http://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php?title=Interpola%C3%A7%C3%A3o_e_extrapola%C3%A7%C3%A3o&feed=atom&action=historyInterpolação e extrapolação - Histórico de revisão2024-03-28T21:08:24ZHistórico de revisões para esta página neste wikiMediaWiki 1.39.4http://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php?title=Interpola%C3%A7%C3%A3o_e_extrapola%C3%A7%C3%A3o&diff=127&oldid=prevCaca em 18h42min de 20 de outubro de 20112011-10-20T18:42:41Z<p></p>
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<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">← Edição anterior</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">Edição das 15h42min de 20 de outubro de 2011</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l21">Linha 21:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Linha 21:</td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>No caso da interpolação, este efeito também ocorre. Ou seja, o uso de polinômios de grau elevado por causar problemas. Por construção, os valores da função são</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>No caso da interpolação, este efeito também ocorre. Ou seja, o uso de polinômios de grau elevado por causar problemas. Por construção, os valores da função são</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>reproduzidos nos pontos <math>\;X_i</math>. No entanto, ainda assim podem ocorrer fortes oscilaçõesê entre 2 pontos adjacentes se a ordem do polinômio for muito elevada. Não há regras simples para se determinar, no caso geral, qual é o melhor grau a ser utilizado. Os teoremas matemáticos genéricos requerem tanta informação sobre a função que, na verdade, se as conhecessemos, não precisaríamos fazer aproximações polinomiais. Uma boa receita para se evitar dificuldades consiste em se utilizar o polinômio de ordem mais baixa possível que garanta as propriedades e precisão desejadas. No caso em que os dados em consideração são obtidos a partir de cálculos numéricos, maior precisão pode ser obtida aumentando-se o número de pontos do conjunto de dados, mantendo-se o grau do polinômio empregado. Em se tratando de dados experimentais, onde em geral pode não ser simples (até mesmo por razões de custo) se obter mais pontos intermediários, aumentar um pouco o grau do polinômio pode ser uma solução aceitável. Se ainda assim isto não for suficiente, cabe ressaltar que existem outros métodos vai além de aproximações polinomiais e que técnicas baseadas em razões entre polinômios diferentes ou envolvendo funções mais complexas podem ser utilizadas com segurança.</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>reproduzidos nos pontos <math>\;X_i</math>. No entanto, ainda assim podem ocorrer fortes oscilaçõesê entre 2 pontos adjacentes se a ordem do polinômio for muito elevada. Não há regras simples para se determinar, no caso geral, qual é o melhor grau a ser utilizado. Os teoremas matemáticos genéricos requerem tanta informação sobre a função que, na verdade, se as conhecessemos, não precisaríamos fazer aproximações polinomiais. Uma boa receita para se evitar dificuldades consiste em se utilizar o polinômio de ordem mais baixa possível que garanta as propriedades e precisão desejadas. No caso em que os dados em consideração são obtidos a partir de cálculos numéricos, maior precisão pode ser obtida aumentando-se o número de pontos do conjunto de dados, mantendo-se o grau do polinômio empregado. Em se tratando de dados experimentais, onde em geral pode não ser simples (até mesmo por razões de custo) se obter mais pontos intermediários, aumentar um pouco o grau do polinômio pode ser uma solução aceitável. Se ainda assim isto não for suficiente, cabe ressaltar que existem outros métodos vai além de aproximações polinomiais e que técnicas baseadas em razões entre polinômios diferentes ou envolvendo funções mais complexas podem ser utilizadas com segurança.</div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-side-deleted"></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-side-deleted"></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">No link a seguir, "Interpolação polinomial e Fórmula de Lagrange", há um exemplo de interpolação / extrapolação polinomial.</ins></div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Este assunto é muito vasto para ser tratado nesta abordagem introdutória. Uma discussão mais completa pode ser encontrada, por exemplo, no livro [http://www.nr.com Numerical Recipes]. Em particular, boa parte da discussão a seguir, sobre a [[Fórmula de Lagrange]] e [[Spline cúbico]], é fortemente baseada na apresentação deste livro.</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Este assunto é muito vasto para ser tratado nesta abordagem introdutória. Uma discussão mais completa pode ser encontrada, por exemplo, no livro [http://www.nr.com Numerical Recipes]. Em particular, boa parte da discussão a seguir, sobre a [[Fórmula de Lagrange]] e [[Spline cúbico]], é fortemente baseada na apresentação deste livro.</div></td></tr>
</table>Cacahttp://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php?title=Interpola%C3%A7%C3%A3o_e_extrapola%C3%A7%C3%A3o&diff=126&oldid=prevCaca em 18h33min de 20 de outubro de 20112011-10-20T18:33:48Z<p></p>
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<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">← Edição anterior</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">Edição das 15h33min de 20 de outubro de 2011</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l1">Linha 1:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Linha 1:</td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Dado um conjunto de dados <math>(X_1,Y_1), (X_2,Y_2), \cdots (X_N,Y_N)</math>, onde <math>\;Y_i</math> corresponde ao valor da grandeza <math>\;Y</math> em <math>\;X=X_i</math>, aproximações podem ser desenvolvidas para se obter estimativas de <math>\;Y(X)</math>, em valores de <math>\;X</math> que não constam do conjunto. Se <math>X_1 \le X \le X_N</math> esta estimativa é denominada '''interpolação''', caso contrário, chamamos de '''extrapolação'''. Usualmente, os mesmos <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">algorítmos </del>são usados nos dois casos.</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Dado um conjunto de dados <math>(X_1,Y_1), (X_2,Y_2), \cdots (X_N,Y_N)</math>, onde <math>\;Y_i</math> corresponde ao valor da grandeza <math>\;Y</math> em <math>\;X=X_i</math>, aproximações podem ser desenvolvidas para se obter estimativas de <math>\;Y(X)</math>, em valores de <math>\;X</math> que não constam do conjunto. Se <math>X_1 \le X \le X_N</math> esta estimativa é denominada '''interpolação''', caso contrário, chamamos de '''extrapolação'''. Usualmente, os mesmos <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">algoritmos </ins>são usados nos dois casos.</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Em geral, extrapolações são mais perigosas, uma vez que deve-se presumir o comportamento da função em regiões onde não se conhece nada sobre ela<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">, admitindo</del>-se que o comportamento perto da fronteira da região conhecida se estende até o ponto de interesse, o que constitui um "ato de fé". <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">De fato, embora </del>seja extremamente útil para se estimar valores da grandeza além da região conhecida, cabe ressaltar que atrasos significativos no desenvolvimento de grande parte da física moderna teriam ocorrido se tivéssemos nos limitado a extrapolações ao invés de se realizar medidas pois<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">, </del>comportamentos diferentes, provenientes de um física nova, foram observados. Apesar disto, extrapolações cuidadosas constituem uma poderosa ferramenta em várias áreas, como por exemplo, na resolução numérica de equações diferencias.</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-side-deleted"></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Em geral, extrapolações são mais perigosas, uma vez que deve-se presumir o comportamento da função em regiões onde não se conhece nada sobre ela<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">. Supõe</ins>-se que <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"> </ins>o comportamento perto da fronteira da região conhecida se estende até o ponto de interesse, o que constitui um "ato de fé". <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"> Embora </ins>seja extremamente útil para se estimar valores da grandeza além da região conhecida, cabe ressaltar que atrasos significativos no desenvolvimento de grande parte da física moderna teriam ocorrido se tivéssemos nos limitado a extrapolações ao invés de se realizar medidas pois <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">muitos </ins>comportamentos diferentes, provenientes de um física nova, foram observados. Apesar disto, extrapolações cuidadosas constituem uma poderosa ferramenta em várias áreas, como por exemplo, na resolução numérica de equações diferencias.</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Embora a interpolação possa parecer inofensiva, dificuldades também podem ser encontradas. Um exemplo clássico, evocado no livro [http://www.nr.com Numerical Recipes], é a função:</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Embora a interpolação possa parecer inofensiva, dificuldades também podem ser encontradas. Um exemplo clássico, evocado no livro [http://www.nr.com Numerical Recipes], é a função:</div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l9">Linha 9:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Linha 10:</td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div></math></div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div></math></div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>A figura abaixo mostra valores de <math>f(x)</math> calculados a partir desta fórmula, usando valores de <math>X_i</math> igualmente espaçados em <math>0.01</math>, no intervalo <math>0\le X\le 10</math>. Note que, este nível de detalhe de conhecimento sobre a função é, em geral, muito satisfatório tanto em cálculos numéricos quanto em medidas experimentais. Contudo, embora a função</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>A figura abaixo mostra valores de <math>f(x)</math> calculados a partir desta fórmula, usando valores de <math>X_i</math> igualmente espaçados em <math>0.01</math>, no intervalo <math>0\le X\le 10</math>. Note que, este nível de detalhe de conhecimento sobre a função é, em geral, muito satisfatório tanto em cálculos numéricos quanto em medidas experimentais. Contudo, embora a função </div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>pareça crescer monotonamente, o detalhe mostrado no interior da figura revela claramente que erros grosseiros serão cometidos por fórmulas de interpolação na região <math>x\approx\pi</math>.</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>pareça crescer monotonamente, o detalhe mostrado no interior da figura revela claramente que erros grosseiros serão cometidos por fórmulas de interpolação na região <math>x\approx\pi</math>.</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>A curva em vermelho corresponde à fórmula acima, enquanto que os pontos representam os valores tabulados.</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>A curva em vermelho corresponde à fórmula acima, enquanto que os pontos representam os valores tabulados.</div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l16">Linha 16:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Linha 17:</td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>[[Imagem:pathology.jpg]]</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>[[Imagem:pathology.jpg]]</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Além dos aspectos sutis levantados acima, outra regra importante a ser observada em cálculos numéricos é que polinômios de grau elevado devem ser evitados. Embora seu uso permita a imposição de várias propriedades desejadas, como a imposição da continuidade das derivadas da função, por exemplo, um polinômio de grau <math>\;n</math> possui o mesmo número de raízes. Isto faz com que eles oscilem fortemente. Logo, isto pode levar a comportamentos indesejados em extrapolações. <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">Interpolações </del>também <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">não estão ao abrigo deste efeito colateral</del>. <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">Embora </del>os valores da função <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">sejam</del></div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Além dos aspectos sutis levantados acima, outra regra importante a ser observada em cálculos numéricos é que polinômios de grau elevado devem ser evitados. Embora seu uso permita a imposição de várias propriedades desejadas, como a imposição da continuidade das derivadas da função, por exemplo, um polinômio de grau <math>\;n</math> possui o mesmo número de raízes. Isto faz com que eles oscilem fortemente. Logo, isto pode levar a comportamentos indesejados em extrapolações. </div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>reproduzidos nos pontos <math>\;X_i</math>, <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">por construção, fortes oscilações </del>podem ocorrer entre 2 pontos adjacentes se a ordem do polinômio for muito elevada. Não há regras simples para se determinar, no caso geral, qual é o melhor grau a ser utilizado. Os teoremas matemáticos genéricos requerem tanta informação sobre a função que, na verdade, se as conhecessemos, não precisaríamos fazer aproximações polinomiais. Uma boa receita para se evitar dificuldades consiste em se utilizar o polinômio de ordem mais baixa possível que garanta as propriedades e precisão desejadas. No caso em que os dados em consideração são obtidos a partir de cálculos numéricos, maior precisão pode ser obtida aumentando-se o número de pontos do conjunto de dados, mantendo-se o grau do polinômio empregado. Em se tratando de dados experimentais, onde em geral pode não ser simples (até mesmo por razões de custo) se obter mais pontos intermediários, aumentar um pouco o grau do polinômio pode ser uma solução aceitável. Se ainda assim isto não for suficiente, cabe ressaltar que <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">o mundo </del>vai além de aproximações polinomiais e que técnicas baseadas em razões entre polinômios diferentes ou envolvendo funções mais complexas podem ser utilizadas com segurança.</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-side-deleted"></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">No caso da interpolação, este efeito </ins>também <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">ocorre. Ou seja, o uso de polinômios de grau elevado por causar problemas</ins>. <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"> Por construção, </ins>os valores da função <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">são</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-side-deleted"></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>reproduzidos nos pontos <math>\;X_i</math><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">. No entanto</ins>, <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">ainda assim </ins>podem ocorrer <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"> fortes oscilaçõesê </ins>entre 2 pontos adjacentes se a ordem do polinômio for muito elevada. Não há regras simples para se determinar, no caso geral, qual é o melhor grau a ser utilizado. Os teoremas matemáticos genéricos requerem tanta informação sobre a função que, na verdade, se as conhecessemos, não precisaríamos fazer aproximações polinomiais. Uma boa receita para se evitar dificuldades consiste em se utilizar o polinômio de ordem mais baixa possível que garanta as propriedades e precisão desejadas. No caso em que os dados em consideração são obtidos a partir de cálculos numéricos, maior precisão pode ser obtida aumentando-se o número de pontos do conjunto de dados, mantendo-se o grau do polinômio empregado. Em se tratando de dados experimentais, onde em geral pode não ser simples (até mesmo por razões de custo) se obter mais pontos intermediários, aumentar um pouco o grau do polinômio pode ser uma solução aceitável. Se ainda assim isto não for suficiente, cabe ressaltar que <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">existem outros métodos </ins>vai além de aproximações polinomiais e que técnicas baseadas em razões entre polinômios diferentes ou envolvendo funções mais complexas podem ser utilizadas com segurança.</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Este assunto é muito vasto para ser tratado nesta abordagem introdutória. Uma discussão mais completa pode ser encontrada, por exemplo, no livro [http://www.nr.com Numerical Recipes]. Em particular, boa parte da discussão a seguir, sobre a [[Fórmula de Lagrange]] e [[Spline cúbico]], é fortemente baseada na apresentação deste livro.</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Este assunto é muito vasto para ser tratado nesta abordagem introdutória. Uma discussão mais completa pode ser encontrada, por exemplo, no livro [http://www.nr.com Numerical Recipes]. Em particular, boa parte da discussão a seguir, sobre a [[Fórmula de Lagrange]] e [[Spline cúbico]], é fortemente baseada na apresentação deste livro.</div></td></tr>
</table>Cacahttp://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php?title=Interpola%C3%A7%C3%A3o_e_extrapola%C3%A7%C3%A3o&diff=19&oldid=prevTekkito: Criou página com 'Dado um conjunto de dados <math>(X_1,Y_1), (X_2,Y_2), \cdots (X_N,Y_N)</math>, onde <math>\;Y_i</math> corresponde ao valor da grandeza <math>\;Y</math> em <math>\;X=X_i</math>, ...'2011-09-19T17:36:19Z<p>Criou página com 'Dado um conjunto de dados <math>(X_1,Y_1), (X_2,Y_2), \cdots (X_N,Y_N)</math>, onde <math>\;Y_i</math> corresponde ao valor da grandeza <math>\;Y</math> em <math>\;X=X_i</math>, ...'</p>
<p><b>Página nova</b></p><div>Dado um conjunto de dados <math>(X_1,Y_1), (X_2,Y_2), \cdots (X_N,Y_N)</math>, onde <math>\;Y_i</math> corresponde ao valor da grandeza <math>\;Y</math> em <math>\;X=X_i</math>, aproximações podem ser desenvolvidas para se obter estimativas de <math>\;Y(X)</math>, em valores de <math>\;X</math> que não constam do conjunto. Se <math>X_1 \le X \le X_N</math> esta estimativa é denominada '''interpolação''', caso contrário, chamamos de '''extrapolação'''. Usualmente, os mesmos algorítmos são usados nos dois casos.<br />
<br />
Em geral, extrapolações são mais perigosas, uma vez que deve-se presumir o comportamento da função em regiões onde não se conhece nada sobre ela, admitindo-se que o comportamento perto da fronteira da região conhecida se estende até o ponto de interesse, o que constitui um "ato de fé". De fato, embora seja extremamente útil para se estimar valores da grandeza além da região conhecida, cabe ressaltar que atrasos significativos no desenvolvimento de grande parte da física moderna teriam ocorrido se tivéssemos nos limitado a extrapolações ao invés de se realizar medidas pois, comportamentos diferentes, provenientes de um física nova, foram observados. Apesar disto, extrapolações cuidadosas constituem uma poderosa ferramenta em várias áreas, como por exemplo, na resolução numérica de equações diferencias.<br />
<br />
Embora a interpolação possa parecer inofensiva, dificuldades também podem ser encontradas. Um exemplo clássico, evocado no livro [http://www.nr.com Numerical Recipes], é a função:<br />
<br />
<math><br />
f(x)=3x^2+\frac{\log[(\pi-x)^2]}{\pi^4}+1<br />
</math><br />
<br />
A figura abaixo mostra valores de <math>f(x)</math> calculados a partir desta fórmula, usando valores de <math>X_i</math> igualmente espaçados em <math>0.01</math>, no intervalo <math>0\le X\le 10</math>. Note que, este nível de detalhe de conhecimento sobre a função é, em geral, muito satisfatório tanto em cálculos numéricos quanto em medidas experimentais. Contudo, embora a função<br />
pareça crescer monotonamente, o detalhe mostrado no interior da figura revela claramente que erros grosseiros serão cometidos por fórmulas de interpolação na região <math>x\approx\pi</math>.<br />
A curva em vermelho corresponde à fórmula acima, enquanto que os pontos representam os valores tabulados.<br />
Isto mostra que, como sempre, em se tratando de aproximações numéricas, todas as "receitas" devem sempre ser analisadas cuidadosamente em cada aplicação.<br />
<br />
[[Imagem:pathology.jpg]]<br />
<br />
Além dos aspectos sutis levantados acima, outra regra importante a ser observada em cálculos numéricos é que polinômios de grau elevado devem ser evitados. Embora seu uso permita a imposição de várias propriedades desejadas, como a imposição da continuidade das derivadas da função, por exemplo, um polinômio de grau <math>\;n</math> possui o mesmo número de raízes. Isto faz com que eles oscilem fortemente. Logo, isto pode levar a comportamentos indesejados em extrapolações. Interpolações também não estão ao abrigo deste efeito colateral. Embora os valores da função sejam<br />
reproduzidos nos pontos <math>\;X_i</math>, por construção, fortes oscilações podem ocorrer entre 2 pontos adjacentes se a ordem do polinômio for muito elevada. Não há regras simples para se determinar, no caso geral, qual é o melhor grau a ser utilizado. Os teoremas matemáticos genéricos requerem tanta informação sobre a função que, na verdade, se as conhecessemos, não precisaríamos fazer aproximações polinomiais. Uma boa receita para se evitar dificuldades consiste em se utilizar o polinômio de ordem mais baixa possível que garanta as propriedades e precisão desejadas. No caso em que os dados em consideração são obtidos a partir de cálculos numéricos, maior precisão pode ser obtida aumentando-se o número de pontos do conjunto de dados, mantendo-se o grau do polinômio empregado. Em se tratando de dados experimentais, onde em geral pode não ser simples (até mesmo por razões de custo) se obter mais pontos intermediários, aumentar um pouco o grau do polinômio pode ser uma solução aceitável. Se ainda assim isto não for suficiente, cabe ressaltar que o mundo vai além de aproximações polinomiais e que técnicas baseadas em razões entre polinômios diferentes ou envolvendo funções mais complexas podem ser utilizadas com segurança.<br />
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Este assunto é muito vasto para ser tratado nesta abordagem introdutória. Uma discussão mais completa pode ser encontrada, por exemplo, no livro [http://www.nr.com Numerical Recipes]. Em particular, boa parte da discussão a seguir, sobre a [[Fórmula de Lagrange]] e [[Spline cúbico]], é fortemente baseada na apresentação deste livro.<br />
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