Teste2

Resolução Analítica

Equação da difusão

${\partial f \over \partial t}={\partial ^{2}f \over \partial x^{2}}$

Separação de variáveis: $f(x,t)=h(x)g(t)$

${\begin{aligned}hg^{\prime }&=&h^{\prime \prime }g\\{\frac {g^{\prime }}{g}}&=&{\frac {h^{\prime \prime }}{h}}\end{aligned}}$

como um lado só depende de x e o outro só depende de t.

${\begin{aligned}g=-k^{2}g\ &\to &\ g(t)=e^{-k^{2}t}\\h^{\prime \prime }+k^{2}\,h=0&\to &\ h(x)=A\sin(kx)+B\cos(kx)\end{aligned}}$

A função

${\begin{aligned}u(x,t)=e^{-k^{2}t}\sin(kx)\end{aligned}}$

é solução da equação de difusão para qualquer k. Para satisfazer as condições de contorno $u(0,t)=0$ e $u(1,t)=0\Rightarrow k=m\pi$. Como qualquer uma das funções $\sin(m\pi x)$ será solução, a sua superposição (linear) também o será:

${\begin{aligned}u(x,t)=\sum _{m=1}^{\infty }a_{m}.e^{-(m\pi )^{2}t}sen(m\pi x)\end{aligned}}$

onde a condição inicial é dada por $u(x,0)=u^{0}(x)$. Se o intervalo em questão for de $0$ até $L$, troca-se $m\pi$ por $m\pi /L$ com a finalidade de satisfazer as condições de contorno:

Falhou ao verificar gramática (função desconhecida '\begin{aligned}'): {\displaystyle \begin{aligned} {\left \{ \begin{matrix} u^0(x) = \sum_{m=1}^\infty a_m sen(m\pi x) \\ a_m = 2\int_0^1 u^0(x) sen(m\pi x) dx \end{matrix} \right.} %\end{equation}\end{aligned}}

Pergunta computacional prática:

• Como calcular todos os termos da série e como realizar a integração para obter os coeficientes?

Teste da solução analítica:

${\begin{aligned}u(x,t)&=&\sum _{m=1}^{\infty }a_{m}.e^{-(m\pi )^{2}t}\sin(\pi x)\\{\partial u \over \partial t}&=&\sum _{m=1}^{\infty }-(m\pi )^{2}a_{m}.e^{-(m\pi )^{2}t}sen(kx)\\{\partial u \over \partial x}&=&\sum _{m=1}^{\infty }m\pi a_{m}.e^{-(m\pi )^{2}t}cos(kx)\\{\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}&=&\sum _{m=1}^{\infty }-(m\pi )^{2}a_{m}.e^{-(m\pi )^{2}t}\\u(0,t)&=&\sum _{m=1}^{\infty }\ ...\ sen(\pi 0)=0\\u(1,t)&=&\sum _{m=1}^{\infty }\ ...\ sen(m\pi )=0{\mbox{ para }}m=0,1,2,...\end{aligned}}$

A condição inicial é satisfeita pela própria definição utilizada.

• Podes colocar algum exemplo de cálculo de $u^{0}(x)$