Modelo de agentes de distribuição de riquezas

Grupo: Bernardo Boatini, Murilo Kessler Azambuja e Natália Ferrazzo

Introdução

A física estatística, em particular a teoria cinética dos gases, fornece uma estrutura útil para descrever a complexidade das interações de mercado. Da mesma forma que um sistema físico composto de muitas partículas trocando energia via colisões binárias, os Modelos de Troca de Cinética consideram um conjunto de agentes econômicos interagentes que trocam de forma binária uma quantidade conservada chamada de riqueza.

Este trabalho tem como objetivo calcular a evolução temporal da distribuição de riqueza entre entre um certo numero de agentes, utilizando diferentes regras de interação e um critério para medir quantitativamente a desigualdade de econômica no sistema.

Modelo

Vamos supor um sistema com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} agentes, onde o agente Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i} é caracterizado pela riqueza Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle w_i(t)} e pelo fator de aversão-a-riscos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta_i} no tempo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t} . Podemos então definir uma troca de riqueza entre os agentes Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle j} —selecionados aleatoriamente, supondo que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i} ganha uma riqueza Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta w} de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle j} —, como ^[1]

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle w_i(t+1) = w_i(t) + \Delta w \qquad w_j(t+1) = w_j(t) - \Delta w.}

Em modelos de trocas binárias como esse, mesmo que a regra não favoreça nenhum dos lados, já foi comprovado que o estado final sempre leva a condensação de riqueza em um agente^[2], ou seja, máxima desigualdade. Para pensar formas de evita a condensação certas dinâmicas podem ser adicionadas ao problema, como definir uma prefêrcia de troca do mais rico para o agente mais pobre.

Para decidir quem ganha e quem perde riqueza durante a interação entre agentes, utiliza-se uma probabilidade de favorecer o agente mais pobre, evitando assim a condensação, i.e., o acúmulo de toda riqueza disponível em apenas um ou poucos agentes ^[1]. Esta probabilidade é dada por ^[1] ^[3]

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p = \frac{1}{2} + f \times \frac{|w_i(t)-w_j(t)|}{w_i(t)+w_j(t)}, \qquad (1)}

onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} é chamado de fator de proteção social, que varia de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0} —mesma probabilidade de ganho de riqueza para ambos os agentes— até Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1/2} —máxima probabilidade de favorecer o agente mais pobre—. Desta forma, a probabilidade do agente mais pobre ganhar a quantidade Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta w} em uma interação entre agentes é Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} , enquanto que a probabilidade do agente mais rico ganhar a mesma quantidade Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta w} é Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1-p} . Além disso, vemos na equação (1) que quanto maior a desigualdade de riqueza (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle w_i(t)-w_j(t)} ), maior é a atuação de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} . Isso nos mostra que o fator de proteção social é uma forma de simular a aplicação políticas sociais que favorecem a distribuição de renda na população.

Uma vez sorteado qual agente ganha e qual perde na interação, deve-se determinar qual será a quantidade Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta w} a ser trocada por ambos. Existem diversas formas de se determina-la (algumas delas encontram-se de forma detalhada em ^[2]), porém neste trabalho focaremos na regra do mínimo e na regra do perdedor, enunciadas abaixo.

Regra do Mínimo

Nesta regra, temos que a quantidade de riqueza trocada entre os agentes é definida como ^[4]

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta w = min[(1-\beta_i)w_i(t); (1-\beta_j)w_j]. \qquad (2)}

Esta regra muitas vezes também é chamada de regra justa, pois a quantidade de riqueza trocada entre os agentes é a mesma, independente do ganhador, logo nenhum dos agentes é favorecido.

Regra do Perdedor

Neste caso, para tentar evitar condensações, temos que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta w} é obtido apenas pela quantia arriscada pelo perdedor, desta forma temos ^[4]

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta w = (1-\beta_j)w_j(t), \qquad (3)}

lembrando que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle j} é o agente perdedor. Desta forma, a quantidade de riqueza a ser trocada será sempre proporcional à fortuna de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle j} (i.e., Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle w_j(t)} ) e regulada por quanto o agente está disposto a arriscar (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta_j} ), tornando a interação entre os agentes muito mais favorável para o perdedor.

Coeficiente de Gini

O Coeficiente de Gini é um índice frequentemente utilizado por economistas e organizações estatísticas para mensurar quantitativamente a desigualdade de distribuição de renda em uma determinada região. Ele é definido como ^[1]

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G(t) = \frac{1}{2}\frac{\Sigma_{i,j}|w_i(t) - w_j(t)|}{N\Sigma_{i}w_i(t)}. \qquad(4)}

O índice de Gini varia de 0, quando todos os agentes possuem a mesma riqueza (i.e., desigualdade mínima), até 1, quando toda riqueza está concentrada em apenas um agente (i.e, desiguladade máxima). Este coeficiente é utilizado tanto para medir a desigualdade na distribuição de renda dos agentes da simulação, quanto como uma medida de dispersão, para determinar a estabilidade da distribuição de riqueza ^[1].

Resultados

Como unidade de tempo das simulações foi utilizado o MCS (Monte Carlo Step), definido como o menor número de passos necessários para que todos os agentes sejam sorteados^[1]

Evolução temporal sem fator de proteção social

Na Figura 1 e na Figura 2 temos a evolução temporal do coeficiente de Gini para a regra do perdedor e para a regra do mínimo, respectivamente. Estas simulações foram realizadas com um número de agentes Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N = 10000} sob uma média de 10 ensembles para cada valor de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta} . As condições iniciais foram tais que a riqueza (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle w_i} ) está inicialmente distribuída no intervalo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [0,1]} seguindo uma distribuição aleatória uniforme.

Note que após um certo número de MCS, o índice de Gini tende a convergir para um valor estável, para cada valor de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta} . O tempo de simulação foi escolhido de forma que o equilíbrio fosse atingido (o primeiro MCS foi ignorado).

Figura 1 - Evolução temporal para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta \in [0, 0.7]} utilizando a regra do perdedor sem fator de proteção social.

Figura 2 - Evolução temporal para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta \in [0, 0.7]} utilizando a regra do mínimo sem fator de proteção social.

Na Figura 2, vemos que o valor de estabilidade do índice de Gini sempre tende para o valor de desigualdade máxima, mesmo se mudarmos o valor de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta} . Desta forma, quando não inserimos um fator de proteção social no problema e assumimos que as trocas entre agentes ocorrem segundo a regra do mínimo, teremos sempre uma condensação da riqueza, levando a uma alta desigualdade econômica.

Por outro lado, na Figura 1, vemos que quanto maior for o fator de aversão-ao-risco, menor será a desigualdade econômica e apenas quando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta = 0} ocorre condensação (indicando, pela equação (3), que em cada interação os agentes irão trocar toda a riqueza disponível para eles).

Este resultado (a regra do mínimo sempre gerar uma condensação enquanto que a regra do perdedor estabiliza em um valor Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \neq 1} para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta>0} ) ocorre pois, como o valor de beta é igual para todos os agentes, teremos que, por (3), os agentes com maior riqueza irão perder mais dinheiro na regra do perdedor do que os agentes com menor riqueza e, desta forma, a riqueza estará mais bem distribuída quando o equilíbrio for atingido. Por outro lado, como na regra do mínimo o valor trocado independe de quem perde, se forem sorteados agentes com uma diferença muito grande de riqueza teremos que, por (2), a quantidade de riqueza perdida pelo agente mais pobre será muito maior comparativamente com sua própria riqueza. Desta forma teremos que, após tempo suficiente, a regra do mínimo sempre irá tender para uma distribuição de renda desigual.

Nas Figuras 3 e 4, temos outra evolução temporal do Índice de Gini. Nestes casos, as simulações foram realizadas com número de agentesFalhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} igual a Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 20000} sob uma média de 10 ensembles, assim como as anteriores. Além disso, as condições iniciais foram tais que tanto a riqueza (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle w_i} ) quanto o fator de aversão-a-riscos (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta_i} ) foram inicialmente distribuídas no intervalo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [0,1]} seguindo uma distribuição aleatória uniforme. Desta forma podemos obter um resultado mais realista, onde cada agente tem um Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta_i} diferente e aleatório.

Figura 3 - Evolução temporal para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta} distribuído uniformemente no intervalo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [0, 1]} utilizando a regra do perdedor sem fator de proteção social.

Figura 4 - Evolução temporal para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta} distribuído uniformemente no intervalo

[0,1]

utilizando a regra do mínimo sem fator de proteção social.

Na Figura 4, vemos a mesma tendência observada anteriormente quando a regra do mínimo foi utilizada, i.e., o equilíbrio tende para uma condensação. Isto ocorre pelo mesmo motivo anteriormente discutido: quando eventualmente ocorrer uma troca entre dois agentes com uma diferença de riqueza considerável, o agente mais pobre irá perder muito mais comparativamente a sua riqueza, devido à equação (2). Desta forma, depois de passado uma quantidade de tempo suficiente, toda riqueza vai estar concentrada em muito poucos agentes.

Na Figura 3, assim como na Figura 2, vemos que, apesar de não ter nenhum fator de proteção social, a distribuição de riqueza estabiliza em um valor menor do que 1, exatamente por que na regra do perdedor os agentes com maior riqueza arriscam perder mais do que arriscam em ganhar.

Evolução temporal com fator de proteção social

As simulações que serão apresentadas abaixo foram realizadas com um número de agentes $N=10000$ sob uma média entre 10 ensembles diferentes para cada valor de $f$ . As condições iniciais em todas simulações foram tais que a riqueza ( $w_{i}$ ) e a aversão ao risco ( $\beta (i)$ ) estão distribuídas no intervalo $[0,1]$ seguindo uma distribuição aleatória uniforme ( $\beta (i)$ permanece constante durante toda simulação).

Na Figura 5 e na Figura 6 temos a evolução temporal do coeficiente de Gini para a regra do perdedor(a esquerda) e para a regra do mínimo(a direita). Para cada valor de $f$ , note que após um certo número de MCS, para cada valor de $f$ o índice de Gini tende a convergir para um valor estável se tomamos um tempo de simulação suficientemente grande (o primeiro MCS foi ignorado).

Figura 5 - Evolução temporal da regra do perdedor para

\beta [i]

a partir de uma distribuição uniforme para diferentes fatores de proteção social.

Figura 6 - Evolução temporal da regra do mínimo para

\beta [i]

a partir de uma distribuição uniforme para diferentes fatores de proteção social.

Olhando para os dois gráficos é possivel ver que o Gini apresenta um período transiente até estabilizar, e que pode ser muito demorado. Mas em ambos os casos a distribuição se tona mais igual, quando comparado a ausência de proteção social para as mesmas condições iniciais, conforme aumentamos o valor de $f$ . O que mostra a eficácia deste método para ajudar os agentes mais pobres.

Diagrama " $G\times f$ "

Figura 6 - Diagrama expressando a relação do Gini médio para as duas regras de troca diferentes, em função do fator de proteção social.

Programas

Referências

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 ^1,4 ^1,5 https://arxiv.org/pdf/1904.05875.pdf CARDOSO, B. F.;GONÇALVEZ, S.; IGLESIAS, J. R.; "WEALTH DISTRIBUTION MODELS WITH REGULATIONS: DYNAMICS AND EQUILIBRIA"
↑ ^2,0 ^2,1 https://www.lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/217456/001121445.pdf?sequence=1 CARDOSO, B. F.; "A concentração de riqueza em sistemas de trocas binárias não enviesadas " Erro de citação: Etiqueta inválida <ref>; Nome "MESTRADOBENHUR" definido várias vezes com conteúdo diferente
↑ https://arxiv.org/pdf/cond-mat/0306579.pdf SCAFETTA, N.;WEST, B. J.; PICOZZI, S.; "A Trade-Investment Model for Distribution of Wealth"
↑ ^4,0 ^4,1 https://link.springer.com/content/pdf/10.1140/epjst/e2007-00072-4.pdf CAON, G.M.; GONÇALVEZ, S.; CARDOSO, B. F.; "The unfair consequences of equal opportunities: Comparing exchange models of wealth distribution"

[BENHUR-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 ^1,4 ^1,5 https://arxiv.org/pdf/1904.05875.pdf CARDOSO, B. F.;GONÇALVEZ, S.; IGLESIAS, J. R.; "WEALTH DISTRIBUTION MODELS WITH REGULATIONS: DYNAMICS AND EQUILIBRIA"

[MESTRADOBENHUR-2] 2,0 ^2,1 https://www.lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/217456/001121445.pdf?sequence=1 CARDOSO, B. F.; "A concentração de riqueza em sistemas de trocas binárias não enviesadas " Erro de citação: Etiqueta inválida <ref>; Nome "MESTRADOBENHUR" definido várias vezes com conteúdo diferente

[SCAFETTA-3] ttps://arxiv.org/pdf/cond-mat/0306579.pdf SCAFETTA, N.;WEST, B. J.; PICOZZI, S.; "A Trade-Investment Model for Distribution of Wealth"

[CAON-4] 4,0 ^4,1 https://link.springer.com/content/pdf/10.1140/epjst/e2007-00072-4.pdf CAON, G.M.; GONÇALVEZ, S.; CARDOSO, B. F.; "The unfair consequences of equal opportunities: Comparing exchange models of wealth distribution"

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