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Grupo - Conservação do Parâmetro de Ordem

2018-01-25T10:32:23Z

Dfriggo:

==Introdução==

O modelo de Ising possui características universais que permitem aplicá-lo a situações diversas sendo tão versátil a ponto de descrever desde ferromagnetos até interações sociais. Dentro dessa gama de possibilidades existe o modelo de Conservação do Parâmetro de Ordem (CPO) em que, como o nome indica, mantém-se o parâmetro de ordem constante. No caso de um ferromagneto o parâmetro de ordem é a magnetização, portanto, um modelo de Ising sujeito CPO a grandeza análoga à magnetização se manteria constante a cada passo da simulação.

Apesar da estrutura matemática muito similar ao modelo de Ising, o modelo de CPO com sua simples condição de conservação do parâmetro de ordem aliado a condições de contorno permite que se modele sistemas marcadamente diferentes do tradicional sistema de ferromagneto tais como o gás de rede onde é possível estudar o comportamento de interfaces vapor-sólido ou vapor-líquido em condições de equilíbrio como por exemplo o equilíbrio entre água líquida e seu vapor ou entre gelo e vapor d'água.

O gás de rede é um modelo simplificado de um gás real onde se associa a cada ponto da rede uma partícula (átomo) ou sua ausência (vacância). Ao contrário do gás real a coordenada do movimento não é contínua, pois as partículas se movem de maneira discreta somente pelos vértices da rede.
Pode-se refinar o modelo de diversas formas:
* Atribuindo inércia às partículas
* Alterando a forma da rede (quadrada, hexagonal, fcc, bcc, cúbica)
* Incluindo partículas de tipos diferentes com interações comum a seu respectivo tipo
* Presença e/ou tipos de colisões

No entanto, uma versão simplificada (e simples de simular) desse modelo é suficiente para reproduzir qualitativamente o comportamento de interfaces.

==Teoria<ref name=newman>Newman, M. E. J.; Barkema, G. T. (1999). "Monte Carlo Methods in Statistical Physics" New York: Oxford University Press. ISBN 019-851796-3.</ref><ref name=krauth>Krauth, Werner (2006). "Statiscal Mechanics: Algorithms and Computations" New York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-851535-7.</ref>==

No modelo simplificado do gás de rede as partículas (sem inércia), movem-se de forma aleatória sob excitação térmica e satisfazem as seguintes condições:

#O número total de partículas é fixo: nenhuma partícula deixa ou entra no sistema, portanto, caso desapareça a partícula deve reaparecer em outro ponto da rede no mesmo passo de simulação.
#Um ponto da rede pode ser ocupado por uma única partícula ou permanecer vazio (não ocupado). Essa é uma maneira grosseira de assimilar o caráter físico de repulsão do gás real onde partículas não podem interpenetrar-se devido a exclusão de Pauli.
#Se duas partículas são primeiras vizinhas uma da outra elas sentem uma atração <math>\epsilon</math> que é a mesma para qualquer par de partículas. Essa condição modela o efeito de atração entre partículas de um gás real.

As forças de atração e repulsão num gás real não possuem alcance de mesma ordem. A repulsão é de curto alcance enquanto a atração é de longo-alcance. Embora o presente modelo trate as partículas como se o alcance de repulsão e atração fossem da mesma ordem, ainda é possível extrair propriedades físicas que tem paralelo com o gás real tais como transições de fase e formato de interfaces.

A cada ponto da rede associamos o valor <math>+1</math> se houver uma partícula nesse ponto ou <math>0</math> caso contrário. Representamos essa variável por <math>\sigma_i</math>, ou seja, no iésimo ponto da rede a variável <math>\sigma_i</math> pode assumir apenas os valores <math>+1</math> ou <math>0</math>, ou resumidamente:

<math>
\begin{cases}
0, \text{ponto da rede vazio} \\
1, \text{ponto da rede ocupado} \\
\end{cases}
</math>

A conservação do número de partículas exige que se tenha:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\sum_i\sigma_i = \rho N</math> </div>

Onde <math>\rho</math> é a densidade de partículas e <math>N</math> é o número total de partículas, sendo, portanto, <math>\rho N</math> o número de pontos ocupados da rede.

O hamiltoniano do sistema é modelado a partir da condição 2 exposta acima em que é especificado que um par de primeiros vizinhos na rede contribui para a diminuição da energia do sistema por uma quantidade <math>\epsilon</math>:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\epsilon\sum_{<ij>}\sigma_i\sigma_j</math> </div>

Onde <math>\sum_{<ij>}</math> denota soma sobre todos os pares de primeiros vizinhos da rede.

===Equivalência ao modelo de Ising===

Para mostrar a equivalência com o modelo de Ising definimos a seguinte variável:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>s_i = 2\sigma_i-1</math> </div>

Essa nova variável é nada mais do que o spin no modelo de Ising para um ferromagneto assumindo os valores:
* <math>+1</math> quando <math>\sigma_i = +1</math>, ou seja, posição ocupada por partícula; ou
* <math>-1</math> quando <math>\sigma_i = 0</math>, ou seja, posição não ocupada

Em termos da variável de spin <math>\sigma_i</math> é dada por:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\sigma_i = \frac{1}{2}(s_i+1)</math> </div>

Substituindo no Hamiltoniano tem-se:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}(s_i+1)(s_j+1)</math> </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_is_j-\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_i-\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_j-\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}1</math> </div>

Seja <math>z</math> o número de coordenação da rede, ou seja, o número de primeiros vizinhos (<math>z=4</math> para rede quadrada e <math>z=6</math> para rede cúbica simples). Para uma dada rede existem <math\frac{1}{2}z N</math> possíveis pares distintos de primeiros vizinhos

Pode-se simplificar esssa expressão com base nas seguintes observações:

* Os somatórios em <math>s_i</math> e <math>s_j</math> são idênticos exceto pelo índice.
* A soma <math>\sum_{<ij>}s_i</math>sobre pares de vizinhos é equivalente a somar <math>z</math> vezes sobre o número de pontos da rede:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\sum_{<ij>}s_i = 2z\sum_{i}s_i</math></div>

* <math>\sum_i s_i</math> pode ser escrito em termos das constantes <math>\rho</math> e <math>N</math> assim como ocorre com <math>\sigma_i</math>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\sum_i\sigma_i = \rho N</math></div>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\frac{1}{2}\sum_i(s_i+1) = \rho N</math></div>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\frac{1}{2}\sum_i s_i = \rho N - \frac{1}{2}\sum_i 1</math></div>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\frac{1}{2}\sum_i s_i = \rho N - \frac{1}{2}N</math></div>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\sum_i s_i = N(2\rho - 1)</math>
</div>

Dessa forma o Hamiltoniano se reduz a:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_is_j-\frac{1}{2}z\epsilon\sum_{i}s_i-\frac{1}{4}\epsilon(2zN)</math> </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_is_j-\frac{1}{2}z\epsilon(N(2\rho-1))-\frac{1}{4}\epsilon(2zN)</math> </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_is_j-z\epsilon N\rho +\frac{1}{2}\epsilon z N-\frac{1}{2}\epsilon z N </math> </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_is_j-z\epsilon N\rho</math></div>

Seja J = <math>\frac{1}{4}\epsilon</math> e observando que <math>-z\epsilon N\rho</math> é uma constante pois todos seus termos são constantes, chegamos na equivalência com o Hamiltoniano do modelo de Ising na ausência de campo magnético:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -J\sum_{<ij>}s_is_j + ctc = H^{Ising}_{B=0} + ctc</math></div>

O valor esperado <math><Q></math> de qualquer quantidade física <math>Q</math> não é alterado pela adição de uma constante ao hamiltoniano:

<math><Q> = \sum_\mu Q_\mu p_\mu = \frac{\sum_\mu{Q_\mu}e^{-\beta(E_\mu + ctc)}}{\sum_\mu e^{-\beta(E_\mu + ctc)}}= \frac{e^{-\beta ctc}\sum_\mu{Q_\mu}e^{-\beta E_\mu}}{e^{-\beta ctc}\sum_\mu e^{-\beta E_\mu}} = \frac{1}{Z}\sum_\mu{Q_\mu}e^{-\beta E_\mu} = <Q></math>

===Conservação do parâmetro de ordem===

A magnetização do sistema é nada mais do que a soma de spins que já calculamos acima:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>M = \sum_i s_i = N(2\rho - 1)</math></div>

No entanto, <math>\rho</math> e <math>N</math> devem permanecer constantes durante toda a simução, isso implica que a magnetização também é sempre constante, ou seja, a magnetização é o '''parâmetro de ordem conservado''' nesse sistema fato que dá nome ao método.

É vantajoso tratar o modelo de gás de rede sob a perspectiva de um modelo de Ising pois todo o arcabouço de técnicas amplamente conhecidas e extensivamente estudadas para o modelo de Ising podem ser aplicadas.

Apesar das similaridades, o gás de rede, como definido, possui muito menos estados válidos (<math>\frac{1}{2}z N</math>) pois não é permitido alterar a magnetização do sistema enquanto no modelo de Ising qualquer spin individual pode ser invertido sem restrições pois a magnetização não precisa se manter constante (<math>2^N</math> estados possíveis).

==Transição de fase==

Aproveitando a equivalência estabelecida entre gás de rede e o modelo de Ising sabe-se que o sistema possui uma transição de fase que ocorre a uma temperatura crítica <math>T_c</math>. Rearranjando a densidade de pontos (equivalente agora à densidade de spins up) tem-se:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>2\rho - 1 = \frac{M}{N}</math></div>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\rho = \frac{1}{2}(1+m)</math></div>

No modelo de Ising sabe-se também que abaixo da temperatura crítica existem dois valores de equilíbrio para a magnetização que são <math>+|m|</math> e <math>-|m|</math>, portanto, para favorecer a coexistência de fases tem-se que:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\frac{1}{2}(1-|m|) = \rho_- \le \rho \le \rho_+ = \frac{1}{2}(1+|m|)</math></div>

Para valores de <math>\rho</math> fora do intervalo <math>\rho_- \le \rho \le \rho_+</math> ainda é possível que uma região do sistema favoreça uma das duas densidades preferenciais. Suponha que se tenha <math>\rho < \rho_-</math>. Nesse caso o sistema possui menos partículas do que precisa pra atingir o a densidade <math>\rho_+</math>. Ainda que localmente seja possível o sistema atingir a densidade <math>\rho_+</math> isso leva a uma falta ainda maior de partículas em outras regiões do sistema sendo, portanto, energeticamente custoso. A opção energeticamente mais favorável adotada pelo sistema é distribuir as poucas partículas homegeneamente pela rede. Esse comportamento é observado na simulação.

Dessa forma, no caso de <math>J>0</math> o sistema possui duas fases:
* Uma em que <math>\rho\in[\rho_-,\rho_+]</math> se dividindo em dois domínios cada qual favorecendo uma das duas densidades <math>\pm\rho</math>
* E outra em que <math>\rho\not\in[\rho_-,\rho_+]</math> tendo densidade homogênea

Com <math>\rho</math> sujeito ao intervalo <math>\frac{1}{2}(1-|m|) \le \rho \le \frac{1}{2}(1+|m|)</math> conclui-se que <math>\rho</math> pode assumir um intervalo menor de valores a medida que <math>|m|</math> diminui. A magnetização diminui sob o aumento da temperatura. Acima da temperatura crítica a <math>|m|=0</math> e portanto o intervalo <math>\frac{1}{2}(1-|m|) \le \rho \le \frac{1}{2}(1+|m|)</math> reduz-se a zero evidenciando que não existe mais um valor de <math>\rho</math> que evite a homogeinização da rede.

A discussão acima pode ser apresentada resumidamente pelo diagrama de fases:

[[Arquivo:Ferromagnet phases.gif|frame|center|Diagrama de fases do modelo CPO. Fase homogênea para temperaturas além da temperatura crítica e fase coexistente abaixo com densidades preferenciais <math>\rho_+</math> e <math>\rho_-</math>]]

Esse comportamento é observado quando se diminui a temperatura de vapor d'agua que passa a formar gotas líquidas que coexistem com o vapor para um intervalo de temperaturas. A fase condensada do gás de rede, no entanto, é mais adequadamente interpretada como um sólido devido a posição fixa das partículas (análogas a moléculas ou átomos) na rede, dessa forma, falamos de interface vapor/sólido ao invés de vapor/líquido.

==Teoria<ref name=newman>Newman, M. E. J.; Barkema, G. T. (1999). "Monte Carlo Methods in Statistical Physics" New York: Oxford University Press. ISBN 019-851796-3.</ref><ref name=krauth>Krauth, Werner (2006). "Statiscal Mechanics: Algorithms and Computations" New York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-851535-7.</ref>==

Sistemas físicos em equilíbrio com muitos graus de liberdade e no limite termodinâmico comportam-se de tal forma que ao flutuarem de um estado <math>\mu</math> para um estado <math>\nu</math> tem-se que <math>\nu</math> difere pouco de <math>\mu</math>. Outra maneira de dizer isso é que as flutuações dessa tipo de sistema físico são muito pequenas em relação ao número de configurações possíveis e que portanto o sistema passa a maior parte do tempo alternando entre um pequeno conjunto de configurações. A consequência disso é que pode-se escolher uma estratégia de visitar com maior probabilidade apenas a fração de estados do sistema, as quais mais contribuem para atingir o equilíbrio ao invés de se visitar todos os estados indistintamente. No modelo de ferromagneto, por exemplo, com uma rede <math>10\times 10\times 10</math>, há <math>2^{1000} \simeq 10^{300}</math> configurações possíveis sendo que mesmo com um supercomputador seria impraticável realizar essa simulação. O método de Monte Carlo consiste em visitar eficientemente uma pequena fração desses estados e atingir rapidamente o equilíbrio em poucos passos e o peso que define como visitar o estado seguinte é dado pela distribuição de Boltzmann <math>e^{\beta(E_\nu-E_\mu)}</math> onde fica claro que quanto mais diferente <math>\nu</math> for de <math>\mu</math> menor a change de fazer a transição <math>\mu\to\mu</math>

Dessa forma impõe-se que no equilíbrio o sistema obedeça a distribuição de Boltzmann, portanto a condição de balanço detalhado dá liberdade na escolha de <math>P(\mu\to\nu)</math> e <math>P(\nu\to\mu)</math> desde que seja satisfeita:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\frac{g(\mu)}{g(\nu)}\frac{A(\mu\to\nu)}{A(\nu\to\mu)} = e^{\beta(E_\nu-E_\mu)}</math></div>

Uma possível escolha para <math>A(\mu\to\nu)</math> seria:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>A(\mu\to\nu)=A_0e^{-\frac{1}{2}\beta(E_\nu-E_\mu)}</math></div>

Tomando <math>g(\mu) = g(\nu)</math> e como <math>A_0</math> é cancelada na razão entre probabilidades de aceitação temos a liberdade na sua escolha desde que mantenha a probabilidade menor ou igual a um. No modelo de ferromagneto, por exemplo, a maior diferença de energia que se pode obter entre estados é <math>\Delta E = E_\nu-E_\mu = \pm 2zJ</math> o que significa que o maior valor de <math>e^{-\frac{1}{2}\beta(E_\nu-E_\mu)}</math> é justamente <math>e^{\beta zJ}</math>. Assim, para garantir que a probabilidade seja menor ou igual a 1 deve-se escolher <math>A_0 \le e^{-\beta zJ}</math>

Para que o algoritmo seja eficiente deseja-se que a probabilidade de aceitação seja a maior possível, pois do contrário estaríamos utilizando tempo computacional apenas para rejeitar trocas de estado. Portanto queremos que <math>A_0</math> assuma o maior valor possível <math>A_0 = e^{-\beta zJ}</math>, maximizando <math>A(\mu\to\nu)</math>:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>A(\mu\to\nu)=e^{-\frac{1}{2}\beta(E_\nu-E_\mu+2\beta z J)}</math></div>

Devido a condição de balanço detalhado, essa escolha implica:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>A(\nu\to\mu)=e^{-\beta z J}</math></div>

Metropolis percebeu que desde que a condição de balanço detalhado seja satisfeita tem-se liberdade na escolha das probabilidades de aceitação. Então ele decidiu atribuir o maior valor possível para a probabilidade de aceitação que tem o maior valor entre as duas, no caso <math>A(\nu\to\mu)</math>, ou seja:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>A(\nu\to\mu)=1</math></div>

O que implica:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>A(\mu\to\nu)=e^{-\beta(E_\nu-E_\mu)}</math></div>

Dessa forma a transição de estados sempre ocorre se <math>E_\nu < E_\mu</math> ou seja <math>\Delta E < 0</math> mas pode ou não ocorrer caso seja <math>\Delta E > 0</math> com uma probabilidade dada por <math>e^{-\beta(E_\nu-E_\mu)}</math>. Em suma:

<math>
A(\mu\to\nu) = \begin{cases}
e^{-\beta(E_\nu-E_\mu)} \ \mbox{ se } \ E_\nu - E_\mu > 0\\
1 \ \mbox{ caso contrario}\\
\end{cases}
</math>

==Implementação<ref name=newman/>==

Para obedecer a condição de conservação da magnetização não é permitido alterar um spin individualmente (ou um número ímpar de spins). Uma maneira de tratar a dinâmica desse sistema foi proposta por Kawasaki <ref name=kawasaki>[https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.49.1223 T. Ohta, D. Jasnow and K. Kawasaki, Phys. Rev. Lett. 49 1223 (1982). "Universal Scaling in the Motion of Random Interfaces". American Physical Society]</ref> e consiste em simplesmente alternar o estado de spin de um par de
partículas que tenham estados de spin oposto, ou seja:

<math>
\begin{cases}
\uparrow \uparrow ou \downarrow \downarrow \quad\to\quad \text{nada a fazer} \\
\uparrow \downarrow \quad\to\quad \downarrow \uparrow\\
\downarrow \uparrow \quad\to\quad \uparrow \downarrow\\
\end{cases}
</math>

É evidente que nesse caso a mudança conserva a magnetização, pois a troca de spins resulta em variação de magnetização nula.

Cada ponto da rede possui <math>z</math> vizinhos e portanto a cada passo de iteração deve-se sortear com qual dos vizinhos será feita uma tentativa de troca de spins. Essa escolha é feita aleatoriamente (uniforme). Uma vez escolhido um vizinho deve-se decidir se a troca deve ser feita ou não. Essa decisão é tomada com base no método de Monte Carlo, em particular, com a probabilidade de aceitação de Metropolis exatamente como exposto na seção acima.

A '''ergodicidade''' é satisfeita pelo sistema pois um passo de Monte Carlo corresponde a uma troca entre vizinhos que numa rede finita pode ser efetuada a partir de outro estado qualquer em número finito de passos

Como já foi mencionado a rede possui <math>N</math> pontos e número de coordenação <math>z</math> o que resulta em <math>\frac{1}{2}zN</math> pares de primeiros vizinhos, portanto, a probabilidade de selecionar um par qualquer é dada por:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>g(\mu\to\nu) = \frac{1}{\frac{1}{2}zN} = \frac{2}{zN}</math></div>

A probabilidade de seleção <math>g(\nu\to\mu)</math> é a mesma fazendo com que esses termos se cortem na condição de balanço detalhado e permitindo que se aplique a escolha de Metropolis discutida acima sem alterações.

Para efetivamente tomar a decisão sobre a troca entre vizinhos onde <math>\Delta E</math> é necessário especificar como é feito seu cálculo. <math>\Delta E</math> é dado pela seguinte expressão:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\Delta E = E_\nu-E_\mu = 2J\left[s_k^\mu\sum_{i\not\in\{k',k\}}s_i^\mu+s_{k'}^\mu\sum_{j\not\in\{k,k'\}}s_j^\mu\right]</math></div>

Seja um ponto da rede <math>k</math> e <math>k'</math> primeiro vizinho de <math>k</math>. Deseja-se calcular a energia de interação entre esse par. A expressão acima apenas diz que deve-somar os produtos do spin de <math>k</math>, <math>(s_k)</math>, com seus primeiros vizinhos <math>s_i</math> excluindo-se da soma tanto <math>k</math> quanto <math>k'</math>. Faz-se o mesmo procedimento para <math>k'</math>, ou seja, soma-se os produtos do spin <math>k'</math>, <math>(s_{k'})</math>, com todos os seus primeiros vizinhos <math>s_j</math> exceto ele mesmo e <math>k</math>. A soma dessas duas quantidades multiplicadas por <math>2J</math> é igual a diferença de energia entre a configuração <math>\mu</math> e a <math>\nu</math>

A simulação é extremamente simplificada pelo fato de o estado final não figurar na expressão para o cálculo da diferença de energia da transição, pois pode-se verificar de antemão se a transição deve ser feita sem que seja necessário efetivamente colocar o sistema no estado final <math>\nu</math>.

==Simulação==

Foram simulados três sistemas diferentes os quais são discutidos a seguir. O objetivo das simulações em determinar a tendência do formato de cada interface após vários passos de monte carlo sem verificar rigorosamente se o equilíbrio foi atingido. Uma análise das condições de equilíbrio é discutida na última seção.
Todas as simulações demandam a geração de muitos números aleatórios por isso optou-se por usar Mersenne Twister - um algoritmo veloz para geração de números aleatórios.

===Interface linear===

Esse sistema consiste de uma rede quadrada de aresta <math>l</math>. A rede tem inicialmente sua metade inferior completamente populada por partículas (spins up) e o restante da rede possui vacâncias (spins down).

Cada ponto da rede é visitado sequencialmente e um dos seus 4 vizinhos é sorteado para que se faça uma tentativa de troca de posição entre o par. Caso a energia do sistema diminua, a troca é feita com probabilidade 1. Caso contrário a troca ocorre com probabilidade dada pelo peso de Boltzmann (algoritmo de Metropolis).

A primeira condição de contorno refere-se às paredes superior e inferior. A ultima linha de pontos da rede possui spins apontando pra baixo permanentemente assim como a primeira linha de pontos da rede tem-se spins apontando pra cima. Para que essa configuração seja mantida ao longo da simulação, evita-se qualquer tentativa de troca entre pares envolvendo esses pontos. Essa condição de contorno garante que a interface se mantenha fixa, do contrário, ela poderia transitar pela rede.
Nas paredes laterais aplica-se condição de contorno periódica onde por exemplo um ponto da rede na coluna <math>l-1</math> pode trocar de lugar com um primeiro vizinho da coluna <math>0</math> e vice-versa.

Ao iterar pela rede é comum deparar-se com pares de vizinhos que possuem mesma orientação de spin e portanto são ignorados imediatamente pois em nada contribuem para a dinâmica do sistema.

[[Arquivo:cop500iterinstepsof10.gif|frame|center|Interface linear entre sólido e vapor. Cada frame corresponde a 10 passos de Monte Carlo de um total de 500 passos. Primeira simulação com alta temperatura <math>T > T_C</math>. Segunda simulação com temperatura intermediária <math>T < T_C</math>. Terceira simulação com baixa temperatura <math>T \ll T_C</math>]]

Como observado, a alta temperatura recai-se no regime homogêneo em que a alternativa mais adequada para que o sistema minize sua energia é distribuir os spins up (partículas) uniformemente pela rede.
A uma temperatura abaixo da crítica percebe-se a formação de uma interface persistente entre a região inferior com densidade preferencial <math>\rho_+</math> e a superior com densidade preferencial <math>\rho_-</math> em coexistência.
Ao diminuir ainda mais a temperatura o efeito fica mais acentuado, ou seja, a interface é menos deformada em relação ao caso anterior.

É possível escrever um algoritmo mais eficiente. Ao invés de percorrer toda a rede e testar ponto a ponto pela possibilidade de uma transição, armazena-se em memória duas listas, uma de spins up e outra de spins down e sorteia-se dois elementos de cada lista para que se faça a transição. Dessa forma, não se perde tempo com rejeições. No entanto, para sistemas pequenos com alguns milhares de passos de Monte Carlo e relativamente poucos pontos como o sistema estudado não foi necessário esse ganho de performance.

===Interface circular===

Nesse sistema exclui-se a condição de contorno que fixa os spins das paredes superior e inferior e atribui-se a elas as mesmas condições das paredes laterais, ou seja, condições de contorno periódicas onde, por exemplo, uma partícula na linha <math>l-1</math> pode trocar de lugar com sua primeira vizinha da linha <math>0</math>
Como condição inicial posiciona-se as partículas num formato quadrado no centro da rede e observa-se como o formato da interface varia ao longo da simulação. A densidade de partículas é menor que no exemplo anterior da interface linear.

[[Arquivo:copSquare500iterinstepsof10.gif|frame|center|Interface circular entre sólido e vapor. Cada frame corresponde a 10 passos de Monte Carlo de um total de 500 passos. Primeira simulação com alta temperatura <math>T > T_C</math>. Segunda simução com temperatura intermediária <math>T < T_C</math>. Terceira simulação com baixa temperatura <math>T \ll T_C</math>]]

A interface é energeticamente custosa pois para cada par de spins antialinhados o sistema aumenta de energia por um fator 2J e como na rede quadrada um spin da interface possui 3 vizinhos antialinhados, sistema aumenta de energia por um fator 6J. Portanto fisicamente espera-se que o sistema evolua de tal forma a minimizar a extensão da sua interface, minimizando sua tensão superficial. No caso simulado espera-se que um domínio circular seja gerado pois o círculo é a forma geométrica que possui menor perímetro. No entanto, como a simulação demonstra, mesmo pra baixas temperaturas a forma nunca é perfeitamente circular e isso se deve ao tamanho finito da rede o faz com que seu formato (da rede) influencie o formato da interface.

A animação abaixo ilustra o mesmo processo mas com menos frames por segundo permitindo acompanhar detalhes da dinâmica do sistema.

[[Arquivo:copSquare100-iloveimg-compressed.gif|frame|center|Animação com 100 passos de Monte Carlo. Primeira simulação com alta temperatura <math>T > T_C</math>. Segunda simução com temperatura intermediária <math>T < T_C</math>. Terceira simulação com baixa temperatura <math>T \ll T_C</math>]]

===Interface esférica===

A simulação da interface esférica é uma extensão direita da simulação da interface circular apenas adicionando mais uma dimensão. Observa-se os mesmos efeitos de redução de tensão superficial pela deformação do cubo em uma região aproximadamente esférica quando a temperatura é menor que a temperatura crítica. Acima da a temperatura crítica a densidade fica homogênea como esperado.

Cada ponto da rede agora possui 6 vizinhos ao invés de 4 e isso faz com que as haja valores adicionais de diferenças de energia entre estados (na rede quadrada era possível obter <math>\Delta E \in \{0, \pm 4, \pm 8, \pm 12\}</math> e agora na rede cúbica <math>\Delta E \in \{0, \pm 4, \pm 8, \pm 12, \pm 16, \pm 20\}</math>

<div>
[[Arquivo:Cubeneighbours.png|frame|Visualização da vizinhança de um ponto de uma rede cúbica. Download for free at http://cnx.org/contents/85abf193-2bd2-4908-8563-90b8a7ac8df6@9.311]]

[[Arquivo:cop3D500instepsof10.gif|frame|center|Interface esférica entre sólido e vapor. Cada frame corresponde a 10 passos de Monte Carlo de um total de 500 passos. Primeira simulação com alta temperatura <math>T > T_C</math>. Segunda simução com temperatura intermediária <math>T < T_C</math>. Terceira simulação com baixa temperatura <math>T \ll T_C</math>]]

</div>
<p style="clear: both;"></p>

A mesma simulação com menos partículas, vista mais distante e com uma pequena diferença na quantidade de passos.
<br/>

[[Arquivo:cop3D250instepsof5round.gif|frame|center|Interface esférica entre sólido e vapor. Cada frame corresponde a 5 passos de Monte Carlo de um total de 250 passos. Primeira simulação com alta temperatura <math>T > T_C</math>. Segunda simução com temperatura intermediária <math>T < T_C</math>. Terceira simulação com baixa temperatura <math>T \ll T_C</math>]]

Introduzindo interações entre segundos vizinhos é possível reproduzir formatos de cristais cúbicos como por exemplo o cristal de face centrada ou de corpo centrado.<ref name=newman/>

==Equilíbrio==

Para medir qualquer grandeza de um sistema simulado pelo método de Carlo é necessária que a medida seja feita sob regime de equilíbrio. Torna-se então importante saber quando o sistema atinge o equilíbrio. No caso de um ferromagneto no modelo de Ising pode-se monitorar a magnetização ou calor específico até que a grandeza atinja um valor estacionário. No caso do gás de rede podemos monitorar o formato da interface, ou mais simplesmente, a densidade média de spins up (partículas) em cada coluna da rede quadrada. Acompanhando a mudança percentual nessa densidade ao passar de um passo de Monte Carlo para o passo seguinte é possível ter uma idéia de quanto passos são necessários para atingir o equilíbrio.

[[Arquivo:equilibrium20000.png|frame|center|Densidade percentual média em função de número de passos de Monte Carlo (até 20000 passos)]]

Olhando mais de perto o início da curva percebe-se que em torno de 1500 passos o equilíbrio ja foi seguramente atingido.

[[Arquivo:equilibrium2000.png|frame|center|Densidade percentual média em função de número de passos de Monte Carlo (até 2000 passos)]]

As simulações exibidas acima estão, portanto, na região fora do equilíbrio mas como observado acima o objetivo das simulações era determinar a tendência do formato das interfaces e não o seu formato no equilíbrio.

==Códigos==

[https://github.com/diogofriggo/metcompc/blob/master/Trabalho2/COP/COP/main.c Conservação de parâmetro de ordem - Interface linear]

[https://github.com/diogofriggo/metcompc/blob/master/Trabalho2/COPSquare/COPSquare/main.c Conservação de parâmetro de ordem - Interface circular]

[https://github.com/diogofriggo/metcompc/blob/master/Trabalho2/COP3D/COP3D/main.c Conservação de parâmetro de ordem - Interface esférica]

[https://github.com/diogofriggo/metcompc/blob/master/Trabalho2/COPEquilibrium/COPEquilibrium/main.c Conservação de parâmetro de ordem - Equilíbrio]

==Bibliografia==
<references/>

Grupo - Conservação do Parâmetro de Ordem

2018-01-25T03:39:35Z

Dfriggo:

==Introdução==

O modelo de Ising possui características universais que permitem aplicá-lo a situações diversas sendo tão versátil a ponto de descrever desde ferromagnetos até interações sociais. Dentro dessa gama de possibilidades existe o modelo de Conservação do Parâmetro de Ordem (CPO) em que, como o nome indica, mantém-se o parâmetro de ordem constante. No caso de um ferromagneto o parâmetro de ordem é a magnetização, portanto, um modelo de Ising sujeito CPO a grandeza análoga à magnetização se manteria constante a cada passo da simulação.

Apesar da estrutura matemática muito similar ao modelo de Ising, o modelo de CPO com sua simples condição de conservação do parâmetro de ordem aliado a condições de contorno permite que se modele sistemas marcadamente diferentes do tradicional sistema de ferromagneto tais como o gás de rede onde é possível estudar o comportamento de interfaces vapor-sólido ou vapor-líquido em condições de equilíbrio como por exemplo o equilíbrio entre água líquida e seu vapor ou entre gelo e vapor d'água.

O gás de rede é um modelo simplificado de um gás real onde se associa a cada ponto da rede uma partícula (átomo) ou sua ausência (vacância). Ao contrário do gás real a coordenada do movimento não é contínua, pois as partículas se movem de maneira discreta somente pelos vértices da rede.
Pode-se refinar o modelo de diversas formas:
* Atribuindo inércia às partículas
* Alterando a forma da rede (quadrada, hexagonal, fcc, bcc, cúbica)
* Incluindo partículas de tipos diferentes com interações comum a seu respectivo tipo
* Presença e/ou tipos de colisões

No entanto, uma versão simplificada (e simples de simular) desse modelo é suficiente para reproduzir qualitativamente o comportamento de interfaces.

==Teoria<ref name=newman>Newman, M. E. J.; Barkema, G. T. (1999). "Monte Carlo Methods in Statistical Physics" New York: Oxford University Press. ISBN 019-851796-3.</ref><ref name=krauth>Krauth, Werner (2006). "Statiscal Mechanics: Algorithms and Computations" New York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-851535-7.</ref>==

No modelo simplificado do gás de rede as partículas (sem inércia), movem-se de forma aleatória sob excitação térmica e satisfazem as seguintes condições:

#O número total de partículas é fixo: nenhuma partícula deixa ou entra no sistema, portanto, caso desapareça a partícula deve reaparecer em outro ponto da rede no mesmo passo de simulação.
#Um ponto da rede pode ser ocupado por uma única partícula ou permanecer vazio (não ocupado). Essa é uma maneira grosseira de assimilar o caráter físico de repulsão do gás real onde partículas não podem interpenetrar-se devido a exclusão de Pauli.
#Se duas partículas são primeiras vizinhas uma da outra elas sentem uma atração <math>\epsilon</math> que é a mesma para qualquer par de partículas. Essa condição modela o efeito de atração entre partículas de um gás real.

As forças de atração e repulsão num gás real não possuem alcance de mesma ordem. A repulsão é de curto alcance enquanto a atração é de longo-alcance. Embora o presente modelo trate as partículas como se o alcance de repulsão e atração fossem da mesma ordem, ainda é possível extrair propriedades físicas que tem paralelo com o gás real tais como transições de fase e formato de interfaces.

A cada ponto da rede associamos o valor <math>+1</math> se houver uma partícula nesse ponto ou <math>0</math> caso contrário. Representamos essa variável por <math>\sigma_i</math>, ou seja, no iésimo ponto da rede a variável <math>\sigma_i</math> pode assumir apenas os valores <math>+1</math> ou <math>0</math>, ou resumidamente:

<math>
\begin{cases}
0, \text{ponto da rede vazio} \\
1, \text{ponto da rede ocupado} \\
\end{cases}
</math>

A conservação do número de partículas exige que se tenha:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\sum_i\sigma_i = \rho N</math> </div>

Onde <math>\rho</math> é a densidade de partículas e <math>N</math> é o número total de partículas, sendo, portanto, <math>\rho N</math> o número de pontos ocupados da rede.

O hamiltoniano do sistema é modelado a partir da condição 2 exposta acima em que é especificado que um par de primeiros vizinhos na rede contribui para a diminuição da energia do sistema por uma quantidade <math>\epsilon</math>:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\epsilon\sum_{<ij>}\sigma_i\sigma_j</math> </div>

Onde <math>\sum_{<ij>}</math> denota soma sobre todos os pares de primeiros vizinhos da rede.

===Equivalência ao modelo de Ising===

Para mostrar a equivalência com o modelo de Ising definimos a seguinte variável:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>s_i = 2\sigma_i-1</math> </div>

Essa nova variável é nada mais do que o spin no modelo de Ising para um ferromagneto assumindo os valores:
* <math>+1</math> quando <math>\sigma_i = +1</math>, ou seja, posição ocupada por partícula; ou
* <math>-1</math> quando <math>\sigma_i = 0</math>, ou seja, posição não ocupada

Em termos da variável de spin <math>\sigma_i</math> é dada por:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\sigma_i = \frac{1}{2}(s_i+1)</math> </div>

Substituindo no Hamiltoniano tem-se:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}(s_i+1)(s_j+1)</math> </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_is_j-\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_i-\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_j-\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}1</math> </div>

Seja <math>z</math> o número de coordenação da rede, ou seja, o número de primeiros vizinhos (<math>z=4</math> para rede quadrada e <math>z=6</math> para rede cúbica simples). Para uma dada rede existem <math>2 z N</math> possíveis pares distintos

Pode-se simplificar esssa expressão com base nas seguintes observações:

* Os somatórios em <math>s_i</math> e <math>s_j</math> são idênticos exceto pelo índice.
* A soma <math>\sum_{<ij>}s_i</math>sobre pares de vizinhos é equivalente a somar <math>z</math> vezes sobre o número de pontos da rede:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\sum_{<ij>}s_i = 2z\sum_{i}s_i</math></div>

* <math>\sum_i s_i</math> pode ser escrito em termos das constantes <math>\rho</math> e <math>N</math> assim como ocorre com <math>\sigma_i</math>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\sum_i\sigma_i = \rho N</math></div>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\frac{1}{2}\sum_i(s_i+1) = \rho N</math></div>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\frac{1}{2}\sum_i s_i = \rho N - \frac{1}{2}\sum_i 1</math></div>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\frac{1}{2}\sum_i s_i = \rho N - \frac{1}{2}N</math></div>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\sum_i s_i = N(2\rho - 1)</math>
</div>

Dessa forma o Hamiltoniano se reduz a:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_is_j-\frac{1}{2}z\epsilon\sum_{i}s_i-\frac{1}{4}\epsilon(2zN)</math> </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_is_j-\frac{1}{2}z\epsilon(N(2\rho-1))-\frac{1}{4}\epsilon(2zN)</math> </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_is_j-z\epsilon N\rho +\frac{1}{2}\epsilon z N-\frac{1}{2}\epsilon z N </math> </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_is_j-z\epsilon N\rho</math></div>

Seja J = <math>\frac{1}{4}\epsilon</math> e observando que <math>-z\epsilon N\rho</math> é uma constante pois todos seus termos são constantes, chegamos na equivalência com o Hamiltoniano do modelo de Ising na ausência de campo magnético:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -J\sum_{<ij>}s_is_j + ctc = H^{Ising}_{B=0} + ctc</math></div>

O valor esperado <math><Q></math> de qualquer quantidade física <math>Q</math> não é alterado pela adição de uma constante ao hamiltoniano:

<math><Q> = \sum_\mu Q_\mu p_\mu = \frac{\sum_\mu{Q_\mu}e^{-\beta(E_\mu + ctc)}}{\sum_\mu e^{-\beta(E_\mu + ctc)}}= \frac{e^{-\beta ctc}\sum_\mu{Q_\mu}e^{-\beta E_\mu}}{e^{-\beta ctc}\sum_\mu e^{-\beta E_\mu}} = \frac{1}{Z}\sum_\mu{Q_\mu}e^{-\beta E_\mu} = <Q></math>

===Conservação do parâmetro de ordem===

A magnetização do sistema é nada mais do que a soma de spins que já calculamos acima:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>M = \sum_i s_i = N(2\rho - 1)</math></div>

No entanto, <math>\rho</math> e <math>N</math> devem permanecer constantes durante toda a simução, isso implica que a magnetização também é sempre constante, ou seja, a magneticação é o '''parâmetro de ordem conservado''' nesse sistema fato que dá nome ao método.

É vantajoso tratar o modelo de gás de rede sob a perspectiva de um modelo de Ising pois todo o arcabouço de técnicas amplamente conhecidas e extensivamente estudadas para o modelo de Ising podem ser aplicadas.

Apesar das similaridades, o gás de rede, como definido, possui muito menos estados válidos pois não é permitido alterar a magnetização do sistema enquanto no modelo de Ising qualquer spin individual pode ser invertido sem restrições pois a magnetização não precisa se manter constante.

==Transição de fase==

Aproveitando a equivalência estabelecida entre gás de rede e o modelo de Ising sabe-se que o sistema possui uma transição de fase que ocorre a uma temperatura crítica <math>T_c</math>. Rearranjando a densidade de pontos (equivalente agora a spins up) tem-se:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>2\rho - 1 = \frac{M}{N}</math></div>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\rho = \frac{1}{2}(1+m)</math></div>

No modelo de Ising sabe-se também que abaixo da temperatura crítica existem dois valores de equilíbrio para a magnetização que são <math>+|m|</math> e <math>-|m|</math>, portanto, para favorecer a coexistência de fases tem-se que:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\frac{1}{2}(1-|m|) = \rho_- \le \rho \le \rho_+ = \frac{1}{2}(1+|m|)</math></div>

Para valores de <math>\rho</math> fora do intervalo <math>\rho_- \le \rho \le \rho_+</math> ainda é possível que uma região do sistema favoreça uma das duas densidades preferenciais. Suponha que se tenha <math>\rho < \rho_-</math>. Nesse caso o sistema possui menos partículas do que precisa pra atingir o a densidade <math>\rho_+</math>. Ainda que localmente seja possível o sistema atingir a densidade <math>\rho_+</math> isso leva a uma falta ainda maior de partículas em outras regiões do sistema sendo, portanto, energeticamente custoso. A opção energeticamente mais favorável adotada pelo sistema é distribuir as poucas partículas homegeneamente pela rede. Esse comportamento é observado na simulação.

Dessa forma, no caso de <math>J>0</math> o sistema possui duas fases:
* Uma em que <math>\rho\in[\rho_-,\rho_+]</math> se dividindo em dois domínios cada qual favorecendo uma das duas densidades <math>\pm\rho</math>
* E outra em que <math>\rho\not\in[\rho_-,\rho_+]</math> tendo densidade homogênea

Com <math>\rho</math> sujeito ao intervalo <math>\frac{1}{2}(1-|m|) \le \rho \le \frac{1}{2}(1+|m|)</math> conclui-se que <math>/rho</math> pode assumir um intervalo menor de valores a medida que <math>|m|</math> diminui. A magnetização diminui sob o aumento da temperatura. Acima da temperatura crítica a <math>|m|=0</math> e portanto o intervalo <math>\frac{1}{2}(1-|m|) \le \rho \le \frac{1}{2}(1+|m|)</math> reduz-se a zero evidenciando que não existe mais um valor de <math>\rho</math> que evite a homogeinização da rede.

A discussão acima pode ser apresentada resumidamente pelo diagrama de fases:

[[Arquivo:Ferromagnet phases.gif|frame|center|Diagrama de fases do modelo CPO. Fase homogênea para temperaturas além da temperatura crítica e fase coexistente abaixo com densidades preferenciais <math>\rho_+</math> e <math>\rho_-</math>]]

Esse comportamento é observado quando se diminui a temperatura de vapor d'agua que passa a formar gotas líquidas que coexistem com o vapor para um intervalo de temperaturas. A fase condensada do gás de rede, no entanto, é mais adequadamente interpretada como um sólido devido a posição fixa das partículas (análogas a moléculas ou átomos) na rede, dessa forma, falamos de interface vapor/sólido ao invés de vapor/líquido.

==Implementação<ref name=newman/>==

Sistemas físicos em equilíbrio com muitos graus de liberdade e no limite termodinâmico comportam-se de tal forma que ao flutuarem de um estado <math>\mu</math> para um estado <math>\nu</math> tem-se que <math>\nu</math> difere pouco de <math>\mu</math>. Outra maneira de dizer isso é que as flutuações dessa tipo de sistema físico são muito pequenas em relação ao número de configurações possíveis e que portanto o sistema passa a maior parte do tempo alternando entre um pequeno conjunto de configurações. A consequência disso é que pode-se escolher uma estratégia de visitar com maior probabilidade apenas a fração de estados do sistema, as quais mais contribuem para atingir o equilíbrio ao invés de se visitar todos os estados indistintamente. No modelo de ferromagneto, por exemplo, com uma rede <math>10\times 10\times 10</math>, há <math>2^{1000} \simeq 10^{300}</math> configurações possíveis sendo que mesmo com um supercomputador seria impraticável realizar essa simulação. O método de Monte Carlo consiste em visitar eficientemente uma pequena fração desses estados e atingir rapidamente o equilíbrio em poucos passos e o peso que define como visitar o estado seguinte é dado pela distribuição de Boltzmann <math>e^{\beta(E_\nu-E_\mu)}</math> onde fica claro que quanto mais diferente <math>\nu</math> for de <math>\mu</math> menor a change de fazer a transição <math>\mu\to\mu</math>

Dessa forma impõe-se que no equilíbrio o sistema obedeça a distribuição de Boltzmann, portanto a condição de balanço detalhado dá liberdade na escolha de <math>P(\mu\to\nu)</math> e <math>P(\nu\to\mu)</math> desde que seja satisfeita:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\frac{g(\mu)}{g(\nu)}\frac{A(\mu\to\nu)}{A(\nu\to\mu)} = e^{\beta(E_\nu-E_\mu)}</math></div>

Uma possível escolha para <math>A(\mu\to\nu)</math> seria:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>A(\mu\to\nu)=A_0e^{-\frac{1}{2}\beta(E_\nu-E_\mu)}</math></div>

Como <math>A_0</math> é cancelada na razão entre probabilidades de aceitação temos a liberdade na sua escolha desde que mantenha a probabilidade menor ou igual a um. No modelo de Ising, por exemplo, a maior diferença de energia que se pode obter entre estados é <math>\Delta E = E_\nu-E_\mu = \pm 2zJ</math> o que significa que o maior valor de <math>e^{-\frac{1}{2}\beta(E_\nu-E_\mu)}</math> é justamente <math>e^{\beta zJ}</math>. Assim, para garantir que a probabilidade seja menor ou igual a 1 deve-se escolher <math>A_0 \le e^{-\beta zJ}</math>

Para que o algoritmo seja eficiente deseja-se que a probabilidade de aceitação seja a maior possível, pois do contrário estaríamos utilizando tempo computacional apenas para rejeitar trocas de estado. Portanto queremos que <math>A_0</math> assuma o maior valor possível <math>A_0 = e^{-\beta zJ}</math>, maximizando <math>A(\mu\to\nu)</math>:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>A(\mu\to\nu)=e^{-\frac{1}{2}\beta(E_\nu-E_\mu+2\beta z J)}</math></div>

Devido a condição de balanço detalhado, essa escolha implica:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>A(\nu\to\mu)=e^{-\beta z J}</math></div>

Metropolis percebeu que desde que a condição de balanço detalhado seja satisfeita tem-se liberdade na escolha das probabilidades de aceitação. Então ele decidiu atribuir o maior valor possível para a probabilidade de aceitação que tem o maior valor entre as duas, no caso <math>A(\nu\to\mu)</math>, ou seja:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>A(\nu\to\mu)=1</math></div>

O que implica:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>A(\mu\to\nu)=e^{-\beta(E_\nu-E_\mu)}</math></div>

Dessa forma a transição de estados sempre ocorre se <math>E_\nu < E_\mu</math> ou seja <math>\Delta E <= 0</math> mas pode ou não ocorrer caso seja <math>\Delta E > 0</math> com uma probabilidade dada por <math>e^{-\beta(E_\nu-E_\mu)}</math>. Em suma:

<math>
A(\mu\to\nu) = \begin{cases}
e^{-\beta(E_\nu-E_\mu)} \ \mbox{ se } \ E_\nu - E_\mu > 0\\
1 \ \mbox{ caso contrario}\\
\end{cases}
</math>

===Gás de rede===

==Teoria<ref name=newman>Newman, M. E. J.; Barkema, G. T. (1999). "Monte Carlo Methods in Statistical Physics" New York: Oxford University Press. ISBN 019-851796-3.</ref><ref name=krauth>Krauth, Werner (2006). "Statiscal Mechanics: Algorithms and Computations" New York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-851535-7.</ref>==

Para obedecer a condição de conservação da magnetização não é permitido alterar um spin individualmente (ou um número ímpar de spins). Uma maneira de tratar a dinâmica desse sistema foi proposta por Kawasaki <ref name=kawasaki>[https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.49.1223 T. Ohta, D. Jasnow and K. Kawasaki, Phys. Rev. Lett. 49 1223 (1982). "Universal Scaling in the Motion of Random Interfaces". American Physical Society]</ref> e consiste em simplesmente alternar o estado de spin de um par de
partículas que tenham estados de spin oposto, ou seja:

<math>
\begin{cases}
\uparrow \uparrow ou \downarrow \downarrow \quad\to\quad \text{nada a fazer} \\
\uparrow \downarrow \quad\to\quad \downarrow \uparrow\\
\downarrow \uparrow \quad\to\quad \uparrow \downarrow\\
\end{cases}
</math>

É evidente que nesse caso a mudança na magnetização é conservada pois a troca de spins resulta em variação de magnetização nula.

Cada ponto da rede possui <math>z</math> vizinhos e portanto a cada passo de iteração deve-se sortear com qual dos vizinhos será feita uma tentativa de troca de spins. Essa escolha é feita aleatoriamente (uniforme). Uma vez escolhido um vizinho deve-se decidir se a troca deve ser feita ou não. Essa decisão é tomada com base no método de Monte Carlo, em particular, com a probabilidade de aceitação de Metropolis exatamente como exposto na seção acima.

A '''ergodicidade''' é satisfeita pelo sistema pois um passo de Monte Carlo corresponde a uma troca entre vizinhos que numa rede finita pode ser efetuada a partir de outro estado qualquer em número finito de passos

Como já foi mencionado a rede possui <math>N</math> pontos e número de coordenação <math>z</math> o que resulta em <math>\frac{1}{2}zN</math> pares de primeiros vizinhos, portanto, a probabilidade de selecionar um par qualquer é dada por:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>g(\mu\to\nu) = \frac{1}{\frac{1}{2}zN} = \frac{2}{zN}</math></div>

A probabilidade de seleção <math>g(\nu\to\mu)</math> é a mesma fazendo com que esses termos se cortem na condição de balanço detalhado e permitindo que se aplique a escolha de Metropolis discutida acima sem alterações.

Para efetivamente tomar a decisão sobre a troca entre vizinhos onde <math>\Delta E</math> é necessário especificar como é feito seu cálculo. <math>\Delta E</math> é dado pela seguinte expressão:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\Delta E = E_\nu-E_\mu = 2J\left[s_k^\mu\sum_{i\not\in\{k',k\}}s_i^\mu+s_{k'}^\mu\sum_{j\not\in\{k,k'\}}s_j^\mu\right]</math></div>

Seja um ponto da rede <math>k</math> e <math>k'</math> primeiro vizinho de <math>k</math>. Deseja-se calcular a energia de interação entre esse par. A expressão acima apenas diz que deve-somar os produtos do spin de <math>k</math>, <math>(s_k)</math>, com seus primeiros vizinhos <math>s_i</math> excluindo-se da soma tanto <math>k</math> quanto <math>k'</math>. Faz-se o mesmo procedimento para <math>k'</math>, ou seja, soma-se os produtos do spin <math>k'</math>, <math>(s_{k'})</math>, com todos os seus primeiros vizinhos <math>s_j</math> exceto ele mesmo e <math>k</math>. A soma dessas duas quantidades multiplicadas por <math>2J</math> é igual a diferença de energia entre a configuração <math>\mu</math> e a <math>\nu</math>

==Simulação==

Foram simulados três sistemas diferentes os quais são discutidos a seguir. O objetivo das simulações em determinar a tendência do formato de cada interface após vários passos de monte carlo sem verificar rigorosamente se o equilíbrio foi atingido. Uma análise das condições de equilíbrio é discutida na última seção.
Todas as simulações demandam a geração de muitos números aleatórios por isso optou-se por usar Mersenne Twister que é um algoritmo veloz para geração de números aleatórios.

===Interface linear===

Esse sistema consiste rede quadrada de aresta <math>l</math>. A rede tem inicialmente sua metade inferior completamente populada por partículas.

Cada ponto da rede é visitado sequencialmente e um dos seus 4 vizinhos é sorteado para que se faça uma tentativa de troca de posição entre o par. Caso a energia do sistema diminua, a troca é feita com probabilidade 1. Caso contrário a troca ocorre com probabilidade dada pelo peso de Boltzmann (algoritmo de Metropolis).

A primeira condição de contorno refere-se às paredes superior e inferior. A ultima linha de pontos da rede possui spins apontando pra baixo permanentemente assim como a primeira linha de pontos da rede tem-se spins apontando pra cima. Para que essa configuração seja mantida ao longo da simulação, evita-se qualquer tentativa de troca entre pares envolvendo esses pontos. Essa condição de contorno garante que a interface se mantenha fixa, do contrário, ela poderia transitar pela rede.
Nas paredes laterais aplica-se condição de contorno periódica onde por exemplo um ponto da rede na coluna <math>l-1</math> pode trocar de lugar com um primeiro vizinho da coluna <math>0</math> e vice-versa.

Ao iterar pela rede é comum deparar-se com pares de vizinhos que possuem mesma orientação de spin e portanto são ignorados imediatamente pois em nada contribuem para a dinâmica do sistema.

[[Arquivo:cop500iterinstepsof10.gif|frame|center|Interface linear entre sólido e vapor. Cada frame corresponde a 10 passos de Monte Carlo de um total de 500 passos. Primeira simulação com alta temperatura <math>T > T_C</math>. Segunda simução com temperatura intermediária <math>T < T_C</math>. Terceira simulação com baixa temperatura <math>T \ll T_C</math>]]

Como observado, a alta temperatura recai-se no regime homogêneo em que a alternativa mais favorável ao sistema para minizar a sua energia é distribuir os spins up (partículas) uniformemente pela rede.
A uma temperatura abaixo da crítica percebe-se a formação de uma interface persistente entre a região inferior com densidade preferencial <math>\rho_+</math> e a superior com densidade preferencial <math>\rho_-</math> em coexistência.
Ao diminuir ainda mais a temperatura o efeito fica mais acentuado, ou seja, a interface é menos deformada em relação ao caso anterior.

===Interface circular===

Nessa sistema excluem-se as condições fixas nas paredes superior e inferior e atribui-se a elas as mesmas condições das paredes laterais, ou seja, condições de contorno periódicas onde, por exemplo, uma partícula na linha <math>l-1</math> pode trocar de lugar com sua primeira vizinha da linha <math>0</math>
Como condição inicial posiciona-se as partículas num formato quadrado no centro da rede e observa-se como o formato da interface varia ao longo da simulação. A densidade de partículas é bem menor que no exemplo anterior da interface linear.

[[Arquivo:copSquare500iterinstepsof10.gif|frame|center|Interface circular entre sólido e vapor. Cada frame corresponde a 10 passos de Monte Carlo de um total de 500 passos. Primeira simulação com alta temperatura <math>T > T_C</math>. Segunda simução com temperatura intermediária <math>T < T_C</math>. Terceira simulação com baixa temperatura <math>T \ll T_C</math>]]

A interface é energeticamente custosa pois para cada par de spins antialinhados o sistema aumenta de energia por um fator 2J e como na rede quadrada um spin da interface possui 3 vizinhos antialinhados, sistema aumenta de energia por um fator 6J. Portanto fisicamente espera-se que o sistema evolua de tal forma a minimizar a extensão da sua interface, minimizando sua tensão superficial. No caso simulado espera-se que um domínio circular seja gerado pois o círculo é a forma geométrica que possui menor perímetro. No entanto, como a simulação demonstra, mesmo pra baixas temperaturas a forma nunca é perfeitamente circular e isso se deve ao tamanho finito da rede o faz com que seu formato (da rede) influencie o formato da interface.

A animação abaixo ilustra o mesmo processo mas com menos frames por segundo permitindo acompanhar detalhes da dinâmica do sistema.

[[Arquivo:copSquare100-iloveimg-compressed.gif|frame|center|Animação com 100 passos de Monte Carlo. Primeira simulação com alta temperatura <math>T > T_C</math>. Segunda simução com temperatura intermediária <math>T < T_C</math>. Terceira simulação com baixa temperatura <math>T \ll T_C</math>]]

===Interface esférica===

A simulação da interface esférica é uma extensão direita da simulação da interface circular apenas adicionando mais uma dimensão. Observa-se os mesmos efeitos de redução de tensão superficial pela deformação do cubo em uma região aproximadamente esférica quando a temperatura é menor que a temperatura crítica. Acima da a temperatura crítica a densidade fica homogênea como esperado.

Cada ponto da rede agora possui 6 vizinhos ao invés de 4 e isso faz com que as haja valores adicionais de diferenças de energia entre estados (na rede quadrada era possível obter <math>\Delta E \in \{0, \pm 4, \pm 8, \pm 12\}</math> e agora na rede cúbica <math>\Delta E \in \{0, \pm 4, \pm 8, \pm 12, \pm 16, \pm 20\}</math>

<div>
[[Arquivo:Cubeneighbours.png|frame|Visualização da vizinhança de um ponto de uma rede cúbica. Download for free at http://cnx.org/contents/85abf193-2bd2-4908-8563-90b8a7ac8df6@9.311]]

[[Arquivo:cop3D500instepsof10.gif|frame|center|Interface esférica entre sólido e vapor. Cada frame corresponde a 10 passos de Monte Carlo de um total de 500 passos. Primeira simulação com alta temperatura <math>T > T_C</math>. Segunda simução com temperatura intermediária <math>T < T_C</math>. Terceira simulação com baixa temperatura <math>T \ll T_C</math>]]

</div>
<p style="clear: both;"></p>

A mesma simulação com menos partículas, vista mais distante e com uma pequena diferença na quantidade de passos.
<br/>

[[Arquivo:cop3D250instepsof5round.gif|frame|center|Interface esférica entre sólido e vapor. Cada frame corresponde a 5 passos de Monte Carlo de um total de 250 passos. Primeira simulação com alta temperatura <math>T > T_C</math>. Segunda simução com temperatura intermediária <math>T < T_C</math>. Terceira simulação com baixa temperatura <math>T \ll T_C</math>]]

Introduzindo interações entre segundos vizinhos é possível reproduzir formatos de cristais cúbicos como por exemplo o cristal de face centrada ou de corpo centrado.<ref name=newman/>

==Equilíbrio==

Para medir qualquer grandeza de um sistema simulado pelo método de Carlo é necessária que a medida seja feita sob regime de equilíbrio. Torna-se então importante saber quando o sistema atinge o equilíbrio. No caso de um ferromagneto no modelo de Ising pode-se monitorar a magnetização ou calor específico até que a grandeza atinja um valor estacionário. No caso do gás de rede podemos monitorar o formato da interface, ou mais simplesmente, a densidade média de spins up (partículas) em cada coluna da rede quadrada. Acompanhando a mudança percentual nessa densidade ao passar de um passo de Monte Carlo para o passo seguinte é possível ter uma idéia de quanto passos são necessários para atingir o equilíbrio.

[[Arquivo:equilibrium20000.png|frame|center|Densidade percentual média em função de número de passos de Monte Carlo (até 20000 passos)]]

Olhando mais de perto o início da curva percebe-se que em torno de 1500 passos o equilíbrio ja foi seguramente atingido.

[[Arquivo:equilibrium2000.png|frame|center|Densidade percentual média em função de número de passos de Monte Carlo (até 2000 passos)]]

As simulações exibidas acima estão, portanto, na região fora do equilíbrio mas como observado acima o objetivo das simulações era determinar a tendência do formato das interfaces e não o seu formato no equilíbrio.

==Códigos==

[https://github.com/diogofriggo/metcompc/blob/master/Trabalho2/COP/COP/main.c Conservação de parâmetro de ordem - Interface linear]

[https://github.com/diogofriggo/metcompc/blob/master/Trabalho2/COPSquare/COPSquare/main.c Conservação de parâmetro de ordem - Interface circular]

[https://github.com/diogofriggo/metcompc/blob/master/Trabalho2/COP3D/COP3D/main.c Conservação de parâmetro de ordem - Interface esférica]

[https://github.com/diogofriggo/metcompc/blob/master/Trabalho2/COPEquilibrium/COPEquilibrium/main.c Conservação de parâmetro de ordem - Equilíbrio]

==Bibliografia==
<references/>

Arquivo:Equilibrium20000.png

2018-01-25T03:36:20Z

Dfriggo:

Arquivo:Equilibrium2000.png

2018-01-25T03:31:33Z

Dfriggo:

Grupo - Conservação do Parâmetro de Ordem

2018-01-25T03:30:19Z

Dfriggo: /* Equilíbrio */

==Introdução==

O modelo de Ising possui características universais que permitem aplicá-lo a situações diversas sendo tão versátil a ponto de descrever desde ferromagnetos até interações sociais. Dentro dessa gama de possibilidades existe o modelo de Conservação do Parâmetro de Ordem (CPO) em que, como o nome indica, mantém-se o parâmetro de ordem constante. No caso de um ferromagneto o parâmetro de ordem é a magnetização, portanto, um modelo de Ising sujeito CPO a grandeza análoga à magnetização se manteria constante a cada passo da simulação.

Apesar da estrutura matemática muito similar ao modelo de Ising, o modelo de CPO com sua simples condição de conservação do parâmetro de ordem aliado a condições de contorno permite que se modele sistemas marcadamente diferentes do tradicional sistema de ferromagneto tais como o gás de rede onde é possível estudar o comportamento de interfaces vapor-sólido ou vapor-líquido em condições de equilíbrio como por exemplo o equilíbrio entre água líquida e seu vapor ou entre gelo e vapor d'água.

O gás de rede é um modelo simplificado de um gás real onde se associa a cada ponto da rede uma partícula (átomo) ou sua ausência (vacância). Ao contrário do gás real a coordenada do movimento não é contínua, pois as partículas se movem de maneira discreta somente pelos vértices da rede.
Pode-se refinar o modelo de diversas formas:
* Atribuindo inércia às partículas
* Alterando a forma da rede (quadrada, hexagonal, fcc, bcc, cúbica)
* Incluindo partículas de tipos diferentes com interações comum a seu respectivo tipo
* Presença e/ou tipos de colisões

No entanto, uma versão simplificada (e simples de simular) desse modelo é suficiente para reproduzir qualitativamente o comportamento de interfaces.

==Teoria<ref name=newman>Newman, M. E. J.; Barkema, G. T. (1999). "Monte Carlo Methods in Statistical Physics" New York: Oxford University Press. ISBN 019-851796-3.</ref><ref name=krauth>Krauth, Werner (2006). "Statiscal Mechanics: Algorithms and Computations" New York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-851535-7.</ref>==

No modelo simplificado do gás de rede as partículas (sem inércia), movem-se de forma aleatória sob excitação térmica e satisfazem as seguintes condições:

#O número total de partículas é fixo: nenhuma partícula deixa ou entra no sistema, portanto, caso desapareça a partícula deve reaparecer em outro ponto da rede no mesmo passo de simulação.
#Um ponto da rede pode ser ocupado por uma única partícula ou permanecer vazio (não ocupado). Essa é uma maneira grosseira de assimilar o caráter físico de repulsão do gás real onde partículas não podem interpenetrar-se devido a exclusão de Pauli.
#Se duas partículas são primeiras vizinhas uma da outra elas sentem uma atração <math>\epsilon</math> que é a mesma para qualquer par de partículas. Essa condição modela o efeito de atração entre partículas de um gás real.

As forças de atração e repulsão num gás real não possuem alcance de mesma ordem. A repulsão é de curto alcance enquanto a atração é de longo-alcance. Embora o presente modelo trate as partículas como se o alcance de repulsão e atração fossem da mesma ordem, ainda é possível extrair propriedades físicas que tem paralelo com o gás real tais como transições de fase e formato de interfaces.

A cada ponto da rede associamos o valor <math>+1</math> se houver uma partícula nesse ponto ou <math>0</math> caso contrário. Representamos essa variável por <math>\sigma_i</math>, ou seja, no iésimo ponto da rede a variável <math>\sigma_i</math> pode assumir apenas os valores <math>+1</math> ou <math>0</math>, ou resumidamente:

<math>
\begin{cases}
0, \text{ponto da rede vazio} \\
1, \text{ponto da rede ocupado} \\
\end{cases}
</math>

A conservação do número de partículas exige que se tenha:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\sum_i\sigma_i = \rho N</math> </div>

Onde <math>\rho</math> é a densidade de partículas e <math>N</math> é o número total de partículas, sendo, portanto, <math>\rho N</math> o número de pontos ocupados da rede.

O hamiltoniano do sistema é modelado a partir da condição 2 exposta acima em que é especificado que um par de primeiros vizinhos na rede contribui para a diminuição da energia do sistema por uma quantidade <math>\epsilon</math>:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\epsilon\sum_{<ij>}\sigma_i\sigma_j</math> </div>

Onde <math>\sum_{<ij>}</math> denota soma sobre todos os pares de primeiros vizinhos da rede.

===Equivalência ao modelo de Ising===

Para mostrar a equivalência com o modelo de Ising definimos a seguinte variável:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>s_i = 2\sigma_i-1</math> </div>

Essa nova variável é nada mais do que o spin no modelo de Ising para um ferromagneto assumindo os valores:
* <math>+1</math> quando <math>\sigma_i = +1</math>, ou seja, posição ocupada por partícula; ou
* <math>-1</math> quando <math>\sigma_i = 0</math>, ou seja, posição não ocupada

Em termos da variável de spin <math>\sigma_i</math> é dada por:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\sigma_i = \frac{1}{2}(s_i+1)</math> </div>

Substituindo no Hamiltoniano tem-se:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}(s_i+1)(s_j+1)</math> </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_is_j-\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_i-\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_j-\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}1</math> </div>

Seja <math>z</math> o número de coordenação da rede, ou seja, o número de primeiros vizinhos (<math>z=4</math> para rede quadrada e <math>z=6</math> para rede cúbica simples). Para uma dada rede existem <math>2 z N</math> possíveis pares distintos

Pode-se simplificar esssa expressão com base nas seguintes observações:

* Os somatórios em <math>s_i</math> e <math>s_j</math> são idênticos exceto pelo índice.
* A soma <math>\sum_{<ij>}s_i</math>sobre pares de vizinhos é equivalente a somar <math>z</math> vezes sobre o número de pontos da rede:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\sum_{<ij>}s_i = 2z\sum_{i}s_i</math></div>

* <math>\sum_i s_i</math> pode ser escrito em termos das constantes <math>\rho</math> e <math>N</math> assim como ocorre com <math>\sigma_i</math>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\sum_i\sigma_i = \rho N</math></div>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\frac{1}{2}\sum_i(s_i+1) = \rho N</math></div>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\frac{1}{2}\sum_i s_i = \rho N - \frac{1}{2}\sum_i 1</math></div>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\frac{1}{2}\sum_i s_i = \rho N - \frac{1}{2}N</math></div>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\sum_i s_i = N(2\rho - 1)</math>
</div>

Dessa forma o Hamiltoniano se reduz a:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_is_j-\frac{1}{2}z\epsilon\sum_{i}s_i-\frac{1}{4}\epsilon(2zN)</math> </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_is_j-\frac{1}{2}z\epsilon(N(2\rho-1))-\frac{1}{4}\epsilon(2zN)</math> </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_is_j-z\epsilon N\rho +\frac{1}{2}\epsilon z N-\frac{1}{2}\epsilon z N </math> </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_is_j-z\epsilon N\rho</math></div>

Seja J = <math>\frac{1}{4}\epsilon</math> e observando que <math>-z\epsilon N\rho</math> é uma constante pois todos seus termos são constantes, chegamos na equivalência com o Hamiltoniano do modelo de Ising na ausência de campo magnético:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -J\sum_{<ij>}s_is_j + ctc = H^{Ising}_{B=0} + ctc</math></div>

O valor esperado <math><Q></math> de qualquer quantidade física <math>Q</math> não é alterado pela adição de uma constante ao hamiltoniano:

<math><Q> = \sum_\mu Q_\mu p_\mu = \frac{\sum_\mu{Q_\mu}e^{-\beta(E_\mu + ctc)}}{\sum_\mu e^{-\beta(E_\mu + ctc)}}= \frac{e^{-\beta ctc}\sum_\mu{Q_\mu}e^{-\beta E_\mu}}{e^{-\beta ctc}\sum_\mu e^{-\beta E_\mu}} = \frac{1}{Z}\sum_\mu{Q_\mu}e^{-\beta E_\mu} = <Q></math>

===Conservação do parâmetro de ordem===

A magnetização do sistema é nada mais do que a soma de spins que já calculamos acima:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>M = \sum_i s_i = N(2\rho - 1)</math></div>

No entanto, <math>\rho</math> e <math>N</math> devem permanecer constantes durante toda a simução, isso implica que a magnetização também é sempre constante, ou seja, a magneticação é o '''parâmetro de ordem conservado''' nesse sistema fato que dá nome ao método.

É vantajoso tratar o modelo de gás de rede sob a perspectiva de um modelo de Ising pois todo o arcabouço de técnicas amplamente conhecidas e extensivamente estudadas para o modelo de Ising podem ser aplicadas.

Apesar das similaridades, o gás de rede, como definido, possui muito menos estados válidos pois não é permitido alterar a magnetização do sistema enquanto no modelo de Ising qualquer spin individual pode ser invertido sem restrições pois a magnetização não precisa se manter constante.

==Transição de fase==

Aproveitando a equivalência estabelecida entre gás de rede e o modelo de Ising sabe-se que o sistema possui uma transição de fase que ocorre a uma temperatura crítica <math>T_c</math>. Rearranjando a densidade de pontos (equivalente agora a spins up) tem-se:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>2\rho - 1 = \frac{M}{N}</math></div>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\rho = \frac{1}{2}(1+m)</math></div>

No modelo de Ising sabe-se também que abaixo da temperatura crítica existem dois valores de equilíbrio para a magnetização que são <math>+|m|</math> e <math>-|m|</math>, portanto, para favorecer a coexistência de fases tem-se que:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\frac{1}{2}(1-|m|) = \rho_- \le \rho \le \rho_+ = \frac{1}{2}(1+|m|)</math></div>

Para valores de <math>\rho</math> fora do intervalo <math>\rho_- \le \rho \le \rho_+</math> ainda é possível que uma região do sistema favoreça uma das duas densidades preferenciais. Suponha que se tenha <math>\rho < \rho_-</math>. Nesse caso o sistema possui menos partículas do que precisa pra atingir o a densidade <math>\rho_+</math>. Ainda que localmente seja possível o sistema atingir a densidade <math>\rho_+</math> isso leva a uma falta ainda maior de partículas em outras regiões do sistema sendo, portanto, energeticamente custoso. A opção energeticamente mais favorável adotada pelo sistema é distribuir as poucas partículas homegeneamente pela rede. Esse comportamento é observado na simulação.

Dessa forma, no caso de <math>J>0</math> o sistema possui duas fases:
* Uma em que <math>\rho\in[\rho_-,\rho_+]</math> se dividindo em dois domínios cada qual favorecendo uma das duas densidades <math>\pm\rho</math>
* E outra em que <math>\rho\not\in[\rho_-,\rho_+]</math> tendo densidade homogênea

Com <math>\rho</math> sujeito ao intervalo <math>\frac{1}{2}(1-|m|) \le \rho \le \frac{1}{2}(1+|m|)</math> conclui-se que <math>/rho</math> pode assumir um intervalo menor de valores a medida que <math>|m|</math> diminui. A magnetização diminui sob o aumento da temperatura. Acima da temperatura crítica a <math>|m|=0</math> e portanto o intervalo <math>\frac{1}{2}(1-|m|) \le \rho \le \frac{1}{2}(1+|m|)</math> reduz-se a zero evidenciando que não existe mais um valor de <math>\rho</math> que evite a homogeinização da rede.

A discussão acima pode ser apresentada resumidamente pelo diagrama de fases:

[[Arquivo:Ferromagnet phases.gif|frame|center|Diagrama de fases do modelo CPO. Fase homogênea para temperaturas além da temperatura crítica e fase coexistente abaixo com densidades preferenciais <math>\rho_+</math> e <math>\rho_-</math>]]

Esse comportamento é observado quando se diminui a temperatura de vapor d'agua que passa a formar gotas líquidas que coexistem com o vapor para um intervalo de temperaturas. A fase condensada do gás de rede, no entanto, é mais adequadamente interpretada como um sólido devido a posição fixa das partículas (análogas a moléculas ou átomos) na rede, dessa forma, falamos de interface vapor/sólido ao invés de vapor/líquido.

==Implementação<ref name=newman/>==

Sistemas físicos em equilíbrio com muitos graus de liberdade e no limite termodinâmico comportam-se de tal forma que ao flutuarem de um estado <math>\mu</math> para um estado <math>\nu</math> tem-se que <math>\nu</math> difere pouco de <math>\mu</math>. Outra maneira de dizer isso é que as flutuações dessa tipo de sistema físico são muito pequenas em relação ao número de configurações possíveis e que portanto o sistema passa a maior parte do tempo alternando entre um pequeno conjunto de configurações. A consequência disso é que pode-se escolher uma estratégia de visitar com maior probabilidade apenas a fração de estados do sistema, as quais mais contribuem para atingir o equilíbrio ao invés de se visitar todos os estados indistintamente. No modelo de ferromagneto, por exemplo, com uma rede <math>10\times 10\times 10</math>, há <math>2^{1000} \simeq 10^{300}</math> configurações possíveis sendo que mesmo com um supercomputador seria impraticável realizar essa simulação. O método de Monte Carlo consiste em visitar eficientemente uma pequena fração desses estados e atingir rapidamente o equilíbrio em poucos passos e o peso que define como visitar o estado seguinte é dado pela distribuição de Boltzmann <math>e^{\beta(E_\nu-E_\mu)}</math> onde fica claro que quanto mais diferente <math>\nu</math> for de <math>\mu</math> menor a change de fazer a transição <math>\mu\to\mu</math>

Dessa forma impõe-se que no equilíbrio o sistema obedeça a distribuição de Boltzmann, portanto a condição de balanço detalhado dá liberdade na escolha de <math>P(\mu\to\nu)</math> e <math>P(\nu\to\mu)</math> desde que seja satisfeita:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\frac{g(\mu)}{g(\nu)}\frac{A(\mu\to\nu)}{A(\nu\to\mu)} = e^{\beta(E_\nu-E_\mu)}</math></div>

Uma possível escolha para <math>A(\mu\to\nu)</math> seria:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>A(\mu\to\nu)=A_0e^{-\frac{1}{2}\beta(E_\nu-E_\mu)}</math></div>

Como <math>A_0</math> é cancelada na razão entre probabilidades de aceitação temos a liberdade na sua escolha desde que mantenha a probabilidade menor ou igual a um. No modelo de Ising, por exemplo, a maior diferença de energia que se pode obter entre estados é <math>\Delta E = E_\nu-E_\mu = \pm 2zJ</math> o que significa que o maior valor de <math>e^{-\frac{1}{2}\beta(E_\nu-E_\mu)}</math> é justamente <math>e^{\beta zJ}</math>. Assim, para garantir que a probabilidade seja menor ou igual a 1 deve-se escolher <math>A_0 \le e^{-\beta zJ}</math>

Para que o algoritmo seja eficiente deseja-se que a probabilidade de aceitação seja a maior possível, pois do contrário estaríamos utilizando tempo computacional apenas para rejeitar trocas de estado. Portanto queremos que <math>A_0</math> assuma o maior valor possível <math>A_0 = e^{-\beta zJ}</math>, maximizando <math>A(\mu\to\nu)</math>:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>A(\mu\to\nu)=e^{-\frac{1}{2}\beta(E_\nu-E_\mu+2\beta z J)}</math></div>

Devido a condição de balanço detalhado, essa escolha implica:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>A(\nu\to\mu)=e^{-\beta z J}</math></div>

Metropolis percebeu que desde que a condição de balanço detalhado seja satisfeita tem-se liberdade na escolha das probabilidades de aceitação. Então ele decidiu atribuir o maior valor possível para a probabilidade de aceitação que tem o maior valor entre as duas, no caso <math>A(\nu\to\mu)</math>, ou seja:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>A(\nu\to\mu)=1</math></div>

O que implica:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>A(\mu\to\nu)=e^{-\beta(E_\nu-E_\mu)}</math></div>

Dessa forma a transição de estados sempre ocorre se <math>E_\nu < E_\mu</math> ou seja <math>\Delta E <= 0</math> mas pode ou não ocorrer caso seja <math>\Delta E > 0</math> com uma probabilidade dada por <math>e^{-\beta(E_\nu-E_\mu)}</math>. Em suma:

<math>
A(\mu\to\nu) = \begin{cases}
e^{-\beta(E_\nu-E_\mu)} \ \mbox{ se } \ E_\nu - E_\mu > 0\\
1 \ \mbox{ caso contrario}\\
\end{cases}
</math>

===Gás de rede===

==Teoria<ref name=newman>Newman, M. E. J.; Barkema, G. T. (1999). "Monte Carlo Methods in Statistical Physics" New York: Oxford University Press. ISBN 019-851796-3.</ref><ref name=krauth>Krauth, Werner (2006). "Statiscal Mechanics: Algorithms and Computations" New York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-851535-7.</ref>==

Para obedecer a condição de conservação da magnetização não é permitido alterar um spin individualmente (ou um número ímpar de spins). Uma maneira de tratar a dinâmica desse sistema foi proposta por Kawasaki <ref name=kawasaki>[https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.49.1223 T. Ohta, D. Jasnow and K. Kawasaki, Phys. Rev. Lett. 49 1223 (1982). "Universal Scaling in the Motion of Random Interfaces". American Physical Society]</ref> e consiste em simplesmente alternar o estado de spin de um par de
partículas que tenham estados de spin oposto, ou seja:

<math>
\begin{cases}
\uparrow \uparrow ou \downarrow \downarrow \quad\to\quad \text{nada a fazer} \\
\uparrow \downarrow \quad\to\quad \downarrow \uparrow\\
\downarrow \uparrow \quad\to\quad \uparrow \downarrow\\
\end{cases}
</math>

É evidente que nesse caso a mudança na magnetização é conservada pois a troca de spins resulta em variação de magnetização nula.

Cada ponto da rede possui <math>z</math> vizinhos e portanto a cada passo de iteração deve-se sortear com qual dos vizinhos será feita uma tentativa de troca de spins. Essa escolha é feita aleatoriamente (uniforme). Uma vez escolhido um vizinho deve-se decidir se a troca deve ser feita ou não. Essa decisão é tomada com base no método de Monte Carlo, em particular, com a probabilidade de aceitação de Metropolis exatamente como exposto na seção acima.

A '''ergodicidade''' é satisfeita pelo sistema pois um passo de Monte Carlo corresponde a uma troca entre vizinhos que numa rede finita pode ser efetuada a partir de outro estado qualquer em número finito de passos

Como já foi mencionado a rede possui <math>N</math> pontos e número de coordenação <math>z</math> o que resulta em <math>\frac{1}{2}zN</math> pares de primeiros vizinhos, portanto, a probabilidade de selecionar um par qualquer é dada por:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>g(\mu\to\nu) = \frac{1}{\frac{1}{2}zN} = \frac{2}{zN}</math></div>

A probabilidade de seleção <math>g(\nu\to\mu)</math> é a mesma fazendo com que esses termos se cortem na condição de balanço detalhado e permitindo que se aplique a escolha de Metropolis discutida acima sem alterações.

Para efetivamente tomar a decisão sobre a troca entre vizinhos onde <math>\Delta E</math> é necessário especificar como é feito seu cálculo. <math>\Delta E</math> é dado pela seguinte expressão:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\Delta E = E_\nu-E_\mu = 2J\left[s_k^\mu\sum_{i\not\in\{k',k\}}s_i^\mu+s_{k'}^\mu\sum_{j\not\in\{k,k'\}}s_j^\mu\right]</math></div>

Seja um ponto da rede <math>k</math> e <math>k'</math> primeiro vizinho de <math>k</math>. Deseja-se calcular a energia de interação entre esse par. A expressão acima apenas diz que deve-somar os produtos do spin de <math>k</math>, <math>(s_k)</math>, com seus primeiros vizinhos <math>s_i</math> excluindo-se da soma tanto <math>k</math> quanto <math>k'</math>. Faz-se o mesmo procedimento para <math>k'</math>, ou seja, soma-se os produtos do spin <math>k'</math>, <math>(s_{k'})</math>, com todos os seus primeiros vizinhos <math>s_j</math> exceto ele mesmo e <math>k</math>. A soma dessas duas quantidades multiplicadas por <math>2J</math> é igual a diferença de energia entre a configuração <math>\mu</math> e a <math>\nu</math>

==Simulação==

Foram simulados três sistemas diferentes os quais são discutidos a seguir. O objetivo das simulações em determinar a tendência do formato de cada interface após vários passos de monte carlo sem verificar rigorosamente se o equilíbrio foi atingido. Uma análise das condições de equilíbrio é discutida na última seção.
Todas as simulações demandam a geração de muitos números aleatórios por isso optou-se por usar Mersenne Twister que é um algoritmo veloz para geração de números aleatórios.

===Interface linear===

Esse sistema consiste rede quadrada de aresta <math>l</math>. A rede tem inicialmente sua metade inferior completamente populada por partículas.

Cada ponto da rede é visitado sequencialmente e um dos seus 4 vizinhos é sorteado para que se faça uma tentativa de troca de posição entre o par. Caso a energia do sistema diminua, a troca é feita com probabilidade 1. Caso contrário a troca ocorre com probabilidade dada pelo peso de Boltzmann (algoritmo de Metropolis).

A primeira condição de contorno refere-se às paredes superior e inferior. A ultima linha de pontos da rede possui spins apontando pra baixo permanentemente assim como a primeira linha de pontos da rede tem-se spins apontando pra cima. Para que essa configuração seja mantida ao longo da simulação, evita-se qualquer tentativa de troca entre pares envolvendo esses pontos. Essa condição de contorno garante que a interface se mantenha fixa, do contrário, ela poderia transitar pela rede.
Nas paredes laterais aplica-se condição de contorno periódica onde por exemplo um ponto da rede na coluna <math>l-1</math> pode trocar de lugar com um primeiro vizinho da coluna <math>0</math> e vice-versa.

Ao iterar pela rede é comum deparar-se com pares de vizinhos que possuem mesma orientação de spin e portanto são ignorados imediatamente pois em nada contribuem para a dinâmica do sistema.

[[Arquivo:cop500iterinstepsof10.gif|frame|center|Interface linear entre sólido e vapor. Cada frame corresponde a 10 passos de Monte Carlo de um total de 500 passos. Primeira simulação com alta temperatura <math>T > T_C</math>. Segunda simução com temperatura intermediária <math>T < T_C</math>. Terceira simulação com baixa temperatura <math>T \ll T_C</math>]]

Como observado, a alta temperatura recai-se no regime homogêneo em que a alternativa mais favorável ao sistema para minizar a sua energia é distribuir os spins up (partículas) uniformemente pela rede.
A uma temperatura abaixo da crítica percebe-se a formação de uma interface persistente entre a região inferior com densidade preferencial <math>\rho_+</math> e a superior com densidade preferencial <math>\rho_-</math> em coexistência.
Ao diminuir ainda mais a temperatura o efeito fica mais acentuado, ou seja, a interface é menos deformada em relação ao caso anterior.

===Interface circular===

Nessa sistema excluem-se as condições fixas nas paredes superior e inferior e atribui-se a elas as mesmas condições das paredes laterais, ou seja, condições de contorno periódicas onde, por exemplo, uma partícula na linha <math>l-1</math> pode trocar de lugar com sua primeira vizinha da linha <math>0</math>
Como condição inicial posiciona-se as partículas num formato quadrado no centro da rede e observa-se como o formato da interface varia ao longo da simulação. A densidade de partículas é bem menor que no exemplo anterior da interface linear.

[[Arquivo:copSquare500iterinstepsof10.gif|frame|center|Interface circular entre sólido e vapor. Cada frame corresponde a 10 passos de Monte Carlo de um total de 500 passos. Primeira simulação com alta temperatura <math>T > T_C</math>. Segunda simução com temperatura intermediária <math>T < T_C</math>. Terceira simulação com baixa temperatura <math>T \ll T_C</math>]]

A interface é energeticamente custosa pois para cada par de spins antialinhados o sistema aumenta de energia por um fator 2J e como na rede quadrada um spin da interface possui 3 vizinhos antialinhados, sistema aumenta de energia por um fator 6J. Portanto fisicamente espera-se que o sistema evolua de tal forma a minimizar a extensão da sua interface, minimizando sua tensão superficial. No caso simulado espera-se que um domínio circular seja gerado pois o círculo é a forma geométrica que possui menor perímetro. No entanto, como a simulação demonstra, mesmo pra baixas temperaturas a forma nunca é perfeitamente circular e isso se deve ao tamanho finito da rede o faz com que seu formato (da rede) influencie o formato da interface.

A animação abaixo ilustra o mesmo processo mas com menos frames por segundo permitindo acompanhar detalhes da dinâmica do sistema.

[[Arquivo:copSquare100-iloveimg-compressed.gif|frame|center|Animação com 100 passos de Monte Carlo. Primeira simulação com alta temperatura <math>T > T_C</math>. Segunda simução com temperatura intermediária <math>T < T_C</math>. Terceira simulação com baixa temperatura <math>T \ll T_C</math>]]

===Interface esférica===

A simulação da interface esférica é uma extensão direita da simulação da interface circular apenas adicionando mais uma dimensão. Observa-se os mesmos efeitos de redução de tensão superficial pela deformação do cubo em uma região aproximadamente esférica quando a temperatura é menor que a temperatura crítica. Acima da a temperatura crítica a densidade fica homogênea como esperado.

Cada ponto da rede agora possui 6 vizinhos ao invés de 4 e isso faz com que as haja valores adicionais de diferenças de energia entre estados (na rede quadrada era possível obter <math>\Delta E \in \{0, \pm 4, \pm 8, \pm 12\}</math> e agora na rede cúbica <math>\Delta E \in \{0, \pm 4, \pm 8, \pm 12, \pm 16, \pm 20\}</math>

<div>
[[Arquivo:Cubeneighbours.png|frame|Visualização da vizinhança de um ponto de uma rede cúbica. Download for free at http://cnx.org/contents/85abf193-2bd2-4908-8563-90b8a7ac8df6@9.311]]

[[Arquivo:cop3D500instepsof10.gif|frame|center|Interface esférica entre sólido e vapor. Cada frame corresponde a 10 passos de Monte Carlo de um total de 500 passos. Primeira simulação com alta temperatura <math>T > T_C</math>. Segunda simução com temperatura intermediária <math>T < T_C</math>. Terceira simulação com baixa temperatura <math>T \ll T_C</math>]]

</div>
<p style="clear: both;"></p>

A mesma simulação com menos partículas, vista mais distante e com uma pequena diferença na quantidade de passos.
<br/>

[[Arquivo:cop3D250instepsof5round.gif|frame|center|Interface esférica entre sólido e vapor. Cada frame corresponde a 5 passos de Monte Carlo de um total de 250 passos. Primeira simulação com alta temperatura <math>T > T_C</math>. Segunda simução com temperatura intermediária <math>T < T_C</math>. Terceira simulação com baixa temperatura <math>T \ll T_C</math>]]

Introduzindo interações entre segundos vizinhos é possível reproduzir formatos de cristais cúbicos como por exemplo o cristal de face centrada ou de corpo centrado.<ref name=newman/>

==Equilíbrio==

Para medir qualquer grandeza de um sistema simulado pelo método de Carlo é necessária que a medida seja feita sob regime de equilíbrio. Torna-se então importante saber quando o sistema atinge o equilíbrio. No caso de um ferromagneto no modelo de Ising pode-se monitorar a magnetização ou calor específico até que a grandeza atinja um valor estacionário. No caso do gás de rede podemos monitorar o formato da interface, ou mais simplesmente, a densidade média de spins up (partículas) em cada coluna da rede quadrada. Acompanhando a mudança percentual nessa densidade ao passar de um passo de Monte Carlo para o passo seguinte é possível ter uma idéia de quanto passos são necessários para atinjir o equilíbrio.

==Códigos==

[https://github.com/diogofriggo/metcompc/blob/master/Trabalho2/COP/COP/main.c Conservação de parâmetro de ordem - Interface linear]

[https://github.com/diogofriggo/metcompc/blob/master/Trabalho2/COPSquare/COPSquare/main.c Conservação de parâmetro de ordem - Interface circular]

[https://github.com/diogofriggo/metcompc/blob/master/Trabalho2/COP3D/COP3D/main.c Conservação de parâmetro de ordem - Interface esférica]

==Bibliografia==
<references/>

Grupo - Conservação do Parâmetro de Ordem

2018-01-25T01:57:13Z

Dfriggo:

==Introdução==

O modelo de Ising possui características universais que permitem aplicá-lo a situações diversas sendo tão versátil a ponto de descrever desde ferromagnetos até interações sociais. Dentro dessa gama de possibilidades existe o modelo de Conservação do Parâmetro de Ordem (CPO) em que, como o nome indica, mantém-se o parâmetro de ordem constante. No caso de um ferromagneto o parâmetro de ordem é a magnetização, portanto, um modelo de Ising sujeito CPO a grandeza análoga à magnetização se manteria constante a cada passo da simulação.

Apesar da estrutura matemática muito similar ao modelo de Ising, o modelo de CPO com sua simples condição de conservação do parâmetro de ordem aliado a condições de contorno permite que se modele sistemas marcadamente diferentes do tradicional sistema de ferromagneto tais como o gás de rede onde é possível estudar o comportamento de interfaces vapor-sólido ou vapor-líquido em condições de equilíbrio como por exemplo o equilíbrio entre água líquida e seu vapor ou entre gelo e vapor d'água.

O gás de rede é um modelo simplificado de um gás real onde se associa a cada ponto da rede uma partícula (átomo) ou sua ausência (vacância). Ao contrário do gás real a coordenada do movimento não é contínua, pois as partículas se movem de maneira discreta somente pelos vértices da rede.
Pode-se refinar o modelo de diversas formas:
* Atribuindo inércia às partículas
* Alterando a forma da rede (quadrada, hexagonal, fcc, bcc, cúbica)
* Incluindo partículas de tipos diferentes com interações comum a seu respectivo tipo
* Presença e/ou tipos de colisões

No entanto, uma versão simplificada (e simples de simular) desse modelo é suficiente para reproduzir qualitativamente o comportamento de interfaces.

==Teoria<ref name=newman>Newman, M. E. J.; Barkema, G. T. (1999). "Monte Carlo Methods in Statistical Physics" New York: Oxford University Press. ISBN 019-851796-3.</ref><ref name=krauth>Krauth, Werner (2006). "Statiscal Mechanics: Algorithms and Computations" New York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-851535-7.</ref>==

No modelo simplificado do gás de rede as partículas (sem inércia), movem-se de forma aleatória sob excitação térmica e satisfazem as seguintes condições:

#O número total de partículas é fixo: nenhuma partícula deixa ou entra no sistema, portanto, caso desapareça a partícula deve reaparecer em outro ponto da rede no mesmo passo de simulação.
#Um ponto da rede pode ser ocupado por uma única partícula ou permanecer vazio (não ocupado). Essa é uma maneira grosseira de assimilar o caráter físico de repulsão do gás real onde partículas não podem interpenetrar-se devido a exclusão de Pauli.
#Se duas partículas são primeiras vizinhas uma da outra elas sentem uma atração <math>\epsilon</math> que é a mesma para qualquer par de partículas. Essa condição modela o efeito de atração entre partículas de um gás real.

As forças de atração e repulsão num gás real não possuem alcance de mesma ordem. A repulsão é de curto alcance enquanto a atração é de longo-alcance. Embora o presente modelo trate as partículas como se o alcance de repulsão e atração fossem da mesma ordem, ainda é possível extrair propriedades físicas que tem paralelo com o gás real tais como transições de fase e formato de interfaces.

A cada ponto da rede associamos o valor <math>+1</math> se houver uma partícula nesse ponto ou <math>0</math> caso contrário. Representamos essa variável por <math>\sigma_i</math>, ou seja, no iésimo ponto da rede a variável <math>\sigma_i</math> pode assumir apenas os valores <math>+1</math> ou <math>0</math>, ou resumidamente:

<math>
\begin{cases}
0, \text{ponto da rede vazio} \\
1, \text{ponto da rede ocupado} \\
\end{cases}
</math>

A conservação do número de partículas exige que se tenha:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\sum_i\sigma_i = \rho N</math> </div>

Onde <math>\rho</math> é a densidade de partículas e <math>N</math> é o número total de partículas, sendo, portanto, <math>\rho N</math> o número de pontos ocupados da rede.

O hamiltoniano do sistema é modelado a partir da condição 2 exposta acima em que é especificado que um par de primeiros vizinhos na rede contribui para a diminuição da energia do sistema por uma quantidade <math>\epsilon</math>:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\epsilon\sum_{<ij>}\sigma_i\sigma_j</math> </div>

Onde <math>\sum_{<ij>}</math> denota soma sobre todos os pares de primeiros vizinhos da rede.

===Equivalência ao modelo de Ising===

Para mostrar a equivalência com o modelo de Ising definimos a seguinte variável:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>s_i = 2\sigma_i-1</math> </div>

Essa nova variável é nada mais do que o spin no modelo de Ising para um ferromagneto assumindo os valores:
* <math>+1</math> quando <math>\sigma_i = +1</math>, ou seja, posição ocupada por partícula; ou
* <math>-1</math> quando <math>\sigma_i = 0</math>, ou seja, posição não ocupada

Em termos da variável de spin <math>\sigma_i</math> é dada por:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\sigma_i = \frac{1}{2}(s_i+1)</math> </div>

Substituindo no Hamiltoniano tem-se:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}(s_i+1)(s_j+1)</math> </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_is_j-\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_i-\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_j-\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}1</math> </div>

Seja <math>z</math> o número de coordenação da rede, ou seja, o número de primeiros vizinhos (<math>z=4</math> para rede quadrada e <math>z=6</math> para rede cúbica simples). Para uma dada rede existem <math>2 z N</math> possíveis pares distintos

Pode-se simplificar esssa expressão com base nas seguintes observações:

* Os somatórios em <math>s_i</math> e <math>s_j</math> são idênticos exceto pelo índice.
* A soma <math>\sum_{<ij>}s_i</math>sobre pares de vizinhos é equivalente a somar <math>z</math> vezes sobre o número de pontos da rede:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\sum_{<ij>}s_i = 2z\sum_{i}s_i</math></div>

* <math>\sum_i s_i</math> pode ser escrito em termos das constantes <math>\rho</math> e <math>N</math> assim como ocorre com <math>\sigma_i</math>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\sum_i\sigma_i = \rho N</math></div>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\frac{1}{2}\sum_i(s_i+1) = \rho N</math></div>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\frac{1}{2}\sum_i s_i = \rho N - \frac{1}{2}\sum_i 1</math></div>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\frac{1}{2}\sum_i s_i = \rho N - \frac{1}{2}N</math></div>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\sum_i s_i = N(2\rho - 1)</math>
</div>

Dessa forma o Hamiltoniano se reduz a:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_is_j-\frac{1}{2}z\epsilon\sum_{i}s_i-\frac{1}{4}\epsilon(2zN)</math> </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_is_j-\frac{1}{2}z\epsilon(N(2\rho-1))-\frac{1}{4}\epsilon(2zN)</math> </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_is_j-z\epsilon N\rho +\frac{1}{2}\epsilon z N-\frac{1}{2}\epsilon z N </math> </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_is_j-z\epsilon N\rho</math></div>

Seja J = <math>\frac{1}{4}\epsilon</math> e observando que <math>-z\epsilon N\rho</math> é uma constante pois todos seus termos são constantes, chegamos na equivalência com o Hamiltoniano do modelo de Ising na ausência de campo magnético:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -J\sum_{<ij>}s_is_j + ctc = H^{Ising}_{B=0} + ctc</math></div>

O valor esperado <math><Q></math> de qualquer quantidade física <math>Q</math> não é alterado pela adição de uma constante ao hamiltoniano:

<math><Q> = \sum_\mu Q_\mu p_\mu = \frac{\sum_\mu{Q_\mu}e^{-\beta(E_\mu + ctc)}}{\sum_\mu e^{-\beta(E_\mu + ctc)}}= \frac{e^{-\beta ctc}\sum_\mu{Q_\mu}e^{-\beta E_\mu}}{e^{-\beta ctc}\sum_\mu e^{-\beta E_\mu}} = \frac{1}{Z}\sum_\mu{Q_\mu}e^{-\beta E_\mu} = <Q></math>

===Conservação do parâmetro de ordem===

A magnetização do sistema é nada mais do que a soma de spins que já calculamos acima:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>M = \sum_i s_i = N(2\rho - 1)</math></div>

No entanto, <math>\rho</math> e <math>N</math> devem permanecer constantes durante toda a simução, isso implica que a magnetização também é sempre constante, ou seja, a magneticação é o '''parâmetro de ordem conservado''' nesse sistema fato que dá nome ao método.

É vantajoso tratar o modelo de gás de rede sob a perspectiva de um modelo de Ising pois todo o arcabouço de técnicas amplamente conhecidas e extensivamente estudadas para o modelo de Ising podem ser aplicadas.

Apesar das similaridades, o gás de rede, como definido, possui muito menos estados válidos pois não é permitido alterar a magnetização do sistema enquanto no modelo de Ising qualquer spin individual pode ser invertido sem restrições pois a magnetização não precisa se manter constante.

==Transição de fase==

Aproveitando a equivalência estabelecida entre gás de rede e o modelo de Ising sabe-se que o sistema possui uma transição de fase que ocorre a uma temperatura crítica <math>T_c</math>. Rearranjando a densidade de pontos (equivalente agora a spins up) tem-se:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>2\rho - 1 = \frac{M}{N}</math></div>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\rho = \frac{1}{2}(1+m)</math></div>

No modelo de Ising sabe-se também que abaixo da temperatura crítica existem dois valores de equilíbrio para a magnetização que são <math>+|m|</math> e <math>-|m|</math>, portanto, para favorecer a coexistência de fases tem-se que:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\frac{1}{2}(1-|m|) = \rho_- \le \rho \le \rho_+ = \frac{1}{2}(1+|m|)</math></div>

Para valores de <math>\rho</math> fora do intervalo <math>\rho_- \le \rho \le \rho_+</math> ainda é possível que uma região do sistema favoreça uma das duas densidades preferenciais. Suponha que se tenha <math>\rho < \rho_-</math>. Nesse caso o sistema possui menos partículas do que precisa pra atingir o a densidade <math>\rho_+</math>. Ainda que localmente seja possível o sistema atingir a densidade <math>\rho_+</math> isso leva a uma falta ainda maior de partículas em outras regiões do sistema sendo, portanto, energeticamente custoso. A opção energeticamente mais favorável adotada pelo sistema é distribuir as poucas partículas homegeneamente pela rede. Esse comportamento é observado na simulação.

Dessa forma, no caso de <math>J>0</math> o sistema possui duas fases:
* Uma em que <math>\rho\in[\rho_-,\rho_+]</math> se dividindo em dois domínios cada qual favorecendo uma das duas densidades <math>\pm\rho</math>
* E outra em que <math>\rho\not\in[\rho_-,\rho_+]</math> tendo densidade homogênea

Com <math>\rho</math> sujeito ao intervalo <math>\frac{1}{2}(1-|m|) \le \rho \le \frac{1}{2}(1+|m|)</math> conclui-se que <math>/rho</math> pode assumir um intervalo menor de valores a medida que <math>|m|</math> diminui. A magnetização diminui sob o aumento da temperatura. Acima da temperatura crítica a <math>|m|=0</math> e portanto o intervalo <math>\frac{1}{2}(1-|m|) \le \rho \le \frac{1}{2}(1+|m|)</math> reduz-se a zero evidenciando que não existe mais um valor de <math>\rho</math> que evite a homogeinização da rede.

A discussão acima pode ser apresentada resumidamente pelo diagrama de fases:

[[Arquivo:Ferromagnet phases.gif|frame|center|Diagrama de fases do modelo CPO. Fase homogênea para temperaturas além da temperatura crítica e fase coexistente abaixo com densidades preferenciais <math>\rho_+</math> e <math>\rho_-</math>]]

Esse comportamento é observado quando se diminui a temperatura de vapor d'agua que passa a formar gotas líquidas que coexistem com o vapor para um intervalo de temperaturas. A fase condensada do gás de rede, no entanto, é mais adequadamente interpretada como um sólido devido a posição fixa das partículas (análogas a moléculas ou átomos) na rede, dessa forma, falamos de interface vapor/sólido ao invés de vapor/líquido.

==Implementação<ref name=newman/>==

Sistemas físicos em equilíbrio com muitos graus de liberdade e no limite termodinâmico comportam-se de tal forma que ao flutuarem de um estado <math>\mu</math> para um estado <math>\nu</math> tem-se que <math>\nu</math> difere pouco de <math>\mu</math>. Outra maneira de dizer isso é que as flutuações dessa tipo de sistema físico são muito pequenas em relação ao número de configurações possíveis e que portanto o sistema passa a maior parte do tempo alternando entre um pequeno conjunto de configurações. A consequência disso é que pode-se escolher uma estratégia de visitar com maior probabilidade apenas a fração de estados do sistema, as quais mais contribuem para atingir o equilíbrio ao invés de se visitar todos os estados indistintamente. No modelo de ferromagneto, por exemplo, com uma rede <math>10\times 10\times 10</math>, há <math>2^{1000} \simeq 10^{300}</math> configurações possíveis sendo que mesmo com um supercomputador seria impraticável realizar essa simulação. O método de Monte Carlo consiste em visitar eficientemente uma pequena fração desses estados e atingir rapidamente o equilíbrio em poucos passos e o peso que define como visitar o estado seguinte é dado pela distribuição de Boltzmann <math>e^{\beta(E_\nu-E_\mu)}</math> onde fica claro que quanto mais diferente <math>\nu</math> for de <math>\mu</math> menor a change de fazer a transição <math>\mu\to\mu</math>

Dessa forma impõe-se que no equilíbrio o sistema obedeça a distribuição de Boltzmann, portanto a condição de balanço detalhado dá liberdade na escolha de <math>P(\mu\to\nu)</math> e <math>P(\nu\to\mu)</math> desde que seja satisfeita:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\frac{g(\mu)}{g(\nu)}\frac{A(\mu\to\nu)}{A(\nu\to\mu)} = e^{\beta(E_\nu-E_\mu)}</math></div>

Uma possível escolha para <math>A(\mu\to\nu)</math> seria:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>A(\mu\to\nu)=A_0e^{-\frac{1}{2}\beta(E_\nu-E_\mu)}</math></div>

Como <math>A_0</math> é cancelada na razão entre probabilidades de aceitação temos a liberdade na sua escolha desde que mantenha a probabilidade menor ou igual a um. No modelo de Ising, por exemplo, a maior diferença de energia que se pode obter entre estados é <math>\Delta E = E_\nu-E_\mu = \pm 2zJ</math> o que significa que o maior valor de <math>e^{-\frac{1}{2}\beta(E_\nu-E_\mu)}</math> é justamente <math>e^{\beta zJ}</math>. Assim, para garantir que a probabilidade seja menor ou igual a 1 deve-se escolher <math>A_0 \le e^{-\beta zJ}</math>

Para que o algoritmo seja eficiente deseja-se que a probabilidade de aceitação seja a maior possível, pois do contrário estaríamos utilizando tempo computacional apenas para rejeitar trocas de estado. Portanto queremos que <math>A_0</math> assuma o maior valor possível <math>A_0 = e^{-\beta zJ}</math>, maximizando <math>A(\mu\to\nu)</math>:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>A(\mu\to\nu)=e^{-\frac{1}{2}\beta(E_\nu-E_\mu+2\beta z J)}</math></div>

Devido a condição de balanço detalhado, essa escolha implica:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>A(\nu\to\mu)=e^{-\beta z J}</math></div>

Metropolis percebeu que desde que a condição de balanço detalhado seja satisfeita tem-se liberdade na escolha das probabilidades de aceitação. Então ele decidiu atribuir o maior valor possível para a probabilidade de aceitação que tem o maior valor entre as duas, no caso <math>A(\nu\to\mu)</math>, ou seja:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>A(\nu\to\mu)=1</math></div>

O que implica:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>A(\mu\to\nu)=e^{-\beta(E_\nu-E_\mu)}</math></div>

Dessa forma a transição de estados sempre ocorre se <math>E_\nu < E_\mu</math> ou seja <math>\Delta E <= 0</math> mas pode ou não ocorrer caso seja <math>\Delta E > 0</math> com uma probabilidade dada por <math>e^{-\beta(E_\nu-E_\mu)}</math>. Em suma:

<math>
A(\mu\to\nu) = \begin{cases}
e^{-\beta(E_\nu-E_\mu)} \ \mbox{ se } \ E_\nu - E_\mu > 0\\
1 \ \mbox{ caso contrario}\\
\end{cases}
</math>

===Gás de rede===

==Teoria<ref name=newman>Newman, M. E. J.; Barkema, G. T. (1999). "Monte Carlo Methods in Statistical Physics" New York: Oxford University Press. ISBN 019-851796-3.</ref><ref name=krauth>Krauth, Werner (2006). "Statiscal Mechanics: Algorithms and Computations" New York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-851535-7.</ref>==

Para obedecer a condição de conservação da magnetização não é permitido alterar um spin individualmente (ou um número ímpar de spins). Uma maneira de tratar a dinâmica desse sistema foi proposta por Kawasaki <ref name=kawasaki>[https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.49.1223 T. Ohta, D. Jasnow and K. Kawasaki, Phys. Rev. Lett. 49 1223 (1982). "Universal Scaling in the Motion of Random Interfaces". American Physical Society]</ref> e consiste em simplesmente alternar o estado de spin de um par de
partículas que tenham estados de spin oposto, ou seja:

<math>
\begin{cases}
\uparrow \uparrow ou \downarrow \downarrow \quad\to\quad \text{nada a fazer} \\
\uparrow \downarrow \quad\to\quad \downarrow \uparrow\\
\downarrow \uparrow \quad\to\quad \uparrow \downarrow\\
\end{cases}
</math>

É evidente que nesse caso a mudança na magnetização é conservada pois a troca de spins resulta em variação de magnetização nula.

Cada ponto da rede possui <math>z</math> vizinhos e portanto a cada passo de iteração deve-se sortear com qual dos vizinhos será feita uma tentativa de troca de spins. Essa escolha é feita aleatoriamente (uniforme). Uma vez escolhido um vizinho deve-se decidir se a troca deve ser feita ou não. Essa decisão é tomada com base no método de Monte Carlo, em particular, com a probabilidade de aceitação de Metropolis exatamente como exposto na seção acima.

A '''ergodicidade''' é satisfeita pelo sistema pois um passo de Monte Carlo corresponde a uma troca entre vizinhos que numa rede finita pode ser efetuada a partir de outro estado qualquer em número finito de passos

Como já foi mencionado a rede possui <math>N</math> pontos e número de coordenação <math>z</math> o que resulta em <math>\frac{1}{2}zN</math> pares de primeiros vizinhos, portanto, a probabilidade de selecionar um par qualquer é dada por:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>g(\mu\to\nu) = \frac{1}{\frac{1}{2}zN} = \frac{2}{zN}</math></div>

A probabilidade de seleção <math>g(\nu\to\mu)</math> é a mesma fazendo com que esses termos se cortem na condição de balanço detalhado e permitindo que se aplique a escolha de Metropolis discutida acima sem alterações.

Para efetivamente tomar a decisão sobre a troca entre vizinhos onde <math>\Delta E</math> é necessário especificar como é feito seu cálculo. <math>\Delta E</math> é dado pela seguinte expressão:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\Delta E = E_\nu-E_\mu = 2J\left[s_k^\mu\sum_{i\not\in\{k',k\}}s_i^\mu+s_{k'}^\mu\sum_{j\not\in\{k,k'\}}s_j^\mu\right]</math></div>

Seja um ponto da rede <math>k</math> e <math>k'</math> primeiro vizinho de <math>k</math>. Deseja-se calcular a energia de interação entre esse par. A expressão acima apenas diz que deve-somar os produtos do spin de <math>k</math>, <math>(s_k)</math>, com seus primeiros vizinhos <math>s_i</math> excluindo-se da soma tanto <math>k</math> quanto <math>k'</math>. Faz-se o mesmo procedimento para <math>k'</math>, ou seja, soma-se os produtos do spin <math>k'</math>, <math>(s_{k'})</math>, com todos os seus primeiros vizinhos <math>s_j</math> exceto ele mesmo e <math>k</math>. A soma dessas duas quantidades multiplicadas por <math>2J</math> é igual a diferença de energia entre a configuração <math>\mu</math> e a <math>\nu</math>

==Simulação==

Foram simulados três sistemas diferentes os quais são discutidos a seguir. O objetivo das simulações em determinar a tendência do formato de cada interface após vários passos de monte carlo sem verificar rigorosamente se o equilíbrio foi atingido. Uma análise das condições de equilíbrio é discutida na última seção.
Todas as simulações demandam a geração de muitos números aleatórios por isso optou-se por usar Mersenne Twister que é um algoritmo veloz para geração de números aleatórios.

===Interface linear===

Esse sistema consiste rede quadrada de aresta <math>l</math>. A rede tem inicialmente sua metade inferior completamente populada por partículas.

Cada ponto da rede é visitado sequencialmente e um dos seus 4 vizinhos é sorteado para que se faça uma tentativa de troca de posição entre o par. Caso a energia do sistema diminua, a troca é feita com probabilidade 1. Caso contrário a troca ocorre com probabilidade dada pelo peso de Boltzmann (algoritmo de Metropolis).

A primeira condição de contorno refere-se às paredes superior e inferior. A ultima linha de pontos da rede possui spins apontando pra baixo permanentemente assim como a primeira linha de pontos da rede tem-se spins apontando pra cima. Para que essa configuração seja mantida ao longo da simulação, evita-se qualquer tentativa de troca entre pares envolvendo esses pontos. Essa condição de contorno garante que a interface se mantenha fixa, do contrário, ela poderia transitar pela rede.
Nas paredes laterais aplica-se condição de contorno periódica onde por exemplo um ponto da rede na coluna <math>l-1</math> pode trocar de lugar com um primeiro vizinho da coluna <math>0</math> e vice-versa.

Ao iterar pela rede é comum deparar-se com pares de vizinhos que possuem mesma orientação de spin e portanto são ignorados imediatamente pois em nada contribuem para a dinâmica do sistema.

[[Arquivo:cop500iterinstepsof10.gif|frame|center|Interface linear entre sólido e vapor. Cada frame corresponde a 10 passos de Monte Carlo de um total de 500 passos. Primeira simulação com alta temperatura <math>T > T_C</math>. Segunda simução com temperatura intermediária <math>T < T_C</math>. Terceira simulação com baixa temperatura <math>T \ll T_C</math>]]

Como observado, a alta temperatura recai-se no regime homogêneo em que a alternativa mais favorável ao sistema para minizar a sua energia é distribuir os spins up (partículas) uniformemente pela rede.
A uma temperatura abaixo da crítica percebe-se a formação de uma interface persistente entre a região inferior com densidade preferencial <math>\rho_+</math> e a superior com densidade preferencial <math>\rho_-</math> em coexistência.
Ao diminuir ainda mais a temperatura o efeito fica mais acentuado, ou seja, a interface é menos deformada em relação ao caso anterior.

===Interface circular===

Nessa sistema excluem-se as condições fixas nas paredes superior e inferior e atribui-se a elas as mesmas condições das paredes laterais, ou seja, condições de contorno periódicas onde, por exemplo, uma partícula na linha <math>l-1</math> pode trocar de lugar com sua primeira vizinha da linha <math>0</math>
Como condição inicial posiciona-se as partículas num formato quadrado no centro da rede e observa-se como o formato da interface varia ao longo da simulação. A densidade de partículas é bem menor que no exemplo anterior da interface linear.

[[Arquivo:copSquare500iterinstepsof10.gif|frame|center|Interface circular entre sólido e vapor. Cada frame corresponde a 10 passos de Monte Carlo de um total de 500 passos. Primeira simulação com alta temperatura <math>T > T_C</math>. Segunda simução com temperatura intermediária <math>T < T_C</math>. Terceira simulação com baixa temperatura <math>T \ll T_C</math>]]

A interface é energeticamente custosa pois para cada par de spins antialinhados o sistema aumenta de energia por um fator 2J e como na rede quadrada um spin da interface possui 3 vizinhos antialinhados, sistema aumenta de energia por um fator 6J. Portanto fisicamente espera-se que o sistema evolua de tal forma a minimizar a extensão da sua interface, minimizando sua tensão superficial. No caso simulado espera-se que um domínio circular seja gerado pois o círculo é a forma geométrica que possui menor perímetro. No entanto, como a simulação demonstra, mesmo pra baixas temperaturas a forma nunca é perfeitamente circular e isso se deve ao tamanho finito da rede o faz com que seu formato (da rede) influencie o formato da interface.

A animação abaixo ilustra o mesmo processo mas com menos frames por segundo permitindo acompanhar detalhes da dinâmica do sistema.

[[Arquivo:copSquare100-iloveimg-compressed.gif|frame|center|Animação com 100 passos de Monte Carlo. Primeira simulação com alta temperatura <math>T > T_C</math>. Segunda simução com temperatura intermediária <math>T < T_C</math>. Terceira simulação com baixa temperatura <math>T \ll T_C</math>]]

===Interface esférica===

A simulação da interface esférica é uma extensão direita da simulação da interface circular apenas adicionando mais uma dimensão. Observa-se os mesmos efeitos de redução de tensão superficial pela deformação do cubo em uma região aproximadamente esférica quando a temperatura é menor que a temperatura crítica. Acima da a temperatura crítica a densidade fica homogênea como esperado.

Cada ponto da rede agora possui 6 vizinhos ao invés de 4 e isso faz com que as haja valores adicionais de diferenças de energia entre estados (na rede quadrada era possível obter <math>\Delta E \in \{0, \pm 4, \pm 8, \pm 12\}</math> e agora na rede cúbica <math>\Delta E \in \{0, \pm 4, \pm 8, \pm 12, \pm 16, \pm 20\}</math>

<div>
[[Arquivo:Cubeneighbours.png|frame|Visualização da vizinhança de um ponto de uma rede cúbica. Download for free at http://cnx.org/contents/85abf193-2bd2-4908-8563-90b8a7ac8df6@9.311]]

[[Arquivo:cop3D500instepsof10.gif|frame|center|Interface esférica entre sólido e vapor. Cada frame corresponde a 10 passos de Monte Carlo de um total de 500 passos. Primeira simulação com alta temperatura <math>T > T_C</math>. Segunda simução com temperatura intermediária <math>T < T_C</math>. Terceira simulação com baixa temperatura <math>T \ll T_C</math>]]

</div>
<p style="clear: both;"></p>

A mesma simulação com menos partículas, vista mais distante e com uma pequena diferença na quantidade de passos.
<br/>

[[Arquivo:cop3D250instepsof5round.gif|frame|center|Interface esférica entre sólido e vapor. Cada frame corresponde a 5 passos de Monte Carlo de um total de 250 passos. Primeira simulação com alta temperatura <math>T > T_C</math>. Segunda simução com temperatura intermediária <math>T < T_C</math>. Terceira simulação com baixa temperatura <math>T \ll T_C</math>]]

Introduzindo interações entre segundos vizinhos é possível reproduzir formatos de cristais cúbicos como por exemplo o cristal de face centrada ou de corpo centrado.<ref name=newman/>

==Equilíbrio==

==Códigos==

[https://github.com/diogofriggo/metcompc/blob/master/Trabalho2/COP/COP/main.c Conservação de parâmetro de ordem - Interface linear]

[https://github.com/diogofriggo/metcompc/blob/master/Trabalho2/COPSquare/COPSquare/main.c Conservação de parâmetro de ordem - Interface circular]

[https://github.com/diogofriggo/metcompc/blob/master/Trabalho2/COP3D/COP3D/main.c Conservação de parâmetro de ordem - Interface esférica]

==Bibliografia==
<references/>

Arquivo:Cubeneighbours.png

2018-01-25T01:46:15Z

Dfriggo: Arquivo sob licença Creative Commons retirado de https://opentextbc.ca/chemistry/chapter/10-6-lattice-structures-in-crystalline-solids/ OpenStax, Chemistry. OpenStax CNX. Jun 20, 2016 http://cnx.org/contents/85abf193-2bd2-4908-8563-90b8a7ac8df6@9.311.

Arquivo sob licença Creative Commons retirado de https://opentextbc.ca/chemistry/chapter/10-6-lattice-structures-in-crystalline-solids/

OpenStax, Chemistry. OpenStax CNX. Jun 20, 2016 http://cnx.org/contents/85abf193-2bd2-4908-8563-90b8a7ac8df6@9.311.

Grupo - Conservação do Parâmetro de Ordem

2018-01-25T01:33:11Z

Dfriggo:

==Introdução==

O modelo de Ising possui características universais que permitem aplicá-lo a situações diversas sendo tão versátil a ponto de descrever desde ferromagnetos até interações sociais. Dentro dessa gama de possibilidades existe o modelo de Conservação do Parâmetro de Ordem (CPO) em que, como o nome indica, mantém-se o parâmetro de ordem constante. No caso de um ferromagneto o parâmetro de ordem é a magnetização, portanto, um modelo de Ising sujeito CPO a grandeza análoga à magnetização se manteria constante a cada passo da simulação.

Apesar da estrutura matemática muito similar ao modelo de Ising, o modelo de CPO com sua simples condição de conservação do parâmetro de ordem aliado a condições de contorno permite que se modele sistemas marcadamente diferentes do tradicional sistema de ferromagneto tais como o gás de rede onde é possível estudar o comportamento de interfaces vapor-sólido ou vapor-líquido em condições de equilíbrio como por exemplo o equilíbrio entre água líquida e seu vapor ou entre gelo e vapor d'água.

O gás de rede é um modelo simplificado de um gás real onde se associa a cada ponto da rede uma partícula (átomo) ou sua ausência (vacância). Ao contrário do gás real a coordenada do movimento não é contínua, pois as partículas se movem de maneira discreta somente pelos vértices da rede.
Pode-se refinar o modelo de diversas formas:
* Atribuindo inércia às partículas
* Alterando a forma da rede (quadrada, hexagonal, fcc, bcc, cúbica)
* Incluindo partículas de tipos diferentes com interações comum a seu respectivo tipo
* Presença e/ou tipos de colisões

No entanto, uma versão simplificada (e simples de simular) desse modelo é suficiente para reproduzir qualitativamente o comportamento de interfaces.

==Teoria<ref name=newman>Newman, M. E. J.; Barkema, G. T. (1999). "Monte Carlo Methods in Statistical Physics" New York: Oxford University Press. ISBN 019-851796-3.</ref><ref name=krauth>Krauth, Werner (2006). "Statiscal Mechanics: Algorithms and Computations" New York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-851535-7.</ref>==

No modelo simplificado do gás de rede as partículas (sem inércia), movem-se de forma aleatória sob excitação térmica e satisfazem as seguintes condições:

#O número total de partículas é fixo: nenhuma partícula deixa ou entra no sistema, portanto, caso desapareça a partícula deve reaparecer em outro ponto da rede no mesmo passo de simulação.
#Um ponto da rede pode ser ocupado por uma única partícula ou permanecer vazio (não ocupado). Essa é uma maneira grosseira de assimilar o caráter físico de repulsão do gás real onde partículas não podem interpenetrar-se devido a exclusão de Pauli.
#Se duas partículas são primeiras vizinhas uma da outra elas sentem uma atração <math>\epsilon</math> que é a mesma para qualquer par de partículas. Essa condição modela o efeito de atração entre partículas de um gás real.

As forças de atração e repulsão num gás real não possuem alcance de mesma ordem. A repulsão é de curto alcance enquanto a atração é de longo-alcance. Embora o presente modelo trate as partículas como se o alcance de repulsão e atração fossem da mesma ordem, ainda é possível extrair propriedades físicas que tem paralelo com o gás real tais como transições de fase e formato de interfaces.

A cada ponto da rede associamos o valor <math>+1</math> se houver uma partícula nesse ponto ou <math>0</math> caso contrário. Representamos essa variável por <math>\sigma_i</math>, ou seja, no iésimo ponto da rede a variável <math>\sigma_i</math> pode assumir apenas os valores <math>+1</math> ou <math>0</math>, ou resumidamente:

<math>
\begin{cases}
0, \text{ponto da rede vazio} \\
1, \text{ponto da rede ocupado} \\
\end{cases}
</math>

A conservação do número de partículas exige que se tenha:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\sum_i\sigma_i = \rho N</math> </div>

Onde <math>\rho</math> é a densidade de partículas e <math>N</math> é o número total de partículas, sendo, portanto, <math>\rho N</math> o número de pontos ocupados da rede.

O hamiltoniano do sistema é modelado a partir da condição 2 exposta acima em que é especificado que um par de primeiros vizinhos na rede contribui para a diminuição da energia do sistema por uma quantidade <math>\epsilon</math>:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\epsilon\sum_{<ij>}\sigma_i\sigma_j</math> </div>

Onde <math>\sum_{<ij>}</math> denota soma sobre todos os pares de primeiros vizinhos da rede.

===Equivalência ao modelo de Ising===

Para mostrar a equivalência com o modelo de Ising definimos a seguinte variável:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>s_i = 2\sigma_i-1</math> </div>

Essa nova variável é nada mais do que o spin no modelo de Ising para um ferromagneto assumindo os valores:
* <math>+1</math> quando <math>\sigma_i = +1</math>, ou seja, posição ocupada por partícula; ou
* <math>-1</math> quando <math>\sigma_i = 0</math>, ou seja, posição não ocupada

Em termos da variável de spin <math>\sigma_i</math> é dada por:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\sigma_i = \frac{1}{2}(s_i+1)</math> </div>

Substituindo no Hamiltoniano tem-se:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}(s_i+1)(s_j+1)</math> </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_is_j-\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_i-\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_j-\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}1</math> </div>

Seja <math>z</math> o número de coordenação da rede, ou seja, o número de primeiros vizinhos (<math>z=4</math> para rede quadrada e <math>z=6</math> para rede cúbica simples). Para uma dada rede existem <math>2 z N</math> possíveis pares distintos

Pode-se simplificar esssa expressão com base nas seguintes observações:

* Os somatórios em <math>s_i</math> e <math>s_j</math> são idênticos exceto pelo índice.
* A soma <math>\sum_{<ij>}s_i</math>sobre pares de vizinhos é equivalente a somar <math>z</math> vezes sobre o número de pontos da rede:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\sum_{<ij>}s_i = 2z\sum_{i}s_i</math></div>

* <math>\sum_i s_i</math> pode ser escrito em termos das constantes <math>\rho</math> e <math>N</math> assim como ocorre com <math>\sigma_i</math>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\sum_i\sigma_i = \rho N</math></div>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\frac{1}{2}\sum_i(s_i+1) = \rho N</math></div>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\frac{1}{2}\sum_i s_i = \rho N - \frac{1}{2}\sum_i 1</math></div>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\frac{1}{2}\sum_i s_i = \rho N - \frac{1}{2}N</math></div>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\sum_i s_i = N(2\rho - 1)</math>
</div>

Dessa forma o Hamiltoniano se reduz a:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_is_j-\frac{1}{2}z\epsilon\sum_{i}s_i-\frac{1}{4}\epsilon(2zN)</math> </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_is_j-\frac{1}{2}z\epsilon(N(2\rho-1))-\frac{1}{4}\epsilon(2zN)</math> </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_is_j-z\epsilon N\rho +\frac{1}{2}\epsilon z N-\frac{1}{2}\epsilon z N </math> </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_is_j-z\epsilon N\rho</math></div>

Seja J = <math>\frac{1}{4}\epsilon</math> e observando que <math>-z\epsilon N\rho</math> é uma constante pois todos seus termos são constantes, chegamos na equivalência com o Hamiltoniano do modelo de Ising na ausência de campo magnético:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -J\sum_{<ij>}s_is_j + ctc = H^{Ising}_{B=0} + ctc</math></div>

O valor esperado <math><Q></math> de qualquer quantidade física <math>Q</math> não é alterado pela adição de uma constante ao hamiltoniano:

<math><Q> = \sum_\mu Q_\mu p_\mu = \frac{\sum_\mu{Q_\mu}e^{-\beta(E_\mu + ctc)}}{\sum_\mu e^{-\beta(E_\mu + ctc)}}= \frac{e^{-\beta ctc}\sum_\mu{Q_\mu}e^{-\beta E_\mu}}{e^{-\beta ctc}\sum_\mu e^{-\beta E_\mu}} = \frac{1}{Z}\sum_\mu{Q_\mu}e^{-\beta E_\mu} = <Q></math>

===Conservação do parâmetro de ordem===

A magnetização do sistema é nada mais do que a soma de spins que já calculamos acima:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>M = \sum_i s_i = N(2\rho - 1)</math></div>

No entanto, <math>\rho</math> e <math>N</math> devem permanecer constantes durante toda a simução, isso implica que a magnetização também é sempre constante, ou seja, a magneticação é o '''parâmetro de ordem conservado''' nesse sistema fato que dá nome ao método.

É vantajoso tratar o modelo de gás de rede sob a perspectiva de um modelo de Ising pois todo o arcabouço de técnicas amplamente conhecidas e extensivamente estudadas para o modelo de Ising podem ser aplicadas.

Apesar das similaridades, o gás de rede, como definido, possui muito menos estados válidos pois não é permitido alterar a magnetização do sistema enquanto no modelo de Ising qualquer spin individual pode ser invertido sem restrições pois a magnetização não precisa se manter constante.

==Transição de fase==

Aproveitando a equivalência estabelecida entre gás de rede e o modelo de Ising sabe-se que o sistema possui uma transição de fase que ocorre a uma temperatura crítica <math>T_c</math>. Rearranjando a densidade de pontos (equivalente agora a spins up) tem-se:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>2\rho - 1 = \frac{M}{N}</math></div>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\rho = \frac{1}{2}(1+m)</math></div>

No modelo de Ising sabe-se também que abaixo da temperatura crítica existem dois valores de equilíbrio para a magnetização que são <math>+|m|</math> e <math>-|m|</math>, portanto, para favorecer a coexistência de fases tem-se que:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\frac{1}{2}(1-|m|) = \rho_- \le \rho \le \rho_+ = \frac{1}{2}(1+|m|)</math></div>

Para valores de <math>\rho</math> fora do intervalo <math>\rho_- \le \rho \le \rho_+</math> ainda é possível que uma região do sistema favoreça uma das duas densidades preferenciais. Suponha que se tenha <math>\rho < \rho_-</math>. Nesse caso o sistema possui menos partículas do que precisa pra atingir o a densidade <math>\rho_+</math>. Ainda que localmente seja possível o sistema atingir a densidade <math>\rho_+</math> isso leva a uma falta ainda maior de partículas em outras regiões do sistema sendo, portanto, energeticamente custoso. A opção energeticamente mais favorável adotada pelo sistema é distribuir as poucas partículas homegeneamente pela rede. Esse comportamento é observado na simulação.

Dessa forma, no caso de <math>J>0</math> o sistema possui duas fases:
* Uma em que <math>\rho\in[\rho_-,\rho_+]</math> se dividindo em dois domínios cada qual favorecendo uma das duas densidades <math>\pm\rho</math>
* E outra em que <math>\rho\not\in[\rho_-,\rho_+]</math> tendo densidade homogênea

Com <math>\rho</math> sujeito ao intervalo <math>\frac{1}{2}(1-|m|) \le \rho \le \frac{1}{2}(1+|m|)</math> conclui-se que <math>/rho</math> pode assumir um intervalo menor de valores a medida que <math>|m|</math> diminui. A magnetização diminui sob o aumento da temperatura. Acima da temperatura crítica a <math>|m|=0</math> e portanto o intervalo <math>\frac{1}{2}(1-|m|) \le \rho \le \frac{1}{2}(1+|m|)</math> reduz-se a zero evidenciando que não existe mais um valor de <math>\rho</math> que evite a homogeinização da rede.

A discussão acima pode ser apresentada resumidamente pelo diagrama de fases:

[[Arquivo:Ferromagnet phases.gif|frame|center|Diagrama de fases do modelo CPO. Fase homogênea para temperaturas além da temperatura crítica e fase coexistente abaixo com densidades preferenciais <math>\rho_+</math> e <math>\rho_-</math>]]

Esse comportamento é observado quando se diminui a temperatura de vapor d'agua que passa a formar gotas líquidas que coexistem com o vapor para um intervalo de temperaturas. A fase condensada do gás de rede, no entanto, é mais adequadamente interpretada como um sólido devido a posição fixa das partículas (análogas a moléculas ou átomos) na rede, dessa forma, falamos de interface vapor/sólido ao invés de vapor/líquido.

==Implementação<ref name=newman/>==

Sistemas físicos em equilíbrio com muitos graus de liberdade e no limite termodinâmico comportam-se de tal forma que ao flutuarem de um estado <math>\mu</math> para um estado <math>\nu</math> tem-se que <math>\nu</math> difere pouco de <math>\mu</math>. Outra maneira de dizer isso é que as flutuações dessa tipo de sistema físico são muito pequenas em relação ao número de configurações possíveis e que portanto o sistema passa a maior parte do tempo alternando entre um pequeno conjunto de configurações. A consequência disso é que pode-se escolher uma estratégia de visitar com maior probabilidade apenas a fração de estados do sistema, as quais mais contribuem para atingir o equilíbrio ao invés de se visitar todos os estados indistintamente. No modelo de ferromagneto, por exemplo, com uma rede <math>10\times 10\times 10</math>, há <math>2^{1000} \simeq 10^{300}</math> configurações possíveis sendo que mesmo com um supercomputador seria impraticável realizar essa simulação. O método de Monte Carlo consiste em visitar eficientemente uma pequena fração desses estados e atingir rapidamente o equilíbrio em poucos passos e o peso que define como visitar o estado seguinte é dado pela distribuição de Boltzmann <math>e^{\beta(E_\nu-E_\mu)}</math> onde fica claro que quanto mais diferente <math>\nu</math> for de <math>\mu</math> menor a change de fazer a transição <math>\mu\to\mu</math>

Dessa forma impõe-se que no equilíbrio o sistema obedeça a distribuição de Boltzmann, portanto a condição de balanço detalhado dá liberdade na escolha de <math>P(\mu\to\nu)</math> e <math>P(\nu\to\mu)</math> desde que seja satisfeita:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\frac{g(\mu)}{g(\nu)}\frac{A(\mu\to\nu)}{A(\nu\to\mu)} = e^{\beta(E_\nu-E_\mu)}</math></div>

Uma possível escolha para <math>A(\mu\to\nu)</math> seria:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>A(\mu\to\nu)=A_0e^{-\frac{1}{2}\beta(E_\nu-E_\mu)}</math></div>

Como <math>A_0</math> é cancelada na razão entre probabilidades de aceitação temos a liberdade na sua escolha desde que mantenha a probabilidade menor ou igual a um. No modelo de Ising, por exemplo, a maior diferença de energia que se pode obter entre estados é <math>\Delta E = E_\nu-E_\mu = \pm 2zJ</math> o que significa que o maior valor de <math>e^{-\frac{1}{2}\beta(E_\nu-E_\mu)}</math> é justamente <math>e^{\beta zJ}</math>. Assim, para garantir que a probabilidade seja menor ou igual a 1 deve-se escolher <math>A_0 \le e^{-\beta zJ}</math>

Para que o algoritmo seja eficiente deseja-se que a probabilidade de aceitação seja a maior possível, pois do contrário estaríamos utilizando tempo computacional apenas para rejeitar trocas de estado. Portanto queremos que <math>A_0</math> assuma o maior valor possível <math>A_0 = e^{-\beta zJ}</math>, maximizando <math>A(\mu\to\nu)</math>:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>A(\mu\to\nu)=e^{-\frac{1}{2}\beta(E_\nu-E_\mu+2\beta z J)}</math></div>

Devido a condição de balanço detalhado, essa escolha implica:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>A(\nu\to\mu)=e^{-\beta z J}</math></div>

Metropolis percebeu que desde que a condição de balanço detalhado seja satisfeita tem-se liberdade na escolha das probabilidades de aceitação. Então ele decidiu atribuir o maior valor possível para a probabilidade de aceitação que tem o maior valor entre as duas, no caso <math>A(\nu\to\mu)</math>, ou seja:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>A(\nu\to\mu)=1</math></div>

O que implica:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>A(\mu\to\nu)=e^{-\beta(E_\nu-E_\mu)}</math></div>

Dessa forma a transição de estados sempre ocorre se <math>E_\nu < E_\mu</math> ou seja <math>\Delta E <= 0</math> mas pode ou não ocorrer caso seja <math>\Delta E > 0</math> com uma probabilidade dada por <math>e^{-\beta(E_\nu-E_\mu)}</math>. Em suma:

<math>
A(\mu\to\nu) = \begin{cases}
e^{-\beta(E_\nu-E_\mu)} \ \mbox{ se } \ E_\nu - E_\mu > 0\\
1 \ \mbox{ caso contrario}\\
\end{cases}
</math>

===Gás de rede===

==Teoria<ref name=newman>Newman, M. E. J.; Barkema, G. T. (1999). "Monte Carlo Methods in Statistical Physics" New York: Oxford University Press. ISBN 019-851796-3.</ref><ref name=krauth>Krauth, Werner (2006). "Statiscal Mechanics: Algorithms and Computations" New York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-851535-7.</ref>==

Para obedecer a condição de conservação da magnetização não é permitido alterar um spin individualmente (ou um número ímpar de spins). Uma maneira de tratar a dinâmica desse sistema foi proposta por Kawasaki <ref name=kawasaki>[https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.49.1223 T. Ohta, D. Jasnow and K. Kawasaki, Phys. Rev. Lett. 49 1223 (1982). "Universal Scaling in the Motion of Random Interfaces". American Physical Society]</ref> e consiste em simplesmente alternar o estado de spin de um par de
partículas que tenham estados de spin oposto, ou seja:

<math>
\begin{cases}
\uparrow \uparrow ou \downarrow \downarrow \quad\to\quad \text{nada a fazer} \\
\uparrow \downarrow \quad\to\quad \downarrow \uparrow\\
\downarrow \uparrow \quad\to\quad \uparrow \downarrow\\
\end{cases}
</math>

É evidente que nesse caso a mudança na magnetização é conservada pois a troca de spins resulta em variação de magnetização nula.

Cada ponto da rede possui <math>z</math> vizinhos e portanto a cada passo de iteração deve-se sortear com qual dos vizinhos será feita uma tentativa de troca de spins. Essa escolha é feita aleatoriamente (uniforme). Uma vez escolhido um vizinho deve-se decidir se a troca deve ser feita ou não. Essa decisão é tomada com base no método de Monte Carlo, em particular, com a probabilidade de aceitação de Metropolis exatamente como exposto na seção acima.

A '''ergodicidade''' é satisfeita pelo sistema pois um passo de Monte Carlo corresponde a uma troca entre vizinhos que numa rede finita pode ser efetuada a partir de outro estado qualquer em número finito de passos

Como já foi mencionado a rede possui <math>N</math> pontos e número de coordenação <math>z</math> o que resulta em <math>\frac{1}{2}zN</math> pares de primeiros vizinhos, portanto, a probabilidade de selecionar um par qualquer é dada por:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>g(\mu\to\nu) = \frac{1}{\frac{1}{2}zN} = \frac{2}{zN}</math></div>

A probabilidade de seleção <math>g(\nu\to\mu)</math> é a mesma fazendo com que esses termos se cortem na condição de balanço detalhado e permitindo que se aplique a escolha de Metropolis discutida acima sem alterações.

Para efetivamente tomar a decisão sobre a troca entre vizinhos onde <math>\Delta E</math> é necessário especificar como é feito seu cálculo. <math>\Delta E</math> é dado pela seguinte expressão:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\Delta E = E_\nu-E_\mu = 2J\left[s_k^\mu\sum_{i\not\in\{k',k\}}s_i^\mu+s_{k'}^\mu\sum_{j\not\in\{k,k'\}}s_j^\mu\right]</math></div>

Seja um ponto da rede <math>k</math> e <math>k'</math> primeiro vizinho de <math>k</math>. Deseja-se calcular a energia de interação entre esse par. A expressão acima apenas diz que deve-somar os produtos do spin de <math>k</math>, <math>(s_k)</math>, com seus primeiros vizinhos <math>s_i</math> excluindo-se da soma tanto <math>k</math> quanto <math>k'</math>. Faz-se o mesmo procedimento para <math>k'</math>, ou seja, soma-se os produtos do spin <math>k'</math>, <math>(s_{k'})</math>, com todos os seus primeiros vizinhos <math>s_j</math> exceto ele mesmo e <math>k</math>. A soma dessas duas quantidades multiplicadas por <math>2J</math> é igual a diferença de energia entre a configuração <math>\mu</math> e a <math>\nu</math>

==Simulação==

Foram simulados três sistemas diferentes os quais são discutidos a seguir. O objetivo das simulações em determinar a tendência do formato de cada interface após vários passos de monte carlo sem verificar rigorosamente se o equilíbrio foi atingido. Uma análise das condições de equilíbrio é discutida na última seção.
Todas as simulações demandam a geração de muitos números aleatórios por isso optou-se por usar Mersenne Twister que é um algoritmo veloz para geração de números aleatórios.

===Interface linear===

Esse sistema consiste rede quadrada de aresta <math>l</math>. A rede tem inicialmente sua metade inferior completamente populada por partículas.

Cada ponto da rede é visitado sequencialmente e um dos seus 4 vizinhos é sorteado para que se faça uma tentativa de troca de posição entre o par. Caso a energia do sistema diminua, a troca é feita com probabilidade 1. Caso contrário a troca ocorre com probabilidade dada pelo peso de Boltzmann (algoritmo de Metropolis).

A primeira condição de contorno refere-se às paredes superior e inferior. A ultima linha de pontos da rede possui spins apontando pra baixo permanentemente assim como a primeira linha de pontos da rede tem-se spins apontando pra cima. Para que essa configuração seja mantida ao longo da simulação, evita-se qualquer tentativa de troca entre pares envolvendo esses pontos. Essa condição de contorno garante que a interface se mantenha fixa, do contrário, ela poderia transitar pela rede.
Nas paredes laterais aplica-se condição de contorno periódica onde por exemplo um ponto da rede na coluna <math>l-1</math> pode trocar de lugar com um primeiro vizinho da coluna <math>0</math> e vice-versa.

Ao iterar pela rede é comum deparar-se com pares de vizinhos que possuem mesma orientação de spin e portanto são ignorados imediatamente pois em nada contribuem para a dinâmica do sistema.

[[Arquivo:cop500iterinstepsof10.gif|frame|center|Interface linear entre sólido e vapor. Cada frame corresponde a 10 passos de Monte Carlo de um total de 500 passos. Primeira simulação com alta temperatura <math>T > T_C</math>. Segunda simução com temperatura intermediária <math>T < T_C</math>. Terceira simulação com baixa temperatura <math>T \ll T_C</math>]]

Como observado, a alta temperatura recai-se no regime homogêneo em que a alternativa mais favorável ao sistema para minizar a sua energia é distribuir os spins up (partículas) uniformemente pela rede.
A uma temperatura abaixo da crítica percebe-se a formação de uma interface persistente entre a região inferior com densidade preferencial <math>\rho_+</math> e a superior com densidade preferencial <math>\rho_-</math> em coexistência.
Ao diminuir ainda mais a temperatura o efeito fica mais acentuado, ou seja, a interface é menos deformada em relação ao caso anterior.

===Interface circular===

Nessa sistema excluem-se as condições fixas nas paredes superior e inferior e atribui-se a elas as mesmas condições das paredes laterais, ou seja, condições de contorno periódicas onde, por exemplo, uma partícula na linha <math>l-1</math> pode trocar de lugar com sua primeira vizinha da linha <math>0</math>
Como condição inicial posiciona-se as partículas num formato quadrado no centro da rede e observa-se como o formato da interface varia ao longo da simulação. A densidade de partículas é bem menor que no exemplo anterior da interface linear.

[[Arquivo:copSquare500iterinstepsof10.gif|frame|center|Interface circular entre sólido e vapor. Cada frame corresponde a 10 passos de Monte Carlo de um total de 500 passos. Primeira simulação com alta temperatura <math>T > T_C</math>. Segunda simução com temperatura intermediária <math>T < T_C</math>. Terceira simulação com baixa temperatura <math>T \ll T_C</math>]]

A interface é energeticamente custosa pois para cada par de spins antialinhados o sistema aumenta de energia por um fator 2J e como na rede quadrada um spin da interface possui 3 vizinhos antialinhados, sistema aumenta de energia por um fator 6J. Portanto fisicamente espera-se que o sistema evolua de tal forma a minimizar a extensão da sua interface, minimizando sua tensão superficial. No caso simulado espera-se que um domínio circular seja gerado pois o círculo é a forma geométrica que possui menor perímetro. No entanto, como a simulação demonstra, mesmo pra baixas temperaturas a forma nunca é perfeitamente circular e isso se deve ao tamanho finito da rede o faz com que seu formato (da rede) influencie o formato da interface.

A animação abaixo ilustra o mesmo processo mas com menos frames por segundo permitindo acompanhar detalhes da dinâmica do sistema.

[[Arquivo:copSquare100-iloveimg-compressed.gif|frame|center|Animação com 100 passos de Monte Carlo. Primeira simulação com alta temperatura <math>T > T_C</math>. Segunda simução com temperatura intermediária <math>T < T_C</math>. Terceira simulação com baixa temperatura <math>T \ll T_C</math>]]

===Interface esférica===

A simulação da interface esférica é uma extensão direita da simulação da interface circular apenas adicionando mais uma dimensão. Cada ponto da rede agora possui 6 vizinhos ao invés de 4. Observa-se os mesmos efeitos de redução de tensão superficial pela deformação do cubo em uma região aproximadamente esférica quando a temperatura é menor que a temperatura crítica. Acima da a temperatura crítica a densidade fica homogênea como esperado.

[[Arquivo:cop3D500instepsof10.gif|frame|center|Interface esférica entre sólido e vapor. Cada frame corresponde a 10 passos de Monte Carlo de um total de 500 passos. Primeira simulação com alta temperatura <math>T > T_C</math>. Segunda simução com temperatura intermediária <math>T < T_C</math>. Terceira simulação com baixa temperatura <math>T \ll T_C</math>]]

A mesma simulação com menos partículas, vista mais distante e com uma pequena diferença na quantidade de passos.

[[Arquivo:cop3D250instepsof5round.gif|frame|center|Interface esférica entre sólido e vapor. Cada frame corresponde a 5 passos de Monte Carlo de um total de 250 passos. Primeira simulação com alta temperatura <math>T > T_C</math>. Segunda simução com temperatura intermediária <math>T < T_C</math>. Terceira simulação com baixa temperatura <math>T \ll T_C</math>]]

Introduzindo interações entre segundos vizinhos é possível reproduzir formatos de cristais cúbicos como por exemplo o cristal de face centrada ou de corpo centrado.<ref name=newman/>

==Equilíbrio==

==Códigos==

[https://github.com/diogofriggo/metcompc/blob/master/Trabalho2/COP/COP/main.c Conservação de parâmetro de ordem - Interface linear]

[https://github.com/diogofriggo/metcompc/blob/master/Trabalho2/COPSquare/COPSquare/main.c Conservação de parâmetro de ordem - Interface circular]

[https://github.com/diogofriggo/metcompc/blob/master/Trabalho2/COP3D/COP3D/main.c Conservação de parâmetro de ordem - Interface esférica]

==Bibliografia==
<references/>

Grupo - O modelo de Ising sob conservação do parâmetro de ordem (CPO)

2018-01-25T01:11:13Z

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#REDIRECIONAMENTO [[Grupo - Conservação do Parâmetro de Ordem]]

Grupo - Conservação do Parâmetro de Ordem

2018-01-25T01:11:13Z

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==Introdução==

O modelo de Ising possui características universais que permitem aplicá-lo a situações diversas sendo tão versátil a ponto de descrever desde ferromagnetos até interações sociais. Dentro dessa gama de possibilidades existe o modelo de Conservação do Parâmetro de Ordem (CPO) em que, como o nome indica, mantém-se o parâmetro de ordem constante. No caso de um ferromagneto o parâmetro de ordem é a magnetização, portanto, um modelo de Ising sujeito CPO a grandeza análoga à magnetização se manteria constante a cada passo da simulação.

Apesar da estrutura matemática muito similar ao modelo de Ising, o modelo de CPO com sua simples condição de conservação do parâmetro de ordem aliado a condições de contorno permite que se modele sistemas marcadamente diferentes do tradicional sistema de ferromagneto tais como o gás de rede onde é possível estudar o comportamento de interfaces vapor-sólido ou vapor-líquido em condições de equilíbrio como por exemplo o equilíbrio entre água líquida e seu vapor ou entre gelo e vapor d'água.

O gás de rede é um modelo simplificado de um gás real onde se associa a cada ponto da rede uma partícula (átomo) ou sua ausência (vacância). Ao contrário do gás real a coordenada do movimento não é contínua, pois as partículas se movem de maneira discreta somente pelos vértices da rede.
Pode-se refinar o modelo de diversas formas:
* Atribuindo inércia às partículas
* Alterando a forma da rede (quadrada, hexagonal, fcc, bcc, cúbica)
* Incluindo partículas de tipos diferentes com interações comum a seu respectivo tipo
* Presença e/ou tipos de colisões

No entanto, uma versão simplificada (e simples de simular) desse modelo é suficiente para reproduzir qualitativamente o comportamento de interfaces.

==Teoria<ref name=newman>Newman, M. E. J.; Barkema, G. T. (1999). "Monte Carlo Methods in Statistical Physics" New York: Oxford University Press. ISBN 019-851796-3.</ref><ref name=krauth>Krauth, Werner (2006). "Statiscal Mechanics: Algorithms and Computations" New York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-851535-7.</ref>==

No modelo simplificado do gás de rede as partículas (sem inércia), movem-se de forma aleatória sob excitação térmica e satisfazem as seguintes condições:

#O número total de partículas é fixo: nenhuma partícula deixa ou entra no sistema, portanto, caso desapareça a partícula deve reaparecer em outro ponto da rede no mesmo passo de simulação.
#Um ponto da rede pode ser ocupado por uma única partícula ou permanecer vazio (não ocupado). Essa é uma maneira grosseira de assimilar o caráter físico de repulsão do gás real onde partículas não podem interpenetrar-se devido a exclusão de Pauli.
#Se duas partículas são primeiras vizinhas uma da outra elas sentem uma atração <math>\epsilon</math> que é a mesma para qualquer par de partículas. Essa condição modela o efeito de atração entre partículas de um gás real.

As forças de atração e repulsão num gás real não possuem alcance de mesma ordem. A repulsão é de curto alcance enquanto a atração é de longo-alcance. Embora o presente modelo trate as partículas como se o alcance de repulsão e atração fossem da mesma ordem, ainda é possível extrair propriedades físicas que tem paralelo com o gás real tais como transições de fase e formato de interfaces.

A cada ponto da rede associamos o valor <math>+1</math> se houver uma partícula nesse ponto ou <math>0</math> caso contrário. Representamos essa variável por <math>\sigma_i</math>, ou seja, no iésimo ponto da rede a variável <math>\sigma_i</math> pode assumir apenas os valores <math>+1</math> ou <math>0</math>, ou resumidamente:

<math>
\begin{cases}
0, \text{ponto da rede vazio} \\
1, \text{ponto da rede ocupado} \\
\end{cases}
</math>

A conservação do número de partículas exige que se tenha:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\sum_i\sigma_i = \rho N</math> </div>

Onde <math>\rho</math> é a densidade de partículas e <math>N</math> é o número total de partículas, sendo, portanto, <math>\rho N</math> o número de pontos ocupados da rede.

O hamiltoniano do sistema é modelado a partir da condição 2 exposta acima em que é especificado que um par de primeiros vizinhos na rede contribui para a diminuição da energia do sistema por uma quantidade <math>\epsilon</math>:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\epsilon\sum_{<ij>}\sigma_i\sigma_j</math> </div>

Onde <math>\sum_{<ij>}</math> denota soma sobre todos os pares de primeiros vizinhos da rede.

===Equivalência ao modelo de Ising===

Para mostrar a equivalência com o modelo de Ising definimos a seguinte variável:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>s_i = 2\sigma_i-1</math> </div>

Essa nova variável é nada mais do que o spin no modelo de Ising para um ferromagneto assumindo os valores:
* <math>+1</math> quando <math>\sigma_i = +1</math>, ou seja, posição ocupada por partícula; ou
* <math>-1</math> quando <math>\sigma_i = 0</math>, ou seja, posição não ocupada

Em termos da variável de spin <math>\sigma_i</math> é dada por:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\sigma_i = \frac{1}{2}(s_i+1)</math> </div>

Substituindo no Hamiltoniano tem-se:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}(s_i+1)(s_j+1)</math> </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_is_j-\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_i-\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_j-\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}1</math> </div>

Seja <math>z</math> o número de coordenação da rede, ou seja, o número de primeiros vizinhos (<math>z=4</math> para rede quadrada e <math>z=6</math> para rede cúbica simples). Para uma dada rede existem <math>2 z N</math> possíveis pares distintos

Pode-se simplificar esssa expressão com base nas seguintes observações:

* Os somatórios em <math>s_i</math> e <math>s_j</math> são idênticos exceto pelo índice.
* A soma <math>\sum_{<ij>}s_i</math>sobre pares de vizinhos é equivalente a somar <math>z</math> vezes sobre o número de pontos da rede:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\sum_{<ij>}s_i = 2z\sum_{i}s_i</math></div>

* <math>\sum_i s_i</math> pode ser escrito em termos das constantes <math>\rho</math> e <math>N</math> assim como ocorre com <math>\sigma_i</math>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\sum_i\sigma_i = \rho N</math></div>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\frac{1}{2}\sum_i(s_i+1) = \rho N</math></div>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\frac{1}{2}\sum_i s_i = \rho N - \frac{1}{2}\sum_i 1</math></div>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\frac{1}{2}\sum_i s_i = \rho N - \frac{1}{2}N</math></div>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\sum_i s_i = N(2\rho - 1)</math>
</div>

Dessa forma o Hamiltoniano se reduz a:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_is_j-\frac{1}{2}z\epsilon\sum_{i}s_i-\frac{1}{4}\epsilon(2zN)</math> </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_is_j-\frac{1}{2}z\epsilon(N(2\rho-1))-\frac{1}{4}\epsilon(2zN)</math> </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_is_j-z\epsilon N\rho +\frac{1}{2}\epsilon z N-\frac{1}{2}\epsilon z N </math> </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_is_j-z\epsilon N\rho</math></div>

Seja J = <math>\frac{1}{4}\epsilon</math> e observando que <math>-z\epsilon N\rho</math> é uma constante pois todos seus termos são constantes, chegamos na equivalência com o Hamiltoniano do modelo de Ising na ausência de campo magnético:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -J\sum_{<ij>}s_is_j + ctc = H^{Ising}_{B=0} + ctc</math></div>

O valor esperado <math><Q></math> de qualquer quantidade física <math>Q</math> não é alterado pela adição de uma constante ao hamiltoniano:

<math><Q> = \sum_\mu Q_\mu p_\mu = \frac{\sum_\mu{Q_\mu}e^{-\beta(E_\mu + ctc)}}{\sum_\mu e^{-\beta(E_\mu + ctc)}}= \frac{e^{-\beta ctc}\sum_\mu{Q_\mu}e^{-\beta E_\mu}}{e^{-\beta ctc}\sum_\mu e^{-\beta E_\mu}} = \frac{1}{Z}\sum_\mu{Q_\mu}e^{-\beta E_\mu} = <Q></math>

===Conservação do parâmetro de ordem===

A magnetização do sistema é nada mais do que a soma de spins que já calculamos acima:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>M = \sum_i s_i = N(2\rho - 1)</math></div>

No entanto, <math>\rho</math> e <math>N</math> devem permanecer constantes durante toda a simução, isso implica que a magnetização também é sempre constante, ou seja, a magneticação é o '''parâmetro de ordem conservado''' nesse sistema fato que dá nome ao método.

É vantajoso tratar o modelo de gás de rede sob a perspectiva de um modelo de Ising pois todo o arcabouço de técnicas amplamente conhecidas e extensivamente estudadas para o modelo de Ising podem ser aplicadas.

Apesar das similaridades, o gás de rede, como definido, possui muito menos estados válidos pois não é permitido alterar a magnetização do sistema enquanto no modelo de Ising qualquer spin individual pode ser invertido sem restrições pois a magnetização não precisa se manter constante.

==Transição de fase==

Aproveitando a equivalência estabelecida entre gás de rede e o modelo de Ising sabe-se que o sistema possui uma transição de fase que ocorre a uma temperatura crítica <math>T_c</math>. Rearranjando a densidade de pontos (equivalente agora a spins up) tem-se:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>2\rho - 1 = \frac{M}{N}</math></div>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\rho = \frac{1}{2}(1+m)</math></div>

No modelo de Ising sabe-se também que abaixo da temperatura crítica existem dois valores de equilíbrio para a magnetização que são <math>+|m|</math> e <math>-|m|</math>, portanto, para favorecer a coexistência de fases tem-se que:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\frac{1}{2}(1-|m|) = \rho_- \le \rho \le \rho_+ = \frac{1}{2}(1+|m|)</math></div>

Para valores de <math>\rho</math> fora do intervalo <math>\rho_- \le \rho \le \rho_+</math> ainda é possível que uma região do sistema favoreça uma das duas densidades preferenciais. Suponha que se tenha <math>\rho < \rho_-</math>. Nesse caso o sistema possui menos partículas do que precisa pra atingir o a densidade <math>\rho_+</math>. Ainda que localmente seja possível o sistema atingir a densidade <math>\rho_+</math> isso leva a uma falta ainda maior de partículas em outras regiões do sistema sendo, portanto, energeticamente custoso. A opção energeticamente mais favorável adotada pelo sistema é distribuir as poucas partículas homegeneamente pela rede. Esse comportamento é observado na simulação.

Dessa forma, no caso de <math>J>0</math> o sistema possui duas fases:
* Uma em que <math>\rho\in[\rho_-,\rho_+]</math> se dividindo em dois domínios cada qual favorecendo uma das duas densidades <math>\pm\rho</math>
* E outra em que <math>\rho\not\in[\rho_-,\rho_+]</math> tendo densidade homogênea

Com <math>\rho</math> sujeito ao intervalo <math>\frac{1}{2}(1-|m|) \le \rho \le \frac{1}{2}(1+|m|)</math> conclui-se que <math>/rho</math> pode assumir um intervalo menor de valores a medida que <math>|m|</math> diminui. A magnetização diminui sob o aumento da temperatura. Acima da temperatura crítica a <math>|m|=0</math> e portanto o intervalo <math>\frac{1}{2}(1-|m|) \le \rho \le \frac{1}{2}(1+|m|)</math> reduz-se a zero evidenciando que não existe mais um valor de <math>\rho</math> que evite a homogeinização da rede.

A discussão acima pode ser apresentada resumidamente pelo diagrama de fases:

[[Arquivo:Ferromagnet phases.gif|frame|center|Diagrama de fases do modelo CPO. Fase homogênea para temperaturas além da temperatura crítica e fase coexistente abaixo com densidades preferenciais <math>\rho_+</math> e <math>\rho_-</math>]]

Esse comportamento é observado quando se diminui a temperatura de vapor d'agua que passa a formar gotas líquidas que coexistem com o vapor para um intervalo de temperaturas. A fase condensada do gás de rede, no entanto, é mais adequadamente interpretada como um sólido devido a posição fixa das partículas (análogas a moléculas ou átomos) na rede, dessa forma, falamos de interface vapor/sólido ao invés de vapor/líquido.

==Implementação<ref name=newman/>==

Sistemas físicos em equilíbrio com muitos graus de liberdade e no limite termodinâmico comportam-se de tal forma que ao flutuarem de um estado <math>\mu</math> para um estado <math>\nu</math> tem-se que <math>\nu</math> difere pouco de <math>\mu</math>. Outra maneira de dizer isso é que as flutuações dessa tipo de sistema físico são muito pequenas em relação ao número de configurações possíveis e que portanto o sistema passa a maior parte do tempo alternando entre um pequeno conjunto de configurações. A consequência disso é que pode-se escolher uma estratégia de visitar com maior probabilidade apenas a fração de estados do sistema, as quais mais contribuem para atingir o equilíbrio ao invés de se visitar todos os estados indistintamente. No modelo de ferromagneto, por exemplo, com uma rede <math>10\times 10\times 10</math>, há <math>2^{1000} \simeq 10^{300}</math> configurações possíveis sendo que mesmo com um supercomputador seria impraticável realizar essa simulação. O método de Monte Carlo consiste em visitar eficientemente uma pequena fração desses estados e atingir rapidamente o equilíbrio em poucos passos e o peso que define como visitar o estado seguinte é dado pela distribuição de Boltzmann <math>e^{\beta(E_\nu-E_\mu)}</math> onde fica claro que quanto mais diferente <math>\nu</math> for de <math>\mu</math> menor a change de fazer a transição <math>\mu\to\mu</math>

Dessa forma impõe-se que no equilíbrio o sistema obedeça a distribuição de Boltzmann, portanto a condição de balanço detalhado dá liberdade na escolha de <math>P(\mu\to\nu)</math> e <math>P(\nu\to\mu)</math> desde que seja satisfeita:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\frac{g(\mu)}{g(\nu)}\frac{A(\mu\to\nu)}{A(\nu\to\mu)} = e^{\beta(E_\nu-E_\mu)}</math></div>

Uma possível escolha para <math>A(\mu\to\nu)</math> seria:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>A(\mu\to\nu)=A_0e^{-\frac{1}{2}\beta(E_\nu-E_\mu)}</math></div>

Como <math>A_0</math> é cancelada na razão entre probabilidades de aceitação temos a liberdade na sua escolha desde que mantenha a probabilidade menor ou igual a um. No modelo de Ising, por exemplo, a maior diferença de energia que se pode obter entre estados é <math>\Delta E = E_\nu-E_\mu = \pm 2zJ</math> o que significa que o maior valor de <math>e^{-\frac{1}{2}\beta(E_\nu-E_\mu)}</math> é justamente <math>e^{\beta zJ}</math>. Assim, para garantir que a probabilidade seja menor ou igual a 1 deve-se escolher <math>A_0 \le e^{-\beta zJ}</math>

Para que o algoritmo seja eficiente deseja-se que a probabilidade de aceitação seja a maior possível, pois do contrário estaríamos utilizando tempo computacional apenas para rejeitar trocas de estado. Portanto queremos que <math>A_0</math> assuma o maior valor possível <math>A_0 = e^{-\beta zJ}</math>, maximizando <math>A(\mu\to\nu)</math>:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>A(\mu\to\nu)=e^{-\frac{1}{2}\beta(E_\nu-E_\mu+2\beta z J)}</math></div>

Devido a condição de balanço detalhado, essa escolha implica:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>A(\nu\to\mu)=e^{-\beta z J}</math></div>

Metropolis percebeu que desde que a condição de balanço detalhado seja satisfeita tem-se liberdade na escolha das probabilidades de aceitação. Então ele decidiu atribuir o maior valor possível para a probabilidade de aceitação que tem o maior valor entre as duas, no caso <math>A(\nu\to\mu)</math>, ou seja:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>A(\nu\to\mu)=1</math></div>

O que implica:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>A(\mu\to\nu)=e^{-\beta(E_\nu-E_\mu)}</math></div>

Dessa forma a transição de estados sempre ocorre se <math>E_\nu < E_\mu</math> ou seja <math>\Delta E <= 0</math> mas pode ou não ocorrer caso seja <math>\Delta E > 0</math> com uma probabilidade dada por <math>e^{-\beta(E_\nu-E_\mu)}</math>. Em suma:

<math>
A(\mu\to\nu) = \begin{cases}
e^{-\beta(E_\nu-E_\mu)} \ \mbox{ se } \ E_\nu - E_\mu > 0\\
1 \ \mbox{ caso contrario}\\
\end{cases}
</math>

===Gás de rede===

Para obedecer a condição de conservação da magnetização não é permitido alterar um spin individualmente (ou um número ímpar de spins). Uma maneira de tratar a dinâmica desse sistema foi proposta por Kawasaki e consiste em simplesmente alternar o estado de spin de um par de
partículas que tenham estados de spin oposto, ou seja:

<math>
\begin{cases}
\uparrow \uparrow ou \downarrow \downarrow \quad\to\quad \text{nada a fazer} \\
\uparrow \downarrow \quad\to\quad \downarrow \uparrow\\
\downarrow \uparrow \quad\to\quad \uparrow \downarrow\\
\end{cases}
</math>

É evidente que nesse caso a mudança na magnetização é conservada pois a troca de spins resulta em variação de magnetização nula.

Cada ponto da rede possui <math>z</math> vizinhos e portanto a cada passo de iteração deve-se sortear com qual dos vizinhos será feita uma tentativa de troca de spins. Essa escolha é feita aleatoriamente (uniforme). Uma vez escolhido um vizinho deve-se decidir se a troca deve ser feita ou não. Essa decisão é tomada com base no método de Monte Carlo, em particular, com a probabilidade de aceitação de Metropolis exatamente como exposto na seção acima.

A '''ergodicidade''' é satisfeita pelo sistema pois um passo de Monte Carlo corresponde a uma troca entre vizinhos que numa rede finita pode ser efetuada a partir de outro estado qualquer em número finito de passos

Como já foi mencionado a rede possui <math>N</math> pontos e número de coordenação <math>z</math> o que resulta em <math>\frac{1}{2}zN</math> pares de primeiros vizinhos, portanto, a probabilidade de selecionar um par qualquer é dada por:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>g(\mu\to\nu) = \frac{1}{\frac{1}{2}zN} = \frac{2}{zN}</math></div>

A probabilidade de seleção <math>g(\nu\to\mu)</math> é a mesma fazendo com que esses termos se cortem na condição de balanço detalhado e permitindo que se aplique a escolha de Metropolis discutida acima sem alterações.

Para efetivamente tomar a decisão sobre a troca entre vizinhos onde <math>\Delta E</math> é necessário especificar como é feito seu cálculo. <math>\Delta E</math> é dado pela seguinte expressão:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\Delta E = E_\nu-E_\mu = 2J\left[s_k^\mu\sum_{i\not\in\{k',k\}}s_i^\mu+s_{k'}^\mu\sum_{j\not\in\{k,k'\}}s_j^\mu\right]</math></div>

Seja um ponto da rede <math>k</math> e <math>k'</math> primeiro vizinho de <math>k</math>. Deseja-se calcular a energia de interação entre esse par. A expressão acima apenas diz que deve-somar os produtos do spin de <math>k</math>, <math>(s_k)</math>, com seus primeiros vizinhos <math>s_i</math> excluindo-se da soma tanto <math>k</math> quanto <math>k'</math>. Faz-se o mesmo procedimento para <math>k'</math>, ou seja, soma-se os produtos do spin <math>k'</math>, <math>(s_{k'})</math>, com todos os seus primeiros vizinhos <math>s_j</math> exceto ele mesmo e <math>k</math>. A soma dessas duas quantidades multiplicadas por <math>2J</math> é igual a diferença de energia entre a configuração <math>\mu</math> e a <math>\nu</math>

==Simulação==

Foram simulados três sistemas diferentes os quais são discutidos a seguir. O objetivo das simulações em determinar a tendência do formato de cada interface após vários passos de monte carlo sem verificar rigorosamente se o equilíbrio foi atingido. Uma análise das condições de equilíbrio é discutida na última seção.
Todas as simulações demandam a geração de muitos números aleatórios por isso optou-se por usar Mersenne Twister que é um algoritmo veloz para geração de números aleatórios.

===Interface linear===

Esse sistema consiste rede quadrada de aresta <math>l</math>. A rede tem inicialmente sua metade inferior completamente populada por partículas.

Cada ponto da rede é visitado sequencialmente e um dos seus 4 vizinhos é sorteado para que se faça uma tentativa de troca de posição entre o par. Caso a energia do sistema diminua, a troca é feita com probabilidade 1. Caso contrário a troca ocorre com probabilidade dada pelo peso de Boltzmann (algoritmo de Metropolis).

A primeira condição de contorno refere-se às paredes superior e inferior. A ultima linha de pontos da rede possui spins apontando pra baixo permanentemente assim como a primeira linha de pontos da rede tem-se spins apontando pra cima. Para que essa configuração seja mantida ao longo da simulação, evita-se qualquer tentativa de troca entre pares envolvendo esses pontos. Essa condição de contorno garante que a interface se mantenha fixa, do contrário, ela poderia transitar pela rede.
Nas paredes laterais aplica-se condição de contorno periódica onde por exemplo um ponto da rede na coluna <math>l-1</math> pode trocar de lugar com um primeiro vizinho da coluna <math>0</math> e vice-versa.

Ao iterar pela rede é comum deparar-se com pares de vizinhos que possuem mesma orientação de spin e portanto são ignorados imediatamente pois em nada contribuem para a dinâmica do sistema.

[[Arquivo:cop500iterinstepsof10.gif|frame|center|Interface linear entre sólido e vapor. Cada frame corresponde a 10 passos de Monte Carlo de um total de 500 passos. Primeira simulação com alta temperatura <math>T > T_C</math>. Segunda simução com temperatura intermediária <math>T < T_C</math>. Terceira simulação com baixa temperatura <math>T \ll T_C</math>]]

Como observado, a alta temperatura recai-se no regime homogêneo em que a alternativa mais favorável ao sistema para minizar a sua energia é distribuir os spins up (partículas) uniformemente pela rede.
A uma temperatura abaixo da crítica percebe-se a formação de uma interface persistente entre a região inferior com densidade preferencial <math>\rho_+</math> e a superior com densidade preferencial <math>\rho_-</math> em coexistência.
Ao diminuir ainda mais a temperatura o efeito fica mais acentuado, ou seja, a interface é menos deformada em relação ao caso anterior.

===Interface circular===

Nessa sistema excluem-se as condições fixas nas paredes superior e inferior e atribui-se a elas as mesmas condições das paredes laterais, ou seja, condições de contorno periódicas onde, por exemplo, uma partícula na linha <math>l-1</math> pode trocar de lugar com sua primeira vizinha da linha <math>0</math>
Como condição inicial posiciona-se as partículas num formato quadrado no centro da rede e observa-se como o formato da interface varia ao longo da simulação. A densidade de partículas é bem menor que no exemplo anterior da interface linear.

[[Arquivo:copSquare500iterinstepsof10.gif|frame|center|Interface circular entre sólido e vapor. Cada frame corresponde a 10 passos de Monte Carlo de um total de 500 passos. Primeira simulação com alta temperatura <math>T > T_C</math>. Segunda simução com temperatura intermediária <math>T < T_C</math>. Terceira simulação com baixa temperatura <math>T \ll T_C</math>]]

A interface é energeticamente custosa pois para cada par de spins antialinhados o sistema aumenta de energia por um fator 2J e como na rede quadrada um spin da interface possui 3 vizinhos antialinhados, sistema aumenta de energia por um fator 6J. Portanto fisicamente espera-se que o sistema evolua de tal forma a minimizar a extensão da sua interface, minimizando sua tensão superficial. No caso simulado espera-se que um domínio circular seja gerado pois o círculo é a forma geométrica que possui menor perímetro. No entanto, como a simulação demonstra, mesmo pra baixas temperaturas a forma nunca é perfeitamente circular e isso se deve ao tamanho finito da rede o faz com que seu formato (da rede) influencie o formato da interface.

A animação abaixo ilustra o mesmo processo mas com menos frames por segundo permitindo acompanhar detalhes da dinâmica do sistema.

[[Arquivo:copSquare100-iloveimg-compressed.gif|frame|center|Animação com 100 passos de Monte Carlo. Primeira simulação com alta temperatura <math>T > T_C</math>. Segunda simução com temperatura intermediária <math>T < T_C</math>. Terceira simulação com baixa temperatura <math>T \ll T_C</math>]]

===Interface esférica===

A simulação da interface esférica é uma extensão direita da simulação da interface circular apenas adicionando mais uma dimensão. Cada ponto da rede agora possui 6 vizinhos ao invés de 4. Observa-se os mesmos efeitos de redução de tensão superficial pela deformação do cubo em uma região aproximadamente esférica quando a temperatura é menor que a temperatura crítica. Acima da a temperatura crítica a densidade fica homogênea como esperado.

[[Arquivo:cop3D500instepsof10.gif|frame|center|Interface esférica entre sólido e vapor. Cada frame corresponde a 10 passos de Monte Carlo de um total de 500 passos. Primeira simulação com alta temperatura <math>T > T_C</math>. Segunda simução com temperatura intermediária <math>T < T_C</math>. Terceira simulação com baixa temperatura <math>T \ll T_C</math>]]

A mesma simulação com menos partículas, vista mais distante e com uma pequena diferença na quantidade de passos.

[[Arquivo:cop3D250instepsof5round.gif|frame|center|Interface esférica entre sólido e vapor. Cada frame corresponde a 5 passos de Monte Carlo de um total de 250 passos. Primeira simulação com alta temperatura <math>T > T_C</math>. Segunda simução com temperatura intermediária <math>T < T_C</math>. Terceira simulação com baixa temperatura <math>T \ll T_C</math>]]

Introduzindo interações entre segundos vizinhos é possível reproduzir formatos de cristais cúbicos como por exemplo o cristal de face centrada ou de corpo centrado.<ref name=newman/>

==Equilíbrio==

==Códigos==

[https://github.com/diogofriggo/metcompc/blob/master/Trabalho2/COP/COP/main.c Conservação de parâmetro de ordem - Interface linear]

[https://github.com/diogofriggo/metcompc/blob/master/Trabalho2/COPSquare/COPSquare/main.c Conservação de parâmetro de ordem - Interface circular]

[https://github.com/diogofriggo/metcompc/blob/master/Trabalho2/COP3D/COP3D/main.c Conservação de parâmetro de ordem - Interface esférica]

==Bibliografia==
<references/>

Grupo - Conservação do Parâmetro de Ordem

2018-01-25T01:09:40Z

Dfriggo:

==Introdução==

O modelo de Ising possui características universais que permitem aplicá-lo a situações diversas sendo tão versátil a ponto de descrever desde ferromagnetos até interações sociais. Dentro dessa gama de possibilidades existe o modelo de Conservação do Parâmetro de Ordem (CPO) em que, como o nome indica, mantém-se o parâmetro de ordem constante. No caso de um ferromagneto o parâmetro de ordem é a magnetização, portanto, um modelo de Ising sujeito CPO a grandeza análoga à magnetização se manteria constante a cada passo da simulação.

Apesar da estrutura matemática muito similar ao modelo de Ising, o modelo de CPO com sua simples condição de conservação do parâmetro de ordem aliado a condições de contorno permite que se modele sistemas marcadamente diferentes do tradicional sistema de ferromagneto tais como o gás de rede onde é possível estudar o comportamento de interfaces vapor-sólido ou vapor-líquido em condições de equilíbrio como por exemplo o equilíbrio entre água líquida e seu vapor ou entre gelo e vapor d'água.

O gás de rede é um modelo simplificado de um gás real onde se associa a cada ponto da rede uma partícula (átomo) ou sua ausência (vacância). Ao contrário do gás real a coordenada do movimento não é contínua, pois as partículas se movem de maneira discreta somente pelos vértices da rede.
Pode-se refinar o modelo de diversas formas:
* Atribuindo inércia às partículas
* Alterando a forma da rede (quadrada, hexagonal, fcc, bcc, cúbica)
* Incluindo partículas de tipos diferentes com interações comum a seu respectivo tipo
* Presença e/ou tipos de colisões

No entanto, uma versão simplificada (e simples de simular) desse modelo é suficiente para reproduzir qualitativamente o comportamento de interfaces.

==Teoria<ref name=newman>Newman, M. E. J.; Barkema, G. T. (1999). "Monte Carlo Methods in Statistical Physics" New York: Oxford University Press. ISBN 019-851796-3.</ref><ref name=krauth>Krauth, Werner (2006). "Statiscal Mechanics: Algorithms and Computations" New York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-851535-7.</ref>==

No modelo simplificado do gás de rede as partículas (sem inércia), movem-se de forma aleatória sob excitação térmica e satisfazem as seguintes condições:

#O número total de partículas é fixo: nenhuma partícula deixa ou entra no sistema, portanto, caso desapareça a partícula deve reaparecer em outro ponto da rede no mesmo passo de simulação.
#Um ponto da rede pode ser ocupado por uma única partícula ou permanecer vazio (não ocupado). Essa é uma maneira grosseira de assimilar o caráter físico de repulsão do gás real onde partículas não podem interpenetrar-se devido a exclusão de Pauli.
#Se duas partículas são primeiras vizinhas uma da outra elas sentem uma atração <math>\epsilon</math> que é a mesma para qualquer par de partículas. Essa condição modela o efeito de atração entre partículas de um gás real.

As forças de atração e repulsão num gás real não possuem alcance de mesma ordem. A repulsão é de curto alcance enquanto a atração é de longo-alcance. Embora o presente modelo trate as partículas como se o alcance de repulsão e atração fossem da mesma ordem, ainda é possível extrair propriedades físicas que tem paralelo com o gás real tais como transições de fase e formato de interfaces.

A cada ponto da rede associamos o valor <math>+1</math> se houver uma partícula nesse ponto ou <math>0</math> caso contrário. Representamos essa variável por <math>\sigma_i</math>, ou seja, no iésimo ponto da rede a variável <math>\sigma_i</math> pode assumir apenas os valores <math>+1</math> ou <math>0</math>, ou resumidamente:

<math>
\begin{cases}
0, \text{ponto da rede vazio} \\
1, \text{ponto da rede ocupado} \\
\end{cases}
</math>

A conservação do número de partículas exige que se tenha:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\sum_i\sigma_i = \rho N</math> </div>

Onde <math>\rho</math> é a densidade de partículas e <math>N</math> é o número total de partículas, sendo, portanto, <math>\rho N</math> o número de pontos ocupados da rede.

O hamiltoniano do sistema é modelado a partir da condição 2 exposta acima em que é especificado que um par de primeiros vizinhos na rede contribui para a diminuição da energia do sistema por uma quantidade <math>\epsilon</math>:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\epsilon\sum_{<ij>}\sigma_i\sigma_j</math> </div>

Onde <math>\sum_{<ij>}</math> denota soma sobre todos os pares de primeiros vizinhos da rede.

===Equivalência ao modelo de Ising===

Para mostrar a equivalência com o modelo de Ising definimos a seguinte variável:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>s_i = 2\sigma_i-1</math> </div>

Essa nova variável é nada mais do que o spin no modelo de Ising para um ferromagneto assumindo os valores:
* <math>+1</math> quando <math>\sigma_i = +1</math>, ou seja, posição ocupada por partícula; ou
* <math>-1</math> quando <math>\sigma_i = 0</math>, ou seja, posição não ocupada

Em termos da variável de spin <math>\sigma_i</math> é dada por:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\sigma_i = \frac{1}{2}(s_i+1)</math> </div>

Substituindo no Hamiltoniano tem-se:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}(s_i+1)(s_j+1)</math> </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_is_j-\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_i-\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_j-\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}1</math> </div>

Seja <math>z</math> o número de coordenação da rede, ou seja, o número de primeiros vizinhos (<math>z=4</math> para rede quadrada e <math>z=6</math> para rede cúbica simples). Para uma dada rede existem <math>2 z N</math> possíveis pares distintos

Pode-se simplificar esssa expressão com base nas seguintes observações:

* Os somatórios em <math>s_i</math> e <math>s_j</math> são idênticos exceto pelo índice.
* A soma <math>\sum_{<ij>}s_i</math>sobre pares de vizinhos é equivalente a somar <math>z</math> vezes sobre o número de pontos da rede:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\sum_{<ij>}s_i = 2z\sum_{i}s_i</math></div>

* <math>\sum_i s_i</math> pode ser escrito em termos das constantes <math>\rho</math> e <math>N</math> assim como ocorre com <math>\sigma_i</math>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\sum_i\sigma_i = \rho N</math></div>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\frac{1}{2}\sum_i(s_i+1) = \rho N</math></div>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\frac{1}{2}\sum_i s_i = \rho N - \frac{1}{2}\sum_i 1</math></div>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\frac{1}{2}\sum_i s_i = \rho N - \frac{1}{2}N</math></div>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\sum_i s_i = N(2\rho - 1)</math>
</div>

Dessa forma o Hamiltoniano se reduz a:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_is_j-\frac{1}{2}z\epsilon\sum_{i}s_i-\frac{1}{4}\epsilon(2zN)</math> </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_is_j-\frac{1}{2}z\epsilon(N(2\rho-1))-\frac{1}{4}\epsilon(2zN)</math> </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_is_j-z\epsilon N\rho +\frac{1}{2}\epsilon z N-\frac{1}{2}\epsilon z N </math> </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_is_j-z\epsilon N\rho</math></div>

Seja J = <math>\frac{1}{4}\epsilon</math> e observando que <math>-z\epsilon N\rho</math> é uma constante pois todos seus termos são constantes, chegamos na equivalência com o Hamiltoniano do modelo de Ising na ausência de campo magnético:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -J\sum_{<ij>}s_is_j + ctc = H^{Ising}_{B=0} + ctc</math></div>

O valor esperado <math><Q></math> de qualquer quantidade física <math>Q</math> não é alterado pela adição de uma constante ao hamiltoniano:

<math><Q> = \sum_\mu Q_\mu p_\mu = \frac{\sum_\mu{Q_\mu}e^{-\beta(E_\mu + ctc)}}{\sum_\mu e^{-\beta(E_\mu + ctc)}}= \frac{e^{-\beta ctc}\sum_\mu{Q_\mu}e^{-\beta E_\mu}}{e^{-\beta ctc}\sum_\mu e^{-\beta E_\mu}} = \frac{1}{Z}\sum_\mu{Q_\mu}e^{-\beta E_\mu} = <Q></math>

===Conservação do parâmetro de ordem===

A magnetização do sistema é nada mais do que a soma de spins que já calculamos acima:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>M = \sum_i s_i = N(2\rho - 1)</math></div>

No entanto, <math>\rho</math> e <math>N</math> devem permanecer constantes durante toda a simução, isso implica que a magnetização também é sempre constante, ou seja, a magneticação é o '''parâmetro de ordem conservado''' nesse sistema fato que dá nome ao método.

É vantajoso tratar o modelo de gás de rede sob a perspectiva de um modelo de Ising pois todo o arcabouço de técnicas amplamente conhecidas e extensivamente estudadas para o modelo de Ising podem ser aplicadas.

Apesar das similaridades, o gás de rede, como definido, possui muito menos estados válidos pois não é permitido alterar a magnetização do sistema enquanto no modelo de Ising qualquer spin individual pode ser invertido sem restrições pois a magnetização não precisa se manter constante.

==Transição de fase==

Aproveitando a equivalência estabelecida entre gás de rede e o modelo de Ising sabe-se que o sistema possui uma transição de fase que ocorre a uma temperatura crítica <math>T_c</math>. Rearranjando a densidade de pontos (equivalente agora a spins up) tem-se:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>2\rho - 1 = \frac{M}{N}</math></div>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\rho = \frac{1}{2}(1+m)</math></div>

No modelo de Ising sabe-se também que abaixo da temperatura crítica existem dois valores de equilíbrio para a magnetização que são <math>+|m|</math> e <math>-|m|</math>, portanto, para favorecer a coexistência de fases tem-se que:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\frac{1}{2}(1-|m|) = \rho_- \le \rho \le \rho_+ = \frac{1}{2}(1+|m|)</math></div>

Para valores de <math>\rho</math> fora do intervalo <math>\rho_- \le \rho \le \rho_+</math> ainda é possível que uma região do sistema favoreça uma das duas densidades preferenciais. Suponha que se tenha <math>\rho < \rho_-</math>. Nesse caso o sistema possui menos partículas do que precisa pra atingir o a densidade <math>\rho_+</math>. Ainda que localmente seja possível o sistema atingir a densidade <math>\rho_+</math> isso leva a uma falta ainda maior de partículas em outras regiões do sistema sendo, portanto, energeticamente custoso. A opção energeticamente mais favorável adotada pelo sistema é distribuir as poucas partículas homegeneamente pela rede. Esse comportamento é observado na simulação.

Dessa forma, no caso de <math>J>0</math> o sistema possui duas fases:
* Uma em que <math>\rho\in[\rho_-,\rho_+]</math> se dividindo em dois domínios cada qual favorecendo uma das duas densidades <math>\pm\rho</math>
* E outra em que <math>\rho\not\in[\rho_-,\rho_+]</math> tendo densidade homogênea

Com <math>\rho</math> sujeito ao intervalo <math>\frac{1}{2}(1-|m|) \le \rho \le \frac{1}{2}(1+|m|)</math> conclui-se que <math>/rho</math> pode assumir um intervalo menor de valores a medida que <math>|m|</math> diminui. A magnetização diminui sob o aumento da temperatura. Acima da temperatura crítica a <math>|m|=0</math> e portanto o intervalo <math>\frac{1}{2}(1-|m|) \le \rho \le \frac{1}{2}(1+|m|)</math> reduz-se a zero evidenciando que não existe mais um valor de <math>\rho</math> que evite a homogeinização da rede.

A discussão acima pode ser apresentada resumidamente pelo diagrama de fases:

[[Arquivo:Ferromagnet phases.gif|frame|center|Diagrama de fases do modelo CPO. Fase homogênea para temperaturas além da temperatura crítica e fase coexistente abaixo com densidades preferenciais <math>\rho_+</math> e <math>\rho_-</math>]]

Esse comportamento é observado quando se diminui a temperatura de vapor d'agua que passa a formar gotas líquidas que coexistem com o vapor para um intervalo de temperaturas. A fase condensada do gás de rede, no entanto, é mais adequadamente interpretada como um sólido devido a posição fixa das partículas (análogas a moléculas ou átomos) na rede, dessa forma, falamos de interface vapor/sólido ao invés de vapor/líquido.

==Implementação<ref name=newman/>==

Sistemas físicos em equilíbrio com muitos graus de liberdade e no limite termodinâmico comportam-se de tal forma que ao flutuarem de um estado <math>\mu</math> para um estado <math>\nu</math> tem-se que <math>\nu</math> difere pouco de <math>\mu</math>. Outra maneira de dizer isso é que as flutuações dessa tipo de sistema físico são muito pequenas em relação ao número de configurações possíveis e que portanto o sistema passa a maior parte do tempo alternando entre um pequeno conjunto de configurações. A consequência disso é que pode-se escolher uma estratégia de visitar com maior probabilidade apenas a fração de estados do sistema, as quais mais contribuem para atingir o equilíbrio ao invés de se visitar todos os estados indistintamente. No modelo de ferromagneto, por exemplo, com uma rede <math>10\times 10\times 10</math>, há <math>2^{1000} \simeq 10^{300}</math> configurações possíveis sendo que mesmo com um supercomputador seria impraticável realizar essa simulação. O método de Monte Carlo consiste em visitar eficientemente uma pequena fração desses estados e atingir rapidamente o equilíbrio em poucos passos e o peso que define como visitar o estado seguinte é dado pela distribuição de Boltzmann <math>e^{\beta(E_\nu-E_\mu)}</math> onde fica claro que quanto mais diferente <math>\nu</math> for de <math>\mu</math> menor a change de fazer a transição <math>\mu\to\mu</math>

Dessa forma impõe-se que no equilíbrio o sistema obedeça a distribuição de Boltzmann, portanto a condição de balanço detalhado dá liberdade na escolha de <math>P(\mu\to\nu)</math> e <math>P(\nu\to\mu)</math> desde que seja satisfeita:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\frac{g(\mu)}{g(\nu)}\frac{A(\mu\to\nu)}{A(\nu\to\mu)} = e^{\beta(E_\nu-E_\mu)}</math></div>

Uma possível escolha para <math>A(\mu\to\nu)</math> seria:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>A(\mu\to\nu)=A_0e^{-\frac{1}{2}\beta(E_\nu-E_\mu)}</math></div>

Como <math>A_0</math> é cancelada na razão entre probabilidades de aceitação temos a liberdade na sua escolha desde que mantenha a probabilidade menor ou igual a um. No modelo de Ising, por exemplo, a maior diferença de energia que se pode obter entre estados é <math>\Delta E = E_\nu-E_\mu = \pm 2zJ</math> o que significa que o maior valor de <math>e^{-\frac{1}{2}\beta(E_\nu-E_\mu)}</math> é justamente <math>e^{\beta zJ}</math>. Assim, para garantir que a probabilidade seja menor ou igual a 1 deve-se escolher <math>A_0 \le e^{-\beta zJ}</math>

Para que o algoritmo seja eficiente deseja-se que a probabilidade de aceitação seja a maior possível, pois do contrário estaríamos utilizando tempo computacional apenas para rejeitar trocas de estado. Portanto queremos que <math>A_0</math> assuma o maior valor possível <math>A_0 = e^{-\beta zJ}</math>, maximizando <math>A(\mu\to\nu)</math>:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>A(\mu\to\nu)=e^{-\frac{1}{2}\beta(E_\nu-E_\mu+2\beta z J)}</math></div>

Devido a condição de balanço detalhado, essa escolha implica:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>A(\nu\to\mu)=e^{-\beta z J}</math></div>

Metropolis percebeu que desde que a condição de balanço detalhado seja satisfeita tem-se liberdade na escolha das probabilidades de aceitação. Então ele decidiu atribuir o maior valor possível para a probabilidade de aceitação que tem o maior valor entre as duas, no caso <math>A(\nu\to\mu)</math>, ou seja:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>A(\nu\to\mu)=1</math></div>

O que implica:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>A(\mu\to\nu)=e^{-\beta(E_\nu-E_\mu)}</math></div>

Dessa forma a transição de estados sempre ocorre se <math>E_\nu < E_\mu</math> ou seja <math>\Delta E <= 0</math> mas pode ou não ocorrer caso seja <math>\Delta E > 0</math> com uma probabilidade dada por <math>e^{-\beta(E_\nu-E_\mu)}</math>. Em suma:

<math>
A(\mu\to\nu) = \begin{cases}
e^{-\beta(E_\nu-E_\mu)} \ \mbox{ se } \ E_\nu - E_\mu > 0\\
1 \ \mbox{ caso contrario}\\
\end{cases}
</math>

===Gás de rede===

Para obedecer a condição de conservação da magnetização não é permitido alterar um spin individualmente (ou um número ímpar de spins). Uma maneira de tratar a dinâmica desse sistema foi proposta por Kawasaki e consiste em simplesmente alternar o estado de spin de um par de
partículas que tenham estados de spin oposto, ou seja:

<math>
\begin{cases}
\uparrow \uparrow ou \downarrow \downarrow \quad\to\quad \text{nada a fazer} \\
\uparrow \downarrow \quad\to\quad \downarrow \uparrow\\
\downarrow \uparrow \quad\to\quad \uparrow \downarrow\\
\end{cases}
</math>

É evidente que nesse caso a mudança na magnetização é conservada pois a troca de spins resulta em variação de magnetização nula.

Cada ponto da rede possui <math>z</math> vizinhos e portanto a cada passo de iteração deve-se sortear com qual dos vizinhos será feita uma tentativa de troca de spins. Essa escolha é feita aleatoriamente (uniforme). Uma vez escolhido um vizinho deve-se decidir se a troca deve ser feita ou não. Essa decisão é tomada com base no método de Monte Carlo, em particular, com a probabilidade de aceitação de Metropolis exatamente como exposto na seção acima.

A '''ergodicidade''' é satisfeita pelo sistema pois um passo de Monte Carlo corresponde a uma troca entre vizinhos que numa rede finita pode ser efetuada a partir de outro estado qualquer em número finito de passos

Como já foi mencionado a rede possui <math>N</math> pontos e número de coordenação <math>z</math> o que resulta em <math>\frac{1}{2}zN</math> pares de primeiros vizinhos, portanto, a probabilidade de selecionar um par qualquer é dada por:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>g(\mu\to\nu) = \frac{1}{\frac{1}{2}zN} = \frac{2}{zN}</math></div>

A probabilidade de seleção <math>g(\nu\to\mu)</math> é a mesma fazendo com que esses termos se cortem na condição de balanço detalhado e permitindo que se aplique a escolha de Metropolis discutida acima sem alterações.

Para efetivamente tomar a decisão sobre a troca entre vizinhos onde <math>\Delta E</math> é necessário especificar como é feito seu cálculo. <math>\Delta E</math> é dado pela seguinte expressão:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\Delta E = E_\nu-E_\mu = 2J\left[s_k^\mu\sum_{i\not\in\{k',k\}}s_i^\mu+s_{k'}^\mu\sum_{j\not\in\{k,k'\}}s_j^\mu\right]</math></div>

Seja um ponto da rede <math>k</math> e <math>k'</math> primeiro vizinho de <math>k</math>. Deseja-se calcular a energia de interação entre esse par. A expressão acima apenas diz que deve-somar os produtos do spin de <math>k</math>, <math>(s_k)</math>, com seus primeiros vizinhos <math>s_i</math> excluindo-se da soma tanto <math>k</math> quanto <math>k'</math>. Faz-se o mesmo procedimento para <math>k'</math>, ou seja, soma-se os produtos do spin <math>k'</math>, <math>(s_{k'})</math>, com todos os seus primeiros vizinhos <math>s_j</math> exceto ele mesmo e <math>k</math>. A soma dessas duas quantidades multiplicadas por <math>2J</math> é igual a diferença de energia entre a configuração <math>\mu</math> e a <math>\nu</math>

==Simulação==

Foram simulados três sistemas diferentes os quais são discutidos a seguir. O objetivo das simulações em determinar a tendência do formato de cada interface após vários passos de monte carlo sem verificar rigorosamente se o equilíbrio foi atingido. Uma análise das condições de equilíbrio é discutida na última seção.
Todas as simulações demandam a geração de muitos números aleatórios por isso optou-se por usar Mersenne Twister que é um algoritmo veloz para geração de números aleatórios.

===Interface linear===

Esse sistema consiste rede quadrada de aresta <math>l</math>. A rede tem inicialmente sua metade inferior completamente populada por partículas.

Cada ponto da rede é visitado sequencialmente e um dos seus 4 vizinhos é sorteado para que se faça uma tentativa de troca de posição entre o par. Caso a energia do sistema diminua, a troca é feita com probabilidade 1. Caso contrário a troca ocorre com probabilidade dada pelo peso de Boltzmann (algoritmo de Metropolis).

A primeira condição de contorno refere-se às paredes superior e inferior. A ultima linha de pontos da rede possui spins apontando pra baixo permanentemente assim como a primeira linha de pontos da rede tem-se spins apontando pra cima. Para que essa configuração seja mantida ao longo da simulação, evita-se qualquer tentativa de troca entre pares envolvendo esses pontos. Essa condição de contorno garante que a interface se mantenha fixa, do contrário, ela poderia transitar pela rede.
Nas paredes laterais aplica-se condição de contorno periódica onde por exemplo um ponto da rede na coluna <math>l-1</math> pode trocar de lugar com um primeiro vizinho da coluna <math>0</math> e vice-versa.

Ao iterar pela rede é comum deparar-se com pares de vizinhos que possuem mesma orientação de spin e portanto são ignorados imediatamente pois em nada contribuem para a dinâmica do sistema.

[[Arquivo:cop500iterinstepsof10.gif|frame|center|Interface linear entre sólido e vapor. Cada frame corresponde a 10 passos de Monte Carlo de um total de 500 passos. Primeira simulação com alta temperatura <math>T > T_C</math>. Segunda simução com temperatura intermediária <math>T < T_C</math>. Terceira simulação com baixa temperatura <math>T \ll T_C</math>]]

Como observado, a alta temperatura recai-se no regime homogêneo em que a alternativa mais favorável ao sistema para minizar a sua energia é distribuir os spins up (partículas) uniformemente pela rede.
A uma temperatura abaixo da crítica percebe-se a formação de uma interface persistente entre a região inferior com densidade preferencial <math>\rho_+</math> e a superior com densidade preferencial <math>\rho_-</math> em coexistência.
Ao diminuir ainda mais a temperatura o efeito fica mais acentuado, ou seja, a interface é menos deformada em relação ao caso anterior.

===Interface circular===

Nessa sistema excluem-se as condições fixas nas paredes superior e inferior e atribui-se a elas as mesmas condições das paredes laterais, ou seja, condições de contorno periódicas onde, por exemplo, uma partícula na linha <math>l-1</math> pode trocar de lugar com sua primeira vizinha da linha <math>0</math>
Como condição inicial posiciona-se as partículas num formato quadrado no centro da rede e observa-se como o formato da interface varia ao longo da simulação. A densidade de partículas é bem menor que no exemplo anterior da interface linear.

[[Arquivo:copSquare500iterinstepsof10.gif|frame|center|Interface circular entre sólido e vapor. Cada frame corresponde a 10 passos de Monte Carlo de um total de 500 passos. Primeira simulação com alta temperatura <math>T > T_C</math>. Segunda simução com temperatura intermediária <math>T < T_C</math>. Terceira simulação com baixa temperatura <math>T \ll T_C</math>]]

A interface é energeticamente custosa pois para cada par de spins antialinhados o sistema aumenta de energia por um fator 2J e como na rede quadrada um spin da interface possui 3 vizinhos antialinhados, sistema aumenta de energia por um fator 6J. Portanto fisicamente espera-se que o sistema evolua de tal forma a minimizar a extensão da sua interface, minimizando sua tensão superficial. No caso simulado espera-se que um domínio circular seja gerado pois o círculo é a forma geométrica que possui menor perímetro. No entanto, como a simulação demonstra, mesmo pra baixas temperaturas a forma nunca é perfeitamente circular e isso se deve ao tamanho finito da rede o faz com que seu formato (da rede) influencie o formato da interface.

A animação abaixo ilustra o mesmo processo mas com menos frames por segundo permitindo acompanhar detalhes da dinâmica do sistema.

[[Arquivo:copSquare100-iloveimg-compressed.gif|frame|center|Animação com 100 passos de Monte Carlo. Primeira simulação com alta temperatura <math>T > T_C</math>. Segunda simução com temperatura intermediária <math>T < T_C</math>. Terceira simulação com baixa temperatura <math>T \ll T_C</math>]]

===Interface esférica===

A simulação da interface esférica é uma extensão direita da simulação da interface circular apenas adicionando mais uma dimensão. Cada ponto da rede agora possui 6 vizinhos ao invés de 4. Observa-se os mesmos efeitos de redução de tensão superficial pela deformação do cubo em uma região aproximadamente esférica quando a temperatura é menor que a temperatura crítica. Acima da a temperatura crítica a densidade fica homogênea como esperado.

[[Arquivo:cop3D500instepsof10.gif|frame|center|Interface esférica entre sólido e vapor. Cada frame corresponde a 10 passos de Monte Carlo de um total de 500 passos. Primeira simulação com alta temperatura <math>T > T_C</math>. Segunda simução com temperatura intermediária <math>T < T_C</math>. Terceira simulação com baixa temperatura <math>T \ll T_C</math>]]

A mesma simulação com menos partículas, vista mais distante e com uma pequena diferença na quantidade de passos.

[[Arquivo:cop3D250instepsof5round.gif|frame|center|Interface esférica entre sólido e vapor. Cada frame corresponde a 5 passos de Monte Carlo de um total de 250 passos. Primeira simulação com alta temperatura <math>T > T_C</math>. Segunda simução com temperatura intermediária <math>T < T_C</math>. Terceira simulação com baixa temperatura <math>T \ll T_C</math>]]

Introduzindo interações entre segundos vizinhos é possível reproduzir formatos de cristais cúbicos como por exemplo o cristal de face centrada ou de corpo centrado.<ref name=newman/>

==Equilíbrio==

==Códigos==

[https://github.com/diogofriggo/metcompc/blob/master/Trabalho2/COP/COP/main.c Conservação de parâmetro de ordem - Interface linear]

[https://github.com/diogofriggo/metcompc/blob/master/Trabalho2/COPSquare/COPSquare/main.c Conservação de parâmetro de ordem - Interface circular]

[https://github.com/diogofriggo/metcompc/blob/master/Trabalho2/COP3D/COP3D/main.c Conservação de parâmetro de ordem - Interface esférica]

==Bibliografia==
<references/>

Arquivo:Ferromagnet phases.gif

2018-01-25T01:08:37Z

Dfriggo: Dfriggo enviou uma nova versão de "Arquivo:Ferromagnet phases.gif"

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Arquivo:Ferromagnet phases.gif

2018-01-25T01:06:10Z

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Grupo - Conservação do Parâmetro de Ordem

2018-01-25T01:04:26Z

Dfriggo:

==Introdução==

O modelo de Ising possui características universais que permitem aplicá-lo a situações diversas sendo tão versátil a ponto de descrever desde ferromagnetos até interações sociais. Dentro dessa gama de possibilidades existe o modelo de Conservação do Parâmetro de Ordem (CPO) em que, como o nome indica, mantém-se o parâmetro de ordem constante. No caso de um ferromagneto o parâmetro de ordem é a magnetização, portanto, um modelo de Ising sujeito CPO a grandeza análoga à magnetização se manteria constante a cada passo da simulação.

Apesar da estrutura matemática muito similar ao modelo de Ising, o modelo de CPO com sua simples condição de conservação do parâmetro de ordem aliado a condições de contorno permite que se modele sistemas marcadamente diferentes do tradicional sistema de ferromagneto tais como o gás de rede onde é possível estudar o comportamento de interfaces vapor-sólido ou vapor-líquido em condições de equilíbrio como por exemplo o equilíbrio entre água líquida e seu vapor ou entre gelo e vapor d'água.

O gás de rede é um modelo simplificado de um gás real onde se associa a cada ponto da rede uma partícula (átomo) ou sua ausência (vacância). Ao contrário do gás real a coordenada do movimento não é contínua, pois as partículas se movem de maneira discreta somente pelos vértices da rede.
Pode-se refinar o modelo de diversas formas:
* Atribuindo inércia às partículas
* Alterando a forma da rede (quadrada, hexagonal, fcc, bcc, cúbica)
* Incluindo partículas de tipos diferentes com interações comum a seu respectivo tipo
* Presença e/ou tipos de colisões

No entanto, uma versão simplificada (e simples de simular) desse modelo é suficiente para reproduzir qualitativamente o comportamento de interfaces.

==Teoria<ref name=newman>Newman, M. E. J.; Barkema, G. T. (1999). "Monte Carlo Methods in Statistical Physics" New York: Oxford University Press. ISBN 019-851796-3.</ref><ref name=krauth>Krauth, Werner (2006). "Statiscal Mechanics: Algorithms and Computations" New York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-851535-7.</ref>==

No modelo simplificado do gás de rede as partículas (sem inércia), movem-se de forma aleatória sob excitação térmica e satisfazem as seguintes condições:

#O número total de partículas é fixo: nenhuma partícula deixa ou entra no sistema, portanto, caso desapareça a partícula deve reaparecer em outro ponto da rede no mesmo passo de simulação.
#Um ponto da rede pode ser ocupado por uma única partícula ou permanecer vazio (não ocupado). Essa é uma maneira grosseira de assimilar o caráter físico de repulsão do gás real onde partículas não podem interpenetrar-se devido a exclusão de Pauli.
#Se duas partículas são primeiras vizinhas uma da outra elas sentem uma atração <math>\epsilon</math> que é a mesma para qualquer par de partículas. Essa condição modela o efeito de atração entre partículas de um gás real.

As forças de atração e repulsão num gás real não possuem alcance de mesma ordem. A repulsão é de curto alcance enquanto a atração é de longo-alcance. Embora o presente modelo trate as partículas como se o alcance de repulsão e atração fossem da mesma ordem, ainda é possível extrair propriedades físicas que tem paralelo com o gás real tais como transições de fase e formato de interfaces.

A cada ponto da rede associamos o valor <math>+1</math> se houver uma partícula nesse ponto ou <math>0</math> caso contrário. Representamos essa variável por <math>\sigma_i</math>, ou seja, no iésimo ponto da rede a variável <math>\sigma_i</math> pode assumir apenas os valores <math>+1</math> ou <math>0</math>, ou resumidamente:

<math>
\begin{cases}
0, \text{ponto da rede vazio} \\
1, \text{ponto da rede ocupado} \\
\end{cases}
</math>

A conservação do número de partículas exige que se tenha:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\sum_i\sigma_i = \rho N</math> </div>

Onde <math>\rho</math> é a densidade de partículas e <math>N</math> é o número total de partículas, sendo, portanto, <math>\rho N</math> o número de pontos ocupados da rede.

O hamiltoniano do sistema é modelado a partir da condição 2 exposta acima em que é especificado que um par de primeiros vizinhos na rede contribui para a diminuição da energia do sistema por uma quantidade <math>\epsilon</math>:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\epsilon\sum_{<ij>}\sigma_i\sigma_j</math> </div>

Onde <math>\sum_{<ij>}</math> denota soma sobre todos os pares de primeiros vizinhos da rede.

===Equivalência ao modelo de Ising===

Para mostrar a equivalência com o modelo de Ising definimos a seguinte variável:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>s_i = 2\sigma_i-1</math> </div>

Essa nova variável é nada mais do que o spin no modelo de Ising para um ferromagneto assumindo os valores:
* <math>+1</math> quando <math>\sigma_i = +1</math>, ou seja, posição ocupada por partícula; ou
* <math>-1</math> quando <math>\sigma_i = 0</math>, ou seja, posição não ocupada

Em termos da variável de spin <math>\sigma_i</math> é dada por:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\sigma_i = \frac{1}{2}(s_i+1)</math> </div>

Substituindo no Hamiltoniano tem-se:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}(s_i+1)(s_j+1)</math> </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_is_j-\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_i-\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_j-\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}1</math> </div>

Seja <math>z</math> o número de coordenação da rede, ou seja, o número de primeiros vizinhos (<math>z=4</math> para rede quadrada e <math>z=6</math> para rede cúbica simples). Para uma dada rede existem <math>2 z N</math> possíveis pares distintos

Pode-se simplificar esssa expressão com base nas seguintes observações:

* Os somatórios em <math>s_i</math> e <math>s_j</math> são idênticos exceto pelo índice.
* A soma <math>\sum_{<ij>}s_i</math>sobre pares de vizinhos é equivalente a somar <math>z</math> vezes sobre o número de pontos da rede:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\sum_{<ij>}s_i = 2z\sum_{i}s_i</math></div>

* <math>\sum_i s_i</math> pode ser escrito em termos das constantes <math>\rho</math> e <math>N</math> assim como ocorre com <math>\sigma_i</math>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\sum_i\sigma_i = \rho N</math></div>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\frac{1}{2}\sum_i(s_i+1) = \rho N</math></div>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\frac{1}{2}\sum_i s_i = \rho N - \frac{1}{2}\sum_i 1</math></div>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\frac{1}{2}\sum_i s_i = \rho N - \frac{1}{2}N</math></div>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\sum_i s_i = N(2\rho - 1)</math>
</div>

Dessa forma o Hamiltoniano se reduz a:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_is_j-\frac{1}{2}z\epsilon\sum_{i}s_i-\frac{1}{4}\epsilon(2zN)</math> </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_is_j-\frac{1}{2}z\epsilon(N(2\rho-1))-\frac{1}{4}\epsilon(2zN)</math> </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_is_j-z\epsilon N\rho +\frac{1}{2}\epsilon z N-\frac{1}{2}\epsilon z N </math> </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_is_j-z\epsilon N\rho</math></div>

Seja J = <math>\frac{1}{4}\epsilon</math> e observando que <math>-z\epsilon N\rho</math> é uma constante pois todos seus termos são constantes, chegamos na equivalência com o Hamiltoniano do modelo de Ising na ausência de campo magnético:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -J\sum_{<ij>}s_is_j + ctc = H^{Ising}_{B=0} + ctc</math></div>

O valor esperado <math><Q></math> de qualquer quantidade física <math>Q</math> não é alterado pela adição de uma constante ao hamiltoniano:

<math><Q> = \sum_\mu Q_\mu p_\mu = \frac{\sum_\mu{Q_\mu}e^{-\beta(E_\mu + ctc)}}{\sum_\mu e^{-\beta(E_\mu + ctc)}}= \frac{e^{-\beta ctc}\sum_\mu{Q_\mu}e^{-\beta E_\mu}}{e^{-\beta ctc}\sum_\mu e^{-\beta E_\mu}} = \frac{1}{Z}\sum_\mu{Q_\mu}e^{-\beta E_\mu} = <Q></math>

===Conservação do parâmetro de ordem===

A magnetização do sistema é nada mais do que a soma de spins que já calculamos acima:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>M = \sum_i s_i = N(2\rho - 1)</math></div>

No entanto, <math>\rho</math> e <math>N</math> devem permanecer constantes durante toda a simução, isso implica que a magnetização também é sempre constante, ou seja, a magneticação é o '''parâmetro de ordem conservado''' nesse sistema fato que dá nome ao método.

É vantajoso tratar o modelo de gás de rede sob a perspectiva de um modelo de Ising pois todo o arcabouço de técnicas amplamente conhecidas e extensivamente estudadas para o modelo de Ising podem ser aplicadas.

Apesar das similaridades, o gás de rede, como definido, possui muito menos estados válidos pois não é permitido alterar a magnetização do sistema enquanto no modelo de Ising qualquer spin individual pode ser invertido sem restrições pois a magnetização não precisa se manter constante.

==Transição de fase==

Aproveitando a equivalência estabelecida entre gás de rede e o modelo de Ising sabe-se que o sistema possui uma transição de fase que ocorre a uma temperatura crítica <math>T_c</math>. Rearranjando a densidade de pontos (equivalente agora a spins up) tem-se:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>2\rho - 1 = \frac{M}{N}</math></div>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\rho = \frac{1}{2}(1+m)</math></div>

No modelo de Ising sabe-se também que abaixo da temperatura crítica existem dois valores de equilíbrio para a magnetização que são <math>+|m|</math> e <math>-|m|</math>, portanto, para favorecer a coexistência de fases tem-se que:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\frac{1}{2}(1-|m|) = \rho_- \le \rho \le \rho_+ = \frac{1}{2}(1+|m|)</math></div>

Para valores de <math>\rho</math> fora do intervalo <math>\rho_- \le \rho \le \rho_+</math> ainda é possível que uma região do sistema favoreça uma das duas densidades preferenciais. Suponha que se tenha <math>\rho < \rho_-</math>. Nesse caso o sistema possui menos partículas do que precisa pra atingir o a densidade <math>\rho_+</math>. Ainda que localmente seja possível o sistema atingir a densidade <math>\rho_+</math> isso leva a uma falta ainda maior de partículas em outras regiões do sistema sendo, portanto, energeticamente custoso. A opção energeticamente mais favorável adotada pelo sistema é distribuir as poucas partículas homegeneamente pela rede. Esse comportamento é observado na simulação.

Dessa forma, no caso de <math>J>0</math> o sistema possui duas fases:
* Uma em que <math>\rho\in[\rho_-,\rho_+]</math> se dividindo em dois domínios cada qual favorecendo uma das duas densidades <math>\pm\rho</math>
* E outra em que <math>\rho\not\in[\rho_-,\rho_+]</math> tendo densidade homogênea

Com <math>\rho</math> sujeito ao intervalo <math>\frac{1}{2}(1-|m|) \le \rho \le \frac{1}{2}(1+|m|)</math> conclui-se que <math>/rho</math> pode assumir um intervalo menor de valores a medida que <math>|m|</math> diminui. A magnetização diminui sob o aumento da temperatura. Acima da temperatura crítica a <math>|m|=0</math> e portanto o intervalo <math>\frac{1}{2}(1-|m|) \le \rho \le \frac{1}{2}(1+|m|)</math> reduz-se a zero evidenciando que não existe mais um valor de <math>\rho</math> que evite a homogeinização da rede.

A discussão acima pode ser apresentada resumidamente pelo diagrama de fases:

[[Arquivo:Cop_phase_diagram.png|frame|50px|center|Diagrama de fases do modelo CPO. Fase homogênea para temperaturas além da temperatura crítica e fase coexistente abaixo com densidades preferenciais <math>\rho_+</math> e <math>\rho_-</math>]]

Esse comportamento é observado quando se diminui a temperatura de vapor d'agua que passa a formar gotas líquidas que coexistem com o vapor para um intervalo de temperaturas. A fase condensada do gás de rede, no entanto, é mais adequadamente interpretada como um sólido devido a posição fixa das partículas (análogas a moléculas ou átomos) na rede, dessa forma, falamos de interface vapor/sólido ao invés de vapor/líquido.

==Implementação<ref name=newman/>==

Sistemas físicos em equilíbrio com muitos graus de liberdade e no limite termodinâmico comportam-se de tal forma que ao flutuarem de um estado <math>\mu</math> para um estado <math>\nu</math> tem-se que <math>\nu</math> difere pouco de <math>\mu</math>. Outra maneira de dizer isso é que as flutuações dessa tipo de sistema físico são muito pequenas em relação ao número de configurações possíveis e que portanto o sistema passa a maior parte do tempo alternando entre um pequeno conjunto de configurações. A consequência disso é que pode-se escolher uma estratégia de visitar com maior probabilidade apenas a fração de estados do sistema, as quais mais contribuem para atingir o equilíbrio ao invés de se visitar todos os estados indistintamente. No modelo de ferromagneto, por exemplo, com uma rede <math>10\times 10\times 10</math>, há <math>2^{1000} \simeq 10^{300}</math> configurações possíveis sendo que mesmo com um supercomputador seria impraticável realizar essa simulação. O método de Monte Carlo consiste em visitar eficientemente uma pequena fração desses estados e atingir rapidamente o equilíbrio em poucos passos e o peso que define como visitar o estado seguinte é dado pela distribuição de Boltzmann <math>e^{\beta(E_\nu-E_\mu)}</math> onde fica claro que quanto mais diferente <math>\nu</math> for de <math>\mu</math> menor a change de fazer a transição <math>\mu\to\mu</math>

Dessa forma impõe-se que no equilíbrio o sistema obedeça a distribuição de Boltzmann, portanto a condição de balanço detalhado dá liberdade na escolha de <math>P(\mu\to\nu)</math> e <math>P(\nu\to\mu)</math> desde que seja satisfeita:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\frac{g(\mu)}{g(\nu)}\frac{A(\mu\to\nu)}{A(\nu\to\mu)} = e^{\beta(E_\nu-E_\mu)}</math></div>

Uma possível escolha para <math>A(\mu\to\nu)</math> seria:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>A(\mu\to\nu)=A_0e^{-\frac{1}{2}\beta(E_\nu-E_\mu)}</math></div>

Como <math>A_0</math> é cancelada na razão entre probabilidades de aceitação temos a liberdade na sua escolha desde que mantenha a probabilidade menor ou igual a um. No modelo de Ising, por exemplo, a maior diferença de energia que se pode obter entre estados é <math>\Delta E = E_\nu-E_\mu = \pm 2zJ</math> o que significa que o maior valor de <math>e^{-\frac{1}{2}\beta(E_\nu-E_\mu)}</math> é justamente <math>e^{\beta zJ}</math>. Assim, para garantir que a probabilidade seja menor ou igual a 1 deve-se escolher <math>A_0 \le e^{-\beta zJ}</math>

Para que o algoritmo seja eficiente deseja-se que a probabilidade de aceitação seja a maior possível, pois do contrário estaríamos utilizando tempo computacional apenas para rejeitar trocas de estado. Portanto queremos que <math>A_0</math> assuma o maior valor possível <math>A_0 = e^{-\beta zJ}</math>, maximizando <math>A(\mu\to\nu)</math>:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>A(\mu\to\nu)=e^{-\frac{1}{2}\beta(E_\nu-E_\mu+2\beta z J)}</math></div>

Devido a condição de balanço detalhado, essa escolha implica:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>A(\nu\to\mu)=e^{-\beta z J}</math></div>

Metropolis percebeu que desde que a condição de balanço detalhado seja satisfeita tem-se liberdade na escolha das probabilidades de aceitação. Então ele decidiu atribuir o maior valor possível para a probabilidade de aceitação que tem o maior valor entre as duas, no caso <math>A(\nu\to\mu)</math>, ou seja:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>A(\nu\to\mu)=1</math></div>

O que implica:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>A(\mu\to\nu)=e^{-\beta(E_\nu-E_\mu)}</math></div>

Dessa forma a transição de estados sempre ocorre se <math>E_\nu < E_\mu</math> ou seja <math>\Delta E <= 0</math> mas pode ou não ocorrer caso seja <math>\Delta E > 0</math> com uma probabilidade dada por <math>e^{-\beta(E_\nu-E_\mu)}</math>. Em suma:

<math>
A(\mu\to\nu) = \begin{cases}
e^{-\beta(E_\nu-E_\mu)} \ \mbox{ se } \ E_\nu - E_\mu > 0\\
1 \ \mbox{ caso contrario}\\
\end{cases}
</math>

===Gás de rede===

Para obedecer a condição de conservação da magnetização não é permitido alterar um spin individualmente (ou um número ímpar de spins). Uma maneira de tratar a dinâmica desse sistema foi proposta por Kawasaki e consiste em simplesmente alternar o estado de spin de um par de
partículas que tenham estados de spin oposto, ou seja:

<math>
\begin{cases}
\uparrow \uparrow ou \downarrow \downarrow \quad\to\quad \text{nada a fazer} \\
\uparrow \downarrow \quad\to\quad \downarrow \uparrow\\
\downarrow \uparrow \quad\to\quad \uparrow \downarrow\\
\end{cases}
</math>

É evidente que nesse caso a mudança na magnetização é conservada pois a troca de spins resulta em variação de magnetização nula.

Cada ponto da rede possui <math>z</math> vizinhos e portanto a cada passo de iteração deve-se sortear com qual dos vizinhos será feita uma tentativa de troca de spins. Essa escolha é feita aleatoriamente (uniforme). Uma vez escolhido um vizinho deve-se decidir se a troca deve ser feita ou não. Essa decisão é tomada com base no método de Monte Carlo, em particular, com a probabilidade de aceitação de Metropolis exatamente como exposto na seção acima.

A '''ergodicidade''' é satisfeita pelo sistema pois um passo de Monte Carlo corresponde a uma troca entre vizinhos que numa rede finita pode ser efetuada a partir de outro estado qualquer em número finito de passos

Como já foi mencionado a rede possui <math>N</math> pontos e número de coordenação <math>z</math> o que resulta em <math>\frac{1}{2}zN</math> pares de primeiros vizinhos, portanto, a probabilidade de selecionar um par qualquer é dada por:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>g(\mu\to\nu) = \frac{1}{\frac{1}{2}zN} = \frac{2}{zN}</math></div>

A probabilidade de seleção <math>g(\nu\to\mu)</math> é a mesma fazendo com que esses termos se cortem na condição de balanço detalhado e permitindo que se aplique a escolha de Metropolis discutida acima sem alterações.

Para efetivamente tomar a decisão sobre a troca entre vizinhos onde <math>\Delta E</math> é necessário especificar como é feito seu cálculo. <math>\Delta E</math> é dado pela seguinte expressão:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\Delta E = E_\nu-E_\mu = 2J\left[s_k^\mu\sum_{i\not\in\{k',k\}}s_i^\mu+s_{k'}^\mu\sum_{j\not\in\{k,k'\}}s_j^\mu\right]</math></div>

Seja um ponto da rede <math>k</math> e <math>k'</math> primeiro vizinho de <math>k</math>. Deseja-se calcular a energia de interação entre esse par. A expressão acima apenas diz que deve-somar os produtos do spin de <math>k</math>, <math>(s_k)</math>, com seus primeiros vizinhos <math>s_i</math> excluindo-se da soma tanto <math>k</math> quanto <math>k'</math>. Faz-se o mesmo procedimento para <math>k'</math>, ou seja, soma-se os produtos do spin <math>k'</math>, <math>(s_{k'})</math>, com todos os seus primeiros vizinhos <math>s_j</math> exceto ele mesmo e <math>k</math>. A soma dessas duas quantidades multiplicadas por <math>2J</math> é igual a diferença de energia entre a configuração <math>\mu</math> e a <math>\nu</math>

==Simulação==

Foram simulados três sistemas diferentes os quais são discutidos a seguir. O objetivo das simulações em determinar a tendência do formato de cada interface após vários passos de monte carlo sem verificar rigorosamente se o equilíbrio foi atingido. Uma análise das condições de equilíbrio é discutida na última seção.
Todas as simulações demandam a geração de muitos números aleatórios por isso optou-se por usar Mersenne Twister que é um algoritmo veloz para geração de números aleatórios.

===Interface linear===

Esse sistema consiste rede quadrada de aresta <math>l</math>. A rede tem inicialmente sua metade inferior completamente populada por partículas.

Cada ponto da rede é visitado sequencialmente e um dos seus 4 vizinhos é sorteado para que se faça uma tentativa de troca de posição entre o par. Caso a energia do sistema diminua, a troca é feita com probabilidade 1. Caso contrário a troca ocorre com probabilidade dada pelo peso de Boltzmann (algoritmo de Metropolis).

A primeira condição de contorno refere-se às paredes superior e inferior. A ultima linha de pontos da rede possui spins apontando pra baixo permanentemente assim como a primeira linha de pontos da rede tem-se spins apontando pra cima. Para que essa configuração seja mantida ao longo da simulação, evita-se qualquer tentativa de troca entre pares envolvendo esses pontos. Essa condição de contorno garante que a interface se mantenha fixa, do contrário, ela poderia transitar pela rede.
Nas paredes laterais aplica-se condição de contorno periódica onde por exemplo um ponto da rede na coluna <math>l-1</math> pode trocar de lugar com um primeiro vizinho da coluna <math>0</math> e vice-versa.

Ao iterar pela rede é comum deparar-se com pares de vizinhos que possuem mesma orientação de spin e portanto são ignorados imediatamente pois em nada contribuem para a dinâmica do sistema.

[[Arquivo:cop500iterinstepsof10.gif|frame|center|Interface linear entre sólido e vapor. Cada frame corresponde a 10 passos de Monte Carlo de um total de 500 passos. Primeira simulação com alta temperatura <math>T > T_C</math>. Segunda simução com temperatura intermediária <math>T < T_C</math>. Terceira simulação com baixa temperatura <math>T \ll T_C</math>]]

Como observado, a alta temperatura recai-se no regime homogêneo em que a alternativa mais favorável ao sistema para minizar a sua energia é distribuir os spins up (partículas) uniformemente pela rede.
A uma temperatura abaixo da crítica percebe-se a formação de uma interface persistente entre a região inferior com densidade preferencial <math>\rho_+</math> e a superior com densidade preferencial <math>\rho_-</math> em coexistência.
Ao diminuir ainda mais a temperatura o efeito fica mais acentuado, ou seja, a interface é menos deformada em relação ao caso anterior.

===Interface circular===

Nessa sistema excluem-se as condições fixas nas paredes superior e inferior e atribui-se a elas as mesmas condições das paredes laterais, ou seja, condições de contorno periódicas onde, por exemplo, uma partícula na linha <math>l-1</math> pode trocar de lugar com sua primeira vizinha da linha <math>0</math>
Como condição inicial posiciona-se as partículas num formato quadrado no centro da rede e observa-se como o formato da interface varia ao longo da simulação. A densidade de partículas é bem menor que no exemplo anterior da interface linear.

[[Arquivo:copSquare500iterinstepsof10.gif|frame|center|Interface circular entre sólido e vapor. Cada frame corresponde a 10 passos de Monte Carlo de um total de 500 passos. Primeira simulação com alta temperatura <math>T > T_C</math>. Segunda simução com temperatura intermediária <math>T < T_C</math>. Terceira simulação com baixa temperatura <math>T \ll T_C</math>]]

A interface é energeticamente custosa pois para cada par de spins antialinhados o sistema aumenta de energia por um fator 2J e como na rede quadrada um spin da interface possui 3 vizinhos antialinhados, sistema aumenta de energia por um fator 6J. Portanto fisicamente espera-se que o sistema evolua de tal forma a minimizar a extensão da sua interface, minimizando sua tensão superficial. No caso simulado espera-se que um domínio circular seja gerado pois o círculo é a forma geométrica que possui menor perímetro. No entanto, como a simulação demonstra, mesmo pra baixas temperaturas a forma nunca é perfeitamente circular e isso se deve ao tamanho finito da rede o faz com que seu formato (da rede) influencie o formato da interface.

A animação abaixo ilustra o mesmo processo mas com menos frames por segundo permitindo acompanhar detalhes da dinâmica do sistema.

[[Arquivo:copSquare100-iloveimg-compressed.gif|frame|center|Animação com 100 passos de Monte Carlo. Primeira simulação com alta temperatura <math>T > T_C</math>. Segunda simução com temperatura intermediária <math>T < T_C</math>. Terceira simulação com baixa temperatura <math>T \ll T_C</math>]]

===Interface esférica===

A simulação da interface esférica é uma extensão direita da simulação da interface circular apenas adicionando mais uma dimensão. Cada ponto da rede agora possui 6 vizinhos ao invés de 4. Observa-se os mesmos efeitos de redução de tensão superficial pela deformação do cubo em uma região aproximadamente esférica quando a temperatura é menor que a temperatura crítica. Acima da a temperatura crítica a densidade fica homogênea como esperado.

[[Arquivo:cop3D500instepsof10.gif|frame|center|Interface esférica entre sólido e vapor. Cada frame corresponde a 10 passos de Monte Carlo de um total de 500 passos. Primeira simulação com alta temperatura <math>T > T_C</math>. Segunda simução com temperatura intermediária <math>T < T_C</math>. Terceira simulação com baixa temperatura <math>T \ll T_C</math>]]

A mesma simulação com menos partículas, vista mais distante e com uma pequena diferença na quantidade de passos.

[[Arquivo:cop3D250instepsof5round.gif|frame|center|Interface esférica entre sólido e vapor. Cada frame corresponde a 5 passos de Monte Carlo de um total de 250 passos. Primeira simulação com alta temperatura <math>T > T_C</math>. Segunda simução com temperatura intermediária <math>T < T_C</math>. Terceira simulação com baixa temperatura <math>T \ll T_C</math>]]

Introduzindo interações entre segundos vizinhos é possível reproduzir formatos de cristais cúbicos como por exemplo o cristal de face centrada ou de corpo centrado.<ref name=newman/>

==Equilíbrio==

==Códigos==

[https://github.com/diogofriggo/metcompc/blob/master/Trabalho2/COP/COP/main.c Conservação de parâmetro de ordem - Interface linear]

[https://github.com/diogofriggo/metcompc/blob/master/Trabalho2/COPSquare/COPSquare/main.c Conservação de parâmetro de ordem - Interface circular]

[https://github.com/diogofriggo/metcompc/blob/master/Trabalho2/COP3D/COP3D/main.c Conservação de parâmetro de ordem - Interface esférica]

==Bibliografia==
<references/>

Métodos computacionais

2018-01-25T00:47:28Z

Dfriggo: /* Métodos Computacionais C */

Física computacional é uma abordagem da '''física teórica''' com o auxílio do computador essencialmente
quando a complexidade do problema impossibilita o avanço pela via analítica e/ou porque os cálculos
numéricos são longos demais para serem feitos sem automação.
Alguns consideram a '''física computacional''' um terceiro (e mais recente) vértice do triângulo da maneira de se fazer física, onde os outros dois vértices são a '''física teórica''' e a '''física experimental'''.

'''Métodos computacionais''' é a disciplina onde estudamos ferramentas, métodos e algoritmos numéricos para a resolução de problemas de física onde uma abordagem analítica é extremamente complexa ou impossível.

Alguns exemplos de aplicação são: a solução numérica de equações diferenciais ordinárias, integração numérica via métodos de aproximação ou estatísticos como método de Monte Carlo, equações diferencias parciais como as equações de Maxwell e de Schroedinger, métodos matriciais para a solução de problemas de autovalor e autovetor como os encontrados na Mecânica Quântica.

==Breve Historia da Computação==

De Conrad Zuse (1941) ao IBM Blue/Gene (2006)

==Arquitectura==

[http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Personal_computer%2C_exploded_5.svg Diagrama de PC]

== Ferramentas ==
===== [[Comandos Unix/Linux]] =====
===== [[Gnuplot]] e [[xmgrace]] =====
===== [[LaTex]] =====
===== [[FORTRAN]] =====
===== [[C]] =====

== Métodos Computacionais A ==
===== [[Derivada Numérica]] =====
===== [[Integração Numérica]] =====
===== [[Interpolação e extrapolação]] =====
====== [[Fórmula de Lagrange]]======
====== [[Spline cúbico]]======

===== [[Zeros de Funções]]=====
===== [[Mínimos Quadrados]] =====
===== [[Listas de exercícios]] =====
====== [[Área 1]] ======
====== [[Área 2]] ======
====== [[Área 3]] ======

== Métodos Computacionais B ==

===== [[Integração numérica de equações diferenciais ordinárias]] =====

===== [[Métodos multipassos]]=====

===== [[Métodos de passo variável]]=====

===== [[Aplicações (Mapas)]]=====

===== [[Números Aleatórios]]=====

===== [[Histogramas e Densidade de Probabilidade ]] =====

===== [[Método de Monte Carlo (integração numérica)]]=====

== Métodos Computacionais C ==

===== [[Equações Diferenciais Parciais]] =====

=====[[Grupo1 - Dif em 2D]] =====

=====[[Grupo2 - Ondas1]]=====

=====[[Grupo3 - Ondas2]]=====

=====[[Grupo4 - FFT]]=====

=====[[Grupo5 - Eq. Schroedinger]]=====

=====[[Grupo - Ising 2D]]=====

===== [[Monte Carlo]] =====

=====[[Grupo - Lennard Jones]]=====

=====[[Grupo - BOIDS]]=====

=====[[Grupo - Tráfego]]=====

===== [[Teste_conv]] =====

===== [[Teste2]] =====

===== [[Grupo - Dilema Do Prisioneiro]] =====

===== [[Grupo - Modelo Sznajd]] =====

=====[[Grupo - Modelo de Potts]]=====

=====[[Grupo - Conservação do Parâmetro de Ordem]]=====

Métodos computacionais

2018-01-25T00:46:18Z

Dfriggo: /* Métodos Computacionais C */

Grupo - Conservação do Parâmetro de Ordem

2018-01-25T00:45:44Z

Dfriggo: Dfriggo moveu a página Grupo - Conservação do Parâmetro de Ordem para Grupo - O modelo de Ising sob conservação do parâmetro de ordem (CPO)

==Introdução==

O modelo de Ising possui características universais que permitem aplicá-lo a situações diversas sendo tão versátil a ponto de descrever desde ferromagnetos até interações sociais. Dentro dessa gama de possibilidades existe o modelo de Conservação do Parâmetro de Ordem (CPO) em que, como o nome indica, mantém-se o parâmetro de ordem constante. No caso de um ferromagneto o parâmetro de ordem é a magnetização, portanto, um modelo de Ising sujeito CPO a grandeza análoga à magnetização se manteria constante a cada passo da simulação.

Apesar da estrutura matemática muito similar ao modelo de Ising, o modelo de CPO com sua simples condição de conservação do parâmetro de ordem aliado a condições de contorno permite que se modele sistemas marcadamente diferentes do tradicional sistema de ferromagneto tais como o gás de rede onde é possível estudar o comportamento de interfaces vapor-sólido ou vapor-líquido em condições de equilíbrio como por exemplo o equilíbrio entre água líquida e seu vapor ou entre gelo e vapor d'água.

O gás de rede é um modelo simplificado de um gás real onde se associa a cada ponto da rede uma partícula (átomo) ou sua ausência (vacância). Ao contrário do gás real a coordenada do movimento não é contínua, pois as partículas se movem de maneira discreta somente pelos vértices da rede.
Pode-se refinar o modelo de diversas formas:
* Atribuindo inércia às partículas
* Alterando a forma da rede (quadrada, hexagonal, fcc, bcc, cúbica)
* Incluindo partículas de tipos diferentes com interações comum a seu respectivo tipo
* Presença e/ou tipos de colisões

No entanto, uma versão simplificada (e simples de simular) desse modelo é suficiente para reproduzir qualitativamente o comportamento de interfaces.

==Teoria<ref name=newman>Newman, M. E. J.; Barkema, G. T. (1999). "Monte Carlo Methods in Statistical Physics" New York: Oxford University Press. ISBN 019-851796-3.</ref>==

No modelo simplificado do gás de rede as partículas (sem inércia), movem-se de forma aleatória sob excitação térmica e satisfazem as seguintes condições:

#O número total de partículas é fixo: nenhuma partícula deixa ou entra no sistema, portanto, caso desapareça a partícula deve reaparecer em outro ponto da rede no mesmo passo de simulação.
#Um ponto da rede pode ser ocupado por uma única partícula ou permanecer vazio (não ocupado). Essa é uma maneira grosseira de assimilar o caráter físico de repulsão do gás real onde partículas não podem interpenetrar-se devido a exclusão de Pauli.
#Se duas partículas são primeiras vizinhas uma da outra elas sentem uma atração <math>\epsilon</math> que é a mesma para qualquer par de partículas. Essa condição modela o efeito de atração entre partículas de um gás real.

As forças de atração e repulsão num gás real não possuem alcance de mesma ordem. A repulsão é de curto alcance enquanto a atração é de longo-alcance. Embora o presente modelo trate as partículas como se o alcance de repulsão e atração fossem da mesma ordem, ainda é possível extrair propriedades físicas que tem paralelo com o gás real tais como transições de fase e formato de interfaces.

A cada ponto da rede associamos o valor <math>+1</math> se houver uma partícula nesse ponto ou <math>0</math> caso contrário. Representamos essa variável por <math>\sigma_i</math>, ou seja, no iésimo ponto da rede a variável <math>\sigma_i</math> pode assumir apenas os valores <math>+1</math> ou <math>0</math>, ou resumidamente:

<math>
\begin{cases}
0, \text{ponto da rede vazio} \\
1, \text{ponto da rede ocupado} \\
\end{cases}
</math>

A conservação do número de partículas exige que se tenha:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\sum_i\sigma_i = \rho N</math> </div>

Onde <math>\rho</math> é a densidade de partículas e <math>N</math> é o número total de partículas, sendo, portanto, <math>\rho N</math> o número de pontos ocupados da rede.

O hamiltoniano do sistema é modelado a partir da condição 2 exposta acima em que é especificado que um par de primeiros vizinhos na rede contribui para a diminuição da energia do sistema por uma quantidade <math>\epsilon</math>:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\epsilon\sum_{<ij>}\sigma_i\sigma_j</math> </div>

Onde <math>\sum_{<ij>}</math> denota soma sobre todos os pares de primeiros vizinhos da rede.

===Equivalência ao modelo de Ising===

Para mostrar a equivalência com o modelo de Ising definimos a seguinte variável:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>s_i = 2\sigma_i-1</math> </div>

Essa nova variável é nada mais do que o spin no modelo de Ising para um ferromagneto assumindo os valores:
* <math>+1</math> quando <math>\sigma_i = +1</math>, ou seja, posição ocupada por partícula; ou
* <math>-1</math> quando <math>\sigma_i = 0</math>, ou seja, posição não ocupada

Em termos da variável de spin <math>\sigma_i</math> é dada por:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\sigma_i = \frac{1}{2}(s_i+1)</math> </div>

Substituindo no Hamiltoniano tem-se:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}(s_i+1)(s_j+1)</math> </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_is_j-\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_i-\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_j-\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}1</math> </div>

Seja <math>z</math> o número de coordenação da rede, ou seja, o número de primeiros vizinhos (<math>z=4</math> para rede quadrada e <math>z=6</math> para rede cúbica simples). Para uma dada rede existem <math>2 z N</math> possíveis pares distintos

Pode-se simplificar esssa expressão com base nas seguintes observações:

* Os somatórios em <math>s_i</math> e <math>s_j</math> são idênticos exceto pelo índice.
* A soma <math>\sum_{<ij>}s_i</math>sobre pares de vizinhos é equivalente a somar <math>z</math> vezes sobre o número de pontos da rede:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\sum_{<ij>}s_i = 2z\sum_{i}s_i</math></div>

* <math>\sum_i s_i</math> pode ser escrito em termos das constantes <math>\rho</math> e <math>N</math> assim como ocorre com <math>\sigma_i</math>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\sum_i\sigma_i = \rho N</math></div>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\frac{1}{2}\sum_i(s_i+1) = \rho N</math></div>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\frac{1}{2}\sum_i s_i = \rho N - \frac{1}{2}\sum_i 1</math></div>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\frac{1}{2}\sum_i s_i = \rho N - \frac{1}{2}N</math></div>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\sum_i s_i = N(2\rho - 1)</math>
</div>

Dessa forma o Hamiltoniano se reduz a:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_is_j-\frac{1}{2}z\epsilon\sum_{i}s_i-\frac{1}{4}\epsilon(2zN)</math> </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_is_j-\frac{1}{2}z\epsilon(N(2\rho-1))-\frac{1}{4}\epsilon(2zN)</math> </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_is_j-z\epsilon N\rho +\frac{1}{2}\epsilon z N-\frac{1}{2}\epsilon z N </math> </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_is_j-z\epsilon N\rho</math></div>

Seja J = <math>\frac{1}{4}\epsilon</math> e observando que <math>-z\epsilon N\rho</math> é uma constante pois todos seus termos são constantes, chegamos na equivalência com o Hamiltoniano do modelo de Ising na ausência de campo magnético:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -J\sum_{<ij>}s_is_j + ctc = H^{Ising}_{B=0} + ctc</math></div>

O valor esperado <math><Q></math> de qualquer quantidade física <math>Q</math> não é alterado pela adição de uma constante ao hamiltoniano:

<math><Q> = \sum_\mu Q_\mu p_\mu = \frac{\sum_\mu{Q_\mu}e^{-\beta(E_\mu + ctc)}}{\sum_\mu e^{-\beta(E_\mu + ctc)}}= \frac{e^{-\beta ctc}\sum_\mu{Q_\mu}e^{-\beta E_\mu}}{e^{-\beta ctc}\sum_\mu e^{-\beta E_\mu}} = \frac{1}{Z}\sum_\mu{Q_\mu}e^{-\beta E_\mu} = <Q></math>

===Conservação do parâmetro de ordem===

A magnetização do sistema é nada mais do que a soma de spins que já calculamos acima:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>M = \sum_i s_i = N(2\rho - 1)</math></div>

No entanto, <math>\rho</math> e <math>N</math> devem permanecer constantes durante toda a simução, isso implica que a magnetização também é sempre constante, ou seja, a magneticação é o '''parâmetro de ordem conservado''' nesse sistema fato que dá nome ao método.

É vantajoso tratar o modelo de gás de rede sob a perspectiva de um modelo de Ising pois todo o arcabouço de técnicas amplamente conhecidas e extensivamente estudadas para o modelo de Ising podem ser aplicadas.

Apesar das similaridades, o gás de rede, como definido, possui muito menos estados válidos pois não é permitido alterar a magnetização do sistema enquanto no modelo de Ising qualquer spin individual pode ser invertido sem restrições pois a magnetização não precisa se manter constante.

==Transição de fase==

Aproveitando a equivalência estabelecida entre gás de rede e o modelo de Ising sabe-se que o sistema possui uma transição de fase que ocorre a uma temperatura crítica <math>T_c</math>. Rearranjando a densidade de pontos (equivalente agora a spins up) tem-se:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>2\rho - 1 = \frac{M}{N}</math></div>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\rho = \frac{1}{2}(1+m)</math></div>

No modelo de Ising sabe-se também que abaixo da temperatura crítica existem dois valores de equilíbrio para a magnetização que são <math>+|m|</math> e <math>-|m|</math>, portanto, para favorecer a coexistência de fases tem-se que:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\frac{1}{2}(1-|m|) = \rho_- \le \rho \le \rho_+ = \frac{1}{2}(1+|m|)</math></div>

Para valores de <math>\rho</math> fora do intervalo <math>\rho_- \le \rho \le \rho_+</math> ainda é possível que uma região do sistema favoreça uma das duas densidades preferenciais. Suponha que se tenha <math>\rho < \rho_-</math>. Nesse caso o sistema possui menos partículas do que precisa pra atingir o a densidade <math>\rho_+</math>. Ainda que localmente seja possível o sistema atingir a densidade <math>\rho_+</math> isso leva a uma falta ainda maior de partículas em outras regiões do sistema sendo, portanto, energeticamente custoso. A opção energeticamente mais favorável adotada pelo sistema é distribuir as poucas partículas homegeneamente pela rede. Esse comportamento é observado na simulação.

Dessa forma, no caso de <math>J>0</math> o sistema possui duas fases:
* Uma em que <math>\rho\in[\rho_-,\rho_+]</math> se dividindo em dois domínios cada qual favorecendo uma das duas densidades <math>\pm\rho</math>
* E outra em que <math>\rho\not\in[\rho_-,\rho_+]</math> tendo densidade homogênea

Com <math>\rho</math> sujeito ao intervalo <math>\frac{1}{2}(1-|m|) \le \rho \le \frac{1}{2}(1+|m|)</math> conclui-se que <math>/rho</math> pode assumir um intervalo menor de valores a medida que <math>|m|</math> diminui. A magnetização diminui sob o aumento da temperatura. Acima da temperatura crítica a <math>|m|=0</math> e portanto o intervalo <math>\frac{1}{2}(1-|m|) \le \rho \le \frac{1}{2}(1+|m|)</math> reduz-se a zero evidenciando que não existe mais um valor de <math>\rho</math> que evite a homogeinização da rede.

A discussão acima pode ser apresentada resumidamente pelo diagrama de fases:

[[Arquivo:Cop_phase_diagram.png|frame|50px|center|Diagrama de fases do modelo CPO. Fase homogênea para temperaturas além da temperatura crítica e fase coexistente abaixo com densidades preferenciais <math>\rho_+</math> e <math>\rho_-</math>]]

Esse comportamento é observado quando se diminui a temperatura de vapor d'agua que passa a formar gotas líquidas que coexistem com o vapor para um intervalo de temperaturas. A fase condensada do gás de rede, no entanto, é mais adequadamente interpretada como um sólido devido a posição fixa das partículas (análogas a moléculas ou átomos) na rede, dessa forma, falamos de interface vapor/sólido ao invés de vapor/líquido.

==Implementação<ref name=krauth>Krauth, Werner (2006). "Statiscal Mechanics: Algorithms and Computations" New York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-851535-7.</ref>==

Sistemas físicos em equilíbrio com muitos graus de liberdade e no limite termodinâmico comportam-se de tal forma que ao flutuarem de um estado <math>\mu</math> para um estado <math>\nu</math> tem-se que <math>\nu</math> difere pouco de <math>\mu</math>. Outra maneira de dizer isso é que as flutuações dessa tipo de sistema físico são muito pequenas em relação ao número de configurações possíveis e que portanto o sistema passa a maior parte do tempo alternando entre um pequeno conjunto de configurações. A consequência disso é que pode-se escolher uma estratégia de visitar com maior probabilidade apenas a fração de estados do sistema, as quais mais contribuem para atingir o equilíbrio ao invés de se visitar todos os estados indistintamente. No modelo de ferromagneto, por exemplo, com uma rede <math>10\times 10\times 10</math>, há <math>2^{1000} \simeq 10^{300}</math> configurações possíveis sendo que mesmo com um supercomputador seria impraticável realizar essa simulação. O método de Monte Carlo consiste em visitar eficientemente uma pequena fração desses estados e atingir rapidamente o equilíbrio em poucos passos e o peso que define como visitar o estado seguinte é dado pela distribuição de Boltzmann <math>e^{\beta(E_\nu-E_\mu)}</math> onde fica claro que quanto mais diferente <math>\nu</math> for de <math>\mu</math> menor a change de fazer a transição <math>\mu\to\mu</math>

Dessa forma impõe-se que no equilíbrio o sistema obedeça a distribuição de Boltzmann, portanto a condição de balanço detalhado dá liberdade na escolha de <math>P(\mu\to\nu)</math> e <math>P(\nu\to\mu)</math> desde que seja satisfeita:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\frac{g(\mu)}{g(\nu)}\frac{A(\mu\to\nu)}{A(\nu\to\mu)} = e^{\beta(E_\nu-E_\mu)}</math></div>

Uma possível escolha para <math>A(\mu\to\nu)</math> seria:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>A(\mu\to\nu)=A_0e^{-\frac{1}{2}\beta(E_\nu-E_\mu)}</math></div>

Como <math>A_0</math> é cancelada na razão entre probabilidades de aceitação temos a liberdade na sua escolha desde que mantenha a probabilidade menor ou igual a um. No modelo de Ising, por exemplo, a maior diferença de energia que se pode obter entre estados é <math>\Delta E = E_\nu-E_\mu = \pm 2zJ</math> o que significa que o maior valor de <math>e^{-\frac{1}{2}\beta(E_\nu-E_\mu)}</math> é justamente <math>e^{\beta zJ}</math>. Assim, para garantir que a probabilidade seja menor ou igual a 1 deve-se escolher <math>A_0 \le e^{-\beta zJ}</math>

Para que o algoritmo seja eficiente deseja-se que a probabilidade de aceitação seja a maior possível, pois do contrário estaríamos utilizando tempo computacional apenas para rejeitar trocas de estado. Portanto queremos que <math>A_0</math> assuma o maior valor possível <math>A_0 = e^{-\beta zJ}</math>, maximizando <math>A(\mu\to\nu)</math>:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>A(\mu\to\nu)=e^{-\frac{1}{2}\beta(E_\nu-E_\mu+2\beta z J)}</math></div>

Devido a condição de balanço detalhado, essa escolha implica:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>A(\nu\to\mu)=e^{-\beta z J}</math></div>

Metropolis percebeu que desde que a condição de balanço detalhado seja satisfeita tem-se liberdade na escolha das probabilidades de aceitação. Então ele decidiu atribuir o maior valor possível para a probabilidade de aceitação que tem o maior valor entre as duas, no caso <math>A(\nu\to\mu)</math>, ou seja:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>A(\nu\to\mu)=1</math></div>

O que implica:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>A(\mu\to\nu)=e^{-\beta(E_\nu-E_\mu)}</math></div>

Dessa forma a transição de estados sempre ocorre se <math>E_\nu < E_\mu</math> ou seja <math>\Delta E <= 0</math> mas pode ou não ocorrer caso seja <math>\Delta E > 0</math> com uma probabilidade dada por <math>e^{-\beta(E_\nu-E_\mu)}</math>. Em suma:

<math>
A(\mu\to\nu) = \begin{cases}
e^{-\beta(E_\nu-E_\mu)} \ \mbox{ se } \ E_\nu - E_\mu > 0\\
1 \ \mbox{ caso contrario}\\
\end{cases}
</math>

===Gás de rede===

Para obedecer a condição de conservação da magnetização não é permitido alterar um spin individualmente (ou um número ímpar de spins). Uma maneira de tratar a dinâmica desse sistema foi proposta por Kawasaki e consiste em simplesmente alternar o estado de spin de um par de
partículas que tenham estados de spin oposto, ou seja:

<math>
\begin{cases}
\uparrow \uparrow ou \downarrow \downarrow \quad\to\quad \text{nada a fazer} \\
\uparrow \downarrow \quad\to\quad \downarrow \uparrow\\
\downarrow \uparrow \quad\to\quad \uparrow \downarrow\\
\end{cases}
</math>

É evidente que nesse caso a mudança na magnetização é conservada pois a troca de spins resulta em variação de magnetização nula.

Cada ponto da rede possui <math>z</math> vizinhos e portanto a cada passo de iteração deve-se sortear com qual dos vizinhos será feita uma tentativa de troca de spins. Essa escolha é feita aleatoriamente (uniforme). Uma vez escolhido um vizinho deve-se decidir se a troca deve ser feita ou não. Essa decisão é tomada com base no método de Monte Carlo, em particular, com a probabilidade de aceitação de Metropolis exatamente como exposto na seção acima.

A '''ergodicidade''' é satisfeita pelo sistema pois um passo de Monte Carlo corresponde a uma troca entre vizinhos que numa rede finita pode ser efetuada a partir de outro estado qualquer em número finito de passos

Como já foi mencionado a rede possui <math>N</math> pontos e número de coordenação <math>z</math> o que resulta em <math>\frac{1}{2}zN</math> pares de primeiros vizinhos, portanto, a probabilidade de selecionar um par qualquer é dada por:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>g(\mu\to\nu) = \frac{1}{\frac{1}{2}zN} = \frac{2}{zN}</math></div>

A probabilidade de seleção <math>g(\nu\to\mu)</math> é a mesma fazendo com que esses termos se cortem na condição de balanço detalhado e permitindo que se aplique a escolha de Metropolis discutida acima sem alterações.

Para efetivamente tomar a decisão sobre a troca entre vizinhos onde <math>\Delta E</math> é necessário especificar como é feito seu cálculo. <math>\Delta E</math> é dado pela seguinte expressão:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\Delta E = E_\nu-E_\mu = 2J\left[s_k^\mu\sum_{i\not\in\{k',k\}}s_i^\mu+s_{k'}^\mu\sum_{j\not\in\{k,k'\}}s_j^\mu\right]</math></div>

Seja um ponto da rede <math>k</math> e <math>k'</math> primeiro vizinho de <math>k</math>. Deseja-se calcular a energia de interação entre esse par. A expressão acima apenas diz que deve-somar os produtos do spin de <math>k</math>, <math>(s_k)</math>, com seus primeiros vizinhos <math>s_i</math> excluindo-se da soma tanto <math>k</math> quanto <math>k'</math>. Faz-se o mesmo procedimento para <math>k'</math>, ou seja, soma-se os produtos do spin <math>k'</math>, <math>(s_{k'})</math>, com todos os seus primeiros vizinhos <math>s_j</math> exceto ele mesmo e <math>k</math>. A soma dessas duas quantidades multiplicadas por <math>2J</math> é igual a diferença de energia entre a configuração <math>\mu</math> e a <math>\nu</math>

==Simulação==

Foram simulados três sistemas diferentes os quais são discutidos a seguir. O objetivo das simulações em determinar a tendência do formato de cada interface após vários passos de monte carlo sem verificar rigorosamente se o equilíbrio foi atingido. Uma análise das condições de equilíbrio é discutida na última seção.
Todas as simulações demandam a geração de muitos números aleatórios por isso optou-se por usar Mersenne Twister que é um algoritmo veloz para geração de números aleatórios.

===Interface linear===

Esse sistema consiste rede quadrada de aresta <math>l</math>. A rede tem inicialmente sua metade inferior completamente populada por partículas.

Cada ponto da rede é visitado sequencialmente e um dos seus 4 vizinhos é sorteado para que se faça uma tentativa de troca de posição entre o par. Caso a energia do sistema diminua, a troca é feita com probabilidade 1. Caso contrário a troca ocorre com probabilidade dada pelo peso de Boltzmann (algoritmo de Metropolis).

A primeira condição de contorno refere-se às paredes superior e inferior. A ultima linha de pontos da rede possui spins apontando pra baixo permanentemente assim como a primeira linha de pontos da rede tem-se spins apontando pra cima. Para que essa configuração seja mantida ao longo da simulação, evita-se qualquer tentativa de troca entre pares envolvendo esses pontos. Essa condição de contorno garante que a interface se mantenha fixa, do contrário, ela poderia transitar pela rede.
Nas paredes laterais aplica-se condição de contorno periódica onde por exemplo um ponto da rede na coluna <math>l-1</math> pode trocar de lugar com um primeiro vizinho da coluna <math>0</math> e vice-versa.

Ao iterar pela rede é comum deparar-se com pares de vizinhos que possuem mesma orientação de spin e portanto são ignorados imediatamente pois em nada contribuem para a dinâmica do sistema.

[[Arquivo:cop500iterinstepsof10.gif|frame|center|Interface linear entre sólido e vapor. Cada frame corresponde a 10 passos de Monte Carlo de um total de 500 passos. Primeira simulação com alta temperatura <math>T > T_C</math>. Segunda simução com temperatura intermediária <math>T < T_C</math>. Terceira simulação com baixa temperatura <math>T \ll T_C</math>]]

Como observado, a alta temperatura recai-se no regime homogêneo em que a alternativa mais favorável ao sistema para minizar a sua energia é distribuir os spins up (partículas) uniformemente pela rede.
A uma temperatura abaixo da crítica percebe-se a formação de uma interface persistente entre a região inferior com densidade preferencial <math>\rho_+</math> e a superior com densidade preferencial <math>\rho_-</math> em coexistência.
Ao diminuir ainda mais a temperatura o efeito fica mais acentuado, ou seja, a interface é menos deformada em relação ao caso anterior.

===Interface circular===

Nessa sistema excluem-se as condições fixas nas paredes superior e inferior e atribui-se a elas as mesmas condições das paredes laterais, ou seja, condições de contorno periódicas onde, por exemplo, uma partícula na linha <math>l-1</math> pode trocar de lugar com sua primeira vizinha da linha <math>0</math>
Como condição inicial posiciona-se as partículas num formato quadrado no centro da rede e observa-se como o formato da interface varia ao longo da simulação. A densidade de partículas é bem menor que no exemplo anterior da interface linear.

[[Arquivo:copSquare500iterinstepsof10.gif|frame|center|Interface circular entre sólido e vapor. Cada frame corresponde a 10 passos de Monte Carlo de um total de 500 passos. Primeira simulação com alta temperatura <math>T > T_C</math>. Segunda simução com temperatura intermediária <math>T < T_C</math>. Terceira simulação com baixa temperatura <math>T \ll T_C</math>]]

A interface é energeticamente custosa pois para cada par de spins antialinhados o sistema aumenta de energia por um fator 2J e como na rede quadrada um spin da interface possui 3 vizinhos antialinhados, sistema aumenta de energia por um fator 6J. Portanto fisicamente espera-se que o sistema evolua de tal forma a minimizar a extensão da sua interface, minimizando sua tensão superficial. No caso simulado espera-se que um domínio circular seja gerado pois o círculo é a forma geométrica que possui menor perímetro. No entanto, como a simulação demonstra, mesmo pra baixas temperaturas a forma nunca é perfeitamente circular e isso se deve ao tamanho finito da rede o faz com que seu formato (da rede) influencie o formato da interface.

A animação abaixo ilustra o mesmo processo mas com menos frames por segundo permitindo acompanhar detalhes da dinâmica do sistema.

[[Arquivo:copSquare100-iloveimg-compressed.gif|frame|center|Animação com 100 passos de Monte Carlo. Primeira simulação com alta temperatura <math>T > T_C</math>. Segunda simução com temperatura intermediária <math>T < T_C</math>. Terceira simulação com baixa temperatura <math>T \ll T_C</math>]]

===Interface esférica===

A simulação da interface esférica é uma extensão direita da simulação da interface circular apenas adicionando mais uma dimensão. Cada ponto da rede agora possui 6 vizinhos ao invés de 4. Observa-se os mesmos efeitos de redução de tensão superficial pela deformação do cubo em uma região aproximadamente esférica quando a temperatura é menor que a temperatura crítica. Acima da a temperatura crítica a densidade fica homogênea como esperado.

[[Arquivo:cop3D500instepsof10.gif|frame|center|Interface esférica entre sólido e vapor. Cada frame corresponde a 10 passos de Monte Carlo de um total de 500 passos. Primeira simulação com alta temperatura <math>T > T_C</math>. Segunda simução com temperatura intermediária <math>T < T_C</math>. Terceira simulação com baixa temperatura <math>T \ll T_C</math>]]

A mesma simulação com menos partículas, vista mais distante e com uma pequena diferença na quantidade de passos.

[[Arquivo:cop3D250instepsof5round.gif|frame|center|Interface esférica entre sólido e vapor. Cada frame corresponde a 5 passos de Monte Carlo de um total de 250 passos. Primeira simulação com alta temperatura <math>T > T_C</math>. Segunda simução com temperatura intermediária <math>T < T_C</math>. Terceira simulação com baixa temperatura <math>T \ll T_C</math>]]

Introduzindo interações entre segundos vizinhos é possível reproduzir formatos de cristais cúbicos como por exemplo o cristal de face centrada ou de corpo centrado.<ref name=newman/>

==Equilíbrio==

==Códigos==

[https://github.com/diogofriggo/metcompc/blob/master/Trabalho2/COP/COP/main.c Conservação de parâmetro de ordem - Interface linear]

[https://github.com/diogofriggo/metcompc/blob/master/Trabalho2/COPSquare/COPSquare/main.c Conservação de parâmetro de ordem - Interface circular]

[https://github.com/diogofriggo/metcompc/blob/master/Trabalho2/COP3D/COP3D/main.c Conservação de parâmetro de ordem - Interface esférica]

==Bibliografia==
<references/>

Métodos computacionais

2018-01-25T00:40:45Z

Dfriggo: /* Métodos Computacionais C */

Métodos computacionais

2018-01-25T00:39:48Z

Dfriggo:

Grupo - Conservação do Parâmetro de Ordem

2018-01-25T00:29:57Z

Dfriggo:

==Introdução==

O modelo de Ising possui características universais que permitem aplicá-lo a situações diversas sendo tão versátil a ponto de descrever desde ferromagnetos até interações sociais. Dentro dessa gama de possibilidades existe o modelo de Conservação do Parâmetro de Ordem (CPO) em que, como o nome indica, mantém-se o parâmetro de ordem constante. No caso de um ferromagneto o parâmetro de ordem é a magnetização, portanto, um modelo de Ising sujeito CPO a grandeza análoga à magnetização se manteria constante a cada passo da simulação.

Apesar da estrutura matemática muito similar ao modelo de Ising, o modelo de CPO com sua simples condição de conservação do parâmetro de ordem aliado a condições de contorno permite que se modele sistemas marcadamente diferentes do tradicional sistema de ferromagneto tais como o gás de rede onde é possível estudar o comportamento de interfaces vapor-sólido ou vapor-líquido em condições de equilíbrio como por exemplo o equilíbrio entre água líquida e seu vapor ou entre gelo e vapor d'água.

O gás de rede é um modelo simplificado de um gás real onde se associa a cada ponto da rede uma partícula (átomo) ou sua ausência (vacância). Ao contrário do gás real a coordenada do movimento não é contínua, pois as partículas se movem de maneira discreta somente pelos vértices da rede.
Pode-se refinar o modelo de diversas formas:
* Atribuindo inércia às partículas
* Alterando a forma da rede (quadrada, hexagonal, fcc, bcc, cúbica)
* Incluindo partículas de tipos diferentes com interações comum a seu respectivo tipo
* Presença e/ou tipos de colisões

No entanto, uma versão simplificada (e simples de simular) desse modelo é suficiente para reproduzir qualitativamente o comportamento de interfaces.

==Teoria<ref name=newman>Newman, M. E. J.; Barkema, G. T. (1999). "Monte Carlo Methods in Statistical Physics" New York: Oxford University Press. ISBN 019-851796-3.</ref>==

No modelo simplificado do gás de rede as partículas (sem inércia), movem-se de forma aleatória sob excitação térmica e satisfazem as seguintes condições:

#O número total de partículas é fixo: nenhuma partícula deixa ou entra no sistema, portanto, caso desapareça a partícula deve reaparecer em outro ponto da rede no mesmo passo de simulação.
#Um ponto da rede pode ser ocupado por uma única partícula ou permanecer vazio (não ocupado). Essa é uma maneira grosseira de assimilar o caráter físico de repulsão do gás real onde partículas não podem interpenetrar-se devido a exclusão de Pauli.
#Se duas partículas são primeiras vizinhas uma da outra elas sentem uma atração <math>\epsilon</math> que é a mesma para qualquer par de partículas. Essa condição modela o efeito de atração entre partículas de um gás real.

As forças de atração e repulsão num gás real não possuem alcance de mesma ordem. A repulsão é de curto alcance enquanto a atração é de longo-alcance. Embora o presente modelo trate as partículas como se o alcance de repulsão e atração fossem da mesma ordem, ainda é possível extrair propriedades físicas que tem paralelo com o gás real tais como transições de fase e formato de interfaces.

A cada ponto da rede associamos o valor <math>+1</math> se houver uma partícula nesse ponto ou <math>0</math> caso contrário. Representamos essa variável por <math>\sigma_i</math>, ou seja, no iésimo ponto da rede a variável <math>\sigma_i</math> pode assumir apenas os valores <math>+1</math> ou <math>0</math>, ou resumidamente:

<math>
\begin{cases}
0, \text{ponto da rede vazio} \\
1, \text{ponto da rede ocupado} \\
\end{cases}
</math>

A conservação do número de partículas exige que se tenha:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\sum_i\sigma_i = \rho N</math> </div>

Onde <math>\rho</math> é a densidade de partículas e <math>N</math> é o número total de partículas, sendo, portanto, <math>\rho N</math> o número de pontos ocupados da rede.

O hamiltoniano do sistema é modelado a partir da condição 2 exposta acima em que é especificado que um par de primeiros vizinhos na rede contribui para a diminuição da energia do sistema por uma quantidade <math>\epsilon</math>:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\epsilon\sum_{<ij>}\sigma_i\sigma_j</math> </div>

Onde <math>\sum_{<ij>}</math> denota soma sobre todos os pares de primeiros vizinhos da rede.

===Equivalência ao modelo de Ising===

Para mostrar a equivalência com o modelo de Ising definimos a seguinte variável:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>s_i = 2\sigma_i-1</math> </div>

Essa nova variável é nada mais do que o spin no modelo de Ising para um ferromagneto assumindo os valores:
* <math>+1</math> quando <math>\sigma_i = +1</math>, ou seja, posição ocupada por partícula; ou
* <math>-1</math> quando <math>\sigma_i = 0</math>, ou seja, posição não ocupada

Em termos da variável de spin <math>\sigma_i</math> é dada por:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\sigma_i = \frac{1}{2}(s_i+1)</math> </div>

Substituindo no Hamiltoniano tem-se:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}(s_i+1)(s_j+1)</math> </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_is_j-\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_i-\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_j-\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}1</math> </div>

Seja <math>z</math> o número de coordenação da rede, ou seja, o número de primeiros vizinhos (<math>z=4</math> para rede quadrada e <math>z=6</math> para rede cúbica simples). Para uma dada rede existem <math>2 z N</math> possíveis pares distintos

Pode-se simplificar esssa expressão com base nas seguintes observações:

* Os somatórios em <math>s_i</math> e <math>s_j</math> são idênticos exceto pelo índice.
* A soma <math>\sum_{<ij>}s_i</math>sobre pares de vizinhos é equivalente a somar <math>z</math> vezes sobre o número de pontos da rede:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\sum_{<ij>}s_i = 2z\sum_{i}s_i</math></div>

* <math>\sum_i s_i</math> pode ser escrito em termos das constantes <math>\rho</math> e <math>N</math> assim como ocorre com <math>\sigma_i</math>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\sum_i\sigma_i = \rho N</math></div>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\frac{1}{2}\sum_i(s_i+1) = \rho N</math></div>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\frac{1}{2}\sum_i s_i = \rho N - \frac{1}{2}\sum_i 1</math></div>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\frac{1}{2}\sum_i s_i = \rho N - \frac{1}{2}N</math></div>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\sum_i s_i = N(2\rho - 1)</math>
</div>

Dessa forma o Hamiltoniano se reduz a:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_is_j-\frac{1}{2}z\epsilon\sum_{i}s_i-\frac{1}{4}\epsilon(2zN)</math> </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_is_j-\frac{1}{2}z\epsilon(N(2\rho-1))-\frac{1}{4}\epsilon(2zN)</math> </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_is_j-z\epsilon N\rho +\frac{1}{2}\epsilon z N-\frac{1}{2}\epsilon z N </math> </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_is_j-z\epsilon N\rho</math></div>

Seja J = <math>\frac{1}{4}\epsilon</math> e observando que <math>-z\epsilon N\rho</math> é uma constante pois todos seus termos são constantes, chegamos na equivalência com o Hamiltoniano do modelo de Ising na ausência de campo magnético:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -J\sum_{<ij>}s_is_j + ctc = H^{Ising}_{B=0} + ctc</math></div>

O valor esperado <math><Q></math> de qualquer quantidade física <math>Q</math> não é alterado pela adição de uma constante ao hamiltoniano:

<math><Q> = \sum_\mu Q_\mu p_\mu = \frac{\sum_\mu{Q_\mu}e^{-\beta(E_\mu + ctc)}}{\sum_\mu e^{-\beta(E_\mu + ctc)}}= \frac{e^{-\beta ctc}\sum_\mu{Q_\mu}e^{-\beta E_\mu}}{e^{-\beta ctc}\sum_\mu e^{-\beta E_\mu}} = \frac{1}{Z}\sum_\mu{Q_\mu}e^{-\beta E_\mu} = <Q></math>

===Conservação do parâmetro de ordem===

A magnetização do sistema é nada mais do que a soma de spins que já calculamos acima:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>M = \sum_i s_i = N(2\rho - 1)</math></div>

No entanto, <math>\rho</math> e <math>N</math> devem permanecer constantes durante toda a simução, isso implica que a magnetização também é sempre constante, ou seja, a magneticação é o '''parâmetro de ordem conservado''' nesse sistema fato que dá nome ao método.

É vantajoso tratar o modelo de gás de rede sob a perspectiva de um modelo de Ising pois todo o arcabouço de técnicas amplamente conhecidas e extensivamente estudadas para o modelo de Ising podem ser aplicadas.

Apesar das similaridades, o gás de rede, como definido, possui muito menos estados válidos pois não é permitido alterar a magnetização do sistema enquanto no modelo de Ising qualquer spin individual pode ser invertido sem restrições pois a magnetização não precisa se manter constante.

==Transição de fase==

Aproveitando a equivalência estabelecida entre gás de rede e o modelo de Ising sabe-se que o sistema possui uma transição de fase que ocorre a uma temperatura crítica <math>T_c</math>. Rearranjando a densidade de pontos (equivalente agora a spins up) tem-se:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>2\rho - 1 = \frac{M}{N}</math></div>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\rho = \frac{1}{2}(1+m)</math></div>

No modelo de Ising sabe-se também que abaixo da temperatura crítica existem dois valores de equilíbrio para a magnetização que são <math>+|m|</math> e <math>-|m|</math>, portanto, para favorecer a coexistência de fases tem-se que:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\frac{1}{2}(1-|m|) = \rho_- \le \rho \le \rho_+ = \frac{1}{2}(1+|m|)</math></div>

Para valores de <math>\rho</math> fora do intervalo <math>\rho_- \le \rho \le \rho_+</math> ainda é possível que uma região do sistema favoreça uma das duas densidades preferenciais. Suponha que se tenha <math>\rho < \rho_-</math>. Nesse caso o sistema possui menos partículas do que precisa pra atingir o a densidade <math>\rho_+</math>. Ainda que localmente seja possível o sistema atingir a densidade <math>\rho_+</math> isso leva a uma falta ainda maior de partículas em outras regiões do sistema sendo, portanto, energeticamente custoso. A opção energeticamente mais favorável adotada pelo sistema é distribuir as poucas partículas homegeneamente pela rede. Esse comportamento é observado na simulação.

Dessa forma, no caso de <math>J>0</math> o sistema possui duas fases:
* Uma em que <math>\rho\in[\rho_-,\rho_+]</math> se dividindo em dois domínios cada qual favorecendo uma das duas densidades <math>\pm\rho</math>
* E outra em que <math>\rho\not\in[\rho_-,\rho_+]</math> tendo densidade homogênea

Com <math>\rho</math> sujeito ao intervalo <math>\frac{1}{2}(1-|m|) \le \rho \le \frac{1}{2}(1+|m|)</math> conclui-se que <math>/rho</math> pode assumir um intervalo menor de valores a medida que <math>|m|</math> diminui. A magnetização diminui sob o aumento da temperatura. Acima da temperatura crítica a <math>|m|=0</math> e portanto o intervalo <math>\frac{1}{2}(1-|m|) \le \rho \le \frac{1}{2}(1+|m|)</math> reduz-se a zero evidenciando que não existe mais um valor de <math>\rho</math> que evite a homogeinização da rede.

A discussão acima pode ser apresentada resumidamente pelo diagrama de fases:

[[Arquivo:Cop_phase_diagram.png|frame|50px|center|Diagrama de fases do modelo CPO. Fase homogênea para temperaturas além da temperatura crítica e fase coexistente abaixo com densidades preferenciais <math>\rho_+</math> e <math>\rho_-</math>]]

Esse comportamento é observado quando se diminui a temperatura de vapor d'agua que passa a formar gotas líquidas que coexistem com o vapor para um intervalo de temperaturas. A fase condensada do gás de rede, no entanto, é mais adequadamente interpretada como um sólido devido a posição fixa das partículas (análogas a moléculas ou átomos) na rede, dessa forma, falamos de interface vapor/sólido ao invés de vapor/líquido.

==Implementação<ref name=krauth>Krauth, Werner (2006). "Statiscal Mechanics: Algorithms and Computations" New York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-851535-7.</ref>==

Sistemas físicos em equilíbrio com muitos graus de liberdade e no limite termodinâmico comportam-se de tal forma que ao flutuarem de um estado <math>\mu</math> para um estado <math>\nu</math> tem-se que <math>\nu</math> difere pouco de <math>\mu</math>. Outra maneira de dizer isso é que as flutuações dessa tipo de sistema físico são muito pequenas em relação ao número de configurações possíveis e que portanto o sistema passa a maior parte do tempo alternando entre um pequeno conjunto de configurações. A consequência disso é que pode-se escolher uma estratégia de visitar com maior probabilidade apenas a fração de estados do sistema, as quais mais contribuem para atingir o equilíbrio ao invés de se visitar todos os estados indistintamente. No modelo de ferromagneto, por exemplo, com uma rede <math>10\times 10\times 10</math>, há <math>2^{1000} \simeq 10^{300}</math> configurações possíveis sendo que mesmo com um supercomputador seria impraticável realizar essa simulação. O método de Monte Carlo consiste em visitar eficientemente uma pequena fração desses estados e atingir rapidamente o equilíbrio em poucos passos e o peso que define como visitar o estado seguinte é dado pela distribuição de Boltzmann <math>e^{\beta(E_\nu-E_\mu)}</math> onde fica claro que quanto mais diferente <math>\nu</math> for de <math>\mu</math> menor a change de fazer a transição <math>\mu\to\mu</math>

Dessa forma impõe-se que no equilíbrio o sistema obedeça a distribuição de Boltzmann, portanto a condição de balanço detalhado dá liberdade na escolha de <math>P(\mu\to\nu)</math> e <math>P(\nu\to\mu)</math> desde que seja satisfeita:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\frac{g(\mu)}{g(\nu)}\frac{A(\mu\to\nu)}{A(\nu\to\mu)} = e^{\beta(E_\nu-E_\mu)}</math></div>

Uma possível escolha para <math>A(\mu\to\nu)</math> seria:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>A(\mu\to\nu)=A_0e^{-\frac{1}{2}\beta(E_\nu-E_\mu)}</math></div>

Como <math>A_0</math> é cancelada na razão entre probabilidades de aceitação temos a liberdade na sua escolha desde que mantenha a probabilidade menor ou igual a um. No modelo de Ising, por exemplo, a maior diferença de energia que se pode obter entre estados é <math>\Delta E = E_\nu-E_\mu = \pm 2zJ</math> o que significa que o maior valor de <math>e^{-\frac{1}{2}\beta(E_\nu-E_\mu)}</math> é justamente <math>e^{\beta zJ}</math>. Assim, para garantir que a probabilidade seja menor ou igual a 1 deve-se escolher <math>A_0 \le e^{-\beta zJ}</math>

Para que o algoritmo seja eficiente deseja-se que a probabilidade de aceitação seja a maior possível, pois do contrário estaríamos utilizando tempo computacional apenas para rejeitar trocas de estado. Portanto queremos que <math>A_0</math> assuma o maior valor possível <math>A_0 = e^{-\beta zJ}</math>, maximizando <math>A(\mu\to\nu)</math>:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>A(\mu\to\nu)=e^{-\frac{1}{2}\beta(E_\nu-E_\mu+2\beta z J)}</math></div>

Devido a condição de balanço detalhado, essa escolha implica:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>A(\nu\to\mu)=e^{-\beta z J}</math></div>

Metropolis percebeu que desde que a condição de balanço detalhado seja satisfeita tem-se liberdade na escolha das probabilidades de aceitação. Então ele decidiu atribuir o maior valor possível para a probabilidade de aceitação que tem o maior valor entre as duas, no caso <math>A(\nu\to\mu)</math>, ou seja:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>A(\nu\to\mu)=1</math></div>

O que implica:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>A(\mu\to\nu)=e^{-\beta(E_\nu-E_\mu)}</math></div>

Dessa forma a transição de estados sempre ocorre se <math>E_\nu < E_\mu</math> ou seja <math>\Delta E <= 0</math> mas pode ou não ocorrer caso seja <math>\Delta E > 0</math> com uma probabilidade dada por <math>e^{-\beta(E_\nu-E_\mu)}</math>. Em suma:

<math>
A(\mu\to\nu) = \begin{cases}
e^{-\beta(E_\nu-E_\mu)} \ \mbox{ se } \ E_\nu - E_\mu > 0\\
1 \ \mbox{ caso contrario}\\
\end{cases}
</math>

===Gás de rede===

Para obedecer a condição de conservação da magnetização não é permitido alterar um spin individualmente (ou um número ímpar de spins). Uma maneira de tratar a dinâmica desse sistema foi proposta por Kawasaki e consiste em simplesmente alternar o estado de spin de um par de
partículas que tenham estados de spin oposto, ou seja:

<math>
\begin{cases}
\uparrow \uparrow ou \downarrow \downarrow \quad\to\quad \text{nada a fazer} \\
\uparrow \downarrow \quad\to\quad \downarrow \uparrow\\
\downarrow \uparrow \quad\to\quad \uparrow \downarrow\\
\end{cases}
</math>

É evidente que nesse caso a mudança na magnetização é conservada pois a troca de spins resulta em variação de magnetização nula.

Cada ponto da rede possui <math>z</math> vizinhos e portanto a cada passo de iteração deve-se sortear com qual dos vizinhos será feita uma tentativa de troca de spins. Essa escolha é feita aleatoriamente (uniforme). Uma vez escolhido um vizinho deve-se decidir se a troca deve ser feita ou não. Essa decisão é tomada com base no método de Monte Carlo, em particular, com a probabilidade de aceitação de Metropolis exatamente como exposto na seção acima.

A '''ergodicidade''' é satisfeita pelo sistema pois um passo de Monte Carlo corresponde a uma troca entre vizinhos que numa rede finita pode ser efetuada a partir de outro estado qualquer em número finito de passos

Como já foi mencionado a rede possui <math>N</math> pontos e número de coordenação <math>z</math> o que resulta em <math>\frac{1}{2}zN</math> pares de primeiros vizinhos, portanto, a probabilidade de selecionar um par qualquer é dada por:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>g(\mu\to\nu) = \frac{1}{\frac{1}{2}zN} = \frac{2}{zN}</math></div>

A probabilidade de seleção <math>g(\nu\to\mu)</math> é a mesma fazendo com que esses termos se cortem na condição de balanço detalhado e permitindo que se aplique a escolha de Metropolis discutida acima sem alterações.

Para efetivamente tomar a decisão sobre a troca entre vizinhos onde <math>\Delta E</math> é necessário especificar como é feito seu cálculo. <math>\Delta E</math> é dado pela seguinte expressão:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\Delta E = E_\nu-E_\mu = 2J\left[s_k^\mu\sum_{i\not\in\{k',k\}}s_i^\mu+s_{k'}^\mu\sum_{j\not\in\{k,k'\}}s_j^\mu\right]</math></div>

Seja um ponto da rede <math>k</math> e <math>k'</math> primeiro vizinho de <math>k</math>. Deseja-se calcular a energia de interação entre esse par. A expressão acima apenas diz que deve-somar os produtos do spin de <math>k</math>, <math>(s_k)</math>, com seus primeiros vizinhos <math>s_i</math> excluindo-se da soma tanto <math>k</math> quanto <math>k'</math>. Faz-se o mesmo procedimento para <math>k'</math>, ou seja, soma-se os produtos do spin <math>k'</math>, <math>(s_{k'})</math>, com todos os seus primeiros vizinhos <math>s_j</math> exceto ele mesmo e <math>k</math>. A soma dessas duas quantidades multiplicadas por <math>2J</math> é igual a diferença de energia entre a configuração <math>\mu</math> e a <math>\nu</math>

==Simulação==

Foram simulados três sistemas diferentes os quais são discutidos a seguir. O objetivo das simulações em determinar a tendência do formato de cada interface após vários passos de monte carlo sem verificar rigorosamente se o equilíbrio foi atingido. Uma análise das condições de equilíbrio é discutida na última seção.
Todas as simulações demandam a geração de muitos números aleatórios por isso optou-se por usar Mersenne Twister que é um algoritmo veloz para geração de números aleatórios.

===Interface linear===

Esse sistema consiste rede quadrada de aresta <math>l</math>. A rede tem inicialmente sua metade inferior completamente populada por partículas.

Cada ponto da rede é visitado sequencialmente e um dos seus 4 vizinhos é sorteado para que se faça uma tentativa de troca de posição entre o par. Caso a energia do sistema diminua, a troca é feita com probabilidade 1. Caso contrário a troca ocorre com probabilidade dada pelo peso de Boltzmann (algoritmo de Metropolis).

A primeira condição de contorno refere-se às paredes superior e inferior. A ultima linha de pontos da rede possui spins apontando pra baixo permanentemente assim como a primeira linha de pontos da rede tem-se spins apontando pra cima. Para que essa configuração seja mantida ao longo da simulação, evita-se qualquer tentativa de troca entre pares envolvendo esses pontos. Essa condição de contorno garante que a interface se mantenha fixa, do contrário, ela poderia transitar pela rede.
Nas paredes laterais aplica-se condição de contorno periódica onde por exemplo um ponto da rede na coluna <math>l-1</math> pode trocar de lugar com um primeiro vizinho da coluna <math>0</math> e vice-versa.

Ao iterar pela rede é comum deparar-se com pares de vizinhos que possuem mesma orientação de spin e portanto são ignorados imediatamente pois em nada contribuem para a dinâmica do sistema.

[[Arquivo:cop500iterinstepsof10.gif|frame|center|Interface linear entre sólido e vapor. Cada frame corresponde a 10 passos de Monte Carlo de um total de 500 passos. Primeira simulação com alta temperatura <math>T > T_C</math>. Segunda simução com temperatura intermediária <math>T < T_C</math>. Terceira simulação com baixa temperatura <math>T \ll T_C</math>]]

Como observado, a alta temperatura recai-se no regime homogêneo em que a alternativa mais favorável ao sistema para minizar a sua energia é distribuir os spins up (partículas) uniformemente pela rede.
A uma temperatura abaixo da crítica percebe-se a formação de uma interface persistente entre a região inferior com densidade preferencial <math>\rho_+</math> e a superior com densidade preferencial <math>\rho_-</math> em coexistência.
Ao diminuir ainda mais a temperatura o efeito fica mais acentuado, ou seja, a interface é menos deformada em relação ao caso anterior.

===Interface circular===

Nessa sistema excluem-se as condições fixas nas paredes superior e inferior e atribui-se a elas as mesmas condições das paredes laterais, ou seja, condições de contorno periódicas onde, por exemplo, uma partícula na linha <math>l-1</math> pode trocar de lugar com sua primeira vizinha da linha <math>0</math>
Como condição inicial posiciona-se as partículas num formato quadrado no centro da rede e observa-se como o formato da interface varia ao longo da simulação. A densidade de partículas é bem menor que no exemplo anterior da interface linear.

[[Arquivo:copSquare500iterinstepsof10.gif|frame|center|Interface circular entre sólido e vapor. Cada frame corresponde a 10 passos de Monte Carlo de um total de 500 passos. Primeira simulação com alta temperatura <math>T > T_C</math>. Segunda simução com temperatura intermediária <math>T < T_C</math>. Terceira simulação com baixa temperatura <math>T \ll T_C</math>]]

A interface é energeticamente custosa pois para cada par de spins antialinhados o sistema aumenta de energia por um fator 2J e como na rede quadrada um spin da interface possui 3 vizinhos antialinhados, sistema aumenta de energia por um fator 6J. Portanto fisicamente espera-se que o sistema evolua de tal forma a minimizar a extensão da sua interface, minimizando sua tensão superficial. No caso simulado espera-se que um domínio circular seja gerado pois o círculo é a forma geométrica que possui menor perímetro. No entanto, como a simulação demonstra, mesmo pra baixas temperaturas a forma nunca é perfeitamente circular e isso se deve ao tamanho finito da rede o faz com que seu formato (da rede) influencie o formato da interface.

A animação abaixo ilustra o mesmo processo mas com menos frames por segundo permitindo acompanhar detalhes da dinâmica do sistema.

[[Arquivo:copSquare100-iloveimg-compressed.gif|frame|center|Animação com 100 passos de Monte Carlo. Primeira simulação com alta temperatura <math>T > T_C</math>. Segunda simução com temperatura intermediária <math>T < T_C</math>. Terceira simulação com baixa temperatura <math>T \ll T_C</math>]]

===Interface esférica===

A simulação da interface esférica é uma extensão direita da simulação da interface circular apenas adicionando mais uma dimensão. Cada ponto da rede agora possui 6 vizinhos ao invés de 4. Observa-se os mesmos efeitos de redução de tensão superficial pela deformação do cubo em uma região aproximadamente esférica quando a temperatura é menor que a temperatura crítica. Acima da a temperatura crítica a densidade fica homogênea como esperado.

[[Arquivo:cop3D500instepsof10.gif|frame|center|Interface esférica entre sólido e vapor. Cada frame corresponde a 10 passos de Monte Carlo de um total de 500 passos. Primeira simulação com alta temperatura <math>T > T_C</math>. Segunda simução com temperatura intermediária <math>T < T_C</math>. Terceira simulação com baixa temperatura <math>T \ll T_C</math>]]

A mesma simulação com menos partículas, vista mais distante e com uma pequena diferença na quantidade de passos.

[[Arquivo:cop3D250instepsof5round.gif|frame|center|Interface esférica entre sólido e vapor. Cada frame corresponde a 5 passos de Monte Carlo de um total de 250 passos. Primeira simulação com alta temperatura <math>T > T_C</math>. Segunda simução com temperatura intermediária <math>T < T_C</math>. Terceira simulação com baixa temperatura <math>T \ll T_C</math>]]

Introduzindo interações entre segundos vizinhos é possível reproduzir formatos de cristais cúbicos como por exemplo o cristal de face centrada ou de corpo centrado.<ref name=newman/>

==Equilíbrio==

==Códigos==

[https://github.com/diogofriggo/metcompc/blob/master/Trabalho2/COP/COP/main.c Conservação de parâmetro de ordem - Interface linear]

[https://github.com/diogofriggo/metcompc/blob/master/Trabalho2/COPSquare/COPSquare/main.c Conservação de parâmetro de ordem - Interface circular]

[https://github.com/diogofriggo/metcompc/blob/master/Trabalho2/COP3D/COP3D/main.c Conservação de parâmetro de ordem - Interface esférica]

==Bibliografia==
<references/>

Grupo - Conservação do Parâmetro de Ordem

2018-01-24T23:16:32Z

Dfriggo:

==Introdução==

O modelo de Ising possui características universais que permitem aplicá-lo a situações diversas sendo tão versátil a ponto de descrever desde ferromagnetos até interações sociais. Dentro dessa gama de possibilidades existe o modelo de Conservação do Parâmetro de Ordem (CPO) em que, como o nome indica, mantém-se o parâmetro de ordem constante. No caso de um ferromagneto o parâmetro de ordem é a magnetização, portanto, um modelo de Ising sujeito CPO a grandeza análoga à magnetização se manteria constante a cada passo da simulação.

Apesar da estrutura matemática muito similar ao modelo de Ising, o modelo de CPO com sua simples condição de conservação do parâmetro de ordem aliado a condições de contorno permite que se modele sistemas marcadamente diferentes do tradicional sistema de ferromagneto tais como o gás de rede onde é possível estudar o comportamento de interfaces vapor-sólido ou vapor-líquido em condições de equilíbrio como por exemplo o equilíbrio entre água líquida e seu vapor ou entre gelo e vapor d'água.

O gás de rede é um modelo simplificado de um gás real onde se associa a cada ponto da rede uma partícula (átomo) ou sua ausência (vacância). Ao contrário do gás real a coordenada do movimento não é contínua, pois as partículas se movem de maneira discreta somente pelos vértices da rede.
Pode-se refinar o modelo de diversas formas:
* Atribuindo inércia às partículas
* Alterando a forma da rede (quadrada, hexagonal, fcc, bcc, cúbica)
* Incluindo partículas de tipos diferentes com interações comum a seu respectivo tipo
* Presença e/ou tipos de colisões

No entanto, uma versão simplificada (e simples de simular) desse modelo é suficiente para reproduzir qualitativamente o comportamento de interfaces.

==Teoria==

No modelo simplificado do gás de rede as partículas (sem inércia), movem-se de forma aleatória sob excitação térmica e satisfazem as seguintes condições:

#O número total de partículas é fixo: nenhuma partícula deixa ou entra no sistema, portanto, caso desapareça a partícula deve reaparecer em outro ponto da rede no mesmo passo de simulação.
#Um ponto da rede pode ser ocupado por uma única partícula ou permanecer vazio (não ocupado). Essa é uma maneira grosseira de assimilar o caráter físico de repulsão do gás real onde partículas não podem interpenetrar-se devido a exclusão de Pauli.
#Se duas partículas são primeiras vizinhas uma da outra elas sentem uma atração <math>\epsilon</math> que é a mesma para qualquer par de partículas. Essa condição modela o efeito de atração entre partículas de um gás real.

As forças de atração e repulsão num gás real não possuem alcance de mesma ordem. A repulsão é de curto alcance enquanto a atração é de longo-alcance. Embora o presente modelo trate as partículas como se o alcance de repulsão e atração fossem da mesma ordem, ainda é possível extrair propriedades físicas que tem paralelo com o gás real tais como transições de fase e formato de interfaces.

A cada ponto da rede associamos o valor <math>+1</math> se houver uma partícula nesse ponto ou <math>0</math> caso contrário. Representamos essa variável por <math>\sigma_i</math>, ou seja, no iésimo ponto da rede a variável <math>\sigma_i</math> pode assumir apenas os valores <math>+1</math> ou <math>0</math>, ou resumidamente:

<math>
\begin{cases}
0, \text{ponto da rede vazio} \\
1, \text{ponto da rede ocupado} \\
\end{cases}
</math>

A conservação do número de partículas exige que se tenha:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\sum_i\sigma_i = \rho N</math> </div>

Onde <math>\rho</math> é a densidade de partículas e <math>N</math> é o número total de partículas, sendo, portanto, <math>\rho N</math> o número de pontos ocupados da rede.

O hamiltoniano do sistema é modelado a partir da condição 2 exposta acima em que é especificado que um par de primeiros vizinhos na rede contribui para a diminuição da energia do sistema por uma quantidade <math>\epsilon</math>:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\epsilon\sum_{<ij>}\sigma_i\sigma_j</math> </div>

Onde <math>\sum_{<ij>}</math> denota soma sobre todos os pares de primeiros vizinhos da rede.

===Equivalência ao modelo de Ising===

Para mostrar a equivalência com o modelo de Ising definimos a seguinte variável:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>s_i = 2\sigma_i-1</math> </div>

Essa nova variável é nada mais do que o spin no modelo de Ising para um ferromagneto assumindo os valores:
* <math>+1</math> quando <math>\sigma_i = +1</math>, ou seja, posição ocupada por partícula; ou
* <math>-1</math> quando <math>\sigma_i = 0</math>, ou seja, posição não ocupada

Em termos da variável de spin <math>\sigma_i</math> é dada por:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\sigma_i = \frac{1}{2}(s_i+1)</math> </div>

Substituindo no Hamiltoniano tem-se:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}(s_i+1)(s_j+1)</math> </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_is_j-\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_i-\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_j-\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}1</math> </div>

Seja <math>z</math> o número de coordenação da rede, ou seja, o número de primeiros vizinhos (<math>z=4</math> para rede quadrada e <math>z=6</math> para rede cúbica simples). Para uma dada rede existem <math>2 z N</math> possíveis pares distintos

Pode-se simplificar esssa expressão com base nas seguintes observações:

* Os somatórios em <math>s_i</math> e <math>s_j</math> são idênticos exceto pelo índice.
* A soma <math>\sum_{<ij>}s_i</math>sobre pares de vizinhos é equivalente a somar <math>z</math> vezes sobre o número de pontos da rede:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\sum_{<ij>}s_i = 2z\sum_{i}s_i</math></div>

* <math>\sum_i s_i</math> pode ser escrito em termos das constantes <math>\rho</math> e <math>N</math> assim como ocorre com <math>\sigma_i</math>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\sum_i\sigma_i = \rho N</math></div>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\frac{1}{2}\sum_i(s_i+1) = \rho N</math></div>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\frac{1}{2}\sum_i s_i = \rho N - \frac{1}{2}\sum_i 1</math></div>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\frac{1}{2}\sum_i s_i = \rho N - \frac{1}{2}N</math></div>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\sum_i s_i = N(2\rho - 1)</math>
</div>

Dessa forma o Hamiltoniano se reduz a:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_is_j-\frac{1}{2}z\epsilon\sum_{i}s_i-\frac{1}{4}\epsilon(2zN)</math> </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_is_j-\frac{1}{2}z\epsilon(N(2\rho-1))-\frac{1}{4}\epsilon(2zN)</math> </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_is_j-z\epsilon N\rho +\frac{1}{2}\epsilon z N-\frac{1}{2}\epsilon z N </math> </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}s_is_j-z\epsilon N\rho</math></div>

Seja J = <math>\frac{1}{4}\epsilon</math> e observando que <math>-z\epsilon N\rho</math> é uma constante pois todos seus termos são constantes, chegamos na equivalência com o Hamiltoniano do modelo de Ising na ausência de campo magnético:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -J\sum_{<ij>}s_is_j + ctc = H^{Ising}_{B=0} + ctc</math></div>

O valor esperado <math><Q></math> de qualquer quantidade física <math>Q</math> não é alterado pela adição de uma constante ao hamiltoniano:

<math><Q> = \sum_\mu Q_\mu p_\mu = \frac{\sum_\mu{Q_\mu}e^{-\beta(E_\mu + ctc)}}{\sum_\mu e^{-\beta(E_\mu + ctc)}}= \frac{e^{-\beta ctc}\sum_\mu{Q_\mu}e^{-\beta E_\mu}}{e^{-\beta ctc}\sum_\mu e^{-\beta E_\mu}} = \frac{1}{Z}\sum_\mu{Q_\mu}e^{-\beta E_\mu} = <Q></math>

===Conservação do parâmetro de ordem===

A magnetização do sistema é nada mais do que a soma de spins que já calculamos acima:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>M = \sum_i s_i = N(2\rho - 1)</math></div>

No entanto, <math>\rho</math> e <math>N</math> devem permanecer constantes durante toda a simução, isso implica que a magnetização também é sempre constante, ou seja, a magneticação é o '''parâmetro de ordem conservado''' nesse sistema fato que dá nome ao método.

É vantajoso tratar o modelo de gás de rede sob a perspectiva de um modelo de Ising pois todo o arcabouço de técnicas amplamente conhecidas e extensivamente estudadas para o modelo de Ising podem ser aplicadas.

Apesar das similaridades, o gás de rede, como definido, possui muito menos estados válidos pois não é permitido alterar a magnetização do sistema enquanto no modelo de Ising qualquer spin individual pode ser invertido sem restrições pois a magnetização não precisa se manter constante.

==Transição de fase==

Aproveitando a equivalência estabelecida entre gás de rede e o modelo de Ising sabe-se que o sistema possui uma transição de fase que ocorre a uma temperatura crítica <math>T_c</math>. Rearranjando a densidade de pontos (equivalente agora a spins up) tem-se:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>2\rho - 1 = \frac{M}{N}</math></div>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\rho = \frac{1}{2}(1+m)</math></div>

No modelo de Ising sabe-se também que abaixo da temperatura crítica existem dois valores de equilíbrio para a magnetização que são <math>+|m|</math> e <math>-|m|</math>, portanto, para favorecer a coexistência de fases tem-se que:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\frac{1}{2}(1-|m|) = \rho_- \le \rho \le \rho_+ = \frac{1}{2}(1+|m|)</math></div>

Para valores de <math>\rho</math> fora do intervalo <math>\rho_- \le \rho \le \rho_+</math> ainda é possível que uma região do sistema favoreça uma das duas densidades preferenciais. Suponha que se tenha <math>\rho < \rho_-</math>. Nesse caso o sistema possui menos partículas do que precisa pra atingir o a densidade <math>\rho_+</math>. Ainda que localmente seja possível o sistema atingir a densidade <math>\rho_+</math> isso leva a uma falta ainda maior de partículas em outras regiões do sistema sendo, portanto, energeticamente custoso. A opção energeticamente mais favorável adotada pelo sistema é distribuir as poucas partículas homegeneamente pela rede. Esse comportamento é observado na simulação.

Dessa forma, no caso de <math>J>0</math> o sistema possui duas fases:
* Uma em que <math>\rho\in[\rho_-,\rho_+]</math> se dividindo em dois domínios cada qual favorecendo uma das duas densidades <math>\pm\rho</math>
* E outra em que <math>\rho\not\in[\rho_-,\rho_+]</math> tendo densidade homogênea

Com <math>\rho</math> sujeito ao intervalo <math>\frac{1}{2}(1-|m|) \le \rho \le \frac{1}{2}(1+|m|)</math> conclui-se que <math>/rho</math> pode assumir um intervalo menor de valores a medida que <math>|m|</math> diminui. A magnetização diminui sob o aumento da temperatura. Acima da temperatura crítica a <math>|m|=0</math> e portanto o intervalo <math>\frac{1}{2}(1-|m|) \le \rho \le \frac{1}{2}(1+|m|)</math> reduz-se a zero evidenciando que não existe mais um valor de <math>\rho</math> que evite a homogeinização da rede.

A discussão acima pode ser apresentada resumidamente pelo diagrama de fases:

[[Arquivo:Cop_phase_diagram.png|frame|50px|center|Diagrama de fases do modelo CPO. Fase homogênea para temperaturas além da temperatura crítica e fase coexistente abaixo com densidades preferenciais <math>\rho_+</math> e <math>\rho_-</math>]]

Esse comportamento é observado quando se diminui a temperatura de vapor d'agua que passa a formar gotas líquidas que coexistem com o vapor para um intervalo de temperaturas. A fase condensada do gás de rede, no entanto, é mais adequadamente interpretada como um sólido devido a posição fixa das partículas (análogas a moléculas ou átomos) na rede, dessa forma, falamos de interface vapor/sólido ao invés de vapor/líquido.

==Implementação==

Sistemas físicos em equilíbrio com muitos graus de liberdade e no limite termodinâmico comportam-se de tal forma que ao flutuarem de um estado <math>\mu</math> para um estado <math>\nu</math> tem-se que <math>\nu</math> difere pouco de <math>\mu</math>. Outra maneira de dizer isso é que as flutuações dessa tipo de sistema físico são muito pequenas em relação ao número de configurações possíveis e que portanto o sistema passa a maior parte do tempo alternando entre um pequeno conjunto de configurações. A consequência disso é que pode-se escolher uma estratégia de visitar com maior probabilidade apenas a fração de estados do sistema, as quais mais contribuem para atingir o equilíbrio ao invés de se visitar todos os estados indistintamente. No modelo de ferromagneto, por exemplo, com uma rede <math>10\times 10\times 10</math>, há <math>2^{1000} \simeq 10^{300}</math> configurações possíveis sendo que mesmo com um supercomputador seria impraticável realizar essa simulação. O método de Monte Carlo consiste em visitar eficientemente uma pequena fração desses estados e atingir rapidamente o equilíbrio em poucos passos e o peso que define como visitar o estado seguinte é dado pela distribuição de Boltzmann <math>e^{\beta(E_\nu-E_\mu)}</math> onde fica claro que quanto mais diferente <math>\nu</math> for de <math>\mu</math> menor a change de fazer a transição <math>\mu\to\mu</math>

Dessa forma impõe-se que no equilíbrio o sistema obedeça a distribuição de Boltzmann, portanto a condição de balanço detalhado dá liberdade na escolha de <math>P(\mu\to\nu)</math> e <math>P(\nu\to\mu)</math> desde que seja satisfeita:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\frac{g(\mu)}{g(\nu)}\frac{A(\mu\to\nu)}{A(\nu\to\mu)} = e^{\beta(E_\nu-E_\mu)}</math></div>

Uma possível escolha para <math>A(\mu\to\nu)</math> seria:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>A(\mu\to\nu)=A_0e^{-\frac{1}{2}\beta(E_\nu-E_\mu)}</math></div>

Como <math>A_0</math> é cancelada na razão entre probabilidades de aceitação temos a liberdade na sua escolha desde que mantenha a probabilidade menor ou igual a um. No modelo de Ising, por exemplo, a maior diferença de energia que se pode obter entre estados é <math>\Delta E = E_\nu-E_\mu = \pm 2zJ</math> o que significa que o maior valor de <math>e^{-\frac{1}{2}\beta(E_\nu-E_\mu)}</math> é justamente <math>e^{\beta zJ}</math>. Assim, para garantir que a probabilidade seja menor ou igual a 1 deve-se escolher <math>A_0 \le e^{-\beta zJ}</math>

Para que o algoritmo seja eficiente deseja-se que a probabilidade de aceitação seja a maior possível, pois do contrário estaríamos utilizando tempo computacional apenas para rejeitar trocas de estado. Portanto queremos que <math>A_0</math> assuma o maior valor possível <math>A_0 = e^{\beta zJ}</math>, maximizando <math>A(\mu\to\nu)</math>:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>A(\mu\to\nu)=e^{-\frac{1}{2}\beta(E_\nu-E_\mu+2\beta z J)}</math></div>

Devido a condição de balanço detalhado, essa escolha implica:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>A(\nu\to\mu)=e^{-\beta z J}</math></div>

Metropolis percebeu que desde que a condição de balanço detalhado seja satisfeita tem-se liberdade na escolha das probabilidades de aceitação. Então ele decidiu atribuir o maior valor possível para a probabilidade de aceitação que tem o maior valor entre as duas, no caso <math>A(\nu\to\mu)</math>, ou seja:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>A(\nu\to\mu)=1</math></div>

O que implica:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>A(\mu\to\nu)=e^{-\beta(E_\nu-E_\mu)}</math></div>

Dessa forma a transição de estados sempre ocorre se <math>E_\nu < E_\mu</math> ou seja <math>\Delta E <= 0</math> mas pode ou não ocorrer caso seja <math>\Delta E > 0</math> com uma probabilidade dada por <math>e^{-\beta(E_\nu-E_\mu)}</math>. Em suma:

<math>
A(\mu\to\nu) = \begin{cases}
e^{-\beta(E_\nu-E_\mu)} \ \mbox{ se } \ E_\nu - E_\mu > 0\\
1 \ \mbox{ caso contrario}\\
\end{cases}
</math>

===Gás de rede===

Para obedecer a condição de conservação da magnetização não é permitido alterar um spin individualmente (ou um número ímpar de spins). Uma maneira de tratar a dinâmica desse sistema foi proposta por Kawasaki e consiste em simplesmente alternar o estado de spin de um par de
partículas que tenham estados de spin oposto, ou seja:

<math>
\begin{cases}
\uparrow \uparrow ou \downarrow \downarrow \quad\to\quad \text{nada a fazer} \\
\uparrow \downarrow \quad\to\quad \downarrow \uparrow\\
\downarrow \uparrow \quad\to\quad \uparrow \downarrow\\
\end{cases}
</math>

É evidente que nesse caso a mudança na magnetização é conservada pois a troca de spins resulta em variação de magnetização nula.

Cada ponto da rede possui <math>z</math> vizinhos e portanto a cada passo de iteração deve-se sortear com qual dos vizinhos será feita uma tentativa de troca de spins. Essa escolha é feita aleatoriamente (uniforme). Uma vez escolhido um vizinho deve-se decidir se a troca deve ser feita ou não. Essa decisão é tomada com base no método de Monte Carlo, em particular, com a probabilidade de aceitação de Metropolis exatamente como exposto na seção acima.

A '''ergodicidade''' é satisfeita pelo sistema pois um passo de Monte Carlo corresponde a uma troca entre vizinhos que numa rede finita pode ser efetuada a partir de outro estado qualquer em número finito de passos

Como já foi mencionado a rede possui <math>N</math> pontos e número de coordenação <math>z</math> o que resulta em <math>\frac{1}{2}zN</math> pares de primeiros vizinhos, portanto, a probabilidade de selecionar um par qualquer é dada por:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>g(\mu\to\nu) = \frac{1}{\frac{1}{2}zN} = \frac{2}{zN}</math></div>

A probabilidade de seleção <math>g(\nu\to\mu)</math> é a mesma fazendo com que esses termos se cortem na condição de balanço detalhado e permitindo que se aplique a escolha de Metropolis discutida acima sem alterações.

Para efetivamente tomar a decisão sobre a troca entre vizinhos onde <math>\Delta E</math> é necessário especificar como é feito seu cálculo. <math>\Delta E</math> é dado pela seguinte expressão:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\Delta E = E_\nu-E_\mu = 2J\left[s_k^\mu\sum_{i\not\in\{k',k\}}s_i^\mu+s_{k'}^\mu\sum_{j\not\in\{k,k'\}}s_j^\mu\right]</math></div>

Seja um ponto da rede <math>k</math> e <math>k'</math> primeiro vizinho de <math>k</math>. Deseja-se calcular a energia de interação entre esse par. A expressão acima apenas diz que deve-somar os produtos do spin de <math>k</math>, <math>(s_k)</math>, com seus primeiros vizinhos <math>s_i</math> excluindo-se da soma tanto <math>k</math> quanto <math>k'</math>. Faz-se o mesmo procedimento para <math>k'</math>, ou seja, soma-se os produtos do spin <math>k'</math>, <math>(s_{k'})</math>, com todos os seus primeiros vizinhos <math>s_j</math> exceto ele mesmo e <math>k</math>. A soma dessas duas quantidades multiplicadas por <math>2J</math> é igual a diferença de energia entre a configuração <math>\mu</math> e a <math>\nu</math>

==Simulação==

Foram simulados três sistemas diferentes os quais são discutidos a seguir. O objetivo das simulações em determinar a tendência do formato de cada interface após vários passos de monte carlo sem verificar rigorosamente se o equilíbrio foi atingido. Uma análise das condições de equilíbrio é discutida na última seção.
Todas as simulações demandam a geração de muitos números aleatórios por isso optou-se por usar Mersenne Twister que é um algoritmo veloz para geração de números aleatórios.

===Interface linear===

Esse sistema consiste rede quadrada de aresta <math>l</math>. A rede tem inicialmente sua metade inferior completamente populada por partículas.

Cada ponto da rede é visitado sequencialmente e um dos seus 4 vizinhos é sorteado para que se faça uma tentativa de troca de posição entre o par. Caso a energia do sistema diminua, a troca é feita com probabilidade 1. Caso contrário a troca ocorre com probabilidade dada pelo peso de Boltzmann (algoritmo de Metropolis).

A primeira condição de contorno refere-se às paredes superior e inferior. A ultima linha de pontos da rede possui spins apontando pra baixo permanentemente assim como a primeira linha de pontos da rede tem-se spins apontando pra cima. Para que essa configuração seja mantida ao longo da simulação, evita-se qualquer tentativa de troca entre pares envolvendo esses pontos. Essa condição de contorno garante que a interface se mantenha fixa, do contrário, ela poderia transitar pela rede.
Nas paredes laterais aplica-se condição de contorno periódica onde por exemplo um ponto da rede na coluna <math>l-1</math> pode trocar de lugar com um primeiro vizinho da coluna <math>0</math> e vice-versa.

Ao iterar pela rede é comum deparar-se com pares de vizinhos que possuem mesma orientação de spin e portanto são ignorados imediatamente pois em nada contribuem para a dinâmica do sistema.

[[Arquivo:cop500iterinstepsof10.gif|frame|center|Interface linear entre sólido e vapor. Cada frame corresponde a 10 passos de Monte Carlo de um total de 500 passos. Primeira simulação com alta temperatura <math>T > T_C</math>. Segunda simução com temperatura intermediária <math>T < T_C</math>. Terceira simulação com baixa temperatura <math>T \ll T_C</math>]]

Como observado, a alta temperatura recai-se no regime homogêneo em que a alternativa mais favorável ao sistema para minizar a sua energia é distribuir os spins up (partículas) uniformemente pela rede.
A uma temperatura abaixo da crítica percebe-se a formação de uma interface persistente entre a região inferior com densidade preferencial <math>\rho_+</math> e a superior com densidade preferencial <math>\rho_-</math> em coexistência.
Ao diminuir ainda mais a temperatura o efeito fica mais acentuado, ou seja, a interface é menos deformada em relação ao caso anterior.

===Interface circular===

Nessa sistema excluem-se as condições fixas nas paredes superior e inferior e atribui-se a elas as mesmas condições das paredes laterais, ou seja, condições de contorno periódicas onde, por exemplo, uma partícula na linha <math>l-1</math> pode trocar de lugar com sua primeira vizinha da linha <math>0</math>
Como condição inicial posiciona-se as partículas num formato quadrado no centro da rede e observa-se como o formato da interface varia ao longo da simulação. A densidade de partículas é bem menor que no exemplo anterior da interface linear.

[[Arquivo:copSquare500iterinstepsof10.gif|frame|center|Interface circular entre sólido e vapor. Cada frame corresponde a 10 passos de Monte Carlo de um total de 500 passos. Primeira simulação com alta temperatura <math>T > T_C</math>. Segunda simução com temperatura intermediária <math>T < T_C</math>. Terceira simulação com baixa temperatura <math>T \ll T_C</math>]]

A interface é energeticamente custosa e portanto espera-se do modelo que a interface adote uma forma que minimize essa energia de interface

[[Arquivo:copSquare100-iloveimg-compressed.gif|frame|center|description]]

===Interface esférica===

[[Arquivo:cop3D500instepsof10.gif|frame|center|description]]

[[Arquivo:cop3D250instepsof5.gif|frame|center|description]]

[[Arquivo:cop3D250instepsof5round.gif|frame|center|description]]

==Equilíbrio==

Grupo - Conservação do Parâmetro de Ordem

2018-01-24T22:19:07Z

Dfriggo:

Arquivo:CopSquare100-iloveimg-compressed.gif

2018-01-24T22:12:23Z

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Arquivo:Cop3D500instepsof10.gif

2018-01-24T22:08:46Z

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Arquivo:Cop3D250instepsof5round.gif

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Arquivo:Cop3D250instepsof5.gif

2018-01-24T22:07:17Z

Dfriggo:

Arquivo:CopSquare500iterinstepsof10.gif

2018-01-24T22:06:07Z

Dfriggo:

Arquivo:Cop500iterinstepsof10.gif

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Dfriggo:

Grupo - Conservação do Parâmetro de Ordem

2018-01-24T19:25:22Z

Dfriggo:

Arquivo:Cop phase diagram.png

2018-01-24T19:12:19Z

Dfriggo:

Grupo - Conservação do Parâmetro de Ordem

2018-01-24T18:09:03Z

Dfriggo:

Grupo - Conservação do Parâmetro de Ordem

2018-01-24T17:01:54Z

Dfriggo:

Métodos computacionais

2018-01-24T15:01:50Z

Dfriggo: /* Métodos Computacionais C */

Grupo - Conservação do Parâmetro de Ordem

2018-01-24T15:01:04Z

Dfriggo:

==Introdução==

O modelo de Ising possui características universais que permitem que este seja aplicado em situações diversas sendo tão versátil a ponto de descrever desde ferromagnetos até interações sociais. Dentro dessa gama de possibilidades existe o modelo de Conservação do Parâmetro de Ordem (CPO) em que, como o nome indica, mantém-se o parâmetro de ordem constante. No caso de um ferromagneto o parâmetro de ordem é a magnetização, portanto, um modelo de ferromagneto estilo CPO manteria a magnetização constante a cada passo da simulação. A simples condição de conservação do parâmetro de ordem permite que se modele sistemas marcadamente diferentes do tradicional sistema de ferromagneto tais como o modelo gás de rede que permite estudar o comportamento de interfaces vapor-sólido ou vapor-líquido em condições de equilíbrio como por exemplo o equilíbrio entre água líquida e seu vapor ou entre gelo e vapor d'água.

==Gás de rede==

O gás de rede é um modelo simplificado de um gás real onde se associa a cada ponto da rede um ponto (átomo) ou a ausência de um ponto (vacância). Ao ponto presente associamos o valor +1 e ao ausente o valor 0.

Grupo - Conservação do Parâmetro de Ordem

2018-01-24T14:42:28Z

Dfriggo: Criou página com '==Introdução== O modelo de Ising possui características universais que permitem que este seja aplicado em situações diversas sendo tão versátil a ponto de descrever de...'

Métodos computacionais

2018-01-24T14:16:12Z

Dfriggo: /* Métodos Computacionais C */

Grupo4 - FFT

2017-10-29T23:10:10Z

Dfriggo:

A Transformada rápida de Fourier (em inglês '''Fast Fourier Transform''', ou '''FFT''') é um algoritmo que torna viável o cálculo da Transformada Discreta de Fourier (DFT), que é a forma discretizada da [[https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier Transformada de Fourier]].
A '''FFT''' permite transformar de forma rápida uma série de sinais discretos em uma amostra contendo as frequências desses sinais, desde que satisfaça algumas propriedades.

== Transformada Discreta de Fourier ==

Em muitas aplicações se tem informação sobre um conjunto de dados, ao invés de uma função contínua. A '''Transformada Discreta de Fourier''' transforma esse conjunto de dados em um conjunto de tamanho igual com informação sobre as frequências da função que satisfaz o conjunto de dados.

Para um conjunto de dados igualmente espaçados, pode-se, ao considerar os dados como um período de uma função periódica, cujo período normalmente é considerado entre <math>[-\pi, \pi]</math> para facilitar o cálculo (e que pode sempre ser transformada em uma função nesse interválo), mostrar que a transformada discreta de Fourier pode ser dada pela equação:

<math>F_k = \sum_{n=0}^{N-1} f_n e^{-i2\pi nk/N}</math>

A sua inversa é, em paralelo ao caso da transformada contínua,

<math>f_n = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} F_k e^{i2\pi nk/N}</math>

A transformada também pode ser expressa em forma vetorial, como

<math>\vec{A} = \mathbf{W^{nk}} \vec{a} ~ </math> onde <math> ~ \mathbf{W^{nk}} ~ </math> é definido como

<math>\mathbf{W^{nk}} = \begin{bmatrix}
e^{-2\pi i 0\cdot0/N} & e^{-2\pi i 0\cdot1/N} & \cdots & e^{-2\pi i 0\cdot k/N}\\
e^{-2\pi i 1\cdot0/N} & e^{-2\pi i 1\cdot1/N} & \cdots & e^{-2\pi i 1\cdot k/N}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
e^{-2\pi i n\cdot0/N} & e^{-2\pi i n\cdot1/N} & \cdots & e^{-2\pi i n\cdot k/N}
\end{bmatrix}</math>

O cálculo dessa expressão leva em torno de <math>N^2</math> passos para o resultado. Uma amostra com 3,000 pontos precisa de 9,000,000 operações para a transformada ser obtida, tornando a DFT inviável para aplicações rápidas.

== Transformada Rápida de Fourier ==

É possível calcular a transformada com <math>N \log_{2} N</math> passos. Para isso se dispõe de um algoritmo chamado '''Transformada Rápida de Fourier'''.
Considera-se um conjunto de pontos <math>N = 2^p</math> (com <math>p</math> inteiro, então, da definição da DFT

<math>
F_k =\sum_{n=0}^{N-1} f_n \cdot e^{-i \frac{2 \pi}{N}\cdot k\cdot n}
</math>

podemos dividir o somatório em 2:

<math>
F_k =\color{red}\sum_{n=0}^{N/2-1} f_{2n} \cdot e^{-i \frac{2 \pi}{N}\cdot k\cdot 2n} \color{black}+ \color{blue}\sum_{n=0}^{N/2-1} f_{2n+1} \cdot e^{-i \frac{2 \pi}{N}\cdot k\cdot (2n+1)}
</math>

<math>
\color{black}F_k =\color{red}\sum_{n=0}^{N/2-1} f_{2n} \cdot e^{-i \frac{2 \pi}{N/2}\cdot k\cdot n} \color{black}+ \color{blue}e^{-i\frac{2\pi}{N}k} \sum_{n=0}^{N/2-1} f_{2n+1} \cdot e^{-i \frac{2 \pi}{N/2}\cdot k\cdot n}
</math>

<math>
\color{black}F_k =\color{red}\sum_{n=0}^{N/2-1} f_{2n} \cdot e^{-i \frac{2 \pi}{N/2}\cdot k\cdot n} \color{black}+ \color{blue}~ C(k) ~ \sum_{n=0}^{N/2-1} f_{2n+1} \cdot e^{-i \frac{2 \pi}{N/2}\cdot k\cdot n}
</math>

onde a soma em vermelho é a parte '''par''' e a soma em azul é a parte '''ímpar''' da transformada. As duas somas tem o mesmo expoente, que agora é dividido por <math>N/2</math>.
Desse expoente, é evidente a relação entre o ponto <math>k</math> e o ponto <math>k + N/2</math>

<math>e^{-i \frac{2 \pi}{N/2}\cdot k\cdot n} = e^{-i \frac{2 \pi}{N/2}\cdot (k+N/2)\cdot n} = e^{-i \frac{2 \pi}{N/2}\cdot k\cdot n} \cdot e^{-i \frac{2 \pi}{N/2}\cdot N/2\cdot n} = e^{-i \frac{2 \pi}{N/2}\cdot k\cdot n} \cdot 1</math>

Com essa relação, podemos ver que <math>F_k</math> e <math>F_{k+N/2}</math> tem o mesmo expoente e podem ser calculadas ao mesmo tempo. Mais que isso, a nova forma da transformada pode ser sucessivamente dividida, cada vez produzindo somas com limites menores.

=== Exemplo ===

Suponha que temos a função sinusoidal <math>a(t) = sin(2\pi \cdot 1Hz \cdot t)</math> e fazemos quatro medidas no intervalo de 1 segundo, resultando em

<math>a_0 = 0.00</math>
<math>a_1 = 1.00</math>
<math>a_2 = 0.00</math>
<math>a_3 = -1.00</math>

Com essas 4 medidas, podemos dividir a soma 2 vezes:

<math>A_k = \sum_{t=0}^3 a_t \cdot e^{-i \frac{2\pi}{4}\cdot k \cdot t}</math>

<math>A_k = \sum_{t_1=0}^1 a_{2t_1} \cdot e^{-i \frac{2\pi}{2}\cdot k \cdot t_1} + C_k^1\sum_{t_1=0}^1 a_{2t_1+1} \cdot e^{-i \frac{2\pi}{2}\cdot k \cdot t_1}</math>

<math>A_k = \sum_{t_2=0}^0 a_{4t_2} \cdot e^{-i \frac{2\pi}{1}\cdot k \cdot t_2} + C_k^2\sum_{t_2=0}^0 a_{4t_2+2} \cdot e^{-i \frac{2\pi}{1}\cdot k \cdot t_2} + C_k^1\sum_{t_2=0}^0 a_{4t_2+1} \cdot e^{-i \frac{2\pi}{1}\cdot k \cdot t_2} + C_k^3\sum_{t_2=0}^0 a_{4t_2+3} \cdot e^{-i \frac{2\pi}{1}\cdot k \cdot t_2}</math>

e como temos <math>C_k^j = (e^{-i\frac{2\pi}{N}k})^j</math> podemos calcular

<math>A_0 = 1.00 \cdot C_0^1 - 1.00 \cdot C_0^3 = 0.00 + i0.00</math>

<math>A_1 = 1.00 \cdot C_1^1 - 1.00 \cdot C_1^3 = 0.00 - i2.00</math>

<math>A_2 = 1.00 \cdot C_2^1 - 1.00 \cdot C_2^3 = 0.00 + i0.00</math>

<math>A_3 = 1.00 \cdot C_3^1 - 1.00 \cdot C_3^3 = 0.00 + i2.00</math>

=== FFT para N diferente de uma potência de 2 ===

Mesmo com a FFT sendo um algoritmo extremamente eficiente para <math>N = 2^p</math>, esse dificilmente é o caso que encotramos. Ainda assim, para <math>N</math> altamente composto (<math>N = r_1\cdot r_2 \cdot ... \cdot r_m</math>) o algoritmo ainda resulta em uma boa queda no tempo de cálculo.

Para o caso mais simples <math>N = r_1 \cdot r_2</math> a transformada pode ser escrita como

<math>F(k_1,k_0) = \sum_{n_0=0}^{r_2-1}\left [ \sum_{n_1=0}^{r_1-1} x(n_1,n_0) e^{-i2\pi\cdot k \cdot n_1 \cdot r_2} \right ] e^{-i2\pi \cdot k \cdot n_0}</math>

onde

<math>k = k_1 \cdot r_1 + k_0 ~~~~~~~~ k_0 = 0,1,...,r_1-1 ~~~~~~~~ k_1 = 0,1,...,r_2-1</math>

<math>n = n_1 \cdot r_2 + n_0 ~~~~~~~~ n_0 = 0,1,...,r_2-1 ~~~~~~~~ n_1 = 0,1,...,r_1-1</math>

assim a transformada que antes necessitava de N calculos, agora pode ser vista como <math>r_1 + r_2</math> calculos.

=== Algorítmo (usando recursão) ===
<math>>>\mathbf{function} ~ FFT(N,\vec{a})</math>

<math> >>> ~~~~ \mathbf{if} ~ N = 1 ~ \mathbf{then}</math>

<math> >>> ~~~~~~~~ return ~ \vec{a};</math>

<math> >>> ~~~~ \mathbf{else}</math>

<math> >>>~~~~~~~~ E = FFT(N/2, (a_0, a_2, ..., a_{N-2}));</math>

<math> >>>~~~~~~~~ O = FFT(N/2, (a_1, a_3, ..., a_{N-1}));</math>

<math> >>>~~~~~~~~ \mathbf{for} ~ k = 0 ~ to ~ k <= N/2 -1 ~ \mathbf{do}</math>

<math> >>>~~~~~~~~~~~~ A_k=E_k+exp(-i2\pi k/N) * O_k;</math>

<math> >>>~~~~~~~~~~~~ A_{k+N/2}=E_k-exp(-i2\pi k/N) * O_k;</math>

<math> >>>~~~~ return ~ \vec{A};</math>

== Implementação ==

A natureza recursiva do algoritmo da transformada rápida de fourier o torna ideal para implementações em linguagens funcionais como Haskell. Abaixo exibimos as partes mais relevantes do código, onde omitimos inclusões de bibliotecas e a definição das funções auxiliares evens e odds.

<source lang="haskell" line='line'>

--esse termo multiplica o somatório de termos ímpares
f xs n = exp $ -(0:+2*pi)*n / genericLength xs

--caso a função seja chamada com apenas dois termos, temos o caso base
ffti [x,y] n = x + y * (exp $ -(0:+pi)*n)

--caso contrário aplique a função recursivamente separando o somatório em
-- termos com índice par e com índice ímpar
ffti xs n = ffti (evens xs) n + f xs n * ffti (odds xs) n

--função que calcula os n coeficientes (ffti calcula um coeficiente)
fft xs [] = []
fft xs (y:ys) = (ffti xs y):(fft xs ys)

--exemplo
fft [0, 1, 4, 9] [0,1,2,3]

--saída ( :+ indica número complexo em Haskell)
[14.0 :+ 0.0, -4.0 :+ 8.0, -6.0 :+ 0.0, -4.0 :+ -8.0)]

</source>

Embora não seja uma linguagem puramente funcional Wolfram Mathematica também se presta a uma implementação direta e clara.

<source lang="css" line='line'>
// caso base de uma lista contendo apenas dois termos
fft[{x_, y_}, n_] := x + y Exp[-I Pi n ]
// caso contrário, divida a lista entre termos com índice ímpar e par
// e aplique a função recursivamente
fft[f_List, n_] := fft[Downsample[f, 2, 1], n] +
Exp[-((I 2 Pi n )/Length[f])] fft[Downsample[f, 2, 2], n]
//acima calcula-se com um coeficiente abaixo calcula-se todos
fft[f_List] := Table[fft[f, n] // N, {n, 0, Length[f] - 1}]

//exemplo
fft[{0, 1, 4, 9}]
{14., -4. + 8. I, -6., -4. - 8. I}

</source>

== Exemplos ==

Abaixo encontra-se alguns exemplos básicos da transformada de fourier com base no código acima porém com modificações para lidar com o caso em que o intervalo de amostragem é diferente de <math>[0, 2\pi]</math> e cuja taxa de amostragem é qualquer (diferente de <math>\frac{2\pi k}{N}</math> como assumido acima)

=== Gaussiana ===

A menos de uma normalização a função gaussiana é definida por: <math>f(x) = e^{-\frac{(x - <x>)^2}{2 \sigma^2}}</math>
Aplicando a transformada de fourier na curva gaussiana obtem-se outra gaussiana.

[[Arquivo:gaussian1.png|700px]]

Observa-se que uma curva larga no espaço real corresponde a uma curva estreita no espaço de fourier e vice-versa. Esse é um fato matemático amplamente conhecido e se exprime também na física pelo Princípio da Incerteza de Heisenberg.
Abaixo uma curva gaussiana mais larga que a anterior e sua transformada correspondentemente mais estreita.

[[Arquivo:gaussian2.png|700px]]

Uma função par em relação à origem possui uma expansão em fourier com termos ímpares nulos, no entanto, deslocando a gaussiana um pouco para a direita e, portanto, quebrando sua simetria, vemos que a sua transformada possui uma parte complexa:

[[Arquivo:gaussian3.png|700px]]

=== Oscilador Harmônico Amortecido ===

A curva que representa um oscilador harmônico amortecido é descrita por <math>f(x) = sin(a x) e^{-bx}</math> onde o termo senoidal, periódico, é amortecido pelo termo exponencial que leva a oscilação rapidamente a zero.

[[Arquivo:osch.jpg|500px]]

A transformada de fourier dessa curva possui parte real e imaginária, da parte imaginária dessa curva é possível obter a frequência de ressonância do fenômeno representado por ela. No caso abaixo vemos que a frequência de ressonância vale <math>\pm 10Hz</math>

[[Arquivo:oschim.png|500px]]

Abaixo a parte real da transformada:

[[Arquivo:oschre.png|400px]]

== Aplicações ==

=== Equação de Schrödinger: propagação de onda de probabilidade ===

O cálculo da evolução temporal da equação de schrödinger é computacionalmente exigente. A cada passo de tempo é necessário recalcular a posição da onda de probabilidade que representa a partícula em cada ponto do domínio. Portanto, torna-se vantajoso o uso da transformada de fourier rápida. Além disso a própria transformada faz parte da solução, pois também deseja-se obter a sua evolução temporal no espaço de momento. O código foi desenvolvido em python por [https://jakevdp.github.io/blog/2012/09/05/quantum-python/ Jake Vanderplas], no entanto, sob extensas modificações foi possível não apenas entender o código mas também modifica-lo para representar situações diferentes das propostas pelo autor. No site do autor encontra-se a explicação da teoria por trás do problema e também o funcionamento do algoritmo. A seguir exploramos a interação de uma onda de probabilidade com potenciais de diferentes formas.

A parte principal do código modificado é exibida abaixo. Nota-se que o autor utilizou o método Leapfrog para integrar as equações de movimento fazendo a seguinte sequência de operações: dar um meio passo no espaço real, tomar a transformada, dar um passo no espaço de momento, tomar a transformada inversa e finalmente dar um passo completo no espaço real.

<source lang="python" line='line'>
def time_step():
global t, psi_mod_x, psi_mod_k, t_max
psi_mod_x *= x_evolve_half
for i in range(N_steps):
psi_mod_k = fft(psi_mod_x)
psi_mod_k *= k_evolve
psi_mod_x = ifft(psi_mod_k)
psi_mod_x *= x_evolve_half*x_evolve_half
psi_mod_k = fft(psi_mod_x)
t += dt * N_steps
t_max = t_max - 1
</source>

O restante do código ocupa-se somente de inicialização de valores, definição do potencial e escrita dos resultados.

==== Potencial Quadrado ====

O potencial quadrado foi o exemplo escolhido pelo autor do código. Nesse exemplo fica visível que uma porção da onda de probabilidade atravessa o potencial embora classicamente não tenha energia suficiente para tal feito. Essa é uma demonstração numérica do efeito de tunelamento.

[[Arquivo:Square.gif]]

==== Potencial Triangular ====

O potencial triangular, por ter uma base mais larga, coíbe o efeito de tunelamento, no entanto, uma pequena porção da onda incidente ainda consegue transpor a barreira.

[[Arquivo:Triangular.gif]]

==== Potencial Batman ====

Em cursos básicos de quântica normalmente resolve-se apenas o potencial quadrado, às vezes, excepcionalmente, apresenta-se o potencial triangular. Isso se deve a dificuldade em tratar casos de potenciais irregulares analiticamente. Mas em casos reais os potenciais são extremamente irregulares. A solução numérica trata tais casos com naturalidade e sem qualquer alteração. Em particular, um potencial tipo batman é encarado sem problemas:

[[Arquivo:Batman.gif]]

A parte superior da curva é apenas ilustrativa (pois não faz sentido matemático nem físico)

=== Padrões de Difração ===

A transformada rápida é muito utilizada no tratamento de imagens. Software como ImageJ ou Matlab possuem muitas ferramentas que fazem uso da técnica. Uma aplicação específica da FFT é na análise de imagens de partículas nanométricas obtidas por um microscópio eletrônico de transmissão. Esse equipamento produz um interferograma que (a menos de correções) representa a imagem real do que se está observando mas também produz uma segunda imagem, localizada no ponto focal da lente, que é o padrão de difração da imagem real. Essa imagem é uma visualização do espaço recíproco, ou seja, da transformada do espaço real.

Abaixo está uma imagem de um plano de átomos de ouro obtida por um microscópio de transmissão eletrônica com uma escala de 2 nanômetros na qual destacamos uma região (quadrado vermelho) na qual tomaremos a transformada de fourier. A imagem em si é representada por uma matrix 800x800 onde cada elemento da matrix é um valor de intensidade sendo 0 para totalmente escuro e 255 para totalmente claro.

[[Arquivo:Region.png|600px]]

Utilizando, por exemplo o software Matlab podemos tomar a transformada inversa dessa imagem. A transformada de fourier produz o padrão de difração que revela a periodicidade da imagem.
O código em Matlab é bem simples:

<source lang="python" line='line'>
function imagefft(I)
F = fft2(I);
F = fftshift(F); % centraliza a FFT
F = abs(F); % obtem a magnitude (desnecessário, nossa imagem varia de 0 a 255)
F = log(F+1); % escala logaritmica, +1 por que log(0) é indefinido
F = mat2gray(F); % renormaliza a imagem de 0-255 para 0-1
imshow(F,[]) % exibe o resultado
end
</source>

[[Arquivo:Matlab fft.png|600px]]

Cada par de pontos simétricos em relação ao ponto central representa um conjunto de planos paralelos no espaço real, sendo a imagem real o conjunto de todos os planos representados por todos os pontos somado ao ruído da imagem. Observe que a imagem original, além de ruído, apresenta três planos diferentes como pode-se notar pela orientação dos átomos. Isso explica a presença de linhas claras ao redor dos pontos de difração. Um cristal perfeito, por outro lado, possuiria um padrão de difração de pontos localizados e não discos com linhas como vemos num cristal real.

A seguir vejamos como decompor essas informações. Aplicando uma máscara sobre a imagem podemos selecionar apenas um par de pontos e ver a qual conjunto de planos do espaço real ele está relacionado:

[[Arquivo:Applied mask.png|900px]]

Para descobrir qual é o conjunto de planos tomamos a transformada inversa:

[[Arquivo:Inverse fft.png|900px]]

Como mencionado se selecionarmos todos os pontos e tomarmos a transformada inversa obteremos a imagem original, no entanto, removendo boa parte dos ruídos - a parte que deixamos de fora da máscara.

[[Arquivo:Full mask.png|900px]]

[[Arquivo:Removed all noise.png|900px]]

Se quisermos ver a composição do ruído podemos tomar a máscara inversa e aplicar a transformada inversa, obtendo:

[[Arquivo:Negative mask.png|900px]]

[[Arquivo:Noise.png|900px]]

== Referências Bibliográficas==

[1] [https://web.stanford.edu/class/cme324/classics/cooley-tukey.pdf An Algorithm for the Machine Calculation of. Complex Fourier Series. By James W. Cooley and John W. Turkey].

[2] Kreyszig, Erwin. Advanced Engineering Mathematics. Wiley, 2011.

[3] Scherer, Claudio. Métodos Computacionais da Física.

[4] Richard; Faires, Douglas. Numerical Analysis, 2011

Grupo4 - FFT

2017-10-29T23:05:50Z

Dfriggo:

A Transformada rápida de Fourier (em inglês '''Fast Fourier Transform''', ou '''FFT''') é um algoritmo que torna viável o cálculo da Transformada Discreta de Fourier (DFT), que é a forma discretizada da [[https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier Transformada de Fourier]].
A '''FFT''' permite transformar de forma rápida uma série de sinais discretos em uma amostra contendo as frequências desses sinais, desde que satisfaça algumas propriedades.

== Transformada Discreta de Fourier ==

Em muitas aplicações se tem informação sobre um conjunto de dados, ao invés de uma função contínua. A '''Transformada Discreta de Fourier''' transforma esse conjunto de dados em um conjunto de tamanho igual com informação sobre as frequências da função que satisfaz o conjunto de dados.

Para um conjunto de dados igualmente espaçados, pode-se, ao considerar os dados como um período de uma função periódica, cujo período normalmente é considerado entre <math>[-\pi, \pi]</math> para facilitar o cálculo (e que pode sempre ser transformada em uma função nesse interválo), mostrar que a transformada discreta de Fourier pode ser dada pela equação:

<math>F_k = \sum_{n=0}^{N-1} f_n e^{-i2\pi nk/N}</math>

A sua inversa é, em paralelo ao caso da transformada contínua,

<math>f_n = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} F_k e^{i2\pi nk/N}</math>

A transformada também pode ser expressa em forma vetorial, como

<math>\vec{A} = \mathbf{W^{nk}} \vec{a} ~ </math> onde <math> ~ \mathbf{W^{nk}} ~ </math> é definido como

<math>\mathbf{W^{nk}} = \begin{bmatrix}
e^{-2\pi i 0\cdot0/N} & e^{-2\pi i 0\cdot1/N} & \cdots & e^{-2\pi i 0\cdot k/N}\\
e^{-2\pi i 1\cdot0/N} & e^{-2\pi i 1\cdot1/N} & \cdots & e^{-2\pi i 1\cdot k/N}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
e^{-2\pi i n\cdot0/N} & e^{-2\pi i n\cdot1/N} & \cdots & e^{-2\pi i n\cdot k/N}
\end{bmatrix}</math>

O cálculo dessa expressão leva em torno de <math>N^2</math> passos para o resultado. Uma amostra com 3,000 pontos precisa de 9,000,000 operações para a transformada ser obtida, tornando a DFT inviável para aplicações rápidas.

== Transformada Rápida de Fourier ==

É possível calcular a transformada com <math>N \log_{2} N</math> passos. Para isso se dispõe de um algoritmo chamado '''Transformada Rápida de Fourier'''.
Considera-se um conjunto de pontos <math>N = 2^p</math> (com <math>p</math> inteiro, então, da definição da DFT

<math>
F_k =\sum_{n=0}^{N-1} f_n \cdot e^{-i \frac{2 \pi}{N}\cdot k\cdot n}
</math>

podemos dividir o somatório em 2:

<math>
F_k =\color{red}\sum_{n=0}^{N/2-1} f_{2n} \cdot e^{-i \frac{2 \pi}{N}\cdot k\cdot 2n} \color{black}+ \color{blue}\sum_{n=0}^{N/2-1} f_{2n+1} \cdot e^{-i \frac{2 \pi}{N}\cdot k\cdot (2n+1)}
</math>

<math>
\color{black}F_k =\color{red}\sum_{n=0}^{N/2-1} f_{2n} \cdot e^{-i \frac{2 \pi}{N/2}\cdot k\cdot n} \color{black}+ \color{blue}e^{-i\frac{2\pi}{N}k} \sum_{n=0}^{N/2-1} f_{2n+1} \cdot e^{-i \frac{2 \pi}{N/2}\cdot k\cdot n}
</math>

<math>
\color{black}F_k =\color{red}\sum_{n=0}^{N/2-1} f_{2n} \cdot e^{-i \frac{2 \pi}{N/2}\cdot k\cdot n} \color{black}+ \color{blue}~ C(k) ~ \sum_{n=0}^{N/2-1} f_{2n+1} \cdot e^{-i \frac{2 \pi}{N/2}\cdot k\cdot n}
</math>

onde a soma em vermelho é a parte '''par''' e a soma em azul é a parte '''ímpar''' da transformada. As duas somas tem o mesmo expoente, que agora é dividido por <math>N/2</math>.
Desse expoente, é evidente a relação entre o ponto <math>k</math> e o ponto <math>k + N/2</math>

<math>e^{-i \frac{2 \pi}{N/2}\cdot k\cdot n} = e^{-i \frac{2 \pi}{N/2}\cdot (k+N/2)\cdot n} = e^{-i \frac{2 \pi}{N/2}\cdot k\cdot n} \cdot e^{-i \frac{2 \pi}{N/2}\cdot N/2\cdot n} = e^{-i \frac{2 \pi}{N/2}\cdot k\cdot n} \cdot 1</math>

Com essa relação, podemos ver que <math>F_k</math> e <math>F_{k+N/2}</math> tem o mesmo expoente e podem ser calculadas ao mesmo tempo. Mais que isso, a nova forma da transformada pode ser sucessivamente dividida, cada vez produzindo somas com limites menores.

=== Exemplo ===

Suponha que temos a função sinusoidal <math>a(t) = sin(2\pi \cdot 1Hz \cdot t)</math> e fazemos quatro medidas no intervalo de 1 segundo, resultando em

<math>a_0 = 0.00</math>
<math>a_1 = 1.00</math>
<math>a_2 = 0.00</math>
<math>a_3 = -1.00</math>

Com essas 4 medidas, podemos dividir a soma 2 vezes:

<math>A_k = \sum_{t=0}^3 a_t \cdot e^{-i \frac{2\pi}{4}\cdot k \cdot t}</math>

<math>A_k = \sum_{t_1=0}^1 a_{2t_1} \cdot e^{-i \frac{2\pi}{2}\cdot k \cdot t_1} + C_k^1\sum_{t_1=0}^1 a_{2t_1+1} \cdot e^{-i \frac{2\pi}{2}\cdot k \cdot t_1}</math>

<math>A_k = \sum_{t_2=0}^0 a_{4t_2} \cdot e^{-i \frac{2\pi}{1}\cdot k \cdot t_2} + C_k^2\sum_{t_2=0}^0 a_{4t_2+2} \cdot e^{-i \frac{2\pi}{1}\cdot k \cdot t_2} + C_k^1\sum_{t_2=0}^0 a_{4t_2+1} \cdot e^{-i \frac{2\pi}{1}\cdot k \cdot t_2} + C_k^3\sum_{t_2=0}^0 a_{4t_2+3} \cdot e^{-i \frac{2\pi}{1}\cdot k \cdot t_2}</math>

e como temos <math>C_k^j = (e^{-i\frac{2\pi}{N}k})^j</math> podemos calcular

<math>A_0 = 1.00 \cdot C_0^1 - 1.00 \cdot C_0^3 = 0.00 + i0.00</math>

<math>A_1 = 1.00 \cdot C_1^1 - 1.00 \cdot C_1^3 = 0.00 - i2.00</math>

<math>A_2 = 1.00 \cdot C_2^1 - 1.00 \cdot C_2^3 = 0.00 + i0.00</math>

<math>A_3 = 1.00 \cdot C_3^1 - 1.00 \cdot C_3^3 = 0.00 + i2.00</math>

=== FFT para N diferente de uma potência de 2 ===

Mesmo com a FFT sendo um algoritmo extremamente eficiente para <math>N = 2^p</math>, esse dificilmente é o caso que encotramos. Ainda assim, para <math>N</math> altamente composto (<math>N = r_1\cdot r_2 \cdot ... \cdot r_m</math>) o algoritmo ainda resulta em uma boa queda no tempo de cálculo.

Para o caso mais simples <math>N = r_1 \cdot r_2</math> a transformada pode ser escrita como

<math>F(k_1,k_0) = \sum_{n_0=0}^{r_2-1}\left [ \sum_{n_1=0}^{r_1-1} x(n_1,n_0) e^{-i2\pi\cdot k \cdot n_1 \cdot r_2} \right ] e^{-i2\pi \cdot k \cdot n_0}</math>

onde

<math>k = k_1 \cdot r_1 + k_0 ~~~~~~~~ k_0 = 0,1,...,r_1-1 ~~~~~~~~ k_1 = 0,1,...,r_2-1</math>

<math>n = n_1 \cdot r_2 + n_0 ~~~~~~~~ n_0 = 0,1,...,r_2-1 ~~~~~~~~ n_1 = 0,1,...,r_1-1</math>

assim a transformada que antes necessitava de N calculos, agora pode ser vista como <math>r_1 + r_2</math> calculos.

=== Algorítmo (usando recursão) ===
<math>>>\mathbf{function} ~ FFT(N,\vec{a})</math>

<math> >>> ~~~~ \mathbf{if} ~ N = 1 ~ \mathbf{then}</math>

<math> >>> ~~~~~~~~ return ~ \vec{a};</math>

<math> >>> ~~~~ \mathbf{else}</math>

<math> >>>~~~~~~~~ E = FFT(N/2, (a_0, a_2, ..., a_{N-2}));</math>

<math> >>>~~~~~~~~ O = FFT(N/2, (a_1, a_3, ..., a_{N-1}));</math>

<math> >>>~~~~~~~~ \mathbf{for} ~ k = 0 ~ to ~ k <= N/2 -1 ~ \mathbf{do}</math>

<math> >>>~~~~~~~~~~~~ A_k=E_k+exp(-i2\pi k/N) * O_k;</math>

<math> >>>~~~~~~~~~~~~ A_{k+N/2}=E_k-exp(-i2\pi k/N) * O_k;</math>

<math> >>>~~~~ return ~ \vec{A};</math>

== Implementação ==

A natureza recursiva do algoritmo da transformada rápida de fourier o torna ideal para implementações em linguagens funcionais como Haskell. Abaixo exibimos as partes mais relevantes do código, onde omitimos inclusões de bibliotecas e a definição das funções auxiliares evens e odds.

<source lang="haskell" line='line'>

--esse termo multiplica o somatório de termos ímpares
f xs n = exp $ -(0:+2*pi)*n / genericLength xs

--caso a função seja chamada com apenas dois termos, temos o caso base
ffti [x,y] n = x + y * (exp $ -(0:+pi)*n)

--caso contrário aplique a função recursivamente separando o somatório em
-- termos com índice par e com índice ímpar
ffti xs n = ffti (evens xs) n + f xs n * ffti (odds xs) n

--função que calcula os n coeficientes (ffti calcula um coeficiente)
fft xs [] = []
fft xs (y:ys) = (ffti xs y):(fft xs ys)

--exemplo
fft [0, 1, 4, 9] [0,1,2,3]

--saída ( :+ indica número complexo em Haskell)
[14.0 :+ 0.0, -4.0 :+ 8.0, -6.0 :+ 0.0, -4.0 :+ -8.0)]

</source>

Embora não seja uma linguagem puramente funcional Wolfram Mathematica também se presta a uma implementação direta e clara.

<source lang="css" line='line'>
// caso base de uma lista contendo apenas dois termos
fft[{x_, y_}, n_] := x + y Exp[-I Pi n ]
// caso contrário, divida a lista entre termos com índice ímpar e par
// e aplique a função recursivamente
fft[f_List, n_] := fft[Downsample[f, 2, 1], n] +
Exp[-((I 2 Pi n )/Length[f])] fft[Downsample[f, 2, 2], n]
//acima calcula-se com um coeficiente abaixo calcula-se todos
fft[f_List] := Table[fft[f, n] // N, {n, 0, Length[f] - 1}]

//exemplo
fft[{0, 1, 4, 9}]
{14., -4. + 8. I, -6., -4. - 8. I}

</source>

== Exemplos ==

Abaixo encontra-se alguns exemplos básicos da transformada de fourier com base no código acima porém com modificações para lidar com o caso em que o intervalo de amostragem é diferente de <math>[0, 2\pi]</math> e cuja taxa de amostragem é qualquer (diferente de <math>\frac{2\pi k}{N}</math> como assumido acima)

=== Gaussiana ===

A menos de uma normalização a função gaussiana é definida por: <math>f(x) = e^{-\frac{(x - <x>)^2}{2 \sigma^2}}</math>
Aplicando a transformada de fourier na curva gaussiana obtem-se outra gaussiana.

[[Arquivo:gaussian1.png|700px]]

Observa-se que uma curva larga no espaço real corresponde a uma curva estreita no espaço de fourier e vice-versa. Esse é um fato matemático amplamente conhecido e se exprime também na física pelo Princípio da Incerteza de Heisenberg.
Abaixo uma curva gaussiana mais larga que a anterior e sua transformada correspondentemente mais estreita.

[[Arquivo:gaussian2.png|700px]]

Uma função par em relação à origem possui uma expansão em fourier com termos ímpares nulos, no entanto, deslocando a gaussiana um pouco para a direita e, portanto, quebrando sua simetria, vemos que a sua transformada possui uma parte complexa:

[[Arquivo:gaussian3.png|700px]]

=== Oscilador Harmônico Amortecido ===

A curva que representa um oscilador harmônico amortecido é descrita por <math>f(x) = sin(a x) e^{-bx}</math> onde o termo senoidal, periódico, é amortecido pelo termo exponencial que leva a oscilação rapidamente a zero.

[[Arquivo:osch.jpg|500px]]

A transformada de fourier dessa curva possui parte real e imaginária, da parte imaginária dessa curva é possível obter a frequência de ressonância do fenômeno representado por ela. No caso abaixo vemos que a frequência de ressonância vale <math>\pm 10Hz</math>

[[Arquivo:oschim.png|500px]]

Abaixo a parte real da transformada:

[[Arquivo:oschre.png|400px]]

== Aplicações ==

=== Equação de Schrödinger: propagação de onda de probabilidade ===

O cálculo da evolução temporal da equação de schrödinger é computacionalmente exigente. A cada passo de tempo é necessário recalcular a posição da onda de probabilidade que representa a partícula em cada ponto do domínio. Portanto, torna-se vantajoso o uso da transformada de fourier rápida. Além disso a própria transformada faz parte da solução, pois também deseja-se obter a sua evolução temporal no espaço de momento. O código foi desenvolvido em python por [https://jakevdp.github.io/blog/2012/09/05/quantum-python/ Jake Vanderplas], no entanto, sob extensas modificações foi possível não apenas entender o código mas também modifica-lo para representar situações diferentes das propostas pelo autor. No site do autor encontra-se a explicação da teoria por trás do problema e também o funcionamento do algoritmo. A seguir exploramos a interação de uma onda de probabilidade com potenciais de diferentes formas.

A parte principal do código modificado é exibida abaixo. Nota-se que o autor utilizou o método Leapfrog para integrar as equações de movimento fazendo a seguinte sequência de operações: dar um meio passo no espaço real, tomar a transformada, dar um passo no espaço de momento, tomar a transformada inversa e finalmente dar um passo completo no espaço real.

<source lang="python" line='line'>
def time_step():
global t, psi_mod_x, psi_mod_k, t_max
psi_mod_x *= x_evolve_half
for i in range(N_steps):
psi_mod_k = fft(psi_mod_x)
psi_mod_k *= k_evolve
psi_mod_x = ifft(psi_mod_k)
psi_mod_x *= x_evolve_half*x_evolve_half
psi_mod_k = fft(psi_mod_x)
t += dt * N_steps
t_max = t_max - 1
</source>

O restante do código ocupa-se somente de inicialização de valores, definição do potencial e escrita dos resultados.

==== Potencial Quadrado ====

O potencial quadrado foi o exemplo escolhido pelo autor do código. Nesse exemplo fica visível que uma porção da onda de probabilidade atravessa o potencial embora classicamente não tenha energia suficiente para tal feito. Essa é uma demonstração numérica do efeito de tunelamento.

[[Arquivo:Square.gif]]

==== Potencial Triangular ====

O potencial triangular, por ter uma base mais larga, coíbe o efeito de tunelamento, no entanto, uma pequena porção da onda incidente ainda consegue transpor a barreira.

[[Arquivo:Triangular.gif]]

==== Potencial Batman ====

Em cursos básicos de quântica normalmente resolve-se apenas o potencial quadrado, às vezes, excepcionalmente, apresenta-se o potencial triangular. Isso se deve a dificuldade em tratar casos de potenciais irregulares analiticamente. Mas em casos reais os potenciais são extremamente irregulares. A solução numérica trata tais casos com naturalidade e sem qualquer alteração. Em particular, um potencial tipo batman é encarado sem problemas:

[[Arquivo:Batman.gif]]

A parte superior da curva é apenas ilustrativa (pois não faz sentido matemático nem físico)

=== Padrões de Difração ===

A transformada rápida é muito utilizada no tratamento de imagens. Software como ImageJ ou Matlab possuem muitas ferramentas que fazem uso da técnica. Uma aplicação específica da FFT é na análise de imagens de partículas nanométricas obtidas por um microscópio eletrônico de transmissão. Esse equipamento produz um interferograma que (a menos de correções) representa a imagem real do que se está observando mas também produz uma segunda imagem, localizada no ponto focal da lente, que é o padrão de difração da imagem real. Essa imagem é uma visualização do espaço recíproco, ou seja, da transformada do espaço real.

Abaixo está uma imagem de um plano de átomos de ouro obtida por um microscópio de transmissão eletrônica com uma escala de 2 nanômetros. A imagem em si é representada por uma matrix 800x800 onde cada elemento da matrix é um valor de intensidade sendo 0 para totalmente escuro e 255 para totalmente claro.

[[Arquivo:Region.png|600px]]

Utilizando, por exemplo o software Matlab podemos tomar a transformada inversa dessa imagem. A transformada de fourier produz o padrão de difração que revela a periodicidade da imagem.
O código em Matlab é bem simples:

<source lang="python" line='line'>
function imagefft(I)
F = fft2(I);
F = fftshift(F); % centraliza a FFT
F = abs(F); % obtem a magnitude (desnecessário, nossa imagem varia de 0 a 255)
F = log(F+1); % escala logaritmica, +1 por que log(0) é indefinido
F = mat2gray(F); % renormaliza a imagem de 0-255 para 0-1
imshow(F,[]) % exibe o resultado
end
</source>

[[Arquivo:Matlab fft.png|600px]]

Cada par de pontos simétricos em relação ao ponto central representa um conjunto de planos paralelos no espaço real, sendo a imagem real o conjunto de todos os planos representados por todos os pontos somado ao ruído da imagem. Observe que a imagem original, além de ruído, apresenta três planos diferentes como pode-se notar pela orientação dos átomos. Isso explica a presença de linhas claras ao redor dos pontos de difração. Um cristal perfeito, por outro lado, possuiria um padrão de difração de pontos localizados e não discos com linhas como vemos num cristal real.

A seguir vejamos como decompor essas informações. Aplicando uma máscara sobre a imagem podemos selecionar apenas um par de pontos e ver a qual conjunto de planos do espaço real ele está relacionado:

[[Arquivo:Applied mask.png|900px]]

Para descobrir qual é o conjunto de planos tomamos a transformada inversa:

[[Arquivo:Inverse fft.png|900px]]

[[Arquivo:Full mask.png|900px]]

[[Arquivo:Negative mask.png|900px]]

[[Arquivo:Removed all noise.png|900px]]

[[Arquivo:Noise.png|900px]]

== Referências Bibliográficas==

[1] [https://web.stanford.edu/class/cme324/classics/cooley-tukey.pdf An Algorithm for the Machine Calculation of. Complex Fourier Series. By James W. Cooley and John W. Turkey].

[2] Kreyszig, Erwin. Advanced Engineering Mathematics. Wiley, 2011.

[3] Scherer, Claudio. Métodos Computacionais da Física.

[4] Richard; Faires, Douglas. Numerical Analysis, 2011

Grupo4 - FFT

2017-10-29T22:53:07Z

Dfriggo:

A Transformada rápida de Fourier (em inglês '''Fast Fourier Transform''', ou '''FFT''') é um algoritmo que torna viável o cálculo da Transformada Discreta de Fourier (DFT), que é a forma discretizada da [[https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier Transformada de Fourier]].
A '''FFT''' permite transformar de forma rápida uma série de sinais discretos em uma amostra contendo as frequências desses sinais, desde que satisfaça algumas propriedades.

== Transformada Discreta de Fourier ==

Em muitas aplicações se tem informação sobre um conjunto de dados, ao invés de uma função contínua. A '''Transformada Discreta de Fourier''' transforma esse conjunto de dados em um conjunto de tamanho igual com informação sobre as frequências da função que satisfaz o conjunto de dados.

Para um conjunto de dados igualmente espaçados, pode-se, ao considerar os dados como um período de uma função periódica, cujo período normalmente é considerado entre <math>[-\pi, \pi]</math> para facilitar o cálculo (e que pode sempre ser transformada em uma função nesse interválo), mostrar que a transformada discreta de Fourier pode ser dada pela equação:

<math>F_k = \sum_{n=0}^{N-1} f_n e^{-i2\pi nk/N}</math>

A sua inversa é, em paralelo ao caso da transformada contínua,

<math>f_n = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} F_k e^{i2\pi nk/N}</math>

A transformada também pode ser expressa em forma vetorial, como

<math>\vec{A} = \mathbf{W^{nk}} \vec{a} ~ </math> onde <math> ~ \mathbf{W^{nk}} ~ </math> é definido como

<math>\mathbf{W^{nk}} = \begin{bmatrix}
e^{-2\pi i 0\cdot0/N} & e^{-2\pi i 0\cdot1/N} & \cdots & e^{-2\pi i 0\cdot k/N}\\
e^{-2\pi i 1\cdot0/N} & e^{-2\pi i 1\cdot1/N} & \cdots & e^{-2\pi i 1\cdot k/N}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
e^{-2\pi i n\cdot0/N} & e^{-2\pi i n\cdot1/N} & \cdots & e^{-2\pi i n\cdot k/N}
\end{bmatrix}</math>

O cálculo dessa expressão leva em torno de <math>N^2</math> passos para o resultado. Uma amostra com 3,000 pontos precisa de 9,000,000 operações para a transformada ser obtida, tornando a DFT inviável para aplicações rápidas.

== Transformada Rápida de Fourier ==

É possível calcular a transformada com <math>N \log_{2} N</math> passos. Para isso se dispõe de um algoritmo chamado '''Transformada Rápida de Fourier'''.
Considera-se um conjunto de pontos <math>N = 2^p</math> (com <math>p</math> inteiro, então, da definição da DFT

<math>
F_k =\sum_{n=0}^{N-1} f_n \cdot e^{-i \frac{2 \pi}{N}\cdot k\cdot n}
</math>

podemos dividir o somatório em 2:

<math>
F_k =\color{red}\sum_{n=0}^{N/2-1} f_{2n} \cdot e^{-i \frac{2 \pi}{N}\cdot k\cdot 2n} \color{black}+ \color{blue}\sum_{n=0}^{N/2-1} f_{2n+1} \cdot e^{-i \frac{2 \pi}{N}\cdot k\cdot (2n+1)}
</math>

<math>
\color{black}F_k =\color{red}\sum_{n=0}^{N/2-1} f_{2n} \cdot e^{-i \frac{2 \pi}{N/2}\cdot k\cdot n} \color{black}+ \color{blue}e^{-i\frac{2\pi}{N}k} \sum_{n=0}^{N/2-1} f_{2n+1} \cdot e^{-i \frac{2 \pi}{N/2}\cdot k\cdot n}
</math>

<math>
\color{black}F_k =\color{red}\sum_{n=0}^{N/2-1} f_{2n} \cdot e^{-i \frac{2 \pi}{N/2}\cdot k\cdot n} \color{black}+ \color{blue}~ C(k) ~ \sum_{n=0}^{N/2-1} f_{2n+1} \cdot e^{-i \frac{2 \pi}{N/2}\cdot k\cdot n}
</math>

onde a soma em vermelho é a parte '''par''' e a soma em azul é a parte '''ímpar''' da transformada. As duas somas tem o mesmo expoente, que agora é dividido por <math>N/2</math>.
Desse expoente, é evidente a relação entre o ponto <math>k</math> e o ponto <math>k + N/2</math>

<math>e^{-i \frac{2 \pi}{N/2}\cdot k\cdot n} = e^{-i \frac{2 \pi}{N/2}\cdot (k+N/2)\cdot n} = e^{-i \frac{2 \pi}{N/2}\cdot k\cdot n} \cdot e^{-i \frac{2 \pi}{N/2}\cdot N/2\cdot n} = e^{-i \frac{2 \pi}{N/2}\cdot k\cdot n} \cdot 1</math>

Com essa relação, podemos ver que <math>F_k</math> e <math>F_{k+N/2}</math> tem o mesmo expoente e podem ser calculadas ao mesmo tempo. Mais que isso, a nova forma da transformada pode ser sucessivamente dividida, cada vez produzindo somas com limites menores.

=== Exemplo ===

Suponha que temos a função sinusoidal <math>a(t) = sin(2\pi \cdot 1Hz \cdot t)</math> e fazemos quatro medidas no intervalo de 1 segundo, resultando em

<math>a_0 = 0.00</math>
<math>a_1 = 1.00</math>
<math>a_2 = 0.00</math>
<math>a_3 = -1.00</math>

Com essas 4 medidas, podemos dividir a soma 2 vezes:

<math>A_k = \sum_{t=0}^3 a_t \cdot e^{-i \frac{2\pi}{4}\cdot k \cdot t}</math>

<math>A_k = \sum_{t_1=0}^1 a_{2t_1} \cdot e^{-i \frac{2\pi}{2}\cdot k \cdot t_1} + C_k^1\sum_{t_1=0}^1 a_{2t_1+1} \cdot e^{-i \frac{2\pi}{2}\cdot k \cdot t_1}</math>

<math>A_k = \sum_{t_2=0}^0 a_{4t_2} \cdot e^{-i \frac{2\pi}{1}\cdot k \cdot t_2} + C_k^2\sum_{t_2=0}^0 a_{4t_2+2} \cdot e^{-i \frac{2\pi}{1}\cdot k \cdot t_2} + C_k^1\sum_{t_2=0}^0 a_{4t_2+1} \cdot e^{-i \frac{2\pi}{1}\cdot k \cdot t_2} + C_k^3\sum_{t_2=0}^0 a_{4t_2+3} \cdot e^{-i \frac{2\pi}{1}\cdot k \cdot t_2}</math>

e como temos <math>C_k^j = (e^{-i\frac{2\pi}{N}k})^j</math> podemos calcular

<math>A_0 = 1.00 \cdot C_0^1 - 1.00 \cdot C_0^3 = 0.00 + i0.00</math>

<math>A_1 = 1.00 \cdot C_1^1 - 1.00 \cdot C_1^3 = 0.00 - i2.00</math>

<math>A_2 = 1.00 \cdot C_2^1 - 1.00 \cdot C_2^3 = 0.00 + i0.00</math>

<math>A_3 = 1.00 \cdot C_3^1 - 1.00 \cdot C_3^3 = 0.00 + i2.00</math>

=== FFT para N diferente de uma potência de 2 ===

Mesmo com a FFT sendo um algoritmo extremamente eficiente para <math>N = 2^p</math>, esse dificilmente é o caso que encotramos. Ainda assim, para <math>N</math> altamente composto (<math>N = r_1\cdot r_2 \cdot ... \cdot r_m</math>) o algoritmo ainda resulta em uma boa queda no tempo de cálculo.

Para o caso mais simples <math>N = r_1 \cdot r_2</math> a transformada pode ser escrita como

<math>F(k_1,k_0) = \sum_{n_0=0}^{r_2-1}\left [ \sum_{n_1=0}^{r_1-1} x(n_1,n_0) e^{-i2\pi\cdot k \cdot n_1 \cdot r_2} \right ] e^{-i2\pi \cdot k \cdot n_0}</math>

onde

<math>k = k_1 \cdot r_1 + k_0 ~~~~~~~~ k_0 = 0,1,...,r_1-1 ~~~~~~~~ k_1 = 0,1,...,r_2-1</math>

<math>n = n_1 \cdot r_2 + n_0 ~~~~~~~~ n_0 = 0,1,...,r_2-1 ~~~~~~~~ n_1 = 0,1,...,r_1-1</math>

assim a transformada que antes necessitava de N calculos, agora pode ser vista como <math>r_1 + r_2</math> calculos.

=== Algorítmo (usando recursão) ===
<math>>>\mathbf{function} ~ FFT(N,\vec{a})</math>

<math> >>> ~~~~ \mathbf{if} ~ N = 1 ~ \mathbf{then}</math>

<math> >>> ~~~~~~~~ return ~ \vec{a};</math>

<math> >>> ~~~~ \mathbf{else}</math>

<math> >>>~~~~~~~~ E = FFT(N/2, (a_0, a_2, ..., a_{N-2}));</math>

<math> >>>~~~~~~~~ O = FFT(N/2, (a_1, a_3, ..., a_{N-1}));</math>

<math> >>>~~~~~~~~ \mathbf{for} ~ k = 0 ~ to ~ k <= N/2 -1 ~ \mathbf{do}</math>

<math> >>>~~~~~~~~~~~~ A_k=E_k+exp(-i2\pi k/N) * O_k;</math>

<math> >>>~~~~~~~~~~~~ A_{k+N/2}=E_k-exp(-i2\pi k/N) * O_k;</math>

<math> >>>~~~~ return ~ \vec{A};</math>

== Implementação ==

A natureza recursiva do algoritmo da transformada rápida de fourier o torna ideal para implementações em linguagens funcionais como Haskell. Abaixo exibimos as partes mais relevantes do código, onde omitimos inclusões de bibliotecas e a definição das funções auxiliares evens e odds.

<source lang="haskell" line='line'>

--esse termo multiplica o somatório de termos ímpares
f xs n = exp $ -(0:+2*pi)*n / genericLength xs

--caso a função seja chamada com apenas dois termos, temos o caso base
ffti [x,y] n = x + y * (exp $ -(0:+pi)*n)

--caso contrário aplique a função recursivamente separando o somatório em
-- termos com índice par e com índice ímpar
ffti xs n = ffti (evens xs) n + f xs n * ffti (odds xs) n

--função que calcula os n coeficientes (ffti calcula um coeficiente)
fft xs [] = []
fft xs (y:ys) = (ffti xs y):(fft xs ys)

--exemplo
fft [0, 1, 4, 9] [0,1,2,3]

--saída ( :+ indica número complexo em Haskell)
[14.0 :+ 0.0, -4.0 :+ 8.0, -6.0 :+ 0.0, -4.0 :+ -8.0)]

</source>

Embora não seja uma linguagem puramente funcional Wolfram Mathematica também se presta a uma implementação direta e clara.

<source lang="css" line='line'>
// caso base de uma lista contendo apenas dois termos
fft[{x_, y_}, n_] := x + y Exp[-I Pi n ]
// caso contrário, divida a lista entre termos com índice ímpar e par
// e aplique a função recursivamente
fft[f_List, n_] := fft[Downsample[f, 2, 1], n] +
Exp[-((I 2 Pi n )/Length[f])] fft[Downsample[f, 2, 2], n]
//acima calcula-se com um coeficiente abaixo calcula-se todos
fft[f_List] := Table[fft[f, n] // N, {n, 0, Length[f] - 1}]

//exemplo
fft[{0, 1, 4, 9}]
{14., -4. + 8. I, -6., -4. - 8. I}

</source>

== Exemplos ==

Abaixo encontra-se alguns exemplos básicos da transformada de fourier com base no código acima porém com modificações para lidar com o caso em que o intervalo de amostragem é diferente de <math>[0, 2\pi]</math> e cuja taxa de amostragem é qualquer (diferente de <math>\frac{2\pi k}{N}</math> como assumido acima)

=== Gaussiana ===

A menos de uma normalização a função gaussiana é definida por: <math>f(x) = e^{-\frac{(x - <x>)^2}{2 \sigma^2}}</math>
Aplicando a transformada de fourier na curva gaussiana obtem-se outra gaussiana.

[[Arquivo:gaussian1.png|700px]]

Observa-se que uma curva larga no espaço real corresponde a uma curva estreita no espaço de fourier e vice-versa. Esse é um fato matemático amplamente conhecido e se exprime também na física pelo Princípio da Incerteza de Heisenberg.
Abaixo uma curva gaussiana mais larga que a anterior e sua transformada correspondentemente mais estreita.

[[Arquivo:gaussian2.png|700px]]

Uma função par em relação à origem possui uma expansão em fourier com termos ímpares nulos, no entanto, deslocando a gaussiana um pouco para a direita e, portanto, quebrando sua simetria, vemos que a sua transformada possui uma parte complexa:

[[Arquivo:gaussian3.png|700px]]

=== Oscilador Harmônico Amortecido ===

A curva que representa um oscilador harmônico amortecido é descrita por <math>f(x) = sin(a x) e^{-bx}</math> onde o termo senoidal, periódico, é amortecido pelo termo exponencial que leva a oscilação rapidamente a zero.

[[Arquivo:osch.jpg|500px]]

A transformada de fourier dessa curva possui parte real e imaginária, da parte imaginária dessa curva é possível obter a frequência de ressonância do fenômeno representado por ela. No caso abaixo vemos que a frequência de ressonância vale <math>\pm 10Hz</math>

[[Arquivo:oschim.png|500px]]

Abaixo a parte real da transformada:

[[Arquivo:oschre.png|400px]]

== Aplicações ==

=== Equação de Schrödinger: propagação de onda de probabilidade ===

O cálculo da evolução temporal da equação de schrödinger é computacionalmente exigente. A cada passo de tempo é necessário recalcular a posição da onda de probabilidade que representa a partícula em cada ponto do domínio. Portanto, torna-se vantajoso o uso da transformada de fourier rápida. Além disso a própria transformada faz parte da solução, pois também deseja-se obter a sua evolução temporal no espaço de momento. O código foi desenvolvido em python por [https://jakevdp.github.io/blog/2012/09/05/quantum-python/ Jake Vanderplas], no entanto, sob extensas modificações foi possível não apenas entender o código mas também modifica-lo para representar situações diferentes das propostas pelo autor. No site do autor encontra-se a explicação da teoria por trás do problema e também o funcionamento do algoritmo. A seguir exploramos a interação de uma onda de probabilidade com potenciais de diferentes formas.

A parte principal do código modificado é exibida abaixo. Nota-se que o autor utilizou o método Leapfrog para integrar as equações de movimento fazendo a seguinte sequência de operações: dar um meio passo no espaço real, tomar a transformada, dar um passo no espaço de momento, tomar a transformada inversa e finalmente dar um passo completo no espaço real.

<source lang="python" line='line'>
def time_step():
global t, psi_mod_x, psi_mod_k, t_max
psi_mod_x *= x_evolve_half
for i in range(N_steps):
psi_mod_k = fft(psi_mod_x)
psi_mod_k *= k_evolve
psi_mod_x = ifft(psi_mod_k)
psi_mod_x *= x_evolve_half*x_evolve_half
psi_mod_k = fft(psi_mod_x)
t += dt * N_steps
t_max = t_max - 1
</source>

O restante do código ocupa-se somente de inicialização de valores, definição do potencial e escrita dos resultados.

==== Potencial Quadrado ====

O potencial quadrado foi o exemplo escolhido pelo autor do código. Nesse exemplo fica visível que uma porção da onda de probabilidade atravessa o potencial embora classicamente não tenha energia suficiente para tal feito. Essa é uma demonstração numérica do efeito de tunelamento.

[[Arquivo:Square.gif]]

==== Potencial Triangular ====

O potencial triangular, por ter uma base mais larga, coíbe o efeito de tunelamento, no entanto, uma pequena porção da onda incidente ainda consegue transpor a barreira.

[[Arquivo:Triangular.gif]]

==== Potencial Batman ====

Em cursos básicos de quântica normalmente resolve-se apenas o potencial quadrado, às vezes, excepcionalmente, apresenta-se o potencial triangular. Isso se deve a dificuldade em tratar casos de potenciais irregulares analiticamente. Mas em casos reais os potenciais são extremamente irregulares. A solução numérica trata tais casos com naturalidade e sem qualquer alteração. Em particular, um potencial tipo batman é encarado sem problemas:

[[Arquivo:Batman.gif]]

A parte superior da curva é apenas ilustrativa (pois não faz sentido matemático nem físico)

=== Padrões de Difração ===

A transformada rápida é muito utilizada no tratamento de imagens. Software como ImageJ ou Matlab possuem muitas ferramentas que fazem uso da técnica. Uma aplicação específica da FFT é na análise de imagens de partículas nanométricas obtidas por um microscópio eletrônico de transmissão. Esse equipamento produz um interferograma que (a menos de correções) representa a imagem real do que se está observando mas também produz uma segunda imagem, localizada no ponto focal da lente, que é o padrão de difração da imagem real. Essa imagem é uma visualização do espaço recíproco, ou seja, da transformada do espaço real.

Abaixo está uma imagem de um plano de átomos de ouro obtida por um microscópio de transmissão eletrônica. A imagem em si é representada por uma matrix 800x800 onde cada elemento da matrix é um valor de intensidade sendo 0 para totalmente escuro e 255 para totalmente claro.

[[Arquivo:Region.png|600px]]

Utilizando, por exemplo o software Matlab podemos tomar a transformada inversa dessa imagem. A transformada de fourier produz o padrão de difração que revela a periodicidade da imagem.

[[Arquivo:Matlab fft.png|600px]]

[[Arquivo:Applied mask.png|900px]]

[[Arquivo:Inverse fft.png|900px]]

[[Arquivo:Full mask.png|900px]]

[[Arquivo:Negative mask.png|900px]]

[[Arquivo:Removed all noise.png|900px]]

[[Arquivo:Noise.png|900px]]

== Referências Bibliográficas==

[1] [https://web.stanford.edu/class/cme324/classics/cooley-tukey.pdf An Algorithm for the Machine Calculation of. Complex Fourier Series. By James W. Cooley and John W. Turkey].

[2] Kreyszig, Erwin. Advanced Engineering Mathematics. Wiley, 2011.

[3] Scherer, Claudio. Métodos Computacionais da Física.

[4] Richard; Faires, Douglas. Numerical Analysis, 2011

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