Equação de Burgers

2021-10-05T16:10:40Z

Eduardoe995: /* Velocidade de Choque */

'''Grupo: Eduardo Pedroso, Luis Gustavo Lang Gaiato e William Machado Pantaleão'''

Um dos maiores desafios no campo dos [https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_system sistemas complexos] é a compreensão do fenômeno de turbulência. Simulações computacionais contribuíram bastante para o entendimento dessa área, no entanto, ainda não existe nenhuma teoria que explique com sucesso esse comportamento e permita prever outros importantes fenômenos como misturas, convecção e combustão turbulentas, com base nas equações fundamentais da dinâmica de fluidos. Isso se deve ao fato de que a equação para os fluidos mais simples (incompressíveis) já deve levar em consideração propriedades não lineares <ref name=White> F. M. White, Viscous Fluid Flow, 3rd ed. New York, NY: McGraw-Hill Professional, 2005.
</ref>. Da [https://en.wikipedia.org/wiki/Navier%E2%80%93Stokes_equations equação de Navier–Stokes]:

<math> \frac{\partial}{\partial t}v(x,t) + \nabla \cdot v(x,t) = -\nabla p(x,t) + \nu\Delta v(x,t) </math>

<math> \nabla \cdot v(x,t) = 0 </math>

Devido à incompressibilidade, a pressão <math>p</math> é definida pela [https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson%27s_equation equação de Poisson]:

<math> \Delta p(x,t) = -\nabla \cdot v(x,t) \cdot \nabla v(x,t)) </math>

Em 1939 o cientista alemão Johannes Martinus Burgers simplificou a equação de Navier-Stokes, removendo o termo de pressão. A equação ficou conhecida como equação de Burgers. Em uma dimensão, onde <math>u</math> corresponde ao campo de velocidades e <math>\nu</math> ao coeficiente de difusão:

<math> \frac{\partial}{\partial t}u(x,t) + u(x,t)\frac{\partial}{\partial x}u(x,t) = \nu\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}u(x,t) </math>

A equação de Burgers é não linear e, portanto, espera-se um comportamento similar ao da turbulência. No entanto, foi demonstrado posteriormente que a equação de Burgers homogênea, não possuí a propriedade mais importante atribuída ao fenômeno de turbulência: o comportamento caótico em relação à pequenas mudanças nas condições iniciais. Utilizando a ''transformação de Hopf-Cole'', que transforma a equação de Burgers em uma equação parabólica linear é possível observar essa característica <ref name=Hopf>Hopf, E. (1950). The partial differential equation ut + uux = μxx. Communications on Pure and Applied Mathematics, 3(3), 201–230. doi:10.1002/cpa.3160030302</ref>.

Do ponto de vista numérico, isso é bastante importante, pois permite a comparação das soluções da equação não linear numérica com o resultado analítico. Dessa forma, pode-se investigar a qualidade do método numérico utilizado.

== A transformação de Hopf-Cole ==
A transformação de Hopf-cole mapeia a solução da equação de Burgers na equação do calor <ref name=Hopf></ref> <ref name=Evans>Evans, Lawrence C. (2010). Partial differential equations. [S.l.]: Providence, R.I. : American Mathematical Society. pp. 175–176</ref> <ref name='Meyland'>
Meylan, M., 2020. Nonlinear PDE Meylan. Lecture 12. [online] Youtube.com. Disponível em: <https://youtu.be/CsnUKrLjtyQ> [Acessado em 30 Setembro de 2021] </ref>:

<math> \frac{\partial}{\partial t}\psi(x,t)=\nu \Delta \psi(x,t) </math>

Escrevendo a equação, para uma certa condição inicial <math>F(x)</math>:

<math> \frac{\partial}{\partial t}u(x,t) + u(x,t)\frac{\partial}{\partial x}u(x,t) = \nu\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}u(x,t) </math>

<math> u(x,0)=F(x) </math>

Assim, reescrevendo a equação:

<math> \frac{\partial}{\partial t}u(x,t) + \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{(u(x,t))^{2}}{2}-\nu \frac{\partial}{\partial x}u(x,t)\right) = 0 </math>

Busca-se uma solução <math> \psi(x,t) </math> que satisfaça:

<math> \left\{\begin{array}{l}
\cfrac{\partial \psi}{\partial x}=u\\
\cfrac{\partial \psi}{\partial t}=\nu \cfrac{\partial}{\partial x}u - \cfrac{u^{2}}{2}
\end{array}\right. </math>

Como:

<math> \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial \psi}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial \psi}{\partial x} </math>

Tem-se, que:

<math> \frac{\partial\psi}{\partial t} = \nu\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}} -\frac{1}{2}\left(\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)^{2} </math>

Aplicando a transformação de Hopf-Cole:

<math> \psi=-2\nu\ln{(\phi)} </math>

Assim, os seguintes resultados são obtidos:

<math> \frac{\partial\psi}{\partial x} = -\frac{2\nu}{\phi}\left(\frac{\partial \phi}{\partial x}\right) </math>

<math> \frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}} = \frac{2\nu}{\phi^{2}}\left(\frac{\partial \phi}{\partial x}\right)^{2} - \frac{2\nu}{\phi}\left(\frac{\partial^{2} \phi}{\partial x^{2}}\right) </math>

<math> \frac{\partial\psi}{\partial t} = -\frac{2\nu}{\phi}\left(\frac{\partial \phi}{\partial t}\right) </math>

Dessa forma:

<math> \frac{\partial\psi}{\partial t} = \nu \frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^{2}} - \frac{1}{2}\left(\frac{\partial \psi}{\partial x}\right)^{2} \rightarrow -\frac{2\nu}{\phi}\left(\frac{\partial \phi}{\partial t}\right) = \frac{2\nu^{2}}{\phi^{2}}\left(\frac{\partial \phi}{\partial x}\right)^{2}-\frac{2\nu^{2}}{\phi}\left(\frac{\partial^{2} \phi}{\partial x^{2}}\right)-\frac{1}{2}\left[\frac{2\nu}{\phi}\left(\frac{\partial \phi}{\partial x}\right)\right]^{2} </math>

<math> \implies \frac{\partial \phi}{\partial t} = \nu\frac{\partial^{2} \phi}{\partial x^{2}} </math>

A equação se torna a própria [https://en.wikipedia.org/wiki/Diffusion_equation equação de difusão]. É necessário, no entanto, transformar também as condições de contorno; assim:

<math> F(x)=u(x,0)=-\frac{2\nu}{\phi(x,0)}\left(\frac{\partial \phi(x,0)}{\partial x}\right) </math>

Podendo ser reescrito como:

<math> \rightarrow \frac{d}{dx}\ln{(\phi)}=-\frac{1}{2\nu}F(x)</math>

Cuja solução:

<math> \phi(x,0)=\Phi(x)=\exp{\left(-\frac{1}{2\nu}\int_{0}^{x}F(s)ds\right)}</math>

Dessa forma, é preciso resolver:

<math> \left\{\begin{array}{l}
\cfrac{\partial \phi}{\partial t}=\nu\frac{\partial^{2} \phi}{\partial x^{2}}\\
\phi(x,0)=\Phi(x)
\end{array}\right. </math>

Utilizando a [https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform transformada de Fourier]:

<math> \left\{\begin{array}{l}
\cfrac{\partial \hat{\phi}}{\partial t}=-k^{2}\nu\hat{\phi}\\
\hat{\phi}(k,0)=\hat{\Phi}(k)
\end{array}\right. </math>

Cuja solução:

<math> \hat{\phi}(k,t)=\hat{\Phi}(k)e^{-k\nu t} </math>

Aplicando o [https://en.wikipedia.org/wiki/Convolution_theorem teorema da convolução]:

<math> \phi(x,t)=\Phi(x)\mathcal{F}^{-1}\left[e^{-k^{2}\nu t}\right] = \frac{1}{2\sqrt{\pi\nu t}}\int_{-\infty}^{\infty}\Phi(y)e^{\frac{(x-y)^{2}}{4\nu t}}dy </math>

<math> \implies \phi(x,t)=\frac{1}{2\sqrt{\pi\nu t}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{f}{2\nu}}dy </math>

Onde:

<math> f(x,y,t)=\frac{1}{2\nu}\int_{0}^{y}F(s)ds + \frac{(x-y)^{2}}{2t} </math>

Em <math>u</math>:

<math> \rightarrow u(x,t)=-\frac{2\nu}{\phi(x,t)}\left(\frac{\partial \phi(x,t)}{\partial x}\right) </math>

<math> \implies u(x,t)=\frac{\int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{x-y}{t}\right)e^{-\frac{f}{2\nu}}dy}{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{f}{2\nu}}dy} </math>

Onde:

<math> f(x,y,t)=\frac{1}{2\nu}\int_{0}^{y}F(s)ds + \frac{(x-y)^{2}}{2t} </math>

== Modelo de Deposição - Crescimento de Interfaces ==
[[Arquivo:kpzgrow.gif|275px|thumb|right|'''Figura 1''': Modelo de deposição balística (pertencente à família dos modelos KPZ). O modelo é como um tetris onde os blocos caem e se fixam no primeiro contato <ref name='Halpin'> Halpin-Healy, T., 2015. KPZ growth model - ballistic deposition (BD). [online] Youtube.com. Disponível em: <https://youtu.be/pdeswgu9rS8> [Acessado em 30 Setembro de 2021] </ref>.]]
Um exemplo de aplicação é no crescimento de interfaces por deposição, já que a equação de Burgers é equivalente a equação conhecida como, [https://en.wikipedia.org/wiki/Kardar%E2%80%93Parisi%E2%80%93Zhang_equation ''equação de Kardar-Parisi-Zhang''] (equação ''KPZ''), um modelo de crescimento de uma superfície sólida por deposição de vapor (ou erosão de material de uma superfície sólida), que mostra a evolução da altura da camada com o tempo <ref name=Reis>Reis, F. D. A. A. Depinning transitions in interface growth models. Brazilian journal of physics, v. 33, n. 3, p. 501–513, 2003</ref>.

<math>\frac{\partial}{\partial t} h(x, t)-\frac{1}{2}\left(\nabla h(x, t)\right)^{2}=\nu \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} h(x, t)+F(x, t)</math>

A equação é obtida a partir da equação de [https://en.wikipedia.org/wiki/Advection advecção simples] para uma superfície <math>z=h(x,t)</math> se movimentando com velocidade <math>U(x,t)</math>:

<math>\frac{\partial}{\partial t} h(x, t) + U \cdot \nabla h(x,t)=0</math>

A velocidade é assumida como sendo proporcional ao gradiente de <math>h(x,t)</math> (superfície evolui na direção do gradiente). A difusão da superfície é descrita pelo termo de difusão.

A equação KPZ é obtida a partir da equação Burgers, no passo imediato à aplicação da transformação de Hopf-Colem.

== Solução de Onda Viajante ==
Pode-se ainda, encontrar uma solução para a equação de Burgers na forma de uma onda viajante. Assim:

<math>u(x,t)=w(\Delta x - st)\equiv w(y)</math>

Dessa forma:

<math> \frac{\partial}{\partial t} u(x,t) = -sw^{\prime} </math>

<math> \frac{\partial}{\partial x} u(x,t) = w^{\prime}
</math>

<math> \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} u(x,t) = w^{\prime\prime} </math>

Substituindo na equação de Burgers:

<math> -s w^{\prime}+w w^{\prime}=\nu u^{\prime \prime}
</math>

<math> -s w^{\prime}+\left(\frac{w^{2}}{2}\right)^{\prime}=\nu
w^{\prime\prime} \rightarrow -s w+\frac{w^{2}}{2}=\nu w^{\prime}+C </math>

Impondo condições em <math>\pm\infty</math>, tais que:

<math> \left\{\begin{array}{l}
w(-\infty)=u_{E}\\
w(\infty)=u_{D}\\
w^{\prime}(\pm\infty)=0
\end{array}\right. </math>

Onde <math>u_{E}>u_{D}</math>. Dessa forma, tem-se que:

<math> -s u_{E}+\frac{u_{E}^{2}}{2}=C=-s u_{D}+\frac{u_{D}^{2}}{2} \implies s=\frac{u_{E}+u_{D}}{2}</math>

<math> C=-u_{E}u_{D}/2 </math>

Desse modo, a velocidade de choque é a mesma para o caso de viscosidade nula <math>\left(\nu=0\right)</math>. Continuando:

<math> \nu w^{\prime}=\frac{w^{2}}{2}-\frac{u_{E}+u_{D}}{2} w+\frac{u_{E} u_{D}}{2} </math>

<math> \frac{d y}{2 \nu}=\frac{d w}{w^{2}-\left(u_{E}+u_{D}\right) u+u_{E} u_{D}} </math>

<math> \implies \frac{d y}{2 \nu}=\frac{d w}{\left(w-\cfrac{u_{E}+u_{D}}{2}\right)^{2}-\cfrac{\left(u_{E}-u_{D}\right)^{2}}{4}} </math>

Integrando ambas as partes, utilizando que:

<math> \int \frac{d w}{(w-a)^{2}-b^{2}}=\frac{1}{2 b} \ln \left|\frac{w-a-b}{w-a+b}\right| </math>

<math> \implies \frac{y}{2 \nu}+C=\frac{1}{u_{E}-u_{D}} \ln \left|\frac{w-\cfrac{u_{E}+u_{D}}{2}-\cfrac{u_{E}-u_{D}}{2}}{w-\cfrac{u_{E}+u_{D}}{2}+\cfrac{u_{E}-u_{D}}{2}}\right| </math>

<math> =\frac{1}{u_{E}-u_{D}} \ln \left|\frac{w-u_{E}}{w-u_{D}}\right|=\frac{1}{u_{E}-u_{D}} \ln{\left(\frac{u_{E}-w}{w-u_{D}}\right)} </math>

Utilizando o fato de que <math>u_{E}>w>u_{D}</math>:

<math> \frac{y}{2 \nu}+C = \frac{1}{u_{E}-u_{D}} \ln{\left(\frac{u_{E}-w}{w-u_{D}}\right)} </math>

Portanto:

<math> \frac{u_{E}-w}{w-u_{D}}=\exp{\left[{\frac{y\left(u_{E}-u_{D}\right)}{2 \nu}+C}\right]} </math>

<math> u_{E}-w=w e^{\alpha}-u_{D} e^{\alpha} \rightarrow w\left(e^{\alpha}+1\right)=u_{E}+u_{D}e^{\alpha} </math>

<math> \implies w=\frac{u_{E}+u_{D} e^{\alpha}}{e^{\alpha}+1}=u_{D}+\frac{u_{E}-u_{D}}{2} \frac{2}{e^{\alpha}+1} </math>

Onde:

<math> \alpha=\frac{y\left(u_{L}-u_{R}\right)}{2 \nu}+C </math>

Multiplicando e dividindo por <math>\exp{(-\alpha/2)}</math>:

<math> \frac{2 e^{-\alpha / 2}}{e^{\alpha / 2}+e^{-\alpha / 2}}=1-\frac{e^{\alpha / 2}-e^{-\alpha / 2}}{e^{\alpha / 2}+e^{-\alpha / 2}}=1-\tanh{\left(\frac{\alpha}{2}\right)} </math>

Dessa forma:

<math> w(y)=\frac{u_{D}+u_{E}}{2}-\frac{u_{E}-u_{R}}{2} \tanh \left(\frac{y\left(u_{E}-u_{D}\right)}{4 \nu}+C\right) </math>

Portanto:

<math> u(x, t)=\frac{u_{D}+u_{E}}{2}-\frac{u_{E}-u_{D}}{2} \tanh \left(\frac{\left(\Delta x-s t\right)\left(u_{E}-u_{D}\right)}{4 \nu}\right) </math>

=== Gráfico ===

O perfil da função <math>w(y)</math> pode ser plotado para diferentes viscosidades. Sabe-se, que conforme a viscosidade se aproxima de zero (fluido invíscido) a função se aproxima de uma função degrau de argumento <math>x-st</math> (ver [[#Apêndice|Apêndice]]).

[[Arquivo:Shockwaveee.gif|1024px|thumb|center|'''Figura 2''': Os perfis da solução da equação de Burgers víscida para, uD=0, uE=1, x0=0 e ν variando de 0.4 a 0.02 em 50 passos. Nota-se, que a função se aproxima de uma função degrau quando ν->0.]]

O gráfico pode ser construido utilizando o código em [https://www.python.org/ ''Python''] abaixo.

<source lang="python">

# -*- coding: utf-8 -*-
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.cm as cm
from matplotlib.animation import FuncAnimation
from matplotlib.lines import Line2D
import numpy as np
from numpy import ndarray
from typing import Any

u, v, x0 = 0, 1, 0 # define-se os parametros iniciais u=u_D, v=u_E

def w(y:ndarray, nu:float): # funcao w(y)
arg = (y*(v-u))/(4*nu)
return((u+v)/2 - ((v-u)/2) *np.tanh(arg))

fig = plt.figure(figsize=(12.8, 3.7), dpi=80) # resolucao da gráfico
ax = plt.axes(xlim=(-2, 2), ylim=(0, 1), # características dos eixos
xlabel=r'$y$', ylabel=r'$w(y)$')
line, = ax.plot([], [], lw=3) # cria-se um obejto 'Line' de 2D
plt.title('Perfis da Equação '+r'$w(y)$'+ # titulo do grafico
' para Diferentes Viscosidades')

def init(): # funcao que inicia a animacao caso o frame=0 seja vazio
line.set_data([], [])
return line,

def animate(frame, *fargs: Any) -> tuple[Line2D]: # função que plota os gráficos
c = 0 # inicializa a variavel
y = np.linspace(-2,2,100) # cria um array de valores para y
nu_list = np.linspace(0.4,0.02,50) # cria um array de valores de viscosidade
w_arr = w(y, nu_list[frame]) # cria o array de w(y, nu)
colour = iter(cm.rainbow(np.linspace(0,2,110))) # iteravel utilizado para as cores

for k in range(frame + 1): # avanca o objeto iteravel em (frame + 1) vezes
c = next(colour)
plt.plot(y, w_arr, color=c) # faz com que as linhas sejam mantidas entre frames
ax.text(1, 0.9, r'$\nu = $'+f'{nu_list[frame]:.3f}', fontsize=15, # adiciona nu
bbox=dict(edgecolor='white', facecolor='white', alpha=1))
line.set_color(c) # define a cor da linha com base no iteravel atualizado
line.set_data(y, w_arr) # define o novo conjunto de dados
return(line,) # retorna o objeto iteravel [Linha2D]

anim = FuncAnimation(fig, animate, init_func=init, # funcao que produz a animacao
frames=50, interval=100, blit=True) # 50 frames com intervalo de 0.1s
anim.save('shockwaveee.gif', writer='imagemagick') # gera um .GIF (e renderizacao)

</source>

== Velocidade de Choque ==
Tomando a viscosidade como nula, a equação de Burgers pode ser reescrita como<ref name=Cameron>Cameron, M. Notes on Burgers's Equation. University of Maryland, 2021</ref>:

<math> \frac{\partial u(x,t)}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x}\frac{u^{2}}{2} = 0 </math>

Cuja solução é dada na forma e uma onda viajante:

<math> u(x,t)=V(\Delta x - st) </math>

Onde <math>V(y)</math> é uma função degrau:

<math> \left\{\begin{array}{l}
u_{E}\text{ para } y<0\\
u_{D}\text{ para } y>0
\end{array}\right. </math>

Onde <math>u_{E}>u_{D}</math>. Essa onda é chamada de [https://en.wikipedia.org/wiki/Shock_wave onda de choque], e possui velocidade de propagação <math>s</math>. Por conservação, [https://en.wikipedia.org/wiki/Rankine%E2%80%93Hugoniot_conditions#The_jump_condition The condição de salto]:

<math> \frac{d}{d t} \int_{-M}^{M} u(x, t) d x=\int_{-M}^{M}-u u_{x} d x=-\left.\frac{u^{2}}{2}\right|_{-M} ^{M}=\frac{u_{L}^{2}}{2}-\frac{u_{R}^{2}}{2} </math>

Por outro lado:

<math> \int_{-M}^{M} u(x, t) d x=(M+s t) u_{L}+(M-s t) u_{R} </math>

Portanto:

<math> \frac{d}{d t} \int_{-M}^{M} u(x, t) d x=s\left(u_{L}-u_{R}\right) </math>

Dessa forma:

<math> s=\left(\frac{u_{L}^{2}}{2}-\frac{u_{R}^{2}}{2}\right) /\left(u_{L}-u_{R}\right)=\frac{u_{L}+u_{R}}{2} </math>

O caso generalizado da velocidade de propagação de uma onda de choque é conhecido como [https://en.wikipedia.org/wiki/Rankine%E2%80%93Hugoniot_conditions condição de Rankine-Hugoniot], e pode ser obtido, desse resultado, pela aplicação das leis de conservação hiperbólicas:

<math> \frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x} f(u)=0 </math>

Assim:

<math> s=\frac{f\left(u_{L}\right)-f\left(u_{R}\right)}{u_{L}-u_{R}} = \frac{\text{salto em }f(u)}{\text{salto em }u} </math>

A condição de Rankine-Hugoniot, onde o salto da função é definido como choque.

== Métodos Numéricos ==
Discretizando a equação de Burgers para um fluido víscido, a partir da abordagem FTCS ([https://en.wikipedia.org/wiki/FTCS_scheme ''Foward Time Central Space'']), com a derivada à direita:

<math> \cfrac{\partial}{\partial{t}}u(x,t) = \cfrac{u(x,t+\Delta t) - u(x,t)}{\Delta t} +\mathcal{O}(\Delta t^{2}) </math>

<math> \cfrac{\partial^{2}}{\partial{x^{2}}}u(x,t) = \cfrac{u(x+\Delta x, t) - 2u(x,t) + u(x-\Delta x,t)}{(\Delta t)^{2}} +\mathcal{O}(\Delta x^{3}) </math>

Se:

<math> \left\{\begin{array}{l}
u(x, t) := U_{i}^{n}\\
u(x, t+\Delta t) := U_{i}^{n+1}\\
u(x+\Delta x, t) := U_{i+1}^{n}
\end{array}\right. </math>

<math> \implies \cfrac{\partial{u}}{\partial{t}}+u\cfrac{\partial{u}}{\partial{x}}=\nu\cfrac{\partial^{2}{U}}{\partial{x^{2}}} \longrightarrow \cfrac{U_{i}^{n+1}-U_{i}^{n}}{\Delta t} + U_{i}^{n}\cfrac{U_{i}^{n}-U_{i-1}^{n}}{\Delta x} = \nu\cfrac{U_{i+1}^{n}-2U_{i}^{n}+U_{i-1}^{n}}{(\Delta x)^{2}} </math>

<math> \longrightarrow U_{i}^{n+1} = U_{i}^{n} - U_{i}^{n}\cfrac{\Delta t}{\Delta x}(U_{i}^{n}-U_{i-1}^{n})+\nu\cfrac{\Delta t}{(\Delta x)^{2}}(U_{i+1}^{n}-2U_{i}^{n}+U_{i-1}^{n}) </math>

=== Conservação ===
Um dos problemas no cálculo de soluções descontinuas para equações como a de Burgers pode ser exemplificado da seguinte forma; supondo a equação de Burgers na forma ''quasi''-linear com viscosidade nula:<ref name=Cameron></ref>

<math> \frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} = 0 </math>

Com condições iniciais:

<math> u(x, 0)=u_{0}(x)= \begin{cases}1, & x<0 \\ 0, & x \geq 0\end{cases} </math>

Pela discretização feita anteriormente:

<math> U_{i}^{n+1} = U_{i}^{n} - U_{i}^{n}\cfrac{\Delta t}{\Delta x}(U_{i}^{n}-U_{i-1}^{n})+\nu\cfrac{\Delta t}{(\Delta x)^{2}}(U_{i+1}^{n}-2U_{i}^{n}+U_{i-1}^{n}) </math>

Pelas condições iniciais, <math>U_{j}^{0}=1</math> para <math>j<0</math> e <math>U_{j}^{0}=0</math> para <math>j\geq 0</math>:

<math> U_{j}^{1}= \begin{cases}1-\frac{\Delta t}{\Delta x} 1(1-1)=1, & j<0 \\ 0-\frac{\Delta t}{\Delta x} 0\left(0-U_{j-1}^{0}\right)=0, & j \geq 0\end{cases} </math>

Como resultado, <math>U_{j}^{1}=U_{j}^{0}</math>. Dessa forma, <math>U_{j}^{n}=U_{j}^{0}</math>; isso significa que o método propaga a descontinuidade (onda de choque) com a velocidade incorreta, <math>s=0</math>; ou seja, não ocorre propagação após o choque.

==== Método Conservativo ====
A partir da discretização para o caso víscido, se <math>\nu=0</math>, então:

<math>U_{i}^{n+1} = U_{i}^{n} - U_{i}^{n}\cfrac{\Delta t}{\Delta x}(U_{i}^{n}-U_{i-1}^{n})</math>

Assim como para o caso anterior, esse método não é conservativo e é adequado apenas para soluções que não possuem descontinuidades. Considerando a [https://en.wikipedia.org/wiki/Conservation_law lei de conservação]:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x}f(u) = 0</math>

Discretizando:

<math>U_{i}^{n+1}=U_{i}^{n}-\frac{\Delta t}{\Delta x}\left[f\left(U_{i}^{n}\right)-f\left(U_{i-1}^{n}\right)\right]</math>

Onde a função <math>f</math> corresponde à uma função de <math>p+q+1</math> argumentos, chamada de fluxo numérico <ref name=Cameron></ref> <ref name=Mikel>Landajuela, M. Burgers Equation. Basque Center for Applied Mathematics, 2011</ref> <ref name=LeVeque>LeVeque, Randall J. (1992). Numerical Methods for Conservation Laws (PDF). Boston: Birkhäuser. p. 125. ISBN 0-8176-2723-5.</ref>. Assim, para <math>p=1</math>, <math>q=0</math> e <math>F(U,V)=f(u)</math>:

<math>U_{i}^{n+1}=U_{i}^{n}-\frac{\Delta t}{\Delta x}\left[\frac{1}{2}\left(U_{i}^{n}\right)^{2}-\frac{1}{2}\left(U_{i-1}^{n}\right)^{2}\right]</math>

=== Lax-Friedrichs ===
O método de [https://en.wikipedia.org/wiki/Lax%E2%80%93Friedrichs_method Lax-Friedrichs] para sistemas não lineares possui a forma:

<math>U_{i}^{n+1}=\frac{1}{2}\left(U_{i-1}^{n}+U_{i+1}^{n}\right)-\frac{k}{2 h}\left[f\left(U_{i+1}^{n}\right)-f\left(U_{i-1}^{n}\right)\right]</math>

Para o caso da equação de Burgers invíscida:

<math>U_{i}^{n+1}=\frac{1}{2}\left(U_{i-1}^{n}+U_{i+1}^{n}\right)-\frac{\Delta t}{2 \Delta x}\left[\frac{1}{2}\left(U_{i+1}^{n}\right)^{2}-\frac{1}{2}\left(U_{i-1}^{n}\right)^{2}\right]</math>

=== Lax-Wendroff ===
O método de [https://en.wikipedia.org/wiki/Lax%E2%80%93Friedrichs_method Lax-Wendroff] é um método de segunda ordem e possui a forma <ref name=LeVeque></ref><ref name=Mikel></ref>:

<math>U_{i}^{n+1}=U_{i+1}^{n}-\frac{k}{2 h}\left(f\left(U_{i+1}^{n}\right)-f\left(U_{i-1}^{n}\right)\right)+\frac{k^{2}}{2 h^{2}}\left[A_{i+\frac{1}{2}}\left(f\left(U_{i+1}^{n}\right)-f\left(U_{i}^{n}\right)\right)-A_{i-\frac{1}{2}}\left(f\left(U_{i}^{n}\right)-f\left(U_{i-1}^{n}\right)\right)\right]</math>

Onde <math>A_{j\pm\frac{1}{2}}</math> corresponde à matriz jacobiana <math>A(u)=f^{\prime}(u)</math>, avaliada em <math>1/2(U_{i}^{n}+U_{j\pm1}^{n})</math>. Para a equação de Burgers (invíscida) <math>f^{\prime}(u)=u</math>, assim:

<math>U_{i}^{n+1}= U_{i+1}^{n}-\frac{k}{2 h}\left(\frac{1}{2}\left(U_{i+1}^{n}\right)^{2}-\frac{1}{2}\left(U_{i-1}^{n}\right)^{2}\right)+</math>

<math>\frac{k^{2}}{2 h^{2}}\left[\left(\frac{1}{2}\left(U_{i}^{n}+U_{i+1}^{n}\right)\right)\left(\frac{1}{2}\left(U_{i+1}^{n}\right)^{2}-\frac{1}{2}\left(U_{i}^{n}\right)^{2}\right)-\left(\frac{1}{2}\left(U_{i}^{n}+U_{i-1}^{n}\right)\right)\left(\frac{1}{2}\left(U_{i}^{n}\right)^{2}-\frac{1}{2}\left(U_{i-1}^{n}\right)^{2}\right)\right]</math>

=== Método parabólico ===
Considerando a equação de Burgers víscida com <math>f(u)=u^{2}/2</math>, na forma <ref name=Mikel></ref>:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x}f(u) = \epsilon\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}</math>

Integrando de <math>x_{j-1/2}</math> até <math>x_{j+1/2}</math>:

<math>\int_{x_{j-1 / 2}}^{x_{j+1 / 2}} \frac{\partial u}{\partial t} d x-\left[\epsilon \frac{\partial u}{\partial x}\right]_{x_{j-1 / 2}}^{x_{j+1 / 2}}=-[f(u)]_{x_{j-1 / 2}}^{x_{j+1 / 2}}</math>

Aproximando-se cada termo da equação acima tem-se que, para o primeiro termo:

<math>\int_{x_{j-1 / 2}}^{x_{j+1 / 2}} \frac{\partial u}{\partial t} d x \approx \frac{d u}{d t}\left(x_{j}, t\right) h</math>

Para o segundo:

<math>-\left[\epsilon \frac{\partial u}{\partial x}\right]_{x_{j-1 / 2}}^{x_{j+1 / 2}}=\epsilon\left[\frac{\partial u}{\partial x}\left(x_{j-1 / 2}, t\right)-\frac{\partial u}{\partial x}\left(x_{j+1 / 2}, t\right)\right]</math>

<math>\implies -\left[\epsilon \frac{\partial u}{\partial x}\right]_{x_{j-1 / 2}}^{x_{j+1 / 2}} \approx \epsilon\left[\frac{u\left(x_{j}, t\right)-u\left(x_{j-1}, t\right)}{h}-\frac{u\left(x_{j+1}, t\right)-u\left(x_{j}, t\right)}{h}\right] = -\epsilon \frac{u\left(x_{j+1}, t\right)-2 u\left(x_{j}, t\right)+u\left(x_{j-1}, t\right)}{h}</math>

Para o terceiro:

<math>-[f(u)]_{x_{j-1 / 2}}^{x_{j+1 / 2}}=f\left(u\left(x_{j-1 / 2}, t\right)\right)-f\left(u\left(x_{j+1 / 2}, t\right)\right)</math>

Substituindo as aproximações na expressão completa e definindo <math>U_{j}(t)\equiv u(x_{j},t)</math>:

<math>\frac{d U_{j}}{d t}-\epsilon \frac{U_{j+1}-2 U_{j}+U_{j-1}}{h^{2}}=\frac{f\left(U_{j-\frac{1}{2}}\right)-f\left(U_{j+\frac{1}{2}}\right)}{h}</math>

Discretizando a derivada em relação a tempo por um método FTCS:

<math>U_{j}^{n+1}=U_{j}^{n}+k\left(\epsilon \frac{U_{j+1}^{n}-2 U_{j}^{n}+U_{j-1}^{n}}{h^{2}}-\frac{f\left(U_{j+\frac{1}{2}}^{n}\right)-f\left(U_{j-\frac{1}{2}}\right)}{h}\right)</math>

Onde <math>f(U_{j\pm\frac{1}{2}})</math> é calculada numericamente como a média entre <math>f(U_{j})</math> e <math>f(U_{j\pm 1})</math>.

== Implementação ==
Foram implementados quatro métodos: para o caso víscido, FTCS não conservativo e o método parabólico; para o caso invíscido, FTCS não conservativo e FTCS conservativo. Definindo a condição de contorno periódica <math>U_{i=0}^{n}=u_{i_{max}}^{n}</math>, e utilizando as condições iniciais:

Caso 1:

<math>u(x, t)= \begin{cases}1, & x \leq 1 \\ 0, & x>1\end{cases}</math>

Caso 2:

<math>\left\{\begin{array}{l}
u_{i}^{n=0}=\frac{-2 \nu}{\phi(x, \nu)}\left(\frac{\partial \phi(x, \nu)}{\partial x}\right)+4 \\
\phi=e^{\left(\frac{-x^{2}}{4 \nu}\right)+e^{\left[\frac{-(x-2 \pi)^{2}}{4 \nu}\right]}}
\end{array}\right.</math>

Derivando <math>\phi</math> e substituindo na equação:

<math>\implies u_{i}^{n=0} = -\cfrac{x}{2\nu}e^{\left(\cfrac{-x^{2}}{4\nu}\right)}-\cfrac{(x-2\pi)}{2\nu}e^{\left[\cfrac{-(x-2\pi)^{2}}{4\nu}\right]}</math>

Cuja solução analítica é

<math>\left\{\begin{array}{l}
u_{i}^{n}=\frac{-2 \nu}{\phi(x, \nu)}\left(\frac{\partial \phi(x, \nu)}{\partial x}\right)+4 \\
\phi=e^{\left(\frac{-(x-4 t)^{2}}{4 \nu(t+1)}\right)+e^{\left[\frac{-(x-4 t-2 \pi)^{2}}{4 \nu(t+1)}\right]}}
\end{array}\right.</math>

Derivando <math>\phi</math> e substituindo na equação:

<math>u_{i}^{n}=-\frac{(x-4 t)}{2 \nu(t+1)} e^{-\left(\frac{(x-4 t)^{2}}{4 \nu(t+1)}\right)}-\frac{(x-4 t-2 \pi)}{2 \nu(t+1)} e^{\left[\frac{-(x-4 t-2 \pi)^{2}}{4 \nu(t+1)}\right]}</math>

=== Importando os Módulos Utilizados ===

<source lang="python">

# -*- coding: utf-8 -*-
from math import pi, exp
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.cm as cm

Array2D = np.ndarray # typing...
</source>

=== Burgers FTCS Víscido Não Conservativo ===

<source lang="python">

def burgers(nt:int, nx:int, tmax:float, xmax:float, v:float, caso:int) -> tuple:
# incrementos
dt = tmax/(nt-1) # no tempo
dx = xmax/(nx-1) # no espaco

# arrays
u = np.zeros((nx, nt)) # velocidade
x = np.zeros(nx)
ipos = np.zeros(nx)
ineg = np.zeros(nx)

# condicoes de contorno periodicas
for i in range(0, nx): # i: 0, 1, ... nx-2, nx-1, nx
x[i] = i*dx
ipos[i] = i+1 # 1, 2, ... nx-2, nx+1
ineg[i] = i-1 # -1, 0, ... nx-2, nx-1

ipos[-1] = 0 # ipos[nx-1] = 0, u_{n+1}
ineg[0] = nx-1 # u_{n-1}

# condicoes iniciais
if caso == 1:
for i in range(0,nx):
if x[i] <= 1:
u[i,0] = 1
elif x[i] > 1:
u[i,0] = 0
elif caso == 2:
for i in range(0, nx):
phi = exp( -(x[i]**2)/(4*v) ) + exp( -(x[i]-2*pi)**2 / (4*v) )
dphi = (-(0.5*x[i]/v)*exp( -(x[i]**2) / (4*v) ) - (0.5*(x[i]-2*pi) / v )
*exp(-(x[i]-2*pi)**2 / (4*v) ))
u[i,0] = -2*v*(dphi/phi) + 4

# solucao numerica
for n in range(0, nt-1):
for i in range(0,nx):
u[i,n+1] = (u[i,n]-u[i,n]*(dt/dx)*(u[i,n]-u[int(ineg[i]),n])+
v*(dt/dx**2)*(u[int(ipos[i]),n]-2*u[i,n]+u[int(ineg[i]),n]))
return((u, x))
</source>

=== Burgers Víscido Parabólico ===

<source lang="python">

def burgParab(nt:int, nx:int, tmax:float, xmax:float, v:float, caso:int) -> tuple:
def f(u):
return((u**2)/2)
# incrementos
dt = tmax/(nt-1)
dx = xmax/(nx-1)

# arrays
u = np.zeros((nx,nt))
x = np.zeros(nx)
ipos = np.zeros(nx)
ineg = np.zeros(nx)

# condicoes de contorno periodicas
for i in range(0,nx):
x[i] = i*dx
ipos[i] = i+1
ineg[i] = i-1

ipos[nx-1] = 0
ineg[0] = nx-1

# condicoes iniciais
if caso == 1:
for i in range(0,nx):
if x[i] <= 1:
u[i,0] = 1
elif x[i] > 1:
u[i,0] = 0
elif caso == 2:
for i in range(0,nx):
phi = exp( -(x[i]**2)/(4*v) ) + exp( -(x[i]-2*pi)**2 / (4*v) )
dphi = (-(0.5*x[i]/v)*exp( -(x[i]**2) / (4*v) ) - (0.5*(x[i]-2*pi) / v )
*exp(-(x[i]-2*pi)**2 / (4*v) ))
u[i,0] = -2*v*(dphi/phi) + 4

# solucao numerica
for n in range(0,nt-1):
for i in range(0,nx):
fminus = 0.5*(f(u[i,n]) + f(u[int(ineg[i]),n]))
fplus = 0.5*(f(u[i,n]) + f(u[int(ipos[i]),n]))
u[i,n+1] = u[i,n]+dt*(v*((u[int(ipos[i]),n]-(2*u[i,n])+u[int(ineg[i]),n])/(dx**2))-(fplus-fminus)/dx)
return((u, x))
</source>

=== Burgers Víscido Analítico (Caso 2) ===

<source lang="python">

def burgers_analytical(nt:int, nx:int, tmax:float, xmax:float, v:float) -> tuple:
# incrementos
dt = tmax/(nt-1)
dx = xmax/(nx-1)

# arrays
u_a = np.zeros((nx, nt))
x = np.zeros(nx)
t = np.zeros(nt)

# len(x)
for i in range(0, nx):
x[i] = i*dx

# solucao analitica
for n in range(0, nt):
t = n*dt

for i in range(0, nx):
phi = (exp( -(x[i]-4*t)**2/(4*v*(t+1)) ) +
exp( -(x[i]-4*t-2*pi)**2/(4*v*(t+1)) ))

dphi = ( -0.5*(x[i]-4*t)/(v*(t+1))*exp( -(x[i]-4*t)**2/(4*v*(t+1)) )
-0.5*(x[i]-4*t-2*pi)/(v*(t+1))*exp( -(x[i]-4*t-2*pi)**2/(4*v*(t+1)) ) )

u_a[i,n] = -2*v*(dphi/phi) + 4

return((u_a, x))
</source>

=== Burgers FTCS Invíscido Não Conservativo ===

<source lang="python">

def burgInv(nt:int, nx:int, tmax:float, xmax:float) -> tuple:
# incrementos
dt = tmax/(nt-1)
dx = xmax/(nx-1)

# arrays
u = np.zeros((nx,nt))
x = np.zeros(nx)
ipos = np.zeros(nx)
ineg = np.zeros(nx)

# condicoes de contorno periodicas
for i in range(0,nx):
x[i] = i*dx
ipos[i] = i+1
ineg[i] = i-1

ipos[nx-1] = 0
ineg[0] = nx-1

# condicoes iniciais
for i in range(0,nx):
if x[i]<=1:
u[i,0] = 1
elif x[i]>1:
u[i,0] = 0

# solucao numerica
for n in range(0,nt-1):
for i in range(0,nx):
u[i,n+1] = (u[i,n]-u[i,n]*(dt/dx)*(u[i,n]-u[int(ineg[i]),n]))
return((u, x))
</source>

=== Burgers FTCS Invíscido Conservativo ===

<source lang="python">

def burgCons(nt:int, nx:int, tmax:float, xmax:float) -> tuple:
# incrementos
dt = tmax/(nt-1)
dx = xmax/(nx-1)

# arrays
u = np.zeros((nx,nt))
x = np.zeros(nx)
ipos = np.zeros(nx)
ineg = np.zeros(nx)

# condicoes de contorno periodicas
for i in range(0,nx):
x[i] = i*dx
ipos[i] = i+1
ineg[i] = i-1

ipos[nx-1] = 0
ineg[0] = nx-1

# condicoes iniciais
for i in range(0,nx):
if x[i]<=1:
u[i,0] = 1
elif x[i]>1:
u[i,0] = 0

# solucao numerica
for n in range(0,nt-1):
for i in range(0,nx):
u[i,n+1] = (u[i,n]-(dt/dx)*((1/2 * (u[i,n])**2)-(1/2 * (u[int(ineg[i]),n])**2)))
return((u, x))
</source>

=== Gráfico de <math>u</math> e <math>u_{a}</math> ''vs.'' <math>x</math> ===

<source lang="python">

def plot(u_a:Array2D, u:Array2D, x:list, nt:int, title:str):
plt.figure(figsize=(8, 6), dpi=80)
colour=iter(cm.rainbow(np.linspace(0, 20, nt)))
for n in range(0, nt, 20):
c=next(colour)
plt.plot(x, u[:, n], 'ko', markerfacecolor=c, alpha=0.5)
plt.plot(x, u_a[:, n], linestyle='-', c=c, label=f'i={n}')
plt.legend()
plt.xlabel(r'$x$')
plt.ylabel(r'$u$')
plt.ylim([0, 8.0])
plt.xlim([0, max(x)])
plt.title(title)
plt.show()
</source>

=== Gráfico de <math>u</math>, <math>u_{p}</math> e <math>u_{a}</math> ''vs.'' <math>x</math> na Última Iteração ===

<source lang="python">

def plotErro(u:Array2D, u_p:Array2D, u_a:Array2D, x:list, v:float):
plt.plot(x, u[:,-10], label='Burgers', color='blue')
plt.plot(x, u_a[:,-10], label='Analítico', color='red')
plt.plot(x, u_p[:,-10], label='Parabólico', color='green')
plt.legend()
plt.xlabel(r'$x$')
plt.ylabel(r'$u$')
plt.title('Última Interação com ' + r'$\nu=$' + f'{v}')
plt.show()
</source>

=== Gráfico 3D Invíscido (Caso 1) ===

<source lang="python">

def plot3D(num:int, arr:Array2D, xmax:int, tmax:int, n:int, nx:int, title:str, cond:int) -> None:
w_arr = np.zeros((num,len(arr[:,-1])))
x_arr = np.zeros((num,len(arr[:,-1])))
for i in range(num):
if cond == 0:
w, x_res = burgInv(nt, nx, n*i/num, xmax)
elif cond == 1:
w, x_res = burgCons(nt, nx, n*i/num, xmax)
elif cond == 2:
w, x_res = burgParab(nt, nx, n*i/num, xmax, 0.1,2)
elif cond == 3:
w, x_res = burgers(nt, nx, n*i/num, xmax, 0.1, 2)
w_arr[i] = w[:,-1]
x_arr[i] = x_res
ax = plt.axes(projection='3d')
times = np.zeros((num,1))
t = 0
dt = 0
for i in range(num):
times[i,0] = t + dt
dt += tmax/num
ax.plot_surface(x_arr, times, w_arr, rstride=1, cstride=1,
cmap='jet', edgecolor='none')
plt.title(title)
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('t')
ax.set_zlabel('u')
plt.show()
</source>

=== Exemplo de Utilização ===

Define-se <math>\nu=0.1</math>, <math>n_{t}=200</math>, <math>n_{x}=200</math>, <math>t_{max}=0.5</math> e <math>x_{max}=2\pi</math>:

<source lang="python">

nt, nx, tmax, xmax, v = 200, 200, 0.5, 2*pi, 0.1
</source>

Chama-se as funções de cálculo e constrói os gráficos:

<source lang="python">

u, x = burgers(nt, nx, tmax, xmax, v, 2) # ftcs nao conservativo
u_a, x = burgers_analytical(nt, nx, tmax, xmax, v) # ftcs analítico
u_p, x = burgParab(nt, nx, tmax, xmax, v, 2) # # ftcs parabolico
title = str(r'($\nu=$'+f'{v}, '+r'$n_t$'+f'={nt}, '+
r'$n_x$'+f'={nx}, '+r'$t_{max}$'+f'={tmax})')
plot(u_a, u, x, nt, 'Não Conservativo ' + title) # grafico de u e u_a vs. x
plot(u_a, u_p, x, nt, 'Parabólico ' + title) # grafico de u_p e u_a vs. x
plotErro(u, u_p, u_a, x, v)
</source>

==== Como Resultado ====

<gallery class="center" mode=packed heights=275px>
U_ncon.png|Gráfico da solução numérica e analítica para a equação de Burgers víscida utilizando FTCS não conservativo.
U_parab.png|Gráfico da solução numérica e analítica para a equação de Burgers víscida utilizando o método parabólico.
Burgers_erro.png|Comparação da última iteração de dois métodos numéricos, FTCS não conservativo (Burgers) e parabólico, para a equação de Burgers víscida, com sua solução analítica.
</gallery>

É possível observar que o método não conservativo propaga a descontinuidade com velocidade incorreta, ao contrário do método parabólico. De fato, como demonstrado anteriormente (ver [[#Conserva.C3.A7.C3.A3o|Conservação]]), no caso em que <math>\nu=0</math>, pelo método não conservativo a velocidade é nula.

=== Para o Caso Invíscido ===

<source lang="python">

u_nc, x_nc = burgInv(nt, 100, 4, 2)
title = 'Burgers Invíscido (não conservativo) - Caso 1'
plot3D(200, u_nc, 2, 4, 2, 100, title, 0)

u_c, x_c = burgCons(nt, 100, 4, 2)
title = 'Burgers Invíscido (conservativo) - Caso 1'
plot3D(200, u_c, 2, 4, 2, 100, title, 1)
</source>

==== Como Resultado ====

<gallery class="center" mode=packed heights=350px>
U_inv_nc.png|Gráfico 3D da solução da equação de Burgers para o caso invíscido com método FTCS não conservativo.
U_inv_con.png|Gráfico 3D da solução da equação de Burgers para o caso invíscido com método FTCS conservativo.
</gallery>

É possível observar o comportamento discutido acima, quando <math>\nu=0</math> a descontinuidade não se propaga pelo método FTCS não conservativo; em oposição ao método conservativo, onde se propaga.

== Apêndice ==
O limite bilateral da função não existe no ponto na qual é centrada (assim como a função [https://en.wikipedia.org/wiki/Heaviside_step_function degrau de Heavisde]). Dessa forma, pode-se calcular o os dois limites unilaterais para entender o comportamento da função, assim:

<math>\lim _{\nu \rightarrow 0^{-}}\left(\frac{u_{D}+u_{E}}{2}-\frac{1}{2}(u_{E}-u_{D}) \tanh \left(\frac{y(u_{E}-u_{D})}{4 \nu}\right)\right) \text{ para } u_{D}<u_{E}</math>

<math>\lim _{\nu \rightarrow 0^{-}}\left(\frac{u_{E}+u_{D}}{2}-\frac{1}{2}(u_{E}-u_{D}) \tanh \left(\frac{y(u_{E}-u_{D})}{4 \nu}\right)\right)</math>

<math>\lim _{\nu \rightarrow 0^{-}}\left(\frac{u_{E}+u_{D}}{2}-\frac{1}{2} \tanh \left(\frac{y(u_{E}-u_{D})}{4 \nu}\right)(u_{E}-u_{D})\right)</math>

<math>\lim _{\nu \rightarrow 0^{-}}-\frac{1}{2} \tanh \left(\frac{y(u_{E}-u_{D})}{4 \nu}\right)(u_{E}-u_{D})+\left(\frac{u_{E}+u_{D}}{2}\right)</math>

Aplicando a regra do produto:

<math>\frac{\lim _{\nu \rightarrow 0^{-}} \tanh \left(\cfrac{y(u_{E}-u_{D})}{4 \nu}\right)(-u_{E}+u_{D})}{2}+\frac{u_{E}+u_{D}}{2}</math>

<math>\lim _{\nu \rightarrow 0^{-}} \tanh \left(\frac{y(u_{E}-u_{D})}{4 \nu}\right)=-1 \text{ para } u<u_{E} </math>

<math>\rightarrow \frac{u_{E}+u_{D}}{2}+\frac{(-u_{E}+u_{D})(-1)}{2}=\frac{u_{E}-u_{D}}{2}+\frac{u_{E}+u_{D}}{2}</math>

<math>\frac{u_{E}-u_{D}}{2}+\frac{u_{E}+u_{D}}{2}=u_{E} \text{ para } u_{D}<u_{E} </math>

<math>\implies \lim _{\nu \rightarrow 0^{-}}\left(\frac{u_{D}+u_{E}}{2}-\frac{1}{2}(u_{E}-u_{D}) \tanh \left(\frac{y(u_{E}-u_{D})}{4 \nu}\right)\right)=u_{E} \text{ para } u_{D}<u_{E}</math>

Para o segundo caso:

<math>\lim _{\nu \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{u_{E}+u_{D}}{2}-\frac{1}{2}(u_{E}-u_{D}) \tanh \left(\frac{y(u_{E}-u_{D})}{4 \nu}\right)\right)</math>

<math>\lim _{\nu \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{u_{E}+u_{D}}{2}-\frac{1}{2} \tanh \left(\frac{y(u_{E}-u_{D})}{4 \nu}\right)(u_{E}-u_{D})\right)</math>

<math>\lim _{\nu \rightarrow 0^{+}}-\frac{1}{2} \tanh \left(\frac{y(u_{E}-u_{D})}{4 \nu}\right)(u_{E}-u_{D})+\left(\frac{u_{E}+u_{D}}{2}\right)</math>

Aplicando a regra do produto:

<math>\frac{\lim _{\nu \rightarrow 0^{+}} \tanh \left(\cfrac{y(u_{E}-u_{D})}{4 \nu}\right)(-u_{E}+u_{D})}{2}+\frac{u_{E}+u_{D}}{2}</math>

<math>\lim _{\nu \rightarrow 0^{+}} \tanh \left(\frac{y(u_{E}-u_{D})}{4 \nu}\right)=1 \text{ para } u_{D}<u_{E} </math>

<math>\rightarrow \frac{u_{E}+u_{D}}{2}+\frac{(-u_{E}+u_{D})(1)}{2}=\frac{u_{E}+u_{D}}{2}+\frac{u_{D}-u_{E}}{2}</math>

<math>\frac{u_{E}+u_{D}}{2}+\frac{u_{D}-u_{E}}{2}=u_{D} \text{ para } u_{D}<u_{E} </math>

<math>\implies \lim _{\nu \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{u_{E}+u_{D}}{2}-\frac{1}{2}(u_{E}-u_{D}) \tanh \left(\frac{y(u_{E}-u_{D})}{4 \nu}\right)\right)=u_{D} \text{ para } u_{D}<u_{E}</math>

Ao analisar gráfico, verifica-se esse comportamento (ver [[#Gráfico|figura 2]])..

== Referências ==

<references/>

Física Computacional - Contribuições do usuário [pt-br]

Equação de Burgers