http://fiscomp.if.ufrgs.br/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=EdsonsignorFísica Computacional - Contribuições do usuário [pt-br]2026-06-12T20:36:31ZContribuições do usuárioMediaWiki 1.43.0http://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php?title=Grupo_-_Modelo_de_Szab%C3%B3&diff=2708Grupo - Modelo de Szabó2020-01-10T16:06:45Z<p>Edsonsignor: </p>
<hr />
<div> <br />
'''Integrante do grupo:''' Edson Mateus Signor (282004) <br />
<br />
==Introdução== <br />
<br />
Vemos corriqueiramente exemplos de movimentos coletivos na natureza como: cardume de peixes, bando de pássaros, células, etc. SZABÓ et al (2006)<br />
<ref name=szabo> B.Szabó, G. J.Szöllösi, B.Gönci, Zs.Jurányi, D.Selmeczi, and T.Vicsek. PHYSICAL REVIEW E 74, 061908 (2006)</ref>criam um modelo com a finalidade de reproduzir tais comportamentos para queratócitos (células teciduais de cicatrização de feridas nas escamas de peixes). O diferencial deste modelo perante os outros é o fato de usar partículas autopropulsadas com uma interação intercelular de curto alcance muito simples. O objetivo é a partir deste modelo visualizar uma transição de fase cinética no movimento dos queratócitos, para isso definimos o chamado parâmetro de ordem, o qual mede quão ordenado está o sistema, e variamos o valor de ruído presente na representação da locomoção natural das células. <br />
<br />
<br />
==Experimento== <br />
<br />
Em SZABÓ et al (2006) <ref name=szabo/> realizou-se um experimento com uma grande quantidade de células de tecido (queratócitos) a fim de visualizar a migração coletiva. À medida que as células migratórias aumentam, notou-se uma transição de fase cinética de um estado desordenado para um estado ordenado. <br />
<br />
<br />
[[Arquivo:Experiment.gif|frame|200x200px|center|Gráfico 1: Migração coletiva de queratócitos para diferentes densidades. <ref>http://angel.elte.hu/~bszabo/collectivecells/</ref>]] <br />
<br />
<br />
Observa-se no vídeo do grupo que para densidades pequenas as células apresentam um movimento aparentemente aleatório, já para uma densidade intermediária há a formação de pequenos clusters, porém não seguem um sentido de movimento em comum. Entretanto para uma alta densidade o movimento torna-se coletivo todos os queratócitos seguindo na mesma direção. Além disso, realizaram medidas experimentais do parâmetro de ordem médio do sistema para vários diferentes valores de densidades de células, a partir disso chegaram ao seguinte resultado: <br />
<br />
<br />
[[Arquivo:Parametro_ordem.png|frame|300x300px|center|Gráfico 2: Gráfico do parâmetro de ordem médio variando a densidade de células de queratócitos.<ref name=szabo/>]] <br />
<br />
<br />
Assim há mais uma evidência para a transição de fase cinética de um estado desordenado para um estado ordenado. Diante disso o modelo a partir de forças atrativas-repulsivas de curto alcance é suficiente para organizar um montante de células em um movimento coerente. <br />
<br />
<br />
==O Modelo== <br />
<br />
O modelo de Szabó foi construído a fim de interpretar os resultados experimentais e seu comportamento. O modelo para as queratócitos individualmente é baseado em células autopropulsadas, onde suas velocidades são constantes numa direção bem definida. Para o ruído da locomoção das células considera-se um ruído branco na direção da autopropulsão. Além disso, considera-se para a interação intercelular forças de curto alcance, onde o movimento coletivo dos queratócitos emerge partir delas.<br />
Considerando o sistema bi-dimensional descrevemos o movimento das N células com um movimento amortecido, logo: <br />
<br />
<math>\frac{d\textbf{r}_{i}(t)}{dt}= v_{0}\textbf{n}_{i}(t) + \mu \sum_{j=1}^N \textbf{F}(\textbf{r}_{i}, \textbf{r}_{j} )</math> <br />
<br />
Cada célula com mobilidade <math>\mu </math> segue na direção da autopropulsão <math> \textbf{n}_{i}(t) </math> caso não sofra a ação das forças intercelulares. <br />
<br />
<br />
===Cálculo da autopropulsão === <br />
<br />
A direção de <math> \textbf{n}_{i}(t) </math> é dado pelo ângulo <math>\theta _{i}^{n}(t) </math>, mostrado na figura abaixo. <br />
<br />
<br />
[[Arquivo:Imagem_int_celulas.png|frame|400x400px|center|Gráfico 3: Esquematização das células de queratócitos para o modelo de Szabó.<ref name=szabo/>]] <br />
<br />
<br />
Assim, como a velocidade <math> \textbf{v}_{i}(t) </math> das células tentam ajustar sua direção (dado pelo ângulo <math>\phi _{i}^{n}(t) </math >) com a de <math> \textbf{n}_{i}(t) </math>. Então atribuímos a ela uma força restauradora, caracterizada pela equação diferencial: <br />
<br />
<math>\frac{d\theta_{i}^{n}(t)}{dt} = \frac{(\theta_{i}^{n}(t) - \phi_{i}^{n}(t))}{\tau} + \xi</math> <br />
<br />
<math>\tau</math> é o tempo de relaxação e <math>\xi</math> é o ruído branco gaussiano da autopropulsão. Usando a fórmula do produto vetorial entre <math> \textbf{v}_{i}(t) </math> e <math> \textbf{n}_{i}(t) </math> : <br />
<br />
<math>\sin\left({\theta_{i}^{n}(t) - \phi_{i}^{n}(t)}\right) = \textbf{n}_{i}(t)\frac{\textbf{v}_{i}(t_{k})}{|\textbf{v}_{i}(t_{k})|}</math> <br />
<br />
Chegamos, assim, na seguinte expressão para o ângulo <math>\theta _{i}^{n}(t) </math>: <br />
<br />
<math>\frac{d\theta_{i}^{n}(t)}{dt} = \frac{1}{\tau} arcsin\left[\left(\textbf{n}_{i}(t)\frac{\textbf{v}_{i}(t_{k})}{|\textbf{v}_{i}(t_{k})|}\right)\cdot\textbf{e}_{z}\right] + \xi</math> <br />
<br />
Onde <math> \textbf{e}_{z} </math> é o vetor unitário perpendicular ao plano de movimento dos queratócitos. Deste modo, para atualizarmos o valor de <math>n_{i}(t)</math> basta utilizarmos a seguinte expressão: <br />
<br />
<math>\textbf{n}_{i}(t) = \cos{\theta_{i}^{n}(t)} \hat{\textbf{x}} + \sin{\theta_{i}^{n}(t)}\hat{\textbf{y}}</math> <br />
<br />
<br />
===Cálculo das forças intercelulares=== <br />
<br />
As forças entre os queratócitos são funções que dependem apenas das distâncias <math> d_{ij}</math> entre os centros de massa de cada um. Os dois principais critérios para a elaboração das forças foram: (i) As células devem ter um volume bem definido e apenas interagirem com os vizinhos mais próximos e (ii) para um certo valor de <math> d_{ij}</math> as células não devem mais interagirem. Assim considerou-se os queratócitos com um volume de raio <math>R_0/2</math>, onde sofrem uma força repulsiva até uma distância <math>R_{eq}</math>, uma força atrativa entre as distâncias <math>R_{eq}</math> e <math>R_0</math> e zero para maiores que <math>R_0</math>. Então temos a seguinte forma: <br />
<br />
<math><br />
\textbf{F}(\textbf{r}_{i}, \textbf{r}_{j} ) = \textbf{e}_{ij}\begin{cases} <br />
F_{rep}\frac{d_{ij} - R_{eq}}{R_{eq}},\quad d_{ij} < R_{eq} \\ <br />
F_{adh}\frac{d_{ij} - R_{eq}}{R_{0} - Re_{eq}}, \; \; R_{eq} \le d_{ij} \le R_{0}\\ <br />
0, \quad \quad \quad \quad \quad \; d_{ij} > R_{0}\\ <br />
\end{cases} <br />
</math> <br />
<br />
Onde <math>\textbf{e}_{ij} = \frac{\textbf{r}_{i} - \textbf{r}_{j}}{|\textbf{r}_{i} - \textbf{r}_{j} |}</math>, <math>d_{ij} = |\textbf{r}_{i} - \textbf{r}_{j} | </math>, <math>F_{rep}</math> é o máximo valor da força repulsiva para <math>d_{ij} = 0</math> e <math>F_{adh}</math> é o máximo valor da força atrativa para <math>d_{ij} = R_{0}</math> (Como pode ser visto na figura 4). <br />
<br />
<br />
[[Arquivo:Graf_forças.png|frame|400x400px|center|Gráfico 4: Gráfico das forças intercelulares.<ref name=szabo/>]] <br />
<br />
<br />
Com isso a dinâmica dos queratócitos está completa. <br />
<br />
<br />
==Resultados== <br />
<br />
Finalizado a dinâmica das células utilizou-se um programa em Python para simular os queratócitos para três diferentes valores de ruído. Porque além de apresentar uma transição de fase cinética variando a densidade (Como mostrado no experimento), também há uma transição variando a intensidade do ruído, ou seja, a potência natural da autopropulsão. Com isso, dado o programa <math>\it{Simulacao \; dos \; queratocitos\;}</math> obteve-se as seguintes simulações: <br />
<br />
<br />
[[Arquivo: Ezgif.com-gif-maker(1).gif|frame|400x400px|center|Gráfico 5: Simulação dos queratocitos para um ruído baixo.]] <br />
<br />
<br />
[[Arquivo:Ezgif.gif|frame|400x400px|center|Gráfico 6: Simulação dos queratocitos para um ruído intermediário]] <br />
<br />
<br />
[[Arquivo: Eta 5 5das.gif|frame|400x400px|center|Gráfico 7: Simulação dos queratocitos para um ruído alto]] <br />
<br />
<br />
== Parâmetro de Ordem== <br />
<br />
Para visualizar a transição de fase cinética definiu-se um parâmetro de ordem <math>V</math> onde é definido da seguinte maneira: <br />
<br />
<math>\frac{d\textbf{r}_{i}(t)}{dt}= v_{0}\textbf{n}_{i}(t) + \mu \sum_{j=1}^N \textbf{F}(\textbf{r}_{i}, \textbf{r}_{j} )</math> <br />
<br />
<math> \overline{V} = \langle V\rangle_{t_k}</math> <br />
<br />
<br />
Neste parâmetro queremos basicamente medir o quão desordenado está o sistema. Então a ideia é somar vetorialmente as velocidades de cada célula - dividida pelos seus respectivos módulos, pois só nos interessa a direção - e normalizamos pela quantidade de células. Além disso, ainda se faz uma média temporal a fim de melhorar ainda mais a medida. Tal tipo de parâmetro foi definido porque, por exemplo, se o sistema está em um estado dito desordenado esperamos os queratócitos vagando em direção aparentemente aleatórias, logo se somarmos as velocidades a resultante será um vetor nulo, e o valor de <math>\overline{V}</math> tenderá a zero. Já quando o sistema estiver um estado dito ordenado, as células estarão em um movimento coletivo, ou seja, o módulo da velocidade resultante será diferente de zero, por conseguinte, o valor de <math>\overline{V}</math> tenderá a 1. <br />
<br />
=== Resultado do Parâmetro de ordem === <br />
<br />
Antes de calcular o parâmetro <math>\overline{V}</math> fazendo a média temporal, temos que observar o gráfico da evolução temporal de <math>\overline{V}</math> (fazendo uso do programa em Python <math>\it{Evolucao \;temporal\; do \;parâmetro \;de \;ordem\;}</math>): <br />
<br />
<br />
[[Arquivo: VxT.png |frame|300x300px|center|Gráfico 8: Gráfico do parâmetro de ordem médio variando a densidade de células de queratócitos.]] <br />
<br />
<br />
Nota-se que há um transiente, com isso então para realizar o cálculo da média apenas utiliza-se os valores de <math>\overline{V}</math> para a cima de 50 interações a fim de desprezar o transiente e obter uma melhor média. <br />
Feito isto, com um outro programa em Python <math>\it{Transicao \; de \;fase \;}</math> temos o resultado obtido a partir das simulações: <br />
<br />
<br />
[[Arquivo: Vxeta.png |frame|300x300px|center|Gráfico 9: Gráfico do parâmetro de ordem médio em função do ruído.]] <br />
<br />
<br />
Assim, nota-se que se obteve um gráfico característico de uma transição de fase confirmando o que havíamos esperado. Fazendo uso de mais partículas pode-se chegar em um gráfico como o feito em SZABÓ et al (2006) <ref name=szabo/>.<br />
<br />
<br />
[[Arquivo: Article Vxeta.png |frame|300x300px|center|Gráfico 10: Gráfico do parâmetro de ordem médio em função do ruído obtido por Szabó <ref name=szabo/>.]]<br />
<br />
<br />
==Códigos== <br />
<br />
[https://github.com/edsonsignor/metcompC/blob/master/simula%C3%A7%C3%A3o_queratocitos.py Modelo de Szabó - Simulação dos queratócitos] <br />
<br />
[https://github.com/edsonsignor/metcompC/blob/master/verf_transiente_V.py Modelo de Szabó - Evolução temporal do parâmetro de ordem] <br />
<br />
[https://github.com/edsonsignor/metcompC/blob/master/Parametro_de_ordem.py Modelo de Szabó - Transição de fase] <br />
<br />
<br />
==Bibliografia== <br />
<br />
<references/></div>Edsonsignorhttp://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php?title=Grupo_-_Modelo_de_Szab%C3%B3&diff=2483Grupo - Modelo de Szabó2020-01-07T01:40:03Z<p>Edsonsignor: </p>
<hr />
<div> <br />
'''Integrante do grupo:''' Edson Mateus Signor (282004) <br />
<br />
==Introdução== <br />
<br />
Vemos corriqueiramente exemplos de movimentos coletivos na natureza como: cardume de peixes, bando de pássaros, células, etc. SZABÓ et al (2006)<br />
<ref name=szabo> B.Szabó, G. J.Szöllösi, B.Gönci, Zs.Jurányi, D.Selmeczi, and T.Vicsek. PHYSICAL REVIEW E 74, 061908 (2006)</ref>criam um modelo com a finalidade de reproduzir tais comportamentos para queratócitos (células teciduais de cicatrização de feridas nas escamas de peixes). O diferencial deste modelo perante os outros é o fato de usar partículas autopropulsadas com uma interação intercelular de curto alcance muito simples. O objetivo é a partir deste modelo visualizar uma transição de fase cinética no movimento dos queratócitos, para isso definimos o chamado parâmetro de ordem, o qual mede quão ordenado está o sistema, e variamos o valor de ruído presente na representação da locomoção natural das células. <br />
<br />
<br />
==Experimento== <br />
<br />
Em SZABÓ et al (2006) <ref name=szabo/> realizou-se um experimento com uma grande quantidade de células de tecido (queratócitos) a fim de visualizar a migração coletiva. À medida que as células migratórias aumentam, notou-se uma transição de fase cinética de um estado desordenado para um estado ordenado. <br />
<br />
<br />
[[Arquivo:Experiment.gif|frame|200x200px|center|Gráfico 1: Migração coletiva de queratócitos para diferentes densidades. <ref>http://angel.elte.hu/~bszabo/collectivecells/</ref>]] <br />
<br />
<br />
Observa-se no vídeo do grupo que para densidades pequenas as células apresentam um movimento aparentemente aleatório, já para uma densidade intermediária há a formação de pequenos clusters, porém não seguem um sentido de movimento em comum. Entretanto para uma alta densidade o movimento torna-se coletivo todos os queratócitos seguindo na mesma direção. Além disso, realizaram medidas experimentais do parâmetro de ordem médio do sistema para vários diferentes valores de densidades de células, a partir disso chegaram ao seguinte resultado: <br />
<br />
<br />
[[Arquivo:Parametro_ordem.png|frame|300x300px|center|Gráfico 2: Gráfico do parâmetro de ordem médio variando a densidade de células de queratócitos.<ref name=szabo/>]] <br />
<br />
<br />
Assim há mais uma evidência para a transição de fase cinética de um estado desordenado para um estado ordenado. Diante disso o modelo a partir de forças atrativas-repulsivas de curto alcance é suficiente para organizar um montante de células em um movimento coerente. <br />
<br />
<br />
==O Modelo== <br />
<br />
O modelo de Szabó foi construído a fim de interpretar os resultados experimentais e seu comportamento. O modelo para as queratócitos individualmente é baseado em células autopropulsadas, onde suas velocidades são constantes numa direção bem definida. Para o ruído da locomoção das células considera-se um ruído branco na direção da autopropulsão. Além disso, considera-se para a interação intercelular forças de curto alcance, onde o movimento coletivo dos queratócitos emerge partir delas.<br />
Considerando o sistema bi-dimensional descrevemos o movimento das N células com um movimento amortecido, logo: <br />
<br />
<math>\frac{d\textbf{r}_{i}(t)}{dt}= v_{0}\textbf{n}_{i}(t) + \mu \sum_{j=1}^N \textbf{F}(\textbf{r}_{i}, \textbf{r}_{j} )</math> <br />
<br />
Cada célula com mobilidade <math>\mu </math> segue na direção da autopropulsão <math> \textbf{n}_{i}(t) </math> caso não sofra a ação das forças intercelulares. <br />
<br />
<br />
===Cálculo da autopropulsão === <br />
<br />
A direção de <math> \textbf{n}_{i}(t) </math> é dado pelo ângulo <math>\theta _{i}^{n}(t) </math>, mostrado na figura abaixo. <br />
<br />
<br />
[[Arquivo:Imagem_int_celulas.png|frame|400x400px|center|Gráfico 3: Esquematização das células de queratócitos para o modelo de Szabó.<ref name=szabo/>]] <br />
<br />
<br />
Assim, como a velocidade <math> \textbf{v}_{i}(t) </math> das células tentam ajustar sua direção (dado pelo ângulo <math>\phi _{i}^{n}(t) </math >) com a de <math> \textbf{n}_{i}(t) </math>. Então atribuímos a ela uma força restauradora, caracterizada pela equação diferencial: <br />
<br />
<math>\frac{d\theta_{i}^{n}(t)}{dt} = \frac{(\theta_{i}^{n}(t) - \phi_{i}^{n}(t))}{\tau} + \xi</math> <br />
<br />
<math>\tau</math> é o tempo de relaxação e <math>\xi</math> é o ruído branco gaussiano da autopropulsão. Usando a fórmula do produto vetorial entre <math> \textbf{v}_{i}(t) </math> e <math> \textbf{n}_{i}(t) </math> : <br />
<br />
<math>\sin\left({\theta_{i}^{n}(t) - \phi_{i}^{n}(t)}\right) = \textbf{n}_{i}(t)\frac{\textbf{v}_{i}(t_{k})}{|\textbf{v}_{i}(t_{k})|}</math> <br />
<br />
Chegamos, assim, na seguinte expressão para o ângulo <math>\theta _{i}^{n}(t) </math>: <br />
<br />
<math>\frac{d\theta_{i}^{n}(t)}{dt} = \frac{1}{\tau} arcsin\left[\left(\textbf{n}_{i}(t)\frac{\textbf{v}_{i}(t_{k})}{|\textbf{v}_{i}(t_{k})|}\right)\cdot\textbf{e}_{z}\right] + \xi</math> <br />
<br />
Onde <math> \textbf{e}_{z} </math> é o vetor unitário perpendicular ao plano de movimento dos queratócitos. Deste modo, para atualizarmos o valor de <math>n_{i}(t)</math> basta utilizarmos a seguinte expressão: <br />
<br />
<math>\textbf{n}_{i}(t) = \cos{\theta_{i}^{n}(t)} \hat{\textbf{x}} + \sin{\theta_{i}^{n}(t)}\hat{\textbf{y}}</math> <br />
<br />
<br />
===Cálculo das forças intercelulares=== <br />
<br />
As forças entre os queratócitos são funções que dependem apenas das distâncias <math> d_{ij}</math> entre os centros de massa de cada um. Os dois principais critérios para a elaboração das forças foram: (i) As células devem ter um volume bem definido e apenas interagirem com os vizinhos mais próximos e (ii) para um certo valor de <math> d_{ij}</math> as células não devem mais interagirem. Assim considerou-se os queratócitos com um volume de raio <math>R_0/2</math>, onde sofrem uma força repulsiva até uma distância <math>R_{eq}</math>, uma força atrativa entre as distâncias <math>R_{eq}</math> e <math>R_0</math> e zero para maiores que <math>R_0</math>. Então temos a seguinte forma: <br />
<br />
<math><br />
\textbf{F}(\textbf{r}_{i}, \textbf{r}_{j} ) = \textbf{e}_{ij}\begin{cases} <br />
F_{rep}\frac{d_{ij} - R_{eq}}{R_{eq}},\quad d_{ij} < R_{eq} \\ <br />
F_{adh}\frac{d_{ij} - R_{eq}}{R_{0} - Re_{eq}}, \; \; R_{eq} \le d_{ij} \le R_{0}\\ <br />
0, \quad \quad \quad \quad \quad \; d_{ij} > R_{0}\\ <br />
\end{cases} <br />
</math> <br />
<br />
Onde <math>\textbf{e}_{ij} = \frac{\textbf{r}_{i} - \textbf{r}_{j}}{|\textbf{r}_{i} - \textbf{r}_{j} |}</math>, <math>d_{ij} = |\textbf{r}_{i} - \textbf{r}_{j} | </math>, <math>F_{rep}</math> é o máximo valor da força repulsiva para <math>d_{ij} = 0</math> e <math>F_{adh}</math> é o máximo valor da força atrativa para <math>d_{ij} = R_{0}</math> (Como pode ser visto na figura 4). <br />
<br />
<br />
[[Arquivo:Graf_forças.png|frame|400x400px|center|Gráfico 4: Gráfico das forças intercelulares.<ref name=szabo/>]] <br />
<br />
<br />
Com isso a dinâmica dos queratócitos está completa. <br />
<br />
<br />
==Resultados== <br />
<br />
Finalizado a dinâmica das células utilizou-se um programa em Python para simular os queratócitos para três diferentes valores de ruído. Porque além de apresentar uma transição de fase cinética variando a densidade (Como mostrado no experimento), também há uma transição variando a intensidade do ruído, ou seja, a potência natural da autopropulsão. Com isso, dado o programa <math>\it{Simulacao \; dos \; queratocitos\;}</math> obteve-se as seguintes simulações: <br />
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[[Arquivo: Ezgif.com-gif-maker(1).gif|frame|400x400px|center|Gráfico 5: Simulação dos queratocitos para um ruído baixo.]] <br />
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[[Arquivo:Ezgif.gif|frame|400x400px|center|Gráfico 6: Simulação dos queratocitos para um ruído intermediário]] <br />
<br />
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[[Arquivo: Eta 5 5das.gif|frame|400x400px|center|Gráfico 7: Simulação dos queratocitos para um ruído alto]] <br />
<br />
<br />
== Parâmetro de Ordem== <br />
<br />
Para visualizar a transição de fase cinética definiu-se um parâmetro de ordem <math>V</math> onde é definido da seguinte maneira: <br />
<br />
<math>\frac{d\textbf{r}_{i}(t)}{dt}= v_{0}\textbf{n}_{i}(t) + \mu \sum_{j=1}^N \textbf{F}(\textbf{r}_{i}, \textbf{r}_{j} )</math> <br />
<br />
<math> \overline{V} = \langle V\rangle_{t_k}</math> <br />
<br />
<br />
Neste parâmetro queremos basicamente medir o quão desordenado está o sistema. Então a ideia é somar vetorialmente as velocidades de cada célula - dividida pelos seus respectivos módulos, pois só nos interessa a direção - e normalizamos pela quantidade de células. Além disso, ainda se faz uma média temporal a fim de melhorar ainda mais a medida. Tal tipo de parâmetro foi definido porque, por exemplo, se o sistema está em um estado dito desordenado esperamos os queratócitos vagando em direção aparentemente aleatórias, logo se somarmos as velocidades a resultante será um vetor nulo, e o valor de <math>\overline{V}</math> tenderá a zero. Já quando o sistema estiver um estado dito ordenado, as células estarão em um movimento coletivo, ou seja, o módulo da velocidade resultante será diferente de zero, por conseguinte, o valor de <math>\overline{V}</math> tenderá a 1. <br />
<br />
=== Resultado do Parâmetro de ordem === <br />
<br />
Antes de calcular o parâmetro <math>\overline{V}</math> fazendo a média temporal, temos que observar o gráfico da evolução temporal de <math>\overline{V}</math> (fazendo uso do programa em Python <math>\it{Evolucao \;temporal\; do \;parâmetro \;de \;ordem\;}</math>): <br />
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<br />
[[Arquivo: VxT.png |frame|300x300px|center|Gráfico 8: Gráfico do parâmetro de ordem médio variando a densidade de células de queratócitos.]] <br />
<br />
<br />
Nota-se que há um transiente, com isso então para realizar o cálculo da média apenas utiliza-se os valores de <math>\overline{V}</math> para a cima de 50 interações a fim de desprezar o transiente e obter uma melhor média. <br />
Feito isto, com um outro programa em Python <math>\it{Transicao \; de \;fase \;}</math> temos o resultado obtido a partir das simulações: <br />
<br />
<br />
[[Arquivo: Vxeta.png |frame|300x300px|center|Gráfico 9: Gráfico do parâmetro de ordem médio em função do ruído.]] <br />
<br />
<br />
Assim, nota-se que se obteve um gráfico característico de uma transição de fase confirmando o que havíamos esperado. Fazendo uso de mais partúculas pode-se chegar em um gráfico como o feito em SZABÓ et al (2006) <ref name=szabo/>.<br />
<br />
<br />
[[Arquivo: Article Vxeta.png |frame|300x300px|center|Gráfico 10: Gráfico do parâmetro de ordem médio em função do ruído obtido por Szabó <ref name=szabo/>.]]<br />
<br />
<br />
==Códigos== <br />
<br />
[https://github.com/edsonsignor/metcompC/blob/master/simula%C3%A7%C3%A3o_queratocitos.py Modelo de Szabó - Simulação dos queratócitos] <br />
<br />
[https://github.com/edsonsignor/metcompC/blob/master/verf_transiente_V.py Modelo de Szabó - Evolução temporal do parâmetro de ordem] <br />
<br />
[https://github.com/edsonsignor/metcompC/blob/master/Parametro_de_ordem.py Modelo de Szabó - Transição de fase] <br />
<br />
<br />
==Bibliografia== <br />
<br />
<references/></div>Edsonsignorhttp://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php?title=Grupo_-_Modelo_de_Szab%C3%B3&diff=2482Grupo - Modelo de Szabó2020-01-07T01:39:23Z<p>Edsonsignor: </p>
<hr />
<div> <br />
'''Integrante do grupo:''' Edson Mateus Signor (282004) <br />
<br />
==Introdução== <br />
<br />
Vemos corriqueiramente exemplos de movimentos coletivos na natureza como: cardume de peixes, bando de pássaros, células, etc. SZABÓ et al (2006)<br />
<ref name=szabo> B.Szabó, G. J.Szöllösi, B.Gönci, Zs.Jurányi, D.Selmeczi, and T.Vicsek. PHYSICAL REVIEW E 74, 061908 (2006)</ref>criam um modelo com a finalidade de reproduzir tais comportamentos para queratócitos (células teciduais de cicatrização de feridas nas escamas de peixes). O diferencial deste modelo perante os outros é o fato de usar partículas autopropulsadas com uma interação intercelular de curto alcance muito simples. O objetivo é a partir deste modelo visualizar uma transição de fase cinética no movimento dos queratócitos, para isso definimos o chamado parâmetro de ordem, o qual mede quão ordenado está o sistema, e variamos o valor de ruído presente na representação da locomoção natural das células. <br />
<br />
<br />
==Experimento== <br />
<br />
Em SZABÓ et al (2006) <ref name=szabo/> realizou-se um experimento com uma grande quantidade de células de tecido (queratócitos) a fim de visualizar a migração coletiva. À medida que as células migratórias aumentam, notou-se uma transição de fase cinética de um estado desordenado para um estado ordenado. <br />
<br />
<br />
[[Arquivo:Experiment.gif|frame|200x200px|center|Gráfico 1: Migração coletiva de queratócitos para diferentes densidades. <ref>http://angel.elte.hu/~bszabo/collectivecells/</ref>]] <br />
<br />
<br />
Observa-se no vídeo do grupo que para densidades pequenas as células apresentam um movimento aparentemente aleatório, já para uma densidade intermediária há a formação de pequenos clusters, porém não seguem um sentido de movimento em comum. Entretanto para uma alta densidade o movimento torna-se coletivo todos os queratócitos seguindo na mesma direção. Além disso, realizaram medidas experimentais do parâmetro de ordem médio do sistema para vários diferentes valores de densidades de células, a partir disso chegaram ao seguinte resultado: <br />
<br />
<br />
[[Arquivo:Parametro_ordem.png|frame|300x300px|center|Gráfico 2: Gráfico do parâmetro de ordem médio variando a densidade de células de queratócitos.<ref name=szabo/>]] <br />
<br />
<br />
Assim há mais uma evidência para a transição de fase cinética de um estado desordenado para um estado ordenado. Diante disso o modelo a partir de forças atrativas-repulsivas de curto alcance é suficiente para organizar um montante de células em um movimento coerente. <br />
<br />
<br />
==O Modelo== <br />
<br />
O modelo de Szabó foi construído a fim de interpretar os resultados experimentais e seu comportamento. O modelo para as queratócitos individualmente é baseado em células autopropulsadas, onde suas velocidades são constantes numa direção bem definida. Para o ruído da locomoção das células considera-se um ruído branco na direção da autopropulsão. Além disso, considera-se para a interação intercelular forças de curto alcance, onde o movimento coletivo dos queratócitos emerge partir delas.<br />
Considerando o sistema bi-dimensional descrevemos o movimento das N células com um movimento amortecido, logo: <br />
<br />
<math>\frac{d\textbf{r}_{i}(t)}{dt}= v_{0}\textbf{n}_{i}(t) + \mu \sum_{j=1}^N \textbf{F}(\textbf{r}_{i}, \textbf{r}_{j} )</math> <br />
<br />
Cada célula com mobilidade <math>\mu </math> segue na direção da autopropulsão <math> \textbf{n}_{i}(t) </math> caso não sofra a ação das forças intercelulares. <br />
<br />
<br />
===Cálculo da autopropulsão === <br />
<br />
A direção de <math> \textbf{n}_{i}(t) </math> é dado pelo ângulo <math>\theta _{i}^{n}(t) </math>, mostrado na figura abaixo. <br />
<br />
<br />
[[Arquivo:Imagem_int_celulas.png|frame|400x400px|center|Gráfico 3: Esquematização das células de queratócitos para o modelo de Szabó.<ref name=szabo/>]] <br />
<br />
<br />
Assim, como a velocidade <math> \textbf{v}_{i}(t) </math> das células tentam ajustar sua direção (dado pelo ângulo <math>\phi _{i}^{n}(t) </math >) com a de <math> \textbf{n}_{i}(t) </math>. Então atribuímos a ela uma força restauradora, caracterizada pela equação diferencial: <br />
<br />
<math>\frac{d\theta_{i}^{n}(t)}{dt} = \frac{(\theta_{i}^{n}(t) - \phi_{i}^{n}(t))}{\tau} + \xi</math> <br />
<br />
<math>\tau</math> é o tempo de relaxação e <math>\xi</math> é o ruído branco gaussiano da autopropulsão. Usando a fórmula do produto vetorial entre <math> \textbf{v}_{i}(t) </math> e <math> \textbf{n}_{i}(t) </math> : <br />
<br />
<math>\sin\left({\theta_{i}^{n}(t) - \phi_{i}^{n}(t)}\right) = \textbf{n}_{i}(t)\frac{\textbf{v}_{i}(t_{k})}{|\textbf{v}_{i}(t_{k})|}</math> <br />
<br />
Chegamos, assim, na seguinte expressão para o ângulo <math>\theta _{i}^{n}(t) </math>: <br />
<br />
<math>\frac{d\theta_{i}^{n}(t)}{dt} = \frac{1}{\tau} arcsin\left[\left(\textbf{n}_{i}(t)\frac{\textbf{v}_{i}(t_{k})}{|\textbf{v}_{i}(t_{k})|}\right)\cdot\textbf{e}_{z}\right] + \xi</math> <br />
<br />
Onde <math> \textbf{e}_{z} </math> é o vetor unitário perpendicular ao plano de movimento dos queratócitos. Deste modo, para atualizarmos o valor de <math>n_{i}(t)</math> basta utilizarmos a seguinte expressão: <br />
<br />
<math>\textbf{n}_{i}(t) = \cos{\theta_{i}^{n}(t)} \hat{\textbf{x}} + \sin{\theta_{i}^{n}(t)}\hat{\textbf{y}}</math> <br />
<br />
<br />
===Cálculo das forças intercelulares=== <br />
<br />
As forças entre os queratócitos são funções que dependem apenas das distâncias <math> d_{ij}</math> entre os centros de massa de cada um. Os dois principais critérios para a elaboração das forças foram: (i) As células devem ter um volume bem definido e apenas interagirem com os vizinhos mais próximos e (ii) para um certo valor de <math> d_{ij}</math> as células não devem mais interagirem. Assim considerou-se os queratócitos com um volume de raio <math>R_0/2</math>, onde sofrem uma força repulsiva até uma distância <math>R_{eq}</math>, uma força atrativa entre as distâncias <math>R_{eq}</math> e <math>R_0</math> e zero para maiores que <math>R_0</math>. Então temos a seguinte forma: <br />
<br />
<math><br />
\textbf{F}(\textbf{r}_{i}, \textbf{r}_{j} ) = \textbf{e}_{ij}\begin{cases} <br />
F_{rep}\frac{d_{ij} - R_{eq}}{R_{eq}},\quad d_{ij} < R_{eq} \\ <br />
F_{adh}\frac{d_{ij} - R_{eq}}{R_{0} - Re_{eq}}, \; \; R_{eq} \le d_{ij} \le R_{0}\\ <br />
0, \quad \quad \quad \quad \quad \; d_{ij} > R_{0}\\ <br />
\end{cases} <br />
</math> <br />
<br />
Onde <math>\textbf{e}_{ij} = \frac{\textbf{r}_{i} - \textbf{r}_{j}}{|\textbf{r}_{i} - \textbf{r}_{j} |}</math>, <math>d_{ij} = |\textbf{r}_{i} - \textbf{r}_{j} | </math>, <math>F_{rep}</math> é o máximo valor da força repulsiva para <math>d_{ij} = 0</math> e <math>F_{adh}</math> é o máximo valor da força atrativa para <math>d_{ij} = R_{0}</math> (Como pode ser visto na figura 4). <br />
<br />
<br />
[[Arquivo:Graf_forças.png|frame|400x400px|center|Gráfico 4: Gráfico das forças intercelulares.<ref name=szabo/>]] <br />
<br />
<br />
Com isso a dinâmica dos queratócitos está completa. <br />
<br />
<br />
==Resultados== <br />
<br />
Finalizado a dinâmica das células utilizou-se um programa em Python para simular os queratócitos para três diferentes valores de ruído. Porque além de apresentar uma transição de fase cinética variando a densidade (Como mostrado no experimento), também há uma transição variando a intensidade do ruído, ou seja, a potência natural da autopropulsão. Com isso, dado o programa <math>\it{Simulacao \; dos \; queratocitos\;}</math> obteve-se as seguintes simulações: <br />
<br />
<br />
[[Arquivo: Ezgif.com-gif-maker(1).gif|frame|400x400px|center|Gráfico 5: Simulação dos queratocitos para um ruído baixo.]] <br />
<br />
<br />
[[Arquivo:Ezgif.gif|frame|400x400px|center|Gráfico 6: Simulação dos queratocitos para um ruído intermediário]] <br />
<br />
<br />
[[Arquivo: Eta 5 5das.gif|frame|400x400px|center|Gráfico 7: Simulação dos queratocitos para um ruído alto]] <br />
<br />
<br />
== Parâmetro de Ordem== <br />
<br />
Para visualizar a transição de fase cinética definiu-se um parâmetro de ordem <math>V</math> onde é definido da seguinte maneira: <br />
<br />
<math>\frac{d\textbf{r}_{i}(t)}{dt}= v_{0}\textbf{n}_{i}(t) + \mu \sum_{j=1}^N \textbf{F}(\textbf{r}_{i}, \textbf{r}_{j} )</math> <br />
<br />
<math> \overline{V} = \langle V\rangle_{t_k}</math> <br />
<br />
<br />
Neste parâmetro queremos basicamente medir o quão desordenado está o sistema. Então a ideia é somar vetorialmente as velocidades de cada célula - dividida pelos seus respectivos módulos, pois só nos interessa a direção - e normalizamos pela quantidade de células. Além disso, ainda se faz uma média temporal a fim de melhorar ainda mais a medida. Tal tipo de parâmetro foi definido porque, por exemplo, se o sistema está em um estado dito desordenado esperamos os queratócitos vagando em direção aparentemente aleatórias, logo se somarmos as velocidades a resultante será um vetor nulo, e o valor de <math>\overline{V}</math> tenderá a zero. Já quando o sistema estiver um estado dito ordenado, as células estarão em um movimento coletivo, ou seja, o módulo da velocidade resultante será diferente de zero, por conseguinte, o valor de <math>\overline{V}</math> tenderá a 1. <br />
<br />
=== Resultado do Parâmetro de ordem === <br />
<br />
Antes de calcular o parâmetro <math>\overline{V}</math> fazendo a média temporal, temos que observar o gráfico da evolução temporal de <math>\overline{V}</math> (fazendo uso do programa em Python <math>\it{Evolucao \;temporal\; do \;parâmetro \;de \;ordem\;}</math>): <br />
<br />
<br />
[[Arquivo: VxT.png |frame|300x300px|center|Gráfico 8: Gráfico do parâmetro de ordem médio variando a densidade de células de queratócitos.]] <br />
<br />
<br />
Nota-se que há um transiente, com isso então para realizar o cálculo da média apenas utiliza-se os valores de <math>\overline{V}</math> para a cima de 50 interações a fim de desprezar o transiente e obter uma melhor média. <br />
Feito isto, com um outro programa em Python <math>\it{Transicao \; de \;fase \;}</math> temos o resultado obtido a partir das simulações: <br />
<br />
<br />
[[Arquivo: Vxeta.png |frame|300x300px|center|Gráfico 9: Gráfico do parâmetro de ordem médio em função do ruído.]] <br />
<br />
Assim, nota-se que se obteve um gráfico característico de uma transição de fase confirmando o que havíamos esperado. Fazendo uso de mais partúculas pode-se chegar em um gráfico como o feito em SZABÓ et al (2006) <ref name=szabo/>.<br />
<br />
[[Arquivo: Article Vxeta.png |frame|300x300px|center|Gráfico 10: Gráfico do parâmetro de ordem médio em função do ruído obtido por Szabó <ref name=szabo/>.]]<br />
<br />
<br />
==Códigos== <br />
<br />
[https://github.com/edsonsignor/metcompC/blob/master/simula%C3%A7%C3%A3o_queratocitos.py Modelo de Szabó - Simulação dos queratócitos] <br />
<br />
[https://github.com/edsonsignor/metcompC/blob/master/verf_transiente_V.py Modelo de Szabó - Evolução temporal do parâmetro de ordem] <br />
<br />
[https://github.com/edsonsignor/metcompC/blob/master/Parametro_de_ordem.py Modelo de Szabó - Transição de fase] <br />
<br />
<br />
==Bibliografia== <br />
<br />
<references/></div>Edsonsignorhttp://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php?title=Arquivo:Article_Vxeta.png&diff=2481Arquivo:Article Vxeta.png2020-01-07T01:35:24Z<p>Edsonsignor: Gráfico do parâmetro de ordem médio em função do ruído obtido por Szabó.</p>
<hr />
<div>Gráfico do parâmetro de ordem médio em função do ruído obtido por Szabó.</div>Edsonsignorhttp://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php?title=Arquivo:Vxeta.png&diff=2480Arquivo:Vxeta.png2020-01-07T01:34:08Z<p>Edsonsignor: Gráfico do parâmetro de ordem médio em função do ruído.</p>
<hr />
<div>Gráfico do parâmetro de ordem médio em função do ruído.</div>Edsonsignorhttp://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php?title=Grupo_-_Modelo_de_Szab%C3%B3&diff=2411Grupo - Modelo de Szabó2020-01-05T00:58:44Z<p>Edsonsignor: </p>
<hr />
<div> <br />
'''Integrante do grupo:''' Edson Mateus Signor (282004) <br />
<br />
==Introdução== <br />
<br />
Vemos corriqueiramente exemplos de movimentos coletivos na natureza como: cardume de peixes, bando de pássaros, células, etc. SZABÓ et al (2006)<br />
<ref name=szabo> B.Szabó, G. J.Szöllösi, B.Gönci, Zs.Jurányi, D.Selmeczi, and T.Vicsek. PHYSICAL REVIEW E 74, 061908 (2006)</ref>criam um modelo com a finalidade de reproduzir tais comportamentos para queratócitos (células teciduais de cicatrização de feridas nas escamas de peixes). O diferencial deste modelo perante os outros é o fato de usar partículas autopropulsadas com uma interação intercelular de curto alcance muito simples. O objetivo é a partir deste modelo visualizar uma transição de fase cinética no movimento dos queratócitos, para isso definimos o chamado parâmetro de ordem, o qual mede quão ordenado está o sistema, e variamos o valor de ruído presente na representação da locomoção natural das células. <br />
<br />
<br />
==Experimento== <br />
<br />
Em SZABÓ et al (2006) <ref name=szabo/> realizou-se um experimento com uma grande quantidade de células de tecido (queratócitos) a fim de visualizar a migração coletiva. À medida que as células migratórias aumentam, notou-se uma transição de fase cinética de um estado desordenado para um estado ordenado. <br />
<br />
<br />
[[Arquivo:Experiment.gif|frame|200x200px|center|Gráfico 1: Migração coletiva de queratócitos para diferentes densidades. <ref>http://angel.elte.hu/~bszabo/collectivecells/</ref>]] <br />
<br />
<br />
Observa-se no vídeo do grupo que para densidades pequenas as células apresentam um movimento aparentemente aleatório, já para uma densidade intermediária há a formação de pequenos clusters, porém não seguem um sentido de movimento em comum. Entretanto para uma alta densidade o movimento torna-se coletivo todos os queratócitos seguindo na mesma direção. Além disso, realizaram medidas experimentais do parâmetro de ordem médio do sistema para vários diferentes valores de densidades de células, a partir disso chegaram ao seguinte resultado: <br />
<br />
<br />
[[Arquivo:Parametro_ordem.png|frame|300x300px|center|Gráfico 2: Gráfico do parâmetro de ordem médio variando a densidade de células de queratócitos.<ref name=szabo/>]] <br />
<br />
<br />
Assim há mais uma evidência para a transição de fase cinética de um estado desordenado para um estado ordenado. Diante disso o modelo a partir de forças atrativas-repulsivas de curto alcance é suficiente para organizar um montante de células em um movimento coerente. <br />
<br />
<br />
==O Modelo== <br />
<br />
O modelo de Szabó foi construído a fim de interpretar os resultados experimentais e seu comportamento. O modelo para as queratócitos individualmente é baseado em células autopropulsadas, onde suas velocidades são constantes numa direção bem definida. Para o ruído da locomoção das células considera-se um ruído branco na direção da autopropulsão. Além disso, considera-se para a interação intercelular forças de curto alcance, onde o movimento coletivo dos queratócitos emerge partir delas.<br />
Considerando o sistema bi-dimensional descrevemos o movimento das N células com um movimento amortecido, logo: <br />
<br />
<math>\frac{d\textbf{r}_{i}(t)}{dt}= v_{0}\textbf{n}_{i}(t) + \mu \sum_{j=1}^N \textbf{F}(\textbf{r}_{i}, \textbf{r}_{j} )</math> <br />
<br />
Cada célula com mobilidade <math>\mu </math> segue na direção da autopropulsão <math> \textbf{n}_{i}(t) </math> caso não sofra a ação das forças intercelulares. <br />
<br />
<br />
===Cálculo da autopropulsão === <br />
<br />
A direção de <math> \textbf{n}_{i}(t) </math> é dado pelo ângulo <math>\theta _{i}^{n}(t) </math>, mostrado na figura abaixo. <br />
<br />
<br />
[[Arquivo:Imagem_int_celulas.png|frame|400x400px|center|Gráfico 3: Esquematização das células de queratócitos para o modelo de Szabó.<ref name=szabo/>]] <br />
<br />
<br />
Assim, como a velocidade <math> \textbf{v}_{i}(t) </math> das células tentam ajustar sua direção (dado pelo ângulo <math>\phi _{i}^{n}(t) </math >) com a de <math> \textbf{n}_{i}(t) </math>. Então atribuímos a ela uma força restauradora, caracterizada pela equação diferencial: <br />
<br />
<math>\frac{d\theta_{i}^{n}(t)}{dt} = \frac{(\theta_{i}^{n}(t) - \phi_{i}^{n}(t))}{\tau} + \xi</math> <br />
<br />
<math>\tau</math> é o tempo de relaxação e <math>\xi</math> é o ruído branco gaussiano da autopropulsão. Usando a fórmula do produto vetorial entre <math> \textbf{v}_{i}(t) </math> e <math> \textbf{n}_{i}(t) </math> : <br />
<br />
<math>\sin\left({\theta_{i}^{n}(t) - \phi_{i}^{n}(t)}\right) = \textbf{n}_{i}(t)\frac{\textbf{v}_{i}(t_{k})}{|\textbf{v}_{i}(t_{k})|}</math> <br />
<br />
Chegamos, assim, na seguinte expressão para o ângulo <math>\theta _{i}^{n}(t) </math>: <br />
<br />
<math>\frac{d\theta_{i}^{n}(t)}{dt} = \frac{1}{\tau} arcsin\left[\left(\textbf{n}_{i}(t)\frac{\textbf{v}_{i}(t_{k})}{|\textbf{v}_{i}(t_{k})|}\right)\cdot\textbf{e}_{z}\right] + \xi</math> <br />
<br />
Onde <math> \textbf{e}_{z} </math> é o vetor unitário perpendicular ao plano de movimento dos queratócitos. Deste modo, para atualizarmos o valor de <math>n_{i}(t)</math> basta utilizarmos a seguinte expressão: <br />
<br />
<math>\textbf{n}_{i}(t) = \cos{\theta_{i}^{n}(t)} \hat{\textbf{x}} + \sin{\theta_{i}^{n}(t)}\hat{\textbf{y}}</math> <br />
<br />
<br />
===Cálculo das forças intercelulares=== <br />
<br />
As forças entre os queratócitos são funções que dependem apenas das distâncias <math> d_{ij}</math> entre os centros de massa de cada um. Os dois principais critérios para a elaboração das forças foram: (i) As células devem ter um volume bem definido e apenas interagirem com os vizinhos mais próximos e (ii) para um certo valor de <math> d_{ij}</math> as células não devem mais interagirem. Assim considerou-se os queratócitos com um volume de raio <math>R_0/2</math>, onde sofrem uma força repulsiva até uma distância <math>R_{eq}</math>, uma força atrativa entre as distâncias <math>R_{eq}</math> e <math>R_0</math> e zero para maiores que <math>R_0</math>. Então temos a seguinte forma: <br />
<br />
<math><br />
\textbf{F}(\textbf{r}_{i}, \textbf{r}_{j} ) = \textbf{e}_{ij}\begin{cases} <br />
F_{rep}\frac{d_{ij} - R_{eq}}{R_{eq}},\quad d_{ij} < R_{eq} \\ <br />
F_{adh}\frac{d_{ij} - R_{eq}}{R_{0} - Re_{eq}}, \; \; R_{eq} \le d_{ij} \le R_{0}\\ <br />
0, \quad \quad \quad \quad \quad \; d_{ij} > R_{0}\\ <br />
\end{cases} <br />
</math> <br />
<br />
Onde <math>\textbf{e}_{ij} = \frac{\textbf{r}_{i} - \textbf{r}_{j}}{|\textbf{r}_{i} - \textbf{r}_{j} |}</math>, <math>d_{ij} = |\textbf{r}_{i} - \textbf{r}_{j} | </math>, <math>F_{rep}</math> é o máximo valor da força repulsiva para <math>d_{ij} = 0</math> e <math>F_{adh}</math> é o máximo valor da força atrativa para <math>d_{ij} = R_{0}</math> (Como pode ser visto na figura 4). <br />
<br />
<br />
[[Arquivo:Graf_forças.png|frame|400x400px|center|Gráfico 4: Gráfico das forças intercelulares.<ref name=szabo/>]] <br />
<br />
<br />
Com isso a dinâmica dos queratócitos está completa. <br />
<br />
<br />
==Resultados== <br />
<br />
Finalizado a dinâmica das células utilizou-se um programa em Python para simular os queratócitos para três diferentes valores de ruído. Porque além de apresentar uma transição de fase cinética variando a densidade (Como mostrado no experimento), também há uma transição variando a intensidade do ruído, ou seja, a potência natural da autopropulsão. Com isso, dado o programa <math>\it{Simulacao \; dos \; queratocitos\;}</math> obteve-se as seguintes simulações: <br />
<br />
<br />
[[Arquivo: Ezgif.com-gif-maker(1).gif|frame|400x400px|center|Gráfico 5: Simulação dos queratocitos para um ruído baixo.]] <br />
<br />
<br />
[[Arquivo:Ezgif.gif|frame|400x400px|center|Gráfico 6: Simulação dos queratocitos para um ruído intermediário]] <br />
<br />
<br />
[[Arquivo: Eta 5 5das.gif|frame|400x400px|center|Gráfico 7: Simulação dos queratocitos para um ruído alto]] <br />
<br />
<br />
== Parâmetro de Ordem== <br />
<br />
Para visualizar a transição de fase cinética definiu-se um parâmetro de ordem <math>V</math> onde é definido da seguinte maneira: <br />
<br />
<math>\frac{d\textbf{r}_{i}(t)}{dt}= v_{0}\textbf{n}_{i}(t) + \mu \sum_{j=1}^N \textbf{F}(\textbf{r}_{i}, \textbf{r}_{j} )</math> <br />
<br />
<math> \overline{V} = \langle V\rangle_{t_k}</math> <br />
<br />
<br />
Neste parâmetro queremos basicamente medir o quão desordenado está o sistema. Então a ideia é somar vetorialmente as velocidades de cada célula - dividida pelos seus respectivos módulos, pois só nos interessa a direção - e normalizamos pela quantidade de células. Além disso, ainda se faz uma média temporal a fim de melhorar ainda mais a medida. Tal tipo de parâmetro foi definido porque, por exemplo, se o sistema está em um estado dito desordenado esperamos os queratócitos vagando em direção aparentemente aleatórias, logo se somarmos as velocidades a resultante será um vetor nulo, e o valor de <math>\overline{V}</math> tenderá a zero. Já quando o sistema estiver um estado dito ordenado, as células estarão em um movimento coletivo, ou seja, o módulo da velocidade resultante será diferente de zero, por conseguinte, o valor de <math>\overline{V}</math> tenderá a 1. <br />
<br />
=== Resultado do Parâmetro de ordem === <br />
<br />
Antes de calcular o parâmetro <math>\overline{V}</math> fazendo a média temporal, temos que observar o gráfico da evolução temporal de <math>\overline{V}</math> (fazendo uso do programa em Python <math>\it{Evolucao \;temporal\; do \;parâmetro \;de \;ordem\;}</math>): <br />
<br />
<br />
[[Arquivo: VxT.png |frame|300x300px|center|Gráfico 8: Gráfico do parâmetro de ordem médio variando a densidade de células de queratócitos.]] <br />
<br />
<br />
Nota-se que há um transiente, com isso então para realizar o cálculo da média apenas utiliza-se os valores de <math>\overline{V}</math> para a cima de 50 interações a fim de desprezar o transiente e obter uma melhor média. <br />
Feito isto, com um outro programa em Python <math>\it{Transicao \; de \;fase \;}</math> temos o resultado obtido a partir das simulações: <br />
<br />
<br />
Assim, nota-se que se obteve um gráfico característico de uma transição de fase confirmando o que havíamos esperado. <br />
<br />
<br />
==Códigos== <br />
<br />
[https://github.com/edsonsignor/metcompC/blob/master/simula%C3%A7%C3%A3o_queratocitos.py Modelo de Szabó - Simulação dos queratócitos] <br />
<br />
[https://github.com/edsonsignor/metcompC/blob/master/verf_transiente_V.py Modelo de Szabó - Evolução temporal do parâmetro de ordem] <br />
<br />
[https://github.com/edsonsignor/metcompC/blob/master/Parametro_de_ordem.py Modelo de Szabó - Transição de fase] <br />
<br />
<br />
==Bibliografia== <br />
<br />
<references/></div>Edsonsignorhttp://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php?title=Arquivo:Ezgif.gif&diff=2410Arquivo:Ezgif.gif2020-01-05T00:57:37Z<p>Edsonsignor: Simulação das células de queratócitos para um ruído intermediário.</p>
<hr />
<div>Simulação das células de queratócitos para um ruído intermediário.</div>Edsonsignorhttp://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php?title=Grupo_-_Modelo_de_Szab%C3%B3&diff=2409Grupo - Modelo de Szabó2020-01-05T00:49:45Z<p>Edsonsignor: </p>
<hr />
<div> <br />
'''Integrante do grupo:''' Edson Mateus Signor (282004) <br />
<br />
==Introdução== <br />
<br />
Vemos corriqueiramente exemplos de movimentos coletivos na natureza como: cardume de peixes, bando de pássaros, células, etc. SZABÓ et al (2006)<br />
<ref name=szabo> B.Szabó, G. J.Szöllösi, B.Gönci, Zs.Jurányi, D.Selmeczi, and T.Vicsek. PHYSICAL REVIEW E 74, 061908 (2006)</ref>criam um modelo com a finalidade de reproduzir tais comportamentos para queratócitos (células teciduais de cicatrização de feridas nas escamas de peixes). O diferencial deste modelo perante os outros é o fato de usar partículas autopropulsadas com uma interação intercelular de curto alcance muito simples. O objetivo é a partir deste modelo visualizar uma transição de fase cinética no movimento dos queratócitos, para isso definimos o chamado parâmetro de ordem, o qual mede quão ordenado está o sistema, e variamos o valor de ruído presente na representação da locomoção natural das células. <br />
<br />
<br />
==Experimento== <br />
<br />
Em SZABÓ et al (2006) <ref name=szabo/> realizou-se um experimento com uma grande quantidade de células de tecido (queratócitos) a fim de visualizar a migração coletiva. À medida que as células migratórias aumentam, notou-se uma transição de fase cinética de um estado desordenado para um estado ordenado. <br />
<br />
<br />
[[Arquivo:Experiment.gif|frame|200x200px|center|Gráfico 1: Migração coletiva de queratócitos para diferentes densidades. <ref>http://angel.elte.hu/~bszabo/collectivecells/</ref>]] <br />
<br />
<br />
Observa-se no vídeo do grupo que para densidades pequenas as células apresentam um movimento aparentemente aleatório, já para uma densidade intermediária há a formação de pequenos clusters, porém não seguem um sentido de movimento em comum. Entretanto para uma alta densidade o movimento torna-se coletivo todos os queratócitos seguindo na mesma direção. Além disso, realizaram medidas experimentais do parâmetro de ordem médio do sistema para vários diferentes valores de densidades de células, a partir disso chegaram ao seguinte resultado: <br />
<br />
<br />
[[Arquivo:Parametro_ordem.png|frame|300x300px|center|Gráfico 2: Gráfico do parâmetro de ordem médio variando a densidade de células de queratócitos.<ref name=szabo/>]] <br />
<br />
<br />
Assim há mais uma evidência para a transição de fase cinética de um estado desordenado para um estado ordenado. Diante disso o modelo a partir de forças atrativas-repulsivas de curto alcance é suficiente para organizar um montante de células em um movimento coerente. <br />
<br />
<br />
==O Modelo== <br />
<br />
O modelo de Szabó foi construído a fim de interpretar os resultados experimentais e seu comportamento. O modelo para as queratócitos individualmente é baseado em células autopropulsadas, onde suas velocidades são constantes numa direção bem definida. Para o ruído da locomoção das células considera-se um ruído branco na direção da autopropulsão. Além disso, considera-se para a interação intercelular forças de curto alcance, onde o movimento coletivo dos queratócitos emerge partir delas.<br />
Considerando o sistema bi-dimensional descrevemos o movimento das N células com um movimento amortecido, logo: <br />
<br />
<math>\frac{d\textbf{r}_{i}(t)}{dt}= v_{0}\textbf{n}_{i}(t) + \mu \sum_{j=1}^N \textbf{F}(\textbf{r}_{i}, \textbf{r}_{j} )</math> <br />
<br />
Cada célula com mobilidade <math>\mu </math> segue na direção da autopropulsão <math> \textbf{n}_{i}(t) </math> caso não sofra a ação das forças intercelulares. <br />
<br />
<br />
===Cálculo da autopropulsão === <br />
<br />
A direção de <math> \textbf{n}_{i}(t) </math> é dado pelo ângulo <math>\theta _{i}^{n}(t) </math>, mostrado na figura abaixo. <br />
<br />
<br />
[[Arquivo:Imagem_int_celulas.png|frame|400x400px|center|Gráfico 3: Esquematização das células de queratócitos para o modelo de Szabó.<ref name=szabo/>]] <br />
<br />
<br />
Assim, como a velocidade <math> \textbf{v}_{i}(t) </math> das células tentam ajustar sua direção (dado pelo ângulo <math>\phi _{i}^{n}(t) </math >) com a de <math> \textbf{n}_{i}(t) </math>. Então atribuímos a ela uma força restauradora, caracterizada pela equação diferencial: <br />
<br />
<math>\frac{d\theta_{i}^{n}(t)}{dt} = \frac{(\theta_{i}^{n}(t) - \phi_{i}^{n}(t))}{\tau} + \xi</math> <br />
<br />
<math>\tau</math> é o tempo de relaxação e <math>\xi</math> é o ruído branco gaussiano da autopropulsão. Usando a fórmula do produto vetorial entre <math> \textbf{v}_{i}(t) </math> e <math> \textbf{n}_{i}(t) </math> : <br />
<br />
<math>\sin\left({\theta_{i}^{n}(t) - \phi_{i}^{n}(t)}\right) = \textbf{n}_{i}(t)\frac{\textbf{v}_{i}(t_{k})}{|\textbf{v}_{i}(t_{k})|}</math> <br />
<br />
Chegamos, assim, na seguinte expressão para o ângulo <math>\theta _{i}^{n}(t) </math>: <br />
<br />
<math>\frac{d\theta_{i}^{n}(t)}{dt} = \frac{1}{\tau} arcsin\left[\left(\textbf{n}_{i}(t)\frac{\textbf{v}_{i}(t_{k})}{|\textbf{v}_{i}(t_{k})|}\right)\cdot\textbf{e}_{z}\right] + \xi</math> <br />
<br />
Onde <math> \textbf{e}_{z} </math> é o vetor unitário perpendicular ao plano de movimento dos queratócitos. Deste modo, para atualizarmos o valor de <math>n_{i}(t)</math> basta utilizarmos a seguinte expressão: <br />
<br />
<math>\textbf{n}_{i}(t) = \cos{\theta_{i}^{n}(t)} \hat{\textbf{x}} + \sin{\theta_{i}^{n}(t)}\hat{\textbf{y}}</math> <br />
<br />
<br />
===Cálculo das forças intercelulares=== <br />
<br />
As forças entre os queratócitos são funções que dependem apenas das distâncias <math> d_{ij}</math> entre os centros de massa de cada um. Os dois principais critérios para a elaboração das forças foram: (i) As células devem ter um volume bem definido e apenas interagirem com os vizinhos mais próximos e (ii) para um certo valor de <math> d_{ij}</math> as células não devem mais interagirem. Assim considerou-se os queratócitos com um volume de raio <math>R_0/2</math>, onde sofrem uma força repulsiva até uma distância <math>R_{eq}</math>, uma força atrativa entre as distâncias <math>R_{eq}</math> e <math>R_0</math> e zero para maiores que <math>R_0</math>. Então temos a seguinte forma: <br />
<br />
<math><br />
\textbf{F}(\textbf{r}_{i}, \textbf{r}_{j} ) = \textbf{e}_{ij}\begin{cases} <br />
F_{rep}\frac{d_{ij} - R_{eq}}{R_{eq}},\quad d_{ij} < R_{eq} \\ <br />
F_{adh}\frac{d_{ij} - R_{eq}}{R_{0} - Re_{eq}}, \; \; R_{eq} \le d_{ij} \le R_{0}\\ <br />
0, \quad \quad \quad \quad \quad \; d_{ij} > R_{0}\\ <br />
\end{cases} <br />
</math> <br />
<br />
Onde <math>\textbf{e}_{ij} = \frac{\textbf{r}_{i} - \textbf{r}_{j}}{|\textbf{r}_{i} - \textbf{r}_{j} |}</math>, <math>d_{ij} = |\textbf{r}_{i} - \textbf{r}_{j} | </math>, <math>F_{rep}</math> é o máximo valor da força repulsiva para <math>d_{ij} = 0</math> e <math>F_{adh}</math> é o máximo valor da força atrativa para <math>d_{ij} = R_{0}</math> (Como pode ser visto na figura 4). <br />
<br />
<br />
[[Arquivo:Graf_forças.png|frame|400x400px|center|Gráfico 4: Gráfico das forças intercelulares.<ref name=szabo/>]] <br />
<br />
<br />
Com isso a dinâmica dos queratócitos está completa. <br />
<br />
<br />
==Resultados== <br />
<br />
Finalizado a dinâmica das células utilizou-se um programa em Python para simular os queratócitos para três diferentes valores de ruído. Porque além de apresentar uma transição de fase cinética variando a densidade (Como mostrado no experimento), também há uma transição variando a intensidade do ruído, ou seja, a potência natural da autopropulsão. Com isso, dado o programa <math>\it{Simulacao \; dos \; queratocitos\;}</math> obteve-se as seguintes simulações: <br />
<br />
<br />
[[Arquivo: Ezgif.com-gif-maker(1).gif|frame|400x400px|center|Gráfico 5: Simulação dos queratocitos para um ruído baixo.]] <br />
<br />
<br />
[[Arquivo:Experiment.gif|frame|400x400px|center|Gráfico 6: Simulação dos queratocitos para um ruído intermediário]] <br />
<br />
<br />
[[Arquivo: Eta 5 5das.gif|frame|400x400px|center|Gráfico 7: Simulação dos queratocitos para um ruído alto]] <br />
<br />
<br />
== Parâmetro de Ordem== <br />
<br />
Para visualizar a transição de fase cinética definiu-se um parâmetro de ordem <math>V</math> onde é definido da seguinte maneira: <br />
<br />
<math>\frac{d\textbf{r}_{i}(t)}{dt}= v_{0}\textbf{n}_{i}(t) + \mu \sum_{j=1}^N \textbf{F}(\textbf{r}_{i}, \textbf{r}_{j} )</math> <br />
<br />
<math> \overline{V} = \langle V\rangle_{t_k}</math> <br />
<br />
<br />
Neste parâmetro queremos basicamente medir o quão desordenado está o sistema. Então a ideia é somar vetorialmente as velocidades de cada célula - dividida pelos seus respectivos módulos, pois só nos interessa a direção - e normalizamos pela quantidade de células. Além disso, ainda se faz uma média temporal a fim de melhorar ainda mais a medida. Tal tipo de parâmetro foi definido porque, por exemplo, se o sistema está em um estado dito desordenado esperamos os queratócitos vagando em direção aparentemente aleatórias, logo se somarmos as velocidades a resultante será um vetor nulo, e o valor de <math>\overline{V}</math> tenderá a zero. Já quando o sistema estiver um estado dito ordenado, as células estarão em um movimento coletivo, ou seja, o módulo da velocidade resultante será diferente de zero, por conseguinte, o valor de <math>\overline{V}</math> tenderá a 1. <br />
<br />
=== Resultado do Parâmetro de ordem === <br />
<br />
Antes de calcular o parâmetro <math>\overline{V}</math> fazendo a média temporal, temos que observar o gráfico da evolução temporal de <math>\overline{V}</math> (fazendo uso do programa em Python <math>\it{Evolucao \;temporal\; do \;parâmetro \;de \;ordem\;}</math>): <br />
<br />
<br />
[[Arquivo: VxT.png |frame|300x300px|center|Gráfico 8: Gráfico do parâmetro de ordem médio variando a densidade de células de queratócitos.]] <br />
<br />
<br />
Nota-se que há um transiente, com isso então para realizar o cálculo da média apenas utiliza-se os valores de <math>\overline{V}</math> para a cima de 50 interações a fim de desprezar o transiente e obter uma melhor média. <br />
Feito isto, com um outro programa em Python <math>\it{Transicao \; de \;fase \;}</math> temos o resultado obtido a partir das simulações: <br />
<br />
<br />
Assim, nota-se que se obteve um gráfico característico de uma transição de fase confirmando o que havíamos esperado. <br />
<br />
<br />
==Códigos== <br />
<br />
[https://github.com/edsonsignor/metcompC/blob/master/simula%C3%A7%C3%A3o_queratocitos.py Modelo de Szabó - Simulação dos queratócitos] <br />
<br />
[https://github.com/edsonsignor/metcompC/blob/master/verf_transiente_V.py Modelo de Szabó - Evolução temporal do parâmetro de ordem] <br />
<br />
[https://github.com/edsonsignor/metcompC/blob/master/Parametro_de_ordem.py Modelo de Szabó - Transição de fase] <br />
<br />
<br />
==Bibliografia== <br />
<br />
<references/></div>Edsonsignorhttp://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php?title=Grupo_-_Modelo_de_Szab%C3%B3&diff=2408Grupo - Modelo de Szabó2020-01-05T00:29:32Z<p>Edsonsignor: </p>
<hr />
<div> <br />
'''Integrante do grupo:''' Edson Mateus Signor (282004) <br />
<br />
==Introdução== <br />
<br />
Vemos corriqueiramente exemplos de movimentos coletivos na natureza como: cardume de peixes, bando de pássaros, células, etc. SZABÓ et al (2006) <ref>B.Szabó, G. J.Szöllösi, B.Gönci, Zs.Jurányi, D.Selmeczi, and T.Vicsek. PHYSICAL REVIEW E 74, 061908 (2006)</ref> criam um modelo com a finalidade de reproduzir tais comportamentos para queratócitos (células teciduais de cicatrização de feridas nas escamas de peixes). O diferencial deste modelo perante os outros é o fato de usar partículas autopropulsadas com uma interação intercelular de curto alcance muito simples. O objetivo é a partir deste modelo visualizar uma transição de fase cinética no movimento dos queratócitos, para isso definimos o chamado parâmetro de ordem, o qual mede quão ordenado está o sistema, e variamos o valor de ruído presente na representação da locomoção natural das células. <br />
<br />
<br />
==Experimento== <br />
<br />
Em SZABÓ et al (2006) <ref>B.Szabó, G. J.Szöllösi, B.Gönci, Zs.Jurányi, D.Selmeczi, and T.Vicsek. PHYSICAL REVIEW E 74, 061908 (2006)</ref> realizou-se um experimento com uma grande quantidade de células de tecido (queratócitos) a fim de visualizar a migração coletiva. À medida que as células migratórias aumentam, notou-se uma transição de fase cinética de um estado desordenado para um estado ordenado. <br />
<br />
<br />
[[Arquivo:Experiment.gif|frame|200x200px|center|Gráfico 1: Migração coletiva de queratócitos para diferentes densidades. <ref>http://angel.elte.hu/~bszabo/collectivecells/</ref>]] <br />
<br />
<br />
Observa-se no vídeo do grupo que para densidades pequenas as células apresentam um movimento aparentemente aleatório, já para uma densidade intermediária há a formação de pequenos clusters, porém não seguem um sentido de movimento em comum. Entretanto para uma alta densidade o movimento torna-se coletivo todos os queratócitos seguindo na mesma direção. Além disso, realizaram medidas experimentais do parâmetro de ordem médio do sistema para vários diferentes valores de densidades de células, a partir disso chegaram ao seguinte resultado: <br />
<br />
<br />
[[Arquivo:Parametro_ordem.png|frame|300x300px|center|Gráfico 2: Gráfico do parâmetro de ordem médio variando a densidade de células de queratócitos.<ref>B.Szabó, G. J.Szöllösi, B.Gönci, Zs.Jurányi, D.Selmeczi, and T.Vicsek. PHYSICAL REVIEW E 74, 061908 (2006)</ref>]] <br />
<br />
<br />
Assim há mais uma evidência para a transição de fase cinética de um estado desordenado para um estado ordenado. Diante disso o modelo a partir de forças atrativas-repulsivas de curto alcance é suficiente para organizar um montante de células em um movimento coerente. <br />
<br />
<br />
==O Modelo== <br />
<br />
O modelo de Szabó foi construído a fim de interpretar os resultados experimentais e seu comportamento. O modelo para as queratócitos individualmente é baseado em células autopropulsadas, onde suas velocidades são constantes numa direção bem definida. Para o ruído da locomoção das células considera-se um ruído branco na direção da autopropulsão. Além disso, considera-se para a interação intercelular forças de curto alcance, onde o movimento coletivo dos queratócitos emerge partir delas.<br />
Considerando o sistema bi-dimensional descrevemos o movimento das N células com um movimento amortecido, logo: <br />
<br />
<math>\frac{d\textbf{r}_{i}(t)}{dt}= v_{0}\textbf{n}_{i}(t) + \mu \sum_{j=1}^N \textbf{F}(\textbf{r}_{i}, \textbf{r}_{j} )</math> <br />
<br />
Cada célula com mobilidade <math>\mu </math> segue na direção da autopropulsão <math> \textbf{n}_{i}(t) </math> caso não sofra a ação das forças intercelulares. <br />
<br />
<br />
===Cálculo da autopropulsão === <br />
<br />
A direção de <math> \textbf{n}_{i}(t) </math> é dado pelo ângulo <math>\theta _{i}^{n}(t) </math>, mostrado na figura abaixo. <br />
<br />
<br />
[[Arquivo:Imagem_int_celulas.png|frame|400x400px|center|Gráfico 3: Esquematização das células de queratócitos para o modelo de Szabó.<ref>B.Szabó, G. J.Szöllösi, B.Gönci, Zs.Jurányi, D.Selmeczi, and T.Vicsek. PHYSICAL REVIEW E 74, 061908 (2006)</ref>]] <br />
<br />
<br />
Assim, como a velocidade <math> \textbf{v}_{i}(t) </math> das células tentam ajustar sua direção (dado pelo ângulo <math>\phi _{i}^{n}(t) </math >) com a de <math> \textbf{n}_{i}(t) </math>. Então atribuímos a ela uma força restauradora, caracterizada pela equação diferencial: <br />
<br />
<math>\frac{d\theta_{i}^{n}(t)}{dt} = \frac{(\theta_{i}^{n}(t) - \phi_{i}^{n}(t))}{\tau} + \xi</math> <br />
<br />
<math>\tau</math> é o tempo de relaxação e <math>\xi</math> é o ruído branco gaussiano da autopropulsão. Usando a fórmula do produto vetorial entre <math> \textbf{v}_{i}(t) </math> e <math> \textbf{n}_{i}(t) </math> : <br />
<br />
<math>\sin\left({\theta_{i}^{n}(t) - \phi_{i}^{n}(t)}\right) = \textbf{n}_{i}(t)\frac{\textbf{v}_{i}(t_{k})}{|\textbf{v}_{i}(t_{k})|}</math> <br />
<br />
Chegamos, assim, na seguinte expressão para o ângulo <math>\theta _{i}^{n}(t) </math>: <br />
<br />
<math>\frac{d\theta_{i}^{n}(t)}{dt} = \frac{1}{\tau} arcsin\left[\left(\textbf{n}_{i}(t)\frac{\textbf{v}_{i}(t_{k})}{|\textbf{v}_{i}(t_{k})|}\right)\cdot\textbf{e}_{z}\right] + \xi</math> <br />
<br />
Onde <math> \textbf{e}_{z} </math> é o vetor unitário perpendicular ao plano de movimento dos queratócitos. Deste modo, para atualizarmos o valor de <math>n_{i}(t)</math> basta utilizarmos a seguinte expressão: <br />
<br />
<math>\textbf{n}_{i}(t) = \cos{\theta_{i}^{n}(t)} \hat{\textbf{x}} + \sin{\theta_{i}^{n}(t)}\hat{\textbf{y}}</math> <br />
<br />
<br />
===Cálculo das forças intercelulares=== <br />
<br />
As forças entre os queratócitos são funções que dependem apenas das distâncias <math> d_{ij}</math> entre os centros de massa de cada um. Os dois principais critérios para a elaboração das forças foram: (i) As células devem ter um volume bem definido e apenas interagirem com os vizinhos mais próximos e (ii) para um certo valor de <math> d_{ij}</math> as células não devem mais interagirem. Assim considerou-se os queratócitos com um volume de raio <math>R_0/2</math>, onde sofrem uma força repulsiva até uma distância <math>R_{eq}</math>, uma força atrativa entre as distâncias <math>R_{eq}</math> e <math>R_0</math> e zero para maiores que <math>R_0</math>. Então temos a seguinte forma: <br />
<br />
<math><br />
\textbf{F}(\textbf{r}_{i}, \textbf{r}_{j} ) = \textbf{e}_{ij}\begin{cases} <br />
F_{rep}\frac{d_{ij} - R_{eq}}{R_{eq}},\quad d_{ij} < R_{eq} \\ <br />
F_{adh}\frac{d_{ij} - R_{eq}}{R_{0} - Re_{eq}}, \; \; R_{eq} \le d_{ij} \le R_{0}\\ <br />
0, \quad \quad \quad \quad \quad \; d_{ij} > R_{0}\\ <br />
\end{cases} <br />
</math> <br />
<br />
Onde <math>\textbf{e}_{ij} = \frac{\textbf{r}_{i} - \textbf{r}_{j}}{|\textbf{r}_{i} - \textbf{r}_{j} |}</math>, <math>d_{ij} = |\textbf{r}_{i} - \textbf{r}_{j} | </math>, <math>F_{rep}</math> é o máximo valor da força repulsiva para <math>d_{ij} = 0</math> e <math>F_{adh}</math> é o máximo valor da força atrativa para <math>d_{ij} = R_{0}</math> (Como pode ser visto na figura 4). <br />
<br />
<br />
[[Arquivo:Graf_forças.png|frame|400x400px|center|Gráfico 4: Gráfico das forças intercelulares.<ref>B.Szabó, G. J.Szöllösi, B.Gönci, Zs.Jurányi, D.Selmeczi, and T.Vicsek. PHYSICAL REVIEW E 74, 061908 (2006)</ref>]] <br />
<br />
<br />
Com isso a dinâmica dos queratócitos está completa. <br />
<br />
<br />
==Resultados== <br />
<br />
Finalizado a dinâmica das células utilizou-se um programa em Python para simular os queratócitos para três diferentes valores de ruído. Porque além de apresentar uma transição de fase cinética variando a densidade (Como mostrado no experimento), também há uma transição variando a intensidade do ruído, ou seja, a potência natural da autopropulsão. Com isso, dado o programa <math>\it{Simulacao \; dos \; queratocitos\;}</math> obteve-se as seguintes simulações: <br />
<br />
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[[Arquivo: Ezgif.com-gif-maker(1).gif|frame|400x400px|center|Gráfico 5: Simulação dos queratocitos para um ruído baixo.]] <br />
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[[Arquivo:Experiment.gif|frame|400x400px|center|Gráfico 6: Simulação dos queratocitos para um ruído intermediário]] <br />
<br />
<br />
[[Arquivo: Eta 5 5das.gif|frame|400x400px|center|Gráfico 7: Simulação dos queratocitos para um ruído alto]] <br />
<br />
<br />
== Parâmetro de Ordem== <br />
<br />
Para visualizar a transição de fase cinética definiu-se um parâmetro de ordem <math>V</math> onde é definido da seguinte maneira: <br />
<br />
<math>\frac{d\textbf{r}_{i}(t)}{dt}= v_{0}\textbf{n}_{i}(t) + \mu \sum_{j=1}^N \textbf{F}(\textbf{r}_{i}, \textbf{r}_{j} )</math> <br />
<br />
<math> \overline{V} = \langle V\rangle_{t_k}</math> <br />
<br />
<br />
Neste parâmetro queremos basicamente medir o quão desordenado está o sistema. Então a ideia é somar vetorialmente as velocidades de cada célula - dividida pelos seus respectivos módulos, pois só nos interessa a direção - e normalizamos pela quantidade de células. Além disso, ainda se faz uma média temporal a fim de melhorar ainda mais a medida. Tal tipo de parâmetro foi definido porque, por exemplo, se o sistema está em um estado dito desordenado esperamos os queratócitos vagando em direção aparentemente aleatórias, logo se somarmos as velocidades a resultante será um vetor nulo, e o valor de <math>\overline{V}</math> tenderá a zero. Já quando o sistema estiver um estado dito ordenado, as células estarão em um movimento coletivo, ou seja, o módulo da velocidade resultante será diferente de zero, por conseguinte, o valor de <math>\overline{V}</math> tenderá a 1. <br />
<br />
=== Resultado do Parâmetro de ordem === <br />
<br />
Antes de calcular o parâmetro <math>\overline{V}</math> fazendo a média temporal, temos que observar o gráfico da evolução temporal de <math>\overline{V}</math> (fazendo uso do programa em Python <math>\it{Evolucao \;temporal\; do \;parâmetro \;de \;ordem\;}</math>): <br />
<br />
<br />
[[Arquivo: VxT.png |frame|300x300px|center|Gráfico 8: Gráfico do parâmetro de ordem médio variando a densidade de células de queratócitos.]] <br />
<br />
<br />
Nota-se que há um transiente, com isso então para realizar o cálculo da média apenas utiliza-se os valores de <math>\overline{V}</math> para a cima de 50 interações a fim de desprezar o transiente e obter uma melhor média. <br />
Feito isto, com um outro programa em Python <math>\it{Transicao \; de \;fase \;}</math> temos o resultado obtido a partir das simulações: <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Assim, nota-se que se obteve um gráfico característico de uma transição de fase confirmando o que havíamos esperado. <br />
<br />
<br />
==Códigos== <br />
<br />
[https://github.com/edsonsignor/metcompC/blob/master/simula%C3%A7%C3%A3o_queratocitos.py Modelo de Szabó - Simulação dos queratócitos] <br />
<br />
[https://github.com/edsonsignor/metcompC/blob/master/verf_transiente_V.py Modelo de Szabó - Evolução temporal do parâmetro de ordem] <br />
<br />
[https://github.com/edsonsignor/metcompC/blob/master/Parametro_de_ordem.py Modelo de Szabó - Transição de fase] <br />
<br />
<br />
==Bibliografia== <br />
<br />
<references/></div>Edsonsignorhttp://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php?title=Grupo_-_Modelo_de_Szab%C3%B3&diff=2407Grupo - Modelo de Szabó2020-01-05T00:26:46Z<p>Edsonsignor: </p>
<hr />
<div> <br />
'''Integrante do grupo:''' Edson Mateus Signor (282004) <br />
<br />
==Introdução== <br />
<br />
Vemos corriqueiramente exemplos de movimentos coletivos na natureza como: cardume de peixes, bando de pássaros, células, etc. SZABÓ et al (2006) <ref>B.Szabó, G. J.Szöllösi, B.Gönci, Zs.Jurányi, D.Selmeczi, and T.Vicsek. PHYSICAL REVIEW E 74, 061908 (2006)</ref> criam um modelo com a finalidade de reproduzir tais comportamentos para queratócitos (células teciduais de cicatrização de feridas nas escamas de peixes). O diferencial deste modelo perante os outros é o fato de usar partículas autopropulsadas com uma interação intercelular de curto alcance muito simples. O objetivo é a partir deste modelo visualizar uma transição de fase cinética no movimento dos queratócitos, para isso definimos o chamado parâmetro de ordem, o qual mede quão ordenado está o sistema, e variamos o valor de ruído presente na representação da locomoção natural das células. <br />
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<br />
==Experimento== <br />
<br />
Em SZABÓ et al (2006) <ref>B.Szabó, G. J.Szöllösi, B.Gönci, Zs.Jurányi, D.Selmeczi, and T.Vicsek. PHYSICAL REVIEW E 74, 061908 (2006)</ref> realizou-se um experimento com uma grande quantidade de células de tecido (queratócitos) a fim de visualizar a migração coletiva. À medida que as células migratórias aumentam, notou-se uma transição de fase cinética de um estado desordenado para um estado ordenado. <br />
<br />
<br />
[[Arquivo:Experiment.gif|frame|200x200px|center|Gráfico 1: Migração coletiva de queratócitos para diferentes densidades. <ref>http://angel.elte.hu/~bszabo/collectivecells/</ref>]] <br />
<br />
<br />
Observa-se no vídeo do grupo que para densidades pequenas as células apresentam um movimento aparentemente aleatório, já para uma densidade intermediária há a formação de pequenos clusters, porém não seguem um sentido de movimento em comum. Entretanto para uma alta densidade o movimento torna-se coletivo todos os queratócitos seguindo na mesma direção. Além disso, realizaram medidas experimentais do parâmetro de ordem médio do sistema para vários diferentes valores de densidades de células, a partir disso chegaram ao seguinte resultado: <br />
<br />
<br />
[[Arquivo:Parametro_ordem.png|frame|300x300px|center|Gráfico 2: Gráfico do parâmetro de ordem médio variando a densidade de células de queratócitos.<ref>B.Szabó, G. J.Szöllösi, B.Gönci, Zs.Jurányi, D.Selmeczi, and T.Vicsek. PHYSICAL REVIEW E 74, 061908 (2006)</ref>]] <br />
<br />
<br />
Assim há mais uma evidência para a transição de fase cinética de um estado desordenado para um estado ordenado. Diante disso o modelo a partir de forças atrativas-repulsivas de curto alcance é suficiente para organizar um montante de células em um movimento coerente. <br />
<br />
<br />
==O Modelo== <br />
<br />
O modelo de Szabó foi construído a fim de interpretar os resultados experimentais e seu comportamento. O modelo para as queratócitos individualmente é baseado em células autopropulsadas, onde suas velocidades são constantes numa direção bem definida. Para o ruído da locomoção das células considera-se um ruído branco na direção da autopropulsão. Além disso, considera-se para a interação intercelular forças de curto alcance, onde o movimento coletivo dos queratócitos emerge partir delas.<br />
Considerando o sistema bi-dimensional descrevemos o movimento das N células com um movimento amortecido, logo: <br />
<br />
<math>\frac{d\textbf{r}_{i}(t)}{dt}= v_{0}\textbf{n}_{i}(t) + \mu \sum_{j=1}^N \textbf{F}(\textbf{r}_{i}, \textbf{r}_{j} )</math> <br />
<br />
Cada célula com mobilidade <math>\mu </math> segue na direção da autopropulsão <math> \textbf{n}_{i}(t) </math> caso não sofra a ação das forças intercelulares. <br />
<br />
<br />
===Cálculo da autopropulsão === <br />
<br />
A direção de <math> \textbf{n}_{i}(t) </math> é dado pelo ângulo <math>\theta _{i}^{n}(t) </math>, mostrado na figura abaixo. <br />
<br />
<br />
[[Arquivo:Imagem_int_celulas.png|frame|300x300px|center|Gráfico 3: Esquematização das células de queratócitos para o modelo de Szabó.<ref>B.Szabó, G. J.Szöllösi, B.Gönci, Zs.Jurányi, D.Selmeczi, and T.Vicsek. PHYSICAL REVIEW E 74, 061908 (2006)</ref>]] <br />
<br />
<br />
Assim, como a velocidade <math> \textbf{v}_{i}(t) </math> das células tentam ajustar sua direção (dado pelo ângulo <math>\phi _{i}^{n}(t) </math >) com a de <math> \textbf{n}_{i}(t) </math>. Então atribuímos a ela uma força restauradora, caracterizada pela equação diferencial: <br />
<br />
<math>\frac{d\theta_{i}^{n}(t)}{dt} = \frac{(\theta_{i}^{n}(t) - \phi_{i}^{n}(t))}{\tau} + \xi</math> <br />
<br />
<math>\tau</math> é o tempo de relaxação e <math>\xi</math> é o ruído branco gaussiano da autopropulsão. Usando a fórmula do produto vetorial entre <math> \textbf{v}_{i}(t) </math> e <math> \textbf{n}_{i}(t) </math> : <br />
<br />
<math>\sin\left({\theta_{i}^{n}(t) - \phi_{i}^{n}(t)}\right) = \textbf{n}_{i}(t)\frac{\textbf{v}_{i}(t_{k})}{|\textbf{v}_{i}(t_{k})|}</math> <br />
<br />
Chegamos, assim, na seguinte expressão para o ângulo <math>\theta _{i}^{n}(t) </math>: <br />
<br />
<math>\frac{d\theta_{i}^{n}(t)}{dt} = \frac{1}{\tau} arcsin\left[\left(\textbf{n}_{i}(t)\frac{\textbf{v}_{i}(t_{k})}{|\textbf{v}_{i}(t_{k})|}\right)\cdot\textbf{e}_{z}\right] + \xi</math> <br />
<br />
Onde <math> \textbf{e}_{z} </math> é o vetor unitário perpendicular ao plano de movimento dos queratócitos. Deste modo, para atualizarmos o valor de <math>n_{i}(t)</math> basta utilizarmos a seguinte expressão: <br />
<br />
<math>\textbf{n}_{i}(t) = \cos{\theta_{i}^{n}(t)} \hat{\textbf{x}} + \sin{\theta_{i}^{n}(t)}\hat{\textbf{y}}</math> <br />
<br />
<br />
===Cálculo das forças intercelulares=== <br />
<br />
As forças entre os queratócitos são funções que dependem apenas das distâncias <math> d_{ij}</math> entre os centros de massa de cada um. Os dois principais critérios para a elaboração das forças foram: (i) As células devem ter um volume bem definido e apenas interagirem com os vizinhos mais próximos e (ii) para um certo valor de <math> d_{ij}</math> as células não devem mais interagirem. Assim considerou-se os queratócitos com um volume de raio <math>R_0/2</math>, onde sofrem uma força repulsiva até uma distância <math>R_{eq}</math>, uma força atrativa entre as distâncias <math>R_{eq}</math> e <math>R_0</math> e zero para maiores que <math>R_0</math>. Então temos a seguinte forma: <br />
<br />
<math><br />
\textbf{F}(\textbf{r}_{i}, \textbf{r}_{j} ) = \textbf{e}_{ij}\begin{cases} <br />
F_{rep}\frac{d_{ij} - R_{eq}}{R_{eq}},\quad d_{ij} < R_{eq} \\ <br />
F_{adh}\frac{d_{ij} - R_{eq}}{R_{0} - Re_{eq}}, \; \; R_{eq} \le d_{ij} \le R_{0}\\ <br />
0, \quad \quad \quad \quad \quad \; d_{ij} > R_{0}\\ <br />
\end{cases} <br />
</math> <br />
<br />
Onde <math>\textbf{e}_{ij} = \frac{\textbf{r}_{i} - \textbf{r}_{j}}{|\textbf{r}_{i} - \textbf{r}_{j} |}</math>, <math>d_{ij} = |\textbf{r}_{i} - \textbf{r}_{j} | </math>, <math>F_{rep}</math> é o máximo valor da força repulsiva para <math>d_{ij} = 0</math> e <math>F_{adh}</math> é o máximo valor da força atrativa para <math>d_{ij} = R_{0}</math> (Como pode ser visto na figura 4). <br />
<br />
<br />
[[Arquivo:Graf_forças.png|frame|300x300px|center|Gráfico 4: Gráfico das forças intercelulares.<ref>B.Szabó, G. J.Szöllösi, B.Gönci, Zs.Jurányi, D.Selmeczi, and T.Vicsek. PHYSICAL REVIEW E 74, 061908 (2006)</ref>]] <br />
<br />
<br />
Com isso a dinâmica dos queratócitos está completa. <br />
<br />
<br />
==Resultados== <br />
<br />
Finalizado a dinâmica das células utilizou-se um programa em Python para simular os queratócitos para três diferentes valores de ruído. Porque além de apresentar uma transição de fase cinética variando a densidade (Como mostrado no experimento), também há uma transição variando a intensidade do ruído, ou seja, a potência natural da autopropulsão. Com isso, dado o programa <math>\it{Simulacao \; dos \; queratocitos\;}</math> obteve-se as seguintes simulações: <br />
<br />
<br />
[[Arquivo: Ezgif.com-gif-maker(1).gif|frame|400x400px|center|Gráfico 5: Simulação dos queratocitos para um ruído baixo.]] <br />
<br />
<br />
[[Arquivo:Experiment.gif|frame|400x400px|center|Gráfico 6: Simulação dos queratocitos para um ruído intermediário]] <br />
<br />
<br />
[[Arquivo: Eta 5 5das.gif|frame|400x400px|center|Gráfico 7: Simulação dos queratocitos para um ruído alto]] <br />
<br />
<br />
== Parâmetro de Ordem== <br />
<br />
Para visualizar a transição de fase cinética definiu-se um parâmetro de ordem <math>V</math> onde é definido da seguinte maneira: <br />
<br />
<math>\frac{d\textbf{r}_{i}(t)}{dt}= v_{0}\textbf{n}_{i}(t) + \mu \sum_{j=1}^N \textbf{F}(\textbf{r}_{i}, \textbf{r}_{j} )</math> <br />
<br />
<math> \overline{V} = \langle V\rangle_{t_k}</math> <br />
<br />
<br />
Neste parâmetro queremos basicamente medir o quão desordenado está o sistema. Então a ideia é somar vetorialmente as velocidades de cada célula - dividida pelos seus respectivos módulos, pois só nos interessa a direção - e normalizamos pela quantidade de células. Além disso, ainda se faz uma média temporal a fim de melhorar ainda mais a medida. Tal tipo de parâmetro foi definido porque, por exemplo, se o sistema está em um estado dito desordenado esperamos os queratócitos vagando em direção aparentemente aleatórias, logo se somarmos as velocidades a resultante será um vetor nulo, e o valor de <math>\overline{V}</math> tenderá a zero. Já quando o sistema estiver um estado dito ordenado, as células estarão em um movimento coletivo, ou seja, o módulo da velocidade resultante será diferente de zero, por conseguinte, o valor de <math>\overline{V}</math> tenderá a 1. <br />
<br />
=== Resultado do Parâmetro de ordem === <br />
<br />
Antes de calcular o parâmetro <math>\overline{V}</math> fazendo a média temporal, temos que observar o gráfico da evolução temporal de <math>\overline{V}</math> (fazendo uso do programa em Python <math>\it{Evolucao \;temporal\; do \;parâmetro \;de \;ordem\;}</math>): <br />
<br />
<br />
[[Arquivo: VxT.png |frame|300x300px|center|Gráfico 8: Gráfico do parâmetro de ordem médio variando a densidade de células de queratócitos.]] <br />
<br />
<br />
Nota-se que há um transiente, com isso então para realizar o cálculo da média apenas utiliza-se os valores de <math>\overline{V}</math> para a cima de 50 interações a fim de desprezar o transiente e obter uma melhor média. <br />
Feito isto, com um outro programa em Python <math>\it{Transicao \; de \;fase \;}</math> temos o resultado obtido a partir das simulações: <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Assim, nota-se que se obteve um gráfico característico de uma transição de fase confirmando o que havíamos esperado. <br />
<br />
<br />
==Códigos== <br />
<br />
[https://github.com/edsonsignor/metcompC/blob/master/simula%C3%A7%C3%A3o_queratocitos.py Modelo de Szabó - Simulação dos queratócitos] <br />
<br />
[https://github.com/edsonsignor/metcompC/blob/master/verf_transiente_V.py Modelo de Szabó - Evolução temporal do parâmetro de ordem] <br />
<br />
[https://github.com/edsonsignor/metcompC/blob/master/Parametro_de_ordem.py Modelo de Szabó - Transição de fase] <br />
<br />
<br />
==Bibliografia== <br />
<br />
<references/></div>Edsonsignorhttp://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php?title=Arquivo:VxT.png&diff=2406Arquivo:VxT.png2020-01-04T22:49:39Z<p>Edsonsignor: Evoulçao temporal do parâmetro de ordem.</p>
<hr />
<div>Evoulçao temporal do parâmetro de ordem.</div>Edsonsignorhttp://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php?title=Arquivo:Ezgif.com-gif-maker(1).gif&diff=2405Arquivo:Ezgif.com-gif-maker(1).gif2020-01-04T21:19:32Z<p>Edsonsignor: Simulação dos queratócitos para um ruído baixo.</p>
<hr />
<div>Simulação dos queratócitos para um ruído baixo.</div>Edsonsignorhttp://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php?title=Arquivo:Eta_5_5das.gif&diff=2404Arquivo:Eta 5 5das.gif2020-01-04T21:18:17Z<p>Edsonsignor: Simulação dos queratócitos para um valore de ruído alto.</p>
<hr />
<div>Simulação dos queratócitos para um valore de ruído alto.</div>Edsonsignorhttp://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php?title=M%C3%A9todos_computacionais&diff=2399Métodos computacionais2020-01-03T16:15:57Z<p>Edsonsignor: /* Métodos Computacionais C */</p>
<hr />
<div>Física computacional é uma abordagem da '''física teórica''' com o auxílio do computador essencialmente<br />
quando a complexidade do problema impossibilita o avanço pela via analítica e/ou porque os cálculos<br />
numéricos são longos demais para serem feitos sem automação.<br />
Alguns consideram a '''física computacional''' um terceiro (e mais recente) vértice do triângulo da maneira de se fazer física, onde os outros dois vértices são a '''física teórica''' e a '''física experimental'''.<br />
<br />
'''Métodos computacionais''' é a disciplina onde estudamos ferramentas, métodos e algoritmos numéricos para a resolução de problemas de física onde uma abordagem analítica é extremamente complexa ou impossível.<br />
<br />
Alguns exemplos de aplicação são: a solução numérica de equações diferenciais ordinárias, integração numérica via métodos de aproximação ou estatísticos como método de Monte Carlo, equações diferencias parciais como as equações de Maxwell e de Schroedinger, métodos matriciais para a solução de problemas de autovalor e autovetor como os encontrados na Mecânica Quântica.<br />
<br />
==Breve Historia da Computação==<br />
<br />
De Conrad Zuse (1941) ao IBM Blue/Gene (2006)<br />
<br />
==Arquitectura==<br />
<br />
[http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Personal_computer%2C_exploded_5.svg Diagrama de PC]<br />
<br />
== Ferramentas ==<br />
===== [[Comandos Unix/Linux]] =====<br />
===== [[Gnuplot]] e [[xmgrace]] =====<br />
===== [[LaTex]] =====<br />
===== [[FORTRAN]] =====<br />
===== [[C]] =====<br />
<br />
== Métodos Computacionais A ==<br />
===== [[Derivada Numérica]] =====<br />
===== [[Integração Numérica]] =====<br />
===== [[Interpolação e extrapolação]] =====<br />
====== [[Fórmula de Lagrange]]======<br />
====== [[Spline cúbico]]======<br />
<!--- ===== [[Eliminação gaussiana e retro-substituição]] ===== ---><br />
===== [[Zeros de Funções]]=====<br />
===== [[Mínimos Quadrados]] =====<br />
===== [[Listas de exercícios]] =====<br />
====== [[Área 1]] ======<br />
====== [[Área 2]] ======<br />
====== [[Área 3]] ======<br />
<br />
== Métodos Computacionais B ==<br />
<br />
===== [[Integração numérica de equações diferenciais ordinárias]] =====<br />
<br />
<br />
===== [[Métodos multipassos]]=====<br />
<br />
===== [[Métodos de passo variável]]=====<br />
<br />
===== [[Aplicações (Mapas)]]=====<br />
<br />
===== [[Números Aleatórios]]=====<br />
<br />
===== [[Histogramas e Densidade de Probabilidade ]] =====<br />
<br />
===== [[Método de Monte Carlo (integração numérica)]]=====<br />
<br />
<br />
== Métodos Computacionais C ==<br />
<br />
===== [[Equações Diferenciais Parciais]] =====<br />
<br />
=====[[Grupo1 - Dif em 2D]] =====<br />
<br />
=====[[Grupo2 - Ondas1]]=====<br />
<br />
=====[[Grupo3 - Ondas2]]=====<br />
<br />
=====[[Grupo4 - FFT]]=====<br />
<br />
=====[[Grupo5 - Eq. Schroedinger]]=====<br />
<br />
<br />
=====[[Grupo - Ising 2D]]=====<br />
<br />
===== [[Monte Carlo]] =====<br />
<br />
=====[[Grupo - Lennard Jones]]=====<br />
<br />
=====[[Grupo - BOIDS]]=====<br />
<br />
=====[[Grupo - Tráfego]]=====<br />
<br />
===== [[Teste_conv]] =====<br />
<br />
===== [[Teste2]] =====<br />
<br />
===== [[Grupo - Dilema Do Prisioneiro]] =====<br />
<br />
===== [[Grupo - Modelo Sznajd]] =====<br />
<br />
=====[[Grupo - Modelo de Potts]]=====<br />
<br />
=====[[Grupo - Conservação do Parâmetro de Ordem]]=====<br />
<br />
=====[[ Movimento Coletivo ]] =====<br />
<br />
=====[[Grupo - Modelo de Szabó]]=====<br />
<br />
=====[[ Ressonância Estocástica ]] =====</div>Edsonsignorhttp://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php?title=Arquivo:Graf_for%C3%A7as.png&diff=2398Arquivo:Graf forças.png2020-01-02T20:28:31Z<p>Edsonsignor: Gráfico das forças intercelulares.</p>
<hr />
<div>Gráfico das forças intercelulares.</div>Edsonsignorhttp://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php?title=Arquivo:Imagem_int_celulas.png&diff=2397Arquivo:Imagem int celulas.png2020-01-02T20:25:37Z<p>Edsonsignor: Esquematização das células dos queratócitos.</p>
<hr />
<div>Esquematização das células dos queratócitos.</div>Edsonsignorhttp://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php?title=Arquivo:Parametro_ordem.png&diff=2396Arquivo:Parametro ordem.png2019-12-27T22:57:50Z<p>Edsonsignor: Gráfico do parâmetro de ordem médio variando a densidade de células de queratócitos.</p>
<hr />
<div>Gráfico do parâmetro de ordem médio variando a densidade de células de queratócitos.</div>Edsonsignorhttp://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php?title=Arquivo:Experiment.gif&diff=2395Arquivo:Experiment.gif2019-12-27T22:29:54Z<p>Edsonsignor: Migração coletiva de queratócitos para diferentes densidades</p>
<hr />
<div>Migração coletiva de queratócitos para diferentes densidades</div>Edsonsignorhttp://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php?title=Grupo_-_Modelo_de_Szab%C3%B3&diff=2394Grupo - Modelo de Szabó2019-12-27T14:05:17Z<p>Edsonsignor: </p>
<hr />
<div>'''Integrante do grupo:''' Edson Mateus Signor (282004)<br />
<br />
==Introdução==<br />
Vemos corriqueiramente exemplos de movimentos coletivo na natureza como: cardume de peixes, bando de pássaros, células, etc. SZABÓ et al (2006) criam um modelo com a finalidade de reproduzir tais comportamentos para células de queratócitos (células de cicatrização de feridas na escamas de peixes). O diferencial deste modelo perante os outros é o fato de usar partículas autopropulsadas com uma interação intercelular de curto alcance muito simples. O objetivo é a partir deste modelo visualizar uma transição de fase cinética no movimento dos queratócitos conforme variamos um parâmetro que ajusta o coeficiente de autopropulsão das células.<br />
<br />
<br />
==Experimento==<br />
No mesmo artigo de SZABÓ et al (2006) realizaram um experimento a fim de</div>Edsonsignorhttp://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php?title=Grupo_-_Modelo_de_Szab%C3%B3&diff=2393Grupo - Modelo de Szabó2019-12-26T21:01:36Z<p>Edsonsignor: Criou página com ''''Integrante do grupo:''' Edson Mateus Signor (282004) ==Introdução== Vemos corriqueiramente exemplos de movimentos coletivo na natureza como: cardume de peixes, bando de...'</p>
<hr />
<div>'''Integrante do grupo:''' Edson Mateus Signor (282004)<br />
<br />
==Introdução==<br />
Vemos corriqueiramente exemplos de movimentos coletivo na natureza como: cardume de peixes, bando de pássaros, células, etc. SZABÓ et al (2006) criam um modelo com a finalidade de reproduzir tais comportamentos para células de queratócitos (células de cicatrização de feridas na escamas de peixes). O diferencial deste modelo perante os outros é o fato de usar partículas autopropulsadas com uma interação intercelular de curto alcance muito simples. O objetivo é a partir deste modelo visualizar uma transição de fase cinética no movimento dos queratócitos conforme variamos um parâmetro que ajusta o coeficiente de autopropulsão das células.<br />
<br />
<br />
==Experimento==<br />
No mesmo artigo de SZABÓ et al (2006) realizaram um experimento afim de</div>Edsonsignorhttp://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php?title=M%C3%A9todos_computacionais&diff=2392Métodos computacionais2019-12-26T18:47:54Z<p>Edsonsignor: /* Métodos Computacionais C */</p>
<hr />
<div>Física computacional é uma abordagem da '''física teórica''' com o auxílio do computador essencialmente<br />
quando a complexidade do problema impossibilita o avanço pela via analítica e/ou porque os cálculos<br />
numéricos são longos demais para serem feitos sem automação.<br />
Alguns consideram a '''física computacional''' um terceiro (e mais recente) vértice do triângulo da maneira de se fazer física, onde os outros dois vértices são a '''física teórica''' e a '''física experimental'''.<br />
<br />
'''Métodos computacionais''' é a disciplina onde estudamos ferramentas, métodos e algoritmos numéricos para a resolução de problemas de física onde uma abordagem analítica é extremamente complexa ou impossível.<br />
<br />
Alguns exemplos de aplicação são: a solução numérica de equações diferenciais ordinárias, integração numérica via métodos de aproximação ou estatísticos como método de Monte Carlo, equações diferencias parciais como as equações de Maxwell e de Schroedinger, métodos matriciais para a solução de problemas de autovalor e autovetor como os encontrados na Mecânica Quântica.<br />
<br />
==Breve Historia da Computação==<br />
<br />
De Conrad Zuse (1941) ao IBM Blue/Gene (2006)<br />
<br />
==Arquitectura==<br />
<br />
[http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Personal_computer%2C_exploded_5.svg Diagrama de PC]<br />
<br />
== Ferramentas ==<br />
===== [[Comandos Unix/Linux]] =====<br />
===== [[Gnuplot]] e [[xmgrace]] =====<br />
===== [[LaTex]] =====<br />
===== [[FORTRAN]] =====<br />
===== [[C]] =====<br />
<br />
== Métodos Computacionais A ==<br />
===== [[Derivada Numérica]] =====<br />
===== [[Integração Numérica]] =====<br />
===== [[Interpolação e extrapolação]] =====<br />
====== [[Fórmula de Lagrange]]======<br />
====== [[Spline cúbico]]======<br />
<!--- ===== [[Eliminação gaussiana e retro-substituição]] ===== ---><br />
===== [[Zeros de Funções]]=====<br />
===== [[Mínimos Quadrados]] =====<br />
===== [[Listas de exercícios]] =====<br />
====== [[Área 1]] ======<br />
====== [[Área 2]] ======<br />
====== [[Área 3]] ======<br />
<br />
== Métodos Computacionais B ==<br />
<br />
===== [[Integração numérica de equações diferenciais ordinárias]] =====<br />
<br />
<br />
===== [[Métodos multipassos]]=====<br />
<br />
===== [[Métodos de passo variável]]=====<br />
<br />
===== [[Aplicações (Mapas)]]=====<br />
<br />
===== [[Números Aleatórios]]=====<br />
<br />
===== [[Histogramas e Densidade de Probabilidade ]] =====<br />
<br />
===== [[Método de Monte Carlo (integração numérica)]]=====<br />
<br />
<br />
== Métodos Computacionais C ==<br />
<br />
===== [[Equações Diferenciais Parciais]] =====<br />
<br />
=====[[Grupo1 - Dif em 2D]] =====<br />
<br />
=====[[Grupo2 - Ondas1]]=====<br />
<br />
=====[[Grupo3 - Ondas2]]=====<br />
<br />
=====[[Grupo4 - FFT]]=====<br />
<br />
=====[[Grupo5 - Eq. Schroedinger]]=====<br />
<br />
<br />
=====[[Grupo - Ising 2D]]=====<br />
<br />
===== [[Monte Carlo]] =====<br />
<br />
=====[[Grupo - Lennard Jones]]=====<br />
<br />
=====[[Grupo - BOIDS]]=====<br />
<br />
=====[[Grupo - Tráfego]]=====<br />
<br />
===== [[Teste_conv]] =====<br />
<br />
===== [[Teste2]] =====<br />
<br />
===== [[Grupo - Dilema Do Prisioneiro]] =====<br />
<br />
===== [[Grupo - Modelo Sznajd]] =====<br />
<br />
=====[[Grupo - Modelo de Potts]]=====<br />
<br />
=====[[Grupo - Conservação do Parâmetro de Ordem]]=====<br />
<br />
=====[[Grupo - Modelo de Szabó]]=====<br />
<br />
=====[[ Ressonância Estocástica ]] =====<br />
<br />
<br />
=====[[ Dinâmica Molecular ]] =====</div>Edsonsignorhttp://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php?title=M%C3%A9todos_computacionais&diff=2391Métodos computacionais2019-12-21T16:59:48Z<p>Edsonsignor: /* Métodos Computacionais C */</p>
<hr />
<div>Física computacional é uma abordagem da '''física teórica''' com o auxílio do computador essencialmente<br />
quando a complexidade do problema impossibilita o avanço pela via analítica e/ou porque os cálculos<br />
numéricos são longos demais para serem feitos sem automação.<br />
Alguns consideram a '''física computacional''' um terceiro (e mais recente) vértice do triângulo da maneira de se fazer física, onde os outros dois vértices são a '''física teórica''' e a '''física experimental'''.<br />
<br />
'''Métodos computacionais''' é a disciplina onde estudamos ferramentas, métodos e algoritmos numéricos para a resolução de problemas de física onde uma abordagem analítica é extremamente complexa ou impossível.<br />
<br />
Alguns exemplos de aplicação são: a solução numérica de equações diferenciais ordinárias, integração numérica via métodos de aproximação ou estatísticos como método de Monte Carlo, equações diferencias parciais como as equações de Maxwell e de Schroedinger, métodos matriciais para a solução de problemas de autovalor e autovetor como os encontrados na Mecânica Quântica.<br />
<br />
==Breve Historia da Computação==<br />
<br />
De Conrad Zuse (1941) ao IBM Blue/Gene (2006)<br />
<br />
==Arquitectura==<br />
<br />
[http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Personal_computer%2C_exploded_5.svg Diagrama de PC]<br />
<br />
== Ferramentas ==<br />
===== [[Comandos Unix/Linux]] =====<br />
===== [[Gnuplot]] e [[xmgrace]] =====<br />
===== [[LaTex]] =====<br />
===== [[FORTRAN]] =====<br />
===== [[C]] =====<br />
<br />
== Métodos Computacionais A ==<br />
===== [[Derivada Numérica]] =====<br />
===== [[Integração Numérica]] =====<br />
===== [[Interpolação e extrapolação]] =====<br />
====== [[Fórmula de Lagrange]]======<br />
====== [[Spline cúbico]]======<br />
<!--- ===== [[Eliminação gaussiana e retro-substituição]] ===== ---><br />
===== [[Zeros de Funções]]=====<br />
===== [[Mínimos Quadrados]] =====<br />
===== [[Listas de exercícios]] =====<br />
====== [[Área 1]] ======<br />
====== [[Área 2]] ======<br />
====== [[Área 3]] ======<br />
<br />
== Métodos Computacionais B ==<br />
<br />
===== [[Integração numérica de equações diferenciais ordinárias]] =====<br />
<br />
<br />
===== [[Métodos multipassos]]=====<br />
<br />
===== [[Métodos de passo variável]]=====<br />
<br />
===== [[Aplicações (Mapas)]]=====<br />
<br />
===== [[Números Aleatórios]]=====<br />
<br />
===== [[Histogramas e Densidade de Probabilidade ]] =====<br />
<br />
===== [[Método de Monte Carlo (integração numérica)]]=====<br />
<br />
<br />
== Métodos Computacionais C ==<br />
<br />
===== [[Equações Diferenciais Parciais]] =====<br />
<br />
=====[[Grupo1 - Dif em 2D]] =====<br />
<br />
=====[[Grupo2 - Ondas1]]=====<br />
<br />
=====[[Grupo3 - Ondas2]]=====<br />
<br />
=====[[Grupo4 - FFT]]=====<br />
<br />
=====[[Grupo5 - Eq. Schroedinger]]=====<br />
<br />
<br />
=====[[Grupo - Ising 2D]]=====<br />
<br />
===== [[Monte Carlo]] =====<br />
<br />
=====[[Grupo - Lennard Jones]]=====<br />
<br />
=====[[Grupo - BOIDS]]=====<br />
<br />
=====[[Grupo - Tráfego]]=====<br />
<br />
===== [[Teste_conv]] =====<br />
<br />
===== [[Teste2]] =====<br />
<br />
===== [[Grupo - Dilema Do Prisioneiro]] =====<br />
<br />
===== [[Grupo - Modelo Sznajd]] =====<br />
<br />
=====[[Grupo - Modelo de Potts]]=====<br />
<br />
=====[[Grupo - Conservação do Parâmetro de Ordem]]=====<br />
<br />
=====[[ Ressonância Estocástica ]] =====<br />
<br />
<br />
=====[[ Dinâmica Molecular ]] =====</div>Edsonsignor