Modelo de Lotka-Volterra: mudanças entre as edições

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== Versão tradicional ==


No modelo de Lotka-Volterra temos as seguintes considerações:
No modelo de Lotka-Volterra temos as seguintes considerações:
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Como temos raízes puramente imaginárias e <math display="inline">\lambda_{1}=\lambda_{2}^{*}</math>, temos um centro, ponto de estabilidade. Isto é, se a condição inicial for próxima de <math display="inline">\left(\frac{c}{\gamma},\frac{a}{\alpha}\right)</math> o sistema evoluirá de forma que o estado do sistema permanecerá próximo do ponto de equilíbrio.
Como temos raízes puramente imaginárias e <math display="inline">\lambda_{1}=\lambda_{2}^{*}</math>, temos um centro, ponto de estabilidade. Isto é, se a condição inicial for próxima de <math display="inline">\left(\frac{c}{\gamma},\frac{a}{\alpha}\right)</math> o sistema evoluirá de forma que o estado do sistema permanecerá próximo do ponto de equilíbrio.


<div class="center">[[Ficheiro:Tabela de autovaloes.png|miniaturadaimagem|Classificação dos pontos de estabilidade de acordo com os autovalores<ref>[http://www.sel.eesc.usp.br/lac/disciplinas/sels/arquivos/sel364/private/aula1a2cnl.pdf Análise de sistemas não-lineares] (Vilma A. Oliveira e José Ricardo Rosolen, USP)</ref>.alt=|300x300px]]</div>
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=== Segundo método de Lyapunov ===
=== Segundo método de Lyapunov ===
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Um exemplo resolvido numericamente pode ser visto em [[Modelo de Lotka-Volterra amortecido]], onde foi aproveitado os códigos desenvolvidos para este mesmo.
Um exemplo resolvido numericamente pode ser visto em [[Modelo de Lotka-Volterra amortecido]], onde foi aproveitado os códigos desenvolvidos para este mesmo.
== Versão adimensional ==
Originalmente temos 4 parâmetros, mas podemos realizar uma série de manipulações visando uma redução da quantidade de parâmetros. Escrevendo o sistema como:
<math display="block">\begin{align}
\frac{dN}{dt} & =aN-bNP\\
\frac{dP}{dt} & =cPN-dP
\end{align}</math>
Podemos definir então <math display="inline">\widehat{t}=at</math>. Multiplicando ambas equações por <math display="inline">1/a</math>:
<math display="block">\begin{align}
\frac{1}{a}\frac{dN}{dt} & =N-\frac{b}{a}NP\\
\frac{1}{a}\frac{dP}{dt} & =\frac{c}{a}PN-\frac{d}{a}P
\end{align}</math>
Se definimos <math display="inline">p=\left(b/a\right)P</math> e multiplicamos a segunda equação por <math display="inline">b/a</math>:
<math display="block">\begin{align}
\frac{dN}{d\widehat{t}} & =N-Np\\
\frac{d}{d\widehat{t}}\left(\frac{bP}{a}\right) & =\frac{c}{a}\left(\frac{b}{a}P\right)N-\frac{d}{a}\left(\frac{b}{a}P\right)
\end{align}</math>
Agora se multiplicamos a primeira linha e definimos <math display="inline">n=\left(c/d\right)N</math>:
<math display="block">\begin{align}
\frac{d}{d\widehat{t}}\left(\frac{c}{d}N\right) & =\frac{c}{d}N-\left(\frac{c}{d}N\right)p\\
\frac{dp}{d\widehat{t}} & =\frac{c}{a}pN-\frac{d}{a}p
\end{align}</math>
Definindo então <math display="inline">\alpha=\frac{d}{a}</math>:
<math display="block">\begin{align}
\frac{d n}{d\widehat{t}} & =n-np\\
\frac{dp}{d\widehat{t}} & =\frac{c}{a}\frac{d}{c}pn-\alpha p
\end{align}</math>
Ou então, ficamos apenas com um único parâmetro.
<math display="block">\begin{align}
\frac{dn}{d\widehat{t}} & =n\left(1-p\right)\\
\frac{dp}{d\widehat{t}} & =\alpha p\left(n-1\right)
\end{align}</math>
=== Separação de variáveis ===
Aplicando a separação de variáveis, temos então: <math display="block">\begin{align}
\frac{dp}{dn} & =\frac{\alpha p\left(n-1\right)}{n\left(1-p\right)}\\
\frac{\left(1-p\right)}{p}dp & =\alpha\frac{\left(n-1\right)}{n}dn\\
\left(\frac{1}{p}-1\right)dp & =\alpha\left(1-\frac{1}{n}\right)dn\\
\ln p-p+K & =\alpha\left(n-\ln\left(n\right)\right)\\
K & =\alpha n+p-\alpha\ln\left(n\right)-\ln p
\end{align}</math>
Ou ainda, apenas:
<math display="block">K=\alpha n+p+\ln\left(n^{\alpha}p\right)</math>
== Referências ==


=== Principais materiais utilizados ===
=== Principais materiais utilizados ===
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=== Citações ===
=== Citações ===
<references />
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Edição atual tal como às 00h42min de 10 de novembro de 2022

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Versão tradicional

No modelo de Lotka-Volterra temos as seguintes considerações:

  • Na ausência de predadores, a população de presas aumenta a uma taxa proporcional à população atual;
  • Na ausência de presas, os predadores irão à extinção;
  • O número de encontro entre presas e predadores é proporcional a produto das duas populações.
    • Estes encontros beneficiam os predadores em detrimento das presas.

Dessa forma, as equações são:

Onde:

  • taxa de crescimento de presas sem predadores;
  • taxa de decréscimo da população de presas devido a predação;
  • taxa de mortalidade da população de predadores sem presas;
  • : taxa de crescimento de predadores devido a predação.

Separação de variáveis

Utilizando a separação de variáveis, temos:

Logo:

Integrando ambos os lados:

Onde é uma constante de integração. Para plotarmos um gráfico, considerando apenas Temos então:

Um ponto de equilíbrio fora da origem é obtido quando:

Então neste caso, o sistema oscila em torno de e a constante é definida pelas condições iniciais . Para a condição em que , então:

Então para este conjunto de parâmetros e condições iniciais:

Neste caso o sistema vai permanecer no ponto de equilíbrio. Para outras condições iniciais, o sistema vai oscilar em torno do ponto de equilíbrio. Obviamente além do ponto , temos um ponto de equilíbrio em . Vamos analisar a dinâmica na vizinhança dos pontos através de um processo simples de linearização.

com as condições e condição inicial arbitrária, plotado no GeoGebra.

Linearização em torno do ponto de equilíbrio

Primeiro podemos perceber que o sistema é quase-linear em torno de , verificando que satisfaz:

Então lembrando as equações:

Logo:

Desprezando então os termos não lineares podemos escrever o seguinte sistema linearizado em torno da origem:

Calculando os autovalores da matriz, obtemos então:


os seguintes autovalores . Como um dos valores tem parte real positiva, então é um ponto instável, especificamente devido aos sinais opostos é um ponto de sela. Como é instável significa que se a condição inicial for próxima de , a evolução do sistema vai se afastar do ponto de equilíbrio. Essa aproximação também indica que próximo do ponto de equilíbrio, a dinâmica pode ser descrita tanto pelo conjunto de equações não lineares, como pelo sistema linear.

Agora o segundo ponto de equilíbrio, de maneira geral é . Primeiro reescrevemos o sistema em torno do ponto de equilíbrio, isto é, fazemos um deslocamento e . Então temos e e substituindo, para :

E para :

Podemos analisar o comportamento em torno do ponto de equilíbrio:

Desprezando os termos não lineares então:

Então os autovalores correspondentes:

Como temos raízes puramente imaginárias e , temos um centro, ponto de estabilidade. Isto é, se a condição inicial for próxima de o sistema evoluirá de forma que o estado do sistema permanecerá próximo do ponto de equilíbrio.

Classificação dos pontos de estabilidade de acordo com os autovalores[1].

Segundo método de Lyapunov

Para avaliar o ponto , podemos usar de maneira análoga ao exemplo do segundo critério de Lyapunov:

Como já discutimos e a região onde para , sendo um ponto de acumulação em [2]. Então:

Lembrando do nosso segundo ponto de equilíbrio :


Então se estamos próximos suficiente do ponto de equilíbrio em análise , temos então uma instabilidade local pois é positivo definido em , uma vez que , . Olhando o segundo ponto de equilíbrio, , podemos manipular as equações da seguinte forma:

Definindo então a seguinte função de Lyapunov:

Analisando no ponto de e equilíbrio, temos:

Agora precisamos que para tenhamos , na região próxima ao ponto de equilíbrio. Separando em dois termos:

De forma geral temos , e precisamos que quando . Além de ser facilmente visto via gráfico para todos os valores aceitáveis , também podemos analisar a seguinte desigualdade:

Podemos ver quer a desigualdade desigualdade é válida exceto se . Mas como fizemos a seguinte substituição então , e de fato que queremos que seja positiva definida fora do ponto de equilíbrio. Uma vez que sabemos que é positivo definido, calculamos então:

Então:

Temos então a condição de estabilidade concordando como que já havíamos obtidos anteriormente.

Solução numérica

Um exemplo resolvido numericamente pode ser visto em Modelo de Lotka-Volterra amortecido, onde foi aproveitado os códigos desenvolvidos para este mesmo.

Versão adimensional

Originalmente temos 4 parâmetros, mas podemos realizar uma série de manipulações visando uma redução da quantidade de parâmetros. Escrevendo o sistema como:

Podemos definir então . Multiplicando ambas equações por :

Se definimos e multiplicamos a segunda equação por :

Agora se multiplicamos a primeira linha e definimos :

Definindo então :

Ou então, ficamos apenas com um único parâmetro.

Separação de variáveis

Aplicando a separação de variáveis, temos então:

Ou ainda, apenas:

Referências

Principais materiais utilizados

  1. A survey of constructing Lyapunov functions for mathematical models in population biology (Sze-Bi, Revista Taiwanesa de Matemática )
  2. Estabilidade de pontos de equilíbrio e existência de soluções periódicas em alguns modelos bidimensionais (Salvador Tavares de Oliveira, UNESP)
  3. Modelagem Matemática e estabilidade de sistemas predador-presa (Paulo Laerte Natti e outros, UEL)
  4. Modelo de Lotka-Volterra: a dinâmica predador-presa (Rafael Biasi Pata e Elisa Regina Cara, UNIPAMPA)

Citações

  1. Análise de sistemas não-lineares (Vilma A. Oliveira e José Ricardo Rosolen, USP)
  2. Stability Analysis of Nonlinear Systems (Roberto Zanasi, Universidade de Módena e Reggio Emília)

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