Método de Runge-Kutta 2ª e 4ª ordem

Runge-Kutta 2ª ordem

No método explícito de euler tínhamos:

$${\begin{aligned}y_{n+1}&=y_{n}+f\left(t_{n},y_{n}\right)\Delta t\end{aligned}}$$

Sendo ${\textstyle {\frac {dy}{dt}}=f\left(t,y\right)}$. Podemos reescrever como:

$${\begin{aligned}y_{n+1}&=y_{n}+ak_{1}\end{aligned}}$$

Onde ${\textstyle a=1}$ e ${\textstyle k_{1}=f\left(t_{n},y_{n}\right)\Delta t}$. Agor se supormos uma solução:

$${\begin{aligned}y_{n+1}&=y_{n}+ak_{1}+bk_{2}\qquad \left(1\right)\end{aligned}}$$

Com o termo adicional dependendo de uma posição genérica ${\textstyle y_{n}+cf\left(t_{n},y_{n}\right)\Delta t}$ em um tempo genérico ${\textstyle t+d\Delta t}$, isto é ${\textstyle k_{2}=f\left(t_{n}+d\Delta t,y_{n}+cf\left(t_{n},y_{n}\right)\Delta t\right)\Delta t}$. Usando o fato de que ${\textstyle k_{1}=f\left(t_{n},y_{n}\right)\Delta t}$, podemos escrever então que:

• ${\textstyle k_{1}=f\left(t_{n},y_{n}\right)\Delta t}$
• ${\textstyle k_{2}=f\left(t_{n}+d\Delta t,y_{n}+ck_{1}\right)\Delta t}$

Agora lembrando a expansão em série de taylor que também vimos no método explícito e Euler:

$$y\left(t+\Delta t\right)=y\left(t\right)+y'\left(t\right)\Delta t+y''\left(t\right){\frac {\Delta t^{2}}{2}}+\sum _{n=3}^{\infty }y^{\left(n\right)}\left(t\right){\frac {\Delta t^{n}}{n!}}$$

Abrindo a segunda derivada, temos:

$${\begin{aligned}y''\left(t\right)={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}y\left(t\right)&={\frac {d}{dt}}f\left(t,y\right)={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {dy}{dt}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+f\left(t,y\right){\frac {\partial f}{\partial y}}\end{aligned}}$$

Substituindo então, e escrevendo apenas ${\textstyle {\mathcal {O}}\left(\Delta ^{3}\right)=\sum _{n=3}^{\infty }y^{\left(n\right)}\left(t\right){\frac {\Delta t^{n}}{n!}}}$, temos a seguinte expansão em série de Taylor:

$$y\left(t+\Delta t\right)=y\left(t\right)+y'\left(t\right)\Delta t+\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+f\left(t,y\right){\frac {\partial f}{\partial y}}\right){\frac {\Delta t^{2}}{2}}+{\mathcal {O}}\left(\Delta ^{3}\right)\qquad \left(2\right)$$

Vamos expandir ${\textstyle k_{2}}$. Uma expansão de Taylor de primeira ordem para uma função de 2 variáveis em torno de ${\textstyle \left(a,b\right)}$ é dado por :

$$f\left(x,y\right)\approx f\left(a,b\right)+f_{x}\left(a,b\right)\left(x-a\right)+f_{y}\left(a,b\right)\left(y-b\right)$$

Onde ${\textstyle f_{a}}$ denota a derivada da função ${\textstyle f}$ na variável ${\textstyle a}$. Para o nosso caso, temos então para uma expansão em torno de ${\textstyle \left(x,y\right)}$:

$$f\left(x+\Delta x,y+\Delta y\right)\approx f\left(x,y\right)+f_{x}\left(x,y\right)\Delta x+f_{y}\left(x,y\right)\Delta y$$

Expandindo então ${\textstyle k_{2}}$ em torno de ${\textstyle \left(t_{n},y_{n}\right)}$ temos:

$$k_{2}\approx \left[f\left(t_{n},y_{n}\right)+d\Delta t{\frac {\partial }{\partial t}}f\left(t_{n},y_{n}\right)+ck_{1}{\frac {\partial }{\partial y}}f\left(t_{n},y_{n}\right)\right]\Delta t$$

Aqui podemos notar que ${\textstyle \Delta t}$ multiplica a expansão da função, então quando desprezamos os termos de segunda ordem da expansão de ${\textstyle f\left(x+\Delta x,y+\Delta y\right)}$, deprezamos os termos de terceira ordem de ${\textstyle k_{2}}$. Substituindo então o ${\textstyle k_{2}}$aproximado e ${\textstyle k_{1}}$ na equação 1, temos:

$$y_{n+1}=y_{n}+af\left(t_{n},y_{n}\right)\Delta t+b\left[f\left(t_{n},y_{n}\right)+d\Delta t{\frac {\partial }{\partial t}}f\left(t_{n},y_{n}\right)+cf\left(t_{n},y_{n}\right)\Delta t{\frac {\partial }{\partial y}}f\left(t_{n},y_{n}\right)\right]\Delta t$$

Manipulando:

$$y_{n+1}=y_{n}+\left(a+b\right)f\left(t_{n},y_{n}\right)\Delta t+\left[2bd{\frac {\partial }{\partial t}}f\left(t_{n},y_{n}\right)+2bcf\left(t_{n},y_{n}\right){\frac {\partial }{\partial y}}f\left(t_{n},y_{n}\right)\right]{\frac {\Delta t^{2}}{2}}\qquad \left(3\right)$$

Comparando a aproximação 3 com a expansão 2 temos a seguinte relação:

$${\begin{aligned}a+b&=1\\bd&={\frac {1}{2}}\\bc&={\frac {1}{2}}\end{aligned}}$$

Diferentes conjuntos de valore satisfazem este sistema. O método do ponto médio é obtido se ecolhermos: ${\textstyle d=c={\frac {1}{2}}}$, ${\textstyle b=1}$ e ${\textstyle a=-1}$:

• ${\textstyle k_{2}=f\left(t_{n}+{\frac {\Delta t}{2}},y_{n}+{\frac {k_{1}}{2}}\right)\Delta t}$

Então:

$${\begin{aligned}y_{n+1}&=y_{n}+f\left(t_{n}+{\frac {\Delta t}{2}},y_{n}+f\left(t_{n},y_{n}\right){\frac {\Delta t}{2}}\right)\Delta t\end{aligned}}$$

O método de Heun é obtido se for escolhido ${\textstyle a=b={\frac {1}{2}}}$ e ${\textstyle c=d=1}$:

• ${\textstyle k_{1}=f\left(t_{n},y_{n}\right)\Delta t}$
• ${\textstyle k_{2}=f\left(t_{n}+\Delta t,y_{n}+k_{1}\Delta t\right)\Delta t}$

$${\begin{aligned}y_{n+1}&=y_{n}+\left(k_{1}+k_{2}\right){\frac {1}{2}}\end{aligned}}$$

Uma observação, é que o erro global no algoritmo de Runge-Kutta de segunda ordem é ${\mathcal {O}}\left(\Delta ^{2}\right)$ e o local é ${\mathcal {O}}\left(\Delta ^{3}\right)$.

Principais materiais utilizados

1. Runge-Kutta Methods (Michael Zeltkevic, Instituto de Tecnologia de Massachusetts)
2. Second Order Runge-Kutta (Erik Cheever, Swarthmore)