Modelo de Gray-Scott

De Física Computacional
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Análise de estabilidade

Em geral, a análise de estabilidade linear de sistemas reativos-difusivos se constitui em duas etapas. Inicialmente se determinam os estados de equilíbrio homogêneo estáveis (igualando os coeficientes de difusão a zero). A seguir se analisa se a inclusão dos coeficientes de difusão gera instabilidade naqueles estados.

A difusão normalmente tende a homogeneizar o sistema. O surgimento de padrões complexos e não homogêneos ocorre nos casos de exceção a essa regra, quando a difusão torna os estados de equilíbrio instáveis.

Nota: A análise em toda esta seção pressupõe sempre que os parâmetros e coeficientes de difusão são positivos.


Estado de Equilíbrio Trivial

O modelo de Gray-Scott depende dos parâmetros e dos coeficientes de difusão . É fácil mostrar que, ignorando os termos de difusão, o sistema possui estado de equilíbrio estável em para quaisquer valores positivos dos parâmetros.

Demonstração. O sistema de equações do modelo, com e , fazendo , é dado por



Logo, é trivial que o sistema acima é satisfeito quando . Esse estado de equilíbrio é estável porque a matriz jacobiana possui traço negativo e determinante positivo[1].

Se agora incluímos os termos de difusão e , deve-se levar em consideração a matriz . Aqui, é a matriz jacobiana dos termos de reação, é a matriz diagonal dos termos de difusão e é o parâmetro que determina a frequência espacial das perturbações. A demonstração da validade desse método pode ser encontrada na referência[1]. Aplicando ao modelo de Gray-Scott em :



Para que o estado de equilíbrio seja estável é necessário que o determinante da matriz acima seja positivo e o seu traço seja negativo. Obtém-se então



Ambas desigualdades são imediatamente satisfeitas para quaisquer valores positivos de , e . Portanto, o estado de equilíbrio permanece estável no modelo de Gray-Scott mesmo após a inclusão dos coeficientes de difusão, sejam quais forem os valores desses coeficientes (lembrando que estamos nos restringindo a valores positivos).


Estados de Equilíbrio Não Triviais

Como o modelo claramente exibe padrões complexos não homogêneos para diversos valores positivos de , e , devem então existir outros estados de equilíbrio. De fato, há outros dois estados de equilíbrio não triviais, soluções do sistema de equações (1).[2]


Os outros estados de equilíbrio do modelo de Gray-Scott, com a restrição , são e , com



Referências

  1. 1,0 1,1 H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems". Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.
  2. Tingting Wang et al., "Fractional Gray–Scott model: Well-posedness, discretization, and simulations, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering", Volume 347, 2019, pp. 1030-1049, ISSN 0045-7825, https://doi.org/10.1016/j.cma.2019.01.002.