Gini vs time

Tentativa de ajuste de curva

1. Resumo

Neste relatório, buscamos obter a forma funcional da curva de Gini gerada em uma simulação com as seguintes condições iniciais:

regra para transações: regra do perdedor

número de agentes: 100

número de rodadas: 9999

número de passos de sistema em cada rodada: 1010

parâmetro(s) de assimetria $f$ empregados: 0.50

2. Tentativa de ajuste exponencial

Vemos abaixo a curva de Gini obtida de acordo com os parâmetros indicados logo acima.

Curva de Gini

Supomos que a curva de Gini, $G(t),$ tenha dependência exponencial:

$G(t)=\alpha e^{\beta t}\;$

em que $\alpha$ e $\beta$ são constantes a determinar. Entretanto, reconhecemos que não se trata de uma exponencial decrescente tendendo a zero. O gráfico sugere que a forma da exponencial procurada deve conter uma constante aditiva $\gamma$ para compensar a diferença entre o seu valor assintótico real e zero:

$G(t)=\alpha e^{\beta t}+\gamma \;$

Fazendo $H(t)\equiv \gamma -G(t)$, escrevemos

$H(t)=-\alpha e^{\beta t}\;$

Tomando o logaritmo natural lado a lado, obtemos

$\ln {H(t)}=\ln {-\alpha }+\beta t\;$

ou seja,

$\ln H(t)\propto t\;$

(Notemos que $\ln(-\alpha )$ não é um problema, visto que $\alpha$ ainda pode ser negativo).

A constante $\gamma$ é o valor assintótico da curva de Gini mostrada no gráfico, e seu valor pode ser estimado por inspeção do gráfico (com mais resolução do que o mostrado aqui):

$\gamma \approx 0.519$

Tendo um valor aproximado para $\gamma \approx 0.519$, traçamos o gráfico de $H(t)\times t$:

Para verificarmos se há dependência exponencial, $\ln H(t)$ deve ser proporcional a $t$, como mostrado acima. Portanto, tomamos a escala logarítmica