Método de Runge-Kutta 2ª e 4ª ordem: mudanças entre as edições

De Física Computacional
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a+b & =1\\
a+b & =1\\
bd & =\frac{1}{2}\\
bd & =\frac{1}{2}\\
bc & =\frac{1}{2}\end{align}</math> Diferentes conjuntos de valore satisfazem este sistema. O método do ponto médio é obtido se ecolhermos: <math display="inline">d=c=\frac{1}{2}</math>, <math display="inline">b=1</math> e <math display="inline">a=-1</math>:
bc & =\frac{1}{2}\end{align}</math> Diferentes conjuntos de valore satisfazem este sistema. O método do ponto médio é obtido se ecolhermos: <math display="inline">d=c=\frac{1}{2}</math>, <math display="inline">b=1</math> e <math display="inline">a=0</math>:


* <math display="inline">k_{2}=f\left(t_{n}+\frac{\Delta t}{2},y_{n}+\frac{k_{1}}{2}\right)\Delta t</math>
* <math display="inline">k_{2}=f\left(t_{n}+\frac{\Delta t}{2},y_{n}+\frac{k_{1}}{2}\right)\Delta t</math>
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==Exemplo ==
==Exemplo ==
Aplicando o algoritmo para o sistema massa-mola visto no [[Método de Euler-Cromer | método de Euler-Cromer]]:
<math display="block"> \frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-\frac{k}{m}x=-\omega^{2}x </math>
Podemos ressaltar ainda que <math>a =-\omega^{2}x </math>  e <math>  \frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}</math>.


<pre>
<pre>
import matplotlib.pyplot as plt            #Biblioteca para plotar gráficos
import numpy as np                        #Biblitoeca de cálculos científicos
#Taxas de variação
def fv(x,w2):      #Velocidade
  return (-w2*x)
def fx(v):
  return (v)      #Posição
#Constantes
m=1  ; k= 1.; w2= k/m
#Parâmetros
dt  = 0.0001 ; tau = 2*np.pi; tf=4*tau ; Np= int(tf/dt)
#Valores iniciais
x=[1]; v=[0]; t=[0]; E=[k*x[0]**2/2+m*v[0]**2/2]
#Método Range-Kutta de segunda ordem, no método do ponto médio
for it  in range(Np):
  #Primeira etapa
  k1x = fx(v[it])*dt
  k1v = fv(x[it],w2)*dt
  #Segunda etapa
  k2x = fx(v[it]+k1v/2)*dt
  k2v = fv(x[it]+k1x/2,w2)*dt
  #Solução
  x.append(x[it]+k2x)
  v.append(v[it]+k2v)
  #Energia
  E.append(k*x[it+1]**2/2+m*v[it+1]**2/2)
  #Tempo
  t.append(dt+it*dt)


#plt.plot(t,x)
#plt.plot(t,v)
#plt.plot(t,E)
plt.plot(x,v)
</pre>
</pre>


= Runge-Kutta 4ª ordem =
= Runge-Kutta 4ª ordem =
O método de Runge-Kutta de quarta ordem segue uma ideia similar e pode ser obtido utilizando a mesma técnica. Porém agora vamos ignorar termos de ordem <math display="inline">\Delta t^{5}</math> ou superior, então será necessário lidar com uma enorme quantidade de termos, o que torna a tarefa exaustiva e repetitiva. Logo não será feito esta demonstração aqui, mas o algoritmo de Runge-Kutta de quarta ordem pode ser dado por:


* <math display="inline"> k_{1}=f\left(y_{n},t_{n}\right)\Delta t </math>
* <math display="inline"> k_{2}=f\left(y_{n}+\frac{k_{1}}{2},t_{n}+\frac{\Delta t}{2}\right)\Delta t </math>
* <math display="inline"> k_{3}=f\left(y_{n}+\frac{k_{2}}{2},t_{n}+\frac{\Delta t}{2}\right)\Delta t </math>
* <math display="inline"> k_{4}=f\left(y_{n}+k_{3},t_{n}+\Delta t\right)\Delta t </math>
E por fim, temos então que o novo valor será dado por:
<math display="block">
y_{n+1}=y_{n}+\frac{1}{6}\left(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4}\right)
</math>


==Exemplo ==
==Exemplo ==
Vamos resolver o mesmo exemplo anterior, porém agora utilizando o Range-Kutta de quarta ordem.
<pre>
import matplotlib.pyplot as plt            #Biblioteca para plotar gráficos
import numpy as np                        #Biblitoeca de cálculos científicos


#Taxas de variação
def fv(x,w2):      #Velocidade
  return (-w2*x)
def fx(v):
  return (v)      #Posição


<pre>
#Constantes
m=1  ; k= 1.; w2= k/m
#Parâmetros
dt  = 0.01 ; tau = 2*np.pi; tf=4*tau ; Np= int(tf/dt)
#Valores iniciais
x=[1]; v=[0]; t=[0]; E=[k*x[0]**2/2+m*v[0]**2/2]
 
#Método Range-Kutta de quarta ordem
for it  in range(Np):
  #Primeira etapa
  k1x = fx(v[it])*dt
  k1v = fv(x[it]    ,w2)*dt
  #Segunda etapa
  k2x = fx(v[it]+k1v/2)*dt
  k2v = fv(x[it]+k1x/2,w2)*dt
  #Terceira etapa
  k3x = fx(v[it]+k2v/2)*dt
  k3v = fv(x[it]+k2x/2,w2)*dt
  #Quarta etapa
  k4x = fx(v[it]+k3v)*dt
  k4v = fv(x[it]+k3x,w2)*dt
  #Solução:
  x.append(x[it]+(k1x+2*k2x+2*k3x+k4x)/6)
  v.append(v[it]+(k1v+2*k2v+2*k3v+k4v)/6)
  #Energia
  E.append(k*x[it+1]**2/2+m*v[it+1]**2/2)
  #Tempo
  t.append(dt+it*dt)


plt.plot(t,x)
plt.plot(t,v)
plt.plot(t,E)
#plt.plot(x,v)
</pre>
</pre>
Ainda podemos chamar a atenção para o fato de que devemos intercalar os coeficientes <math>k_i</math> em ambos os métodos, uma vez que coeficientes seguintes dependem dos valores anteriores.


= Principais materiais utilizados =
= Principais materiais utilizados =


#[https://www.ufrgs.br/reamat/CalculoNumerico/livro-py/pdvi-metodos_de_runge-kutta_explicitos.html  Métodos de Runge-Kutta explícitos ] (REAMAT, UFRGS)
#[https://web.mit.edu/10.001/Web/Course_Notes/Differential_Equations_Notes/node5.html  Runge-Kutta Methods ] (Michael Zeltkevic, Instituto de Tecnologia de Massachusetts)
#[https://web.mit.edu/10.001/Web/Course_Notes/Differential_Equations_Notes/node5.html  Runge-Kutta Methods ] (Michael Zeltkevic, Instituto de Tecnologia de Massachusetts)
#[https://lpsa.swarthmore.edu/NumInt/NumIntSecond.html##section13  Second Order Runge-Kutta ] (Erik Cheever, Swarthmore)
#[https://lpsa.swarthmore.edu/NumInt/NumIntSecond.html##section13  Second Order Runge-Kutta ] (Erik Cheever, Swarthmore)

Edição atual tal como às 18h10min de 25 de março de 2022

Runge-Kutta 2ª ordem

No método explícito de euler tínhamos:

Sendo . Podemos reescrever como:

Onde e . Agor se supormos uma solução:

Com o termo adicional dependendo de uma posição genérica em um tempo genérico , isto é . Usando o fato de que , podemos escrever então que:

Agora lembrando a expansão em série de taylor que também vimos no método explícito e Euler:

Abrindo a segunda derivada, temos:

Substituindo então, e escrevendo apenas , temos a seguinte expansão em série de Taylor:

Vamos expandir . Uma expansão de Taylor de primeira ordem para uma função de 2 variáveis em torno de é dado por [1]:

Onde denota a derivada da função na variável . Para o nosso caso, temos então para uma expansão em torno de :

Expandindo então em torno de temos:

Aqui podemos notar que multiplica a expansão da função, então quando desprezamos os termos de segunda ordem da expansão de , deprezamos os termos de terceira ordem de . Substituindo então o aproximado e na equação 1, temos:

Manipulando:

Comparando a aproximação 3 com a expansão 2 temos a seguinte relação:

Diferentes conjuntos de valore satisfazem este sistema. O método do ponto médio é obtido se ecolhermos: , e :

Então:

O método de Heun é obtido se for escolhido e :

Uma observação, é que o erro global no algoritmo de Runge-Kutta de segunda ordem é e o local é .

Exemplo

Aplicando o algoritmo para o sistema massa-mola visto no método de Euler-Cromer:

Podemos ressaltar ainda que e .


import matplotlib.pyplot as plt            #Biblioteca para plotar gráficos
import numpy as np                         #Biblitoeca de cálculos científicos

#Taxas de variação
def fv(x,w2):      #Velocidade
  return (-w2*x)
def fx(v):
  return (v)       #Posição

#Constantes
m=1  ; k= 1.; w2= k/m
#Parâmetros
dt  = 0.0001 ; tau = 2*np.pi; tf=4*tau ; Np= int(tf/dt)
#Valores iniciais
x=[1]; v=[0]; t=[0]; E=[k*x[0]**2/2+m*v[0]**2/2]

#Método Range-Kutta de segunda ordem, no método do ponto médio
for it  in range(Np):
  #Primeira etapa
  k1x = fx(v[it])*dt
  k1v = fv(x[it],w2)*dt
  #Segunda etapa
  k2x = fx(v[it]+k1v/2)*dt
  k2v = fv(x[it]+k1x/2,w2)*dt
  #Solução
  x.append(x[it]+k2x)
  v.append(v[it]+k2v)
  #Energia
  E.append(k*x[it+1]**2/2+m*v[it+1]**2/2)
  #Tempo
  t.append(dt+it*dt)

#plt.plot(t,x)
#plt.plot(t,v)
#plt.plot(t,E)
plt.plot(x,v)

Runge-Kutta 4ª ordem

O método de Runge-Kutta de quarta ordem segue uma ideia similar e pode ser obtido utilizando a mesma técnica. Porém agora vamos ignorar termos de ordem ou superior, então será necessário lidar com uma enorme quantidade de termos, o que torna a tarefa exaustiva e repetitiva. Logo não será feito esta demonstração aqui, mas o algoritmo de Runge-Kutta de quarta ordem pode ser dado por:


E por fim, temos então que o novo valor será dado por:

Exemplo

Vamos resolver o mesmo exemplo anterior, porém agora utilizando o Range-Kutta de quarta ordem.

import matplotlib.pyplot as plt            #Biblioteca para plotar gráficos
import numpy as np                         #Biblitoeca de cálculos científicos

#Taxas de variação
def fv(x,w2):      #Velocidade
  return (-w2*x)
def fx(v):
  return (v)       #Posição

#Constantes
m=1  ; k= 1.; w2= k/m
#Parâmetros
dt  = 0.01 ; tau = 2*np.pi; tf=4*tau ; Np= int(tf/dt)
#Valores iniciais
x=[1]; v=[0]; t=[0]; E=[k*x[0]**2/2+m*v[0]**2/2]

#Método Range-Kutta de quarta ordem
for it  in range(Np):
  #Primeira etapa
  k1x = fx(v[it])*dt
  k1v = fv(x[it]     ,w2)*dt
  #Segunda etapa
  k2x = fx(v[it]+k1v/2)*dt
  k2v = fv(x[it]+k1x/2,w2)*dt
  #Terceira etapa
  k3x = fx(v[it]+k2v/2)*dt
  k3v = fv(x[it]+k2x/2,w2)*dt
  #Quarta etapa
  k4x = fx(v[it]+k3v)*dt
  k4v = fv(x[it]+k3x,w2)*dt
  #Solução:
  x.append(x[it]+(k1x+2*k2x+2*k3x+k4x)/6)
  v.append(v[it]+(k1v+2*k2v+2*k3v+k4v)/6)
  #Energia
  E.append(k*x[it+1]**2/2+m*v[it+1]**2/2)
  #Tempo
  t.append(dt+it*dt)

plt.plot(t,x)
plt.plot(t,v)
plt.plot(t,E)
#plt.plot(x,v)

Ainda podemos chamar a atenção para o fato de que devemos intercalar os coeficientes em ambos os métodos, uma vez que coeficientes seguintes dependem dos valores anteriores.

Principais materiais utilizados

  1. Métodos de Runge-Kutta explícitos (REAMAT, UFRGS)
  2. Runge-Kutta Methods (Michael Zeltkevic, Instituto de Tecnologia de Massachusetts)
  3. Second Order Runge-Kutta (Erik Cheever, Swarthmore)

Citações