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Equação de Liouville-Bratu-Gelfand

2024-07-07T19:07:09Z

Analucia: /* Método de Relaxação */

== Equação de Liouville-bratu-Gelfand ==

Na matemática, a Equação Liouville–Bratu–Gelfand ou Equação de Liouville é uma equação de Poisson não linear, nomeada em homenagem aos matemáticos Joseph Liouville, Gheorghe Bratu e Israel Gelfand, que é descrita da seguinte forma

<center><math> \nabla^2 \psi+\lambda e^\psi =0</math></center>

Essa equação aparece em problemas de fuga térmica, como na teoria de Frank-Kamenetskii, e na astrofísica, por exemplo, na equação Emden–Chandrasekhar. Esta equação pode descrever a carga espacial de eletricidade em torno de um fio brilhante ou até mesmo uma nebulosa planetária.

== A solução de Liouville ==

Em duas dimensões, com coordenadas cartesianas (x,y), Joseph Liouville propôs uma solução em 1853 como

<math> \lambda e^\psi(u^2+v^2+1)^2=2\left[\left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + \left(\dfrac{\partial u}{\partial y}\right)^2\right] </math>

onde <math>f(z)=u + i v</math> é uma [[função analítica]] arbitrária com <math>z=x+iy</math>. Em 1915, G.W. Walker<ref>Walker, George W. "Some problems illustrating the forms of nebulae." Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character 91.631 (1915): 410-420.https://www.jstor.org/stable/pdf/93512.pdf?refreqid=excelsior%3Af4a4cc9656b8bbd9266f9d32587d02b1</ref> encontrou uma solução assumindo uma forma para <math>f(z)</math>. Se <math>r^2=x^2+y^2</math>, então a solução de Walker é

:<math>8 e^{-\psi} = \lambda \left[\left(\frac{r}{a}\right)^n + \left(\frac{a}{r}\right)^n\right]^2</math>

onde <math>a</math> é algum raio finito. Essa solução vai ao infinito para qualquer <math>n</math>, mas vai ao infinito na origem <math>n<1</math> , finito na origem para <math>n=1</math> e vai a zero na origem para <math>n>1</math>. Walker também propôs mais duas soluções em seu artigo de 1915.

==Formas radialmente simétricas==

Se o sistema a ser estudado for radialmente simétrico, então a equação em <math>n</math> dimensões torna-se

:<math>\psi'' + \frac{n-1}{r}\psi' + \lambda e^\psi=0</math>

onde <math>r</math> é a distância a partir da origem. Com as condições de contorno

:<math>\psi'(0)=0, \quad \psi(1) = 0</math>

e para <math>\lambda\geq 0</math>, uma solução real existe apenas para <math>\lambda \in [0,\lambda_c]</math>, onde <math>\lambda_c</math> é o parâmetro crítico chamado de [[Teoria de Frank-Kamenetskii|'''parâmetro de Frank-Kamenetskii''']]. O parâmetro crítico é <math>\lambda_c=0.8785</math> para <math>n=1</math>, <math>\lambda_c=2</math> para <math>n=2</math> e <math>\lambda_c=3.32</math> para <math>n=3</math>. Para <math>n=1, \ 2</math>, existem duas soluções e para <math>3\leq n\leq 9</math> existem infinitas soluções com as soluções oscilando em torno do ponto <math>\lambda=2(n-2)</math>. Para <math>n\geq 10</math>, a solução é única e, nesses casos, o parâmetro crítico é dado por <math>\lambda_c=2(n-2)</math>. A multiplicidade de soluções para <math>n=3</math> foi descoberta por [[Israel Gelfand]] em 1963 e, posteriormente, em 1973, generalizada para todos os <math>n</math> por [[Daniel D. Joseph]] e [[Thomas S. Lundgren]].<ref>Joseph, D. D., e T. S. Lundgren. "Quasilinear Dirichlet problems driven by positive sources." Archive for Rational Mechanics and Analysis 49.4 (1973): 241-269.</ref>

A solução para <math>n=1</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,0.8785]</math> é dada por

:<math>\psi = -2 \ln \left[e^{-\psi_m/2}\cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}r\right)\right]</math>

onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como

:<math>e^{\psi_m/2} = \cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}\right).</math>

A solução para <math>n=2</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,2]</math> é dada por

:<math>\psi = \ln \left[\frac{64e^{\psi_m}}{(\lambda e^{\psi_m}r^2+8)^2}\right]</math>

onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como

:<math> (\lambda e^{\psi_m}+8)^2 - 64 e^{\psi_m} =0.</math>

== Método Crank-Nicolson ==
Para resolver a equação diferencial parcial de Liouville-Bratu-Gelfand foi utilizado o método de Crank-Nicolson. Sendo a média ponderada dos métodos explícito e implícito de FTCS (Forward Time Central Space) da forma:

<center><math> \frac{\psi_{j,i}^{n+1}-\psi_{j,i}^{n}}{\Delta t} = \theta . implicito + (1-\theta) . explicito </math></center>

onde <math> \theta = \frac{1}{2} </math>.

=== Método Explícito FTCS ===
Para o método explícito a equação é discretizada da seguinte forma:

<math> \psi_{j,i}^{n+1} = \psi_{j,i}^{n} + \Delta t \left( \frac{\psi_{i-1,j}^{n} - 2\psi_{i,j}^{n} + \psi_{i+1,j}^{n}}{{(\Delta x)}^2} + \frac{\psi_{i,j-1}^{n} - 2\psi_{i,j}^{n} + \psi_{i,j+1}^{n}}{{(\Delta y)}^2} + \lambda e^{\psi_{i,j}^{n}} \right) </math>

considerando <math> \Delta x = \Delta y </math> resulta em:

<math> \psi_{j,i}^{n+1} = \psi_{j,i}^{n} + \frac{\Delta t}{{(\Delta x)}^2} \left( \psi_{i-1,j}^{n} + \psi_{i+1,j}^{n} + \psi_{i,j-1}^{n} + \psi_{i,j+1}^{n} - 4\psi_{i,j}^{n} \right) + \Delta t \lambda e^{\psi_{i,j}^{n}} </math>

=== Método Implícito FTCS ===
Para o método implícito a equação é discretizada da mesma forma, porém a derivada é "para trás", resultando em:

<math> \psi_{j,i}^{n+1} = \psi_{j,i}^{n} + \frac{\Delta t}{{(\Delta x)}^2} \left( \psi_{i-1,j}^{n+1} + \psi_{i+1,j}^{n+1} + \psi_{i,j-1}^{n+1} + \psi_{i,j+1}^{n+1} - 4\psi_{i,j}^{n+1} \right) + \Delta t \lambda e^{\psi_{i,j}^{n+1}} </math>

Substituindo ambos os métodos na equação do método de Crank-Nicolson obtemos:

<center><math> \psi_{j,i}^{n+1} = \psi_{j,i}^{n} + \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta t}{{(\Delta x)}^2} \left( \psi_{i-1,j}^{n+1} + \psi_{i+1,j}^{n+1} + \psi_{i,j-1}^{n+1} + \psi_{i,j+1}^{n+1} - 4\psi_{i,j}^{n+1} \right) + \Delta t \lambda e^{\psi_{i,j}^{n+1}} + \frac{\Delta t}{{(\Delta x)}^2} \left( \psi_{i-1,j}^{n} + \psi_{i+1,j}^{n} + \psi_{i,j-1}^{n} + \psi_{i,j+1}^{n} - 4\psi_{i,j}^{n} \right) + \Delta t \lambda e^{\psi_{i,j}^{n}} \right) </math></center>

== Método de Relaxação ==
Como a equação de Liouville-Bratu-Gelfand não depende do tempo, é necessária uma aproximação para uma equação similar dependente do tempo para resolvê-la numericamente aplicando o método de FTCS (Foward Time Central Space). Fazendo então a solução dessa equação convergir ao estado estacionário diante de uma evolução temporal longa o suficiente (<math>t \rightarrow \infty</math>).

Utilizando uma equação da difusão genérica chegamos na seguinte forma:

<center><math>\frac{\partial \psi}{dt} = \alpha \left( \frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^{2}\psi}{\partial y^2} + \lambda e^\psi\right)</math>.</center>

Onde <math>\alpha</math> é a constante de difusão. Assim é possível aplicar essa equação no método de Jacobi, método numérico de relaxação.

== Referências ==

# https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%E2%80%93Bratu%E2%80%93Gelfand_equation
# Scherer, CLÁUDIO. Métodos Computacionais da Física. 2010.

Equação de Liouville-Bratu-Gelfand

2024-06-25T21:30:48Z

Analucia: /* Método Crank-Nicolson */

== Equação de Liouville-bratu-Gelfand ==

Na matemática, a Equação Liouville–Bratu–Gelfand ou Equação de Liouville é uma equação de Poisson não linear, nomeada em homenagem aos matemáticos Joseph Liouville, Gheorghe Bratu e Israel Gelfand, que é descrita da seguinte forma

<center><math> \nabla^2 \psi+\lambda e^\psi =0</math></center>

Essa equação aparece em problemas de fuga térmica, como na teoria de Frank-Kamenetskii, e na astrofísica, por exemplo, na equação Emden–Chandrasekhar. Esta equação pode descrever a carga espacial de eletricidade em torno de um fio brilhante ou até mesmo uma nebulosa planetária.

== A solução de Liouville ==

Em duas dimensões, com coordenadas cartesianas (x,y), Joseph Liouville propôs uma solução em 1853 como

<math> \lambda e^\psi(u^2+v^2+1)^2=2\left[\left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + \left(\dfrac{\partial u}{\partial y}\right)^2\right] </math>

onde <math>f(z)=u + i v</math> é uma [[função analítica]] arbitrária com <math>z=x+iy</math>. Em 1915, G.W. Walker<ref>Walker, George W. "Some problems illustrating the forms of nebulae." Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character 91.631 (1915): 410-420.https://www.jstor.org/stable/pdf/93512.pdf?refreqid=excelsior%3Af4a4cc9656b8bbd9266f9d32587d02b1</ref> encontrou uma solução assumindo uma forma para <math>f(z)</math>. Se <math>r^2=x^2+y^2</math>, então a solução de Walker é

:<math>8 e^{-\psi} = \lambda \left[\left(\frac{r}{a}\right)^n + \left(\frac{a}{r}\right)^n\right]^2</math>

onde <math>a</math> é algum raio finito. Essa solução vai ao infinito para qualquer <math>n</math>, mas vai ao infinito na origem <math>n<1</math> , finito na origem para <math>n=1</math> e vai a zero na origem para <math>n>1</math>. Walker também propôs mais duas soluções em seu artigo de 1915.

==Formas radialmente simétricas==

Se o sistema a ser estudado for radialmente simétrico, então a equação em <math>n</math> dimensões torna-se

:<math>\psi'' + \frac{n-1}{r}\psi' + \lambda e^\psi=0</math>

onde <math>r</math> é a distância a partir da origem. Com as condições de contorno

:<math>\psi'(0)=0, \quad \psi(1) = 0</math>

e para <math>\lambda\geq 0</math>, uma solução real existe apenas para <math>\lambda \in [0,\lambda_c]</math>, onde <math>\lambda_c</math> é o parâmetro crítico chamado de [[Teoria de Frank-Kamenetskii|'''parâmetro de Frank-Kamenetskii''']]. O parâmetro crítico é <math>\lambda_c=0.8785</math> para <math>n=1</math>, <math>\lambda_c=2</math> para <math>n=2</math> e <math>\lambda_c=3.32</math> para <math>n=3</math>. Para <math>n=1, \ 2</math>, existem duas soluções e para <math>3\leq n\leq 9</math> existem infinitas soluções com as soluções oscilando em torno do ponto <math>\lambda=2(n-2)</math>. Para <math>n\geq 10</math>, a solução é única e, nesses casos, o parâmetro crítico é dado por <math>\lambda_c=2(n-2)</math>. A multiplicidade de soluções para <math>n=3</math> foi descoberta por [[Israel Gelfand]] em 1963 e, posteriormente, em 1973, generalizada para todos os <math>n</math> por [[Daniel D. Joseph]] e [[Thomas S. Lundgren]].<ref>Joseph, D. D., e T. S. Lundgren. "Quasilinear Dirichlet problems driven by positive sources." Archive for Rational Mechanics and Analysis 49.4 (1973): 241-269.</ref>

A solução para <math>n=1</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,0.8785]</math> é dada por

:<math>\psi = -2 \ln \left[e^{-\psi_m/2}\cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}r\right)\right]</math>

onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como

:<math>e^{\psi_m/2} = \cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}\right).</math>

A solução para <math>n=2</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,2]</math> é dada por

:<math>\psi = \ln \left[\frac{64e^{\psi_m}}{(\lambda e^{\psi_m}r^2+8)^2}\right]</math>

onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como

:<math> (\lambda e^{\psi_m}+8)^2 - 64 e^{\psi_m} =0.</math>

== Método Crank-Nicolson ==
Para resolver a equação diferencial parcial de Liouville-Bratu-Gelfand foi utilizado o método de Crank-Nicolson. Sendo a média ponderada dos métodos explícito e implícito de FTCS (Forward Time Central Space) da forma:

<center><math> \frac{\psi_{j,i}^{n+1}-\psi_{j,i}^{n}}{\Delta t} = \theta . implicito + (1-\theta) . explicito </math></center>

onde <math> \theta = \frac{1}{2} </math>.

=== Método Explícito FTCS ===
Para o método explícito a equação é discretizada da seguinte forma:

<math> \psi_{j,i}^{n+1} = \psi_{j,i}^{n} + \Delta t \left( \frac{\psi_{i-1,j}^{n} - 2\psi_{i,j}^{n} + \psi_{i+1,j}^{n}}{{(\Delta x)}^2} + \frac{\psi_{i,j-1}^{n} - 2\psi_{i,j}^{n} + \psi_{i,j+1}^{n}}{{(\Delta y)}^2} + \lambda e^{\psi_{i,j}^{n}} \right) </math>

considerando <math> \Delta x = \Delta y </math> resulta em:

<math> \psi_{j,i}^{n+1} = \psi_{j,i}^{n} + \frac{\Delta t}{{(\Delta x)}^2} \left( \psi_{i-1,j}^{n} + \psi_{i+1,j}^{n} + \psi_{i,j-1}^{n} + \psi_{i,j+1}^{n} - 4\psi_{i,j}^{n} \right) + \Delta t \lambda e^{\psi_{i,j}^{n}} </math>

=== Método Implícito FTCS ===
Para o método implícito a equação é discretizada da mesma forma, porém a derivada é "para trás", resultando em:

<math> \psi_{j,i}^{n+1} = \psi_{j,i}^{n} + \frac{\Delta t}{{(\Delta x)}^2} \left( \psi_{i-1,j}^{n+1} + \psi_{i+1,j}^{n+1} + \psi_{i,j-1}^{n+1} + \psi_{i,j+1}^{n+1} - 4\psi_{i,j}^{n+1} \right) + \Delta t \lambda e^{\psi_{i,j}^{n+1}} </math>

Substituindo ambos os métodos na equação do método de Crank-Nicolson obtemos:

<center><math> \psi_{j,i}^{n+1} = \psi_{j,i}^{n} + \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta t}{{(\Delta x)}^2} \left( \psi_{i-1,j}^{n+1} + \psi_{i+1,j}^{n+1} + \psi_{i,j-1}^{n+1} + \psi_{i,j+1}^{n+1} - 4\psi_{i,j}^{n+1} \right) + \Delta t \lambda e^{\psi_{i,j}^{n+1}} + \frac{\Delta t}{{(\Delta x)}^2} \left( \psi_{i-1,j}^{n} + \psi_{i+1,j}^{n} + \psi_{i,j-1}^{n} + \psi_{i,j+1}^{n} - 4\psi_{i,j}^{n} \right) + \Delta t \lambda e^{\psi_{i,j}^{n}} \right) </math></center>

== Método de Relaxação ==
Como a equação de Liouville-Bratu-Gelfand não depende do tempo, é necessária uma aproximação para uma equação similar dependente do tempo para resolvê-la numericamente aplicando o método de FTCS (Foward Time Central Space). Fazendo então a solução dessa equação convergir ao estado estacionário diante de uma evolução temporal longa o suficiente (<math>t \rightarrow \infty</math>).

Utilizando uma equação da difusão genérica chegamos na seguinte forma:

<center><math>\frac{\partial \psi}{dt} = \alpha \left( \frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^{2}\psi}{\partial y^2} \right)</math>.</center>

Onde <math>\alpha</math> é a constante de difusão. Assim é possível aplicar essa equação no método de Jacobi, método numérico de relaxação.

== Referências ==

# https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%E2%80%93Bratu%E2%80%93Gelfand_equation
# Scherer, CLÁUDIO. Métodos Computacionais da Física. 2010.

Equação de Liouville-Bratu-Gelfand

2024-06-25T21:28:21Z

Analucia: /* Método Crank-Nicolson */

== Equação de Liouville-bratu-Gelfand ==

Na matemática, a Equação Liouville–Bratu–Gelfand ou Equação de Liouville é uma equação de Poisson não linear, nomeada em homenagem aos matemáticos Joseph Liouville, Gheorghe Bratu e Israel Gelfand, que é descrita da seguinte forma

<center><math> \nabla^2 \psi+\lambda e^\psi =0</math></center>

Essa equação aparece em problemas de fuga térmica, como na teoria de Frank-Kamenetskii, e na astrofísica, por exemplo, na equação Emden–Chandrasekhar. Esta equação pode descrever a carga espacial de eletricidade em torno de um fio brilhante ou até mesmo uma nebulosa planetária.

== A solução de Liouville ==

Em duas dimensões, com coordenadas cartesianas (x,y), Joseph Liouville propôs uma solução em 1853 como

<math> \lambda e^\psi(u^2+v^2+1)^2=2\left[\left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + \left(\dfrac{\partial u}{\partial y}\right)^2\right] </math>

onde <math>f(z)=u + i v</math> é uma [[função analítica]] arbitrária com <math>z=x+iy</math>. Em 1915, G.W. Walker<ref>Walker, George W. "Some problems illustrating the forms of nebulae." Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character 91.631 (1915): 410-420.https://www.jstor.org/stable/pdf/93512.pdf?refreqid=excelsior%3Af4a4cc9656b8bbd9266f9d32587d02b1</ref> encontrou uma solução assumindo uma forma para <math>f(z)</math>. Se <math>r^2=x^2+y^2</math>, então a solução de Walker é

:<math>8 e^{-\psi} = \lambda \left[\left(\frac{r}{a}\right)^n + \left(\frac{a}{r}\right)^n\right]^2</math>

onde <math>a</math> é algum raio finito. Essa solução vai ao infinito para qualquer <math>n</math>, mas vai ao infinito na origem <math>n<1</math> , finito na origem para <math>n=1</math> e vai a zero na origem para <math>n>1</math>. Walker também propôs mais duas soluções em seu artigo de 1915.

==Formas radialmente simétricas==

Se o sistema a ser estudado for radialmente simétrico, então a equação em <math>n</math> dimensões torna-se

:<math>\psi'' + \frac{n-1}{r}\psi' + \lambda e^\psi=0</math>

onde <math>r</math> é a distância a partir da origem. Com as condições de contorno

:<math>\psi'(0)=0, \quad \psi(1) = 0</math>

e para <math>\lambda\geq 0</math>, uma solução real existe apenas para <math>\lambda \in [0,\lambda_c]</math>, onde <math>\lambda_c</math> é o parâmetro crítico chamado de [[Teoria de Frank-Kamenetskii|'''parâmetro de Frank-Kamenetskii''']]. O parâmetro crítico é <math>\lambda_c=0.8785</math> para <math>n=1</math>, <math>\lambda_c=2</math> para <math>n=2</math> e <math>\lambda_c=3.32</math> para <math>n=3</math>. Para <math>n=1, \ 2</math>, existem duas soluções e para <math>3\leq n\leq 9</math> existem infinitas soluções com as soluções oscilando em torno do ponto <math>\lambda=2(n-2)</math>. Para <math>n\geq 10</math>, a solução é única e, nesses casos, o parâmetro crítico é dado por <math>\lambda_c=2(n-2)</math>. A multiplicidade de soluções para <math>n=3</math> foi descoberta por [[Israel Gelfand]] em 1963 e, posteriormente, em 1973, generalizada para todos os <math>n</math> por [[Daniel D. Joseph]] e [[Thomas S. Lundgren]].<ref>Joseph, D. D., e T. S. Lundgren. "Quasilinear Dirichlet problems driven by positive sources." Archive for Rational Mechanics and Analysis 49.4 (1973): 241-269.</ref>

A solução para <math>n=1</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,0.8785]</math> é dada por

:<math>\psi = -2 \ln \left[e^{-\psi_m/2}\cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}r\right)\right]</math>

onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como

:<math>e^{\psi_m/2} = \cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}\right).</math>

A solução para <math>n=2</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,2]</math> é dada por

:<math>\psi = \ln \left[\frac{64e^{\psi_m}}{(\lambda e^{\psi_m}r^2+8)^2}\right]</math>

onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como

:<math> (\lambda e^{\psi_m}+8)^2 - 64 e^{\psi_m} =0.</math>

== Método Crank-Nicolson ==
Para resolver a equação diferencial parcial de Liouville-Bratu-Gelfand foi utilizado o método de Crank-Nicolson. Sendo a média ponderada dos métodos explícito e implícito de FTCS (Forward Time Central Space) da forma:

<center><math> \frac{\psi_{j,i}^{n+1}-\psi_{j,i}^{n}}{\Delta t} = \theta . implicito + (1-\theta) . explicito </math></center>

onde <math> \theta = \frac{1}{2} </math>.

=== Método Explícito FTCS ===
Para o método explícito a equação é discretizada da seguinte forma:

<math> \psi_{j,i}^{n+1} = \psi_{j,i}^{n} + \Delta t \left( \frac{\psi_{i-1,j}^{n} - 2\psi_{i,j}^{n} + \psi_{i+1,j}^{n}}{{(\Delta x)}^2} + \frac{\psi_{i,j-1}^{n} - 2\psi_{i,j}^{n} + \psi_{i,j+1}^{n}}{{(\Delta y)}^2} + \lambda e^{\psi_{i,j}^{n}} \right) </math>

considerando <math> \Delta x = \Delta y </math> resulta em:

<math> \psi_{j,i}^{n+1} = \psi_{j,i}^{n} + \frac{\Delta t}{{(\Delta x)}^2} \left( \psi_{i-1,j}^{n} + \psi_{i+1,j}^{n} + \psi_{i,j-1}^{n} + \psi_{i,j+1}^{n} - 4\psi_{i,j}^{n} \right) + \Delta t \lambda e^{\psi_{i,j}^{n}} </math>

=== Método Implícito FTCS ===
Para o método implícito a equação é discretizada da mesma forma, porém a derivada é "para trás", resultando em:

<math> \psi_{j,i}^{n+1} = \psi_{j,i}^{n} + \frac{\Delta t}{{(\Delta x)}^2} \left( \psi_{i-1,j}^{n+1} + \psi_{i+1,j}^{n+1} + \psi_{i,j-1}^{n+1} + \psi_{i,j+1}^{n+1} - 4\psi_{i,j}^{n+1} \right) + \Delta t \lambda e^{\psi_{i,j}^{n+1}} </math>

Substituindo ambos os métodos na equação do método de Crank-Nicolson obtemos:

<center><math> \frac{\psi_{j,i}^{n+1}-\psi_{j,i}^{n}}{\Delta t} = \psi_{j,i}^{n} \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta t}{{(\Delta x)}^2} \left( \psi_{i-1,j}^{n+1} + \psi_{i+1,j}^{n+1} + \psi_{i,j-1}^{n+1} + \psi_{i,j+1}^{n+1} - 4\psi_{i,j}^{n+1} \right) + \Delta t \lambda e^{\psi_{i,j}^{n+1}} + \frac{\Delta t}{{(\Delta x)}^2} \left( \psi_{i-1,j}^{n} + \psi_{i+1,j}^{n} + \psi_{i,j-1}^{n} + \psi_{i,j+1}^{n} - 4\psi_{i,j}^{n} \right) + \Delta t \lambda e^{\psi_{i,j}^{n}} \right) </math></center>

== Método de Relaxação ==
Como a equação de Liouville-Bratu-Gelfand não depende do tempo, é necessária uma aproximação para uma equação similar dependente do tempo para resolvê-la numericamente aplicando o método de FTCS (Foward Time Central Space). Fazendo então a solução dessa equação convergir ao estado estacionário diante de uma evolução temporal longa o suficiente (<math>t \rightarrow \infty</math>).

Utilizando uma equação da difusão genérica chegamos na seguinte forma:

<center><math>\frac{\partial \psi}{dt} = \alpha \left( \frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^{2}\psi}{\partial y^2} \right)</math>.</center>

Onde <math>\alpha</math> é a constante de difusão. Assim é possível aplicar essa equação no método de Jacobi, método numérico de relaxação.

== Referências ==

# https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%E2%80%93Bratu%E2%80%93Gelfand_equation
# Scherer, CLÁUDIO. Métodos Computacionais da Física. 2010.

Equação de Liouville-Bratu-Gelfand

2024-06-25T21:24:51Z

Analucia: /* Método Crank-Nicolson */

== Equação de Liouville-bratu-Gelfand ==

Na matemática, a Equação Liouville–Bratu–Gelfand ou Equação de Liouville é uma equação de Poisson não linear, nomeada em homenagem aos matemáticos Joseph Liouville, Gheorghe Bratu e Israel Gelfand, que é descrita da seguinte forma

<center><math> \nabla^2 \psi+\lambda e^\psi =0</math></center>

Essa equação aparece em problemas de fuga térmica, como na teoria de Frank-Kamenetskii, e na astrofísica, por exemplo, na equação Emden–Chandrasekhar. Esta equação pode descrever a carga espacial de eletricidade em torno de um fio brilhante ou até mesmo uma nebulosa planetária.

== A solução de Liouville ==

Em duas dimensões, com coordenadas cartesianas (x,y), Joseph Liouville propôs uma solução em 1853 como

<math> \lambda e^\psi(u^2+v^2+1)^2=2\left[\left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + \left(\dfrac{\partial u}{\partial y}\right)^2\right] </math>

onde <math>f(z)=u + i v</math> é uma [[função analítica]] arbitrária com <math>z=x+iy</math>. Em 1915, G.W. Walker<ref>Walker, George W. "Some problems illustrating the forms of nebulae." Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character 91.631 (1915): 410-420.https://www.jstor.org/stable/pdf/93512.pdf?refreqid=excelsior%3Af4a4cc9656b8bbd9266f9d32587d02b1</ref> encontrou uma solução assumindo uma forma para <math>f(z)</math>. Se <math>r^2=x^2+y^2</math>, então a solução de Walker é

:<math>8 e^{-\psi} = \lambda \left[\left(\frac{r}{a}\right)^n + \left(\frac{a}{r}\right)^n\right]^2</math>

onde <math>a</math> é algum raio finito. Essa solução vai ao infinito para qualquer <math>n</math>, mas vai ao infinito na origem <math>n<1</math> , finito na origem para <math>n=1</math> e vai a zero na origem para <math>n>1</math>. Walker também propôs mais duas soluções em seu artigo de 1915.

==Formas radialmente simétricas==

Se o sistema a ser estudado for radialmente simétrico, então a equação em <math>n</math> dimensões torna-se

:<math>\psi'' + \frac{n-1}{r}\psi' + \lambda e^\psi=0</math>

onde <math>r</math> é a distância a partir da origem. Com as condições de contorno

:<math>\psi'(0)=0, \quad \psi(1) = 0</math>

e para <math>\lambda\geq 0</math>, uma solução real existe apenas para <math>\lambda \in [0,\lambda_c]</math>, onde <math>\lambda_c</math> é o parâmetro crítico chamado de [[Teoria de Frank-Kamenetskii|'''parâmetro de Frank-Kamenetskii''']]. O parâmetro crítico é <math>\lambda_c=0.8785</math> para <math>n=1</math>, <math>\lambda_c=2</math> para <math>n=2</math> e <math>\lambda_c=3.32</math> para <math>n=3</math>. Para <math>n=1, \ 2</math>, existem duas soluções e para <math>3\leq n\leq 9</math> existem infinitas soluções com as soluções oscilando em torno do ponto <math>\lambda=2(n-2)</math>. Para <math>n\geq 10</math>, a solução é única e, nesses casos, o parâmetro crítico é dado por <math>\lambda_c=2(n-2)</math>. A multiplicidade de soluções para <math>n=3</math> foi descoberta por [[Israel Gelfand]] em 1963 e, posteriormente, em 1973, generalizada para todos os <math>n</math> por [[Daniel D. Joseph]] e [[Thomas S. Lundgren]].<ref>Joseph, D. D., e T. S. Lundgren. "Quasilinear Dirichlet problems driven by positive sources." Archive for Rational Mechanics and Analysis 49.4 (1973): 241-269.</ref>

A solução para <math>n=1</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,0.8785]</math> é dada por

:<math>\psi = -2 \ln \left[e^{-\psi_m/2}\cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}r\right)\right]</math>

onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como

:<math>e^{\psi_m/2} = \cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}\right).</math>

A solução para <math>n=2</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,2]</math> é dada por

:<math>\psi = \ln \left[\frac{64e^{\psi_m}}{(\lambda e^{\psi_m}r^2+8)^2}\right]</math>

onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como

:<math> (\lambda e^{\psi_m}+8)^2 - 64 e^{\psi_m} =0.</math>

== Método Crank-Nicolson ==
Para resolver a equação diferencial parcial de Liouville-Bratu-Gelfand foi utilizado o método de Crank-Nicolson. Sendo a média ponderada dos métodos explícito e implícito de FTCS (Forward Time Central Space) da forma:

<center><math> \frac{\psi_{j,i}^{n+1}-\psi_{j,i}^{n}}{\Delta t} = \theta . implicito + (1-\theta) . explicito </math></center>

onde <math> \theta = \frac{1}{2} </math>.

=== Método Explícito FTCS ===
Para o método explícito a equação é discretizada da seguinte forma:

<math> \psi_{j,i}^{n+1} = \psi_{j,i}^{n} + \Delta t \left( \frac{\psi_{i-1,j}^{n} - 2\psi_{i,j}^{n} + \psi_{i+1,j}^{n}}{{(\Delta x)}^2} + \frac{\psi_{i,j-1}^{n} - 2\psi_{i,j}^{n} + \psi_{i,j+1}^{n}}{{(\Delta y)}^2} + \lambda e^{\psi_{i,j}^{n}} \right) </math>

considerando <math> \Delta x = \Delta y </math> resulta em:

<math> \psi_{j,i}^{n+1} = \psi_{j,i}^{n} + \frac{\Delta t}{{(\Delta x)}^2} \left( \psi_{i-1,j}^{n} + \psi_{i+1,j}^{n} + \psi_{i,j-1}^{n} + \psi_{i,j+1}^{n} - 4\psi_{i,j}^{n} \right) + \Delta t \lambda e^{\psi_{i,j}^{n}} </math>

=== Método Implícito FTCS ===
Para o método implícito a equação é discretizada da mesma forma, porém a derivada é "para trás", resultando em:

<math> \psi_{j,i}^{n+1} = \psi_{j,i}^{n} + \frac{\Delta t}{{(\Delta x)}^2} \left( \psi_{i-1,j}^{n+1} + \psi_{i+1,j}^{n+1} + \psi_{i,j-1}^{n+1} + \psi_{i,j+1}^{n+1} - 4\psi_{i,j}^{n+1} \right) + \Delta t \lambda e^{\psi_{i,j}^{n+1}} </math>

Substituindo ambos os métodos na equação do método de Crank-Nicolson obtemos:

<center><math> \frac{\psi_{j,i}^{n+1}-\psi_{j,i}^{n}}{\Delta t} = \frac{1}{2} \left( \psi_{j,i}^{n+1} = \psi_{j,i}^{n} + \frac{\Delta t}{{(\Delta x)}^2} \left( \psi_{i-1,j}^{n+1} + \psi_{i+1,j}^{n+1} + \psi_{i,j-1}^{n+1} + \psi_{i,j+1}^{n+1} - 4\psi_{i,j}^{n+1} \right) + \Delta t \lambda e^{\psi_{i,j}^{n+1}} + \psi_{j,i}^{n+1} = \psi_{j,i}^{n} + \frac{\Delta t}{{(\Delta x)}^2} \left( \psi_{i-1,j}^{n} + \psi_{i+1,j}^{n} + \psi_{i,j-1}^{n} + \psi_{i,j+1}^{n} - 4\psi_{i,j}^{n} \right) + \Delta t \lambda e^{\psi_{i,j}^{n}} \right) </math></center>

== Método de Relaxação ==
Como a equação de Liouville-Bratu-Gelfand não depende do tempo, é necessária uma aproximação para uma equação similar dependente do tempo para resolvê-la numericamente aplicando o método de FTCS (Foward Time Central Space). Fazendo então a solução dessa equação convergir ao estado estacionário diante de uma evolução temporal longa o suficiente (<math>t \rightarrow \infty</math>).

Utilizando uma equação da difusão genérica chegamos na seguinte forma:

<center><math>\frac{\partial \psi}{dt} = \alpha \left( \frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^{2}\psi}{\partial y^2} \right)</math>.</center>

Onde <math>\alpha</math> é a constante de difusão. Assim é possível aplicar essa equação no método de Jacobi, método numérico de relaxação.

== Referências ==

# https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%E2%80%93Bratu%E2%80%93Gelfand_equation
# Scherer, CLÁUDIO. Métodos Computacionais da Física. 2010.

Equação de Liouville-Bratu-Gelfand

2024-06-25T21:20:30Z

Analucia: /* Método Crank-Nicolson */

== Equação de Liouville-bratu-Gelfand ==

Na matemática, a Equação Liouville–Bratu–Gelfand ou Equação de Liouville é uma equação de Poisson não linear, nomeada em homenagem aos matemáticos Joseph Liouville, Gheorghe Bratu e Israel Gelfand, que é descrita da seguinte forma

<center><math> \nabla^2 \psi+\lambda e^\psi =0</math></center>

Essa equação aparece em problemas de fuga térmica, como na teoria de Frank-Kamenetskii, e na astrofísica, por exemplo, na equação Emden–Chandrasekhar. Esta equação pode descrever a carga espacial de eletricidade em torno de um fio brilhante ou até mesmo uma nebulosa planetária.

== A solução de Liouville ==

Em duas dimensões, com coordenadas cartesianas (x,y), Joseph Liouville propôs uma solução em 1853 como

<math> \lambda e^\psi(u^2+v^2+1)^2=2\left[\left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + \left(\dfrac{\partial u}{\partial y}\right)^2\right] </math>

onde <math>f(z)=u + i v</math> é uma [[função analítica]] arbitrária com <math>z=x+iy</math>. Em 1915, G.W. Walker<ref>Walker, George W. "Some problems illustrating the forms of nebulae." Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character 91.631 (1915): 410-420.https://www.jstor.org/stable/pdf/93512.pdf?refreqid=excelsior%3Af4a4cc9656b8bbd9266f9d32587d02b1</ref> encontrou uma solução assumindo uma forma para <math>f(z)</math>. Se <math>r^2=x^2+y^2</math>, então a solução de Walker é

:<math>8 e^{-\psi} = \lambda \left[\left(\frac{r}{a}\right)^n + \left(\frac{a}{r}\right)^n\right]^2</math>

onde <math>a</math> é algum raio finito. Essa solução vai ao infinito para qualquer <math>n</math>, mas vai ao infinito na origem <math>n<1</math> , finito na origem para <math>n=1</math> e vai a zero na origem para <math>n>1</math>. Walker também propôs mais duas soluções em seu artigo de 1915.

==Formas radialmente simétricas==

Se o sistema a ser estudado for radialmente simétrico, então a equação em <math>n</math> dimensões torna-se

:<math>\psi'' + \frac{n-1}{r}\psi' + \lambda e^\psi=0</math>

onde <math>r</math> é a distância a partir da origem. Com as condições de contorno

:<math>\psi'(0)=0, \quad \psi(1) = 0</math>

e para <math>\lambda\geq 0</math>, uma solução real existe apenas para <math>\lambda \in [0,\lambda_c]</math>, onde <math>\lambda_c</math> é o parâmetro crítico chamado de [[Teoria de Frank-Kamenetskii|'''parâmetro de Frank-Kamenetskii''']]. O parâmetro crítico é <math>\lambda_c=0.8785</math> para <math>n=1</math>, <math>\lambda_c=2</math> para <math>n=2</math> e <math>\lambda_c=3.32</math> para <math>n=3</math>. Para <math>n=1, \ 2</math>, existem duas soluções e para <math>3\leq n\leq 9</math> existem infinitas soluções com as soluções oscilando em torno do ponto <math>\lambda=2(n-2)</math>. Para <math>n\geq 10</math>, a solução é única e, nesses casos, o parâmetro crítico é dado por <math>\lambda_c=2(n-2)</math>. A multiplicidade de soluções para <math>n=3</math> foi descoberta por [[Israel Gelfand]] em 1963 e, posteriormente, em 1973, generalizada para todos os <math>n</math> por [[Daniel D. Joseph]] e [[Thomas S. Lundgren]].<ref>Joseph, D. D., e T. S. Lundgren. "Quasilinear Dirichlet problems driven by positive sources." Archive for Rational Mechanics and Analysis 49.4 (1973): 241-269.</ref>

A solução para <math>n=1</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,0.8785]</math> é dada por

:<math>\psi = -2 \ln \left[e^{-\psi_m/2}\cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}r\right)\right]</math>

onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como

:<math>e^{\psi_m/2} = \cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}\right).</math>

A solução para <math>n=2</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,2]</math> é dada por

:<math>\psi = \ln \left[\frac{64e^{\psi_m}}{(\lambda e^{\psi_m}r^2+8)^2}\right]</math>

onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como

:<math> (\lambda e^{\psi_m}+8)^2 - 64 e^{\psi_m} =0.</math>

== Método Crank-Nicolson ==
Para resolver a equação diferencial parcial de Liouville-Bratu-Gelfand foi utilizado o método de Crank-Nicolson. Sendo a média ponderada dos métodos explícito e implícito de FTCS (Forward Time Central Space) da forma:

<center><math> \frac{\psi_{j,i}^{n+1}-\psi_{j,i}^{n}}{\Delta t} = \theta . implicito + (1-\theta) . explicito </math></center>

onde <math> \theta = \frac{1}{2} </math>.

=== Método Explícito FTCS ===
Para o método explícito a equação é discretizada da seguinte forma:

<math> \psi_{j,i}^{n+1} = \psi_{j,i}^{n} + \Delta t \left( \frac{\psi_{i-1,j}^{n} - 2\psi_{i,j}^{n} + \psi_{i+1,j}^{n}}{{(\Delta x)}^2} + \frac{\psi_{i,j-1}^{n} - 2\psi_{i,j}^{n} + \psi_{i,j+1}^{n}}{{(\Delta y)}^2} + \lambda e^{\psi_{i,j}^{n}} \right) </math>

considerando <math> \Delta x = \Delta y </math> resulta em:

<math> \psi_{j,i}^{n+1} = \psi_{j,i}^{n} + \frac{\Delta t}{{(\Delta x)}^2} \left( \psi_{i-1,j}^{n} + \psi_{i+1,j}^{n} + \psi_{i,j-1}^{n} + \psi_{i,j+1}^{n} - 4\psi_{i,j}^{n} \right) + \Delta t \lambda e^{\psi_{i,j}^{n}} </math>

=== Método Implícito FTCS ===
Para o método implícito a equação é discretizada da mesma forma, porém a derivada é "para trás":

<math> \psi_{j,i}^{n+1} = \psi_{j,i}^{n} + \frac{\Delta t}{{(\Delta x)}^2} \left( \psi_{i-1,j}^{n+1} + \psi_{i+1,j}^{n+1} + \psi_{i,j-1}^{n+1} + \psi_{i,j+1}^{n+1} - 4\psi_{i,j}^{n+1} \right) + \Delta t \lambda e^{\psi_{i,j}^{n+1}} </math>

== Método de Relaxação ==
Como a equação de Liouville-Bratu-Gelfand não depende do tempo, é necessária uma aproximação para uma equação similar dependente do tempo para resolvê-la numericamente aplicando o método de FTCS (Foward Time Central Space). Fazendo então a solução dessa equação convergir ao estado estacionário diante de uma evolução temporal longa o suficiente (<math>t \rightarrow \infty</math>).

Utilizando uma equação da difusão genérica chegamos na seguinte forma:

<center><math>\frac{\partial \psi}{dt} = \alpha \left( \frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^{2}\psi}{\partial y^2} \right)</math>.</center>

Onde <math>\alpha</math> é a constante de difusão. Assim é possível aplicar essa equação no método de Jacobi, método numérico de relaxação.

== Referências ==

# https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%E2%80%93Bratu%E2%80%93Gelfand_equation
# Scherer, CLÁUDIO. Métodos Computacionais da Física. 2010.

Equação de Liouville-Bratu-Gelfand

2024-06-25T21:15:40Z

Analucia: /* Método Crank-Nicolson */

== Equação de Liouville-bratu-Gelfand ==

Na matemática, a Equação Liouville–Bratu–Gelfand ou Equação de Liouville é uma equação de Poisson não linear, nomeada em homenagem aos matemáticos Joseph Liouville, Gheorghe Bratu e Israel Gelfand, que é descrita da seguinte forma

<center><math> \nabla^2 \psi+\lambda e^\psi =0</math></center>

Essa equação aparece em problemas de fuga térmica, como na teoria de Frank-Kamenetskii, e na astrofísica, por exemplo, na equação Emden–Chandrasekhar. Esta equação pode descrever a carga espacial de eletricidade em torno de um fio brilhante ou até mesmo uma nebulosa planetária.

== A solução de Liouville ==

Em duas dimensões, com coordenadas cartesianas (x,y), Joseph Liouville propôs uma solução em 1853 como

<math> \lambda e^\psi(u^2+v^2+1)^2=2\left[\left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + \left(\dfrac{\partial u}{\partial y}\right)^2\right] </math>

onde <math>f(z)=u + i v</math> é uma [[função analítica]] arbitrária com <math>z=x+iy</math>. Em 1915, G.W. Walker<ref>Walker, George W. "Some problems illustrating the forms of nebulae." Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character 91.631 (1915): 410-420.https://www.jstor.org/stable/pdf/93512.pdf?refreqid=excelsior%3Af4a4cc9656b8bbd9266f9d32587d02b1</ref> encontrou uma solução assumindo uma forma para <math>f(z)</math>. Se <math>r^2=x^2+y^2</math>, então a solução de Walker é

:<math>8 e^{-\psi} = \lambda \left[\left(\frac{r}{a}\right)^n + \left(\frac{a}{r}\right)^n\right]^2</math>

onde <math>a</math> é algum raio finito. Essa solução vai ao infinito para qualquer <math>n</math>, mas vai ao infinito na origem <math>n<1</math> , finito na origem para <math>n=1</math> e vai a zero na origem para <math>n>1</math>. Walker também propôs mais duas soluções em seu artigo de 1915.

==Formas radialmente simétricas==

Se o sistema a ser estudado for radialmente simétrico, então a equação em <math>n</math> dimensões torna-se

:<math>\psi'' + \frac{n-1}{r}\psi' + \lambda e^\psi=0</math>

onde <math>r</math> é a distância a partir da origem. Com as condições de contorno

:<math>\psi'(0)=0, \quad \psi(1) = 0</math>

e para <math>\lambda\geq 0</math>, uma solução real existe apenas para <math>\lambda \in [0,\lambda_c]</math>, onde <math>\lambda_c</math> é o parâmetro crítico chamado de [[Teoria de Frank-Kamenetskii|'''parâmetro de Frank-Kamenetskii''']]. O parâmetro crítico é <math>\lambda_c=0.8785</math> para <math>n=1</math>, <math>\lambda_c=2</math> para <math>n=2</math> e <math>\lambda_c=3.32</math> para <math>n=3</math>. Para <math>n=1, \ 2</math>, existem duas soluções e para <math>3\leq n\leq 9</math> existem infinitas soluções com as soluções oscilando em torno do ponto <math>\lambda=2(n-2)</math>. Para <math>n\geq 10</math>, a solução é única e, nesses casos, o parâmetro crítico é dado por <math>\lambda_c=2(n-2)</math>. A multiplicidade de soluções para <math>n=3</math> foi descoberta por [[Israel Gelfand]] em 1963 e, posteriormente, em 1973, generalizada para todos os <math>n</math> por [[Daniel D. Joseph]] e [[Thomas S. Lundgren]].<ref>Joseph, D. D., e T. S. Lundgren. "Quasilinear Dirichlet problems driven by positive sources." Archive for Rational Mechanics and Analysis 49.4 (1973): 241-269.</ref>

A solução para <math>n=1</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,0.8785]</math> é dada por

:<math>\psi = -2 \ln \left[e^{-\psi_m/2}\cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}r\right)\right]</math>

onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como

:<math>e^{\psi_m/2} = \cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}\right).</math>

A solução para <math>n=2</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,2]</math> é dada por

:<math>\psi = \ln \left[\frac{64e^{\psi_m}}{(\lambda e^{\psi_m}r^2+8)^2}\right]</math>

onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como

:<math> (\lambda e^{\psi_m}+8)^2 - 64 e^{\psi_m} =0.</math>

== Método Crank-Nicolson ==
Para resolver a equação diferencial parcial de Liouville-Bratu-Gelfand foi utilizado o método de Crank-Nicolson. Sendo a média ponderada dos métodos explícito e implícito de FTCS (Forward Time Central Space) da forma:

<center><math> \frac{\psi_{j,i}^{n+1}-\psi_{j,i}^{n}}{\Delta t} = \theta . implicito + (1-\theta) . explicito </math></center>

onde <math> \theta = \frac{1}{2} </math>.

=== Método Explícito FTCS ===
Para o método explícito a equação é discretizada da seguinte forma:

<math> \psi_{j,i}^{n+1} = \psi_{j,i}^{n} + \Delta t \left( \frac{\psi_{i-1,j}^{n} - 2\psi_{i,j}^{n} + \psi_{i+1,j}^{n}}{{\Delta x}^2} + \frac{\psi_{i,j-1}^{n} - 2\psi_{i,j}^{n} + \psi_{i,j+1}^{n}}{{\Delta y}^2} + \lambda e^{\psi_{i,j}^{n}} \right) </math>

considerando <math> \Delta x = \Delta y </math> resulta em:

<math> \psi_{j,i}^{n+1} = \psi_{j,i}^{n} + \frac{\Delta t}{{\Delta x}^2} \left( \psi_{i-1,j}^{n} + \psi_{i+1,j}^{n} + \psi_{i,j-1}^{n} + \psi_{i,j+1}^{n} - 4\psi_{i,j}^{n} + \lambda e^{\psi_{i,j}^{n}} \right) </math>

=== Método Implícito FTCS ===
Para o método implícito a equação é discretizada da mesma forma, porém a derivada é contrária:

== Método de Relaxação ==
Como a equação de Liouville-Bratu-Gelfand não depende do tempo, é necessária uma aproximação para uma equação similar dependente do tempo para resolvê-la numericamente aplicando o método de FTCS (Foward Time Central Space). Fazendo então a solução dessa equação convergir ao estado estacionário diante de uma evolução temporal longa o suficiente (<math>t \rightarrow \infty</math>).

Utilizando uma equação da difusão genérica chegamos na seguinte forma:

<center><math>\frac{\partial \psi}{dt} = \alpha \left( \frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^{2}\psi}{\partial y^2} \right)</math>.</center>

Onde <math>\alpha</math> é a constante de difusão. Assim é possível aplicar essa equação no método de Jacobi, método numérico de relaxação.

== Referências ==

# https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%E2%80%93Bratu%E2%80%93Gelfand_equation
# Scherer, CLÁUDIO. Métodos Computacionais da Física. 2010.

Equação de Liouville-Bratu-Gelfand

2024-06-25T21:12:30Z

Analucia: /* Método Crank-Nicolson */

== Equação de Liouville-bratu-Gelfand ==

Na matemática, a Equação Liouville–Bratu–Gelfand ou Equação de Liouville é uma equação de Poisson não linear, nomeada em homenagem aos matemáticos Joseph Liouville, Gheorghe Bratu e Israel Gelfand, que é descrita da seguinte forma

<center><math> \nabla^2 \psi+\lambda e^\psi =0</math></center>

Essa equação aparece em problemas de fuga térmica, como na teoria de Frank-Kamenetskii, e na astrofísica, por exemplo, na equação Emden–Chandrasekhar. Esta equação pode descrever a carga espacial de eletricidade em torno de um fio brilhante ou até mesmo uma nebulosa planetária.

== A solução de Liouville ==

Em duas dimensões, com coordenadas cartesianas (x,y), Joseph Liouville propôs uma solução em 1853 como

<math> \lambda e^\psi(u^2+v^2+1)^2=2\left[\left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + \left(\dfrac{\partial u}{\partial y}\right)^2\right] </math>

onde <math>f(z)=u + i v</math> é uma [[função analítica]] arbitrária com <math>z=x+iy</math>. Em 1915, G.W. Walker<ref>Walker, George W. "Some problems illustrating the forms of nebulae." Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character 91.631 (1915): 410-420.https://www.jstor.org/stable/pdf/93512.pdf?refreqid=excelsior%3Af4a4cc9656b8bbd9266f9d32587d02b1</ref> encontrou uma solução assumindo uma forma para <math>f(z)</math>. Se <math>r^2=x^2+y^2</math>, então a solução de Walker é

:<math>8 e^{-\psi} = \lambda \left[\left(\frac{r}{a}\right)^n + \left(\frac{a}{r}\right)^n\right]^2</math>

onde <math>a</math> é algum raio finito. Essa solução vai ao infinito para qualquer <math>n</math>, mas vai ao infinito na origem <math>n<1</math> , finito na origem para <math>n=1</math> e vai a zero na origem para <math>n>1</math>. Walker também propôs mais duas soluções em seu artigo de 1915.

==Formas radialmente simétricas==

Se o sistema a ser estudado for radialmente simétrico, então a equação em <math>n</math> dimensões torna-se

:<math>\psi'' + \frac{n-1}{r}\psi' + \lambda e^\psi=0</math>

onde <math>r</math> é a distância a partir da origem. Com as condições de contorno

:<math>\psi'(0)=0, \quad \psi(1) = 0</math>

e para <math>\lambda\geq 0</math>, uma solução real existe apenas para <math>\lambda \in [0,\lambda_c]</math>, onde <math>\lambda_c</math> é o parâmetro crítico chamado de [[Teoria de Frank-Kamenetskii|'''parâmetro de Frank-Kamenetskii''']]. O parâmetro crítico é <math>\lambda_c=0.8785</math> para <math>n=1</math>, <math>\lambda_c=2</math> para <math>n=2</math> e <math>\lambda_c=3.32</math> para <math>n=3</math>. Para <math>n=1, \ 2</math>, existem duas soluções e para <math>3\leq n\leq 9</math> existem infinitas soluções com as soluções oscilando em torno do ponto <math>\lambda=2(n-2)</math>. Para <math>n\geq 10</math>, a solução é única e, nesses casos, o parâmetro crítico é dado por <math>\lambda_c=2(n-2)</math>. A multiplicidade de soluções para <math>n=3</math> foi descoberta por [[Israel Gelfand]] em 1963 e, posteriormente, em 1973, generalizada para todos os <math>n</math> por [[Daniel D. Joseph]] e [[Thomas S. Lundgren]].<ref>Joseph, D. D., e T. S. Lundgren. "Quasilinear Dirichlet problems driven by positive sources." Archive for Rational Mechanics and Analysis 49.4 (1973): 241-269.</ref>

A solução para <math>n=1</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,0.8785]</math> é dada por

:<math>\psi = -2 \ln \left[e^{-\psi_m/2}\cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}r\right)\right]</math>

onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como

:<math>e^{\psi_m/2} = \cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}\right).</math>

A solução para <math>n=2</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,2]</math> é dada por

:<math>\psi = \ln \left[\frac{64e^{\psi_m}}{(\lambda e^{\psi_m}r^2+8)^2}\right]</math>

onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como

:<math> (\lambda e^{\psi_m}+8)^2 - 64 e^{\psi_m} =0.</math>

== Método Crank-Nicolson ==
Para resolver a equação diferencial parcial de Liouville-Bratu-Gelfand foi utilizado o método de Crank-Nicolson. Sendo a média ponderada dos métodos explícito e implícito de FTCS (Forward Time Central Space) da forma:

<center><math> \frac{\psi_{j,i}^{n+1}-\psi_{j,i}^{n}}{\Delta t} = \theta . implicito + (1-\theta) . explicito </math></center>

onde <math> \theta = \frac{1}{2} </math>.

=== Método Explícito FTCS ===
Para o método explícito a equação é discretizada da seguinte forma:

<math> \psi_{j,i}^{n+1} = \psi_{j,i}^{n} + \Delta t \left( \frac{\psi_{i-1,j}^{n} - 2\psi_{i,j}^{n} + \psi_{i+1,j}^{n}}{{\Delta x}^2} + \frac{\psi_{i,j-1}^{n} - 2\psi_{i,j}^{n} + \psi_{i,j+1}^{n}}{{\Delta y}^2} + \lambda e^{\psi_{i,j}^{n}} \right) </math>

considerando <math> \Delta x = \Delta y </math> resulta em:

<math> \psi_{j,i}^{n+1} = \psi_{j,i}^{n} + \frac{\Delta t}{{\Delta x}^2} \left( \psi_{i-1,j}^{n} + \psi_{i+1,j}^{n} + \psi_{i,j-1}^{n} + \psi_{i,j+1}^{n} - 4\psi_{i,j}^{n} + \lambda e^{\psi_{i,j}^{n}} \right) </math>

== Método de Relaxação ==
Como a equação de Liouville-Bratu-Gelfand não depende do tempo, é necessária uma aproximação para uma equação similar dependente do tempo para resolvê-la numericamente aplicando o método de FTCS (Foward Time Central Space). Fazendo então a solução dessa equação convergir ao estado estacionário diante de uma evolução temporal longa o suficiente (<math>t \rightarrow \infty</math>).

Utilizando uma equação da difusão genérica chegamos na seguinte forma:

<center><math>\frac{\partial \psi}{dt} = \alpha \left( \frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^{2}\psi}{\partial y^2} \right)</math>.</center>

Onde <math>\alpha</math> é a constante de difusão. Assim é possível aplicar essa equação no método de Jacobi, método numérico de relaxação.

== Referências ==

# https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%E2%80%93Bratu%E2%80%93Gelfand_equation
# Scherer, CLÁUDIO. Métodos Computacionais da Física. 2010.

Equação de Liouville-Bratu-Gelfand

2024-06-25T21:06:57Z

Analucia: /* Método Explícito FTCS */

== Equação de Liouville-bratu-Gelfand ==

Na matemática, a Equação Liouville–Bratu–Gelfand ou Equação de Liouville é uma equação de Poisson não linear, nomeada em homenagem aos matemáticos Joseph Liouville, Gheorghe Bratu e Israel Gelfand, que é descrita da seguinte forma

<center><math> \nabla^2 \psi+\lambda e^\psi =0</math></center>

Essa equação aparece em problemas de fuga térmica, como na teoria de Frank-Kamenetskii, e na astrofísica, por exemplo, na equação Emden–Chandrasekhar. Esta equação pode descrever a carga espacial de eletricidade em torno de um fio brilhante ou até mesmo uma nebulosa planetária.

== A solução de Liouville ==

Em duas dimensões, com coordenadas cartesianas (x,y), Joseph Liouville propôs uma solução em 1853 como

<math> \lambda e^\psi(u^2+v^2+1)^2=2\left[\left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + \left(\dfrac{\partial u}{\partial y}\right)^2\right] </math>

onde <math>f(z)=u + i v</math> é uma [[função analítica]] arbitrária com <math>z=x+iy</math>. Em 1915, G.W. Walker<ref>Walker, George W. "Some problems illustrating the forms of nebulae." Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character 91.631 (1915): 410-420.https://www.jstor.org/stable/pdf/93512.pdf?refreqid=excelsior%3Af4a4cc9656b8bbd9266f9d32587d02b1</ref> encontrou uma solução assumindo uma forma para <math>f(z)</math>. Se <math>r^2=x^2+y^2</math>, então a solução de Walker é

:<math>8 e^{-\psi} = \lambda \left[\left(\frac{r}{a}\right)^n + \left(\frac{a}{r}\right)^n\right]^2</math>

onde <math>a</math> é algum raio finito. Essa solução vai ao infinito para qualquer <math>n</math>, mas vai ao infinito na origem <math>n<1</math> , finito na origem para <math>n=1</math> e vai a zero na origem para <math>n>1</math>. Walker também propôs mais duas soluções em seu artigo de 1915.

==Formas radialmente simétricas==

Se o sistema a ser estudado for radialmente simétrico, então a equação em <math>n</math> dimensões torna-se

:<math>\psi'' + \frac{n-1}{r}\psi' + \lambda e^\psi=0</math>

onde <math>r</math> é a distância a partir da origem. Com as condições de contorno

:<math>\psi'(0)=0, \quad \psi(1) = 0</math>

e para <math>\lambda\geq 0</math>, uma solução real existe apenas para <math>\lambda \in [0,\lambda_c]</math>, onde <math>\lambda_c</math> é o parâmetro crítico chamado de [[Teoria de Frank-Kamenetskii|'''parâmetro de Frank-Kamenetskii''']]. O parâmetro crítico é <math>\lambda_c=0.8785</math> para <math>n=1</math>, <math>\lambda_c=2</math> para <math>n=2</math> e <math>\lambda_c=3.32</math> para <math>n=3</math>. Para <math>n=1, \ 2</math>, existem duas soluções e para <math>3\leq n\leq 9</math> existem infinitas soluções com as soluções oscilando em torno do ponto <math>\lambda=2(n-2)</math>. Para <math>n\geq 10</math>, a solução é única e, nesses casos, o parâmetro crítico é dado por <math>\lambda_c=2(n-2)</math>. A multiplicidade de soluções para <math>n=3</math> foi descoberta por [[Israel Gelfand]] em 1963 e, posteriormente, em 1973, generalizada para todos os <math>n</math> por [[Daniel D. Joseph]] e [[Thomas S. Lundgren]].<ref>Joseph, D. D., e T. S. Lundgren. "Quasilinear Dirichlet problems driven by positive sources." Archive for Rational Mechanics and Analysis 49.4 (1973): 241-269.</ref>

A solução para <math>n=1</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,0.8785]</math> é dada por

:<math>\psi = -2 \ln \left[e^{-\psi_m/2}\cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}r\right)\right]</math>

onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como

:<math>e^{\psi_m/2} = \cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}\right).</math>

A solução para <math>n=2</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,2]</math> é dada por

:<math>\psi = \ln \left[\frac{64e^{\psi_m}}{(\lambda e^{\psi_m}r^2+8)^2}\right]</math>

onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como

:<math> (\lambda e^{\psi_m}+8)^2 - 64 e^{\psi_m} =0.</math>

== Método Crank-Nicolson ==
Para resolver a equação diferencial parcial de Liouville-Bratu-Gelfand foi utilizado o método de Crank-Nicolson. Sendo a média ponderada dos métodos explícito e implícito de FTCS (Forward Time Central Space) da forma:

<center><math> \frac{\psi_{j,i}^{n+1}-\psi_{j,i}^{n}}{\Delta t} = \theta . implicito + (1-\theta) . explicito </math></center>

onde <math> \theta = \frac{1}{2} </math>.

=== Método Explícito FTCS ===
Para o método explícito a equação é discretizada da seguinte forma:

<math> \psi_{j,i}^{n+1} = \psi_{j,i}^{n} + \Delta t \left( \frac{\psi_{i-1,j}^{n} - 2\psi_{i,j}^{n} + \psi_{i+1,j}^{n}}{{\Delta x}^2} + \frac{\psi_{i,j-1}^{n} - 2\psi_{i,j}^{n} + \psi_{i,j+1}^{n}}{{\Delta y}^2} + \lambda e^{\psi_{i,j}^{n}} \right) </math>

== Método de Relaxação ==
Como a equação de Liouville-Bratu-Gelfand não depende do tempo, é necessária uma aproximação para uma equação similar dependente do tempo para resolvê-la numericamente aplicando o método de FTCS (Foward Time Central Space). Fazendo então a solução dessa equação convergir ao estado estacionário diante de uma evolução temporal longa o suficiente (<math>t \rightarrow \infty</math>).

Utilizando uma equação da difusão genérica chegamos na seguinte forma:

<center><math>\frac{\partial \psi}{dt} = \alpha \left( \frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^{2}\psi}{\partial y^2} \right)</math>.</center>

Onde <math>\alpha</math> é a constante de difusão. Assim é possível aplicar essa equação no método de Jacobi, método numérico de relaxação.

== Referências ==

# https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%E2%80%93Bratu%E2%80%93Gelfand_equation
# Scherer, CLÁUDIO. Métodos Computacionais da Física. 2010.

Equação de Liouville-Bratu-Gelfand

2024-06-25T21:06:28Z

Analucia: /* Método Explícito FTCS */

== Equação de Liouville-bratu-Gelfand ==

Na matemática, a Equação Liouville–Bratu–Gelfand ou Equação de Liouville é uma equação de Poisson não linear, nomeada em homenagem aos matemáticos Joseph Liouville, Gheorghe Bratu e Israel Gelfand, que é descrita da seguinte forma

<center><math> \nabla^2 \psi+\lambda e^\psi =0</math></center>

Essa equação aparece em problemas de fuga térmica, como na teoria de Frank-Kamenetskii, e na astrofísica, por exemplo, na equação Emden–Chandrasekhar. Esta equação pode descrever a carga espacial de eletricidade em torno de um fio brilhante ou até mesmo uma nebulosa planetária.

== A solução de Liouville ==

Em duas dimensões, com coordenadas cartesianas (x,y), Joseph Liouville propôs uma solução em 1853 como

<math> \lambda e^\psi(u^2+v^2+1)^2=2\left[\left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + \left(\dfrac{\partial u}{\partial y}\right)^2\right] </math>

onde <math>f(z)=u + i v</math> é uma [[função analítica]] arbitrária com <math>z=x+iy</math>. Em 1915, G.W. Walker<ref>Walker, George W. "Some problems illustrating the forms of nebulae." Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character 91.631 (1915): 410-420.https://www.jstor.org/stable/pdf/93512.pdf?refreqid=excelsior%3Af4a4cc9656b8bbd9266f9d32587d02b1</ref> encontrou uma solução assumindo uma forma para <math>f(z)</math>. Se <math>r^2=x^2+y^2</math>, então a solução de Walker é

:<math>8 e^{-\psi} = \lambda \left[\left(\frac{r}{a}\right)^n + \left(\frac{a}{r}\right)^n\right]^2</math>

onde <math>a</math> é algum raio finito. Essa solução vai ao infinito para qualquer <math>n</math>, mas vai ao infinito na origem <math>n<1</math> , finito na origem para <math>n=1</math> e vai a zero na origem para <math>n>1</math>. Walker também propôs mais duas soluções em seu artigo de 1915.

==Formas radialmente simétricas==

Se o sistema a ser estudado for radialmente simétrico, então a equação em <math>n</math> dimensões torna-se

:<math>\psi'' + \frac{n-1}{r}\psi' + \lambda e^\psi=0</math>

onde <math>r</math> é a distância a partir da origem. Com as condições de contorno

:<math>\psi'(0)=0, \quad \psi(1) = 0</math>

e para <math>\lambda\geq 0</math>, uma solução real existe apenas para <math>\lambda \in [0,\lambda_c]</math>, onde <math>\lambda_c</math> é o parâmetro crítico chamado de [[Teoria de Frank-Kamenetskii|'''parâmetro de Frank-Kamenetskii''']]. O parâmetro crítico é <math>\lambda_c=0.8785</math> para <math>n=1</math>, <math>\lambda_c=2</math> para <math>n=2</math> e <math>\lambda_c=3.32</math> para <math>n=3</math>. Para <math>n=1, \ 2</math>, existem duas soluções e para <math>3\leq n\leq 9</math> existem infinitas soluções com as soluções oscilando em torno do ponto <math>\lambda=2(n-2)</math>. Para <math>n\geq 10</math>, a solução é única e, nesses casos, o parâmetro crítico é dado por <math>\lambda_c=2(n-2)</math>. A multiplicidade de soluções para <math>n=3</math> foi descoberta por [[Israel Gelfand]] em 1963 e, posteriormente, em 1973, generalizada para todos os <math>n</math> por [[Daniel D. Joseph]] e [[Thomas S. Lundgren]].<ref>Joseph, D. D., e T. S. Lundgren. "Quasilinear Dirichlet problems driven by positive sources." Archive for Rational Mechanics and Analysis 49.4 (1973): 241-269.</ref>

A solução para <math>n=1</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,0.8785]</math> é dada por

:<math>\psi = -2 \ln \left[e^{-\psi_m/2}\cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}r\right)\right]</math>

onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como

:<math>e^{\psi_m/2} = \cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}\right).</math>

A solução para <math>n=2</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,2]</math> é dada por

:<math>\psi = \ln \left[\frac{64e^{\psi_m}}{(\lambda e^{\psi_m}r^2+8)^2}\right]</math>

onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como

:<math> (\lambda e^{\psi_m}+8)^2 - 64 e^{\psi_m} =0.</math>

== Método Crank-Nicolson ==
Para resolver a equação diferencial parcial de Liouville-Bratu-Gelfand foi utilizado o método de Crank-Nicolson. Sendo a média ponderada dos métodos explícito e implícito de FTCS (Forward Time Central Space) da forma:

<center><math> \frac{\psi_{j,i}^{n+1}-\psi_{j,i}^{n}}{\Delta t} = \theta . implicito + (1-\theta) . explicito </math></center>

onde <math> \theta = \frac{1}{2} </math>.

=== Método Explícito FTCS ===
Para o método explícito a equação é discretizada da seguinte forma:

<math> \psi_{j,i}^{n+1} = \psi_{j,i}^{n} + \Delta t (\left \frac{\psi_{i-1,j}^{n} - 2\psi_{i,j}^{n} + \psi_{i+1,j}^{n}}{{\Delta x}^2} + \frac{\psi_{i,j-1}^{n} - 2\psi_{i,j}^{n} + \psi_{i,j+1}^{n}}{{\Delta y}^2} + \lambda e^{\psi_{i,j}^{n}} \right) </math>

== Método de Relaxação ==
Como a equação de Liouville-Bratu-Gelfand não depende do tempo, é necessária uma aproximação para uma equação similar dependente do tempo para resolvê-la numericamente aplicando o método de FTCS (Foward Time Central Space). Fazendo então a solução dessa equação convergir ao estado estacionário diante de uma evolução temporal longa o suficiente (<math>t \rightarrow \infty</math>).

Utilizando uma equação da difusão genérica chegamos na seguinte forma:

<center><math>\frac{\partial \psi}{dt} = \alpha \left( \frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^{2}\psi}{\partial y^2} \right)</math>.</center>

Onde <math>\alpha</math> é a constante de difusão. Assim é possível aplicar essa equação no método de Jacobi, método numérico de relaxação.

== Referências ==

# https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%E2%80%93Bratu%E2%80%93Gelfand_equation
# Scherer, CLÁUDIO. Métodos Computacionais da Física. 2010.

Equação de Liouville-Bratu-Gelfand

2024-06-25T21:05:41Z

Analucia: /* Método Explícito FTCS */

== Equação de Liouville-bratu-Gelfand ==

Na matemática, a Equação Liouville–Bratu–Gelfand ou Equação de Liouville é uma equação de Poisson não linear, nomeada em homenagem aos matemáticos Joseph Liouville, Gheorghe Bratu e Israel Gelfand, que é descrita da seguinte forma

<center><math> \nabla^2 \psi+\lambda e^\psi =0</math></center>

Essa equação aparece em problemas de fuga térmica, como na teoria de Frank-Kamenetskii, e na astrofísica, por exemplo, na equação Emden–Chandrasekhar. Esta equação pode descrever a carga espacial de eletricidade em torno de um fio brilhante ou até mesmo uma nebulosa planetária.

== A solução de Liouville ==

Em duas dimensões, com coordenadas cartesianas (x,y), Joseph Liouville propôs uma solução em 1853 como

<math> \lambda e^\psi(u^2+v^2+1)^2=2\left[\left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + \left(\dfrac{\partial u}{\partial y}\right)^2\right] </math>

onde <math>f(z)=u + i v</math> é uma [[função analítica]] arbitrária com <math>z=x+iy</math>. Em 1915, G.W. Walker<ref>Walker, George W. "Some problems illustrating the forms of nebulae." Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character 91.631 (1915): 410-420.https://www.jstor.org/stable/pdf/93512.pdf?refreqid=excelsior%3Af4a4cc9656b8bbd9266f9d32587d02b1</ref> encontrou uma solução assumindo uma forma para <math>f(z)</math>. Se <math>r^2=x^2+y^2</math>, então a solução de Walker é

:<math>8 e^{-\psi} = \lambda \left[\left(\frac{r}{a}\right)^n + \left(\frac{a}{r}\right)^n\right]^2</math>

onde <math>a</math> é algum raio finito. Essa solução vai ao infinito para qualquer <math>n</math>, mas vai ao infinito na origem <math>n<1</math> , finito na origem para <math>n=1</math> e vai a zero na origem para <math>n>1</math>. Walker também propôs mais duas soluções em seu artigo de 1915.

==Formas radialmente simétricas==

Se o sistema a ser estudado for radialmente simétrico, então a equação em <math>n</math> dimensões torna-se

:<math>\psi'' + \frac{n-1}{r}\psi' + \lambda e^\psi=0</math>

onde <math>r</math> é a distância a partir da origem. Com as condições de contorno

:<math>\psi'(0)=0, \quad \psi(1) = 0</math>

e para <math>\lambda\geq 0</math>, uma solução real existe apenas para <math>\lambda \in [0,\lambda_c]</math>, onde <math>\lambda_c</math> é o parâmetro crítico chamado de [[Teoria de Frank-Kamenetskii|'''parâmetro de Frank-Kamenetskii''']]. O parâmetro crítico é <math>\lambda_c=0.8785</math> para <math>n=1</math>, <math>\lambda_c=2</math> para <math>n=2</math> e <math>\lambda_c=3.32</math> para <math>n=3</math>. Para <math>n=1, \ 2</math>, existem duas soluções e para <math>3\leq n\leq 9</math> existem infinitas soluções com as soluções oscilando em torno do ponto <math>\lambda=2(n-2)</math>. Para <math>n\geq 10</math>, a solução é única e, nesses casos, o parâmetro crítico é dado por <math>\lambda_c=2(n-2)</math>. A multiplicidade de soluções para <math>n=3</math> foi descoberta por [[Israel Gelfand]] em 1963 e, posteriormente, em 1973, generalizada para todos os <math>n</math> por [[Daniel D. Joseph]] e [[Thomas S. Lundgren]].<ref>Joseph, D. D., e T. S. Lundgren. "Quasilinear Dirichlet problems driven by positive sources." Archive for Rational Mechanics and Analysis 49.4 (1973): 241-269.</ref>

A solução para <math>n=1</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,0.8785]</math> é dada por

:<math>\psi = -2 \ln \left[e^{-\psi_m/2}\cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}r\right)\right]</math>

onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como

:<math>e^{\psi_m/2} = \cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}\right).</math>

A solução para <math>n=2</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,2]</math> é dada por

:<math>\psi = \ln \left[\frac{64e^{\psi_m}}{(\lambda e^{\psi_m}r^2+8)^2}\right]</math>

onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como

:<math> (\lambda e^{\psi_m}+8)^2 - 64 e^{\psi_m} =0.</math>

== Método Crank-Nicolson ==
Para resolver a equação diferencial parcial de Liouville-Bratu-Gelfand foi utilizado o método de Crank-Nicolson. Sendo a média ponderada dos métodos explícito e implícito de FTCS (Forward Time Central Space) da forma:

<center><math> \frac{\psi_{j,i}^{n+1}-\psi_{j,i}^{n}}{\Delta t} = \theta . implicito + (1-\theta) . explicito </math></center>

onde <math> \theta = \frac{1}{2} </math>.

=== Método Explícito FTCS ===
Para o método explícito a equação é discretizada da seguinte forma:

<math> \psi_{j,i}^{n+1} = \psi_{j,i}^{n} + \Delta t (\left \frac{\psi_{i-1,j}^{n} - 2\psi_{i,j}^{n} + \psi_{i+1,j}^{n}}{{\Delta x}^2} + \frac{\psi_{i,j-1}^{n} - 2\psi_{i,j}^{n} + \psi_{i,j+1}^{n}}{{\Delta y}^2} + \lambda e^{\psi_{i,j}^{n}} </math>

== Método de Relaxação ==
Como a equação de Liouville-Bratu-Gelfand não depende do tempo, é necessária uma aproximação para uma equação similar dependente do tempo para resolvê-la numericamente aplicando o método de FTCS (Foward Time Central Space). Fazendo então a solução dessa equação convergir ao estado estacionário diante de uma evolução temporal longa o suficiente (<math>t \rightarrow \infty</math>).

Utilizando uma equação da difusão genérica chegamos na seguinte forma:

<center><math>\frac{\partial \psi}{dt} = \alpha \left( \frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^{2}\psi}{\partial y^2} \right)</math>.</center>

Onde <math>\alpha</math> é a constante de difusão. Assim é possível aplicar essa equação no método de Jacobi, método numérico de relaxação.

== Referências ==

# https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%E2%80%93Bratu%E2%80%93Gelfand_equation
# Scherer, CLÁUDIO. Métodos Computacionais da Física. 2010.

Equação de Liouville-Bratu-Gelfand

2024-06-25T21:04:59Z

Analucia: /* Método Crank-Nicolson */

== Equação de Liouville-bratu-Gelfand ==

Na matemática, a Equação Liouville–Bratu–Gelfand ou Equação de Liouville é uma equação de Poisson não linear, nomeada em homenagem aos matemáticos Joseph Liouville, Gheorghe Bratu e Israel Gelfand, que é descrita da seguinte forma

<center><math> \nabla^2 \psi+\lambda e^\psi =0</math></center>

Essa equação aparece em problemas de fuga térmica, como na teoria de Frank-Kamenetskii, e na astrofísica, por exemplo, na equação Emden–Chandrasekhar. Esta equação pode descrever a carga espacial de eletricidade em torno de um fio brilhante ou até mesmo uma nebulosa planetária.

== A solução de Liouville ==

Em duas dimensões, com coordenadas cartesianas (x,y), Joseph Liouville propôs uma solução em 1853 como

<math> \lambda e^\psi(u^2+v^2+1)^2=2\left[\left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + \left(\dfrac{\partial u}{\partial y}\right)^2\right] </math>

onde <math>f(z)=u + i v</math> é uma [[função analítica]] arbitrária com <math>z=x+iy</math>. Em 1915, G.W. Walker<ref>Walker, George W. "Some problems illustrating the forms of nebulae." Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character 91.631 (1915): 410-420.https://www.jstor.org/stable/pdf/93512.pdf?refreqid=excelsior%3Af4a4cc9656b8bbd9266f9d32587d02b1</ref> encontrou uma solução assumindo uma forma para <math>f(z)</math>. Se <math>r^2=x^2+y^2</math>, então a solução de Walker é

:<math>8 e^{-\psi} = \lambda \left[\left(\frac{r}{a}\right)^n + \left(\frac{a}{r}\right)^n\right]^2</math>

onde <math>a</math> é algum raio finito. Essa solução vai ao infinito para qualquer <math>n</math>, mas vai ao infinito na origem <math>n<1</math> , finito na origem para <math>n=1</math> e vai a zero na origem para <math>n>1</math>. Walker também propôs mais duas soluções em seu artigo de 1915.

==Formas radialmente simétricas==

Se o sistema a ser estudado for radialmente simétrico, então a equação em <math>n</math> dimensões torna-se

:<math>\psi'' + \frac{n-1}{r}\psi' + \lambda e^\psi=0</math>

onde <math>r</math> é a distância a partir da origem. Com as condições de contorno

:<math>\psi'(0)=0, \quad \psi(1) = 0</math>

e para <math>\lambda\geq 0</math>, uma solução real existe apenas para <math>\lambda \in [0,\lambda_c]</math>, onde <math>\lambda_c</math> é o parâmetro crítico chamado de [[Teoria de Frank-Kamenetskii|'''parâmetro de Frank-Kamenetskii''']]. O parâmetro crítico é <math>\lambda_c=0.8785</math> para <math>n=1</math>, <math>\lambda_c=2</math> para <math>n=2</math> e <math>\lambda_c=3.32</math> para <math>n=3</math>. Para <math>n=1, \ 2</math>, existem duas soluções e para <math>3\leq n\leq 9</math> existem infinitas soluções com as soluções oscilando em torno do ponto <math>\lambda=2(n-2)</math>. Para <math>n\geq 10</math>, a solução é única e, nesses casos, o parâmetro crítico é dado por <math>\lambda_c=2(n-2)</math>. A multiplicidade de soluções para <math>n=3</math> foi descoberta por [[Israel Gelfand]] em 1963 e, posteriormente, em 1973, generalizada para todos os <math>n</math> por [[Daniel D. Joseph]] e [[Thomas S. Lundgren]].<ref>Joseph, D. D., e T. S. Lundgren. "Quasilinear Dirichlet problems driven by positive sources." Archive for Rational Mechanics and Analysis 49.4 (1973): 241-269.</ref>

A solução para <math>n=1</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,0.8785]</math> é dada por

:<math>\psi = -2 \ln \left[e^{-\psi_m/2}\cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}r\right)\right]</math>

onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como

:<math>e^{\psi_m/2} = \cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}\right).</math>

A solução para <math>n=2</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,2]</math> é dada por

:<math>\psi = \ln \left[\frac{64e^{\psi_m}}{(\lambda e^{\psi_m}r^2+8)^2}\right]</math>

onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como

:<math> (\lambda e^{\psi_m}+8)^2 - 64 e^{\psi_m} =0.</math>

== Método Crank-Nicolson ==
Para resolver a equação diferencial parcial de Liouville-Bratu-Gelfand foi utilizado o método de Crank-Nicolson. Sendo a média ponderada dos métodos explícito e implícito de FTCS (Forward Time Central Space) da forma:

<center><math> \frac{\psi_{j,i}^{n+1}-\psi_{j,i}^{n}}{\Delta t} = \theta . implicito + (1-\theta) . explicito </math></center>

onde <math> \theta = \frac{1}{2} </math>.

=== Método Explícito FTCS ===
Para o método explícito a equação é discretizada da seguinte forma:

<math> \psi_{j,i}^{n+1} = \psi_{j,i}^{n} + \Delta t (\left \frac{\psi_{i-1,j}^{n} - 2\psi_{i,j}^{n} + \psi_{i+1,j}^{n}}{{\Delta x}^2} + \frac{\psi_{i,j-1}^{n} - 2\psi_{i,j}^{n} + \psi_{i,j+1}^{n}}{{\Delta y}^2} + \lambda \e^{\psi_{i,j}^{n}} </math>

== Método de Relaxação ==
Como a equação de Liouville-Bratu-Gelfand não depende do tempo, é necessária uma aproximação para uma equação similar dependente do tempo para resolvê-la numericamente aplicando o método de FTCS (Foward Time Central Space). Fazendo então a solução dessa equação convergir ao estado estacionário diante de uma evolução temporal longa o suficiente (<math>t \rightarrow \infty</math>).

Utilizando uma equação da difusão genérica chegamos na seguinte forma:

<center><math>\frac{\partial \psi}{dt} = \alpha \left( \frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^{2}\psi}{\partial y^2} \right)</math>.</center>

Onde <math>\alpha</math> é a constante de difusão. Assim é possível aplicar essa equação no método de Jacobi, método numérico de relaxação.

== Referências ==

# https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%E2%80%93Bratu%E2%80%93Gelfand_equation
# Scherer, CLÁUDIO. Métodos Computacionais da Física. 2010.

Equação de Liouville-Bratu-Gelfand

2024-06-25T21:04:15Z

Analucia: /* Método Crank-Nicolson */

== Equação de Liouville-bratu-Gelfand ==

Na matemática, a Equação Liouville–Bratu–Gelfand ou Equação de Liouville é uma equação de Poisson não linear, nomeada em homenagem aos matemáticos Joseph Liouville, Gheorghe Bratu e Israel Gelfand, que é descrita da seguinte forma

<center><math> \nabla^2 \psi+\lambda e^\psi =0</math></center>

Essa equação aparece em problemas de fuga térmica, como na teoria de Frank-Kamenetskii, e na astrofísica, por exemplo, na equação Emden–Chandrasekhar. Esta equação pode descrever a carga espacial de eletricidade em torno de um fio brilhante ou até mesmo uma nebulosa planetária.

== A solução de Liouville ==

Em duas dimensões, com coordenadas cartesianas (x,y), Joseph Liouville propôs uma solução em 1853 como

<math> \lambda e^\psi(u^2+v^2+1)^2=2\left[\left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + \left(\dfrac{\partial u}{\partial y}\right)^2\right] </math>

onde <math>f(z)=u + i v</math> é uma [[função analítica]] arbitrária com <math>z=x+iy</math>. Em 1915, G.W. Walker<ref>Walker, George W. "Some problems illustrating the forms of nebulae." Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character 91.631 (1915): 410-420.https://www.jstor.org/stable/pdf/93512.pdf?refreqid=excelsior%3Af4a4cc9656b8bbd9266f9d32587d02b1</ref> encontrou uma solução assumindo uma forma para <math>f(z)</math>. Se <math>r^2=x^2+y^2</math>, então a solução de Walker é

:<math>8 e^{-\psi} = \lambda \left[\left(\frac{r}{a}\right)^n + \left(\frac{a}{r}\right)^n\right]^2</math>

onde <math>a</math> é algum raio finito. Essa solução vai ao infinito para qualquer <math>n</math>, mas vai ao infinito na origem <math>n<1</math> , finito na origem para <math>n=1</math> e vai a zero na origem para <math>n>1</math>. Walker também propôs mais duas soluções em seu artigo de 1915.

==Formas radialmente simétricas==

Se o sistema a ser estudado for radialmente simétrico, então a equação em <math>n</math> dimensões torna-se

:<math>\psi'' + \frac{n-1}{r}\psi' + \lambda e^\psi=0</math>

onde <math>r</math> é a distância a partir da origem. Com as condições de contorno

:<math>\psi'(0)=0, \quad \psi(1) = 0</math>

e para <math>\lambda\geq 0</math>, uma solução real existe apenas para <math>\lambda \in [0,\lambda_c]</math>, onde <math>\lambda_c</math> é o parâmetro crítico chamado de [[Teoria de Frank-Kamenetskii|'''parâmetro de Frank-Kamenetskii''']]. O parâmetro crítico é <math>\lambda_c=0.8785</math> para <math>n=1</math>, <math>\lambda_c=2</math> para <math>n=2</math> e <math>\lambda_c=3.32</math> para <math>n=3</math>. Para <math>n=1, \ 2</math>, existem duas soluções e para <math>3\leq n\leq 9</math> existem infinitas soluções com as soluções oscilando em torno do ponto <math>\lambda=2(n-2)</math>. Para <math>n\geq 10</math>, a solução é única e, nesses casos, o parâmetro crítico é dado por <math>\lambda_c=2(n-2)</math>. A multiplicidade de soluções para <math>n=3</math> foi descoberta por [[Israel Gelfand]] em 1963 e, posteriormente, em 1973, generalizada para todos os <math>n</math> por [[Daniel D. Joseph]] e [[Thomas S. Lundgren]].<ref>Joseph, D. D., e T. S. Lundgren. "Quasilinear Dirichlet problems driven by positive sources." Archive for Rational Mechanics and Analysis 49.4 (1973): 241-269.</ref>

A solução para <math>n=1</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,0.8785]</math> é dada por

:<math>\psi = -2 \ln \left[e^{-\psi_m/2}\cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}r\right)\right]</math>

onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como

:<math>e^{\psi_m/2} = \cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}\right).</math>

A solução para <math>n=2</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,2]</math> é dada por

:<math>\psi = \ln \left[\frac{64e^{\psi_m}}{(\lambda e^{\psi_m}r^2+8)^2}\right]</math>

onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como

:<math> (\lambda e^{\psi_m}+8)^2 - 64 e^{\psi_m} =0.</math>

== Método Crank-Nicolson ==
Para resolver a equação diferencial parcial de Liouville-Bratu-Gelfand foi utilizado o método de Crank-Nicolson. Sendo a média ponderada dos métodos explícito e implícito de FTCS (Forward Time Central Space) da forma:

<center><math> \frac{\psi_{j,i}^{n+1}-\psi_{j,i}^{n}}{\Delta t} = \theta . implicito + (1-\theta) . explicito </math></center>

onde <math> \theta = \frac{1}{2} </math>.

=== Método Explícito FTCS ===
Para o método explícito a equação é discretizada da seguinte forma:

<math> \psi_{j,i}^{n+1} = \psi_{j,i}^{n} + \Delta t (\left \frac{\psi_{i-1,j}^{n} - 2\psi_{i,j}^{n} + \psi_{i+1,j}^{n}}{{\Delta x}^2} + \frac{\psi_{i,j-1}^{n} - 2\psi_{i,j}^{n} + \psi_{i,j+1}^{n}}{{\Delta y}^2} + \lambda \exp^{\psi_{i,j}^{n}} </math>

== Método de Relaxação ==
Como a equação de Liouville-Bratu-Gelfand não depende do tempo, é necessária uma aproximação para uma equação similar dependente do tempo para resolvê-la numericamente aplicando o método de FTCS (Foward Time Central Space). Fazendo então a solução dessa equação convergir ao estado estacionário diante de uma evolução temporal longa o suficiente (<math>t \rightarrow \infty</math>).

Utilizando uma equação da difusão genérica chegamos na seguinte forma:

<center><math>\frac{\partial \psi}{dt} = \alpha \left( \frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^{2}\psi}{\partial y^2} \right)</math>.</center>

Onde <math>\alpha</math> é a constante de difusão. Assim é possível aplicar essa equação no método de Jacobi, método numérico de relaxação.

== Referências ==

# https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%E2%80%93Bratu%E2%80%93Gelfand_equation
# Scherer, CLÁUDIO. Métodos Computacionais da Física. 2010.

Equação de Liouville-Bratu-Gelfand

2024-06-25T20:42:15Z

Analucia: /* Método Crank-Nicolson */

== Equação de Liouville-bratu-Gelfand ==

Na matemática, a Equação Liouville–Bratu–Gelfand ou Equação de Liouville é uma equação de Poisson não linear, nomeada em homenagem aos matemáticos Joseph Liouville, Gheorghe Bratu e Israel Gelfand, que é descrita da seguinte forma

<center><math> \nabla^2 \psi+\lambda e^\psi =0</math></center>

Essa equação aparece em problemas de fuga térmica, como na teoria de Frank-Kamenetskii, e na astrofísica, por exemplo, na equação Emden–Chandrasekhar. Esta equação pode descrever a carga espacial de eletricidade em torno de um fio brilhante ou até mesmo uma nebulosa planetária.

== A solução de Liouville ==

Em duas dimensões, com coordenadas cartesianas (x,y), Joseph Liouville propôs uma solução em 1853 como

<math> \lambda e^\psi(u^2+v^2+1)^2=2\left[\left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + \left(\dfrac{\partial u}{\partial y}\right)^2\right] </math>

onde <math>f(z)=u + i v</math> é uma [[função analítica]] arbitrária com <math>z=x+iy</math>. Em 1915, G.W. Walker<ref>Walker, George W. "Some problems illustrating the forms of nebulae." Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character 91.631 (1915): 410-420.https://www.jstor.org/stable/pdf/93512.pdf?refreqid=excelsior%3Af4a4cc9656b8bbd9266f9d32587d02b1</ref> encontrou uma solução assumindo uma forma para <math>f(z)</math>. Se <math>r^2=x^2+y^2</math>, então a solução de Walker é

:<math>8 e^{-\psi} = \lambda \left[\left(\frac{r}{a}\right)^n + \left(\frac{a}{r}\right)^n\right]^2</math>

onde <math>a</math> é algum raio finito. Essa solução vai ao infinito para qualquer <math>n</math>, mas vai ao infinito na origem <math>n<1</math> , finito na origem para <math>n=1</math> e vai a zero na origem para <math>n>1</math>. Walker também propôs mais duas soluções em seu artigo de 1915.

==Formas radialmente simétricas==

Se o sistema a ser estudado for radialmente simétrico, então a equação em <math>n</math> dimensões torna-se

:<math>\psi'' + \frac{n-1}{r}\psi' + \lambda e^\psi=0</math>

onde <math>r</math> é a distância a partir da origem. Com as condições de contorno

:<math>\psi'(0)=0, \quad \psi(1) = 0</math>

e para <math>\lambda\geq 0</math>, uma solução real existe apenas para <math>\lambda \in [0,\lambda_c]</math>, onde <math>\lambda_c</math> é o parâmetro crítico chamado de [[Teoria de Frank-Kamenetskii|'''parâmetro de Frank-Kamenetskii''']]. O parâmetro crítico é <math>\lambda_c=0.8785</math> para <math>n=1</math>, <math>\lambda_c=2</math> para <math>n=2</math> e <math>\lambda_c=3.32</math> para <math>n=3</math>. Para <math>n=1, \ 2</math>, existem duas soluções e para <math>3\leq n\leq 9</math> existem infinitas soluções com as soluções oscilando em torno do ponto <math>\lambda=2(n-2)</math>. Para <math>n\geq 10</math>, a solução é única e, nesses casos, o parâmetro crítico é dado por <math>\lambda_c=2(n-2)</math>. A multiplicidade de soluções para <math>n=3</math> foi descoberta por [[Israel Gelfand]] em 1963 e, posteriormente, em 1973, generalizada para todos os <math>n</math> por [[Daniel D. Joseph]] e [[Thomas S. Lundgren]].<ref>Joseph, D. D., e T. S. Lundgren. "Quasilinear Dirichlet problems driven by positive sources." Archive for Rational Mechanics and Analysis 49.4 (1973): 241-269.</ref>

A solução para <math>n=1</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,0.8785]</math> é dada por

:<math>\psi = -2 \ln \left[e^{-\psi_m/2}\cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}r\right)\right]</math>

onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como

:<math>e^{\psi_m/2} = \cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}\right).</math>

A solução para <math>n=2</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,2]</math> é dada por

:<math>\psi = \ln \left[\frac{64e^{\psi_m}}{(\lambda e^{\psi_m}r^2+8)^2}\right]</math>

onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como

:<math> (\lambda e^{\psi_m}+8)^2 - 64 e^{\psi_m} =0.</math>

== Método Crank-Nicolson ==
Para resolver a equação diferencial parcial de Liouville-Bratu-Gelfand foi utilizado o método de Crank-Nicolson. Sendo a média ponderada dos métodos explícito e implícito de FTCS (Forward Time Central Space) da forma:

<center><math> \frac{\psi_{j}^{n+1}-\psi_{j}^{n}}{\Delta t} = \theta . implicito + (1-\theta) . explicito </math></center>

onde <math> \theta = \frac{1}{2} </math>.

=== Método Explícito FTCS ===

== Método de Relaxação ==
Como a equação de Liouville-Bratu-Gelfand não depende do tempo, é necessária uma aproximação para uma equação similar dependente do tempo para resolvê-la numericamente aplicando o método de FTCS (Foward Time Central Space). Fazendo então a solução dessa equação convergir ao estado estacionário diante de uma evolução temporal longa o suficiente (<math>t \rightarrow \infty</math>).

Utilizando uma equação da difusão genérica chegamos na seguinte forma:

<center><math>\frac{\partial \psi}{dt} = \alpha \left( \frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^{2}\psi}{\partial y^2} \right)</math>.</center>

Onde <math>\alpha</math> é a constante de difusão. Assim é possível aplicar essa equação no método de Jacobi, método numérico de relaxação.

== Referências ==

# https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%E2%80%93Bratu%E2%80%93Gelfand_equation
# Scherer, CLÁUDIO. Métodos Computacionais da Física. 2010.

Equação de Liouville-Bratu-Gelfand

2024-06-24T21:27:24Z

Analucia: /* Método Crank-Nicolson */

== Equação de Liouville-bratu-Gelfand ==

Na matemática, a Equação Liouville–Bratu–Gelfand ou Equação de Liouville é uma equação de Poisson não linear, nomeada em homenagem aos matemáticos Joseph Liouville, Gheorghe Bratu e Israel Gelfand, que é descrita da seguinte forma

<center><math> \nabla^2 \psi+\lambda e^\psi =0</math></center>

Essa equação aparece em problemas de fuga térmica, como na teoria de Frank-Kamenetskii, e na astrofísica, por exemplo, na equação Emden–Chandrasekhar. Esta equação pode descrever a carga espacial de eletricidade em torno de um fio brilhante ou até mesmo uma nebulosa planetária.

== A solução de Liouville ==

Em duas dimensões, com coordenadas cartesianas (x,y), Joseph Liouville propôs uma solução em 1853 como

<math> \lambda e^\psi(u^2+v^2+1)^2=2\left[\left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + \left(\dfrac{\partial u}{\partial y}\right)^2\right] </math>

onde <math>f(z)=u + i v</math> é uma [[função analítica]] arbitrária com <math>z=x+iy</math>. Em 1915, G.W. Walker<ref>Walker, George W. "Some problems illustrating the forms of nebulae." Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character 91.631 (1915): 410-420.https://www.jstor.org/stable/pdf/93512.pdf?refreqid=excelsior%3Af4a4cc9656b8bbd9266f9d32587d02b1</ref> encontrou uma solução assumindo uma forma para <math>f(z)</math>. Se <math>r^2=x^2+y^2</math>, então a solução de Walker é

:<math>8 e^{-\psi} = \lambda \left[\left(\frac{r}{a}\right)^n + \left(\frac{a}{r}\right)^n\right]^2</math>

onde <math>a</math> é algum raio finito. Essa solução vai ao infinito para qualquer <math>n</math>, mas vai ao infinito na origem <math>n<1</math> , finito na origem para <math>n=1</math> e vai a zero na origem para <math>n>1</math>. Walker também propôs mais duas soluções em seu artigo de 1915.

==Formas radialmente simétricas==

Se o sistema a ser estudado for radialmente simétrico, então a equação em <math>n</math> dimensões torna-se

:<math>\psi'' + \frac{n-1}{r}\psi' + \lambda e^\psi=0</math>

onde <math>r</math> é a distância a partir da origem. Com as condições de contorno

:<math>\psi'(0)=0, \quad \psi(1) = 0</math>

e para <math>\lambda\geq 0</math>, uma solução real existe apenas para <math>\lambda \in [0,\lambda_c]</math>, onde <math>\lambda_c</math> é o parâmetro crítico chamado de [[Teoria de Frank-Kamenetskii|'''parâmetro de Frank-Kamenetskii''']]. O parâmetro crítico é <math>\lambda_c=0.8785</math> para <math>n=1</math>, <math>\lambda_c=2</math> para <math>n=2</math> e <math>\lambda_c=3.32</math> para <math>n=3</math>. Para <math>n=1, \ 2</math>, existem duas soluções e para <math>3\leq n\leq 9</math> existem infinitas soluções com as soluções oscilando em torno do ponto <math>\lambda=2(n-2)</math>. Para <math>n\geq 10</math>, a solução é única e, nesses casos, o parâmetro crítico é dado por <math>\lambda_c=2(n-2)</math>. A multiplicidade de soluções para <math>n=3</math> foi descoberta por [[Israel Gelfand]] em 1963 e, posteriormente, em 1973, generalizada para todos os <math>n</math> por [[Daniel D. Joseph]] e [[Thomas S. Lundgren]].<ref>Joseph, D. D., e T. S. Lundgren. "Quasilinear Dirichlet problems driven by positive sources." Archive for Rational Mechanics and Analysis 49.4 (1973): 241-269.</ref>

A solução para <math>n=1</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,0.8785]</math> é dada por

:<math>\psi = -2 \ln \left[e^{-\psi_m/2}\cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}r\right)\right]</math>

onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como

:<math>e^{\psi_m/2} = \cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}\right).</math>

A solução para <math>n=2</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,2]</math> é dada por

:<math>\psi = \ln \left[\frac{64e^{\psi_m}}{(\lambda e^{\psi_m}r^2+8)^2}\right]</math>

onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como

:<math> (\lambda e^{\psi_m}+8)^2 - 64 e^{\psi_m} =0.</math>

== Método Crank-Nicolson ==
Para resolver a equação diferencial parcial de Liouville-Bratu-Gelfand foi utilizado o método de Crank-Nicolson. Sendo a média ponderada dos métodos explícito e implícito de FTCS (Forward Time Central Space) da forma:

<center><math> \frac{\psi_{j}^{n+1}-\psi_{j}^{n}}{\Delta t} = \theta . implicito + (1-\theta) . explicito </math></center>

== Método de Relaxação ==
Como a equação de Liouville-Bratu-Gelfand não depende do tempo, é necessária uma aproximação para uma equação similar dependente do tempo para resolvê-la numericamente aplicando o método de FTCS (Foward Time Central Space). Fazendo então a solução dessa equação convergir ao estado estacionário diante de uma evolução temporal longa o suficiente (<math>t \rightarrow \infty</math>).

Utilizando uma equação da difusão genérica chegamos na seguinte forma:

<center><math>\frac{\partial \psi}{dt} = \alpha \left( \frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^{2}\psi}{\partial y^2} \right)</math>.</center>

Onde <math>\alpha</math> é a constante de difusão. Assim é possível aplicar essa equação no método de Jacobi, método numérico de relaxação.

== Referências ==

# https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%E2%80%93Bratu%E2%80%93Gelfand_equation
# Scherer, CLÁUDIO. Métodos Computacionais da Física. 2010.

Equação de Liouville-Bratu-Gelfand

2024-06-24T21:26:44Z

Analucia: /* Método Crank-Nicolson */

== Equação de Liouville-bratu-Gelfand ==

Na matemática, a Equação Liouville–Bratu–Gelfand ou Equação de Liouville é uma equação de Poisson não linear, nomeada em homenagem aos matemáticos Joseph Liouville, Gheorghe Bratu e Israel Gelfand, que é descrita da seguinte forma

<center><math> \nabla^2 \psi+\lambda e^\psi =0</math></center>

Essa equação aparece em problemas de fuga térmica, como na teoria de Frank-Kamenetskii, e na astrofísica, por exemplo, na equação Emden–Chandrasekhar. Esta equação pode descrever a carga espacial de eletricidade em torno de um fio brilhante ou até mesmo uma nebulosa planetária.

== A solução de Liouville ==

Em duas dimensões, com coordenadas cartesianas (x,y), Joseph Liouville propôs uma solução em 1853 como

<math> \lambda e^\psi(u^2+v^2+1)^2=2\left[\left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + \left(\dfrac{\partial u}{\partial y}\right)^2\right] </math>

onde <math>f(z)=u + i v</math> é uma [[função analítica]] arbitrária com <math>z=x+iy</math>. Em 1915, G.W. Walker<ref>Walker, George W. "Some problems illustrating the forms of nebulae." Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character 91.631 (1915): 410-420.https://www.jstor.org/stable/pdf/93512.pdf?refreqid=excelsior%3Af4a4cc9656b8bbd9266f9d32587d02b1</ref> encontrou uma solução assumindo uma forma para <math>f(z)</math>. Se <math>r^2=x^2+y^2</math>, então a solução de Walker é

:<math>8 e^{-\psi} = \lambda \left[\left(\frac{r}{a}\right)^n + \left(\frac{a}{r}\right)^n\right]^2</math>

onde <math>a</math> é algum raio finito. Essa solução vai ao infinito para qualquer <math>n</math>, mas vai ao infinito na origem <math>n<1</math> , finito na origem para <math>n=1</math> e vai a zero na origem para <math>n>1</math>. Walker também propôs mais duas soluções em seu artigo de 1915.

==Formas radialmente simétricas==

Se o sistema a ser estudado for radialmente simétrico, então a equação em <math>n</math> dimensões torna-se

:<math>\psi'' + \frac{n-1}{r}\psi' + \lambda e^\psi=0</math>

onde <math>r</math> é a distância a partir da origem. Com as condições de contorno

:<math>\psi'(0)=0, \quad \psi(1) = 0</math>

e para <math>\lambda\geq 0</math>, uma solução real existe apenas para <math>\lambda \in [0,\lambda_c]</math>, onde <math>\lambda_c</math> é o parâmetro crítico chamado de [[Teoria de Frank-Kamenetskii|'''parâmetro de Frank-Kamenetskii''']]. O parâmetro crítico é <math>\lambda_c=0.8785</math> para <math>n=1</math>, <math>\lambda_c=2</math> para <math>n=2</math> e <math>\lambda_c=3.32</math> para <math>n=3</math>. Para <math>n=1, \ 2</math>, existem duas soluções e para <math>3\leq n\leq 9</math> existem infinitas soluções com as soluções oscilando em torno do ponto <math>\lambda=2(n-2)</math>. Para <math>n\geq 10</math>, a solução é única e, nesses casos, o parâmetro crítico é dado por <math>\lambda_c=2(n-2)</math>. A multiplicidade de soluções para <math>n=3</math> foi descoberta por [[Israel Gelfand]] em 1963 e, posteriormente, em 1973, generalizada para todos os <math>n</math> por [[Daniel D. Joseph]] e [[Thomas S. Lundgren]].<ref>Joseph, D. D., e T. S. Lundgren. "Quasilinear Dirichlet problems driven by positive sources." Archive for Rational Mechanics and Analysis 49.4 (1973): 241-269.</ref>

A solução para <math>n=1</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,0.8785]</math> é dada por

:<math>\psi = -2 \ln \left[e^{-\psi_m/2}\cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}r\right)\right]</math>

onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como

:<math>e^{\psi_m/2} = \cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}\right).</math>

A solução para <math>n=2</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,2]</math> é dada por

:<math>\psi = \ln \left[\frac{64e^{\psi_m}}{(\lambda e^{\psi_m}r^2+8)^2}\right]</math>

onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como

:<math> (\lambda e^{\psi_m}+8)^2 - 64 e^{\psi_m} =0.</math>

== Método Crank-Nicolson ==
Para resolver a equação diferencial parcial de Liouville-Bratu-Gelfand foi utilizado o método de Crank-Nicolson. Sendo a média ponderada dos métodos explícito e implícito de FTCS (Forward Time Central Space) da forma:

<center><math> \frac{\psi_{j}^{n+1}-\psi_{j}^{n}}{\Delta t} = \theta * implicito + (1-\theta) * explicito </math></center>

== Método de Relaxação ==
Como a equação de Liouville-Bratu-Gelfand não depende do tempo, é necessária uma aproximação para uma equação similar dependente do tempo para resolvê-la numericamente aplicando o método de FTCS (Foward Time Central Space). Fazendo então a solução dessa equação convergir ao estado estacionário diante de uma evolução temporal longa o suficiente (<math>t \rightarrow \infty</math>).

Utilizando uma equação da difusão genérica chegamos na seguinte forma:

<center><math>\frac{\partial \psi}{dt} = \alpha \left( \frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^{2}\psi}{\partial y^2} \right)</math>.</center>

Onde <math>\alpha</math> é a constante de difusão. Assim é possível aplicar essa equação no método de Jacobi, método numérico de relaxação.

== Referências ==

# https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%E2%80%93Bratu%E2%80%93Gelfand_equation
# Scherer, CLÁUDIO. Métodos Computacionais da Física. 2010.

Equação de Liouville-Bratu-Gelfand

2024-06-24T21:26:04Z

Analucia: /* Método Crank-Nicolson */

== Equação de Liouville-bratu-Gelfand ==

Na matemática, a Equação Liouville–Bratu–Gelfand ou Equação de Liouville é uma equação de Poisson não linear, nomeada em homenagem aos matemáticos Joseph Liouville, Gheorghe Bratu e Israel Gelfand, que é descrita da seguinte forma

<center><math> \nabla^2 \psi+\lambda e^\psi =0</math></center>

Essa equação aparece em problemas de fuga térmica, como na teoria de Frank-Kamenetskii, e na astrofísica, por exemplo, na equação Emden–Chandrasekhar. Esta equação pode descrever a carga espacial de eletricidade em torno de um fio brilhante ou até mesmo uma nebulosa planetária.

== A solução de Liouville ==

Em duas dimensões, com coordenadas cartesianas (x,y), Joseph Liouville propôs uma solução em 1853 como

<math> \lambda e^\psi(u^2+v^2+1)^2=2\left[\left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + \left(\dfrac{\partial u}{\partial y}\right)^2\right] </math>

onde <math>f(z)=u + i v</math> é uma [[função analítica]] arbitrária com <math>z=x+iy</math>. Em 1915, G.W. Walker<ref>Walker, George W. "Some problems illustrating the forms of nebulae." Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character 91.631 (1915): 410-420.https://www.jstor.org/stable/pdf/93512.pdf?refreqid=excelsior%3Af4a4cc9656b8bbd9266f9d32587d02b1</ref> encontrou uma solução assumindo uma forma para <math>f(z)</math>. Se <math>r^2=x^2+y^2</math>, então a solução de Walker é

:<math>8 e^{-\psi} = \lambda \left[\left(\frac{r}{a}\right)^n + \left(\frac{a}{r}\right)^n\right]^2</math>

onde <math>a</math> é algum raio finito. Essa solução vai ao infinito para qualquer <math>n</math>, mas vai ao infinito na origem <math>n<1</math> , finito na origem para <math>n=1</math> e vai a zero na origem para <math>n>1</math>. Walker também propôs mais duas soluções em seu artigo de 1915.

==Formas radialmente simétricas==

Se o sistema a ser estudado for radialmente simétrico, então a equação em <math>n</math> dimensões torna-se

:<math>\psi'' + \frac{n-1}{r}\psi' + \lambda e^\psi=0</math>

onde <math>r</math> é a distância a partir da origem. Com as condições de contorno

:<math>\psi'(0)=0, \quad \psi(1) = 0</math>

e para <math>\lambda\geq 0</math>, uma solução real existe apenas para <math>\lambda \in [0,\lambda_c]</math>, onde <math>\lambda_c</math> é o parâmetro crítico chamado de [[Teoria de Frank-Kamenetskii|'''parâmetro de Frank-Kamenetskii''']]. O parâmetro crítico é <math>\lambda_c=0.8785</math> para <math>n=1</math>, <math>\lambda_c=2</math> para <math>n=2</math> e <math>\lambda_c=3.32</math> para <math>n=3</math>. Para <math>n=1, \ 2</math>, existem duas soluções e para <math>3\leq n\leq 9</math> existem infinitas soluções com as soluções oscilando em torno do ponto <math>\lambda=2(n-2)</math>. Para <math>n\geq 10</math>, a solução é única e, nesses casos, o parâmetro crítico é dado por <math>\lambda_c=2(n-2)</math>. A multiplicidade de soluções para <math>n=3</math> foi descoberta por [[Israel Gelfand]] em 1963 e, posteriormente, em 1973, generalizada para todos os <math>n</math> por [[Daniel D. Joseph]] e [[Thomas S. Lundgren]].<ref>Joseph, D. D., e T. S. Lundgren. "Quasilinear Dirichlet problems driven by positive sources." Archive for Rational Mechanics and Analysis 49.4 (1973): 241-269.</ref>

A solução para <math>n=1</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,0.8785]</math> é dada por

:<math>\psi = -2 \ln \left[e^{-\psi_m/2}\cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}r\right)\right]</math>

onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como

:<math>e^{\psi_m/2} = \cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}\right).</math>

A solução para <math>n=2</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,2]</math> é dada por

:<math>\psi = \ln \left[\frac{64e^{\psi_m}}{(\lambda e^{\psi_m}r^2+8)^2}\right]</math>

onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como

:<math> (\lambda e^{\psi_m}+8)^2 - 64 e^{\psi_m} =0.</math>

== Método Crank-Nicolson ==
Para resolver a equação diferencial parcial de Liouville-Bratu-Gelfand foi utilizado o método de Crank-Nicolson. Sendo a média ponderada dos métodos explícito e implícito de FTCS (Forward Time Central Space) da forma:

<center><math> \frac{\psi_{j}^{n+1}-\psi_{j}^{n}}{\Delta t} = \Theta * implícito + (1-\Theta) * explícito </math></center>

== Método de Relaxação ==
Como a equação de Liouville-Bratu-Gelfand não depende do tempo, é necessária uma aproximação para uma equação similar dependente do tempo para resolvê-la numericamente aplicando o método de FTCS (Foward Time Central Space). Fazendo então a solução dessa equação convergir ao estado estacionário diante de uma evolução temporal longa o suficiente (<math>t \rightarrow \infty</math>).

Utilizando uma equação da difusão genérica chegamos na seguinte forma:

<center><math>\frac{\partial \psi}{dt} = \alpha \left( \frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^{2}\psi}{\partial y^2} \right)</math>.</center>

Onde <math>\alpha</math> é a constante de difusão. Assim é possível aplicar essa equação no método de Jacobi, método numérico de relaxação.

== Referências ==

# https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%E2%80%93Bratu%E2%80%93Gelfand_equation
# Scherer, CLÁUDIO. Métodos Computacionais da Física. 2010.

Equação de Liouville-Bratu-Gelfand

2024-06-24T21:25:05Z

Analucia: /* Método Crank-Nicolson */

== Equação de Liouville-bratu-Gelfand ==

Na matemática, a Equação Liouville–Bratu–Gelfand ou Equação de Liouville é uma equação de Poisson não linear, nomeada em homenagem aos matemáticos Joseph Liouville, Gheorghe Bratu e Israel Gelfand, que é descrita da seguinte forma

<center><math> \nabla^2 \psi+\lambda e^\psi =0</math></center>

Essa equação aparece em problemas de fuga térmica, como na teoria de Frank-Kamenetskii, e na astrofísica, por exemplo, na equação Emden–Chandrasekhar. Esta equação pode descrever a carga espacial de eletricidade em torno de um fio brilhante ou até mesmo uma nebulosa planetária.

== A solução de Liouville ==

Em duas dimensões, com coordenadas cartesianas (x,y), Joseph Liouville propôs uma solução em 1853 como

<math> \lambda e^\psi(u^2+v^2+1)^2=2\left[\left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + \left(\dfrac{\partial u}{\partial y}\right)^2\right] </math>

onde <math>f(z)=u + i v</math> é uma [[função analítica]] arbitrária com <math>z=x+iy</math>. Em 1915, G.W. Walker<ref>Walker, George W. "Some problems illustrating the forms of nebulae." Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character 91.631 (1915): 410-420.https://www.jstor.org/stable/pdf/93512.pdf?refreqid=excelsior%3Af4a4cc9656b8bbd9266f9d32587d02b1</ref> encontrou uma solução assumindo uma forma para <math>f(z)</math>. Se <math>r^2=x^2+y^2</math>, então a solução de Walker é

:<math>8 e^{-\psi} = \lambda \left[\left(\frac{r}{a}\right)^n + \left(\frac{a}{r}\right)^n\right]^2</math>

onde <math>a</math> é algum raio finito. Essa solução vai ao infinito para qualquer <math>n</math>, mas vai ao infinito na origem <math>n<1</math> , finito na origem para <math>n=1</math> e vai a zero na origem para <math>n>1</math>. Walker também propôs mais duas soluções em seu artigo de 1915.

==Formas radialmente simétricas==

Se o sistema a ser estudado for radialmente simétrico, então a equação em <math>n</math> dimensões torna-se

:<math>\psi'' + \frac{n-1}{r}\psi' + \lambda e^\psi=0</math>

onde <math>r</math> é a distância a partir da origem. Com as condições de contorno

:<math>\psi'(0)=0, \quad \psi(1) = 0</math>

e para <math>\lambda\geq 0</math>, uma solução real existe apenas para <math>\lambda \in [0,\lambda_c]</math>, onde <math>\lambda_c</math> é o parâmetro crítico chamado de [[Teoria de Frank-Kamenetskii|'''parâmetro de Frank-Kamenetskii''']]. O parâmetro crítico é <math>\lambda_c=0.8785</math> para <math>n=1</math>, <math>\lambda_c=2</math> para <math>n=2</math> e <math>\lambda_c=3.32</math> para <math>n=3</math>. Para <math>n=1, \ 2</math>, existem duas soluções e para <math>3\leq n\leq 9</math> existem infinitas soluções com as soluções oscilando em torno do ponto <math>\lambda=2(n-2)</math>. Para <math>n\geq 10</math>, a solução é única e, nesses casos, o parâmetro crítico é dado por <math>\lambda_c=2(n-2)</math>. A multiplicidade de soluções para <math>n=3</math> foi descoberta por [[Israel Gelfand]] em 1963 e, posteriormente, em 1973, generalizada para todos os <math>n</math> por [[Daniel D. Joseph]] e [[Thomas S. Lundgren]].<ref>Joseph, D. D., e T. S. Lundgren. "Quasilinear Dirichlet problems driven by positive sources." Archive for Rational Mechanics and Analysis 49.4 (1973): 241-269.</ref>

A solução para <math>n=1</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,0.8785]</math> é dada por

:<math>\psi = -2 \ln \left[e^{-\psi_m/2}\cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}r\right)\right]</math>

onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como

:<math>e^{\psi_m/2} = \cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}\right).</math>

A solução para <math>n=2</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,2]</math> é dada por

:<math>\psi = \ln \left[\frac{64e^{\psi_m}}{(\lambda e^{\psi_m}r^2+8)^2}\right]</math>

onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como

:<math> (\lambda e^{\psi_m}+8)^2 - 64 e^{\psi_m} =0.</math>

== Método Crank-Nicolson ==
Para resolver a equação diferencial parcial de Liouville-Bratu-Gelfand foi utilizado o método de Crank-Nicolson. Sendo a média ponderada dos métodos explícito e implícito de FTCS (Forward Time Central Space) da forma:

<center><math> \frac{(\psi_{j}^{n+1} - \psi_{j}^{n})}{\Delta t} = \theta * implícito + (1-\theta) * explícito </math></center>

== Método de Relaxação ==
Como a equação de Liouville-Bratu-Gelfand não depende do tempo, é necessária uma aproximação para uma equação similar dependente do tempo para resolvê-la numericamente aplicando o método de FTCS (Foward Time Central Space). Fazendo então a solução dessa equação convergir ao estado estacionário diante de uma evolução temporal longa o suficiente (<math>t \rightarrow \infty</math>).

Utilizando uma equação da difusão genérica chegamos na seguinte forma:

<center><math>\frac{\partial \psi}{dt} = \alpha \left( \frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^{2}\psi}{\partial y^2} \right)</math>.</center>

Onde <math>\alpha</math> é a constante de difusão. Assim é possível aplicar essa equação no método de Jacobi, método numérico de relaxação.

== Referências ==

# https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%E2%80%93Bratu%E2%80%93Gelfand_equation
# Scherer, CLÁUDIO. Métodos Computacionais da Física. 2010.

Equação de Liouville-Bratu-Gelfand

2024-06-24T21:23:46Z

Analucia: /* Método Crank-Nicolson */

== Equação de Liouville-bratu-Gelfand ==

Na matemática, a Equação Liouville–Bratu–Gelfand ou Equação de Liouville é uma equação de Poisson não linear, nomeada em homenagem aos matemáticos Joseph Liouville, Gheorghe Bratu e Israel Gelfand, que é descrita da seguinte forma

<center><math> \nabla^2 \psi+\lambda e^\psi =0</math></center>

Essa equação aparece em problemas de fuga térmica, como na teoria de Frank-Kamenetskii, e na astrofísica, por exemplo, na equação Emden–Chandrasekhar. Esta equação pode descrever a carga espacial de eletricidade em torno de um fio brilhante ou até mesmo uma nebulosa planetária.

== A solução de Liouville ==

Em duas dimensões, com coordenadas cartesianas (x,y), Joseph Liouville propôs uma solução em 1853 como

<math> \lambda e^\psi(u^2+v^2+1)^2=2\left[\left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + \left(\dfrac{\partial u}{\partial y}\right)^2\right] </math>

onde <math>f(z)=u + i v</math> é uma [[função analítica]] arbitrária com <math>z=x+iy</math>. Em 1915, G.W. Walker<ref>Walker, George W. "Some problems illustrating the forms of nebulae." Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character 91.631 (1915): 410-420.https://www.jstor.org/stable/pdf/93512.pdf?refreqid=excelsior%3Af4a4cc9656b8bbd9266f9d32587d02b1</ref> encontrou uma solução assumindo uma forma para <math>f(z)</math>. Se <math>r^2=x^2+y^2</math>, então a solução de Walker é

:<math>8 e^{-\psi} = \lambda \left[\left(\frac{r}{a}\right)^n + \left(\frac{a}{r}\right)^n\right]^2</math>

onde <math>a</math> é algum raio finito. Essa solução vai ao infinito para qualquer <math>n</math>, mas vai ao infinito na origem <math>n<1</math> , finito na origem para <math>n=1</math> e vai a zero na origem para <math>n>1</math>. Walker também propôs mais duas soluções em seu artigo de 1915.

==Formas radialmente simétricas==

Se o sistema a ser estudado for radialmente simétrico, então a equação em <math>n</math> dimensões torna-se

:<math>\psi'' + \frac{n-1}{r}\psi' + \lambda e^\psi=0</math>

onde <math>r</math> é a distância a partir da origem. Com as condições de contorno

:<math>\psi'(0)=0, \quad \psi(1) = 0</math>

e para <math>\lambda\geq 0</math>, uma solução real existe apenas para <math>\lambda \in [0,\lambda_c]</math>, onde <math>\lambda_c</math> é o parâmetro crítico chamado de [[Teoria de Frank-Kamenetskii|'''parâmetro de Frank-Kamenetskii''']]. O parâmetro crítico é <math>\lambda_c=0.8785</math> para <math>n=1</math>, <math>\lambda_c=2</math> para <math>n=2</math> e <math>\lambda_c=3.32</math> para <math>n=3</math>. Para <math>n=1, \ 2</math>, existem duas soluções e para <math>3\leq n\leq 9</math> existem infinitas soluções com as soluções oscilando em torno do ponto <math>\lambda=2(n-2)</math>. Para <math>n\geq 10</math>, a solução é única e, nesses casos, o parâmetro crítico é dado por <math>\lambda_c=2(n-2)</math>. A multiplicidade de soluções para <math>n=3</math> foi descoberta por [[Israel Gelfand]] em 1963 e, posteriormente, em 1973, generalizada para todos os <math>n</math> por [[Daniel D. Joseph]] e [[Thomas S. Lundgren]].<ref>Joseph, D. D., e T. S. Lundgren. "Quasilinear Dirichlet problems driven by positive sources." Archive for Rational Mechanics and Analysis 49.4 (1973): 241-269.</ref>

A solução para <math>n=1</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,0.8785]</math> é dada por

:<math>\psi = -2 \ln \left[e^{-\psi_m/2}\cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}r\right)\right]</math>

onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como

:<math>e^{\psi_m/2} = \cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}\right).</math>

A solução para <math>n=2</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,2]</math> é dada por

:<math>\psi = \ln \left[\frac{64e^{\psi_m}}{(\lambda e^{\psi_m}r^2+8)^2}\right]</math>

onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como

:<math> (\lambda e^{\psi_m}+8)^2 - 64 e^{\psi_m} =0.</math>

== Método Crank-Nicolson ==
Para resolver a equação diferencial parcial de Liouville-Bratu-Gelfand foi utilizado o método de Crank-Nicolson. Sendo a média ponderada dos métodos explícito e implícito de FTCS (Forward Time Central Space) da forma:

<center><math> \frac{\Psi_{j}^{n+1} - \Psi_{j}^{n}}{\Delta t} = \theta * implícito + (1-\theta) * explícito </math></center>

== Método de Relaxação ==
Como a equação de Liouville-Bratu-Gelfand não depende do tempo, é necessária uma aproximação para uma equação similar dependente do tempo para resolvê-la numericamente aplicando o método de FTCS (Foward Time Central Space). Fazendo então a solução dessa equação convergir ao estado estacionário diante de uma evolução temporal longa o suficiente (<math>t \rightarrow \infty</math>).

Utilizando uma equação da difusão genérica chegamos na seguinte forma:

<center><math>\frac{\partial \psi}{dt} = \alpha \left( \frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^{2}\psi}{\partial y^2} \right)</math>.</center>

Onde <math>\alpha</math> é a constante de difusão. Assim é possível aplicar essa equação no método de Jacobi, método numérico de relaxação.

== Referências ==

# https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%E2%80%93Bratu%E2%80%93Gelfand_equation
# Scherer, CLÁUDIO. Métodos Computacionais da Física. 2010.

Equação de Liouville-Bratu-Gelfand

2024-06-24T21:23:15Z

Analucia: /* Método Crank-Nicolson */

== Equação de Liouville-bratu-Gelfand ==

Na matemática, a Equação Liouville–Bratu–Gelfand ou Equação de Liouville é uma equação de Poisson não linear, nomeada em homenagem aos matemáticos Joseph Liouville, Gheorghe Bratu e Israel Gelfand, que é descrita da seguinte forma

<center><math> \nabla^2 \psi+\lambda e^\psi =0</math></center>

Essa equação aparece em problemas de fuga térmica, como na teoria de Frank-Kamenetskii, e na astrofísica, por exemplo, na equação Emden–Chandrasekhar. Esta equação pode descrever a carga espacial de eletricidade em torno de um fio brilhante ou até mesmo uma nebulosa planetária.

== A solução de Liouville ==

Em duas dimensões, com coordenadas cartesianas (x,y), Joseph Liouville propôs uma solução em 1853 como

<math> \lambda e^\psi(u^2+v^2+1)^2=2\left[\left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + \left(\dfrac{\partial u}{\partial y}\right)^2\right] </math>

onde <math>f(z)=u + i v</math> é uma [[função analítica]] arbitrária com <math>z=x+iy</math>. Em 1915, G.W. Walker<ref>Walker, George W. "Some problems illustrating the forms of nebulae." Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character 91.631 (1915): 410-420.https://www.jstor.org/stable/pdf/93512.pdf?refreqid=excelsior%3Af4a4cc9656b8bbd9266f9d32587d02b1</ref> encontrou uma solução assumindo uma forma para <math>f(z)</math>. Se <math>r^2=x^2+y^2</math>, então a solução de Walker é

:<math>8 e^{-\psi} = \lambda \left[\left(\frac{r}{a}\right)^n + \left(\frac{a}{r}\right)^n\right]^2</math>

onde <math>a</math> é algum raio finito. Essa solução vai ao infinito para qualquer <math>n</math>, mas vai ao infinito na origem <math>n<1</math> , finito na origem para <math>n=1</math> e vai a zero na origem para <math>n>1</math>. Walker também propôs mais duas soluções em seu artigo de 1915.

==Formas radialmente simétricas==

Se o sistema a ser estudado for radialmente simétrico, então a equação em <math>n</math> dimensões torna-se

:<math>\psi'' + \frac{n-1}{r}\psi' + \lambda e^\psi=0</math>

onde <math>r</math> é a distância a partir da origem. Com as condições de contorno

:<math>\psi'(0)=0, \quad \psi(1) = 0</math>

e para <math>\lambda\geq 0</math>, uma solução real existe apenas para <math>\lambda \in [0,\lambda_c]</math>, onde <math>\lambda_c</math> é o parâmetro crítico chamado de [[Teoria de Frank-Kamenetskii|'''parâmetro de Frank-Kamenetskii''']]. O parâmetro crítico é <math>\lambda_c=0.8785</math> para <math>n=1</math>, <math>\lambda_c=2</math> para <math>n=2</math> e <math>\lambda_c=3.32</math> para <math>n=3</math>. Para <math>n=1, \ 2</math>, existem duas soluções e para <math>3\leq n\leq 9</math> existem infinitas soluções com as soluções oscilando em torno do ponto <math>\lambda=2(n-2)</math>. Para <math>n\geq 10</math>, a solução é única e, nesses casos, o parâmetro crítico é dado por <math>\lambda_c=2(n-2)</math>. A multiplicidade de soluções para <math>n=3</math> foi descoberta por [[Israel Gelfand]] em 1963 e, posteriormente, em 1973, generalizada para todos os <math>n</math> por [[Daniel D. Joseph]] e [[Thomas S. Lundgren]].<ref>Joseph, D. D., e T. S. Lundgren. "Quasilinear Dirichlet problems driven by positive sources." Archive for Rational Mechanics and Analysis 49.4 (1973): 241-269.</ref>

A solução para <math>n=1</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,0.8785]</math> é dada por

:<math>\psi = -2 \ln \left[e^{-\psi_m/2}\cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}r\right)\right]</math>

onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como

:<math>e^{\psi_m/2} = \cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}\right).</math>

A solução para <math>n=2</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,2]</math> é dada por

:<math>\psi = \ln \left[\frac{64e^{\psi_m}}{(\lambda e^{\psi_m}r^2+8)^2}\right]</math>

onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como

:<math> (\lambda e^{\psi_m}+8)^2 - 64 e^{\psi_m} =0.</math>

== Método Crank-Nicolson ==
Para resolver a equação diferencial parcial de Liouville-Bratu-Gelfand foi utilizado o método de Crank-Nicolson. Sendo a média ponderada dos métodos explícito e implícito de FTCS (Forward Time Central Space) da forma:

<center><math> \frac{\psi_{j}^{n+1} - \psi_{j}^{n}}{\Delta t} = \theta * implícito + (1-\theta) * explícito </math></center>

== Método de Relaxação ==
Como a equação de Liouville-Bratu-Gelfand não depende do tempo, é necessária uma aproximação para uma equação similar dependente do tempo para resolvê-la numericamente aplicando o método de FTCS (Foward Time Central Space). Fazendo então a solução dessa equação convergir ao estado estacionário diante de uma evolução temporal longa o suficiente (<math>t \rightarrow \infty</math>).

Utilizando uma equação da difusão genérica chegamos na seguinte forma:

<center><math>\frac{\partial \psi}{dt} = \alpha \left( \frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^{2}\psi}{\partial y^2} \right)</math>.</center>

Onde <math>\alpha</math> é a constante de difusão. Assim é possível aplicar essa equação no método de Jacobi, método numérico de relaxação.

== Referências ==

# https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%E2%80%93Bratu%E2%80%93Gelfand_equation
# Scherer, CLÁUDIO. Métodos Computacionais da Física. 2010.

Equação de Liouville-Bratu-Gelfand

2024-06-24T21:22:11Z

Analucia: /* Método Crank-Nicolson */

== Equação de Liouville-bratu-Gelfand ==

Na matemática, a Equação Liouville–Bratu–Gelfand ou Equação de Liouville é uma equação de Poisson não linear, nomeada em homenagem aos matemáticos Joseph Liouville, Gheorghe Bratu e Israel Gelfand, que é descrita da seguinte forma

<center><math> \nabla^2 \psi+\lambda e^\psi =0</math></center>

Essa equação aparece em problemas de fuga térmica, como na teoria de Frank-Kamenetskii, e na astrofísica, por exemplo, na equação Emden–Chandrasekhar. Esta equação pode descrever a carga espacial de eletricidade em torno de um fio brilhante ou até mesmo uma nebulosa planetária.

== A solução de Liouville ==

Em duas dimensões, com coordenadas cartesianas (x,y), Joseph Liouville propôs uma solução em 1853 como

<math> \lambda e^\psi(u^2+v^2+1)^2=2\left[\left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + \left(\dfrac{\partial u}{\partial y}\right)^2\right] </math>

onde <math>f(z)=u + i v</math> é uma [[função analítica]] arbitrária com <math>z=x+iy</math>. Em 1915, G.W. Walker<ref>Walker, George W. "Some problems illustrating the forms of nebulae." Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character 91.631 (1915): 410-420.https://www.jstor.org/stable/pdf/93512.pdf?refreqid=excelsior%3Af4a4cc9656b8bbd9266f9d32587d02b1</ref> encontrou uma solução assumindo uma forma para <math>f(z)</math>. Se <math>r^2=x^2+y^2</math>, então a solução de Walker é

:<math>8 e^{-\psi} = \lambda \left[\left(\frac{r}{a}\right)^n + \left(\frac{a}{r}\right)^n\right]^2</math>

onde <math>a</math> é algum raio finito. Essa solução vai ao infinito para qualquer <math>n</math>, mas vai ao infinito na origem <math>n<1</math> , finito na origem para <math>n=1</math> e vai a zero na origem para <math>n>1</math>. Walker também propôs mais duas soluções em seu artigo de 1915.

==Formas radialmente simétricas==

Se o sistema a ser estudado for radialmente simétrico, então a equação em <math>n</math> dimensões torna-se

:<math>\psi'' + \frac{n-1}{r}\psi' + \lambda e^\psi=0</math>

onde <math>r</math> é a distância a partir da origem. Com as condições de contorno

:<math>\psi'(0)=0, \quad \psi(1) = 0</math>

e para <math>\lambda\geq 0</math>, uma solução real existe apenas para <math>\lambda \in [0,\lambda_c]</math>, onde <math>\lambda_c</math> é o parâmetro crítico chamado de [[Teoria de Frank-Kamenetskii|'''parâmetro de Frank-Kamenetskii''']]. O parâmetro crítico é <math>\lambda_c=0.8785</math> para <math>n=1</math>, <math>\lambda_c=2</math> para <math>n=2</math> e <math>\lambda_c=3.32</math> para <math>n=3</math>. Para <math>n=1, \ 2</math>, existem duas soluções e para <math>3\leq n\leq 9</math> existem infinitas soluções com as soluções oscilando em torno do ponto <math>\lambda=2(n-2)</math>. Para <math>n\geq 10</math>, a solução é única e, nesses casos, o parâmetro crítico é dado por <math>\lambda_c=2(n-2)</math>. A multiplicidade de soluções para <math>n=3</math> foi descoberta por [[Israel Gelfand]] em 1963 e, posteriormente, em 1973, generalizada para todos os <math>n</math> por [[Daniel D. Joseph]] e [[Thomas S. Lundgren]].<ref>Joseph, D. D., e T. S. Lundgren. "Quasilinear Dirichlet problems driven by positive sources." Archive for Rational Mechanics and Analysis 49.4 (1973): 241-269.</ref>

A solução para <math>n=1</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,0.8785]</math> é dada por

:<math>\psi = -2 \ln \left[e^{-\psi_m/2}\cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}r\right)\right]</math>

onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como

:<math>e^{\psi_m/2} = \cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}\right).</math>

A solução para <math>n=2</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,2]</math> é dada por

:<math>\psi = \ln \left[\frac{64e^{\psi_m}}{(\lambda e^{\psi_m}r^2+8)^2}\right]</math>

onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como

:<math> (\lambda e^{\psi_m}+8)^2 - 64 e^{\psi_m} =0.</math>

== Método Crank-Nicolson ==
Para resolver a equação diferencial parcial de Liouville-Bratu-Gelfand foi utilizado o método de Crank-Nicolson. Sendo a média ponderada dos métodos explícito e implícito de FTCS (Forward Time Central Space) da forma:

<center><math> \frac{\psi^{n+1}_j - \psi^{n}_j}{\Delta t} = \theta * implícito + (1-\theta) * explícito </math></center>

== Método de Relaxação ==
Como a equação de Liouville-Bratu-Gelfand não depende do tempo, é necessária uma aproximação para uma equação similar dependente do tempo para resolvê-la numericamente aplicando o método de FTCS (Foward Time Central Space). Fazendo então a solução dessa equação convergir ao estado estacionário diante de uma evolução temporal longa o suficiente (<math>t \rightarrow \infty</math>).

Utilizando uma equação da difusão genérica chegamos na seguinte forma:

<center><math>\frac{\partial \psi}{dt} = \alpha \left( \frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^{2}\psi}{\partial y^2} \right)</math>.</center>

Onde <math>\alpha</math> é a constante de difusão. Assim é possível aplicar essa equação no método de Jacobi, método numérico de relaxação.

== Referências ==

# https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%E2%80%93Bratu%E2%80%93Gelfand_equation
# Scherer, CLÁUDIO. Métodos Computacionais da Física. 2010.

Equação de Liouville-Bratu-Gelfand

2024-06-24T21:21:29Z

Analucia: /* Método Crank-Nicolson */

== Equação de Liouville-bratu-Gelfand ==

Na matemática, a Equação Liouville–Bratu–Gelfand ou Equação de Liouville é uma equação de Poisson não linear, nomeada em homenagem aos matemáticos Joseph Liouville, Gheorghe Bratu e Israel Gelfand, que é descrita da seguinte forma

<center><math> \nabla^2 \psi+\lambda e^\psi =0</math></center>

Essa equação aparece em problemas de fuga térmica, como na teoria de Frank-Kamenetskii, e na astrofísica, por exemplo, na equação Emden–Chandrasekhar. Esta equação pode descrever a carga espacial de eletricidade em torno de um fio brilhante ou até mesmo uma nebulosa planetária.

== A solução de Liouville ==

Em duas dimensões, com coordenadas cartesianas (x,y), Joseph Liouville propôs uma solução em 1853 como

<math> \lambda e^\psi(u^2+v^2+1)^2=2\left[\left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + \left(\dfrac{\partial u}{\partial y}\right)^2\right] </math>

onde <math>f(z)=u + i v</math> é uma [[função analítica]] arbitrária com <math>z=x+iy</math>. Em 1915, G.W. Walker<ref>Walker, George W. "Some problems illustrating the forms of nebulae." Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character 91.631 (1915): 410-420.https://www.jstor.org/stable/pdf/93512.pdf?refreqid=excelsior%3Af4a4cc9656b8bbd9266f9d32587d02b1</ref> encontrou uma solução assumindo uma forma para <math>f(z)</math>. Se <math>r^2=x^2+y^2</math>, então a solução de Walker é

:<math>8 e^{-\psi} = \lambda \left[\left(\frac{r}{a}\right)^n + \left(\frac{a}{r}\right)^n\right]^2</math>

onde <math>a</math> é algum raio finito. Essa solução vai ao infinito para qualquer <math>n</math>, mas vai ao infinito na origem <math>n<1</math> , finito na origem para <math>n=1</math> e vai a zero na origem para <math>n>1</math>. Walker também propôs mais duas soluções em seu artigo de 1915.

==Formas radialmente simétricas==

Se o sistema a ser estudado for radialmente simétrico, então a equação em <math>n</math> dimensões torna-se

:<math>\psi'' + \frac{n-1}{r}\psi' + \lambda e^\psi=0</math>

onde <math>r</math> é a distância a partir da origem. Com as condições de contorno

:<math>\psi'(0)=0, \quad \psi(1) = 0</math>

e para <math>\lambda\geq 0</math>, uma solução real existe apenas para <math>\lambda \in [0,\lambda_c]</math>, onde <math>\lambda_c</math> é o parâmetro crítico chamado de [[Teoria de Frank-Kamenetskii|'''parâmetro de Frank-Kamenetskii''']]. O parâmetro crítico é <math>\lambda_c=0.8785</math> para <math>n=1</math>, <math>\lambda_c=2</math> para <math>n=2</math> e <math>\lambda_c=3.32</math> para <math>n=3</math>. Para <math>n=1, \ 2</math>, existem duas soluções e para <math>3\leq n\leq 9</math> existem infinitas soluções com as soluções oscilando em torno do ponto <math>\lambda=2(n-2)</math>. Para <math>n\geq 10</math>, a solução é única e, nesses casos, o parâmetro crítico é dado por <math>\lambda_c=2(n-2)</math>. A multiplicidade de soluções para <math>n=3</math> foi descoberta por [[Israel Gelfand]] em 1963 e, posteriormente, em 1973, generalizada para todos os <math>n</math> por [[Daniel D. Joseph]] e [[Thomas S. Lundgren]].<ref>Joseph, D. D., e T. S. Lundgren. "Quasilinear Dirichlet problems driven by positive sources." Archive for Rational Mechanics and Analysis 49.4 (1973): 241-269.</ref>

A solução para <math>n=1</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,0.8785]</math> é dada por

:<math>\psi = -2 \ln \left[e^{-\psi_m/2}\cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}r\right)\right]</math>

onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como

:<math>e^{\psi_m/2} = \cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}\right).</math>

A solução para <math>n=2</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,2]</math> é dada por

:<math>\psi = \ln \left[\frac{64e^{\psi_m}}{(\lambda e^{\psi_m}r^2+8)^2}\right]</math>

onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como

:<math> (\lambda e^{\psi_m}+8)^2 - 64 e^{\psi_m} =0.</math>

== Método Crank-Nicolson ==
Para resolver a equação diferencial parcial de Liouville-Bratu-Gelfand foi utilizado o método de Crank-Nicolson. Sendo a média ponderada dos métodos explícito e implícito de FTCS (Forward Time Central Space) da forma:

<center><math> \frac{\psi_j^{n+1} - \psi_j^{n}}{\Delta t} = \theta * implícito + (1-\theta) * explícito </math></center>

== Método de Relaxação ==
Como a equação de Liouville-Bratu-Gelfand não depende do tempo, é necessária uma aproximação para uma equação similar dependente do tempo para resolvê-la numericamente aplicando o método de FTCS (Foward Time Central Space). Fazendo então a solução dessa equação convergir ao estado estacionário diante de uma evolução temporal longa o suficiente (<math>t \rightarrow \infty</math>).

Utilizando uma equação da difusão genérica chegamos na seguinte forma:

<center><math>\frac{\partial \psi}{dt} = \alpha \left( \frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^{2}\psi}{\partial y^2} \right)</math>.</center>

Onde <math>\alpha</math> é a constante de difusão. Assim é possível aplicar essa equação no método de Jacobi, método numérico de relaxação.

== Referências ==

# https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%E2%80%93Bratu%E2%80%93Gelfand_equation
# Scherer, CLÁUDIO. Métodos Computacionais da Física. 2010.

Equação de Liouville-Bratu-Gelfand

2024-06-24T21:20:58Z

Analucia: /* Método Crank-Nicolson */

== Equação de Liouville-bratu-Gelfand ==

Na matemática, a Equação Liouville–Bratu–Gelfand ou Equação de Liouville é uma equação de Poisson não linear, nomeada em homenagem aos matemáticos Joseph Liouville, Gheorghe Bratu e Israel Gelfand, que é descrita da seguinte forma

<center><math> \nabla^2 \psi+\lambda e^\psi =0</math></center>

Essa equação aparece em problemas de fuga térmica, como na teoria de Frank-Kamenetskii, e na astrofísica, por exemplo, na equação Emden–Chandrasekhar. Esta equação pode descrever a carga espacial de eletricidade em torno de um fio brilhante ou até mesmo uma nebulosa planetária.

== A solução de Liouville ==

Em duas dimensões, com coordenadas cartesianas (x,y), Joseph Liouville propôs uma solução em 1853 como

<math> \lambda e^\psi(u^2+v^2+1)^2=2\left[\left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + \left(\dfrac{\partial u}{\partial y}\right)^2\right] </math>

onde <math>f(z)=u + i v</math> é uma [[função analítica]] arbitrária com <math>z=x+iy</math>. Em 1915, G.W. Walker<ref>Walker, George W. "Some problems illustrating the forms of nebulae." Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character 91.631 (1915): 410-420.https://www.jstor.org/stable/pdf/93512.pdf?refreqid=excelsior%3Af4a4cc9656b8bbd9266f9d32587d02b1</ref> encontrou uma solução assumindo uma forma para <math>f(z)</math>. Se <math>r^2=x^2+y^2</math>, então a solução de Walker é

:<math>8 e^{-\psi} = \lambda \left[\left(\frac{r}{a}\right)^n + \left(\frac{a}{r}\right)^n\right]^2</math>

onde <math>a</math> é algum raio finito. Essa solução vai ao infinito para qualquer <math>n</math>, mas vai ao infinito na origem <math>n<1</math> , finito na origem para <math>n=1</math> e vai a zero na origem para <math>n>1</math>. Walker também propôs mais duas soluções em seu artigo de 1915.

==Formas radialmente simétricas==

Se o sistema a ser estudado for radialmente simétrico, então a equação em <math>n</math> dimensões torna-se

:<math>\psi'' + \frac{n-1}{r}\psi' + \lambda e^\psi=0</math>

onde <math>r</math> é a distância a partir da origem. Com as condições de contorno

:<math>\psi'(0)=0, \quad \psi(1) = 0</math>

e para <math>\lambda\geq 0</math>, uma solução real existe apenas para <math>\lambda \in [0,\lambda_c]</math>, onde <math>\lambda_c</math> é o parâmetro crítico chamado de [[Teoria de Frank-Kamenetskii|'''parâmetro de Frank-Kamenetskii''']]. O parâmetro crítico é <math>\lambda_c=0.8785</math> para <math>n=1</math>, <math>\lambda_c=2</math> para <math>n=2</math> e <math>\lambda_c=3.32</math> para <math>n=3</math>. Para <math>n=1, \ 2</math>, existem duas soluções e para <math>3\leq n\leq 9</math> existem infinitas soluções com as soluções oscilando em torno do ponto <math>\lambda=2(n-2)</math>. Para <math>n\geq 10</math>, a solução é única e, nesses casos, o parâmetro crítico é dado por <math>\lambda_c=2(n-2)</math>. A multiplicidade de soluções para <math>n=3</math> foi descoberta por [[Israel Gelfand]] em 1963 e, posteriormente, em 1973, generalizada para todos os <math>n</math> por [[Daniel D. Joseph]] e [[Thomas S. Lundgren]].<ref>Joseph, D. D., e T. S. Lundgren. "Quasilinear Dirichlet problems driven by positive sources." Archive for Rational Mechanics and Analysis 49.4 (1973): 241-269.</ref>

A solução para <math>n=1</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,0.8785]</math> é dada por

:<math>\psi = -2 \ln \left[e^{-\psi_m/2}\cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}r\right)\right]</math>

onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como

:<math>e^{\psi_m/2} = \cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}\right).</math>

A solução para <math>n=2</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,2]</math> é dada por

:<math>\psi = \ln \left[\frac{64e^{\psi_m}}{(\lambda e^{\psi_m}r^2+8)^2}\right]</math>

onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como

:<math> (\lambda e^{\psi_m}+8)^2 - 64 e^{\psi_m} =0.</math>

== Método Crank-Nicolson ==
Para resolver a equação diferencial parcial de Liouville-Bratu-Gelfand foi utilizado o método de Crank-Nicolson. Sendo a média ponderada dos métodos explícito e implícito de FTCS (Forward Time Central Space) da forma:

<center><math> \frac{\psi_j^{n+1} - \psi_j^{n}}{\Delta t} = \theta . implícito + (1-\theta) . explícito </math></center>

== Método de Relaxação ==
Como a equação de Liouville-Bratu-Gelfand não depende do tempo, é necessária uma aproximação para uma equação similar dependente do tempo para resolvê-la numericamente aplicando o método de FTCS (Foward Time Central Space). Fazendo então a solução dessa equação convergir ao estado estacionário diante de uma evolução temporal longa o suficiente (<math>t \rightarrow \infty</math>).

Utilizando uma equação da difusão genérica chegamos na seguinte forma:

<center><math>\frac{\partial \psi}{dt} = \alpha \left( \frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^{2}\psi}{\partial y^2} \right)</math>.</center>

Onde <math>\alpha</math> é a constante de difusão. Assim é possível aplicar essa equação no método de Jacobi, método numérico de relaxação.

== Referências ==

# https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%E2%80%93Bratu%E2%80%93Gelfand_equation
# Scherer, CLÁUDIO. Métodos Computacionais da Física. 2010.

Equação de Liouville-Bratu-Gelfand

2024-06-24T21:19:47Z

Analucia: /* Método Crank-Nicolson */

== Equação de Liouville-bratu-Gelfand ==

Na matemática, a Equação Liouville–Bratu–Gelfand ou Equação de Liouville é uma equação de Poisson não linear, nomeada em homenagem aos matemáticos Joseph Liouville, Gheorghe Bratu e Israel Gelfand, que é descrita da seguinte forma

<center><math> \nabla^2 \psi+\lambda e^\psi =0</math></center>

Essa equação aparece em problemas de fuga térmica, como na teoria de Frank-Kamenetskii, e na astrofísica, por exemplo, na equação Emden–Chandrasekhar. Esta equação pode descrever a carga espacial de eletricidade em torno de um fio brilhante ou até mesmo uma nebulosa planetária.

== A solução de Liouville ==

Em duas dimensões, com coordenadas cartesianas (x,y), Joseph Liouville propôs uma solução em 1853 como

<math> \lambda e^\psi(u^2+v^2+1)^2=2\left[\left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + \left(\dfrac{\partial u}{\partial y}\right)^2\right] </math>

onde <math>f(z)=u + i v</math> é uma [[função analítica]] arbitrária com <math>z=x+iy</math>. Em 1915, G.W. Walker<ref>Walker, George W. "Some problems illustrating the forms of nebulae." Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character 91.631 (1915): 410-420.https://www.jstor.org/stable/pdf/93512.pdf?refreqid=excelsior%3Af4a4cc9656b8bbd9266f9d32587d02b1</ref> encontrou uma solução assumindo uma forma para <math>f(z)</math>. Se <math>r^2=x^2+y^2</math>, então a solução de Walker é

:<math>8 e^{-\psi} = \lambda \left[\left(\frac{r}{a}\right)^n + \left(\frac{a}{r}\right)^n\right]^2</math>

onde <math>a</math> é algum raio finito. Essa solução vai ao infinito para qualquer <math>n</math>, mas vai ao infinito na origem <math>n<1</math> , finito na origem para <math>n=1</math> e vai a zero na origem para <math>n>1</math>. Walker também propôs mais duas soluções em seu artigo de 1915.

==Formas radialmente simétricas==

Se o sistema a ser estudado for radialmente simétrico, então a equação em <math>n</math> dimensões torna-se

:<math>\psi'' + \frac{n-1}{r}\psi' + \lambda e^\psi=0</math>

onde <math>r</math> é a distância a partir da origem. Com as condições de contorno

:<math>\psi'(0)=0, \quad \psi(1) = 0</math>

e para <math>\lambda\geq 0</math>, uma solução real existe apenas para <math>\lambda \in [0,\lambda_c]</math>, onde <math>\lambda_c</math> é o parâmetro crítico chamado de [[Teoria de Frank-Kamenetskii|'''parâmetro de Frank-Kamenetskii''']]. O parâmetro crítico é <math>\lambda_c=0.8785</math> para <math>n=1</math>, <math>\lambda_c=2</math> para <math>n=2</math> e <math>\lambda_c=3.32</math> para <math>n=3</math>. Para <math>n=1, \ 2</math>, existem duas soluções e para <math>3\leq n\leq 9</math> existem infinitas soluções com as soluções oscilando em torno do ponto <math>\lambda=2(n-2)</math>. Para <math>n\geq 10</math>, a solução é única e, nesses casos, o parâmetro crítico é dado por <math>\lambda_c=2(n-2)</math>. A multiplicidade de soluções para <math>n=3</math> foi descoberta por [[Israel Gelfand]] em 1963 e, posteriormente, em 1973, generalizada para todos os <math>n</math> por [[Daniel D. Joseph]] e [[Thomas S. Lundgren]].<ref>Joseph, D. D., e T. S. Lundgren. "Quasilinear Dirichlet problems driven by positive sources." Archive for Rational Mechanics and Analysis 49.4 (1973): 241-269.</ref>

A solução para <math>n=1</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,0.8785]</math> é dada por

:<math>\psi = -2 \ln \left[e^{-\psi_m/2}\cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}r\right)\right]</math>

onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como

:<math>e^{\psi_m/2} = \cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}\right).</math>

A solução para <math>n=2</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,2]</math> é dada por

:<math>\psi = \ln \left[\frac{64e^{\psi_m}}{(\lambda e^{\psi_m}r^2+8)^2}\right]</math>

onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como

:<math> (\lambda e^{\psi_m}+8)^2 - 64 e^{\psi_m} =0.</math>

== Método Crank-Nicolson ==
Para resolver a equação diferencial parcial de Liouville-Bratu-Gelfand foi utilizado o método de Crank-Nicolson. Sendo a média ponderada dos métodos explícito e implícito de FTCS (Forward Time Central Space) da forma:

<center><math> \frac{\psi_j^{n+1}-\psi_j^{n}}{\Delta t} = \theta . implícito + (1-\theta) . explícito </math></center>

== Método de Relaxação ==
Como a equação de Liouville-Bratu-Gelfand não depende do tempo, é necessária uma aproximação para uma equação similar dependente do tempo para resolvê-la numericamente aplicando o método de FTCS (Foward Time Central Space). Fazendo então a solução dessa equação convergir ao estado estacionário diante de uma evolução temporal longa o suficiente (<math>t \rightarrow \infty</math>).

Utilizando uma equação da difusão genérica chegamos na seguinte forma:

<center><math>\frac{\partial \psi}{dt} = \alpha \left( \frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^{2}\psi}{\partial y^2} \right)</math>.</center>

Onde <math>\alpha</math> é a constante de difusão. Assim é possível aplicar essa equação no método de Jacobi, método numérico de relaxação.

== Referências ==

# https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%E2%80%93Bratu%E2%80%93Gelfand_equation
# Scherer, CLÁUDIO. Métodos Computacionais da Física. 2010.

Equação de Liouville-Bratu-Gelfand

2024-06-24T21:18:27Z

Analucia: /* Método Crank-Nicolson */

== Equação de Liouville-bratu-Gelfand ==

Na matemática, a Equação Liouville–Bratu–Gelfand ou Equação de Liouville é uma equação de Poisson não linear, nomeada em homenagem aos matemáticos Joseph Liouville, Gheorghe Bratu e Israel Gelfand, que é descrita da seguinte forma

<center><math> \nabla^2 \psi+\lambda e^\psi =0</math></center>

Essa equação aparece em problemas de fuga térmica, como na teoria de Frank-Kamenetskii, e na astrofísica, por exemplo, na equação Emden–Chandrasekhar. Esta equação pode descrever a carga espacial de eletricidade em torno de um fio brilhante ou até mesmo uma nebulosa planetária.

== A solução de Liouville ==

Em duas dimensões, com coordenadas cartesianas (x,y), Joseph Liouville propôs uma solução em 1853 como

<math> \lambda e^\psi(u^2+v^2+1)^2=2\left[\left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + \left(\dfrac{\partial u}{\partial y}\right)^2\right] </math>

onde <math>f(z)=u + i v</math> é uma [[função analítica]] arbitrária com <math>z=x+iy</math>. Em 1915, G.W. Walker<ref>Walker, George W. "Some problems illustrating the forms of nebulae." Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character 91.631 (1915): 410-420.https://www.jstor.org/stable/pdf/93512.pdf?refreqid=excelsior%3Af4a4cc9656b8bbd9266f9d32587d02b1</ref> encontrou uma solução assumindo uma forma para <math>f(z)</math>. Se <math>r^2=x^2+y^2</math>, então a solução de Walker é

:<math>8 e^{-\psi} = \lambda \left[\left(\frac{r}{a}\right)^n + \left(\frac{a}{r}\right)^n\right]^2</math>

onde <math>a</math> é algum raio finito. Essa solução vai ao infinito para qualquer <math>n</math>, mas vai ao infinito na origem <math>n<1</math> , finito na origem para <math>n=1</math> e vai a zero na origem para <math>n>1</math>. Walker também propôs mais duas soluções em seu artigo de 1915.

==Formas radialmente simétricas==

Se o sistema a ser estudado for radialmente simétrico, então a equação em <math>n</math> dimensões torna-se

:<math>\psi'' + \frac{n-1}{r}\psi' + \lambda e^\psi=0</math>

onde <math>r</math> é a distância a partir da origem. Com as condições de contorno

:<math>\psi'(0)=0, \quad \psi(1) = 0</math>

e para <math>\lambda\geq 0</math>, uma solução real existe apenas para <math>\lambda \in [0,\lambda_c]</math>, onde <math>\lambda_c</math> é o parâmetro crítico chamado de [[Teoria de Frank-Kamenetskii|'''parâmetro de Frank-Kamenetskii''']]. O parâmetro crítico é <math>\lambda_c=0.8785</math> para <math>n=1</math>, <math>\lambda_c=2</math> para <math>n=2</math> e <math>\lambda_c=3.32</math> para <math>n=3</math>. Para <math>n=1, \ 2</math>, existem duas soluções e para <math>3\leq n\leq 9</math> existem infinitas soluções com as soluções oscilando em torno do ponto <math>\lambda=2(n-2)</math>. Para <math>n\geq 10</math>, a solução é única e, nesses casos, o parâmetro crítico é dado por <math>\lambda_c=2(n-2)</math>. A multiplicidade de soluções para <math>n=3</math> foi descoberta por [[Israel Gelfand]] em 1963 e, posteriormente, em 1973, generalizada para todos os <math>n</math> por [[Daniel D. Joseph]] e [[Thomas S. Lundgren]].<ref>Joseph, D. D., e T. S. Lundgren. "Quasilinear Dirichlet problems driven by positive sources." Archive for Rational Mechanics and Analysis 49.4 (1973): 241-269.</ref>

A solução para <math>n=1</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,0.8785]</math> é dada por

:<math>\psi = -2 \ln \left[e^{-\psi_m/2}\cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}r\right)\right]</math>

onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como

:<math>e^{\psi_m/2} = \cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}\right).</math>

A solução para <math>n=2</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,2]</math> é dada por

:<math>\psi = \ln \left[\frac{64e^{\psi_m}}{(\lambda e^{\psi_m}r^2+8)^2}\right]</math>

onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como

:<math> (\lambda e^{\psi_m}+8)^2 - 64 e^{\psi_m} =0.</math>

== Método Crank-Nicolson ==
Para resolver a equação diferencial parcial de Liouville-Bratu-Gelfand foi utilizado o método de Crank-Nicolson. Sendo a média ponderada dos métodos explícito e implícito de FTCS (Forward Time Central Space) da forma:

<center><math> \frac{\psi_j^{n+1}-\psi_j^{n}}{\Delta t} = \theta . implícito + (1-\theta) . explícito <\math></center>

== Método de Relaxação ==
Como a equação de Liouville-Bratu-Gelfand não depende do tempo, é necessária uma aproximação para uma equação similar dependente do tempo para resolvê-la numericamente aplicando o método de FTCS (Foward Time Central Space). Fazendo então a solução dessa equação convergir ao estado estacionário diante de uma evolução temporal longa o suficiente (<math>t \rightarrow \infty</math>).

Utilizando uma equação da difusão genérica chegamos na seguinte forma:

<center><math>\frac{\partial \psi}{dt} = \alpha \left( \frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^{2}\psi}{\partial y^2} \right)</math>.</center>

Onde <math>\alpha</math> é a constante de difusão. Assim é possível aplicar essa equação no método de Jacobi, método numérico de relaxação.

== Referências ==

# https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%E2%80%93Bratu%E2%80%93Gelfand_equation
# Scherer, CLÁUDIO. Métodos Computacionais da Física. 2010.

Equação de Liouville-Bratu-Gelfand

2024-06-24T21:17:04Z

Analucia: /* Método Crank-Nicolson */

== Equação de Liouville-bratu-Gelfand ==

Na matemática, a Equação Liouville–Bratu–Gelfand ou Equação de Liouville é uma equação de Poisson não linear, nomeada em homenagem aos matemáticos Joseph Liouville, Gheorghe Bratu e Israel Gelfand, que é descrita da seguinte forma

<center><math> \nabla^2 \psi+\lambda e^\psi =0</math></center>

Essa equação aparece em problemas de fuga térmica, como na teoria de Frank-Kamenetskii, e na astrofísica, por exemplo, na equação Emden–Chandrasekhar. Esta equação pode descrever a carga espacial de eletricidade em torno de um fio brilhante ou até mesmo uma nebulosa planetária.

== A solução de Liouville ==

Em duas dimensões, com coordenadas cartesianas (x,y), Joseph Liouville propôs uma solução em 1853 como

<math> \lambda e^\psi(u^2+v^2+1)^2=2\left[\left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + \left(\dfrac{\partial u}{\partial y}\right)^2\right] </math>

onde <math>f(z)=u + i v</math> é uma [[função analítica]] arbitrária com <math>z=x+iy</math>. Em 1915, G.W. Walker<ref>Walker, George W. "Some problems illustrating the forms of nebulae." Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character 91.631 (1915): 410-420.https://www.jstor.org/stable/pdf/93512.pdf?refreqid=excelsior%3Af4a4cc9656b8bbd9266f9d32587d02b1</ref> encontrou uma solução assumindo uma forma para <math>f(z)</math>. Se <math>r^2=x^2+y^2</math>, então a solução de Walker é

:<math>8 e^{-\psi} = \lambda \left[\left(\frac{r}{a}\right)^n + \left(\frac{a}{r}\right)^n\right]^2</math>

onde <math>a</math> é algum raio finito. Essa solução vai ao infinito para qualquer <math>n</math>, mas vai ao infinito na origem <math>n<1</math> , finito na origem para <math>n=1</math> e vai a zero na origem para <math>n>1</math>. Walker também propôs mais duas soluções em seu artigo de 1915.

==Formas radialmente simétricas==

Se o sistema a ser estudado for radialmente simétrico, então a equação em <math>n</math> dimensões torna-se

:<math>\psi'' + \frac{n-1}{r}\psi' + \lambda e^\psi=0</math>

onde <math>r</math> é a distância a partir da origem. Com as condições de contorno

:<math>\psi'(0)=0, \quad \psi(1) = 0</math>

e para <math>\lambda\geq 0</math>, uma solução real existe apenas para <math>\lambda \in [0,\lambda_c]</math>, onde <math>\lambda_c</math> é o parâmetro crítico chamado de [[Teoria de Frank-Kamenetskii|'''parâmetro de Frank-Kamenetskii''']]. O parâmetro crítico é <math>\lambda_c=0.8785</math> para <math>n=1</math>, <math>\lambda_c=2</math> para <math>n=2</math> e <math>\lambda_c=3.32</math> para <math>n=3</math>. Para <math>n=1, \ 2</math>, existem duas soluções e para <math>3\leq n\leq 9</math> existem infinitas soluções com as soluções oscilando em torno do ponto <math>\lambda=2(n-2)</math>. Para <math>n\geq 10</math>, a solução é única e, nesses casos, o parâmetro crítico é dado por <math>\lambda_c=2(n-2)</math>. A multiplicidade de soluções para <math>n=3</math> foi descoberta por [[Israel Gelfand]] em 1963 e, posteriormente, em 1973, generalizada para todos os <math>n</math> por [[Daniel D. Joseph]] e [[Thomas S. Lundgren]].<ref>Joseph, D. D., e T. S. Lundgren. "Quasilinear Dirichlet problems driven by positive sources." Archive for Rational Mechanics and Analysis 49.4 (1973): 241-269.</ref>

A solução para <math>n=1</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,0.8785]</math> é dada por

:<math>\psi = -2 \ln \left[e^{-\psi_m/2}\cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}r\right)\right]</math>

onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como

:<math>e^{\psi_m/2} = \cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}\right).</math>

A solução para <math>n=2</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,2]</math> é dada por

:<math>\psi = \ln \left[\frac{64e^{\psi_m}}{(\lambda e^{\psi_m}r^2+8)^2}\right]</math>

onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como

:<math> (\lambda e^{\psi_m}+8)^2 - 64 e^{\psi_m} =0.</math>

== Método Crank-Nicolson ==
Para resolver a equação diferencial parcial de Liouville-Bratu-Gelfand foi utilizado o método de Crank-Nicolson. Sendo a média ponderada dos métodos explícito e implícito de FTCS (Forward Time Central Space) da forma:

<center><math>\frac{\psi_j^{n+1}-\psi_j^{n}}{\Delta t} = \theta.implícito+(1-\theta).explícito <\math></center>

== Método de Relaxação ==
Como a equação de Liouville-Bratu-Gelfand não depende do tempo, é necessária uma aproximação para uma equação similar dependente do tempo para resolvê-la numericamente aplicando o método de FTCS (Foward Time Central Space). Fazendo então a solução dessa equação convergir ao estado estacionário diante de uma evolução temporal longa o suficiente (<math>t \rightarrow \infty</math>).

Utilizando uma equação da difusão genérica chegamos na seguinte forma:

<center><math>\frac{\partial \psi}{dt} = \alpha \left( \frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^{2}\psi}{\partial y^2} \right)</math>.</center>

Onde <math>\alpha</math> é a constante de difusão. Assim é possível aplicar essa equação no método de Jacobi, método numérico de relaxação.

== Referências ==

# https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%E2%80%93Bratu%E2%80%93Gelfand_equation
# Scherer, CLÁUDIO. Métodos Computacionais da Física. 2010.

Equação de Liouville-Bratu-Gelfand

2024-06-24T21:13:32Z

Analucia: /* Método Crank-Nicolson */

== Equação de Liouville-bratu-Gelfand ==

Na matemática, a Equação Liouville–Bratu–Gelfand ou Equação de Liouville é uma equação de Poisson não linear, nomeada em homenagem aos matemáticos Joseph Liouville, Gheorghe Bratu e Israel Gelfand, que é descrita da seguinte forma

<center><math> \nabla^2 \psi+\lambda e^\psi =0</math></center>

Essa equação aparece em problemas de fuga térmica, como na teoria de Frank-Kamenetskii, e na astrofísica, por exemplo, na equação Emden–Chandrasekhar. Esta equação pode descrever a carga espacial de eletricidade em torno de um fio brilhante ou até mesmo uma nebulosa planetária.

== A solução de Liouville ==

Em duas dimensões, com coordenadas cartesianas (x,y), Joseph Liouville propôs uma solução em 1853 como

<math> \lambda e^\psi(u^2+v^2+1)^2=2\left[\left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + \left(\dfrac{\partial u}{\partial y}\right)^2\right] </math>

onde <math>f(z)=u + i v</math> é uma [[função analítica]] arbitrária com <math>z=x+iy</math>. Em 1915, G.W. Walker<ref>Walker, George W. "Some problems illustrating the forms of nebulae." Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character 91.631 (1915): 410-420.https://www.jstor.org/stable/pdf/93512.pdf?refreqid=excelsior%3Af4a4cc9656b8bbd9266f9d32587d02b1</ref> encontrou uma solução assumindo uma forma para <math>f(z)</math>. Se <math>r^2=x^2+y^2</math>, então a solução de Walker é

:<math>8 e^{-\psi} = \lambda \left[\left(\frac{r}{a}\right)^n + \left(\frac{a}{r}\right)^n\right]^2</math>

onde <math>a</math> é algum raio finito. Essa solução vai ao infinito para qualquer <math>n</math>, mas vai ao infinito na origem <math>n<1</math> , finito na origem para <math>n=1</math> e vai a zero na origem para <math>n>1</math>. Walker também propôs mais duas soluções em seu artigo de 1915.

==Formas radialmente simétricas==

Se o sistema a ser estudado for radialmente simétrico, então a equação em <math>n</math> dimensões torna-se

:<math>\psi'' + \frac{n-1}{r}\psi' + \lambda e^\psi=0</math>

onde <math>r</math> é a distância a partir da origem. Com as condições de contorno

:<math>\psi'(0)=0, \quad \psi(1) = 0</math>

e para <math>\lambda\geq 0</math>, uma solução real existe apenas para <math>\lambda \in [0,\lambda_c]</math>, onde <math>\lambda_c</math> é o parâmetro crítico chamado de [[Teoria de Frank-Kamenetskii|'''parâmetro de Frank-Kamenetskii''']]. O parâmetro crítico é <math>\lambda_c=0.8785</math> para <math>n=1</math>, <math>\lambda_c=2</math> para <math>n=2</math> e <math>\lambda_c=3.32</math> para <math>n=3</math>. Para <math>n=1, \ 2</math>, existem duas soluções e para <math>3\leq n\leq 9</math> existem infinitas soluções com as soluções oscilando em torno do ponto <math>\lambda=2(n-2)</math>. Para <math>n\geq 10</math>, a solução é única e, nesses casos, o parâmetro crítico é dado por <math>\lambda_c=2(n-2)</math>. A multiplicidade de soluções para <math>n=3</math> foi descoberta por [[Israel Gelfand]] em 1963 e, posteriormente, em 1973, generalizada para todos os <math>n</math> por [[Daniel D. Joseph]] e [[Thomas S. Lundgren]].<ref>Joseph, D. D., e T. S. Lundgren. "Quasilinear Dirichlet problems driven by positive sources." Archive for Rational Mechanics and Analysis 49.4 (1973): 241-269.</ref>

A solução para <math>n=1</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,0.8785]</math> é dada por

:<math>\psi = -2 \ln \left[e^{-\psi_m/2}\cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}r\right)\right]</math>

onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como

:<math>e^{\psi_m/2} = \cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}\right).</math>

A solução para <math>n=2</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,2]</math> é dada por

:<math>\psi = \ln \left[\frac{64e^{\psi_m}}{(\lambda e^{\psi_m}r^2+8)^2}\right]</math>

onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como

:<math> (\lambda e^{\psi_m}+8)^2 - 64 e^{\psi_m} =0.</math>

== Método Crank-Nicolson ==
Para resolver a equação diferencial parcial de Liouville-Bratu-Gelfand foi utilizado o método de Crank-Nicolson. Sendo a média ponderada dos métodos explícito e implícito de FTCS (Forward Time Central Space) da forma:

<center><math>

== Método de Relaxação ==
Como a equação de Liouville-Bratu-Gelfand não depende do tempo, é necessária uma aproximação para uma equação similar dependente do tempo para resolvê-la numericamente aplicando o método de FTCS (Foward Time Central Space). Fazendo então a solução dessa equação convergir ao estado estacionário diante de uma evolução temporal longa o suficiente (<math>t \rightarrow \infty</math>).

Utilizando uma equação da difusão genérica chegamos na seguinte forma:

<center><math>\frac{\partial \psi}{dt} = \alpha \left( \frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^{2}\psi}{\partial y^2} \right)</math>.</center>

Onde <math>\alpha</math> é a constante de difusão. Assim é possível aplicar essa equação no método de Jacobi, método numérico de relaxação.

== Referências ==

# https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%E2%80%93Bratu%E2%80%93Gelfand_equation
# Scherer, CLÁUDIO. Métodos Computacionais da Física. 2010.

Equação de Liouville-Bratu-Gelfand

2024-06-24T21:00:57Z

Analucia:

== Equação de Liouville-bratu-Gelfand ==

Na matemática, a Equação Liouville–Bratu–Gelfand ou Equação de Liouville é uma equação de Poisson não linear, nomeada em homenagem aos matemáticos Joseph Liouville, Gheorghe Bratu e Israel Gelfand, que é descrita da seguinte forma

<center><math> \nabla^2 \psi+\lambda e^\psi =0</math></center>

Essa equação aparece em problemas de fuga térmica, como na teoria de Frank-Kamenetskii, e na astrofísica, por exemplo, na equação Emden–Chandrasekhar. Esta equação pode descrever a carga espacial de eletricidade em torno de um fio brilhante ou até mesmo uma nebulosa planetária.

== A solução de Liouville ==

Em duas dimensões, com coordenadas cartesianas (x,y), Joseph Liouville propôs uma solução em 1853 como

<math> \lambda e^\psi(u^2+v^2+1)^2=2\left[\left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + \left(\dfrac{\partial u}{\partial y}\right)^2\right] </math>

onde <math>f(z)=u + i v</math> é uma [[função analítica]] arbitrária com <math>z=x+iy</math>. Em 1915, G.W. Walker<ref>Walker, George W. "Some problems illustrating the forms of nebulae." Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character 91.631 (1915): 410-420.https://www.jstor.org/stable/pdf/93512.pdf?refreqid=excelsior%3Af4a4cc9656b8bbd9266f9d32587d02b1</ref> encontrou uma solução assumindo uma forma para <math>f(z)</math>. Se <math>r^2=x^2+y^2</math>, então a solução de Walker é

:<math>8 e^{-\psi} = \lambda \left[\left(\frac{r}{a}\right)^n + \left(\frac{a}{r}\right)^n\right]^2</math>

onde <math>a</math> é algum raio finito. Essa solução vai ao infinito para qualquer <math>n</math>, mas vai ao infinito na origem <math>n<1</math> , finito na origem para <math>n=1</math> e vai a zero na origem para <math>n>1</math>. Walker também propôs mais duas soluções em seu artigo de 1915.

==Formas radialmente simétricas==

Se o sistema a ser estudado for radialmente simétrico, então a equação em <math>n</math> dimensões torna-se

:<math>\psi'' + \frac{n-1}{r}\psi' + \lambda e^\psi=0</math>

onde <math>r</math> é a distância a partir da origem. Com as condições de contorno

:<math>\psi'(0)=0, \quad \psi(1) = 0</math>

e para <math>\lambda\geq 0</math>, uma solução real existe apenas para <math>\lambda \in [0,\lambda_c]</math>, onde <math>\lambda_c</math> é o parâmetro crítico chamado de [[Teoria de Frank-Kamenetskii|'''parâmetro de Frank-Kamenetskii''']]. O parâmetro crítico é <math>\lambda_c=0.8785</math> para <math>n=1</math>, <math>\lambda_c=2</math> para <math>n=2</math> e <math>\lambda_c=3.32</math> para <math>n=3</math>. Para <math>n=1, \ 2</math>, existem duas soluções e para <math>3\leq n\leq 9</math> existem infinitas soluções com as soluções oscilando em torno do ponto <math>\lambda=2(n-2)</math>. Para <math>n\geq 10</math>, a solução é única e, nesses casos, o parâmetro crítico é dado por <math>\lambda_c=2(n-2)</math>. A multiplicidade de soluções para <math>n=3</math> foi descoberta por [[Israel Gelfand]] em 1963 e, posteriormente, em 1973, generalizada para todos os <math>n</math> por [[Daniel D. Joseph]] e [[Thomas S. Lundgren]].<ref>Joseph, D. D., e T. S. Lundgren. "Quasilinear Dirichlet problems driven by positive sources." Archive for Rational Mechanics and Analysis 49.4 (1973): 241-269.</ref>

A solução para <math>n=1</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,0.8785]</math> é dada por

:<math>\psi = -2 \ln \left[e^{-\psi_m/2}\cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}r\right)\right]</math>

onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como

:<math>e^{\psi_m/2} = \cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}\right).</math>

A solução para <math>n=2</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,2]</math> é dada por

:<math>\psi = \ln \left[\frac{64e^{\psi_m}}{(\lambda e^{\psi_m}r^2+8)^2}\right]</math>

onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como

:<math> (\lambda e^{\psi_m}+8)^2 - 64 e^{\psi_m} =0.</math>

== Método Crank-Nicolson ==

== Método de Relaxação ==
Como a equação de Liouville-Bratu-Gelfand não depende do tempo, é necessária uma aproximação para uma equação similar dependente do tempo para resolvê-la numericamente aplicando o método de FTCS (Foward Time Central Space). Fazendo então a solução dessa equação convergir ao estado estacionário diante de uma evolução temporal longa o suficiente (<math>t \rightarrow \infty</math>).

Utilizando uma equação da difusão genérica chegamos na seguinte forma:

<center><math>\frac{\partial \psi}{dt} = \alpha \left( \frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^{2}\psi}{\partial y^2} \right)</math>.</center>

Onde <math>\alpha</math> é a constante de difusão. Assim é possível aplicar essa equação no método de Jacobi, método numérico de relaxação.

== Referências ==

# https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%E2%80%93Bratu%E2%80%93Gelfand_equation
# Scherer, CLÁUDIO. Métodos Computacionais da Física. 2010.

Equação de Liouville-Bratu-Gelfand

2024-06-24T20:49:33Z

Analucia: /* Equação de Liouville-bratu-Gelfand */

== Equação de Liouville-bratu-Gelfand ==

Na matemática, a Equação Liouville–Bratu–Gelfand ou Equação de Liouville é uma equação de Poisson não linear, nomeada em homenagem aos matemáticos Joseph Liouville, Gheorghe Bratu e Israel Gelfand, que é descrita da seguinte forma

<center><math> \nabla^2 \psi+\lambda e^\psi =0</math></center>

Essa equação aparece em problemas de fuga térmica, como na teoria de Frank-Kamenetskii, e na astrofísica, por exemplo, na equação Emden–Chandrasekhar. Esta equação pode descrever a carga espacial de eletricidade em torno de um fio brilhante ou até mesmo uma nebulosa planetária.

== A solução de Liouville ==

Em duas dimensões, com coordenadas cartesianas (x,y), Joseph Liouville propôs uma solução em 1853 como

<math> \lambda e^\psi(u^2+v^2+1)^2=2\left[\left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + \left(\dfrac{\partial u}{\partial y}\right)^2\right] </math>

onde <math>f(z)=u + i v</math> é uma [[função analítica]] arbitrária com <math>z=x+iy</math>. Em 1915, G.W. Walker<ref>Walker, George W. "Some problems illustrating the forms of nebulae." Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character 91.631 (1915): 410-420.https://www.jstor.org/stable/pdf/93512.pdf?refreqid=excelsior%3Af4a4cc9656b8bbd9266f9d32587d02b1</ref> encontrou uma solução assumindo uma forma para <math>f(z)</math>. Se <math>r^2=x^2+y^2</math>, então a solução de Walker é

:<math>8 e^{-\psi} = \lambda \left[\left(\frac{r}{a}\right)^n + \left(\frac{a}{r}\right)^n\right]^2</math>

onde <math>a</math> é algum raio finito. Essa solução vai ao infinito para qualquer <math>n</math>, mas vai ao infinito na origem <math>n<1</math> , finito na origem para <math>n=1</math> e vai a zero na origem para <math>n>1</math>. Walker também propôs mais duas soluções em seu artigo de 1915.

==Formas radialmente simétricas==

Se o sistema a ser estudado for radialmente simétrico, então a equação em <math>n</math> dimensões torna-se

:<math>\psi'' + \frac{n-1}{r}\psi' + \lambda e^\psi=0</math>

onde <math>r</math> é a distância a partir da origem. Com as condições de contorno

:<math>\psi'(0)=0, \quad \psi(1) = 0</math>

e para <math>\lambda\geq 0</math>, uma solução real existe apenas para <math>\lambda \in [0,\lambda_c]</math>, onde <math>\lambda_c</math> é o parâmetro crítico chamado de [[Teoria de Frank-Kamenetskii|'''parâmetro de Frank-Kamenetskii''']]. O parâmetro crítico é <math>\lambda_c=0.8785</math> para <math>n=1</math>, <math>\lambda_c=2</math> para <math>n=2</math> e <math>\lambda_c=3.32</math> para <math>n=3</math>. Para <math>n=1, \ 2</math>, existem duas soluções e para <math>3\leq n\leq 9</math> existem infinitas soluções com as soluções oscilando em torno do ponto <math>\lambda=2(n-2)</math>. Para <math>n\geq 10</math>, a solução é única e, nesses casos, o parâmetro crítico é dado por <math>\lambda_c=2(n-2)</math>. A multiplicidade de soluções para <math>n=3</math> foi descoberta por [[Israel Gelfand]] em 1963 e, posteriormente, em 1973, generalizada para todos os <math>n</math> por [[Daniel D. Joseph]] e [[Thomas S. Lundgren]].<ref>Joseph, D. D., e T. S. Lundgren. "Quasilinear Dirichlet problems driven by positive sources." Archive for Rational Mechanics and Analysis 49.4 (1973): 241-269.</ref>

A solução para <math>n=1</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,0.8785]</math> é dada por

:<math>\psi = -2 \ln \left[e^{-\psi_m/2}\cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}r\right)\right]</math>

onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como

:<math>e^{\psi_m/2} = \cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}\right).</math>

A solução para <math>n=2</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,2]</math> é dada por

:<math>\psi = \ln \left[\frac{64e^{\psi_m}}{(\lambda e^{\psi_m}r^2+8)^2}\right]</math>

onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como

:<math> (\lambda e^{\psi_m}+8)^2 - 64 e^{\psi_m} =0.</math>

== Método de Relaxação ==
Como a equação de Liouville-Bratu-Gelfand não depende do tempo, é necessária uma aproximação para uma equação similar dependente do tempo para resolvê-la numericamente aplicando o método de FTCS (Foward Time Central Space). Fazendo então a solução dessa equação convergir ao estado estacionário diante de uma evolução temporal longa o suficiente (<math>t \rightarrow \infty</math>).

Utilizando uma equação da difusão genérica chegamos na seguinte forma:

<center><math>\frac{\partial \psi}{dt} = \alpha \left( \frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^{2}\psi}{\partial y^2} \right)</math>.</center>

Onde <math>\alpha</math> é a constante de difusão. Assim é possível aplicar essa equação no método de Jacobi, método numérico de relaxação.

== Referências ==

# https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%E2%80%93Bratu%E2%80%93Gelfand_equation
# Scherer, CLÁUDIO. Métodos Computacionais da Física. 2010.

Equação de Liouville-Bratu-Gelfand

2024-06-24T20:47:28Z

Analucia: /* Equação de Liouville-bratu-Gelfand */

== Equação de Liouville-bratu-Gelfand ==

Na matemática, a Equação Liouville–Bratu–Gelfand ou Equação de Liouville é uma equação de Poisson não linear, nomeada em homenagem aos matemáticos Joseph Liouville, Gheorghe Bratu e Israel Gelfand, que é descrita da seguinte forma

<center><math> \nabla^2 \psi+\lambda e^\psi </math></center>

Essa equação aparece em problemas de fuga térmica, como na teoria de Frank-Kamenetskii, e na astrofísica, por exemplo, na equação Emden–Chandrasekhar. Esta equação pode descrever a carga espacial de eletricidade em torno de um fio brilhante ou até mesmo uma nebulosa planetária.

== A solução de Liouville ==

Em duas dimensões, com coordenadas cartesianas (x,y), Joseph Liouville propôs uma solução em 1853 como

<math> \lambda e^\psi(u^2+v^2+1)^2=2\left[\left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + \left(\dfrac{\partial u}{\partial y}\right)^2\right] </math>

onde <math>f(z)=u + i v</math> é uma [[função analítica]] arbitrária com <math>z=x+iy</math>. Em 1915, G.W. Walker<ref>Walker, George W. "Some problems illustrating the forms of nebulae." Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character 91.631 (1915): 410-420.https://www.jstor.org/stable/pdf/93512.pdf?refreqid=excelsior%3Af4a4cc9656b8bbd9266f9d32587d02b1</ref> encontrou uma solução assumindo uma forma para <math>f(z)</math>. Se <math>r^2=x^2+y^2</math>, então a solução de Walker é

:<math>8 e^{-\psi} = \lambda \left[\left(\frac{r}{a}\right)^n + \left(\frac{a}{r}\right)^n\right]^2</math>

onde <math>a</math> é algum raio finito. Essa solução vai ao infinito para qualquer <math>n</math>, mas vai ao infinito na origem <math>n<1</math> , finito na origem para <math>n=1</math> e vai a zero na origem para <math>n>1</math>. Walker também propôs mais duas soluções em seu artigo de 1915.

==Formas radialmente simétricas==

Se o sistema a ser estudado for radialmente simétrico, então a equação em <math>n</math> dimensões torna-se

:<math>\psi'' + \frac{n-1}{r}\psi' + \lambda e^\psi=0</math>

onde <math>r</math> é a distância a partir da origem. Com as condições de contorno

:<math>\psi'(0)=0, \quad \psi(1) = 0</math>

e para <math>\lambda\geq 0</math>, uma solução real existe apenas para <math>\lambda \in [0,\lambda_c]</math>, onde <math>\lambda_c</math> é o parâmetro crítico chamado de [[Teoria de Frank-Kamenetskii|'''parâmetro de Frank-Kamenetskii''']]. O parâmetro crítico é <math>\lambda_c=0.8785</math> para <math>n=1</math>, <math>\lambda_c=2</math> para <math>n=2</math> e <math>\lambda_c=3.32</math> para <math>n=3</math>. Para <math>n=1, \ 2</math>, existem duas soluções e para <math>3\leq n\leq 9</math> existem infinitas soluções com as soluções oscilando em torno do ponto <math>\lambda=2(n-2)</math>. Para <math>n\geq 10</math>, a solução é única e, nesses casos, o parâmetro crítico é dado por <math>\lambda_c=2(n-2)</math>. A multiplicidade de soluções para <math>n=3</math> foi descoberta por [[Israel Gelfand]] em 1963 e, posteriormente, em 1973, generalizada para todos os <math>n</math> por [[Daniel D. Joseph]] e [[Thomas S. Lundgren]].<ref>Joseph, D. D., e T. S. Lundgren. "Quasilinear Dirichlet problems driven by positive sources." Archive for Rational Mechanics and Analysis 49.4 (1973): 241-269.</ref>

A solução para <math>n=1</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,0.8785]</math> é dada por

:<math>\psi = -2 \ln \left[e^{-\psi_m/2}\cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}r\right)\right]</math>

onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como

:<math>e^{\psi_m/2} = \cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}\right).</math>

A solução para <math>n=2</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,2]</math> é dada por

:<math>\psi = \ln \left[\frac{64e^{\psi_m}}{(\lambda e^{\psi_m}r^2+8)^2}\right]</math>

onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como

:<math> (\lambda e^{\psi_m}+8)^2 - 64 e^{\psi_m} =0.</math>

== Método de Relaxação ==
Como a equação de Liouville-Bratu-Gelfand não depende do tempo, é necessária uma aproximação para uma equação similar dependente do tempo para resolvê-la numericamente aplicando o método de FTCS (Foward Time Central Space). Fazendo então a solução dessa equação convergir ao estado estacionário diante de uma evolução temporal longa o suficiente (<math>t \rightarrow \infty</math>).

Utilizando uma equação da difusão genérica chegamos na seguinte forma:

<center><math>\frac{\partial \psi}{dt} = \alpha \left( \frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^{2}\psi}{\partial y^2} \right)</math>.</center>

Onde <math>\alpha</math> é a constante de difusão. Assim é possível aplicar essa equação no método de Jacobi, método numérico de relaxação.

== Referências ==

# https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%E2%80%93Bratu%E2%80%93Gelfand_equation
# Scherer, CLÁUDIO. Métodos Computacionais da Física. 2010.

Equação de Liouville-Bratu-Gelfand

2024-05-04T14:57:32Z

Analucia: /* Método de Relaxação */

== Equação de Liouville-bratu-Gelfand ==

Na matemática, a Equação Liouville–Bratu–Gelfand or Equação de Liouville é uma equação de Poisson não linear, nomeada em homenagem aos matemáticos Joseph Liouville, Gheorghe Bratu e Israel Gelfand, que é descrita da seguinte forma

<math> \nabla^2 \psi+\lambda e \psi </math>

Essa equação aparece em problemas de fuga térmica, como na teoria de Frank-Kamenetskii, e na astrofísica, por exemplo, na equação Emden–Chandrasekhar. Esta equação pode descrever a carga espacial de eletricidade em torno de um fio brilhante ou até mesmo uma nebulosa planetária.

A solução de Liouville

In two dimension with Cartesian Coordinates
(x,y)
, Joseph Liouville proposed a solution in 1853 as

λeψ(u2+v2+1)2=2[(∂u∂x)2+(∂u∂y)2]

where
f(z)=u+iv
is an arbitrary analytic function with
z=x+iy
. In 1915, G.W. Walker found a solution by assuming a form for
f(z)
. If
r2=x2+y2
, then Walker's solution is

8e−ψ=λ[(ra)n+(ar)n]2

where
a
is some finite radius. This solution decays at infinity for any
n
, but becomes infinite at the origin for
n<1
, becomes finite at the origin for
n=1
and becomes zero at the origin for
n>1
. Walker also proposed two more solutions in his 1915 paper.

Radially symmetric forms

If the system to be studied is radially symmetric, then the equation in
n
dimension becomes

ψ″+n−1rψ′+λeψ=0

where
r
is the distance from the origin. With the boundary conditions

ψ′(0)=0,ψ(1)=0

and for
λ≥0
, a real solution exists only for
λ∈[0,λc]
, where
λc
is the critical parameter called as Frank-Kamenetskii parameter. The critical parameter is
λc=0.8785
for
n=1
,
λc=2
for
n=2
and
λc=3.32
for
n=3
. For
n=1, 2
, two solution exists and for
3≤n≤9
infinitely many solution exists with solutions oscillating about the point
λ=2(n−2)
. For
n≥10
, the solution is unique and in these cases the critical parameter is given by
λc=2(n−2)
. Multiplicity of solution for
n=3
was discovered by Israel Gelfand in 1963 and in later 1973 generalized for all
n
by Daniel D. Joseph and Thomas S. Lundgren.

The solution for
n=1
that is valid in the range
λ∈[0,0.8785]
is given by

ψ=−2ln⁡[e−ψm/2cosh⁡(λ2e−ψm/2r)]

where
ψm=ψ(0)
is related to
λ
as

eψm/2=cosh⁡(λ2e−ψm/2).

The solution for
n=2
that is valid in the range
λ∈[0,2]
is given by

ψ=ln⁡[64eψm(λeψmr2+8)2]

where
ψm=ψ(0)
is related to
λ
as

(λeψm+8)2−64eψm=0.
</source> 

== Método de Relaxação ==
Como a equação de Liouville-Bratu-Gelfand não depende do tempo, é necessária uma aproximação para uma equação similar dependente do tempo para resolvê-la numericamente aplicando o método de FTCS (Foward Time Central Space). Fazendo então a solução dessa equação convergir ao estado estacionário diante de uma evolução temporal longa o suficiente (<math>t \rightarrow \infty</math>).

Utilizando uma equação da difusão genérica chegamos na seguinte forma:

<center><math>\frac{\partial \psi}{dt} = \alpha \left( \frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^{2}\psi}{\partial y^2} \right)</math>.</center>

Onde <math>\alpha</math> é a constante de difusão. Assim é possível aplicar essa equação no método de Jacobi, método numérico de relaxação.

== Referências ==

# https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%E2%80%93Bratu%E2%80%93Gelfand_equation
# Scherer, CLÁUDIO. Métodos Computacionais da Física. 2010.

Equação de Liouville-Bratu-Gelfand

2024-05-04T14:19:11Z

Analucia: /* Método de Relaxação */

== Equação de Liouville-bratu-Gelfand ==

Na matemática, a Equação Liouville–Bratu–Gelfand or Equação de Liouville é uma equação de Poisson não linear, nomeada em homenagem aos matemáticos Joseph Liouville, Gheorghe Bratu e Israel Gelfand, que é descrita da seguinte forma

<math> \nabla^2 \psi+\lambda e \psi </math>

Essa equação aparece em problemas de fuga térmica, como na teoria de Frank-Kamenetskii, e na astrofísica, por exemplo, na equação Emden–Chandrasekhar. Esta equação pode descrever a carga espacial de eletricidade em torno de um fio brilhante ou até mesmo uma nebulosa planetária.

A solução de Liouville

In two dimension with Cartesian Coordinates
(x,y)
, Joseph Liouville proposed a solution in 1853 as

λeψ(u2+v2+1)2=2[(∂u∂x)2+(∂u∂y)2]

where
f(z)=u+iv
is an arbitrary analytic function with
z=x+iy
. In 1915, G.W. Walker found a solution by assuming a form for
f(z)
. If
r2=x2+y2
, then Walker's solution is

8e−ψ=λ[(ra)n+(ar)n]2

where
a
is some finite radius. This solution decays at infinity for any
n
, but becomes infinite at the origin for
n<1
, becomes finite at the origin for
n=1
and becomes zero at the origin for
n>1
. Walker also proposed two more solutions in his 1915 paper.

Radially symmetric forms

If the system to be studied is radially symmetric, then the equation in
n
dimension becomes

ψ″+n−1rψ′+λeψ=0

where
r
is the distance from the origin. With the boundary conditions

ψ′(0)=0,ψ(1)=0

and for
λ≥0
, a real solution exists only for
λ∈[0,λc]
, where
λc
is the critical parameter called as Frank-Kamenetskii parameter. The critical parameter is
λc=0.8785
for
n=1
,
λc=2
for
n=2
and
λc=3.32
for
n=3
. For
n=1, 2
, two solution exists and for
3≤n≤9
infinitely many solution exists with solutions oscillating about the point
λ=2(n−2)
. For
n≥10
, the solution is unique and in these cases the critical parameter is given by
λc=2(n−2)
. Multiplicity of solution for
n=3
was discovered by Israel Gelfand in 1963 and in later 1973 generalized for all
n
by Daniel D. Joseph and Thomas S. Lundgren.

The solution for
n=1
that is valid in the range
λ∈[0,0.8785]
is given by

ψ=−2ln⁡[e−ψm/2cosh⁡(λ2e−ψm/2r)]

where
ψm=ψ(0)
is related to
λ
as

eψm/2=cosh⁡(λ2e−ψm/2).

The solution for
n=2
that is valid in the range
λ∈[0,2]
is given by

ψ=ln⁡[64eψm(λeψmr2+8)2]

where
ψm=ψ(0)
is related to
λ
as

(λeψm+8)2−64eψm=0.
</source> 

== Método de Relaxação ==
Como a equação de Liouville-Bratu-Gelfand não depende do tempo, é necessária uma aproximação para uma equação similar dependente do tempo para resolvê-la numericamente aplicando o método de FTCS (Foward Time Central Space). Fazendo então a solução dessa equação convergir ao estado estacionário diante de uma evolução temporal longa o suficiente (<math>t \rightarrow \infty</math>).

Utilizando uma equação da difusão genérica chegamos na seguinte forma:

<center><math>\frac{\partial \psi}{dt} = \alpha \left( \frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^{2}\psi}{\partial y^2} \right)</math>.</center>.

Assim é possível aplicar essa equação no método de Jacobi, método numérico de relaxação.

== Referências ==

# https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%E2%80%93Bratu%E2%80%93Gelfand_equation
# Scherer, CLÁUDIO. Métodos Computacionais da Física. 2010.

Equação de Liouville-Bratu-Gelfand

2024-05-04T14:14:45Z

Analucia: /* Método de Relaxação */

== Equação de Liouville-bratu-Gelfand ==

Na matemática, a Equação Liouville–Bratu–Gelfand or Equação de Liouville é uma equação de Poisson não linear, nomeada em homenagem aos matemáticos Joseph Liouville, Gheorghe Bratu e Israel Gelfand, que é descrita da seguinte forma

<math> \nabla^2 \psi+\lambda e \psi </math>

Essa equação aparece em problemas de fuga térmica, como na teoria de Frank-Kamenetskii, e na astrofísica, por exemplo, na equação Emden–Chandrasekhar. Esta equação pode descrever a carga espacial de eletricidade em torno de um fio brilhante ou até mesmo uma nebulosa planetária.

A solução de Liouville

In two dimension with Cartesian Coordinates
(x,y)
, Joseph Liouville proposed a solution in 1853 as

λeψ(u2+v2+1)2=2[(∂u∂x)2+(∂u∂y)2]

where
f(z)=u+iv
is an arbitrary analytic function with
z=x+iy
. In 1915, G.W. Walker found a solution by assuming a form for
f(z)
. If
r2=x2+y2
, then Walker's solution is

8e−ψ=λ[(ra)n+(ar)n]2

where
a
is some finite radius. This solution decays at infinity for any
n
, but becomes infinite at the origin for
n<1
, becomes finite at the origin for
n=1
and becomes zero at the origin for
n>1
. Walker also proposed two more solutions in his 1915 paper.

Radially symmetric forms

If the system to be studied is radially symmetric, then the equation in
n
dimension becomes

ψ″+n−1rψ′+λeψ=0

where
r
is the distance from the origin. With the boundary conditions

ψ′(0)=0,ψ(1)=0

and for
λ≥0
, a real solution exists only for
λ∈[0,λc]
, where
λc
is the critical parameter called as Frank-Kamenetskii parameter. The critical parameter is
λc=0.8785
for
n=1
,
λc=2
for
n=2
and
λc=3.32
for
n=3
. For
n=1, 2
, two solution exists and for
3≤n≤9
infinitely many solution exists with solutions oscillating about the point
λ=2(n−2)
. For
n≥10
, the solution is unique and in these cases the critical parameter is given by
λc=2(n−2)
. Multiplicity of solution for
n=3
was discovered by Israel Gelfand in 1963 and in later 1973 generalized for all
n
by Daniel D. Joseph and Thomas S. Lundgren.

The solution for
n=1
that is valid in the range
λ∈[0,0.8785]
is given by

ψ=−2ln⁡[e−ψm/2cosh⁡(λ2e−ψm/2r)]

where
ψm=ψ(0)
is related to
λ
as

eψm/2=cosh⁡(λ2e−ψm/2).

The solution for
n=2
that is valid in the range
λ∈[0,2]
is given by

ψ=ln⁡[64eψm(λeψmr2+8)2]

where
ψm=ψ(0)
is related to
λ
as

(λeψm+8)2−64eψm=0.
</source> 

== Método de Relaxação ==
Como a equação de Liouville-Bratu-Gelfand não depende do tempo, é necessária uma aproximação para uma equação similar dependente do tempo para resolvê-la numericamente aplicando o método de FTCS (Foward Time Central Space). Fazendo então a solução dessa equação convergir ao estado estacionário diante de uma evolução temporal longa o suficiente (<math>t \rightarrow \infty</math>).

Utilizando uma equação da difusão genérica chegamos na seguinte forma:

<center><math>\frac{\partial \psi}{dt} = \alpha \left( \frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^{2}\psi}{\partial y^2} \right)</math>.</center>.

== Referências ==

# https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%E2%80%93Bratu%E2%80%93Gelfand_equation
# Scherer, CLÁUDIO. Métodos Computacionais da Física. 2010.

Equação de Liouville-Bratu-Gelfand

2024-05-04T14:13:44Z

Analucia: /* Método de Relaxação */

== Equação de Liouville-bratu-Gelfand ==

Na matemática, a Equação Liouville–Bratu–Gelfand or Equação de Liouville é uma equação de Poisson não linear, nomeada em homenagem aos matemáticos Joseph Liouville, Gheorghe Bratu e Israel Gelfand, que é descrita da seguinte forma

<math> \nabla^2 \psi+\lambda e \psi </math>

Essa equação aparece em problemas de fuga térmica, como na teoria de Frank-Kamenetskii, e na astrofísica, por exemplo, na equação Emden–Chandrasekhar. Esta equação pode descrever a carga espacial de eletricidade em torno de um fio brilhante ou até mesmo uma nebulosa planetária.

A solução de Liouville

In two dimension with Cartesian Coordinates
(x,y)
, Joseph Liouville proposed a solution in 1853 as

λeψ(u2+v2+1)2=2[(∂u∂x)2+(∂u∂y)2]

where
f(z)=u+iv
is an arbitrary analytic function with
z=x+iy
. In 1915, G.W. Walker found a solution by assuming a form for
f(z)
. If
r2=x2+y2
, then Walker's solution is

8e−ψ=λ[(ra)n+(ar)n]2

where
a
is some finite radius. This solution decays at infinity for any
n
, but becomes infinite at the origin for
n<1
, becomes finite at the origin for
n=1
and becomes zero at the origin for
n>1
. Walker also proposed two more solutions in his 1915 paper.

Radially symmetric forms

If the system to be studied is radially symmetric, then the equation in
n
dimension becomes

ψ″+n−1rψ′+λeψ=0

where
r
is the distance from the origin. With the boundary conditions

ψ′(0)=0,ψ(1)=0

and for
λ≥0
, a real solution exists only for
λ∈[0,λc]
, where
λc
is the critical parameter called as Frank-Kamenetskii parameter. The critical parameter is
λc=0.8785
for
n=1
,
λc=2
for
n=2
and
λc=3.32
for
n=3
. For
n=1, 2
, two solution exists and for
3≤n≤9
infinitely many solution exists with solutions oscillating about the point
λ=2(n−2)
. For
n≥10
, the solution is unique and in these cases the critical parameter is given by
λc=2(n−2)
. Multiplicity of solution for
n=3
was discovered by Israel Gelfand in 1963 and in later 1973 generalized for all
n
by Daniel D. Joseph and Thomas S. Lundgren.

The solution for
n=1
that is valid in the range
λ∈[0,0.8785]
is given by

ψ=−2ln⁡[e−ψm/2cosh⁡(λ2e−ψm/2r)]

where
ψm=ψ(0)
is related to
λ
as

eψm/2=cosh⁡(λ2e−ψm/2).

The solution for
n=2
that is valid in the range
λ∈[0,2]
is given by

ψ=ln⁡[64eψm(λeψmr2+8)2]

where
ψm=ψ(0)
is related to
λ
as

(λeψm+8)2−64eψm=0.
</source> 

== Método de Relaxação ==
Como a equação de Liouville-Bratu-Gelfand não depende do tempo, é necessária uma aproximação para uma equação similar dependente do tempo para resolvê-la numericamente aplicando o método de FTCS (Foward Time Central Space). Fazendo então a solução dessa equação convergir ao estado estacionário diante de uma evolução temporal longa o suficiente (<math>t \rightarrow \infty</math>).

Utilizando uma equação da difusão genérica chegamos na seguinte forma:

<center><math>\frac{\partial f}{dt} = D \left( \frac{\partial^{2}f}{\partial x^2} + \frac{\partial^{2}f}{\partial y^2} \right)</math>.</center>.

== Referências ==

# https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%E2%80%93Bratu%E2%80%93Gelfand_equation
# Scherer, CLÁUDIO. Métodos Computacionais da Física. 2010.

Equação de Liouville-Bratu-Gelfand

2024-05-04T14:05:18Z

Analucia:

== Equação de Liouville-bratu-Gelfand ==

Na matemática, a Equação Liouville–Bratu–Gelfand or Equação de Liouville é uma equação de Poisson não linear, nomeada em homenagem aos matemáticos Joseph Liouville, Gheorghe Bratu e Israel Gelfand, que é descrita da seguinte forma

<math> \nabla^2 \psi+\lambda e \psi </math>

Essa equação aparece em problemas de fuga térmica, como na teoria de Frank-Kamenetskii, e na astrofísica, por exemplo, na equação Emden–Chandrasekhar. Esta equação pode descrever a carga espacial de eletricidade em torno de um fio brilhante ou até mesmo uma nebulosa planetária.

A solução de Liouville

In two dimension with Cartesian Coordinates
(x,y)
, Joseph Liouville proposed a solution in 1853 as

λeψ(u2+v2+1)2=2[(∂u∂x)2+(∂u∂y)2]

where
f(z)=u+iv
is an arbitrary analytic function with
z=x+iy
. In 1915, G.W. Walker found a solution by assuming a form for
f(z)
. If
r2=x2+y2
, then Walker's solution is

8e−ψ=λ[(ra)n+(ar)n]2

where
a
is some finite radius. This solution decays at infinity for any
n
, but becomes infinite at the origin for
n<1
, becomes finite at the origin for
n=1
and becomes zero at the origin for
n>1
. Walker also proposed two more solutions in his 1915 paper.

Radially symmetric forms

If the system to be studied is radially symmetric, then the equation in
n
dimension becomes

ψ″+n−1rψ′+λeψ=0

where
r
is the distance from the origin. With the boundary conditions

ψ′(0)=0,ψ(1)=0

and for
λ≥0
, a real solution exists only for
λ∈[0,λc]
, where
λc
is the critical parameter called as Frank-Kamenetskii parameter. The critical parameter is
λc=0.8785
for
n=1
,
λc=2
for
n=2
and
λc=3.32
for
n=3
. For
n=1, 2
, two solution exists and for
3≤n≤9
infinitely many solution exists with solutions oscillating about the point
λ=2(n−2)
. For
n≥10
, the solution is unique and in these cases the critical parameter is given by
λc=2(n−2)
. Multiplicity of solution for
n=3
was discovered by Israel Gelfand in 1963 and in later 1973 generalized for all
n
by Daniel D. Joseph and Thomas S. Lundgren.

The solution for
n=1
that is valid in the range
λ∈[0,0.8785]
is given by

ψ=−2ln⁡[e−ψm/2cosh⁡(λ2e−ψm/2r)]

where
ψm=ψ(0)
is related to
λ
as

eψm/2=cosh⁡(λ2e−ψm/2).

The solution for
n=2
that is valid in the range
λ∈[0,2]
is given by

ψ=ln⁡[64eψm(λeψmr2+8)2]

where
ψm=ψ(0)
is related to
λ
as

(λeψm+8)2−64eψm=0.
</source> 

== Método de Relaxação ==
Como a equação de Liouville-Bratu-Gelfand não depende do tempo, é necessária uma aproximação para uma equação similar dependente do tempo para resolve-la numericamente aplicando o método de FTCS (Foward Time Central Space). Fazendo então a solução dessa equação convergir ao estado estacionário diante de uma evolução temporal longa o suficiente

== Referências ==

# https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%E2%80%93Bratu%E2%80%93Gelfand_equation
# Scherer, CLÁUDIO. Métodos Computacionais da Física. 2010.

Trabalhos 2024/1

2024-04-23T16:49:24Z

Analucia:

== [[Corda Vibrante]] ==

== [[Equação de Ginzburg-Landau complexa]] ==

== [[Equação de Dirac]] ==

== [[Equação de Schrödinger Unidimensional]] ==

== [[Equação de Liouville-Bratu-Gelfand]] ==