade relativística é definida usando uma corrente de probabilidade associada. Na mecânica quântica relativística, a função de onda <math> \psi(x,t) <\math> é usada para descrever o estado de uma partícula no espaço-tempo.

== MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ==

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos <math>\Delta t </math> criando uma sequência de pontos <math>t_n=n\Delta t </math>. Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos <math>\Delta x </math> criando uma sequência de pontos <math>x_i=i\Delta x </math>.
Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}</math> e <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \approx \frac{u_i^{n+1} - 2u_i^n + u_i^{n-1}}{(\Delta t)^2} </math> para o tempo.

<math>\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1}^n - u_i^n}{\Delta x} e \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2} </math> para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2} \approx \frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2}</math>

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \approx \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x- \Delta x,t)}{(\Delta x)^2} </math>

ou seja:

<math>\frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2} = c^2 \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta x)^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi </math>

isso nos leva a equação final:

<math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta,t) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi </math>

chamarei <math>\alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x} </math> e <math> \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar} </math>

portanto, <math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\alpha^2 \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) - \beta^2 \psi </math>

ou, mais usualmente: <math>\psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 ( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \beta^2 \psi </math>

== CRITÉRIO DE ESTABILIDADE ==

Forma Contínua e Discretização: A equação de Klein-Gordon contínua é: <math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi. </math>

A forma discreta, usando diferenças finitas centralizadas no tempo e no espaço, é: <math> \psi_i^{n+1} = 2 \psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} (\psi_{i+1}^n - 2 \psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi_i^n. </math> Aqui, definimos os coeficientes: <math> \alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x}, \quad \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar}. </math>

Suposição de Solução Harmônica: Substituímos uma solução da forma: <math> \psi_i^n = G^n e^{i k x_i}, </math> onde:

na equação: <math> G^{n+1} e^{i k x_i} = 2 G^n e^{i k x_i} - G^{n-1} e^{i k x_i} + \alpha^2 G^n \left(e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}}\right) - \beta^2 G^n e^{i k x_i}. </math>

Simplificação:

Como <math> e^{i k x_{i+1}} = e^{i k x_i} e^{i k \Delta x} </math> e <math> e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} e^{-i k \Delta x} </math>, o termo centralizado se torna: <math> e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} \left(e^{i k \Delta x} - 2 + e^{-i k \Delta x}\right). </math>
Usando <math> e^{i k \Delta x} + e^{-i k \Delta x} = 2 \cos(k \Delta x) </math>, temos: <math> e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} \left(-2 + 2 \cos(k \Delta x)\right). </math>
Substituímos isso na equação e cancelamos o fator <math> e^{i k x_i} </math>, que nunca é zero: <math> G^{n+1} = 2 G^n - G^{n-1} - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) G^n - \beta^2 G^n. </math>

Simplificando mais, obtemos: <math> G^{n+1} = (2 - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) - \beta^2) G^n - G^{n-1}. </math>

Equação Característica: Assumimos uma solução na forma de uma equação quadrática <math> G </math>: <math> G^2 - G \left(2 - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) - \beta^2 \right) + 1 = 0. </math>

Condição de Estabilidade: Para estabilidade, as raízes de <math> G </math> devem satisfazer <math> |G| \leq 1 </math>. Isso leva ao critério: <math> \alpha \leq 1, \quad \text{ou seja,} \quad \frac{c \Delta t}{\Delta x} \leq 1. </math>

Conclusão Matemática:
A condição <math> \alpha \leq 1 </math> garante que os termos oscilatórios na solução não crescem exponencialmente. Essa análise também mostra que:

Quanto menor o passo de tempo <math> \Delta t </math>, mais precisa e estável é a solução.
A relação entre os passos de tempo e espaço é crucial: aumentar muito <math> \Delta t </math> sem ajustar <math> \Delta x </math> pode levar à instabilidade.

== C.C e C.I ==

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condições iniciais e de contorno:

<math> \psi(x,0) = Ae^{-\frac{x-x_0}{2\sigma^2}}</math> que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e <math>\frac{\partial \psi(x,0)}{\partial t} =0 </math> que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, <math> x_0 </math> é a posição central do pulso e <math> \sigma </math> é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que <math>\psi(0,t)= 0 </math> e <math>\psi(L,t)=0 </math> o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas:

[[Arquivo:Estatico.png]]

[[Arquivo:Klein 2.gif]]

[[Arquivo:Estabilidade.gif]]

Localização Inicial: No gráfico mostrado, <math>\psi(x,t) <\math> tem um pico bem definido, o que sugere que a partícula está localizada inicialmente em torno de um ponto central no espaço. Isso significa que a probabilidade da partícula estar presente é maior nessa região (em torno do pico), e diminui nas bordas. No gráfico mostrado acima, <math> \psi(x,t) <\math> tem um pico bem definido, o que sugere que a partícula está localizada inicialmente em torno de um ponto central no espaço. Isso significa que a probabilidade da partícula estar presente é maior nessa região (em torno do pico), e diminui nas bordas.

Equação de Klein-Gordon

2025-01-08T14:08:59Z

Eduardoleite: /* C.C e C.I */

== INTRODUÇÃO ==
A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os mésons, em seu modelo básico) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein <math>E=p^2c^2 + m^2c^4 </math>. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

<math> \left( \Box + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right) \psi(x,t)= 0 </math>

onde <math> \left( \Box = \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} -\nabla^2 \right) </math> é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

<math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \psi - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math>

<math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math> (em uma dimensão)

Inicialmente, a equação pode ser interpretada como uma equação de um campo escalar que pode ser quantizado, onde é introduzido um campo quantico que é descrito por partículas sem spin. No reino da física de partículas, as interações eletromagnéticas podem ser incorporadas formando o tópico da eletrodinâmica escalar, por exemplo. Entretando, a solução da equação não pode ser interpretada diretamente como a densidade de probabilidade vista na equação de Schrodinger, em vez disso, a densidade de probabilidade relativística é definida usando uma corrente de probabilidade associada. Na mecânica quântica relativística, a função de onda <math> \psi(x,t) <\math> é usada para descrever o estado de uma partícula no espaço-tempo.

== MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ==

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos <math>\Delta t </math> criando uma sequência de pontos <math>t_n=n\Delta t </math>. Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos <math>\Delta x </math> criando uma sequência de pontos <math>x_i=i\Delta x </math>.
Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}</math> e <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \approx \frac{u_i^{n+1} - 2u_i^n + u_i^{n-1}}{(\Delta t)^2} </math> para o tempo.

<math>\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1}^n - u_i^n}{\Delta x} e \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2} </math> para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2} \approx \frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2}</math>

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \approx \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x- \Delta x,t)}{(\Delta x)^2} </math>

ou seja:

<math>\frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2} = c^2 \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta x)^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi </math>

isso nos leva a equação final:

<math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta,t) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi </math>

chamarei <math>\alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x} </math> e <math> \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar} </math>

portanto, <math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\alpha^2 \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) - \beta^2 \psi </math>

ou, mais usualmente: <math>\psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 ( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \beta^2 \psi </math>

== CRITÉRIO DE ESTABILIDADE ==

Forma Contínua e Discretização: A equação de Klein-Gordon contínua é: <math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi. </math>

A forma discreta, usando diferenças finitas centralizadas no tempo e no espaço, é: <math> \psi_i^{n+1} = 2 \psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} (\psi_{i+1}^n - 2 \psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi_i^n. </math> Aqui, definimos os coeficientes: <math> \alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x}, \quad \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar}. </math>

Suposição de Solução Harmônica: Substituímos uma solução da forma: <math> \psi_i^n = G^n e^{i k x_i}, </math> onde:

na equação: <math> G^{n+1} e^{i k x_i} = 2 G^n e^{i k x_i} - G^{n-1} e^{i k x_i} + \alpha^2 G^n \left(e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}}\right) - \beta^2 G^n e^{i k x_i}. </math>

Simplificação:

Como <math> e^{i k x_{i+1}} = e^{i k x_i} e^{i k \Delta x} </math> e <math> e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} e^{-i k \Delta x} </math>, o termo centralizado se torna: <math> e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} \left(e^{i k \Delta x} - 2 + e^{-i k \Delta x}\right). </math>
Usando <math> e^{i k \Delta x} + e^{-i k \Delta x} = 2 \cos(k \Delta x) </math>, temos: <math> e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} \left(-2 + 2 \cos(k \Delta x)\right). </math>
Substituímos isso na equação e cancelamos o fator <math> e^{i k x_i} </math>, que nunca é zero: <math> G^{n+1} = 2 G^n - G^{n-1} - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) G^n - \beta^2 G^n. </math>

Simplificando mais, obtemos: <math> G^{n+1} = (2 - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) - \beta^2) G^n - G^{n-1}. </math>

Equação Característica: Assumimos uma solução na forma de uma equação quadrática <math> G </math>: <math> G^2 - G \left(2 - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) - \beta^2 \right) + 1 = 0. </math>

Condição de Estabilidade: Para estabilidade, as raízes de <math> G </math> devem satisfazer <math> |G| \leq 1 </math>. Isso leva ao critério: <math> \alpha \leq 1, \quad \text{ou seja,} \quad \frac{c \Delta t}{\Delta x} \leq 1. </math>

Conclusão Matemática:
A condição <math> \alpha \leq 1 </math> garante que os termos oscilatórios na solução não crescem exponencialmente. Essa análise também mostra que:

Quanto menor o passo de tempo <math> \Delta t </math>, mais precisa e estável é a solução.
A relação entre os passos de tempo e espaço é crucial: aumentar muito <math> \Delta t </math> sem ajustar <math> \Delta x </math> pode levar à instabilidade.

== C.C e C.I ==

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condições iniciais e de contorno:

<math> \psi(x,0) = Ae^{-\frac{x-x_0}{2\sigma^2}}</math> que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e <math>\frac{\partial \psi(x,0)}{\partial t} =0 </math> que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, <math> x_0 </math> é a posição central do pulso e <math> \sigma </math> é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que <math>\psi(0,t)= 0 </math> e <math>\psi(L,t)=0 </math> o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas:

[[Arquivo:Estatico.png]]

[[Arquivo:Klein 2.gif]]

[[Arquivo:Estabilidade.gif]]

Localização Inicial: No gráfico mostrado, <math>\psi(x,t) <\math> tem um pico bem definido, o que sugere que a partícula está localizada inicialmente em torno de um ponto central no espaço. Isso significa que a probabilidade da partícula estar presente é maior nessa região (em torno do pico), e diminui nas bordas. No gráfico mostrado acima, <math>\psi(x,t)<\math> tem um pico bem definido, o que sugere que a partícula está localizada inicialmente em torno de um ponto central no espaço. Isso significa que a probabilidade da partícula estar presente é maior nessa região (em torno do pico), e diminui nas bordas.

Equação de Klein-Gordon

2025-01-08T14:03:29Z

Eduardoleite: /* INTRODUÇÃO */

Equação de Klein-Gordon

2025-01-08T14:02:19Z

Eduardoleite: /* INTRODUÇÃO */

== INTRODUÇÃO ==
A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os mésons, em seu modelo básico) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein <math>E=p^2c^2 + m^2c^4 </math>. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

<math> \left( \Box + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right) \psi(x,t)= 0 </math>

onde <math> \left( \Box = \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} -\nabla^2 \right) </math> é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

<math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \psi - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math>

<math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math> (em uma dimensão)

Inicialmente, a equação pode ser interpretada como uma equação de um campo escalar que pode ser quantizado, onde é introduzido um campo quantico que é descrito por partículas sem spin. No reino da física de partículas, as interações eletromagnéticas podem ser incorporadas formando o tópico da eletrodinâmica escalar, por exemplo. Entretando, a solução da equação não pode ser interpretada diretamente como a densidade de probabilidade vista na equação de Schrodinger, em vez disso, a densidade de probabilidade relativística é definida usando uma corrente de probabilidade associada. Na mecânica quântica relativística, a função de onda <math> \psi(x,t)<\math>

== MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ==

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos <math>\Delta t </math> criando uma sequência de pontos <math>t_n=n\Delta t </math>. Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos <math>\Delta x </math> criando uma sequência de pontos <math>x_i=i\Delta x </math>.
Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}</math> e <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \approx \frac{u_i^{n+1} - 2u_i^n + u_i^{n-1}}{(\Delta t)^2} </math> para o tempo.

<math>\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1}^n - u_i^n}{\Delta x} e \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2} </math> para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2} \approx \frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2}</math>

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \approx \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x- \Delta x,t)}{(\Delta x)^2} </math>

ou seja:

<math>\frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2} = c^2 \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta x)^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi </math>

isso nos leva a equação final:

<math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta,t) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi </math>

chamarei <math>\alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x} </math> e <math> \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar} </math>

portanto, <math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\alpha^2 \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) - \beta^2 \psi </math>

ou, mais usualmente: <math>\psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 ( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \beta^2 \psi </math>

== CRITÉRIO DE ESTABILIDADE ==

Forma Contínua e Discretização: A equação de Klein-Gordon contínua é: <math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi. </math>

A forma discreta, usando diferenças finitas centralizadas no tempo e no espaço, é: <math> \psi_i^{n+1} = 2 \psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} (\psi_{i+1}^n - 2 \psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi_i^n. </math> Aqui, definimos os coeficientes: <math> \alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x}, \quad \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar}. </math>

Suposição de Solução Harmônica: Substituímos uma solução da forma: <math> \psi_i^n = G^n e^{i k x_i}, </math> onde:

na equação: <math> G^{n+1} e^{i k x_i} = 2 G^n e^{i k x_i} - G^{n-1} e^{i k x_i} + \alpha^2 G^n \left(e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}}\right) - \beta^2 G^n e^{i k x_i}. </math>

Simplificação:

Como <math> e^{i k x_{i+1}} = e^{i k x_i} e^{i k \Delta x} </math> e <math> e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} e^{-i k \Delta x} </math>, o termo centralizado se torna: <math> e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} \left(e^{i k \Delta x} - 2 + e^{-i k \Delta x}\right). </math>
Usando <math> e^{i k \Delta x} + e^{-i k \Delta x} = 2 \cos(k \Delta x) </math>, temos: <math> e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} \left(-2 + 2 \cos(k \Delta x)\right). </math>
Substituímos isso na equação e cancelamos o fator <math> e^{i k x_i} </math>, que nunca é zero: <math> G^{n+1} = 2 G^n - G^{n-1} - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) G^n - \beta^2 G^n. </math>

Simplificando mais, obtemos: <math> G^{n+1} = (2 - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) - \beta^2) G^n - G^{n-1}. </math>

Equação Característica: Assumimos uma solução na forma de uma equação quadrática <math> G </math>: <math> G^2 - G \left(2 - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) - \beta^2 \right) + 1 = 0. </math>

Condição de Estabilidade: Para estabilidade, as raízes de <math> G </math> devem satisfazer <math> |G| \leq 1 </math>. Isso leva ao critério: <math> \alpha \leq 1, \quad \text{ou seja,} \quad \frac{c \Delta t}{\Delta x} \leq 1. </math>

Conclusão Matemática:
A condição <math> \alpha \leq 1 </math> garante que os termos oscilatórios na solução não crescem exponencialmente. Essa análise também mostra que:

Quanto menor o passo de tempo <math> \Delta t </math>, mais precisa e estável é a solução.
A relação entre os passos de tempo e espaço é crucial: aumentar muito <math> \Delta t </math> sem ajustar <math> \Delta x </math> pode levar à instabilidade.

== C.C e C.I ==

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condições iniciais e de contorno:

<math> \psi(x,0) = Ae^{-\frac{x-x_0}{2\sigma^2}}</math> que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e <math>\frac{\partial \psi(x,0)}{\partial t} =0 </math> que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, <math> x_0 </math> é a posição central do pulso e <math> \sigma </math> é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que <math>\psi(0,t)= 0 </math> e <math>\psi(L,t)=0 </math> o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas:

[[Arquivo:Estatico.png]]

[[Arquivo:Klein 2.gif]]

[[Arquivo:Estabilidade.gif]]

Equação de Klein-Gordon

2025-01-08T13:45:47Z

Eduardoleite:

== INTRODUÇÃO ==
A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os mésons, em seu modelo básico) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein <math>E=p^2c^2 + m^2c^4 </math>. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

<math> \left( \Box + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right) \psi(x,t)= 0 </math>

onde <math> \left( \Box = \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} -\nabla^2 \right) </math> é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

<math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \psi - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math>

<math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math> (em uma dimensão)

Inicialmente, a equação pode ser interpretada como uma equação de um campo escalar que pode ser quantizado, onde é introduzido um campo quantico que é descrito por partículas sem spin. No reino da física de partículas, as interações eletromagnéticas podem ser incorporadas formando o tópico da eletrodinâmica escalar, por exemplo. Entretando, a solução da equação não pode ser interpretada diretamente como a densidade de probabilidade vista na equação de Schrodinger, em vez disso, a densidade de probabilidade relativística é definida usando uma corrente de probabilidade associada.

== MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ==

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos <math>\Delta t </math> criando uma sequência de pontos <math>t_n=n\Delta t </math>. Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos <math>\Delta x </math> criando uma sequência de pontos <math>x_i=i\Delta x </math>.
Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}</math> e <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \approx \frac{u_i^{n+1} - 2u_i^n + u_i^{n-1}}{(\Delta t)^2} </math> para o tempo.

<math>\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1}^n - u_i^n}{\Delta x} e \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2} </math> para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2} \approx \frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2}</math>

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \approx \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x- \Delta x,t)}{(\Delta x)^2} </math>

ou seja:

<math>\frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2} = c^2 \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta x)^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi </math>

isso nos leva a equação final:

<math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta,t) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi </math>

chamarei <math>\alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x} </math> e <math> \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar} </math>

portanto, <math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\alpha^2 \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) - \beta^2 \psi </math>

ou, mais usualmente: <math>\psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 ( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \beta^2 \psi </math>

== CRITÉRIO DE ESTABILIDADE ==

Forma Contínua e Discretização: A equação de Klein-Gordon contínua é: <math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi. </math>

A forma discreta, usando diferenças finitas centralizadas no tempo e no espaço, é: <math> \psi_i^{n+1} = 2 \psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} (\psi_{i+1}^n - 2 \psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi_i^n. </math> Aqui, definimos os coeficientes: <math> \alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x}, \quad \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar}. </math>

Suposição de Solução Harmônica: Substituímos uma solução da forma: <math> \psi_i^n = G^n e^{i k x_i}, </math> onde:

na equação: <math> G^{n+1} e^{i k x_i} = 2 G^n e^{i k x_i} - G^{n-1} e^{i k x_i} + \alpha^2 G^n \left(e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}}\right) - \beta^2 G^n e^{i k x_i}. </math>

Simplificação:

Como <math> e^{i k x_{i+1}} = e^{i k x_i} e^{i k \Delta x} </math> e <math> e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} e^{-i k \Delta x} </math>, o termo centralizado se torna: <math> e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} \left(e^{i k \Delta x} - 2 + e^{-i k \Delta x}\right). </math>
Usando <math> e^{i k \Delta x} + e^{-i k \Delta x} = 2 \cos(k \Delta x) </math>, temos: <math> e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} \left(-2 + 2 \cos(k \Delta x)\right). </math>
Substituímos isso na equação e cancelamos o fator <math> e^{i k x_i} </math>, que nunca é zero: <math> G^{n+1} = 2 G^n - G^{n-1} - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) G^n - \beta^2 G^n. </math>

Simplificando mais, obtemos: <math> G^{n+1} = (2 - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) - \beta^2) G^n - G^{n-1}. </math>

Equação Característica: Assumimos uma solução na forma de uma equação quadrática <math> G </math>: <math> G^2 - G \left(2 - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) - \beta^2 \right) + 1 = 0. </math>

Condição de Estabilidade: Para estabilidade, as raízes de <math> G </math> devem satisfazer <math> |G| \leq 1 </math>. Isso leva ao critério: <math> \alpha \leq 1, \quad \text{ou seja,} \quad \frac{c \Delta t}{\Delta x} \leq 1. </math>

Conclusão Matemática:
A condição <math> \alpha \leq 1 </math> garante que os termos oscilatórios na solução não crescem exponencialmente. Essa análise também mostra que:

Quanto menor o passo de tempo <math> \Delta t </math>, mais precisa e estável é a solução.
A relação entre os passos de tempo e espaço é crucial: aumentar muito <math> \Delta t </math> sem ajustar <math> \Delta x </math> pode levar à instabilidade.

== C.C e C.I ==

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condições iniciais e de contorno:

<math> \psi(x,0) = Ae^{-\frac{x-x_0}{2\sigma^2}}</math> que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e <math>\frac{\partial \psi(x,0)}{\partial t} =0 </math> que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, <math> x_0 </math> é a posição central do pulso e <math> \sigma </math> é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que <math>\psi(0,t)= 0 </math> e <math>\psi(L,t)=0 </math> o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas:

[[Arquivo:Estatico.png]]

[[Arquivo:Klein 2.gif]]

[[Arquivo:Estabilidade.gif]]

Equação de Klein-Gordon

2025-01-08T01:16:03Z

Eduardoleite: /* CRITÉRIO DE ESTABILIDADE */

== INTRODUÇÃO ==
A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os mésons, em seu modelo básico) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein <math>E=p^2c^2 + m^2c^4 </math>. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

<math> \left( \Box + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right) \psi(x,t)= 0 </math>

onde <math> \left( \Box = \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} -\nabla^2 \right) </math> é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

<math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \psi - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math>

<math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math> (em uma dimensão)

== MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ==

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos <math>\Delta t </math> criando uma sequência de pontos <math>t_n=n\Delta t </math>. Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos <math>\Delta x </math> criando uma sequência de pontos <math>x_i=i\Delta x </math>.
Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}</math> e <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \approx \frac{u_i^{n+1} - 2u_i^n + u_i^{n-1}}{(\Delta t)^2} </math> para o tempo.

<math>\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1}^n - u_i^n}{\Delta x} e \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2} </math> para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2} \approx \frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2}</math>

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \approx \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x- \Delta x,t)}{(\Delta x)^2} </math>

ou seja:

<math>\frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2} = c^2 \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta x)^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi </math>

isso nos leva a equação final:

<math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta,t) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi </math>

chamarei <math>\alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x} </math> e <math> \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar} </math>

portanto, <math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\alpha^2 \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) - \beta^2 \psi </math>

ou, mais usualmente: <math>\psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 ( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \beta^2 \psi </math>

== CRITÉRIO DE ESTABILIDADE ==

A equação discretizada é dada por:

<math> \psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} (\psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi_i^n </math>

Definimos:

<math> \alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x} </math>,
para simplificar a notação, e escrevemos:

<math> \psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + s^2 (\psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi_i^n. </math>

Suponha que a solução seja uma onda harmônica no espaço e no tempo:

<math> \psi_i^n = A e^{i(kx_i - \omega t_n)}, </math>
onde:

<math>A</math> é a amplitude,
<math>k</math> é o número de onda,
<math>\omega</math> é a frequência angular discreta,
<math>x_i = i \Delta x</math> e <math>t_n = n \Delta t</math> são os pontos espaciais e temporais.
No esquema discreto:

<math> \psi_i^n = A e^{i(k i \Delta x - \omega n \Delta t)}. </math>
Substituímos nas expressões de <math>\psi_i^{n+1}</math>, <math>\psi_i^n</math>, <math>\psi_i^{n-1}</math>, <math>\psi_{i+1}^n</math>, e <math>\psi_{i-1}^n</math>:

<math> \psi_i^{n+1} = A e^{i(k i \Delta x - \omega (n+1) \Delta t)} = \psi_i^n e^{-i \omega \Delta t}. </math>
De forma semelhante:

<math> \psi_i^{n-1} = \psi_i^n e^{i \omega \Delta t}, \quad \psi_{i+1}^n = \psi_i^n e^{i k \Delta x}, \quad \psi_{i-1}^n = \psi_i^n e^{-i k \Delta x}. </math>

Substituímos essas expressões na equação:

<math> \psi_i^n e^{-i \omega \Delta t} = 2\psi_i^n - \psi_i^n e^{i \omega \Delta t} + s^2 \left(\psi_i^n e^{i k \Delta x} - 2\psi_i^n + \psi_i^n e^{-i k \Delta x}\right) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi_i^n. </math>
Dividimos tudo por <math>\psi_i^n</math>:

<math> e^{-i \omega \Delta t} = 2 - e^{i \omega \Delta t} + s^2 \left(e^{i k \Delta x} - 2 + e^{-i k \Delta x}\right) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2}. </math>

Para simplificar, usamos:

<math> e^{i k \Delta x} + e^{-i k \Delta x} = 2 \cos(k \Delta x), </math>
e

<math> e^{-i \omega \Delta t} + e^{i \omega \Delta t} = 2 \cos(\omega \Delta t). </math>
Substituímos e reorganizamos:

<math> \cos(\omega \Delta t) = 1 - \alpha^2 (1 - \cos(k \Delta x)) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{2 \hbar^2}. </math>

Para que a solução seja estável, o módulo de <math>\cos(\omega \Delta t)</math> deve ser no máximo 1 (<math>|\cos(\omega \Delta t)| \leq 1</math>). Isso impõe a seguinte condição no termo <math>s^2</math>:

<math> \alpha^2 = \frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \leq 1. </math>
Ou seja:

<math> \frac{c \Delta t}{\Delta x} \leq 1. </math>

<math>\alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x}</math> representa a relação entre os passos no tempo (<math>\Delta t</math>) e no espaço (<math>\Delta x</math>).
Se <math>\alpha > 1</math>, a onda "se propaga rápido demais" em relação à resolução do espaço-tempo, o que pode causar instabilidade.

== C.C e C.I ==

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condições iniciais e de contorno:

<math> \psi(x,0) = Ae^{-\frac{x-x_0}{2\sigma^2}}</math> que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e <math>\frac{\partial \psi(x,0)}{\partial t} =0 </math> que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, <math> x_0 </math> é a posição central do pulso e <math> \sigma </math> é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que <math>\psi(0,t)= 0 </math> e <math>\psi(L,t)=0 </math> o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas:

[[Arquivo:Estatico.png]]

[[Arquivo:Klein 2.gif]]

[[Arquivo:Estabilidade.gif]]

Equação de Klein-Gordon

2025-01-08T01:14:51Z

Eduardoleite: /* CRITÉRIO DE ESTABILIDADE */

== INTRODUÇÃO ==
A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os mésons, em seu modelo básico) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein <math>E=p^2c^2 + m^2c^4 </math>. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

<math> \left( \Box + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right) \psi(x,t)= 0 </math>

onde <math> \left( \Box = \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} -\nabla^2 \right) </math> é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

<math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \psi - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math>

<math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math> (em uma dimensão)

== MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ==

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos <math>\Delta t </math> criando uma sequência de pontos <math>t_n=n\Delta t </math>. Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos <math>\Delta x </math> criando uma sequência de pontos <math>x_i=i\Delta x </math>.
Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}</math> e <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \approx \frac{u_i^{n+1} - 2u_i^n + u_i^{n-1}}{(\Delta t)^2} </math> para o tempo.

<math>\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1}^n - u_i^n}{\Delta x} e \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2} </math> para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2} \approx \frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2}</math>

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \approx \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x- \Delta x,t)}{(\Delta x)^2} </math>

ou seja:

<math>\frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2} = c^2 \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta x)^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi </math>

isso nos leva a equação final:

<math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta,t) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi </math>

chamarei <math>\alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x} </math> e <math> \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar} </math>

portanto, <math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\alpha^2 \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) - \beta^2 \psi </math>

ou, mais usualmente: <math>\psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 ( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \beta^2 \psi </math>

== CRITÉRIO DE ESTABILIDADE ==

A equação discretizada é dada por:

<math> \psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} (\psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi_i^n </math>

Definimos:

<math> \alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x} </math>,
para simplificar a notação, e escrevemos:

<math> \psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + s^2 (\psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi_i^n. </math>

Suponha que a solução seja uma onda harmônica no espaço e no tempo:

<math> \psi_i^n = A e^{i(kx_i - \omega t_n)}, </math>
onde:

<math>A</math> é a amplitude,
<math>k</math> é o número de onda,
<math>\omega</math> é a frequência angular discreta,
<math>x_i = i \Delta x</math> e <math>t_n = n \Delta t</math> são os pontos espaciais e temporais.
No esquema discreto:

<math> \psi_i^n = A e^{i(k i \Delta x - \omega n \Delta t)}. </math>
Substituímos nas expressões de <math>\psi_i^{n+1}</math>, <math>\psi_i^n</math>, <math>\psi_i^{n-1}</math>, <math>\psi_{i+1}^n</math>, e <math>\psi_{i-1}^n</math>:

<math> \psi_i^{n+1} = A e^{i(k i \Delta x - \omega (n+1) \Delta t)} = \psi_i^n e^{-i \omega \Delta t}. </math>
De forma semelhante:

<math> \psi_i^{n-1} = \psi_i^n e^{i \omega \Delta t}, \quad \psi_{i+1}^n = \psi_i^n e^{i k \Delta x}, \quad \psi_{i-1}^n = \psi_i^n e^{-i k \Delta x}. </math>

Substituímos essas expressões na equação:

<math> \psi_i^n e^{-i \omega \Delta t} = 2\psi_i^n - \psi_i^n e^{i \omega \Delta t} + s^2 \left(\psi_i^n e^{i k \Delta x} - 2\psi_i^n + \psi_i^n e^{-i k \Delta x}\right) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi_i^n. </math>
Dividimos tudo por <math>\psi_i^n</math>:

<math> e^{-i \omega \Delta t} = 2 - e^{i \omega \Delta t} + s^2 \left(e^{i k \Delta x} - 2 + e^{-i k \Delta x}\right) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2}. </math>

Para simplificar, usamos:

<math> e^{i k \Delta x} + e^{-i k \Delta x} = 2 \cos(k \Delta x), </math>
e

<math> e^{-i \omega \Delta t} + e^{i \omega \Delta t} = 2 \cos(\omega \Delta t). </math>
Substituímos e reorganizamos:

<math> \cos(\omega \Delta t) = 1 - s^2 (1 - \cos(k \Delta x)) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{2 \hbar^2}. </math>

Para que a solução seja estável, o módulo de <math>\cos(\omega \Delta t)</math> deve ser no máximo 1 (<math>|\cos(\omega \Delta t)| \leq 1</math>). Isso impõe a seguinte condição no termo <math>s^2</math>:

<math> s^2 = \frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \leq 1. </math>
Ou seja:

<math> \frac{c \Delta t}{\Delta x} \leq 1. </math>

<math>s = \frac{c \Delta t}{\Delta x}</math> representa a relação entre os passos no tempo (<math>\Delta t</math>) e no espaço (<math>\Delta x</math>).
Se <math>s > 1</math>, a onda "se propaga rápido demais" em relação à resolução do espaço-tempo, o que pode causar instabilidade.

== C.C e C.I ==

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condições iniciais e de contorno:

<math> \psi(x,0) = Ae^{-\frac{x-x_0}{2\sigma^2}}</math> que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e <math>\frac{\partial \psi(x,0)}{\partial t} =0 </math> que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, <math> x_0 </math> é a posição central do pulso e <math> \sigma </math> é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que <math>\psi(0,t)= 0 </math> e <math>\psi(L,t)=0 </math> o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas:

[[Arquivo:Estatico.png]]

[[Arquivo:Klein 2.gif]]

[[Arquivo:Estabilidade.gif]]

Equação de Klein-Gordon

2025-01-08T01:13:48Z

Eduardoleite: /* CRITÉRIO DE ESTABILIDADE */

== INTRODUÇÃO ==
A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os mésons, em seu modelo básico) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein <math>E=p^2c^2 + m^2c^4 </math>. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

<math> \left( \Box + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right) \psi(x,t)= 0 </math>

onde <math> \left( \Box = \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} -\nabla^2 \right) </math> é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

<math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \psi - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math>

<math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math> (em uma dimensão)

== MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ==

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos <math>\Delta t </math> criando uma sequência de pontos <math>t_n=n\Delta t </math>. Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos <math>\Delta x </math> criando uma sequência de pontos <math>x_i=i\Delta x </math>.
Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}</math> e <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \approx \frac{u_i^{n+1} - 2u_i^n + u_i^{n-1}}{(\Delta t)^2} </math> para o tempo.

<math>\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1}^n - u_i^n}{\Delta x} e \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2} </math> para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2} \approx \frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2}</math>

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \approx \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x- \Delta x,t)}{(\Delta x)^2} </math>

ou seja:

<math>\frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2} = c^2 \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta x)^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi </math>

isso nos leva a equação final:

<math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta,t) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi </math>

chamarei <math>\alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x} </math> e <math> \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar} </math>

portanto, <math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\alpha^2 \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) - \beta^2 \psi </math>

ou, mais usualmente: <math>\psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 ( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \beta^2 \psi </math>

== CRITÉRIO DE ESTABILIDADE ==

A equação discretizada é dada por:

<math> \psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} (\psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi_i^n </math>
Definimos:

<math> \alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x} </math>,
para simplificar a notação, e escrevemos:

<math> \psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + s^2 (\psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi_i^n. </math>

Suponha que a solução seja uma onda harmônica no espaço e no tempo:

<math> \psi_i^n = A e^{i(kx_i - \omega t_n)}, </math>
onde:

<math>A</math> é a amplitude,
<math>k</math> é o número de onda,
<math>\omega</math> é a frequência angular discreta,
<math>x_i = i \Delta x</math> e <math>t_n = n \Delta t</math> são os pontos espaciais e temporais.
No esquema discreto:

<math> \psi_i^n = A e^{i(k i \Delta x - \omega n \Delta t)}. </math>
Substituímos nas expressões de <math>\psi_i^{n+1}</math>, <math>\psi_i^n</math>, <math>\psi_i^{n-1}</math>, <math>\psi_{i+1}^n</math>, e <math>\psi_{i-1}^n</math>:

<math> \psi_i^{n+1} = A e^{i(k i \Delta x - \omega (n+1) \Delta t)} = \psi_i^n e^{-i \omega \Delta t}. </math>
De forma semelhante:

<math> \psi_i^{n-1} = \psi_i^n e^{i \omega \Delta t}, \quad \psi_{i+1}^n = \psi_i^n e^{i k \Delta x}, \quad \psi_{i-1}^n = \psi_i^n e^{-i k \Delta x}. </math>

Substituímos essas expressões na equação:

<math> \psi_i^n e^{-i \omega \Delta t} = 2\psi_i^n - \psi_i^n e^{i \omega \Delta t} + s^2 \left(\psi_i^n e^{i k \Delta x} - 2\psi_i^n + \psi_i^n e^{-i k \Delta x}\right) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi_i^n. </math>
Dividimos tudo por <math>\psi_i^n</math>:

<math> e^{-i \omega \Delta t} = 2 - e^{i \omega \Delta t} + s^2 \left(e^{i k \Delta x} - 2 + e^{-i k \Delta x}\right) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2}. </math>

Para simplificar, usamos:

<math> e^{i k \Delta x} + e^{-i k \Delta x} = 2 \cos(k \Delta x), </math>
e

<math> e^{-i \omega \Delta t} + e^{i \omega \Delta t} = 2 \cos(\omega \Delta t). </math>
Substituímos e reorganizamos:

<math> \cos(\omega \Delta t) = 1 - s^2 (1 - \cos(k \Delta x)) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{2 \hbar^2}. </math>

Para que a solução seja estável, o módulo de <math>\cos(\omega \Delta t)</math> deve ser no máximo 1 (<math>|\cos(\omega \Delta t)| \leq 1</math>). Isso impõe a seguinte condição no termo <math>s^2</math>:

<math> s^2 = \frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \leq 1. </math>
Ou seja:

<math> \frac{c \Delta t}{\Delta x} \leq 1. </math>

<math>s = \frac{c \Delta t}{\Delta x}</math> representa a relação entre os passos no tempo (<math>\Delta t</math>) e no espaço (<math>\Delta x</math>).
Se <math>s > 1</math>, a onda "se propaga rápido demais" em relação à resolução do espaço-tempo, o que pode causar instabilidade.

== C.C e C.I ==

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condições iniciais e de contorno:

<math> \psi(x,0) = Ae^{-\frac{x-x_0}{2\sigma^2}}</math> que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e <math>\frac{\partial \psi(x,0)}{\partial t} =0 </math> que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, <math> x_0 </math> é a posição central do pulso e <math> \sigma </math> é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que <math>\psi(0,t)= 0 </math> e <math>\psi(L,t)=0 </math> o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas:

[[Arquivo:Estatico.png]]

[[Arquivo:Klein 2.gif]]

[[Arquivo:Estabilidade.gif]]

Equação de Klein-Gordon

2025-01-08T01:13:31Z

Eduardoleite: /* CRITÉRIO DE ESTABILIDADE */

== INTRODUÇÃO ==
A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os mésons, em seu modelo básico) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein <math>E=p^2c^2 + m^2c^4 </math>. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

<math> \left( \Box + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right) \psi(x,t)= 0 </math>

onde <math> \left( \Box = \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} -\nabla^2 \right) </math> é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

<math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \psi - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math>

<math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math> (em uma dimensão)

== MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ==

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos <math>\Delta t </math> criando uma sequência de pontos <math>t_n=n\Delta t </math>. Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos <math>\Delta x </math> criando uma sequência de pontos <math>x_i=i\Delta x </math>.
Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}</math> e <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \approx \frac{u_i^{n+1} - 2u_i^n + u_i^{n-1}}{(\Delta t)^2} </math> para o tempo.

<math>\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1}^n - u_i^n}{\Delta x} e \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2} </math> para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2} \approx \frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2}</math>

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \approx \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x- \Delta x,t)}{(\Delta x)^2} </math>

ou seja:

<math>\frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2} = c^2 \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta x)^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi </math>

isso nos leva a equação final:

<math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta,t) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi </math>

chamarei <math>\alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x} </math> e <math> \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar} </math>

portanto, <math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\alpha^2 \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) - \beta^2 \psi </math>

ou, mais usualmente: <math>\psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 ( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \beta^2 \psi </math>

== CRITÉRIO DE ESTABILIDADE ==

A equação discretizada é dada por:

<math> \psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} (\psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi_i^n </math>
Definimos:

<math> \alfa = \frac{c \Delta t}{\Delta x} </math>,
para simplificar a notação, e escrevemos:

<math> \psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + s^2 (\psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi_i^n. </math>

Suponha que a solução seja uma onda harmônica no espaço e no tempo:

<math> \psi_i^n = A e^{i(kx_i - \omega t_n)}, </math>
onde:

<math>A</math> é a amplitude,
<math>k</math> é o número de onda,
<math>\omega</math> é a frequência angular discreta,
<math>x_i = i \Delta x</math> e <math>t_n = n \Delta t</math> são os pontos espaciais e temporais.
No esquema discreto:

<math> \psi_i^n = A e^{i(k i \Delta x - \omega n \Delta t)}. </math>
Substituímos nas expressões de <math>\psi_i^{n+1}</math>, <math>\psi_i^n</math>, <math>\psi_i^{n-1}</math>, <math>\psi_{i+1}^n</math>, e <math>\psi_{i-1}^n</math>:

<math> \psi_i^{n+1} = A e^{i(k i \Delta x - \omega (n+1) \Delta t)} = \psi_i^n e^{-i \omega \Delta t}. </math>
De forma semelhante:

<math> \psi_i^{n-1} = \psi_i^n e^{i \omega \Delta t}, \quad \psi_{i+1}^n = \psi_i^n e^{i k \Delta x}, \quad \psi_{i-1}^n = \psi_i^n e^{-i k \Delta x}. </math>

Substituímos essas expressões na equação:

<math> \psi_i^n e^{-i \omega \Delta t} = 2\psi_i^n - \psi_i^n e^{i \omega \Delta t} + s^2 \left(\psi_i^n e^{i k \Delta x} - 2\psi_i^n + \psi_i^n e^{-i k \Delta x}\right) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi_i^n. </math>
Dividimos tudo por <math>\psi_i^n</math>:

<math> e^{-i \omega \Delta t} = 2 - e^{i \omega \Delta t} + s^2 \left(e^{i k \Delta x} - 2 + e^{-i k \Delta x}\right) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2}. </math>

Para simplificar, usamos:

<math> e^{i k \Delta x} + e^{-i k \Delta x} = 2 \cos(k \Delta x), </math>
e

<math> e^{-i \omega \Delta t} + e^{i \omega \Delta t} = 2 \cos(\omega \Delta t). </math>
Substituímos e reorganizamos:

<math> \cos(\omega \Delta t) = 1 - s^2 (1 - \cos(k \Delta x)) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{2 \hbar^2}. </math>

Para que a solução seja estável, o módulo de <math>\cos(\omega \Delta t)</math> deve ser no máximo 1 (<math>|\cos(\omega \Delta t)| \leq 1</math>). Isso impõe a seguinte condição no termo <math>s^2</math>:

<math> s^2 = \frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \leq 1. </math>
Ou seja:

<math> \frac{c \Delta t}{\Delta x} \leq 1. </math>

<math>s = \frac{c \Delta t}{\Delta x}</math> representa a relação entre os passos no tempo (<math>\Delta t</math>) e no espaço (<math>\Delta x</math>).
Se <math>s > 1</math>, a onda "se propaga rápido demais" em relação à resolução do espaço-tempo, o que pode causar instabilidade.

== C.C e C.I ==

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condições iniciais e de contorno:

<math> \psi(x,0) = Ae^{-\frac{x-x_0}{2\sigma^2}}</math> que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e <math>\frac{\partial \psi(x,0)}{\partial t} =0 </math> que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, <math> x_0 </math> é a posição central do pulso e <math> \sigma </math> é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que <math>\psi(0,t)= 0 </math> e <math>\psi(L,t)=0 </math> o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas:

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Equação de Klein-Gordon

2025-01-08T01:13:16Z

Eduardoleite: /* CRITÉRIO DE ESTABILIDADE */

== INTRODUÇÃO ==
A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os mésons, em seu modelo básico) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein <math>E=p^2c^2 + m^2c^4 </math>. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

<math> \left( \Box + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right) \psi(x,t)= 0 </math>

onde <math> \left( \Box = \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} -\nabla^2 \right) </math> é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

<math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \psi - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math>

<math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math> (em uma dimensão)

== MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ==

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos <math>\Delta t </math> criando uma sequência de pontos <math>t_n=n\Delta t </math>. Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos <math>\Delta x </math> criando uma sequência de pontos <math>x_i=i\Delta x </math>.
Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}</math> e <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \approx \frac{u_i^{n+1} - 2u_i^n + u_i^{n-1}}{(\Delta t)^2} </math> para o tempo.

<math>\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1}^n - u_i^n}{\Delta x} e \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2} </math> para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2} \approx \frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2}</math>

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \approx \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x- \Delta x,t)}{(\Delta x)^2} </math>

ou seja:

<math>\frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2} = c^2 \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta x)^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi </math>

isso nos leva a equação final:

<math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta,t) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi </math>

chamarei <math>\alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x} </math> e <math> \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar} </math>

portanto, <math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\alpha^2 \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) - \beta^2 \psi </math>

ou, mais usualmente: <math>\psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 ( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \beta^2 \psi </math>

== CRITÉRIO DE ESTABILIDADE ==

A equação discretizada é dada por:

<math> \psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} (\psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi_i^n </math>
Definimos:

<math> \alfa = \frac{c \Delta t}{\Delta x}, </math>
para simplificar a notação, e escrevemos:

<math> \psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + s^2 (\psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi_i^n. </math>

Suponha que a solução seja uma onda harmônica no espaço e no tempo:

<math> \psi_i^n = A e^{i(kx_i - \omega t_n)}, </math>
onde:

<math>A</math> é a amplitude,
<math>k</math> é o número de onda,
<math>\omega</math> é a frequência angular discreta,
<math>x_i = i \Delta x</math> e <math>t_n = n \Delta t</math> são os pontos espaciais e temporais.
No esquema discreto:

<math> \psi_i^n = A e^{i(k i \Delta x - \omega n \Delta t)}. </math>
Substituímos nas expressões de <math>\psi_i^{n+1}</math>, <math>\psi_i^n</math>, <math>\psi_i^{n-1}</math>, <math>\psi_{i+1}^n</math>, e <math>\psi_{i-1}^n</math>:

<math> \psi_i^{n+1} = A e^{i(k i \Delta x - \omega (n+1) \Delta t)} = \psi_i^n e^{-i \omega \Delta t}. </math>
De forma semelhante:

<math> \psi_i^{n-1} = \psi_i^n e^{i \omega \Delta t}, \quad \psi_{i+1}^n = \psi_i^n e^{i k \Delta x}, \quad \psi_{i-1}^n = \psi_i^n e^{-i k \Delta x}. </math>

Substituímos essas expressões na equação:

<math> \psi_i^n e^{-i \omega \Delta t} = 2\psi_i^n - \psi_i^n e^{i \omega \Delta t} + s^2 \left(\psi_i^n e^{i k \Delta x} - 2\psi_i^n + \psi_i^n e^{-i k \Delta x}\right) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi_i^n. </math>
Dividimos tudo por <math>\psi_i^n</math>:

<math> e^{-i \omega \Delta t} = 2 - e^{i \omega \Delta t} + s^2 \left(e^{i k \Delta x} - 2 + e^{-i k \Delta x}\right) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2}. </math>

Para simplificar, usamos:

<math> e^{i k \Delta x} + e^{-i k \Delta x} = 2 \cos(k \Delta x), </math>
e

<math> e^{-i \omega \Delta t} + e^{i \omega \Delta t} = 2 \cos(\omega \Delta t). </math>
Substituímos e reorganizamos:

<math> \cos(\omega \Delta t) = 1 - s^2 (1 - \cos(k \Delta x)) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{2 \hbar^2}. </math>

Para que a solução seja estável, o módulo de <math>\cos(\omega \Delta t)</math> deve ser no máximo 1 (<math>|\cos(\omega \Delta t)| \leq 1</math>). Isso impõe a seguinte condição no termo <math>s^2</math>:

<math> s^2 = \frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \leq 1. </math>
Ou seja:

<math> \frac{c \Delta t}{\Delta x} \leq 1. </math>

<math>s = \frac{c \Delta t}{\Delta x}</math> representa a relação entre os passos no tempo (<math>\Delta t</math>) e no espaço (<math>\Delta x</math>).
Se <math>s > 1</math>, a onda "se propaga rápido demais" em relação à resolução do espaço-tempo, o que pode causar instabilidade.

== C.C e C.I ==

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condições iniciais e de contorno:

<math> \psi(x,0) = Ae^{-\frac{x-x_0}{2\sigma^2}}</math> que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e <math>\frac{\partial \psi(x,0)}{\partial t} =0 </math> que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, <math> x_0 </math> é a posição central do pulso e <math> \sigma </math> é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que <math>\psi(0,t)= 0 </math> e <math>\psi(L,t)=0 </math> o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas:

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Equação de Klein-Gordon

2025-01-08T01:12:33Z

Eduardoleite: /* CRITÉRIO DE ESTABILIDADE */

== INTRODUÇÃO ==
A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os mésons, em seu modelo básico) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein <math>E=p^2c^2 + m^2c^4 </math>. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

<math> \left( \Box + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right) \psi(x,t)= 0 </math>

onde <math> \left( \Box = \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} -\nabla^2 \right) </math> é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

<math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \psi - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math>

<math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math> (em uma dimensão)

== MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ==

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos <math>\Delta t </math> criando uma sequência de pontos <math>t_n=n\Delta t </math>. Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos <math>\Delta x </math> criando uma sequência de pontos <math>x_i=i\Delta x </math>.
Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}</math> e <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \approx \frac{u_i^{n+1} - 2u_i^n + u_i^{n-1}}{(\Delta t)^2} </math> para o tempo.

<math>\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1}^n - u_i^n}{\Delta x} e \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2} </math> para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2} \approx \frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2}</math>

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \approx \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x- \Delta x,t)}{(\Delta x)^2} </math>

ou seja:

<math>\frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2} = c^2 \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta x)^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi </math>

isso nos leva a equação final:

<math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta,t) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi </math>

chamarei <math>\alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x} </math> e <math> \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar} </math>

portanto, <math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\alpha^2 \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) - \beta^2 \psi </math>

ou, mais usualmente: <math>\psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 ( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \beta^2 \psi </math>

== CRITÉRIO DE ESTABILIDADE ==

A equação discretizada é dada por:

<math> \psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} (\psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi_i^n </math>
Definimos:

<math> s = \frac{c \Delta t}{\Delta x}, </math>
para simplificar a notação, e escrevemos:

<math> \psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + s^2 (\psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi_i^n. </math>

Suponha que a solução seja uma onda harmônica no espaço e no tempo:

<math> \psi_i^n = A e^{i(kx_i - \omega t_n)}, </math>
onde:

<math>A</math> é a amplitude,
<math>k</math> é o número de onda,
<math>\omega</math> é a frequência angular discreta,
<math>x_i = i \Delta x</math> e <math>t_n = n \Delta t</math> são os pontos espaciais e temporais.
No esquema discreto:

<math> \psi_i^n = A e^{i(k i \Delta x - \omega n \Delta t)}. </math>
Substituímos nas expressões de <math>\psi_i^{n+1}</math>, <math>\psi_i^n</math>, <math>\psi_i^{n-1}</math>, <math>\psi_{i+1}^n</math>, e <math>\psi_{i-1}^n</math>:

<math> \psi_i^{n+1} = A e^{i(k i \Delta x - \omega (n+1) \Delta t)} = \psi_i^n e^{-i \omega \Delta t}. </math>
De forma semelhante:

<math> \psi_i^{n-1} = \psi_i^n e^{i \omega \Delta t}, \quad \psi_{i+1}^n = \psi_i^n e^{i k \Delta x}, \quad \psi_{i-1}^n = \psi_i^n e^{-i k \Delta x}. </math>

Substituímos essas expressões na equação:

<math> \psi_i^n e^{-i \omega \Delta t} = 2\psi_i^n - \psi_i^n e^{i \omega \Delta t} + s^2 \left(\psi_i^n e^{i k \Delta x} - 2\psi_i^n + \psi_i^n e^{-i k \Delta x}\right) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi_i^n. </math>
Dividimos tudo por <math>\psi_i^n</math>:

<math> e^{-i \omega \Delta t} = 2 - e^{i \omega \Delta t} + s^2 \left(e^{i k \Delta x} - 2 + e^{-i k \Delta x}\right) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2}. </math>

Para simplificar, usamos:

<math> e^{i k \Delta x} + e^{-i k \Delta x} = 2 \cos(k \Delta x), </math>
e

<math> e^{-i \omega \Delta t} + e^{i \omega \Delta t} = 2 \cos(\omega \Delta t). </math>
Substituímos e reorganizamos:

<math> \cos(\omega \Delta t) = 1 - s^2 (1 - \cos(k \Delta x)) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{2 \hbar^2}. </math>

Para que a solução seja estável, o módulo de <math>\cos(\omega \Delta t)</math> deve ser no máximo 1 (<math>|\cos(\omega \Delta t)| \leq 1</math>). Isso impõe a seguinte condição no termo <math>s^2</math>:

<math> s^2 = \frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \leq 1. </math>
Ou seja:

<math> \frac{c \Delta t}{\Delta x} \leq 1. </math>

<math>s = \frac{c \Delta t}{\Delta x}</math> representa a relação entre os passos no tempo (<math>\Delta t</math>) e no espaço (<math>\Delta x</math>).
Se <math>s > 1</math>, a onda "se propaga rápido demais" em relação à resolução do espaço-tempo, o que pode causar instabilidade.

== C.C e C.I ==

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condições iniciais e de contorno:

<math> \psi(x,0) = Ae^{-\frac{x-x_0}{2\sigma^2}}</math> que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e <math>\frac{\partial \psi(x,0)}{\partial t} =0 </math> que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, <math> x_0 </math> é a posição central do pulso e <math> \sigma </math> é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que <math>\psi(0,t)= 0 </math> e <math>\psi(L,t)=0 </math> o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas:

[[Arquivo:Estatico.png]]

[[Arquivo:Klein 2.gif]]

Equação de Klein-Gordon

2025-01-08T01:11:46Z

Eduardoleite: /* CRITÉRIO DE ESTABILIDADE */

== INTRODUÇÃO ==
A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os mésons, em seu modelo básico) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein <math>E=p^2c^2 + m^2c^4 </math>. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

<math> \left( \Box + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right) \psi(x,t)= 0 </math>

onde <math> \left( \Box = \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} -\nabla^2 \right) </math> é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

<math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \psi - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math>

<math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math> (em uma dimensão)

== MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ==

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos <math>\Delta t </math> criando uma sequência de pontos <math>t_n=n\Delta t </math>. Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos <math>\Delta x </math> criando uma sequência de pontos <math>x_i=i\Delta x </math>.
Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}</math> e <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \approx \frac{u_i^{n+1} - 2u_i^n + u_i^{n-1}}{(\Delta t)^2} </math> para o tempo.

<math>\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1}^n - u_i^n}{\Delta x} e \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2} </math> para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2} \approx \frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2}</math>

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \approx \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x- \Delta x,t)}{(\Delta x)^2} </math>

ou seja:

<math>\frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2} = c^2 \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta x)^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi </math>

isso nos leva a equação final:

<math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta,t) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi </math>

chamarei <math>\alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x} </math> e <math> \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar} </math>

portanto, <math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\alpha^2 \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) - \beta^2 \psi </math>

ou, mais usualmente: <math>\psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 ( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \beta^2 \psi </math>

== CRITÉRIO DE ESTABILIDADE ==

Forma geral da equação discretizada
A equação discretizada é dada por:

<math> \psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} (\psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi_i^n </math>
Definimos:

<math> s = \frac{c \Delta t}{\Delta x}, </math>
para simplificar a notação, e escrevemos:

<math> \psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + s^2 (\psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi_i^n. </math>
2. Suposição de solução harmônica
Suponha que a solução seja uma onda harmônica no espaço e no tempo:

<math> \psi_i^n = A e^{i(kx_i - \omega t_n)}, </math>
onde:

<math>A</math> é a amplitude,
<math>k</math> é o número de onda,
<math>\omega</math> é a frequência angular discreta,
<math>x_i = i \Delta x</math> e <math>t_n = n \Delta t</math> são os pontos espaciais e temporais.
No esquema discreto:

<math> \psi_i^n = A e^{i(k i \Delta x - \omega n \Delta t)}. </math>
Substituímos nas expressões de <math>\psi_i^{n+1}</math>, <math>\psi_i^n</math>, <math>\psi_i^{n-1}</math>, <math>\psi_{i+1}^n</math>, e <math>\psi_{i-1}^n</math>:

<math> \psi_i^{n+1} = A e^{i(k i \Delta x - \omega (n+1) \Delta t)} = \psi_i^n e^{-i \omega \Delta t}. </math>
De forma semelhante:

<math> \psi_i^{n-1} = \psi_i^n e^{i \omega \Delta t}, \quad \psi_{i+1}^n = \psi_i^n e^{i k \Delta x}, \quad \psi_{i-1}^n = \psi_i^n e^{-i k \Delta x}. </math>
3. Substituição na equação discretizada
Substituímos essas expressões na equação:

<math> \psi_i^n e^{-i \omega \Delta t} = 2\psi_i^n - \psi_i^n e^{i \omega \Delta t} + s^2 \left(\psi_i^n e^{i k \Delta x} - 2\psi_i^n + \psi_i^n e^{-i k \Delta x}\right) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi_i^n. </math>
Dividimos tudo por <math>\psi_i^n</math>:

<math> e^{-i \omega \Delta t} = 2 - e^{i \omega \Delta t} + s^2 \left(e^{i k \Delta x} - 2 + e^{-i k \Delta x}\right) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2}. </math>
4. Simplificação com identidades trigonométricas
Para simplificar, usamos:

<math> e^{i k \Delta x} + e^{-i k \Delta x} = 2 \cos(k \Delta x), </math>
e

<math> e^{-i \omega \Delta t} + e^{i \omega \Delta t} = 2 \cos(\omega \Delta t). </math>
Substituímos e reorganizamos:

<math> \cos(\omega \Delta t) = 1 - s^2 (1 - \cos(k \Delta x)) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{2 \hbar^2}. </math>
5. Condição de estabilidade
Para que a solução seja estável, o módulo de <math>\cos(\omega \Delta t)</math> deve ser no máximo 1 (<math>|\cos(\omega \Delta t)| \leq 1</math>). Isso impõe a seguinte condição no termo <math>s^2</math>:

<math> s^2 = \frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \leq 1. </math>
Ou seja:

<math> \frac{c \Delta t}{\Delta x} \leq 1. </math>
6. Interpretação
<math>s = \frac{c \Delta t}{\Delta x}</math> representa a relação entre os passos no tempo (<math>\Delta t</math>) e no espaço (<math>\Delta x</math>).
Se <math>s > 1</math>, a onda "se propaga rápido demais" em relação à resolução do espaço-tempo, o que pode causar instabilidade.

== C.C e C.I ==

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condições iniciais e de contorno:

<math> \psi(x,0) = Ae^{-\frac{x-x_0}{2\sigma^2}}</math> que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e <math>\frac{\partial \psi(x,0)}{\partial t} =0 </math> que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, <math> x_0 </math> é a posição central do pulso e <math> \sigma </math> é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que <math>\psi(0,t)= 0 </math> e <math>\psi(L,t)=0 </math> o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas:

[[Arquivo:Estatico.png]]

[[Arquivo:Klein 2.gif]]

Equação de Klein-Gordon

2025-01-08T01:11:25Z

Eduardoleite: /* CRITÉRIO DE ESTABILIDADE */

== INTRODUÇÃO ==
A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os mésons, em seu modelo básico) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein <math>E=p^2c^2 + m^2c^4 </math>. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

<math> \left( \Box + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right) \psi(x,t)= 0 </math>

onde <math> \left( \Box = \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} -\nabla^2 \right) </math> é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

<math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \psi - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math>

<math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math> (em uma dimensão)

== MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ==

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos <math>\Delta t </math> criando uma sequência de pontos <math>t_n=n\Delta t </math>. Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos <math>\Delta x </math> criando uma sequência de pontos <math>x_i=i\Delta x </math>.
Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}</math> e <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \approx \frac{u_i^{n+1} - 2u_i^n + u_i^{n-1}}{(\Delta t)^2} </math> para o tempo.

<math>\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1}^n - u_i^n}{\Delta x} e \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2} </math> para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2} \approx \frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2}</math>

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \approx \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x- \Delta x,t)}{(\Delta x)^2} </math>

ou seja:

<math>\frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2} = c^2 \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta x)^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi </math>

isso nos leva a equação final:

<math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta,t) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi </math>

chamarei <math>\alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x} </math> e <math> \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar} </math>

portanto, <math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\alpha^2 \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) - \beta^2 \psi </math>

ou, mais usualmente: <math>\psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 ( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \beta^2 \psi </math>

== CRITÉRIO DE ESTABILIDADE ==

1. Forma geral da equação discretizada
A equação discretizada é dada por:

<math> \psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} (\psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi_i^n. </math>
Definimos:

<math> s = \frac{c \Delta t}{\Delta x}, </math>
para simplificar a notação, e escrevemos:

<math> \psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + s^2 (\psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi_i^n. </math>
2. Suposição de solução harmônica
Suponha que a solução seja uma onda harmônica no espaço e no tempo:

<math> \psi_i^n = A e^{i(kx_i - \omega t_n)}, </math>
onde:

<math>A</math> é a amplitude,
<math>k</math> é o número de onda,
<math>\omega</math> é a frequência angular discreta,
<math>x_i = i \Delta x</math> e <math>t_n = n \Delta t</math> são os pontos espaciais e temporais.
No esquema discreto:

<math> \psi_i^n = A e^{i(k i \Delta x - \omega n \Delta t)}. </math>
Substituímos nas expressões de <math>\psi_i^{n+1}</math>, <math>\psi_i^n</math>, <math>\psi_i^{n-1}</math>, <math>\psi_{i+1}^n</math>, e <math>\psi_{i-1}^n</math>:

<math> \psi_i^{n+1} = A e^{i(k i \Delta x - \omega (n+1) \Delta t)} = \psi_i^n e^{-i \omega \Delta t}. </math>
De forma semelhante:

<math> \psi_i^{n-1} = \psi_i^n e^{i \omega \Delta t}, \quad \psi_{i+1}^n = \psi_i^n e^{i k \Delta x}, \quad \psi_{i-1}^n = \psi_i^n e^{-i k \Delta x}. </math>
3. Substituição na equação discretizada
Substituímos essas expressões na equação:

<math> \psi_i^n e^{-i \omega \Delta t} = 2\psi_i^n - \psi_i^n e^{i \omega \Delta t} + s^2 \left(\psi_i^n e^{i k \Delta x} - 2\psi_i^n + \psi_i^n e^{-i k \Delta x}\right) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi_i^n. </math>
Dividimos tudo por <math>\psi_i^n</math>:

<math> e^{-i \omega \Delta t} = 2 - e^{i \omega \Delta t} + s^2 \left(e^{i k \Delta x} - 2 + e^{-i k \Delta x}\right) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2}. </math>
4. Simplificação com identidades trigonométricas
Para simplificar, usamos:

<math> e^{i k \Delta x} + e^{-i k \Delta x} = 2 \cos(k \Delta x), </math>
e

<math> e^{-i \omega \Delta t} + e^{i \omega \Delta t} = 2 \cos(\omega \Delta t). </math>
Substituímos e reorganizamos:

<math> \cos(\omega \Delta t) = 1 - s^2 (1 - \cos(k \Delta x)) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{2 \hbar^2}. </math>
5. Condição de estabilidade
Para que a solução seja estável, o módulo de <math>\cos(\omega \Delta t)</math> deve ser no máximo 1 (<math>|\cos(\omega \Delta t)| \leq 1</math>). Isso impõe a seguinte condição no termo <math>s^2</math>:

<math> s^2 = \frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \leq 1. </math>
Ou seja:

<math> \frac{c \Delta t}{\Delta x} \leq 1. </math>
6. Interpretação
<math>s = \frac{c \Delta t}{\Delta x}</math> representa a relação entre os passos no tempo (<math>\Delta t</math>) e no espaço (<math>\Delta x</math>).
Se <math>s > 1</math>, a onda "se propaga rápido demais" em relação à resolução do espaço-tempo, o que pode causar instabilidade.

== C.C e C.I ==

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condições iniciais e de contorno:

<math> \psi(x,0) = Ae^{-\frac{x-x_0}{2\sigma^2}}</math> que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e <math>\frac{\partial \psi(x,0)}{\partial t} =0 </math> que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, <math> x_0 </math> é a posição central do pulso e <math> \sigma </math> é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que <math>\psi(0,t)= 0 </math> e <math>\psi(L,t)=0 </math> o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas:

[[Arquivo:Estatico.png]]

[[Arquivo:Klein 2.gif]]

Equação de Klein-Gordon

2025-01-08T01:02:10Z

Eduardoleite: /* C.C e C.I */

== INTRODUÇÃO ==
A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os mésons, em seu modelo básico) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein <math>E=p^2c^2 + m^2c^4 </math>. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

<math> \left( \Box + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right) \psi(x,t)= 0 </math>

onde <math> \left( \Box = \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} -\nabla^2 \right) </math> é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

<math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \psi - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math>

<math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math> (em uma dimensão)

== MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ==

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos <math>\Delta t </math> criando uma sequência de pontos <math>t_n=n\Delta t </math>. Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos <math>\Delta x </math> criando uma sequência de pontos <math>x_i=i\Delta x </math>.
Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}</math> e <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \approx \frac{u_i^{n+1} - 2u_i^n + u_i^{n-1}}{(\Delta t)^2} </math> para o tempo.

<math>\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1}^n - u_i^n}{\Delta x} e \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2} </math> para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2} \approx \frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2}</math>

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \approx \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x- \Delta x,t)}{(\Delta x)^2} </math>

ou seja:

<math>\frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2} = c^2 \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta x)^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi </math>

isso nos leva a equação final:

<math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta,t) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi </math>

chamarei <math>\alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x} </math> e <math> \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar} </math>

portanto, <math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\alpha^2 \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) - \beta^2 \psi </math>

ou, mais usualmente: <math>\psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 ( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \beta^2 \psi </math>

== CRITÉRIO DE ESTABILIDADE ==

A Forma Contínua e discretização da equação de Klein-Gordon contínua é: <math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi. </math>

A forma discreta, usando diferenças finitas centralizadas no tempo e no espaço, é: <math> \psi_i^{n+1} = 2 \psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} (\psi_{i+1}^n - 2 \psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi_i^n. </math> Aqui, definimos os coeficientes: <math> \alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x}, \quad \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar}. </math>

Suposição de Solução Harmônica: Substituímos uma solução da forma: <math> \psi_i^n = G^n e^{i k x_i}, </math> onde:

na equação: <math> G^{n+1} e^{i k x_i} = 2 G^n e^{i k x_i} - G^{n-1} e^{i k x_i} + \alpha^2 G^n \left(e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}}\right) - \beta^2 G^n e^{i k x_i}. </math>

Simplificação:

Como <math> e^{i k x_{i+1}} = e^{i k x_i} e^{i k \Delta x} </math> e <math> e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} e^{-i k \Delta x} </math>, o termo centralizado se torna: <math> e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} \left(e^{i k \Delta x} - 2 + e^{-i k \Delta x}\right). </math>
Usando <math> e^{i k \Delta x} + e^{-i k \Delta x} = 2 \cos(k \Delta x) </math>, temos: <math> e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} \left(-2 + 2 \cos(k \Delta x)\right). </math>
Substituímos isso na equação e cancelamos o fator <math> e^{i k x_i} </math>, que nunca é zero: <math> G^{n+1} = 2 G^n - G^{n-1} - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) G^n - \beta^2 G^n. </math>

Simplificando mais, obtemos: <math> G^{n+1} = (2 - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) - \beta^2) G^n - G^{n-1}. </math>

Equação Característica: obtemos uma equação quadrática para <math> G </math>: <math> G^2 - G \left(2 - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) - \beta^2 \right) + 1 = 0. </math>

Condição de Estabilidade: Para estabilidade, as raízes de <math> G </math> devem satisfazer <math> |G| \leq 1 </math>. Isso leva ao critério: <math> \alpha \leq 1, \quad \text{ou seja,} \quad \frac{c \Delta t}{\Delta x} \leq 1. </math>

Conclusão Matemática:
A condição <math> \alpha \leq 1 </math> garante que os termos oscilatórios na solução não crescem exponencialmente. Essa análise também mostra que:

Quanto menor o passo de tempo <math> \Delta t </math>, mais precisa e estável é a solução.
A relação entre os passos de tempo e espaço é crucial: aumentar muito <math> \Delta t </math> sem ajustar <math> \Delta x </math> pode levar à instabilidade.

== C.C e C.I ==

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condições iniciais e de contorno:

<math> \psi(x,0) = Ae^{-\frac{x-x_0}{2\sigma^2}}</math> que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e <math>\frac{\partial \psi(x,0)}{\partial t} =0 </math> que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, <math> x_0 </math> é a posição central do pulso e <math> \sigma </math> é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que <math>\psi(0,t)= 0 </math> e <math>\psi(L,t)=0 </math> o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas:

[[Arquivo:Estatico.png]]

[[Arquivo:Klein 2.gif]]

Equação de Klein-Gordon

2025-01-08T00:58:44Z

Eduardoleite: /* C.C e C.I */

== INTRODUÇÃO ==
A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os mésons, em seu modelo básico) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein <math>E=p^2c^2 + m^2c^4 </math>. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

<math> \left( \Box + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right) \psi(x,t)= 0 </math>

onde <math> \left( \Box = \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} -\nabla^2 \right) </math> é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

<math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \psi - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math>

<math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math> (em uma dimensão)

== MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ==

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos <math>\Delta t </math> criando uma sequência de pontos <math>t_n=n\Delta t </math>. Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos <math>\Delta x </math> criando uma sequência de pontos <math>x_i=i\Delta x </math>.
Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}</math> e <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \approx \frac{u_i^{n+1} - 2u_i^n + u_i^{n-1}}{(\Delta t)^2} </math> para o tempo.

<math>\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1}^n - u_i^n}{\Delta x} e \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2} </math> para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2} \approx \frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2}</math>

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \approx \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x- \Delta x,t)}{(\Delta x)^2} </math>

ou seja:

<math>\frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2} = c^2 \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta x)^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi </math>

isso nos leva a equação final:

<math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta,t) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi </math>

chamarei <math>\alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x} </math> e <math> \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar} </math>

portanto, <math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\alpha^2 \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) - \beta^2 \psi </math>

ou, mais usualmente: <math>\psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 ( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \beta^2 \psi </math>

== CRITÉRIO DE ESTABILIDADE ==

A Forma Contínua e discretização da equação de Klein-Gordon contínua é: <math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi. </math>

A forma discreta, usando diferenças finitas centralizadas no tempo e no espaço, é: <math> \psi_i^{n+1} = 2 \psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} (\psi_{i+1}^n - 2 \psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi_i^n. </math> Aqui, definimos os coeficientes: <math> \alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x}, \quad \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar}. </math>

Suposição de Solução Harmônica: Substituímos uma solução da forma: <math> \psi_i^n = G^n e^{i k x_i}, </math> onde:

na equação: <math> G^{n+1} e^{i k x_i} = 2 G^n e^{i k x_i} - G^{n-1} e^{i k x_i} + \alpha^2 G^n \left(e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}}\right) - \beta^2 G^n e^{i k x_i}. </math>

Simplificação:

Como <math> e^{i k x_{i+1}} = e^{i k x_i} e^{i k \Delta x} </math> e <math> e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} e^{-i k \Delta x} </math>, o termo centralizado se torna: <math> e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} \left(e^{i k \Delta x} - 2 + e^{-i k \Delta x}\right). </math>
Usando <math> e^{i k \Delta x} + e^{-i k \Delta x} = 2 \cos(k \Delta x) </math>, temos: <math> e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} \left(-2 + 2 \cos(k \Delta x)\right). </math>
Substituímos isso na equação e cancelamos o fator <math> e^{i k x_i} </math>, que nunca é zero: <math> G^{n+1} = 2 G^n - G^{n-1} - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) G^n - \beta^2 G^n. </math>

Simplificando mais, obtemos: <math> G^{n+1} = (2 - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) - \beta^2) G^n - G^{n-1}. </math>

Equação Característica: obtemos uma equação quadrática para <math> G </math>: <math> G^2 - G \left(2 - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) - \beta^2 \right) + 1 = 0. </math>

Condição de Estabilidade: Para estabilidade, as raízes de <math> G </math> devem satisfazer <math> |G| \leq 1 </math>. Isso leva ao critério: <math> \alpha \leq 1, \quad \text{ou seja,} \quad \frac{c \Delta t}{\Delta x} \leq 1. </math>

Conclusão Matemática:
A condição <math> \alpha \leq 1 </math> garante que os termos oscilatórios na solução não crescem exponencialmente. Essa análise também mostra que:

Quanto menor o passo de tempo <math> \Delta t </math>, mais precisa e estável é a solução.
A relação entre os passos de tempo e espaço é crucial: aumentar muito <math> \Delta t </math> sem ajustar <math> \Delta x </math> pode levar à instabilidade.

== C.C e C.I ==

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condilções iniciais e de contorno:

<math> \psi(x,0) = Ae^{-\frac{x-x_0}{2\sigma^2}}</math> que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e <math>\frac{\partial \psi(x,0)}{\partial t} =0 </math> que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, <math> x_0 </math> é a posição central do pulso e <math> \sigma </math> é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que <math>\psi(0,t)= 0 </math> e <math>\psi(L,t)=0 </math> o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas:

[[Arquivo:Estatico.png]]

[[Arquivo:Klein 2.gif]]

Arquivo:Estatico.png

2025-01-08T00:57:23Z

Eduardoleite:

Equação de Klein-Gordon

2025-01-08T00:30:53Z

Eduardoleite: /* CRITÉRIO DE ESTABILIDADE */

== INTRODUÇÃO ==
A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os mésons, em seu modelo básico) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein <math>E=p^2c^2 + m^2c^4 </math>. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

<math> \left( \Box + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right) \psi(x,t)= 0 </math>

onde <math> \left( \Box = \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} -\nabla^2 \right) </math> é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

<math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \psi - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math>

<math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math> (em uma dimensão)

== MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ==

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos <math>\Delta t </math> criando uma sequência de pontos <math>t_n=n\Delta t </math>. Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos <math>\Delta x </math> criando uma sequência de pontos <math>x_i=i\Delta x </math>.
Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}</math> e <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \approx \frac{u_i^{n+1} - 2u_i^n + u_i^{n-1}}{(\Delta t)^2} </math> para o tempo.

<math>\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1}^n - u_i^n}{\Delta x} e \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2} </math> para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2} \approx \frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2}</math>

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \approx \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x- \Delta x,t)}{(\Delta x)^2} </math>

ou seja:

<math>\frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2} = c^2 \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta x)^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi </math>

isso nos leva a equação final:

<math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta,t) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi </math>

chamarei <math>\alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x} </math> e <math> \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar} </math>

portanto, <math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\alpha^2 \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) - \beta^2 \psi </math>

ou, mais usualmente: <math>\psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 ( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \beta^2 \psi </math>

== CRITÉRIO DE ESTABILIDADE ==

A Forma Contínua e discretização da equação de Klein-Gordon contínua é: <math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi. </math>

A forma discreta, usando diferenças finitas centralizadas no tempo e no espaço, é: <math> \psi_i^{n+1} = 2 \psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} (\psi_{i+1}^n - 2 \psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi_i^n. </math> Aqui, definimos os coeficientes: <math> \alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x}, \quad \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar}. </math>

Suposição de Solução Harmônica: Substituímos uma solução da forma: <math> \psi_i^n = G^n e^{i k x_i}, </math> onde:

na equação: <math> G^{n+1} e^{i k x_i} = 2 G^n e^{i k x_i} - G^{n-1} e^{i k x_i} + \alpha^2 G^n \left(e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}}\right) - \beta^2 G^n e^{i k x_i}. </math>

Simplificação:

Como <math> e^{i k x_{i+1}} = e^{i k x_i} e^{i k \Delta x} </math> e <math> e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} e^{-i k \Delta x} </math>, o termo centralizado se torna: <math> e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} \left(e^{i k \Delta x} - 2 + e^{-i k \Delta x}\right). </math>
Usando <math> e^{i k \Delta x} + e^{-i k \Delta x} = 2 \cos(k \Delta x) </math>, temos: <math> e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} \left(-2 + 2 \cos(k \Delta x)\right). </math>
Substituímos isso na equação e cancelamos o fator <math> e^{i k x_i} </math>, que nunca é zero: <math> G^{n+1} = 2 G^n - G^{n-1} - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) G^n - \beta^2 G^n. </math>

Simplificando mais, obtemos: <math> G^{n+1} = (2 - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) - \beta^2) G^n - G^{n-1}. </math>

Equação Característica: Assumimos uma solução da forma <math> G^n = G^n </math> e obtemos uma equação quadrática para <math> G </math>: <math> G^2 - G \left(2 - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) - \beta^2 \right) + 1 = 0. </math>

Condição de Estabilidade: Para estabilidade, as raízes de <math> G </math> devem satisfazer <math> |G| \leq 1 </math>. Isso leva ao critério: <math> \alpha \leq 1, \quad \text{ou seja,} \quad \frac{c \Delta t}{\Delta x} \leq 1. </math>

Conclusão Matemática
A condição <math> \alpha \leq 1 </math> garante que os termos oscilatórios na solução não crescem exponencialmente. Essa análise também mostra que:

Quanto menor o passo de tempo <math> \Delta t </math>, mais precisa e estável é a solução.
A relação entre os passos de tempo e espaço é crucial: aumentar muito <math> \Delta t </math> sem ajustar <math> \Delta x </math> pode levar à instabilidade.

== C.C e C.I ==

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condilções iniciais e de contorno:

<math> \psi(x,0) = Ae^{-\frac{x-x_0}{2\sigma^2}}</math> que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e <math>\frac{\partial \psi(x,0)}{\partial t} =0 </math> que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, <math> x_0 </math> é a posição central do pulso e <math> \sigma </math> é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que <math>\psi(0,t)= 0 </math> e <math>\psi(L,t)=0 </math> o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas:

[[Arquivo:Klein 2.gif]]

Equação de Klein-Gordon

2025-01-08T00:30:15Z

Eduardoleite: /* CRITÉRIO DE ESTABILIDADE */

== INTRODUÇÃO ==
A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os mésons, em seu modelo básico) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein <math>E=p^2c^2 + m^2c^4 </math>. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

<math> \left( \Box + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right) \psi(x,t)= 0 </math>

onde <math> \left( \Box = \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} -\nabla^2 \right) </math> é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

<math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \psi - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math>

<math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math> (em uma dimensão)

== MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ==

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos <math>\Delta t </math> criando uma sequência de pontos <math>t_n=n\Delta t </math>. Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos <math>\Delta x </math> criando uma sequência de pontos <math>x_i=i\Delta x </math>.
Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}</math> e <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \approx \frac{u_i^{n+1} - 2u_i^n + u_i^{n-1}}{(\Delta t)^2} </math> para o tempo.

<math>\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1}^n - u_i^n}{\Delta x} e \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2} </math> para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2} \approx \frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2}</math>

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \approx \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x- \Delta x,t)}{(\Delta x)^2} </math>

ou seja:

<math>\frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2} = c^2 \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta x)^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi </math>

isso nos leva a equação final:

<math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta,t) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi </math>

chamarei <math>\alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x} </math> e <math> \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar} </math>

portanto, <math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\alpha^2 \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) - \beta^2 \psi </math>

ou, mais usualmente: <math>\psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 ( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \beta^2 \psi </math>

== CRITÉRIO DE ESTABILIDADE ==

A Forma Contínua e discretização da equação de Klein-Gordon contínua é: <math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi. </math>

A forma discreta, usando diferenças finitas centralizadas no tempo e no espaço, é: <math> \psi_i^{n+1} = 2 \psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} (\psi_{i+1}^n - 2 \psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi_i^n. </math> Aqui, definimos os coeficientes: <math> \alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x}, \quad \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar}. </math>

Suposição de Solução Harmônica: Substituímos uma solução da forma: <math> \psi_i^n = G^n e^{i k x_i}, </math> onde:

na equação: <math> G^{n+1} e^{i k x_i} = 2 G^n e^{i k x_i} - G^{n-1} e^{i k x_i} + \alpha^2 G^n \left(e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}}\right) - \beta^2 G^n e^{i k x_i}. </math>

Simplificação:

Como <math> e^{i k x_{i+1}} = e^{i k x_i} e^{i k \Delta x} </math> e <math> e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} e^{-i k \Delta x} </math>, o termo centralizado se torna: <math> e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} \left(e^{i k \Delta x} - 2 + e^{-i k \Delta x}\right). </math>
Usando <math> e^{i k \Delta x} + e^{-i k \Delta x} = 2 \cos(k \Delta x) </math>, temos: <math> e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} \left(-2 + 2 \cos(k \Delta x)\right). </math>
Substituímos isso na equação e cancelamos o fator <math> e^{i k x_i} </math>, que nunca é zero: <math> G^{n+1} = 2 G^n - G^{n-1} - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) G^n - \beta^2 G^n. </math>

Simplificando mais, obtemos: <math> G^{n+1} = (2 - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) - \beta^2) G^n - G^{n-1}. </math>

Equação Característica: Assumimos uma solução da forma <math> G^n = G^n </math> e obtemos uma equação quadrática para <math> G </math>: <math> G^2 - G \left(2 - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) - \beta^2 \right) + 1 = 0. </math>

Condição de Estabilidade: Para estabilidade, as raízes de <math> G </math> devem satisfazer <math> |G| \leq 1 </math>. Isso leva ao critério: <math> \alpha \leq 1, \quad \text{ou seja,} \quad \frac{c \Delta t}{\Delta x} \leq 1. </math>

Conclusão Matemática
A condição <math> \alpha \leq 1 </math> garante que os termos oscilatórios na solução não crescem exponencialmente. Essa análise também mostra que:

Quanto menor o passo de tempo <math> \Delta t </math>, mais precisa e estável é a solução.
A relação entre os passos de tempo e espaço é crucial: aumentar muito <math> \Delta t </math> sem ajustar <math> \Delta x </math> pode levar à instabilidade.

== C.C e C.I ==

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condilções iniciais e de contorno:

<math> \psi(x,0) = Ae^{-\frac{x-x_0}{2\sigma^2}}</math> que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e <math>\frac{\partial \psi(x,0)}{\partial t} =0 </math> que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, <math> x_0 </math> é a posição central do pulso e <math> \sigma </math> é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que <math>\psi(0,t)= 0 </math> e <math>\psi(L,t)=0 </math> o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas:

[[Arquivo:Klein 2.gif]]

Equação de Klein-Gordon

2025-01-08T00:29:48Z

Eduardoleite:

== INTRODUÇÃO ==
A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os mésons, em seu modelo básico) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein <math>E=p^2c^2 + m^2c^4 </math>. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

<math> \left( \Box + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right) \psi(x,t)= 0 </math>

onde <math> \left( \Box = \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} -\nabla^2 \right) </math> é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

<math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \psi - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math>

<math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math> (em uma dimensão)

== MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ==

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos <math>\Delta t </math> criando uma sequência de pontos <math>t_n=n\Delta t </math>. Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos <math>\Delta x </math> criando uma sequência de pontos <math>x_i=i\Delta x </math>.
Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}</math> e <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \approx \frac{u_i^{n+1} - 2u_i^n + u_i^{n-1}}{(\Delta t)^2} </math> para o tempo.

<math>\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1}^n - u_i^n}{\Delta x} e \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2} </math> para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2} \approx \frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2}</math>

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \approx \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x- \Delta x,t)}{(\Delta x)^2} </math>

ou seja:

<math>\frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2} = c^2 \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta x)^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi </math>

isso nos leva a equação final:

<math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta,t) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi </math>

chamarei <math>\alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x} </math> e <math> \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar} </math>

portanto, <math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\alpha^2 \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) - \beta^2 \psi </math>

ou, mais usualmente: <math>\psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 ( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \beta^2 \psi </math>

== CRITÉRIO DE ESTABILIDADE ==

A Forma Contínua e Eiscretização da equação de Klein-Gordon contínua é: <math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi. </math>

A forma discreta, usando diferenças finitas centralizadas no tempo e no espaço, é: <math> \psi_i^{n+1} = 2 \psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} (\psi_{i+1}^n - 2 \psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi_i^n. </math> Aqui, definimos os coeficientes: <math> \alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x}, \quad \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar}. </math>

Suposição de Solução Harmônica: Substituímos uma solução da forma: <math> \psi_i^n = G^n e^{i k x_i}, </math> onde:

na equação: <math> G^{n+1} e^{i k x_i} = 2 G^n e^{i k x_i} - G^{n-1} e^{i k x_i} + \alpha^2 G^n \left(e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}}\right) - \beta^2 G^n e^{i k x_i}. </math>

Simplificação:

Como <math> e^{i k x_{i+1}} = e^{i k x_i} e^{i k \Delta x} </math> e <math> e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} e^{-i k \Delta x} </math>, o termo centralizado se torna: <math> e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} \left(e^{i k \Delta x} - 2 + e^{-i k \Delta x}\right). </math>
Usando <math> e^{i k \Delta x} + e^{-i k \Delta x} = 2 \cos(k \Delta x) </math>, temos: <math> e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} \left(-2 + 2 \cos(k \Delta x)\right). </math>
Substituímos isso na equação e cancelamos o fator <math> e^{i k x_i} </math>, que nunca é zero: <math> G^{n+1} = 2 G^n - G^{n-1} - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) G^n - \beta^2 G^n. </math>

Simplificando mais, obtemos: <math> G^{n+1} = (2 - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) - \beta^2) G^n - G^{n-1}. </math>

Equação Característica: Assumimos uma solução da forma <math> G^n = G^n </math> e obtemos uma equação quadrática para <math> G </math>: <math> G^2 - G \left(2 - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) - \beta^2 \right) + 1 = 0. </math>

Condição de Estabilidade: Para estabilidade, as raízes de <math> G </math> devem satisfazer <math> |G| \leq 1 </math>. Isso leva ao critério: <math> \alpha \leq 1, \quad \text{ou seja,} \quad \frac{c \Delta t}{\Delta x} \leq 1. </math>

Conclusão Matemática
A condição <math> \alpha \leq 1 </math> garante que os termos oscilatórios na solução não crescem exponencialmente. Essa análise também mostra que:

Quanto menor o passo de tempo <math> \Delta t </math>, mais precisa e estável é a solução.
A relação entre os passos de tempo e espaço é crucial: aumentar muito <math> \Delta t </math> sem ajustar <math> \Delta x </math> pode levar à instabilidade.

== C.C e C.I ==

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condilções iniciais e de contorno:

<math> \psi(x,0) = Ae^{-\frac{x-x_0}{2\sigma^2}}</math> que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e <math>\frac{\partial \psi(x,0)}{\partial t} =0 </math> que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, <math> x_0 </math> é a posição central do pulso e <math> \sigma </math> é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que <math>\psi(0,t)= 0 </math> e <math>\psi(L,t)=0 </math> o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas:

[[Arquivo:Klein 2.gif]]

Equação de Klein-Gordon

2025-01-08T00:25:51Z

Eduardoleite: /* CRITÉRIO DE ESTABILIDADE */

== INTRODUÇÃO ==
A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os mésons, em seu modelo básico) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein <math>E=p^2c^2 + m^2c^4 </math>. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

<math> \left( \Box + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right) \psi(x,t)= 0 </math>

onde <math> \left( \Box = \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} -\nabla^2 \right) </math> é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

<math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \psi - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math>

<math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math> (em uma dimensão)

== MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ==

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos <math>\Delta t </math> criando uma sequência de pontos <math>t_n=n\Delta t </math>. Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos <math>\Delta x </math> criando uma sequência de pontos <math>x_i=i\Delta x </math>.
Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}</math> e <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \approx \frac{u_i^{n+1} - 2u_i^n + u_i^{n-1}}{(\Delta t)^2} </math> para o tempo.

<math>\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1}^n - u_i^n}{\Delta x} e \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2} </math> para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2} \approx \frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2}</math>

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \approx \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x- \Delta x,t)}{(\Delta x)^2} </math>

ou seja:

<math>\frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2} = c^2 \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta x)^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi </math>

isso nos leva a equação final:

<math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta,t) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi </math>

chamarei <math>\alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x} </math> e <math> \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar} </math>

portanto, <math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\alpha^2 \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) - \beta^2 \psi </math>

ou, mais usualmente: <math>\psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 ( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \beta^2 \psi </math>

== ESTABILIDADE ta errado, estou testando outras coisas ==

Para analisar a estabilidade do método utilizaremos os Modos de Furrier.

<math> \psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 \left( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n \right) - \beta^2 \psi_i^n </math>.

sendo <math>\psi_i^n = A^n e^{i k i \Delta x} </math> o Modo de Furrier.

Substituímos <math>\psi_i^n, \psi_{i+1}^n</math>, e <math>\psi_{i-1}^n </math>na equação:

<math>\psi_{i+1}^n = A^n e^{i k (i+1) \Delta x} = A^n e^{i k i \Delta x} e^{i k \Delta x}</math>

<math>\psi_{i-1}^n = A^n e^{i k (i-1) \Delta x} = A^n e^{i k i \Delta x} e^{-i k \Delta x}</math>

Usamos a identidade <math> e^{i k \Delta x} + e^{-i k \Delta x} = 2 \cos(k \Delta x) </math>:

<math> A^{n+1} = 2A^n - A^{n-1} + \alpha^2 \left[ 2 \cos(k \Delta x) - 2 \right] A^n - \beta^2 A^n </math>

Fatoramos:

<math> A^{n+1} = \left( 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) \right) A^n - A^{n-1}. </math>

A relação de recorrência é:

<math> A^{n+1} - \lambda A^n + A^{n-1} = 0 </math>

onde

<math> \lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) </math>.

Definimos <math> \mu= |\frac{A^{n+1}}{A^n} | </math> como sendo o fator de amplificação. Assim, a equação fica <math> \mu A^n=\lambda A^n - A^n \frac{A^{n-1}}{A^n} </math>

Dividindo tudo por <math> A^n </math> : <math> \mu = \lambda - \frac{1}{\mu} </math>

Portanto, a equação característica associada é:

<math> \mu^2 - \lambda \mu + 1 = 0 </math>

onde <math> \mu </math> são as raízes que representam o fator de amplificação <math> \mu= |\frac{A^{n+1}}{A^n} | </math>.

Para que o método seja estável, as raízes <math>\mu</math> devem satisfazer <math>\|\mu| \leq 1</math>. Isso é garantido se o discriminante da equação característica satisfizer:

<math> \lambda^2 - 4 \leq 0 </math>.

Substituímos <math>\lambda </math>:

<math> \left( 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) \right)^2 - 4 \leq 0 </math>.

O caso crítico ocorre para o maior valor de <math>cos(k \Delta x)</math>, que é <math>cos(k \Delta x) = 1</math>, e o menor valor, <math>cos(k \Delta x) = -1</math>:

<math>cos(k \Delta x) = 1 </math>:

<math>\lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2</math>.

Isso simplifica para:

<math> \lambda = 2 - \beta^2 </math>

Para estabilidade:

<math> (2 - \beta^2)^2 - 4 \leq 0 </math>.

<math> \beta \geq 0 </math>.

Para <math> cos(k \Delta x) = -1</math>:

<math>\lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 - 2\alpha^2</math>.

<math> \lambda = 2 - 4\alpha^2 - \beta^2 </math>.

Ou seja, para que seja estável:

<math> (2 - 4\alpha^2 - \beta^2)^2 - 4 \leq 0 </math>.

Após expandir:

<math> \alpha \geq \frac{\beta}{2} </math>.

A condição de estabilidade combinada é:

<math> \alpha \geq \frac{\beta}{2} </math>
e <math> \beta \geq 0 </math> .

Essas desigualdades controlam os passos de tempo e espaço, garantindo a estabilidade do método.

== CRITÉRIO DE ESTABILIDADE ==

A Forma Contínua e Eiscretização da equação de Klein-Gordon contínua é: <math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi. </math>

A forma discreta, usando diferenças finitas centralizadas no tempo e no espaço, é: <math> \psi_i^{n+1} = 2 \psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} (\psi_{i+1}^n - 2 \psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi_i^n. </math> Aqui, definimos os coeficientes: <math> \alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x}, \quad \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar}. </math>

Suposição de Solução Harmônica: Substituímos uma solução da forma: <math> \psi_i^n = G^n e^{i k x_i}, </math> onde:

na equação: <math> G^{n+1} e^{i k x_i} = 2 G^n e^{i k x_i} - G^{n-1} e^{i k x_i} + \alpha^2 G^n \left(e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}}\right) - \beta^2 G^n e^{i k x_i}. </math>

Simplificação:

Como <math> e^{i k x_{i+1}} = e^{i k x_i} e^{i k \Delta x} </math> e <math> e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} e^{-i k \Delta x} </math>, o termo centralizado se torna: <math> e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} \left(e^{i k \Delta x} - 2 + e^{-i k \Delta x}\right). </math>
Usando <math> e^{i k \Delta x} + e^{-i k \Delta x} = 2 \cos(k \Delta x) </math>, temos: <math> e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} \left(-2 + 2 \cos(k \Delta x)\right). </math>
Substituímos isso na equação e cancelamos o fator <math> e^{i k x_i} </math>, que nunca é zero: <math> G^{n+1} = 2 G^n - G^{n-1} - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) G^n - \beta^2 G^n. </math>

Simplificando mais, obtemos: <math> G^{n+1} = (2 - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) - \beta^2) G^n - G^{n-1}. </math>

Equação Característica: Assumimos uma solução da forma <math> G^n = G^n </math> e obtemos uma equação quadrática para <math> G </math>: <math> G^2 - G \left(2 - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) - \beta^2 \right) + 1 = 0. </math>

Condição de Estabilidade: Para estabilidade, as raízes de <math> G </math> devem satisfazer <math> |G| \leq 1 </math>. Isso leva ao critério: <math> \alpha \leq 1, \quad \text{ou seja,} \quad \frac{c \Delta t}{\Delta x} \leq 1. </math>

Conclusão Matemática
A condição <math> \alpha \leq 1 </math> garante que os termos oscilatórios na solução não crescem exponencialmente. Essa análise também mostra que:

Quanto menor o passo de tempo <math> \Delta t </math>, mais precisa e estável é a solução.
A relação entre os passos de tempo e espaço é crucial: aumentar muito <math> \Delta t </math> sem ajustar <math> \Delta x </math> pode levar à instabilidade.

== C.C e C.I ==

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condilções iniciais e de contorno:

<math> \psi(x,0) = Ae^{-\frac{x-x_0}{2\sigma^2}}</math> que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e <math>\frac{\partial \psi(x,0)}{\partial t} =0 </math> que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, <math> x_0 </math> é a posição central do pulso e <math> \sigma </math> é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que <math>\psi(0,t)= 0 </math> e <math>\psi(L,t)=0 </math> o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas:

[[Arquivo:Klein 2.gif]]

Equação de Klein-Gordon

2025-01-07T14:19:19Z

Eduardoleite: /* CRITÉRIO DE ESTABILIDADE */

== INTRODUÇÃO ==
A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os mésons, em seu modelo básico) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein <math>E=p^2c^2 + m^2c^4 </math>. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

<math> \left( \Box + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right) \psi(x,t)= 0 </math>

onde <math> \left( \Box = \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} -\nabla^2 \right) </math> é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

<math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \psi - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math>

<math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math> (em uma dimensão)

== MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ==

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos <math>\Delta t </math> criando uma sequência de pontos <math>t_n=n\Delta t </math>. Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos <math>\Delta x </math> criando uma sequência de pontos <math>x_i=i\Delta x </math>.
Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}</math> e <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \approx \frac{u_i^{n+1} - 2u_i^n + u_i^{n-1}}{(\Delta t)^2} </math> para o tempo.

<math>\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1}^n - u_i^n}{\Delta x} e \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2} </math> para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2} \approx \frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2}</math>

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \approx \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x- \Delta x,t)}{(\Delta x)^2} </math>

ou seja:

<math>\frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2} = c^2 \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta x)^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi </math>

isso nos leva a equação final:

<math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta,t) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi </math>

chamarei <math>\alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x} </math> e <math> \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar} </math>

portanto, <math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\alpha^2 \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) - \beta^2 \psi </math>

ou, mais usualmente: <math>\psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 ( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \beta^2 \psi </math>

== ESTABILIDADE ta errado, estou testando outras coisas ==

Para analisar a estabilidade do método utilizaremos os Modos de Furrier.

<math> \psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 \left( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n \right) - \beta^2 \psi_i^n </math>.

sendo <math>\psi_i^n = A^n e^{i k i \Delta x} </math> o Modo de Furrier.

Substituímos <math>\psi_i^n, \psi_{i+1}^n</math>, e <math>\psi_{i-1}^n </math>na equação:

<math>\psi_{i+1}^n = A^n e^{i k (i+1) \Delta x} = A^n e^{i k i \Delta x} e^{i k \Delta x}</math>

<math>\psi_{i-1}^n = A^n e^{i k (i-1) \Delta x} = A^n e^{i k i \Delta x} e^{-i k \Delta x}</math>

Usamos a identidade <math> e^{i k \Delta x} + e^{-i k \Delta x} = 2 \cos(k \Delta x) </math>:

<math> A^{n+1} = 2A^n - A^{n-1} + \alpha^2 \left[ 2 \cos(k \Delta x) - 2 \right] A^n - \beta^2 A^n </math>

Fatoramos:

<math> A^{n+1} = \left( 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) \right) A^n - A^{n-1}. </math>

A relação de recorrência é:

<math> A^{n+1} - \lambda A^n + A^{n-1} = 0 </math>

onde

<math> \lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) </math>.

Definimos <math> \mu= |\frac{A^{n+1}}{A^n} | </math> como sendo o fator de amplificação. Assim, a equação fica <math> \mu A^n=\lambda A^n - A^n \frac{A^{n-1}}{A^n} </math>

Dividindo tudo por <math> A^n </math> : <math> \mu = \lambda - \frac{1}{\mu} </math>

Portanto, a equação característica associada é:

<math> \mu^2 - \lambda \mu + 1 = 0 </math>

onde <math> \mu </math> são as raízes que representam o fator de amplificação <math> \mu= |\frac{A^{n+1}}{A^n} | </math>.

Para que o método seja estável, as raízes <math>\mu</math> devem satisfazer <math>\|\mu| \leq 1</math>. Isso é garantido se o discriminante da equação característica satisfizer:

<math> \lambda^2 - 4 \leq 0 </math>.

Substituímos <math>\lambda </math>:

<math> \left( 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) \right)^2 - 4 \leq 0 </math>.

O caso crítico ocorre para o maior valor de <math>cos(k \Delta x)</math>, que é <math>cos(k \Delta x) = 1</math>, e o menor valor, <math>cos(k \Delta x) = -1</math>:

<math>cos(k \Delta x) = 1 </math>:

<math>\lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2</math>.

Isso simplifica para:

<math> \lambda = 2 - \beta^2 </math>

Para estabilidade:

<math> (2 - \beta^2)^2 - 4 \leq 0 </math>.

<math> \beta \geq 0 </math>.

Para <math> cos(k \Delta x) = -1</math>:

<math>\lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 - 2\alpha^2</math>.

<math> \lambda = 2 - 4\alpha^2 - \beta^2 </math>.

Ou seja, para que seja estável:

<math> (2 - 4\alpha^2 - \beta^2)^2 - 4 \leq 0 </math>.

Após expandir:

<math> \alpha \geq \frac{\beta}{2} </math>.

A condição de estabilidade combinada é:

<math> \alpha \geq \frac{\beta}{2} </math>
e <math> \beta \geq 0 </math> .

Essas desigualdades controlam os passos de tempo e espaço, garantindo a estabilidade do método.

== CRITÉRIO DE ESTABILIDADE ==

Para analisar a estabilidade, considera-se uma solução modal da forma:
<math> \phi_j^n = e^{i(k j \Delta x - \omega n \Delta t)}, </math>

onde <math>k</math> é o número de onda e <math>\omega</math> é a frequência angular.

Substituindo essa expressão na equação discreta e usando as propriedades das exponenciais complexas, temos:
<math> \frac{e^{-i\omega \Delta t} - 2 + e^{i\omega \Delta t}}{\Delta t^2} = \frac{c^2}{\Delta x^2} \left(e^{ik \Delta x} - 2 + e^{-ik \Delta x}\right) - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2}. </math>

<math> \phi_{j+1}^n = e^{ik \Delta x} \phi_j^n, \quad \phi_{j-1}^n = e^{-ik \Delta x} \phi_j^n, </math> <math> \phi_j^{n+1} = e^{-i\omega \Delta t} \phi_j^n, \quad \phi_j^{n-1} = e^{i\omega \Delta t} \phi_j^n. </math>

Substituindo essas expressões na equação discreta:
<math> e^{-i\omega \Delta t} \phi_j^n - 2\phi_j^n + e^{i\omega \Delta t} \phi_j^n = \frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \left(e^{ik \Delta x} \phi_j^n - 2\phi_j^n + e^{-ik \Delta x} \phi_j^n\right) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \phi_j^n. </math>

Dividindo todos os termos por <math>\phi_j^n</math> (assumindo <math>\phi_j^n \neq 0</math>) e rearranjando, obtém-se:
<math> \frac{e^{-i\omega \Delta t} - 2 + e^{i\omega \Delta t}}{\Delta t^2} = \frac{c^2}{\Delta x^2} \left(e^{ik \Delta x} - 2 + e^{-ik \Delta x}\right) - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2}. </math>

Utilizando identidades trigonométricas para simplificar, a equação se torna:
<math> \frac{-4 \sin^2(\omega \Delta t / 2)}{\Delta t^2} = \frac{-4 c^2 \sin^2(k \Delta x / 2)}{\Delta x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2}. </math>

Multiplicando por <math>-1</math>, obtemos:
<math> \frac{4 \sin^2(\omega \Delta t / 2)}{\Delta t^2} = \frac{4 c^2 \sin^2(k \Delta x / 2)}{\Delta x^2} + \frac{m^2 c^4}{\hbar^2}. </math>
Critério de Estabilidade

A condição de estabilidade exige que <math>\sin^2(\omega \Delta t / 2)</math> seja real e menor ou igual a 1. Isso leva à restrição:
<math> \frac{4 c^2 \sin^2(k \Delta x / 2)}{\Delta x^2} + \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \leq \frac{4}{\Delta t^2}. </math>

Logo, o passo temporal <math> \Delta t </math> deve satisfazer:

<math> \Delta t \leq 2 \sqrt{\frac{\Delta x^2}{4 c^2 \sin^2(k \Delta x / 2)} + \frac{\hbar^2}{m^2 c^4}}. </math>

No limite de <math>m \to 0</math> (ondas livres), a condição reduz-se ao critério CFL clássico: <math>\frac{c \Delta t}{\Delta x} \leq 1 </math>

== C.C e C.I ==

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condilções iniciais e de contorno:

<math> \psi(x,0) = Ae^{-\frac{x-x_0}{2\sigma^2}}</math> que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e <math>\frac{\partial \psi(x,0)}{\partial t} =0 </math> que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, <math> x_0 </math> é a posição central do pulso e <math> \sigma </math> é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que <math>\psi(0,t)= 0 </math> e <math>\psi(L,t)=0 </math> o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas:

[[Arquivo:Klein 2.gif]]

Equação de Klein-Gordon

2025-01-07T14:18:54Z

Eduardoleite: /* CRITÉRIO DE ESTABILIDADE */

== INTRODUÇÃO ==
A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os mésons, em seu modelo básico) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein <math>E=p^2c^2 + m^2c^4 </math>. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

<math> \left( \Box + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right) \psi(x,t)= 0 </math>

onde <math> \left( \Box = \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} -\nabla^2 \right) </math> é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

<math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \psi - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math>

<math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math> (em uma dimensão)

== MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ==

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos <math>\Delta t </math> criando uma sequência de pontos <math>t_n=n\Delta t </math>. Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos <math>\Delta x </math> criando uma sequência de pontos <math>x_i=i\Delta x </math>.
Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}</math> e <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \approx \frac{u_i^{n+1} - 2u_i^n + u_i^{n-1}}{(\Delta t)^2} </math> para o tempo.

<math>\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1}^n - u_i^n}{\Delta x} e \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2} </math> para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2} \approx \frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2}</math>

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \approx \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x- \Delta x,t)}{(\Delta x)^2} </math>

ou seja:

<math>\frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2} = c^2 \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta x)^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi </math>

isso nos leva a equação final:

<math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta,t) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi </math>

chamarei <math>\alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x} </math> e <math> \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar} </math>

portanto, <math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\alpha^2 \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) - \beta^2 \psi </math>

ou, mais usualmente: <math>\psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 ( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \beta^2 \psi </math>

== ESTABILIDADE ta errado, estou testando outras coisas ==

Para analisar a estabilidade do método utilizaremos os Modos de Furrier.

<math> \psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 \left( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n \right) - \beta^2 \psi_i^n </math>.

sendo <math>\psi_i^n = A^n e^{i k i \Delta x} </math> o Modo de Furrier.

Substituímos <math>\psi_i^n, \psi_{i+1}^n</math>, e <math>\psi_{i-1}^n </math>na equação:

<math>\psi_{i+1}^n = A^n e^{i k (i+1) \Delta x} = A^n e^{i k i \Delta x} e^{i k \Delta x}</math>

<math>\psi_{i-1}^n = A^n e^{i k (i-1) \Delta x} = A^n e^{i k i \Delta x} e^{-i k \Delta x}</math>

Usamos a identidade <math> e^{i k \Delta x} + e^{-i k \Delta x} = 2 \cos(k \Delta x) </math>:

<math> A^{n+1} = 2A^n - A^{n-1} + \alpha^2 \left[ 2 \cos(k \Delta x) - 2 \right] A^n - \beta^2 A^n </math>

Fatoramos:

<math> A^{n+1} = \left( 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) \right) A^n - A^{n-1}. </math>

A relação de recorrência é:

<math> A^{n+1} - \lambda A^n + A^{n-1} = 0 </math>

onde

<math> \lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) </math>.

Definimos <math> \mu= |\frac{A^{n+1}}{A^n} | </math> como sendo o fator de amplificação. Assim, a equação fica <math> \mu A^n=\lambda A^n - A^n \frac{A^{n-1}}{A^n} </math>

Dividindo tudo por <math> A^n </math> : <math> \mu = \lambda - \frac{1}{\mu} </math>

Portanto, a equação característica associada é:

<math> \mu^2 - \lambda \mu + 1 = 0 </math>

onde <math> \mu </math> são as raízes que representam o fator de amplificação <math> \mu= |\frac{A^{n+1}}{A^n} | </math>.

Para que o método seja estável, as raízes <math>\mu</math> devem satisfazer <math>\|\mu| \leq 1</math>. Isso é garantido se o discriminante da equação característica satisfizer:

<math> \lambda^2 - 4 \leq 0 </math>.

Substituímos <math>\lambda </math>:

<math> \left( 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) \right)^2 - 4 \leq 0 </math>.

O caso crítico ocorre para o maior valor de <math>cos(k \Delta x)</math>, que é <math>cos(k \Delta x) = 1</math>, e o menor valor, <math>cos(k \Delta x) = -1</math>:

<math>cos(k \Delta x) = 1 </math>:

<math>\lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2</math>.

Isso simplifica para:

<math> \lambda = 2 - \beta^2 </math>

Para estabilidade:

<math> (2 - \beta^2)^2 - 4 \leq 0 </math>.

<math> \beta \geq 0 </math>.

Para <math> cos(k \Delta x) = -1</math>:

<math>\lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 - 2\alpha^2</math>.

<math> \lambda = 2 - 4\alpha^2 - \beta^2 </math>.

Ou seja, para que seja estável:

<math> (2 - 4\alpha^2 - \beta^2)^2 - 4 \leq 0 </math>.

Após expandir:

<math> \alpha \geq \frac{\beta}{2} </math>.

A condição de estabilidade combinada é:

<math> \alpha \geq \frac{\beta}{2} </math>
e <math> \beta \geq 0 </math> .

Essas desigualdades controlam os passos de tempo e espaço, garantindo a estabilidade do método.

== CRITÉRIO DE ESTABILIDADE ==

Para analisar a estabilidade, considera-se uma solução modal da forma:
<math> \phi_j^n = e^{i(k j \Delta x - \omega n \Delta t)}, </math>

onde <math>k</math> é o número de onda e <math>\omega</math> é a frequência angular.

Substituindo essa expressão na equação discreta e usando as propriedades das exponenciais complexas, temos:
<math> \frac{e^{-i\omega \Delta t} - 2 + e^{i\omega \Delta t}}{\Delta t^2} = \frac{c^2}{\Delta x^2} \left(e^{ik \Delta x} - 2 + e^{-ik \Delta x}\right) - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2}. </math>

<math> \phi_{j+1}^n = e^{ik \Delta x} \phi_j^n, \quad \phi_{j-1}^n = e^{-ik \Delta x} \phi_j^n, </math> <math> \phi_j^{n+1} = e^{-i\omega \Delta t} \phi_j^n, \quad \phi_j^{n-1} = e^{i\omega \Delta t} \phi_j^n. </math>

Substituindo essas expressões na equação discreta:
<math> e^{-i\omega \Delta t} \phi_j^n - 2\phi_j^n + e^{i\omega \Delta t} \phi_j^n = \frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \left(e^{ik \Delta x} \phi_j^n - 2\phi_j^n + e^{-ik \Delta x} \phi_j^n\right) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \phi_j^n. </math>

Dividindo todos os termos por <math>\phi_j^n</math> (assumindo <math>\phi_j^n \neq 0</math>) e rearranjando, obtém-se:
<math> \frac{e^{-i\omega \Delta t} - 2 + e^{i\omega \Delta t}}{\Delta t^2} = \frac{c^2}{\Delta x^2} \left(e^{ik \Delta x} - 2 + e^{-ik \Delta x}\right) - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2}. </math>

Utilizando identidades trigonométricas para simplificar, a equação se torna:
<math> \frac{-4 \sin^2(\omega \Delta t / 2)}{\Delta t^2} = \frac{-4 c^2 \sin^2(k \Delta x / 2)}{\Delta x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2}. </math>

Multiplicando por <math>-1</math>, obtemos:
<math> \frac{4 \sin^2(\omega \Delta t / 2)}{\Delta t^2} = \frac{4 c^2 \sin^2(k \Delta x / 2)}{\Delta x^2} + \frac{m^2 c^4}{\hbar^2}. </math>
Critério de Estabilidade

A condição de estabilidade exige que <math>\sin^2(\omega \Delta t / 2)</math> seja real e menor ou igual a 1. Isso leva à restrição:
<math> \frac{4 c^2 \sin^2(k \Delta x / 2)}{\Delta x^2} + \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \leq \frac{4}{\Delta t^2}. </math>

Logo, o passo temporal <math> \Delta t </math> deve satisfazer:

<math> \Delta t \leq 2 \sqrt{\frac{\Delta x^2}{4 c^2 \sin^2(k \Delta x / 2)} + \frac{\hbar^2}{m^2 c^4}}. </math>

No limite de <math>m \to 0</math> (ondas livres), a condição reduz-se ao critério CFL clássico: <math>\frac{c \Delta t}{\Delta x} </math>

== C.C e C.I ==

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condilções iniciais e de contorno:

<math> \psi(x,0) = Ae^{-\frac{x-x_0}{2\sigma^2}}</math> que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e <math>\frac{\partial \psi(x,0)}{\partial t} =0 </math> que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, <math> x_0 </math> é a posição central do pulso e <math> \sigma </math> é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que <math>\psi(0,t)= 0 </math> e <math>\psi(L,t)=0 </math> o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas:

[[Arquivo:Klein 2.gif]]

Equação de Klein-Gordon

2025-01-07T14:18:14Z

Eduardoleite: /* CRITÉRIO DE ESTABILIDADE */

== INTRODUÇÃO ==
A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os mésons, em seu modelo básico) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein <math>E=p^2c^2 + m^2c^4 </math>. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

<math> \left( \Box + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right) \psi(x,t)= 0 </math>

onde <math> \left( \Box = \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} -\nabla^2 \right) </math> é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

<math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \psi - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math>

<math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math> (em uma dimensão)

== MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ==

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos <math>\Delta t </math> criando uma sequência de pontos <math>t_n=n\Delta t </math>. Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos <math>\Delta x </math> criando uma sequência de pontos <math>x_i=i\Delta x </math>.
Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}</math> e <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \approx \frac{u_i^{n+1} - 2u_i^n + u_i^{n-1}}{(\Delta t)^2} </math> para o tempo.

<math>\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1}^n - u_i^n}{\Delta x} e \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2} </math> para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2} \approx \frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2}</math>

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \approx \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x- \Delta x,t)}{(\Delta x)^2} </math>

ou seja:

<math>\frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2} = c^2 \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta x)^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi </math>

isso nos leva a equação final:

<math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta,t) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi </math>

chamarei <math>\alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x} </math> e <math> \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar} </math>

portanto, <math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\alpha^2 \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) - \beta^2 \psi </math>

ou, mais usualmente: <math>\psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 ( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \beta^2 \psi </math>

== ESTABILIDADE ta errado, estou testando outras coisas ==

Para analisar a estabilidade do método utilizaremos os Modos de Furrier.

<math> \psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 \left( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n \right) - \beta^2 \psi_i^n </math>.

sendo <math>\psi_i^n = A^n e^{i k i \Delta x} </math> o Modo de Furrier.

Substituímos <math>\psi_i^n, \psi_{i+1}^n</math>, e <math>\psi_{i-1}^n </math>na equação:

<math>\psi_{i+1}^n = A^n e^{i k (i+1) \Delta x} = A^n e^{i k i \Delta x} e^{i k \Delta x}</math>

<math>\psi_{i-1}^n = A^n e^{i k (i-1) \Delta x} = A^n e^{i k i \Delta x} e^{-i k \Delta x}</math>

Usamos a identidade <math> e^{i k \Delta x} + e^{-i k \Delta x} = 2 \cos(k \Delta x) </math>:

<math> A^{n+1} = 2A^n - A^{n-1} + \alpha^2 \left[ 2 \cos(k \Delta x) - 2 \right] A^n - \beta^2 A^n </math>

Fatoramos:

<math> A^{n+1} = \left( 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) \right) A^n - A^{n-1}. </math>

A relação de recorrência é:

<math> A^{n+1} - \lambda A^n + A^{n-1} = 0 </math>

onde

<math> \lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) </math>.

Definimos <math> \mu= |\frac{A^{n+1}}{A^n} | </math> como sendo o fator de amplificação. Assim, a equação fica <math> \mu A^n=\lambda A^n - A^n \frac{A^{n-1}}{A^n} </math>

Dividindo tudo por <math> A^n </math> : <math> \mu = \lambda - \frac{1}{\mu} </math>

Portanto, a equação característica associada é:

<math> \mu^2 - \lambda \mu + 1 = 0 </math>

onde <math> \mu </math> são as raízes que representam o fator de amplificação <math> \mu= |\frac{A^{n+1}}{A^n} | </math>.

Para que o método seja estável, as raízes <math>\mu</math> devem satisfazer <math>\|\mu| \leq 1</math>. Isso é garantido se o discriminante da equação característica satisfizer:

<math> \lambda^2 - 4 \leq 0 </math>.

Substituímos <math>\lambda </math>:

<math> \left( 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) \right)^2 - 4 \leq 0 </math>.

O caso crítico ocorre para o maior valor de <math>cos(k \Delta x)</math>, que é <math>cos(k \Delta x) = 1</math>, e o menor valor, <math>cos(k \Delta x) = -1</math>:

<math>cos(k \Delta x) = 1 </math>:

<math>\lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2</math>.

Isso simplifica para:

<math> \lambda = 2 - \beta^2 </math>

Para estabilidade:

<math> (2 - \beta^2)^2 - 4 \leq 0 </math>.

<math> \beta \geq 0 </math>.

Para <math> cos(k \Delta x) = -1</math>:

<math>\lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 - 2\alpha^2</math>.

<math> \lambda = 2 - 4\alpha^2 - \beta^2 </math>.

Ou seja, para que seja estável:

<math> (2 - 4\alpha^2 - \beta^2)^2 - 4 \leq 0 </math>.

Após expandir:

<math> \alpha \geq \frac{\beta}{2} </math>.

A condição de estabilidade combinada é:

<math> \alpha \geq \frac{\beta}{2} </math>
e <math> \beta \geq 0 </math> .

Essas desigualdades controlam os passos de tempo e espaço, garantindo a estabilidade do método.

== CRITÉRIO DE ESTABILIDADE ==

Para analisar a estabilidade, considera-se uma solução modal da forma:
<math> \phi_j^n = e^{i(k j \Delta x - \omega n \Delta t)}, </math>

onde <math>k</math> é o número de onda e <math>\omega</math> é a frequência angular.

Substituindo essa expressão na equação discreta e usando as propriedades das exponenciais complexas, temos:
<math> \frac{e^{-i\omega \Delta t} - 2 + e^{i\omega \Delta t}}{\Delta t^2} = \frac{c^2}{\Delta x^2} \left(e^{ik \Delta x} - 2 + e^{-ik \Delta x}\right) - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2}. </math>

<math> \phi_{j+1}^n = e^{ik \Delta x} \phi_j^n, \quad \phi_{j-1}^n = e^{-ik \Delta x} \phi_j^n, </math> <math> \phi_j^{n+1} = e^{-i\omega \Delta t} \phi_j^n, \quad \phi_j^{n-1} = e^{i\omega \Delta t} \phi_j^n. </math>

Substituindo essas expressões na equação discreta:
<math> e^{-i\omega \Delta t} \phi_j^n - 2\phi_j^n + e^{i\omega \Delta t} \phi_j^n = \frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \left(e^{ik \Delta x} \phi_j^n - 2\phi_j^n + e^{-ik \Delta x} \phi_j^n\right) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \phi_j^n. </math>

Dividindo todos os termos por <math>\phi_j^n</math> (assumindo <math>\phi_j^n \neq 0</math>) e rearranjando, obtém-se:
<math> \frac{e^{-i\omega \Delta t} - 2 + e^{i\omega \Delta t}}{\Delta t^2} = \frac{c^2}{\Delta x^2} \left(e^{ik \Delta x} - 2 + e^{-ik \Delta x}\right) - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2}. </math>

Utilizando identidades trigonométricas para simplificar, a equação se torna:
<math> \frac{-4 \sin^2(\omega \Delta t / 2)}{\Delta t^2} = \frac{-4 c^2 \sin^2(k \Delta x / 2)}{\Delta x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2}. </math>

Multiplicando por <math>-1</math>, obtemos:
<math> \frac{4 \sin^2(\omega \Delta t / 2)}{\Delta t^2} = \frac{4 c^2 \sin^2(k \Delta x / 2)}{\Delta x^2} + \frac{m^2 c^4}{\hbar^2}. </math>
Critério de Estabilidade

A condição de estabilidade exige que <math>\sin^2(\omega \Delta t / 2)</math> seja real e menor ou igual a 1. Isso leva à restrição:
<math> \frac{4 c^2 \sin^2(k \Delta x / 2)}{\Delta x^2} + \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \leq \frac{4}{\Delta t^2}. </math>

Logo, o passo temporal <math> \Delta t </math> deve satisfazer:

<math> \Delta t \leq 2 \sqrt{\frac{\Delta x^2}{4 c^2 \sin^2(k \Delta x / 2)} + \frac{\hbar^2}{m^2 c^4}}. </math>

No limite de <math>m \to 0</math> (ondas livres), a condição reduz-se ao critério CFL clássico:

== C.C e C.I ==

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condilções iniciais e de contorno:

<math> \psi(x,0) = Ae^{-\frac{x-x_0}{2\sigma^2}}</math> que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e <math>\frac{\partial \psi(x,0)}{\partial t} =0 </math> que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, <math> x_0 </math> é a posição central do pulso e <math> \sigma </math> é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que <math>\psi(0,t)= 0 </math> e <math>\psi(L,t)=0 </math> o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas:

[[Arquivo:Klein 2.gif]]

Equação de Klein-Gordon

2025-01-07T14:17:53Z

Eduardoleite: /* CRITÉRIO DE ESTABILIDADE */

== INTRODUÇÃO ==
A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os mésons, em seu modelo básico) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein <math>E=p^2c^2 + m^2c^4 </math>. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

<math> \left( \Box + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right) \psi(x,t)= 0 </math>

onde <math> \left( \Box = \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} -\nabla^2 \right) </math> é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

<math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \psi - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math>

<math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math> (em uma dimensão)

== MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ==

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos <math>\Delta t </math> criando uma sequência de pontos <math>t_n=n\Delta t </math>. Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos <math>\Delta x </math> criando uma sequência de pontos <math>x_i=i\Delta x </math>.
Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}</math> e <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \approx \frac{u_i^{n+1} - 2u_i^n + u_i^{n-1}}{(\Delta t)^2} </math> para o tempo.

<math>\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1}^n - u_i^n}{\Delta x} e \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2} </math> para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2} \approx \frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2}</math>

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \approx \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x- \Delta x,t)}{(\Delta x)^2} </math>

ou seja:

<math>\frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2} = c^2 \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta x)^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi </math>

isso nos leva a equação final:

<math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta,t) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi </math>

chamarei <math>\alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x} </math> e <math> \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar} </math>

portanto, <math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\alpha^2 \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) - \beta^2 \psi </math>

ou, mais usualmente: <math>\psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 ( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \beta^2 \psi </math>

== ESTABILIDADE ta errado, estou testando outras coisas ==

Para analisar a estabilidade do método utilizaremos os Modos de Furrier.

<math> \psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 \left( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n \right) - \beta^2 \psi_i^n </math>.

sendo <math>\psi_i^n = A^n e^{i k i \Delta x} </math> o Modo de Furrier.

Substituímos <math>\psi_i^n, \psi_{i+1}^n</math>, e <math>\psi_{i-1}^n </math>na equação:

<math>\psi_{i+1}^n = A^n e^{i k (i+1) \Delta x} = A^n e^{i k i \Delta x} e^{i k \Delta x}</math>

<math>\psi_{i-1}^n = A^n e^{i k (i-1) \Delta x} = A^n e^{i k i \Delta x} e^{-i k \Delta x}</math>

Usamos a identidade <math> e^{i k \Delta x} + e^{-i k \Delta x} = 2 \cos(k \Delta x) </math>:

<math> A^{n+1} = 2A^n - A^{n-1} + \alpha^2 \left[ 2 \cos(k \Delta x) - 2 \right] A^n - \beta^2 A^n </math>

Fatoramos:

<math> A^{n+1} = \left( 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) \right) A^n - A^{n-1}. </math>

A relação de recorrência é:

<math> A^{n+1} - \lambda A^n + A^{n-1} = 0 </math>

onde

<math> \lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) </math>.

Definimos <math> \mu= |\frac{A^{n+1}}{A^n} | </math> como sendo o fator de amplificação. Assim, a equação fica <math> \mu A^n=\lambda A^n - A^n \frac{A^{n-1}}{A^n} </math>

Dividindo tudo por <math> A^n </math> : <math> \mu = \lambda - \frac{1}{\mu} </math>

Portanto, a equação característica associada é:

<math> \mu^2 - \lambda \mu + 1 = 0 </math>

onde <math> \mu </math> são as raízes que representam o fator de amplificação <math> \mu= |\frac{A^{n+1}}{A^n} | </math>.

Para que o método seja estável, as raízes <math>\mu</math> devem satisfazer <math>\|\mu| \leq 1</math>. Isso é garantido se o discriminante da equação característica satisfizer:

<math> \lambda^2 - 4 \leq 0 </math>.

Substituímos <math>\lambda </math>:

<math> \left( 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) \right)^2 - 4 \leq 0 </math>.

O caso crítico ocorre para o maior valor de <math>cos(k \Delta x)</math>, que é <math>cos(k \Delta x) = 1</math>, e o menor valor, <math>cos(k \Delta x) = -1</math>:

<math>cos(k \Delta x) = 1 </math>:

<math>\lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2</math>.

Isso simplifica para:

<math> \lambda = 2 - \beta^2 </math>

Para estabilidade:

<math> (2 - \beta^2)^2 - 4 \leq 0 </math>.

<math> \beta \geq 0 </math>.

Para <math> cos(k \Delta x) = -1</math>:

<math>\lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 - 2\alpha^2</math>.

<math> \lambda = 2 - 4\alpha^2 - \beta^2 </math>.

Ou seja, para que seja estável:

<math> (2 - 4\alpha^2 - \beta^2)^2 - 4 \leq 0 </math>.

Após expandir:

<math> \alpha \geq \frac{\beta}{2} </math>.

A condição de estabilidade combinada é:

<math> \alpha \geq \frac{\beta}{2} </math>
e <math> \beta \geq 0 </math> .

Essas desigualdades controlam os passos de tempo e espaço, garantindo a estabilidade do método.

== CRITÉRIO DE ESTABILIDADE ==

Para analisar a estabilidade, considera-se uma solução modal da forma:
<math> \phi_j^n = e^{i(k j \Delta x - \omega n \Delta t)}, </math>

onde <math>k</math> é o número de onda e <math>\omega</math> é a frequência angular.

Substituindo essa expressão na equação discreta e usando as propriedades das exponenciais complexas, temos:
<math> \frac{e^{-i\omega \Delta t} - 2 + e^{i\omega \Delta t}}{\Delta t^2} = \frac{c^2}{\Delta x^2} \left(e^{ik \Delta x} - 2 + e^{-ik \Delta x}\right) - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2}. </math>

<math> \phi_{j+1}^n = e^{ik \Delta x} \phi_j^n, \quad \phi_{j-1}^n = e^{-ik \Delta x} \phi_j^n, </math> <math> \phi_j^{n+1} = e^{-i\omega \Delta t} \phi_j^n, \quad \phi_j^{n-1} = e^{i\omega \Delta t} \phi_j^n. </math>

Substituindo essas expressões na equação discreta:
<math> e^{-i\omega \Delta t} \phi_j^n - 2\phi_j^n + e^{i\omega \Delta t} \phi_j^n = \frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \left(e^{ik \Delta x} \phi_j^n - 2\phi_j^n + e^{-ik \Delta x} \phi_j^n\right) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \phi_j^n. </math>

Dividindo todos os termos por <math>\phi_j^n</math> (assumindo <math>\phi_j^n \neq 0</math>) e rearranjando, obtém-se:
<math> \frac{e^{-i\omega \Delta t} - 2 + e^{i\omega \Delta t}}{\Delta t^2} = \frac{c^2}{\Delta x^2} \left(e^{ik \Delta x} - 2 + e^{-ik \Delta x}\right) - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2}. </math>

Utilizando identidades trigonométricas para simplificar, a equação se torna:
<math> \frac{-4 \sin^2(\omega \Delta t / 2)}{\Delta t^2} = \frac{-4 c^2 \sin^2(k \Delta x / 2)}{\Delta x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2}. </math>

Multiplicando por <math>-1</math>, obtemos:
<math> \frac{4 \sin^2(\omega \Delta t / 2)}{\Delta t^2} = \frac{4 c^2 \sin^2(k \Delta x / 2)}{\Delta x^2} + \frac{m^2 c^4}{\hbar^2}. </math>
Critério de Estabilidade

A condição de estabilidade exige que <math>\sin^2(\omega \Delta t / 2)</math> seja real e menor ou igual a 1. Isso leva à restrição:
<math> \frac{4 c^2 \sin^2(k \Delta x / 2)}{\Delta x^2} + \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \leq \frac{4}{\Delta t^2}. </math>

Logo, o passo temporal <math> \Delta t </math> deve satisfazer:

<math> \Delta t \leq 2 \sqrt{\frac{\Delta x^2}{4 c^2 \sin^2(k \Delta x / 2)} + \frac{\hbar^2}{m^2 c^4}}. </math>

No limite de <math>m \to 0</math> (ondas livres), a condição reduz-se ao critério CFL clássico:

<math> \frac{c \Delta t}{\Delta x} <\math>

== C.C e C.I ==

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condilções iniciais e de contorno:

<math> \psi(x,0) = Ae^{-\frac{x-x_0}{2\sigma^2}}</math> que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e <math>\frac{\partial \psi(x,0)}{\partial t} =0 </math> que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, <math> x_0 </math> é a posição central do pulso e <math> \sigma </math> é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que <math>\psi(0,t)= 0 </math> e <math>\psi(L,t)=0 </math> o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas:

[[Arquivo:Klein 2.gif]]

Equação de Klein-Gordon

2025-01-07T14:17:31Z

Eduardoleite: /* CRITÉRIO DE ESTABILIDADE */

== INTRODUÇÃO ==
A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os mésons, em seu modelo básico) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein <math>E=p^2c^2 + m^2c^4 </math>. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

<math> \left( \Box + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right) \psi(x,t)= 0 </math>

onde <math> \left( \Box = \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} -\nabla^2 \right) </math> é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

<math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \psi - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math>

<math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math> (em uma dimensão)

== MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ==

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos <math>\Delta t </math> criando uma sequência de pontos <math>t_n=n\Delta t </math>. Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos <math>\Delta x </math> criando uma sequência de pontos <math>x_i=i\Delta x </math>.
Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}</math> e <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \approx \frac{u_i^{n+1} - 2u_i^n + u_i^{n-1}}{(\Delta t)^2} </math> para o tempo.

<math>\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1}^n - u_i^n}{\Delta x} e \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2} </math> para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2} \approx \frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2}</math>

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \approx \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x- \Delta x,t)}{(\Delta x)^2} </math>

ou seja:

<math>\frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2} = c^2 \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta x)^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi </math>

isso nos leva a equação final:

<math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta,t) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi </math>

chamarei <math>\alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x} </math> e <math> \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar} </math>

portanto, <math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\alpha^2 \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) - \beta^2 \psi </math>

ou, mais usualmente: <math>\psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 ( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \beta^2 \psi </math>

== ESTABILIDADE ta errado, estou testando outras coisas ==

Para analisar a estabilidade do método utilizaremos os Modos de Furrier.

<math> \psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 \left( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n \right) - \beta^2 \psi_i^n </math>.

sendo <math>\psi_i^n = A^n e^{i k i \Delta x} </math> o Modo de Furrier.

Substituímos <math>\psi_i^n, \psi_{i+1}^n</math>, e <math>\psi_{i-1}^n </math>na equação:

<math>\psi_{i+1}^n = A^n e^{i k (i+1) \Delta x} = A^n e^{i k i \Delta x} e^{i k \Delta x}</math>

<math>\psi_{i-1}^n = A^n e^{i k (i-1) \Delta x} = A^n e^{i k i \Delta x} e^{-i k \Delta x}</math>

Usamos a identidade <math> e^{i k \Delta x} + e^{-i k \Delta x} = 2 \cos(k \Delta x) </math>:

<math> A^{n+1} = 2A^n - A^{n-1} + \alpha^2 \left[ 2 \cos(k \Delta x) - 2 \right] A^n - \beta^2 A^n </math>

Fatoramos:

<math> A^{n+1} = \left( 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) \right) A^n - A^{n-1}. </math>

A relação de recorrência é:

<math> A^{n+1} - \lambda A^n + A^{n-1} = 0 </math>

onde

<math> \lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) </math>.

Definimos <math> \mu= |\frac{A^{n+1}}{A^n} | </math> como sendo o fator de amplificação. Assim, a equação fica <math> \mu A^n=\lambda A^n - A^n \frac{A^{n-1}}{A^n} </math>

Dividindo tudo por <math> A^n </math> : <math> \mu = \lambda - \frac{1}{\mu} </math>

Portanto, a equação característica associada é:

<math> \mu^2 - \lambda \mu + 1 = 0 </math>

onde <math> \mu </math> são as raízes que representam o fator de amplificação <math> \mu= |\frac{A^{n+1}}{A^n} | </math>.

Para que o método seja estável, as raízes <math>\mu</math> devem satisfazer <math>\|\mu| \leq 1</math>. Isso é garantido se o discriminante da equação característica satisfizer:

<math> \lambda^2 - 4 \leq 0 </math>.

Substituímos <math>\lambda </math>:

<math> \left( 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) \right)^2 - 4 \leq 0 </math>.

O caso crítico ocorre para o maior valor de <math>cos(k \Delta x)</math>, que é <math>cos(k \Delta x) = 1</math>, e o menor valor, <math>cos(k \Delta x) = -1</math>:

<math>cos(k \Delta x) = 1 </math>:

<math>\lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2</math>.

Isso simplifica para:

<math> \lambda = 2 - \beta^2 </math>

Para estabilidade:

<math> (2 - \beta^2)^2 - 4 \leq 0 </math>.

<math> \beta \geq 0 </math>.

Para <math> cos(k \Delta x) = -1</math>:

<math>\lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 - 2\alpha^2</math>.

<math> \lambda = 2 - 4\alpha^2 - \beta^2 </math>.

Ou seja, para que seja estável:

<math> (2 - 4\alpha^2 - \beta^2)^2 - 4 \leq 0 </math>.

Após expandir:

<math> \alpha \geq \frac{\beta}{2} </math>.

A condição de estabilidade combinada é:

<math> \alpha \geq \frac{\beta}{2} </math>
e <math> \beta \geq 0 </math> .

Essas desigualdades controlam os passos de tempo e espaço, garantindo a estabilidade do método.

== CRITÉRIO DE ESTABILIDADE ==

Para analisar a estabilidade, considera-se uma solução modal da forma:
<math> \phi_j^n = e^{i(k j \Delta x - \omega n \Delta t)}, </math>

onde <math>k</math> é o número de onda e <math>\omega</math> é a frequência angular.

Substituindo essa expressão na equação discreta e usando as propriedades das exponenciais complexas, temos:
<math> \frac{e^{-i\omega \Delta t} - 2 + e^{i\omega \Delta t}}{\Delta t^2} = \frac{c^2}{\Delta x^2} \left(e^{ik \Delta x} - 2 + e^{-ik \Delta x}\right) - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2}. </math>

<math> \phi_{j+1}^n = e^{ik \Delta x} \phi_j^n, \quad \phi_{j-1}^n = e^{-ik \Delta x} \phi_j^n, </math> <math> \phi_j^{n+1} = e^{-i\omega \Delta t} \phi_j^n, \quad \phi_j^{n-1} = e^{i\omega \Delta t} \phi_j^n. </math>

Substituindo essas expressões na equação discreta:
<math> e^{-i\omega \Delta t} \phi_j^n - 2\phi_j^n + e^{i\omega \Delta t} \phi_j^n = \frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \left(e^{ik \Delta x} \phi_j^n - 2\phi_j^n + e^{-ik \Delta x} \phi_j^n\right) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \phi_j^n. </math>

Dividindo todos os termos por <math>\phi_j^n</math> (assumindo <math>\phi_j^n \neq 0</math>) e rearranjando, obtém-se:
<math> \frac{e^{-i\omega \Delta t} - 2 + e^{i\omega \Delta t}}{\Delta t^2} = \frac{c^2}{\Delta x^2} \left(e^{ik \Delta x} - 2 + e^{-ik \Delta x}\right) - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2}. </math>

Utilizando identidades trigonométricas para simplificar, a equação se torna:
<math> \frac{-4 \sin^2(\omega \Delta t / 2)}{\Delta t^2} = \frac{-4 c^2 \sin^2(k \Delta x / 2)}{\Delta x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2}. </math>

Multiplicando por <math>-1</math>, obtemos:
<math> \frac{4 \sin^2(\omega \Delta t / 2)}{\Delta t^2} = \frac{4 c^2 \sin^2(k \Delta x / 2)}{\Delta x^2} + \frac{m^2 c^4}{\hbar^2}. </math>
Critério de Estabilidade

A condição de estabilidade exige que <math>\sin^2(\omega \Delta t / 2)</math> seja real e menor ou igual a 1. Isso leva à restrição:
<math> \frac{4 c^2 \sin^2(k \Delta x / 2)}{\Delta x^2} + \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \leq \frac{4}{\Delta t^2}. </math>

Logo, o passo temporal <math> \Delta t </math> deve satisfazer:

<math> \Delta t \leq 2 \sqrt{\frac{\Delta x^2}{4 c^2 \sin^2(k \Delta x / 2)} + \frac{\hbar^2}{m^2 c^4}}. </math>

No limite de <math>m \to 0</math> (ondas livres), a condição reduz-se ao critério CFL clássico:

<math> \frac{c \Delta t}{\Delta x} <\math>

== C.C e C.I ==

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condilções iniciais e de contorno:

<math> \psi(x,0) = Ae^{-\frac{x-x_0}{2\sigma^2}}</math> que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e <math>\frac{\partial \psi(x,0)}{\partial t} =0 </math> que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, <math> x_0 </math> é a posição central do pulso e <math> \sigma </math> é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que <math>\psi(0,t)= 0 </math> e <math>\psi(L,t)=0 </math> o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas:

[[Arquivo:Klein 2.gif]]

Equação de Klein-Gordon

2025-01-07T14:16:59Z

Eduardoleite: /* CRITÉRIO DE ESTABILIDADE */

== INTRODUÇÃO ==
A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os mésons, em seu modelo básico) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein <math>E=p^2c^2 + m^2c^4 </math>. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

<math> \left( \Box + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right) \psi(x,t)= 0 </math>

onde <math> \left( \Box = \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} -\nabla^2 \right) </math> é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

<math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \psi - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math>

<math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math> (em uma dimensão)

== MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ==

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos <math>\Delta t </math> criando uma sequência de pontos <math>t_n=n\Delta t </math>. Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos <math>\Delta x </math> criando uma sequência de pontos <math>x_i=i\Delta x </math>.
Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}</math> e <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \approx \frac{u_i^{n+1} - 2u_i^n + u_i^{n-1}}{(\Delta t)^2} </math> para o tempo.

<math>\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1}^n - u_i^n}{\Delta x} e \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2} </math> para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2} \approx \frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2}</math>

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \approx \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x- \Delta x,t)}{(\Delta x)^2} </math>

ou seja:

<math>\frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2} = c^2 \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta x)^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi </math>

isso nos leva a equação final:

<math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta,t) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi </math>

chamarei <math>\alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x} </math> e <math> \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar} </math>

portanto, <math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\alpha^2 \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) - \beta^2 \psi </math>

ou, mais usualmente: <math>\psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 ( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \beta^2 \psi </math>

== ESTABILIDADE ta errado, estou testando outras coisas ==

Para analisar a estabilidade do método utilizaremos os Modos de Furrier.

<math> \psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 \left( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n \right) - \beta^2 \psi_i^n </math>.

sendo <math>\psi_i^n = A^n e^{i k i \Delta x} </math> o Modo de Furrier.

Substituímos <math>\psi_i^n, \psi_{i+1}^n</math>, e <math>\psi_{i-1}^n </math>na equação:

<math>\psi_{i+1}^n = A^n e^{i k (i+1) \Delta x} = A^n e^{i k i \Delta x} e^{i k \Delta x}</math>

<math>\psi_{i-1}^n = A^n e^{i k (i-1) \Delta x} = A^n e^{i k i \Delta x} e^{-i k \Delta x}</math>

Usamos a identidade <math> e^{i k \Delta x} + e^{-i k \Delta x} = 2 \cos(k \Delta x) </math>:

<math> A^{n+1} = 2A^n - A^{n-1} + \alpha^2 \left[ 2 \cos(k \Delta x) - 2 \right] A^n - \beta^2 A^n </math>

Fatoramos:

<math> A^{n+1} = \left( 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) \right) A^n - A^{n-1}. </math>

A relação de recorrência é:

<math> A^{n+1} - \lambda A^n + A^{n-1} = 0 </math>

onde

<math> \lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) </math>.

Definimos <math> \mu= |\frac{A^{n+1}}{A^n} | </math> como sendo o fator de amplificação. Assim, a equação fica <math> \mu A^n=\lambda A^n - A^n \frac{A^{n-1}}{A^n} </math>

Dividindo tudo por <math> A^n </math> : <math> \mu = \lambda - \frac{1}{\mu} </math>

Portanto, a equação característica associada é:

<math> \mu^2 - \lambda \mu + 1 = 0 </math>

onde <math> \mu </math> são as raízes que representam o fator de amplificação <math> \mu= |\frac{A^{n+1}}{A^n} | </math>.

Para que o método seja estável, as raízes <math>\mu</math> devem satisfazer <math>\|\mu| \leq 1</math>. Isso é garantido se o discriminante da equação característica satisfizer:

<math> \lambda^2 - 4 \leq 0 </math>.

Substituímos <math>\lambda </math>:

<math> \left( 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) \right)^2 - 4 \leq 0 </math>.

O caso crítico ocorre para o maior valor de <math>cos(k \Delta x)</math>, que é <math>cos(k \Delta x) = 1</math>, e o menor valor, <math>cos(k \Delta x) = -1</math>:

<math>cos(k \Delta x) = 1 </math>:

<math>\lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2</math>.

Isso simplifica para:

<math> \lambda = 2 - \beta^2 </math>

Para estabilidade:

<math> (2 - \beta^2)^2 - 4 \leq 0 </math>.

<math> \beta \geq 0 </math>.

Para <math> cos(k \Delta x) = -1</math>:

<math>\lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 - 2\alpha^2</math>.

<math> \lambda = 2 - 4\alpha^2 - \beta^2 </math>.

Ou seja, para que seja estável:

<math> (2 - 4\alpha^2 - \beta^2)^2 - 4 \leq 0 </math>.

Após expandir:

<math> \alpha \geq \frac{\beta}{2} </math>.

A condição de estabilidade combinada é:

<math> \alpha \geq \frac{\beta}{2} </math>
e <math> \beta \geq 0 </math> .

Essas desigualdades controlam os passos de tempo e espaço, garantindo a estabilidade do método.

== CRITÉRIO DE ESTABILIDADE ==

Para analisar a estabilidade, considera-se uma solução modal da forma:
<math> \phi_j^n = e^{i(k j \Delta x - \omega n \Delta t)}, </math>

onde <math>k</math> é o número de onda e <math>\omega</math> é a frequência angular.

Substituindo essa expressão na equação discreta e usando as propriedades das exponenciais complexas, temos:
<math> \frac{e^{-i\omega \Delta t} - 2 + e^{i\omega \Delta t}}{\Delta t^2} = \frac{c^2}{\Delta x^2} \left(e^{ik \Delta x} - 2 + e^{-ik \Delta x}\right) - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2}. </math>

<math> \phi_{j+1}^n = e^{ik \Delta x} \phi_j^n, \quad \phi_{j-1}^n = e^{-ik \Delta x} \phi_j^n, </math> <math> \phi_j^{n+1} = e^{-i\omega \Delta t} \phi_j^n, \quad \phi_j^{n-1} = e^{i\omega \Delta t} \phi_j^n. </math>

Substituindo essas expressões na equação discreta:
<math> e^{-i\omega \Delta t} \phi_j^n - 2\phi_j^n + e^{i\omega \Delta t} \phi_j^n = \frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \left(e^{ik \Delta x} \phi_j^n - 2\phi_j^n + e^{-ik \Delta x} \phi_j^n\right) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \phi_j^n. </math>

Dividindo todos os termos por <math>\phi_j^n</math> (assumindo <math>\phi_j^n \neq 0</math>) e rearranjando, obtém-se:
<math> \frac{e^{-i\omega \Delta t} - 2 + e^{i\omega \Delta t}}{\Delta t^2} = \frac{c^2}{\Delta x^2} \left(e^{ik \Delta x} - 2 + e^{-ik \Delta x}\right) - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2}. </math>

Utilizando identidades trigonométricas para simplificar, a equação se torna:
<math> \frac{-4 \sin^2(\omega \Delta t / 2)}{\Delta t^2} = \frac{-4 c^2 \sin^2(k \Delta x / 2)}{\Delta x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2}. </math>

Multiplicando por <math>-1</math>, obtemos:
<math> \frac{4 \sin^2(\omega \Delta t / 2)}{\Delta t^2} = \frac{4 c^2 \sin^2(k \Delta x / 2)}{\Delta x^2} + \frac{m^2 c^4}{\hbar^2}. </math>
Critério de Estabilidade

A condição de estabilidade exige que <math>\sin^2(\omega \Delta t / 2)</math> seja real e menor ou igual a 1. Isso leva à restrição:
<math> \frac{4 c^2 \sin^2(k \Delta x / 2)}{\Delta x^2} + \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \leq \frac{4}{\Delta t^2}. </math>

Logo, o passo temporal <math> \Delta t </math> deve satisfazer:

<math> \Delta t \leq 2 \sqrt{\frac{\Delta x^2}{4 c^2 \sin^2(k \Delta x / 2)} + \frac{\hbar^2}{m^2 c^4}}. </math>

No limite de <math>m \to 0</math> (ondas livres), a condição reduz-se ao critério CFL clássico:

<math>\frac{c\Delta t}{\Delta x} <\math>

== C.C e C.I ==

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condilções iniciais e de contorno:

<math> \psi(x,0) = Ae^{-\frac{x-x_0}{2\sigma^2}}</math> que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e <math>\frac{\partial \psi(x,0)}{\partial t} =0 </math> que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, <math> x_0 </math> é a posição central do pulso e <math> \sigma </math> é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que <math>\psi(0,t)= 0 </math> e <math>\psi(L,t)=0 </math> o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas:

[[Arquivo:Klein 2.gif]]

Equação de Klein-Gordon

2025-01-07T14:05:10Z

Eduardoleite: /* CRITÉRIO DE ESTABILIDADE */

== INTRODUÇÃO ==
A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os mésons, em seu modelo básico) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein <math>E=p^2c^2 + m^2c^4 </math>. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

<math> \left( \Box + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right) \psi(x,t)= 0 </math>

onde <math> \left( \Box = \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} -\nabla^2 \right) </math> é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

<math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \psi - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math>

<math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math> (em uma dimensão)

== MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ==

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos <math>\Delta t </math> criando uma sequência de pontos <math>t_n=n\Delta t </math>. Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos <math>\Delta x </math> criando uma sequência de pontos <math>x_i=i\Delta x </math>.
Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}</math> e <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \approx \frac{u_i^{n+1} - 2u_i^n + u_i^{n-1}}{(\Delta t)^2} </math> para o tempo.

<math>\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1}^n - u_i^n}{\Delta x} e \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2} </math> para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2} \approx \frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2}</math>

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \approx \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x- \Delta x,t)}{(\Delta x)^2} </math>

ou seja:

<math>\frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2} = c^2 \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta x)^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi </math>

isso nos leva a equação final:

<math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta,t) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi </math>

chamarei <math>\alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x} </math> e <math> \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar} </math>

portanto, <math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\alpha^2 \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) - \beta^2 \psi </math>

ou, mais usualmente: <math>\psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 ( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \beta^2 \psi </math>

== ESTABILIDADE ta errado, estou testando outras coisas ==

Para analisar a estabilidade do método utilizaremos os Modos de Furrier.

<math> \psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 \left( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n \right) - \beta^2 \psi_i^n </math>.

sendo <math>\psi_i^n = A^n e^{i k i \Delta x} </math> o Modo de Furrier.

Substituímos <math>\psi_i^n, \psi_{i+1}^n</math>, e <math>\psi_{i-1}^n </math>na equação:

<math>\psi_{i+1}^n = A^n e^{i k (i+1) \Delta x} = A^n e^{i k i \Delta x} e^{i k \Delta x}</math>

<math>\psi_{i-1}^n = A^n e^{i k (i-1) \Delta x} = A^n e^{i k i \Delta x} e^{-i k \Delta x}</math>

Usamos a identidade <math> e^{i k \Delta x} + e^{-i k \Delta x} = 2 \cos(k \Delta x) </math>:

<math> A^{n+1} = 2A^n - A^{n-1} + \alpha^2 \left[ 2 \cos(k \Delta x) - 2 \right] A^n - \beta^2 A^n </math>

Fatoramos:

<math> A^{n+1} = \left( 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) \right) A^n - A^{n-1}. </math>

A relação de recorrência é:

<math> A^{n+1} - \lambda A^n + A^{n-1} = 0 </math>

onde

<math> \lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) </math>.

Definimos <math> \mu= |\frac{A^{n+1}}{A^n} | </math> como sendo o fator de amplificação. Assim, a equação fica <math> \mu A^n=\lambda A^n - A^n \frac{A^{n-1}}{A^n} </math>

Dividindo tudo por <math> A^n </math> : <math> \mu = \lambda - \frac{1}{\mu} </math>

Portanto, a equação característica associada é:

<math> \mu^2 - \lambda \mu + 1 = 0 </math>

onde <math> \mu </math> são as raízes que representam o fator de amplificação <math> \mu= |\frac{A^{n+1}}{A^n} | </math>.

Para que o método seja estável, as raízes <math>\mu</math> devem satisfazer <math>\|\mu| \leq 1</math>. Isso é garantido se o discriminante da equação característica satisfizer:

<math> \lambda^2 - 4 \leq 0 </math>.

Substituímos <math>\lambda </math>:

<math> \left( 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) \right)^2 - 4 \leq 0 </math>.

O caso crítico ocorre para o maior valor de <math>cos(k \Delta x)</math>, que é <math>cos(k \Delta x) = 1</math>, e o menor valor, <math>cos(k \Delta x) = -1</math>:

<math>cos(k \Delta x) = 1 </math>:

<math>\lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2</math>.

Isso simplifica para:

<math> \lambda = 2 - \beta^2 </math>

Para estabilidade:

<math> (2 - \beta^2)^2 - 4 \leq 0 </math>.

<math> \beta \geq 0 </math>.

Para <math> cos(k \Delta x) = -1</math>:

<math>\lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 - 2\alpha^2</math>.

<math> \lambda = 2 - 4\alpha^2 - \beta^2 </math>.

Ou seja, para que seja estável:

<math> (2 - 4\alpha^2 - \beta^2)^2 - 4 \leq 0 </math>.

Após expandir:

<math> \alpha \geq \frac{\beta}{2} </math>.

A condição de estabilidade combinada é:

<math> \alpha \geq \frac{\beta}{2} </math>
e <math> \beta \geq 0 </math> .

Essas desigualdades controlam os passos de tempo e espaço, garantindo a estabilidade do método.

== CRITÉRIO DE ESTABILIDADE ==

Para analisar a estabilidade, considera-se uma solução modal da forma:
<math> \phi_j^n = e^{i(k j \Delta x - \omega n \Delta t)}, </math>

onde <math>k</math> é o número de onda e <math>\omega</math> é a frequência angular.

Substituindo essa expressão na equação discreta e usando as propriedades das exponenciais complexas, temos:
<math> \frac{e^{-i\omega \Delta t} - 2 + e^{i\omega \Delta t}}{\Delta t^2} = \frac{c^2}{\Delta x^2} \left(e^{ik \Delta x} - 2 + e^{-ik \Delta x}\right) - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2}. </math>

<math> \phi_{j+1}^n = e^{ik \Delta x} \phi_j^n, \quad \phi_{j-1}^n = e^{-ik \Delta x} \phi_j^n, </math> <math> \phi_j^{n+1} = e^{-i\omega \Delta t} \phi_j^n, \quad \phi_j^{n-1} = e^{i\omega \Delta t} \phi_j^n. </math>

Substituindo essas expressões na equação discreta:
<math> e^{-i\omega \Delta t} \phi_j^n - 2\phi_j^n + e^{i\omega \Delta t} \phi_j^n = \frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \left(e^{ik \Delta x} \phi_j^n - 2\phi_j^n + e^{-ik \Delta x} \phi_j^n\right) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \phi_j^n. </math>

Dividindo todos os termos por <math>\phi_j^n</math> (assumindo <math>\phi_j^n \neq 0</math>) e rearranjando, obtém-se:
<math> \frac{e^{-i\omega \Delta t} - 2 + e^{i\omega \Delta t}}{\Delta t^2} = \frac{c^2}{\Delta x^2} \left(e^{ik \Delta x} - 2 + e^{-ik \Delta x}\right) - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2}. </math>

Utilizando identidades trigonométricas para simplificar, a equação se torna:
<math> \frac{-4 \sin^2(\omega \Delta t / 2)}{\Delta t^2} = \frac{-4 c^2 \sin^2(k \Delta x / 2)}{\Delta x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2}. </math>

Multiplicando por <math>-1</math>, obtemos:
<math> \frac{4 \sin^2(\omega \Delta t / 2)}{\Delta t^2} = \frac{4 c^2 \sin^2(k \Delta x / 2)}{\Delta x^2} + \frac{m^2 c^4}{\hbar^2}. </math>
Critério de Estabilidade

A condição de estabilidade exige que <math>\sin^2(\omega \Delta t / 2)</math> seja real e menor ou igual a 1. Isso leva à restrição:
<math> \frac{4 c^2 \sin^2(k \Delta x / 2)}{\Delta x^2} + \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \leq \frac{4}{\Delta t^2}. </math>

Logo, o passo temporal <math> \Delta t </math> deve satisfazer:

<math> \Delta t \leq 2 \sqrt{\frac{\Delta x^2}{4 c^2 \sin^2(k \Delta x / 2)} + \frac{\hbar^2}{m^2 c^4}}. </math>

No limite de <math>m \to 0</math> (ondas livres), a condição reduz-se ao critério CFL clássico

== C.C e C.I ==

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condilções iniciais e de contorno:

<math> \psi(x,0) = Ae^{-\frac{x-x_0}{2\sigma^2}}</math> que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e <math>\frac{\partial \psi(x,0)}{\partial t} =0 </math> que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, <math> x_0 </math> é a posição central do pulso e <math> \sigma </math> é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que <math>\psi(0,t)= 0 </math> e <math>\psi(L,t)=0 </math> o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas:

[[Arquivo:Klein 2.gif]]

Equação de Klein-Gordon

2025-01-07T13:55:57Z

Eduardoleite: /* CRITÉRIO DE ESTABILIDADE */

== INTRODUÇÃO ==
A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os mésons, em seu modelo básico) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein <math>E=p^2c^2 + m^2c^4 </math>. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

<math> \left( \Box + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right) \psi(x,t)= 0 </math>

onde <math> \left( \Box = \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} -\nabla^2 \right) </math> é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

<math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \psi - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math>

<math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math> (em uma dimensão)

== MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ==

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos <math>\Delta t </math> criando uma sequência de pontos <math>t_n=n\Delta t </math>. Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos <math>\Delta x </math> criando uma sequência de pontos <math>x_i=i\Delta x </math>.
Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}</math> e <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \approx \frac{u_i^{n+1} - 2u_i^n + u_i^{n-1}}{(\Delta t)^2} </math> para o tempo.

<math>\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1}^n - u_i^n}{\Delta x} e \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2} </math> para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2} \approx \frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2}</math>

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \approx \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x- \Delta x,t)}{(\Delta x)^2} </math>

ou seja:

<math>\frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2} = c^2 \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta x)^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi </math>

isso nos leva a equação final:

<math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta,t) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi </math>

chamarei <math>\alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x} </math> e <math> \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar} </math>

portanto, <math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\alpha^2 \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) - \beta^2 \psi </math>

ou, mais usualmente: <math>\psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 ( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \beta^2 \psi </math>

== ESTABILIDADE ta errado, estou testando outras coisas ==

Para analisar a estabilidade do método utilizaremos os Modos de Furrier.

<math> \psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 \left( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n \right) - \beta^2 \psi_i^n </math>.

sendo <math>\psi_i^n = A^n e^{i k i \Delta x} </math> o Modo de Furrier.

Substituímos <math>\psi_i^n, \psi_{i+1}^n</math>, e <math>\psi_{i-1}^n </math>na equação:

<math>\psi_{i+1}^n = A^n e^{i k (i+1) \Delta x} = A^n e^{i k i \Delta x} e^{i k \Delta x}</math>

<math>\psi_{i-1}^n = A^n e^{i k (i-1) \Delta x} = A^n e^{i k i \Delta x} e^{-i k \Delta x}</math>

Usamos a identidade <math> e^{i k \Delta x} + e^{-i k \Delta x} = 2 \cos(k \Delta x) </math>:

<math> A^{n+1} = 2A^n - A^{n-1} + \alpha^2 \left[ 2 \cos(k \Delta x) - 2 \right] A^n - \beta^2 A^n </math>

Fatoramos:

<math> A^{n+1} = \left( 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) \right) A^n - A^{n-1}. </math>

A relação de recorrência é:

<math> A^{n+1} - \lambda A^n + A^{n-1} = 0 </math>

onde

<math> \lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) </math>.

Definimos <math> \mu= |\frac{A^{n+1}}{A^n} | </math> como sendo o fator de amplificação. Assim, a equação fica <math> \mu A^n=\lambda A^n - A^n \frac{A^{n-1}}{A^n} </math>

Dividindo tudo por <math> A^n </math> : <math> \mu = \lambda - \frac{1}{\mu} </math>

Portanto, a equação característica associada é:

<math> \mu^2 - \lambda \mu + 1 = 0 </math>

onde <math> \mu </math> são as raízes que representam o fator de amplificação <math> \mu= |\frac{A^{n+1}}{A^n} | </math>.

Para que o método seja estável, as raízes <math>\mu</math> devem satisfazer <math>\|\mu| \leq 1</math>. Isso é garantido se o discriminante da equação característica satisfizer:

<math> \lambda^2 - 4 \leq 0 </math>.

Substituímos <math>\lambda </math>:

<math> \left( 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) \right)^2 - 4 \leq 0 </math>.

O caso crítico ocorre para o maior valor de <math>cos(k \Delta x)</math>, que é <math>cos(k \Delta x) = 1</math>, e o menor valor, <math>cos(k \Delta x) = -1</math>:

<math>cos(k \Delta x) = 1 </math>:

<math>\lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2</math>.

Isso simplifica para:

<math> \lambda = 2 - \beta^2 </math>

Para estabilidade:

<math> (2 - \beta^2)^2 - 4 \leq 0 </math>.

<math> \beta \geq 0 </math>.

Para <math> cos(k \Delta x) = -1</math>:

<math>\lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 - 2\alpha^2</math>.

<math> \lambda = 2 - 4\alpha^2 - \beta^2 </math>.

Ou seja, para que seja estável:

<math> (2 - 4\alpha^2 - \beta^2)^2 - 4 \leq 0 </math>.

Após expandir:

<math> \alpha \geq \frac{\beta}{2} </math>.

A condição de estabilidade combinada é:

<math> \alpha \geq \frac{\beta}{2} </math>
e <math> \beta \geq 0 </math> .

Essas desigualdades controlam os passos de tempo e espaço, garantindo a estabilidade do método.

== CRITÉRIO DE ESTABILIDADE ==

Para analisar a estabilidade, considera-se uma solução modal da forma:
<math> \phi_j^n = e^{i(k j \Delta x - \omega n \Delta t)}, </math>

onde <math>k</math> é o número de onda e <math>\omega</math> é a frequência angular.

Substituindo essa expressão na equação discreta e usando as propriedades das exponenciais complexas, temos:
<math> \frac{e^{-i\omega \Delta t} - 2 + e^{i\omega \Delta t}}{\Delta t^2} = \frac{c^2}{\Delta x^2} \left(e^{ik \Delta x} - 2 + e^{-ik \Delta x}\right) - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2}. </math>

Utilizando identidades trigonométricas para simplificar, a equação se torna:
<math> \frac{-4 \sin^2(\omega \Delta t / 2)}{\Delta t^2} = \frac{-4 c^2 \sin^2(k \Delta x / 2)}{\Delta x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2}. </math>

Multiplicando por <math>-1</math>, obtemos:
<math> \frac{4 \sin^2(\omega \Delta t / 2)}{\Delta t^2} = \frac{4 c^2 \sin^2(k \Delta x / 2)}{\Delta x^2} + \frac{m^2 c^4}{\hbar^2}. </math>
Critério de Estabilidade

A condição de estabilidade exige que <math>\sin^2(\omega \Delta t / 2)</math> seja real e menor ou igual a 1. Isso leva à restrição:
<math> \frac{4 c^2 \sin^2(k \Delta x / 2)}{\Delta x^2} + \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \leq \frac{4}{\Delta t^2}. </math>

Logo, o passo temporal <math> \Delta t </math> deve satisfazer:

<math> \Delta t \leq 2 \sqrt{\frac{\Delta x^2}{4 c^2 \sin^2(k \Delta x / 2)} + \frac{\hbar^2}{m^2 c^4}}. </math>

No limite de <math>m \to 0</math> (ondas livres), a condição reduz-se ao critério CFL clássico

== C.C e C.I ==

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condilções iniciais e de contorno:

<math> \psi(x,0) = Ae^{-\frac{x-x_0}{2\sigma^2}}</math> que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e <math>\frac{\partial \psi(x,0)}{\partial t} =0 </math> que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, <math> x_0 </math> é a posição central do pulso e <math> \sigma </math> é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que <math>\psi(0,t)= 0 </math> e <math>\psi(L,t)=0 </math> o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas:

[[Arquivo:Klein 2.gif]]

Equação de Klein-Gordon

2025-01-07T13:54:47Z

Eduardoleite: /* CRITÉRIO DE ESTABILIDADE */

== INTRODUÇÃO ==
A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os mésons, em seu modelo básico) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein <math>E=p^2c^2 + m^2c^4 </math>. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

<math> \left( \Box + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right) \psi(x,t)= 0 </math>

onde <math> \left( \Box = \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} -\nabla^2 \right) </math> é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

<math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \psi - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math>

<math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math> (em uma dimensão)

== MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ==

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos <math>\Delta t </math> criando uma sequência de pontos <math>t_n=n\Delta t </math>. Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos <math>\Delta x </math> criando uma sequência de pontos <math>x_i=i\Delta x </math>.
Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}</math> e <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \approx \frac{u_i^{n+1} - 2u_i^n + u_i^{n-1}}{(\Delta t)^2} </math> para o tempo.

<math>\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1}^n - u_i^n}{\Delta x} e \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2} </math> para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2} \approx \frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2}</math>

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \approx \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x- \Delta x,t)}{(\Delta x)^2} </math>

ou seja:

<math>\frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2} = c^2 \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta x)^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi </math>

isso nos leva a equação final:

<math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta,t) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi </math>

chamarei <math>\alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x} </math> e <math> \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar} </math>

portanto, <math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\alpha^2 \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) - \beta^2 \psi </math>

ou, mais usualmente: <math>\psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 ( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \beta^2 \psi </math>

== ESTABILIDADE ta errado, estou testando outras coisas ==

Para analisar a estabilidade do método utilizaremos os Modos de Furrier.

<math> \psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 \left( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n \right) - \beta^2 \psi_i^n </math>.

sendo <math>\psi_i^n = A^n e^{i k i \Delta x} </math> o Modo de Furrier.

Substituímos <math>\psi_i^n, \psi_{i+1}^n</math>, e <math>\psi_{i-1}^n </math>na equação:

<math>\psi_{i+1}^n = A^n e^{i k (i+1) \Delta x} = A^n e^{i k i \Delta x} e^{i k \Delta x}</math>

<math>\psi_{i-1}^n = A^n e^{i k (i-1) \Delta x} = A^n e^{i k i \Delta x} e^{-i k \Delta x}</math>

Usamos a identidade <math> e^{i k \Delta x} + e^{-i k \Delta x} = 2 \cos(k \Delta x) </math>:

<math> A^{n+1} = 2A^n - A^{n-1} + \alpha^2 \left[ 2 \cos(k \Delta x) - 2 \right] A^n - \beta^2 A^n </math>

Fatoramos:

<math> A^{n+1} = \left( 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) \right) A^n - A^{n-1}. </math>

A relação de recorrência é:

<math> A^{n+1} - \lambda A^n + A^{n-1} = 0 </math>

onde

<math> \lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) </math>.

Definimos <math> \mu= |\frac{A^{n+1}}{A^n} | </math> como sendo o fator de amplificação. Assim, a equação fica <math> \mu A^n=\lambda A^n - A^n \frac{A^{n-1}}{A^n} </math>

Dividindo tudo por <math> A^n </math> : <math> \mu = \lambda - \frac{1}{\mu} </math>

Portanto, a equação característica associada é:

<math> \mu^2 - \lambda \mu + 1 = 0 </math>

onde <math> \mu </math> são as raízes que representam o fator de amplificação <math> \mu= |\frac{A^{n+1}}{A^n} | </math>.

Para que o método seja estável, as raízes <math>\mu</math> devem satisfazer <math>\|\mu| \leq 1</math>. Isso é garantido se o discriminante da equação característica satisfizer:

<math> \lambda^2 - 4 \leq 0 </math>.

Substituímos <math>\lambda </math>:

<math> \left( 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) \right)^2 - 4 \leq 0 </math>.

O caso crítico ocorre para o maior valor de <math>cos(k \Delta x)</math>, que é <math>cos(k \Delta x) = 1</math>, e o menor valor, <math>cos(k \Delta x) = -1</math>:

<math>cos(k \Delta x) = 1 </math>:

<math>\lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2</math>.

Isso simplifica para:

<math> \lambda = 2 - \beta^2 </math>

Para estabilidade:

<math> (2 - \beta^2)^2 - 4 \leq 0 </math>.

<math> \beta \geq 0 </math>.

Para <math> cos(k \Delta x) = -1</math>:

<math>\lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 - 2\alpha^2</math>.

<math> \lambda = 2 - 4\alpha^2 - \beta^2 </math>.

Ou seja, para que seja estável:

<math> (2 - 4\alpha^2 - \beta^2)^2 - 4 \leq 0 </math>.

Após expandir:

<math> \alpha \geq \frac{\beta}{2} </math>.

A condição de estabilidade combinada é:

<math> \alpha \geq \frac{\beta}{2} </math>
e <math> \beta \geq 0 </math> .

Essas desigualdades controlam os passos de tempo e espaço, garantindo a estabilidade do método.

== CRITÉRIO DE ESTABILIDADE ==

Para analisar a estabilidade, considera-se uma solução modal da forma:
<math> \phi_j^n = e^{i(k j \Delta x - \omega n \Delta t)}, </math>

onde <math>k</math> é o número de onda e <math>\omega</math> é a frequência angular. Substituindo essa expressão na equação discreta e usando as propriedades das exponenciais complexas, temos:
<math> \frac{e^{-i\omega \Delta t} - 2 + e^{i\omega \Delta t}}{\Delta t^2} = \frac{c^2}{\Delta x^2} \left(e^{ik \Delta x} - 2 + e^{-ik \Delta x}\right) - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2}. </math>

Utilizando identidades trigonométricas para simplificar, a equação se torna:
<math> \frac{-4 \sin^2(\omega \Delta t / 2)}{\Delta t^2} = \frac{-4 c^2 \sin^2(k \Delta x / 2)}{\Delta x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2}. </math>

Multiplicando por <math>-1</math>, obtemos:
<math> \frac{4 \sin^2(\omega \Delta t / 2)}{\Delta t^2} = \frac{4 c^2 \sin^2(k \Delta x / 2)}{\Delta x^2} + \frac{m^2 c^4}{\hbar^2}. </math>
Critério de Estabilidade

A condição de estabilidade exige que <math>\sin^2(\omega \Delta t / 2)</math> seja real e menor ou igual a 1. Isso leva à restrição:
<math> \frac{4 c^2 \sin^2(k \Delta x / 2)}{\Delta x^2} + \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \leq \frac{4}{\Delta t^2}. </math>

Logo, o passo temporal <math> \Delta t </math> deve satisfazer:

<math> \Delta t \leq 2 \sqrt{\frac{\Delta x^2}{4 c^2 \sin^2(k \Delta x / 2)} + \frac{\hbar^2}{m^2 c^4}}. </math>

No limite de <math>m \to 0</math> (ondas livres), a condição reduz-se ao critério CFL clássico

== C.C e C.I ==

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condilções iniciais e de contorno:

<math> \psi(x,0) = Ae^{-\frac{x-x_0}{2\sigma^2}}</math> que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e <math>\frac{\partial \psi(x,0)}{\partial t} =0 </math> que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, <math> x_0 </math> é a posição central do pulso e <math> \sigma </math> é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que <math>\psi(0,t)= 0 </math> e <math>\psi(L,t)=0 </math> o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas:

[[Arquivo:Klein 2.gif]]

Equação de Klein-Gordon

2025-01-07T13:53:54Z

Eduardoleite: /* CRITÉRIO DE ESTABILIDADE */

== INTRODUÇÃO ==
A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os mésons, em seu modelo básico) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein <math>E=p^2c^2 + m^2c^4 </math>. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

<math> \left( \Box + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right) \psi(x,t)= 0 </math>

onde <math> \left( \Box = \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} -\nabla^2 \right) </math> é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

<math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \psi - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math>

<math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math> (em uma dimensão)

== MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ==

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos <math>\Delta t </math> criando uma sequência de pontos <math>t_n=n\Delta t </math>. Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos <math>\Delta x </math> criando uma sequência de pontos <math>x_i=i\Delta x </math>.
Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}</math> e <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \approx \frac{u_i^{n+1} - 2u_i^n + u_i^{n-1}}{(\Delta t)^2} </math> para o tempo.

<math>\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1}^n - u_i^n}{\Delta x} e \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2} </math> para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2} \approx \frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2}</math>

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \approx \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x- \Delta x,t)}{(\Delta x)^2} </math>

ou seja:

<math>\frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2} = c^2 \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta x)^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi </math>

isso nos leva a equação final:

<math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta,t) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi </math>

chamarei <math>\alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x} </math> e <math> \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar} </math>

portanto, <math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\alpha^2 \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) - \beta^2 \psi </math>

ou, mais usualmente: <math>\psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 ( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \beta^2 \psi </math>

== ESTABILIDADE ta errado, estou testando outras coisas ==

Para analisar a estabilidade do método utilizaremos os Modos de Furrier.

<math> \psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 \left( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n \right) - \beta^2 \psi_i^n </math>.

sendo <math>\psi_i^n = A^n e^{i k i \Delta x} </math> o Modo de Furrier.

Substituímos <math>\psi_i^n, \psi_{i+1}^n</math>, e <math>\psi_{i-1}^n </math>na equação:

<math>\psi_{i+1}^n = A^n e^{i k (i+1) \Delta x} = A^n e^{i k i \Delta x} e^{i k \Delta x}</math>

<math>\psi_{i-1}^n = A^n e^{i k (i-1) \Delta x} = A^n e^{i k i \Delta x} e^{-i k \Delta x}</math>

Usamos a identidade <math> e^{i k \Delta x} + e^{-i k \Delta x} = 2 \cos(k \Delta x) </math>:

<math> A^{n+1} = 2A^n - A^{n-1} + \alpha^2 \left[ 2 \cos(k \Delta x) - 2 \right] A^n - \beta^2 A^n </math>

Fatoramos:

<math> A^{n+1} = \left( 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) \right) A^n - A^{n-1}. </math>

A relação de recorrência é:

<math> A^{n+1} - \lambda A^n + A^{n-1} = 0 </math>

onde

<math> \lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) </math>.

Definimos <math> \mu= |\frac{A^{n+1}}{A^n} | </math> como sendo o fator de amplificação. Assim, a equação fica <math> \mu A^n=\lambda A^n - A^n \frac{A^{n-1}}{A^n} </math>

Dividindo tudo por <math> A^n </math> : <math> \mu = \lambda - \frac{1}{\mu} </math>

Portanto, a equação característica associada é:

<math> \mu^2 - \lambda \mu + 1 = 0 </math>

onde <math> \mu </math> são as raízes que representam o fator de amplificação <math> \mu= |\frac{A^{n+1}}{A^n} | </math>.

Para que o método seja estável, as raízes <math>\mu</math> devem satisfazer <math>\|\mu| \leq 1</math>. Isso é garantido se o discriminante da equação característica satisfizer:

<math> \lambda^2 - 4 \leq 0 </math>.

Substituímos <math>\lambda </math>:

<math> \left( 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) \right)^2 - 4 \leq 0 </math>.

O caso crítico ocorre para o maior valor de <math>cos(k \Delta x)</math>, que é <math>cos(k \Delta x) = 1</math>, e o menor valor, <math>cos(k \Delta x) = -1</math>:

<math>cos(k \Delta x) = 1 </math>:

<math>\lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2</math>.

Isso simplifica para:

<math> \lambda = 2 - \beta^2 </math>

Para estabilidade:

<math> (2 - \beta^2)^2 - 4 \leq 0 </math>.

<math> \beta \geq 0 </math>.

Para <math> cos(k \Delta x) = -1</math>:

<math>\lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 - 2\alpha^2</math>.

<math> \lambda = 2 - 4\alpha^2 - \beta^2 </math>.

Ou seja, para que seja estável:

<math> (2 - 4\alpha^2 - \beta^2)^2 - 4 \leq 0 </math>.

Após expandir:

<math> \alpha \geq \frac{\beta}{2} </math>.

A condição de estabilidade combinada é:

<math> \alpha \geq \frac{\beta}{2} </math>
e <math> \beta \geq 0 </math> .

Essas desigualdades controlam os passos de tempo e espaço, garantindo a estabilidade do método.

== CRITÉRIO DE ESTABILIDADE ==

Para analisar a estabilidade, considera-se uma solução modal da forma:
<math> \phi_j^n = e^{i(k j \Delta x - \omega n \Delta t)}, </math>

onde <math>k</math> é o número de onda e <math>\omega</math> é a frequência angular. Substituindo essa expressão na equação discreta e usando as propriedades das exponenciais complexas, temos:
<math> \frac{e^{-i\omega \Delta t} - 2 + e^{i\omega \Delta t}}{\Delta t^2} = \frac{c^2}{\Delta x^2} \left(e^{ik \Delta x} - 2 + e^{-ik \Delta x}\right) - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2}. </math>

Utilizando identidades trigonométricas para simplificar, a equação se torna:
<math> \frac{-4 \sin^2(\omega \Delta t / 2)}{\Delta t^2} = \frac{-4 c^2 \sin^2(k \Delta x / 2)}{\Delta x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2}. </math>

Multiplicando por <math>-1</math>, obtemos:
<math> \frac{4 \sin^2(\omega \Delta t / 2)}{\Delta t^2} = \frac{4 c^2 \sin^2(k \Delta x / 2)}{\Delta x^2} + \frac{m^2 c^4}{\hbar^2}. </math>
Critério de Estabilidade

A condição de estabilidade exige que <math>\sin^2(\omega \Delta t / 2)</math> seja real e menor ou igual a 1. Isso leva à restrição:
<math> \frac{4 c^2 \sin^2(k \Delta x / 2)}{\Delta x^2} + \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \leq \frac{4}{\Delta t^2}. </math>

Logo, o passo temporal <math>\Delta t</math> deve satisfazer:
<math> \Delta t \leq 2 \sqrt{\frac{\Delta x^2}{4 c^2 \sin^2(k \Delta x / 2)} + \frac{\hbar^2}{m^2 c^4}}. </math>

No limite de <math>m \to 0</math> (ondas livres), a condição reduz-se ao critério CFL clássico

== C.C e C.I ==

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condilções iniciais e de contorno:

<math> \psi(x,0) = Ae^{-\frac{x-x_0}{2\sigma^2}}</math> que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e <math>\frac{\partial \psi(x,0)}{\partial t} =0 </math> que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, <math> x_0 </math> é a posição central do pulso e <math> \sigma </math> é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que <math>\psi(0,t)= 0 </math> e <math>\psi(L,t)=0 </math> o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas:

[[Arquivo:Klein 2.gif]]

Equação de Klein-Gordon

2025-01-07T13:40:04Z

Eduardoleite:

== INTRODUÇÃO ==
A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os mésons, em seu modelo básico) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein <math>E=p^2c^2 + m^2c^4 </math>. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

<math> \left( \Box + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right) \psi(x,t)= 0 </math>

onde <math> \left( \Box = \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} -\nabla^2 \right) </math> é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

<math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \psi - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math>

<math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math> (em uma dimensão)

== MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ==

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos <math>\Delta t </math> criando uma sequência de pontos <math>t_n=n\Delta t </math>. Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos <math>\Delta x </math> criando uma sequência de pontos <math>x_i=i\Delta x </math>.
Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}</math> e <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \approx \frac{u_i^{n+1} - 2u_i^n + u_i^{n-1}}{(\Delta t)^2} </math> para o tempo.

<math>\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1}^n - u_i^n}{\Delta x} e \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2} </math> para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2} \approx \frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2}</math>

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \approx \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x- \Delta x,t)}{(\Delta x)^2} </math>

ou seja:

<math>\frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2} = c^2 \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta x)^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi </math>

isso nos leva a equação final:

<math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta,t) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi </math>

chamarei <math>\alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x} </math> e <math> \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar} </math>

portanto, <math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\alpha^2 \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) - \beta^2 \psi </math>

ou, mais usualmente: <math>\psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 ( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \beta^2 \psi </math>

== ESTABILIDADE ta errado, estou testando outras coisas ==

Para analisar a estabilidade do método utilizaremos os Modos de Furrier.

<math> \psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 \left( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n \right) - \beta^2 \psi_i^n </math>.

sendo <math>\psi_i^n = A^n e^{i k i \Delta x} </math> o Modo de Furrier.

Substituímos <math>\psi_i^n, \psi_{i+1}^n</math>, e <math>\psi_{i-1}^n </math>na equação:

<math>\psi_{i+1}^n = A^n e^{i k (i+1) \Delta x} = A^n e^{i k i \Delta x} e^{i k \Delta x}</math>

<math>\psi_{i-1}^n = A^n e^{i k (i-1) \Delta x} = A^n e^{i k i \Delta x} e^{-i k \Delta x}</math>

Usamos a identidade <math> e^{i k \Delta x} + e^{-i k \Delta x} = 2 \cos(k \Delta x) </math>:

<math> A^{n+1} = 2A^n - A^{n-1} + \alpha^2 \left[ 2 \cos(k \Delta x) - 2 \right] A^n - \beta^2 A^n </math>

Fatoramos:

<math> A^{n+1} = \left( 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) \right) A^n - A^{n-1}. </math>

A relação de recorrência é:

<math> A^{n+1} - \lambda A^n + A^{n-1} = 0 </math>

onde

<math> \lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) </math>.

Definimos <math> \mu= |\frac{A^{n+1}}{A^n} | </math> como sendo o fator de amplificação. Assim, a equação fica <math> \mu A^n=\lambda A^n - A^n \frac{A^{n-1}}{A^n} </math>

Dividindo tudo por <math> A^n </math> : <math> \mu = \lambda - \frac{1}{\mu} </math>

Portanto, a equação característica associada é:

<math> \mu^2 - \lambda \mu + 1 = 0 </math>

onde <math> \mu </math> são as raízes que representam o fator de amplificação <math> \mu= |\frac{A^{n+1}}{A^n} | </math>.

Para que o método seja estável, as raízes <math>\mu</math> devem satisfazer <math>\|\mu| \leq 1</math>. Isso é garantido se o discriminante da equação característica satisfizer:

<math> \lambda^2 - 4 \leq 0 </math>.

Substituímos <math>\lambda </math>:

<math> \left( 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) \right)^2 - 4 \leq 0 </math>.

O caso crítico ocorre para o maior valor de <math>cos(k \Delta x)</math>, que é <math>cos(k \Delta x) = 1</math>, e o menor valor, <math>cos(k \Delta x) = -1</math>:

<math>cos(k \Delta x) = 1 </math>:

<math>\lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2</math>.

Isso simplifica para:

<math> \lambda = 2 - \beta^2 </math>

Para estabilidade:

<math> (2 - \beta^2)^2 - 4 \leq 0 </math>.

<math> \beta \geq 0 </math>.

Para <math> cos(k \Delta x) = -1</math>:

<math>\lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 - 2\alpha^2</math>.

<math> \lambda = 2 - 4\alpha^2 - \beta^2 </math>.

Ou seja, para que seja estável:

<math> (2 - 4\alpha^2 - \beta^2)^2 - 4 \leq 0 </math>.

Após expandir:

<math> \alpha \geq \frac{\beta}{2} </math>.

A condição de estabilidade combinada é:

<math> \alpha \geq \frac{\beta}{2} </math>
e <math> \beta \geq 0 </math> .

Essas desigualdades controlam os passos de tempo e espaço, garantindo a estabilidade do método.

== CRITÉRIO DE ESTABILIDADE ==

== C.C e C.I ==

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condilções iniciais e de contorno:

<math> \psi(x,0) = Ae^{-\frac{x-x_0}{2\sigma^2}}</math> que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e <math>\frac{\partial \psi(x,0)}{\partial t} =0 </math> que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, <math> x_0 </math> é a posição central do pulso e <math> \sigma </math> é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que <math>\psi(0,t)= 0 </math> e <math>\psi(L,t)=0 </math> o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas:

[[Arquivo:Klein 2.gif]]

Equação de Klein-Gordon

2025-01-07T13:39:26Z

Eduardoleite: /* ESTABILIDADE */

== INTRODUÇÃO ==
A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os mésons, em seu modelo básico) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein <math>E=p^2c^2 + m^2c^4 </math>. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

<math> \left( \Box + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right) \psi(x,t)= 0 </math>

onde <math> \left( \Box = \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} -\nabla^2 \right) </math> é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

<math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \psi - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math>

<math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math> (em uma dimensão)

== MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ==

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos <math>\Delta t </math> criando uma sequência de pontos <math>t_n=n\Delta t </math>. Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos <math>\Delta x </math> criando uma sequência de pontos <math>x_i=i\Delta x </math>.
Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}</math> e <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \approx \frac{u_i^{n+1} - 2u_i^n + u_i^{n-1}}{(\Delta t)^2} </math> para o tempo.

<math>\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1}^n - u_i^n}{\Delta x} e \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2} </math> para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2} \approx \frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2}</math>

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \approx \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x- \Delta x,t)}{(\Delta x)^2} </math>

ou seja:

<math>\frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2} = c^2 \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta x)^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi </math>

isso nos leva a equação final:

<math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta,t) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi </math>

chamarei <math>\alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x} </math> e <math> \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar} </math>

portanto, <math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\alpha^2 \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) - \beta^2 \psi </math>

ou, mais usualmente: <math>\psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 ( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \beta^2 \psi </math>

== ESTABILIDADE ta errado, estou testando outras coisas ==

Para analisar a estabilidade do método utilizaremos os Modos de Furrier.

<math> \psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 \left( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n \right) - \beta^2 \psi_i^n </math>.

sendo <math>\psi_i^n = A^n e^{i k i \Delta x} </math> o Modo de Furrier.

Substituímos <math>\psi_i^n, \psi_{i+1}^n</math>, e <math>\psi_{i-1}^n </math>na equação:

<math>\psi_{i+1}^n = A^n e^{i k (i+1) \Delta x} = A^n e^{i k i \Delta x} e^{i k \Delta x}</math>

<math>\psi_{i-1}^n = A^n e^{i k (i-1) \Delta x} = A^n e^{i k i \Delta x} e^{-i k \Delta x}</math>

Usamos a identidade <math> e^{i k \Delta x} + e^{-i k \Delta x} = 2 \cos(k \Delta x) </math>:

<math> A^{n+1} = 2A^n - A^{n-1} + \alpha^2 \left[ 2 \cos(k \Delta x) - 2 \right] A^n - \beta^2 A^n </math>

Fatoramos:

<math> A^{n+1} = \left( 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) \right) A^n - A^{n-1}. </math>

A relação de recorrência é:

<math> A^{n+1} - \lambda A^n + A^{n-1} = 0 </math>

onde

<math> \lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) </math>.

Definimos <math> \mu= |\frac{A^{n+1}}{A^n} | </math> como sendo o fator de amplificação. Assim, a equação fica <math> \mu A^n=\lambda A^n - A^n \frac{A^{n-1}}{A^n} </math>

Dividindo tudo por <math> A^n </math> : <math> \mu = \lambda - \frac{1}{\mu} </math>

Portanto, a equação característica associada é:

<math> \mu^2 - \lambda \mu + 1 = 0 </math>

onde <math> \mu </math> são as raízes que representam o fator de amplificação <math> \mu= |\frac{A^{n+1}}{A^n} | </math>.

Para que o método seja estável, as raízes <math>\mu</math> devem satisfazer <math>\|\mu| \leq 1</math>. Isso é garantido se o discriminante da equação característica satisfizer:

<math> \lambda^2 - 4 \leq 0 </math>.

Substituímos <math>\lambda </math>:

<math> \left( 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) \right)^2 - 4 \leq 0 </math>.

O caso crítico ocorre para o maior valor de <math>cos(k \Delta x)</math>, que é <math>cos(k \Delta x) = 1</math>, e o menor valor, <math>cos(k \Delta x) = -1</math>:

<math>cos(k \Delta x) = 1 </math>:

<math>\lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2</math>.

Isso simplifica para:

<math> \lambda = 2 - \beta^2 </math>

Para estabilidade:

<math> (2 - \beta^2)^2 - 4 \leq 0 </math>.

<math> \beta \geq 0 </math>.

Para <math> cos(k \Delta x) = -1</math>:

<math>\lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 - 2\alpha^2</math>.

<math> \lambda = 2 - 4\alpha^2 - \beta^2 </math>.

Ou seja, para que seja estável:

<math> (2 - 4\alpha^2 - \beta^2)^2 - 4 \leq 0 </math>.

Após expandir:

<math> \alpha \geq \frac{\beta}{2} </math>.

A condição de estabilidade combinada é:

<math> \alpha \geq \frac{\beta}{2} </math>
e <math> \beta \geq 0 </math> .

Essas desigualdades controlam os passos de tempo e espaço, garantindo a estabilidade do método.

== C.C e C.I ==

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condilções iniciais e de contorno:

<math> \psi(x,0) = Ae^{-\frac{x-x_0}{2\sigma^2}}</math> que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e <math>\frac{\partial \psi(x,0)}{\partial t} =0 </math> que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, <math> x_0 </math> é a posição central do pulso e <math> \sigma </math> é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que <math>\psi(0,t)= 0 </math> e <math>\psi(L,t)=0 </math> o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas:

[[Arquivo:Klein 2.gif]]

Equação de Klein-Gordon

2025-01-07T13:23:23Z

Eduardoleite: /* ESTABILIDADE */

== INTRODUÇÃO ==
A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os mésons, em seu modelo básico) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein <math>E=p^2c^2 + m^2c^4 </math>. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

<math> \left( \Box + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right) \psi(x,t)= 0 </math>

onde <math> \left( \Box = \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} -\nabla^2 \right) </math> é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

<math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \psi - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math>

<math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math> (em uma dimensão)

== MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ==

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos <math>\Delta t </math> criando uma sequência de pontos <math>t_n=n\Delta t </math>. Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos <math>\Delta x </math> criando uma sequência de pontos <math>x_i=i\Delta x </math>.
Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}</math> e <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \approx \frac{u_i^{n+1} - 2u_i^n + u_i^{n-1}}{(\Delta t)^2} </math> para o tempo.

<math>\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1}^n - u_i^n}{\Delta x} e \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2} </math> para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2} \approx \frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2}</math>

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \approx \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x- \Delta x,t)}{(\Delta x)^2} </math>

ou seja:

<math>\frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2} = c^2 \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta x)^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi </math>

isso nos leva a equação final:

<math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta,t) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi </math>

chamarei <math>\alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x} </math> e <math> \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar} </math>

portanto, <math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\alpha^2 \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) - \beta^2 \psi </math>

ou, mais usualmente: <math>\psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 ( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \beta^2 \psi </math>

== ESTABILIDADE ==

Para analisar a estabilidade do método utilizaremos os Modos de Furrier.

<math> \psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 \left( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n \right) - \beta^2 \psi_i^n </math>.

sendo <math>\psi_i^n = A^n e^{i k i \Delta x} </math> o Modo de Furrier.

Substituímos <math>\psi_i^n, \psi_{i+1}^n</math>, e <math>\psi_{i-1}^n </math>na equação:

<math>\psi_{i+1}^n = A^n e^{i k (i+1) \Delta x} = A^n e^{i k i \Delta x} e^{i k \Delta x}</math>

<math>\psi_{i-1}^n = A^n e^{i k (i-1) \Delta x} = A^n e^{i k i \Delta x} e^{-i k \Delta x}</math>

Usamos a identidade <math> e^{i k \Delta x} + e^{-i k \Delta x} = 2 \cos(k \Delta x) </math>:

<math> A^{n+1} = 2A^n - A^{n-1} + \alpha^2 \left[ 2 \cos(k \Delta x) - 2 \right] A^n - \beta^2 A^n </math>

Fatoramos:

<math> A^{n+1} = \left( 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) \right) A^n - A^{n-1}. </math>

A relação de recorrência é:

<math> A^{n+1} - \lambda A^n + A^{n-1} = 0 </math>

onde

<math> \lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) </math>.

Definimos <math> \mu= |\frac{A^{n+1}}{A^n} | </math> como sendo o fator de amplificação. Assim, a equação fica <math> \mu A^n=\lambda A^n - A^n \frac{A^{n-1}}{A^n} </math>

Dividindo tudo por <math> A^n </math> : <math> \mu = \lambda - \frac{1}{\mu} </math>

Portanto, a equação característica associada é:

<math> \mu^2 - \lambda \mu + 1 = 0 </math>

onde <math> \mu </math> são as raízes que representam o fator de amplificação <math> \mu= |\frac{A^{n+1}}{A^n} | </math>.

Para que o método seja estável, as raízes <math>\mu</math> devem satisfazer <math>\|\mu| \leq 1</math>. Isso é garantido se o discriminante da equação característica satisfizer:

<math> \lambda^2 - 4 \leq 0 </math>.

Substituímos <math>\lambda </math>:

<math> \left( 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) \right)^2 - 4 \leq 0 </math>.

O caso crítico ocorre para o maior valor de <math>cos(k \Delta x)</math>, que é <math>cos(k \Delta x) = 1</math>, e o menor valor, <math>cos(k \Delta x) = -1</math>:

<math>cos(k \Delta x) = 1 </math>:

<math>\lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2</math>.

Isso simplifica para:

<math> \lambda = 2 - \beta^2 </math>

Para estabilidade:

<math> (2 - \beta^2)^2 - 4 \leq 0 </math>.

<math> \beta \geq 0 </math>.

Para <math> cos(k \Delta x) = -1</math>:

<math>\lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 - 2\alpha^2</math>.

<math> \lambda = 2 - 4\alpha^2 - \beta^2 </math>.

Ou seja, para que seja estável:

<math> (2 - 4\alpha^2 - \beta^2)^2 - 4 \leq 0 </math>.

Após expandir:

<math> \alpha \geq \frac{\beta}{2} </math>.

A condição de estabilidade combinada é:

<math> \alpha \geq \frac{\beta}{2} </math>
e <math> \beta \geq 0 </math> .

Essas desigualdades controlam os passos de tempo e espaço, garantindo a estabilidade do método.

== C.C e C.I ==

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condilções iniciais e de contorno:

<math> \psi(x,0) = Ae^{-\frac{x-x_0}{2\sigma^2}}</math> que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e <math>\frac{\partial \psi(x,0)}{\partial t} =0 </math> que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, <math> x_0 </math> é a posição central do pulso e <math> \sigma </math> é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que <math>\psi(0,t)= 0 </math> e <math>\psi(L,t)=0 </math> o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas:

[[Arquivo:Klein 2.gif]]

Equação de Klein-Gordon

2025-01-07T13:23:06Z

Eduardoleite: /* ESTABILIDADE */

== INTRODUÇÃO ==
A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os mésons, em seu modelo básico) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein <math>E=p^2c^2 + m^2c^4 </math>. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

<math> \left( \Box + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right) \psi(x,t)= 0 </math>

onde <math> \left( \Box = \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} -\nabla^2 \right) </math> é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

<math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \psi - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math>

<math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math> (em uma dimensão)

== MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ==

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos <math>\Delta t </math> criando uma sequência de pontos <math>t_n=n\Delta t </math>. Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos <math>\Delta x </math> criando uma sequência de pontos <math>x_i=i\Delta x </math>.
Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}</math> e <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \approx \frac{u_i^{n+1} - 2u_i^n + u_i^{n-1}}{(\Delta t)^2} </math> para o tempo.

<math>\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1}^n - u_i^n}{\Delta x} e \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2} </math> para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2} \approx \frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2}</math>

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \approx \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x- \Delta x,t)}{(\Delta x)^2} </math>

ou seja:

<math>\frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2} = c^2 \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta x)^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi </math>

isso nos leva a equação final:

<math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta,t) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi </math>

chamarei <math>\alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x} </math> e <math> \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar} </math>

portanto, <math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\alpha^2 \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) - \beta^2 \psi </math>

ou, mais usualmente: <math>\psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 ( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \beta^2 \psi </math>

== ESTABILIDADE ==

Para analisar a estabilidade do método utilizaremos os Modos de Furrier.

<math> \psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 \left( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n \right) - \beta^2 \psi_i^n </math>.

sendo <math>\psi_i^n = A^n e^{i k i \Delta x} </math> o Modo de Furrier.

Substituímos <math>\psi_i^n, \psi_{i+1}^n</math>, e <math>\psi_{i-1}^n </math>na equação:

<math>\psi_{i+1}^n = A^n e^{i k (i+1) \Delta x} = A^n e^{i k i \Delta x} e^{i k \Delta x}</math>

<math>\psi_{i-1}^n = A^n e^{i k (i-1) \Delta x} = A^n e^{i k i \Delta x} e^{-i k \Delta x}</math>

Usamos a identidade <math> e^{i k \Delta x} + e^{-i k \Delta x} = 2 \cos(k \Delta x) </math>:

<math> A^{n+1} = 2A^n - A^{n-1} + \alpha^2 \left[ 2 \cos(k \Delta x) - 2 \right] A^n - \beta^2 A^n </math>

Fatoramos:

<math> A^{n+1} = \left( 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) \right) A^n - A^{n-1}. </math>

A relação de recorrência é:

<math> A^{n+1} - \lambda A^n + A^{n-1} = 0 </math>

onde

<math> \lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) </math>.

Definimos <math> \mu= |\frac{A^{n+1}}{A^n} | </math> como sendo o fator de amplificação. Assim, a equação fica <math> \mu A^n=\lambda A^n - A^n \frac{A^{n-1}}{A^n} </math>

Dividindo tudo por <math> A^n </math> : <math> \mu = \lambda - \frac{1}{\mu} </math>

Portanto, a equação característica associada é:

<math> \mu^2 - \lambda \mu + 1 = 0 </math>

onde <math> \mu </math> são as raízes que representam o fator de amplificação <math> \mu= |\frac{A^{n+1}}{A^n} | </math>.

Para que o método seja estável, as raízes <math>\mu</math> devem satisfazer <math>\|\mu| \leq 1</math>. Isso é garantido se o discriminante da equação característica satisfizer:

<math> \lambda^2 - 4 \leq 0 </math>.

Substituímos <math>\lambda </math>:

<math> \left( 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) \right)^2 - 4 \leq 0 </math>.

O caso crítico ocorre para o maior valor de <math>cos(k \Delta x)</math>, que é <math>cos(k \Delta x) = 1</math>, e o menor valor, <math>cos(k \Delta x) = -1</math>:

<math>cos(k \Delta x) = 1 </math>:

<math>\lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2</math>.

Isso simplifica para:

<math> \lambda = 2 - \beta^2 </math>

Para estabilidade:

<math> (2 - \beta^2)^2 - 4 \leq 0 </math>.

<math> \beta \geq 0 </math>.

Para <math> cos(k \Delta x) = -1</math>:

<math>\lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 - 2\alpha^2</math>.

<math> \lambda = 2 - 4\alpha^2 - \beta^2 </math>.

Ou seja, para que seja estável:

<math> (2 - 4\alpha^2 - \beta^2)^2 - 4 \leq 0 </math>.

Após expandir:

<math> \alpha \geq \frac{\beta}{2} </math>.

A condição de estabilidade combinada é:

<math> \alpha \geq \frac{\beta}{2} </math>
e <math> \beta \geq 2 </math> .

Essas desigualdades controlam os passos de tempo e espaço, garantindo a estabilidade do método.

== C.C e C.I ==

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condilções iniciais e de contorno:

<math> \psi(x,0) = Ae^{-\frac{x-x_0}{2\sigma^2}}</math> que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e <math>\frac{\partial \psi(x,0)}{\partial t} =0 </math> que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, <math> x_0 </math> é a posição central do pulso e <math> \sigma </math> é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que <math>\psi(0,t)= 0 </math> e <math>\psi(L,t)=0 </math> o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas:

[[Arquivo:Klein 2.gif]]

Equação de Klein-Gordon

2025-01-07T13:19:42Z

Eduardoleite: /* ESTABILIDADE */

== INTRODUÇÃO ==
A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os mésons, em seu modelo básico) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein <math>E=p^2c^2 + m^2c^4 </math>. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

<math> \left( \Box + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right) \psi(x,t)= 0 </math>

onde <math> \left( \Box = \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} -\nabla^2 \right) </math> é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

<math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \psi - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math>

<math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math> (em uma dimensão)

== MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ==

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos <math>\Delta t </math> criando uma sequência de pontos <math>t_n=n\Delta t </math>. Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos <math>\Delta x </math> criando uma sequência de pontos <math>x_i=i\Delta x </math>.
Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}</math> e <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \approx \frac{u_i^{n+1} - 2u_i^n + u_i^{n-1}}{(\Delta t)^2} </math> para o tempo.

<math>\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1}^n - u_i^n}{\Delta x} e \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2} </math> para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2} \approx \frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2}</math>

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \approx \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x- \Delta x,t)}{(\Delta x)^2} </math>

ou seja:

<math>\frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2} = c^2 \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta x)^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi </math>

isso nos leva a equação final:

<math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta,t) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi </math>

chamarei <math>\alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x} </math> e <math> \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar} </math>

portanto, <math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\alpha^2 \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) - \beta^2 \psi </math>

ou, mais usualmente: <math>\psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 ( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \beta^2 \psi </math>

== ESTABILIDADE ==

Para analisar a estabilidade do método utilizaremos os Modos de Furrier.

<math> \psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 \left( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n \right) - \beta^2 \psi_i^n </math>.

sendo <math>\psi_i^n = A^n e^{i k i \Delta x} </math> o Modo de Furrier.

Substituímos <math>\psi_i^n, \psi_{i+1}^n</math>, e <math>\psi_{i-1}^n </math>na equação:

<math>\psi_{i+1}^n = A^n e^{i k (i+1) \Delta x} = A^n e^{i k i \Delta x} e^{i k \Delta x}</math>

<math>\psi_{i-1}^n = A^n e^{i k (i-1) \Delta x} = A^n e^{i k i \Delta x} e^{-i k \Delta x}</math>

Usamos a identidade <math> e^{i k \Delta x} + e^{-i k \Delta x} = 2 \cos(k \Delta x) </math>:

<math> A^{n+1} = 2A^n - A^{n-1} + \alpha^2 \left[ 2 \cos(k \Delta x) - 2 \right] A^n - \beta^2 A^n </math>

Fatoramos:

<math> A^{n+1} = \left( 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) \right) A^n - A^{n-1}. </math>

A relação de recorrência é:

<math> A^{n+1} - \lambda A^n + A^{n-1} = 0 </math>

onde

<math> \lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) </math>.

Definimos <math> \mu= |\frac{A^{n+1}}{A^n} | </math> como sendo o fator de amplificação. Assim, a equação fica <math> \mu A^n=\lambda A^n - A^n \frac{A^{n-1}}{A^n} </math>

Dividindo tudo por <math> A^n </math> : <math> \mu = \lambda - \frac{1}{\mu} </math>

Portanto, a equação característica associada é:

<math> \mu^2 - \lambda \mu + 1 = 0 </math>

onde <math> \mu </math> são as raízes que representam o fator de amplificação <math> \mu= |\frac{A^{n+1}}{A^n} | </math>.

Para que o método seja estável, as raízes <math>\mu</math> devem satisfazer <math>\|\mu| \leq 1</math>. Isso é garantido se o discriminante da equação característica satisfizer:

<math> \lambda^2 - 4 \leq 0 </math>.

Substituímos <math>\lambda </math>:

<math> \left( 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) \right)^2 - 4 \leq 0 </math>.

O caso crítico ocorre para o maior valor de <math>cos(k \Delta x)</math>, que é <math>cos(k \Delta x) = 1</math>, e o menor valor, <math>cos(k \Delta x) = -1</math>:

<math>cos(k \Delta x) = 1 </math>:

<math>\lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2</math>.

Isso simplifica para:

<math> \lambda = 2 - \beta^2 </math>

Para estabilidade:

<math> (2 - \beta^2)^2 - 4 \leq 0 </math>.

<math> \beta \geq 2 </math>.

Para <math> cos(k \Delta x) = -1</math>:

<math>\lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 - 2\alpha^2</math>.

<math> \lambda = 2 - 4\alpha^2 - \beta^2 </math>.

Ou seja, para que seja estável:

<math> (2 - 4\alpha^2 - \beta^2)^2 - 4 \leq 0 </math>.

Após expandir:

<math> \alpha \geq -\frac{\beta}{2} </math>.

A condição de estabilidade combinada é:

<math> \alpha \geq -\frac{\beta}{2} </math>
e <math> \beta \geq 2 </math> .

Essas desigualdades controlam os passos de tempo e espaço, garantindo a estabilidade do método.

== C.C e C.I ==

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condilções iniciais e de contorno:

<math> \psi(x,0) = Ae^{-\frac{x-x_0}{2\sigma^2}}</math> que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e <math>\frac{\partial \psi(x,0)}{\partial t} =0 </math> que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, <math> x_0 </math> é a posição central do pulso e <math> \sigma </math> é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que <math>\psi(0,t)= 0 </math> e <math>\psi(L,t)=0 </math> o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas:

[[Arquivo:Klein 2.gif]]

Equação de Klein-Gordon

2025-01-07T13:19:06Z

Eduardoleite: /* ESTABILIDADE */

== INTRODUÇÃO ==
A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os mésons, em seu modelo básico) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein <math>E=p^2c^2 + m^2c^4 </math>. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

<math> \left( \Box + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right) \psi(x,t)= 0 </math>

onde <math> \left( \Box = \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} -\nabla^2 \right) </math> é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

<math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \psi - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math>

<math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math> (em uma dimensão)

== MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ==

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos <math>\Delta t </math> criando uma sequência de pontos <math>t_n=n\Delta t </math>. Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos <math>\Delta x </math> criando uma sequência de pontos <math>x_i=i\Delta x </math>.
Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}</math> e <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \approx \frac{u_i^{n+1} - 2u_i^n + u_i^{n-1}}{(\Delta t)^2} </math> para o tempo.

<math>\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1}^n - u_i^n}{\Delta x} e \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2} </math> para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2} \approx \frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2}</math>

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \approx \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x- \Delta x,t)}{(\Delta x)^2} </math>

ou seja:

<math>\frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2} = c^2 \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta x)^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi </math>

isso nos leva a equação final:

<math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta,t) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi </math>

chamarei <math>\alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x} </math> e <math> \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar} </math>

portanto, <math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\alpha^2 \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) - \beta^2 \psi </math>

ou, mais usualmente: <math>\psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 ( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \beta^2 \psi </math>

== ESTABILIDADE ==

Para analisar a estabilidade do método utilizaremos os Modos de Furrier.

<math> \psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 \left( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n \right) - \beta^2 \psi_i^n </math>.

sendo <math>\psi_i^n = A^n e^{i k i \Delta x} </math> o Modo de Furrier.

Substituímos <math>\psi_i^n, \psi_{i+1}^n</math>, e <math>\psi_{i-1}^n </math>na equação:

<math>\psi_{i+1}^n = A^n e^{i k (i+1) \Delta x} = A^n e^{i k i \Delta x} e^{i k \Delta x}</math>

<math>\psi_{i-1}^n = A^n e^{i k (i-1) \Delta x} = A^n e^{i k i \Delta x} e^{-i k \Delta x}</math>

Usamos a identidade <math> e^{i k \Delta x} + e^{-i k \Delta x} = 2 \cos(k \Delta x) </math>:

<math> A^{n+1} = 2A^n - A^{n-1} + \alpha^2 \left[ 2 \cos(k \Delta x) - 2 \right] A^n - \beta^2 A^n </math>

Fatoramos:

<math> A^{n+1} = \left( 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) \right) A^n - A^{n-1}. </math>

A relação de recorrência é:

<math> A^{n+1} - \lambda A^n + A^{n-1} = 0 </math>

onde

<math> \lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) </math>.

Definimos <math> \mu= |\frac{A^{n+1}}{A^n} | </math> como sendo o fator de amplificação. Assim, a equação fica <math> \mu A^n=\lambda A^n - A^n \frac{A^{n-1}}{A^n} </math>

Dividindo tudo por <math> A^n </math> : <math> \mu = \lambda - \frac{1}{\mu} </math>

Portanto, a equação característica associada é:

<math> \mu^2 - \lambda \mu + 1 = 0 </math>

onde <math> \mu </math> são as raízes que representam o fator de amplificação <math> \mu= |\frac{A^{n+1}}{A^n} | </math>.

Para que o método seja estável, as raízes <math>\mu</math> devem satisfazer <math>\|\mu| \leq 1</math>. Isso é garantido se o discriminante da equação característica satisfizer:

<math> \lambda^2 - 4 \leq 0 </math>.

Substituímos <math>\lambda </math>:

<math> \left( 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) \right)^2 - 4 \leq 0 </math>.

O caso crítico ocorre para o maior valor de <math>cos(k \Delta x)</math>, que é <math>cos(k \Delta x) = 1</math>, e o menor valor, <math>cos(k \Delta x) = -1</math>:

<math>cos(k \Delta x) = 1 </math>:

<math>\lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2</math>.

Isso simplifica para:

<math> \lambda = 2 - \beta^2 </math>

Para estabilidade:

<math> (2 - \beta^2)^2 - 4 \leq 0 </math>.

<math> \beta \geq 2 </math>.

Para <math> cos(k \Delta x) = -1</math>:

<math>\lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 - 2\alpha^2</math>.

<math> \lambda = 2 - 4\alpha^2 - \beta^2 </math>.

Ou seja, para que seja estável:

<math> (2 - 4\alpha^2 - \beta^2)^2 - 4 \leq 0 </math>.

Após expandir:

<math> \alpha \geq -\frac{\beta}{2} </math>.

A condição de estabilidade combinada é:

<math> \alpha \geq -\frac{\beta}{2} </math> e <math> \beta \geq 2 </math>.

Essas desigualdades controlam os passos de tempo e espaço, garantindo a estabilidade do método.

== C.C e C.I ==

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condilções iniciais e de contorno:

<math> \psi(x,0) = Ae^{-\frac{x-x_0}{2\sigma^2}}</math> que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e <math>\frac{\partial \psi(x,0)}{\partial t} =0 </math> que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, <math> x_0 </math> é a posição central do pulso e <math> \sigma </math> é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que <math>\psi(0,t)= 0 </math> e <math>\psi(L,t)=0 </math> o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas:

[[Arquivo:Klein 2.gif]]

Equação de Klein-Gordon

2025-01-07T13:18:43Z

Eduardoleite: /* ESTABILIDADE */

== INTRODUÇÃO ==
A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os mésons, em seu modelo básico) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein <math>E=p^2c^2 + m^2c^4 </math>. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

<math> \left( \Box + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right) \psi(x,t)= 0 </math>

onde <math> \left( \Box = \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} -\nabla^2 \right) </math> é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

<math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \psi - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math>

<math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math> (em uma dimensão)

== MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ==

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos <math>\Delta t </math> criando uma sequência de pontos <math>t_n=n\Delta t </math>. Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos <math>\Delta x </math> criando uma sequência de pontos <math>x_i=i\Delta x </math>.
Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}</math> e <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \approx \frac{u_i^{n+1} - 2u_i^n + u_i^{n-1}}{(\Delta t)^2} </math> para o tempo.

<math>\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1}^n - u_i^n}{\Delta x} e \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2} </math> para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2} \approx \frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2}</math>

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \approx \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x- \Delta x,t)}{(\Delta x)^2} </math>

ou seja:

<math>\frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2} = c^2 \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta x)^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi </math>

isso nos leva a equação final:

<math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta,t) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi </math>

chamarei <math>\alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x} </math> e <math> \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar} </math>

portanto, <math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\alpha^2 \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) - \beta^2 \psi </math>

ou, mais usualmente: <math>\psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 ( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \beta^2 \psi </math>

== ESTABILIDADE ==

Para analisar a estabilidade do método utilizaremos os Modos de Furrier.

<math> \psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 \left( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n \right) - \beta^2 \psi_i^n </math>.

sendo <math>\psi_i^n = A^n e^{i k i \Delta x} </math> o Modo de Furrier.

Substituímos <math>\psi_i^n, \psi_{i+1}^n</math>, e <math>\psi_{i-1}^n </math>na equação:

<math>\psi_{i+1}^n = A^n e^{i k (i+1) \Delta x} = A^n e^{i k i \Delta x} e^{i k \Delta x}</math>

<math>\psi_{i-1}^n = A^n e^{i k (i-1) \Delta x} = A^n e^{i k i \Delta x} e^{-i k \Delta x}</math>

Usamos a identidade <math> e^{i k \Delta x} + e^{-i k \Delta x} = 2 \cos(k \Delta x) </math>:

<math> A^{n+1} = 2A^n - A^{n-1} + \alpha^2 \left[ 2 \cos(k \Delta x) - 2 \right] A^n - \beta^2 A^n </math>

Fatoramos:

<math> A^{n+1} = \left( 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) \right) A^n - A^{n-1}. </math>

A relação de recorrência é:

<math> A^{n+1} - \lambda A^n + A^{n-1} = 0 </math>

onde

<math> \lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) </math>.

Definimos <math> \mu= |\frac{A^{n+1}}{A^n} | </math> como sendo o fator de amplificação. Assim, a equação fica <math> \mu A^n=\lambda A^n - A^n \frac{A^{n-1}}{A^n} </math>

Dividindo tudo por <math> A^n </math> : <math> \mu = \lambda - \frac{1}{\mu} </math>

Portanto, a equação característica associada é:

<math> \mu^2 - \lambda \mu + 1 = 0 </math>

onde <math> \mu </math> são as raízes que representam o fator de amplificação <math> \mu= |\frac{A^{n+1}}{A^n} | </math>.

Para que o método seja estável, as raízes <math>\mu</math> devem satisfazer <math>\|\mu| \leq 1</math>. Isso é garantido se o discriminante da equação característica satisfizer:

<math> \lambda^2 - 4 \leq 0 </math>.

Substituímos <math>\lambda </math>:

<math> \left( 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) \right)^2 - 4 \leq 0 </math>.

O caso crítico ocorre para o maior valor de <math>cos(k \Delta x)</math>, que é <math>cos(k \Delta x) = 1</math>, e o menor valor, <math>cos(k \Delta x) = -1</math>:

<math>cos(k \Delta x) = 1 </math>:

<math>\lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2</math>.

Isso simplifica para:

<math> \lambda = 2 - \beta^2 </math>

Para estabilidade:

<math> (2 - \beta^2)^2 - 4 \leq 0 </math>.

<math> \beta \geq 2 </math>.

Para <math> cos(k \Delta x) = -1</math>:

<math>\lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 - 2\alpha^2</math>.

<math> \lambda = 2 - 4\alpha^2 - \beta^2 </math>.

Ou seja, para que seja estável:

<math> (2 - 4\alpha^2 - \beta^2)^2 - 4 \leq 0 </math>.

Após expandir:

<math> \alpha \geq -\frac{\beta}{2} </math>.

A condição de estabilidade combinada é:

<math> \alpha \geq -\frac{\beta}{2} </math> e <math> \beta \geq 2 </math>.

Essas desigualdades controlam os passos de tempo e espaço, garantindo a estabilidade do método.

== C.C e C.I ==

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condilções iniciais e de contorno:

<math> \psi(x,0) = Ae^{-\frac{x-x_0}{2\sigma^2}}</math> que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e <math>\frac{\partial \psi(x,0)}{\partial t} =0 </math> que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, <math> x_0 </math> é a posição central do pulso e <math> \sigma </math> é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que <math>\psi(0,t)= 0 </math> e <math>\psi(L,t)=0 </math> o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas:

[[Arquivo:Klein 2.gif]]

Equação de Klein-Gordon

2025-01-07T13:18:12Z

Eduardoleite: /* ESTABILIDADE */

== INTRODUÇÃO ==
A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os mésons, em seu modelo básico) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein <math>E=p^2c^2 + m^2c^4 </math>. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

<math> \left( \Box + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right) \psi(x,t)= 0 </math>

onde <math> \left( \Box = \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} -\nabla^2 \right) </math> é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

<math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \psi - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math>

<math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math> (em uma dimensão)

== MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ==

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos <math>\Delta t </math> criando uma sequência de pontos <math>t_n=n\Delta t </math>. Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos <math>\Delta x </math> criando uma sequência de pontos <math>x_i=i\Delta x </math>.
Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}</math> e <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \approx \frac{u_i^{n+1} - 2u_i^n + u_i^{n-1}}{(\Delta t)^2} </math> para o tempo.

<math>\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1}^n - u_i^n}{\Delta x} e \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2} </math> para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2} \approx \frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2}</math>

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \approx \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x- \Delta x,t)}{(\Delta x)^2} </math>

ou seja:

<math>\frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2} = c^2 \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta x)^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi </math>

isso nos leva a equação final:

<math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta,t) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi </math>

chamarei <math>\alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x} </math> e <math> \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar} </math>

portanto, <math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\alpha^2 \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) - \beta^2 \psi </math>

ou, mais usualmente: <math>\psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 ( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \beta^2 \psi </math>

== ESTABILIDADE ==

Para analisar a estabilidade do método utilizaremos os Modos de Furrier.

<math> \psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 \left( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n \right) - \beta^2 \psi_i^n </math>.

sendo <math>\psi_i^n = A^n e^{i k i \Delta x} </math> o Modo de Furrier.

Substituímos <math>\psi_i^n, \psi_{i+1}^n</math>, e <math>\psi_{i-1}^n </math>na equação:

<math>\psi_{i+1}^n = A^n e^{i k (i+1) \Delta x} = A^n e^{i k i \Delta x} e^{i k \Delta x}</math>

<math>\psi_{i-1}^n = A^n e^{i k (i-1) \Delta x} = A^n e^{i k i \Delta x} e^{-i k \Delta x}</math>

Usamos a identidade <math> e^{i k \Delta x} + e^{-i k \Delta x} = 2 \cos(k \Delta x) </math>:

<math> A^{n+1} = 2A^n - A^{n-1} + \alpha^2 \left[ 2 \cos(k \Delta x) - 2 \right] A^n - \beta^2 A^n </math>

Fatoramos:

<math> A^{n+1} = \left( 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) \right) A^n - A^{n-1}. </math>

A relação de recorrência é:

<math> A^{n+1} - \lambda A^n + A^{n-1} = 0 </math>

onde

<math> \lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) </math>.

Definimos <math> \mu= |\frac{A^{n+1}}{A^n} | </math> como sendo o fator de amplificação. Assim, a equação fica <math> \mu A^n=\lambda A^n - A^n \frac{A^{n-1}}{A^n} </math>

Dividindo tudo por <math> A^n </math> : <math> \mu = \lambda - \frac{1}{\mu} </math>

Portanto, a equação característica associada é:

<math> \mu^2 - \lambda \mu + 1 = 0 </math>

onde <math> \mu </math> são as raízes que representam o fator de amplificação <math> \mu= |\frac{A^{n+1}}{A^n} | </math>.

Para que o método seja estável, as raízes <math>\mu</math> devem satisfazer <math>\|\mu| \leq 1</math>. Isso é garantido se o discriminante da equação característica satisfizer:

<math> \lambda^2 - 4 \leq 0 </math>.

Substituímos <math>\lambda </math>:

<math> \left( 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) \right)^2 - 4 \leq 0 </math>.

O caso crítico ocorre para o maior valor de <math>cos(k \Delta x)</math>, que é <math>cos(k \Delta x) = 1</math>, e o menor valor, <math>cos(k \Delta x) = -1</math>:

<math>cos(k \Delta x) = 1 </math>:

<math>\lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2</math>.

Isso simplifica para:

<math> \lambda = 2 - \beta^2 </math>

Para estabilidade:

<math> (2 - \beta^2)^2 - 4 \leq 0 </math>.

<math> \beta \geq 2 </math>.

Para <math> cos(k \Delta x) = -1</math>:

<math>\lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 - 2\alpha^2</math>.

<math> \lambda = 2 - 4\alpha^2 - \beta^2 </math>.

Ou seja, para que seja estável:

<math> (2 - 4\alpha^2 - \beta^2)^2 - 4 \leq 0 </math>.

Após expandir:

<math> \alpha \geq -\frac{\beta}{2} </math>.

A condição de estabilidade combinada é:

<math> \alpha \geq -\frac{\beta}{2} \text{e} \beta \geq 2 </math>.

Essas desigualdades controlam os passos de tempo e espaço, garantindo a estabilidade do método.

== C.C e C.I ==

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condilções iniciais e de contorno:

<math> \psi(x,0) = Ae^{-\frac{x-x_0}{2\sigma^2}}</math> que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e <math>\frac{\partial \psi(x,0)}{\partial t} =0 </math> que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, <math> x_0 </math> é a posição central do pulso e <math> \sigma </math> é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que <math>\psi(0,t)= 0 </math> e <math>\psi(L,t)=0 </math> o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas:

[[Arquivo:Klein 2.gif]]

Equação de Klein-Gordon

2025-01-07T13:16:12Z

Eduardoleite: /* ESTABILIDADE */

== INTRODUÇÃO ==
A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os mésons, em seu modelo básico) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein <math>E=p^2c^2 + m^2c^4 </math>. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

<math> \left( \Box + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right) \psi(x,t)= 0 </math>

onde <math> \left( \Box = \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} -\nabla^2 \right) </math> é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

<math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \psi - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math>

<math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math> (em uma dimensão)

== MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ==

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos <math>\Delta t </math> criando uma sequência de pontos <math>t_n=n\Delta t </math>. Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos <math>\Delta x </math> criando uma sequência de pontos <math>x_i=i\Delta x </math>.
Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}</math> e <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \approx \frac{u_i^{n+1} - 2u_i^n + u_i^{n-1}}{(\Delta t)^2} </math> para o tempo.

<math>\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1}^n - u_i^n}{\Delta x} e \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2} </math> para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2} \approx \frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2}</math>

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \approx \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x- \Delta x,t)}{(\Delta x)^2} </math>

ou seja:

<math>\frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2} = c^2 \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta x)^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi </math>

isso nos leva a equação final:

<math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta,t) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi </math>

chamarei <math>\alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x} </math> e <math> \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar} </math>

portanto, <math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\alpha^2 \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) - \beta^2 \psi </math>

ou, mais usualmente: <math>\psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 ( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \beta^2 \psi </math>

== ESTABILIDADE ==

Para analisar a estabilidade do método utilizaremos os Modos de Furrier.

<math> \psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 \left( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n \right) - \beta^2 \psi_i^n </math>.

sendo <math>\psi_i^n = A^n e^{i k i \Delta x} </math> o Modo de Furrier.

Substituímos <math>\psi_i^n, \psi_{i+1}^n</math>, e <math>\psi_{i-1}^n </math>na equação:

<math>\psi_{i+1}^n = A^n e^{i k (i+1) \Delta x} = A^n e^{i k i \Delta x} e^{i k \Delta x}</math>

<math>\psi_{i-1}^n = A^n e^{i k (i-1) \Delta x} = A^n e^{i k i \Delta x} e^{-i k \Delta x}</math>

Usamos a identidade <math> e^{i k \Delta x} + e^{-i k \Delta x} = 2 \cos(k \Delta x) </math>:

<math> A^{n+1} = 2A^n - A^{n-1} + \alpha^2 \left[ 2 \cos(k \Delta x) - 2 \right] A^n - \beta^2 A^n </math>

Fatoramos:

<math> A^{n+1} = \left( 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) \right) A^n - A^{n-1}. </math>

A relação de recorrência é:

<math> A^{n+1} - \lambda A^n + A^{n-1} = 0 </math>

onde

<math> \lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) </math>.

Definimos <math> \mu= |\frac{A^{n+1}}{A^n} | </math> como sendo o fator de amplificação. Assim, a equação fica <math> \mu A^n=\lambda A^n - A^n \frac{A^{n-1}}{A^n} </math>

Dividindo tudo por <math> A^n </math> : <math> \mu = \lambda - \frac{1}{\mu} </math>

Portanto, a equação característica associada é:

<math> \mu^2 - \lambda \mu + 1 = 0 </math>

onde <math> \mu </math> são as raízes que representam o fator de amplificação <math> \mu= |\frac{A^{n+1}}{A^n} | </math>.

Para que o método seja estável, as raízes <math>\mu</math> devem satisfazer <math>\|\mu| \leq 1</math>. Isso é garantido se o discriminante da equação característica satisfizer:

<math> \lambda^2 - 4 \leq 0 </math>.

Substituímos <math>\lambda </math>:

<math> \left( 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) \right)^2 - 4 \leq 0 </math>.

O caso crítico ocorre para o maior valor de <math>cos(k \Delta x)</math>, que é <math>cos(k \Delta x) = 1</math>, e o menor valor, <math>cos(k \Delta x) = -1</math>:

<math>cos(k \Delta x) = 1 </math>:

<math>\lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2</math>.

Isso simplifica para:

<math> \lambda = 2 - \beta^2 </math>

Para estabilidade:

<math> (2 - \beta^2)^2 - 4 \leq 0 </math>.

<math> \beta \geq 2 </math>.

Para <math> cos(k \Delta x) = -1</math>:

<math>\lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 - 2\alpha^2</math>.

<math> \lambda = 2 - 4\alpha^2 - \beta^2 </math>.

Ou seja, para que seja estável:

<math> (2 - 4\alpha^2 - \beta^2)^2 - 4 \leq 0 </math>.

Após expandir:

<math> \alpha \geq -\frac{\beta}{2} </math>.

A condição de estabilidade combinada é:

<math> 4\alpha^2 + \beta^2 \leq 4 \quad \text{e} \quad \beta^2 \leq 2 </math>.

Essas desigualdades controlam os passos de tempo e espaço, garantindo a estabilidade do método.

== C.C e C.I ==

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condilções iniciais e de contorno:

<math> \psi(x,0) = Ae^{-\frac{x-x_0}{2\sigma^2}}</math> que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e <math>\frac{\partial \psi(x,0)}{\partial t} =0 </math> que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, <math> x_0 </math> é a posição central do pulso e <math> \sigma </math> é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que <math>\psi(0,t)= 0 </math> e <math>\psi(L,t)=0 </math> o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas:

[[Arquivo:Klein 2.gif]]

Equação de Klein-Gordon

2025-01-07T13:14:12Z

Eduardoleite: /* ESTABILIDADE */

== INTRODUÇÃO ==
A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os mésons, em seu modelo básico) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein <math>E=p^2c^2 + m^2c^4 </math>. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

<math> \left( \Box + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right) \psi(x,t)= 0 </math>

onde <math> \left( \Box = \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} -\nabla^2 \right) </math> é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

<math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \psi - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math>

<math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi</math> (em uma dimensão)

== MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ==

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos <math>\Delta t </math> criando uma sequência de pontos <math>t_n=n\Delta t </math>. Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos <math>\Delta x </math> criando uma sequência de pontos <math>x_i=i\Delta x </math>.
Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}</math> e <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \approx \frac{u_i^{n+1} - 2u_i^n + u_i^{n-1}}{(\Delta t)^2} </math> para o tempo.

<math>\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1}^n - u_i^n}{\Delta x} e \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2} </math> para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2} \approx \frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2}</math>

<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \approx \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x- \Delta x,t)}{(\Delta x)^2} </math>

ou seja:

<math>\frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2} = c^2 \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta x)^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi </math>

isso nos leva a equação final:

<math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta,t) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi </math>

chamarei <math>\alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x} </math> e <math> \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar} </math>

portanto, <math>\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\alpha^2 \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) - \beta^2 \psi </math>

ou, mais usualmente: <math>\psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 ( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \beta^2 \psi </math>

== ESTABILIDADE ==

Para analisar a estabilidade do método utilizaremos os Modos de Furrier.

<math> \psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 \left( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n \right) - \beta^2 \psi_i^n </math>.

sendo <math>\psi_i^n = A^n e^{i k i \Delta x} </math> o Modo de Furrier.

Substituímos <math>\psi_i^n, \psi_{i+1}^n</math>, e <math>\psi_{i-1}^n </math>na equação:

<math>\psi_{i+1}^n = A^n e^{i k (i+1) \Delta x} = A^n e^{i k i \Delta x} e^{i k \Delta x}</math>

<math>\psi_{i-1}^n = A^n e^{i k (i-1) \Delta x} = A^n e^{i k i \Delta x} e^{-i k \Delta x}</math>

Usamos a identidade <math> e^{i k \Delta x} + e^{-i k \Delta x} = 2 \cos(k \Delta x) </math>:

<math> A^{n+1} = 2A^n - A^{n-1} + \alpha^2 \left[ 2 \cos(k \Delta x) - 2 \right] A^n - \beta^2 A^n </math>

Fatoramos:

<math> A^{n+1} = \left( 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) \right) A^n - A^{n-1}. </math>

A relação de recorrência é:

<math> A^{n+1} - \lambda A^n + A^{n-1} = 0 </math>

onde

<math> \lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) </math>.

Definimos <math> \mu= |\frac{A^{n+1}}{A^n} | </math> como sendo o fator de amplificação. Assim, a equação fica <math> \mu A^n=\lambda A^n - A^n \frac{A^{n-1}}{A^n} </math>

Dividindo tudo por <math> A^n </math> : <math> \mu = \lambda - \frac{1}{\mu} </math>

Portanto, a equação característica associada é:

<math> \mu^2 - \lambda \mu + 1 = 0 </math>

onde <math> \mu </math> são as raízes que representam o fator de amplificação <math> \mu= |\frac{A^{n+1}}{A^n} | </math>.

Para que o método seja estável, as raízes <math>\mu</math> devem satisfazer <math>\|\mu| \leq 1</math>. Isso é garantido se o discriminante da equação característica satisfizer:

<math> \lambda^2 - 4 \leq 0 </math>.

Substituímos <math>\lambda </math>:

<math> \left( 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2 \cos(k \Delta x) \right)^2 - 4 \leq 0 </math>.

O caso crítico ocorre para o maior valor de <math>cos(k \Delta x)</math>, que é <math>cos(k \Delta x) = 1</math>, e o menor valor, <math>cos(k \Delta x) = -1</math>:

<math>cos(k \Delta x) = 1 </math>:

<math>\lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha^2</math>.

Isso simplifica para:

<math> \lambda = 2 - \beta^2 </math>

Para estabilidade:

<math> (2 - \beta^2)^2 - 4 \leq 0 </math>.

<math> \beta \geq 2 </math>.

Para <math> cos(k \Delta x) = -1</math>:

<math>\lambda = 2 - 2\alpha^2 - \beta^2 - 2\alpha^2</math>.

<math> \lambda = 2 - 4\alpha^2 - \beta^2 </math>.

Ou seja, para que seja estável:

<math> (2 - 4\alpha^2 - \beta^2)^2 - 4 \leq 0 </math>.

Após expandir:

<math> 4\alpha^2 + \beta^2 \leq 4 </math>.

A condição de estabilidade combinada é:

<math> 4\alpha^2 + \beta^2 \leq 4 \quad \text{e} \quad \beta^2 \leq 2 </math>.

Essas desigualdades controlam os passos de tempo e espaço, garantindo a estabilidade do método.

== C.C e C.I ==

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condilções iniciais e de contorno:

<math> \psi(x,0) = Ae^{-\frac{x-x_0}{2\sigma^2}}</math> que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e <math>\frac{\partial \psi(x,0)}{\partial t} =0 </math> que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, <math> x_0 </math> é a posição central do pulso e <math> \sigma </math> é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que <math>\psi(0,t)= 0 </math> e <math>\psi(L,t)=0 </math> o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas:

[[Arquivo:Klein 2.gif]]