Equação de Ginzburg-Landau complexa

De Física Computacional
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A equação de Ginzburg-Landau complexa (CGLE) é uma das equações não lineares mais estudadas da física. Ela oferece uma descrição geral de sistemas com uma fraca dependência não linear. Quando escrita de modo a minimizar o número de constantes, é dada pela equação abaixo:

Em especial, para e , ela se reduz para a equação de Ginzburg-Landau real. E, para e , ela se reduz à equação de Schrödinger não linear. Ela descreve uma variedade enorme de fenômenos, como:

  • Ondas não lineares;
  • Transições de fase de segunda ordem;
  • Supercondutividade;
  • Superfluidez;
  • Condensado de Bose-Einstein.

Dedução

Figura 1 - Espaço de fase do oscilador harmônico. Fonte - Cross, M., & Greenside, H. (2009)

É possível deduzir a CGLE a partir do oscilador linear harmônico por meio de argumentos de simetria, encontrando a equação de Stuart-Landau, e, em seguida, considerando um sistema estendido no espaço. A energia de um oscilador harmônico é expressa pela equação abaixo, onde é a energia, e a coordenada e seu respectivo momento, é a massa e a frequência angular

Ao realizar as seguintes mudanças de variáveis, e , a equação da energia produz trajetórias circulares no espaço de fase de e

Essa é uma importante simetria do oscilador harmônico linear, resultando que a sua energia é proporcional ao quadrado da amplitude de oscilação, não dependendo da fase. Isso sugere uma motivação, qual é o menor termo não linear que pode ser adicionado de modo a preservar essa simetria. Para tanto, o estado do sistema será descrito em coordenadas polares, onde é a amplitude e a fase

Define-se, então, a variável complexa , portanto a equação acima pode ser reescrita como

Ao realizar a transformação de variável , com , a equação acima permanece inalterada. Ou seja, a equação é invariante a rotações. Então, busca-se uma função não linear tal que

também seja invariante a rotações.

Então, perante às transformações e , a função deve satisfazer

para que seja possível fatorar o termo responsável pela rotação e obter novamente a equação original.

Considerando pequenas oscilações, é possível expandir em potências de e até a menor ordem possível que satisfaça a condição e que introduza uma não linearidade à equação. Com isso, obtém-se

Utilizando o resultado encontrado e expressando em coordenadas polares por meio de

Em seguida, muda-se para o referencial que gira com a mesma frequência do oscilador harmônico por meio da definição de . As novas equações obtidas são

Para encontrar a amplitude estacionária, pode-se tomar na equação, o que resulta na solução trivial e . Então, para que exista uma amplitude estacionária não nula, os sinais de e de devem ser opostos. Além disso, por inspeção observa-se que, caso e , pequenos valores de amplitude irão diminuir e grandes valores de amplitude irão aumentar, o que indica que a solução estacionária não trivial será instável. Portanto, define-se para , , com e . Por fim, ao voltar para a representação no plano complexo, chega-se em

Esta é a equação de Stuart-Landau. Para obter a equação complexa de Ginzburg-Landau, é necessário considerar um sistema espacialmente extenso, em que cada ponto é um oscilador modelado pela equação acima. Para isso, é adicionado um termo proporcional ao laplaciano de A, , cujo significado fica evidente ao discretizar a função. Ele computa a diferença de no sítio em questão com relação à média dos sítios vizinhos, resultando em uma tendência de pontos próximos oscilarem com amplitudes e fases semelhantes. Ao adicionar esse novo termo e redefinir as constantes de modo a reduzi-las sem perder as características importantes do sistema, chega-se na equação complexa de Ginzburg-Landau

Método FTCS

Para estudar o comportamento das soluções foi utilizados o método FTCS(Foward-Time Central-Space) explícito que consiste em discretizar o domínio temporal e o espacial da equação, resolvemos as derivadas espaciais por uma aproximação dos pontos vizinhos ao ponto que queremos encontrar, enquanto atualizamos a parte temporal, também por uma aproximação como na parte espacial, porém fazemos por diferenciação entre a taxa de variação (solução futura) e a solução atual. A partir da CGLE em duas dimensões:

para

Aplicamos o método da seguinte maneira:

Agora reorganizando a equação para deixar o tempo futuro na esquerda e o tempo atual na direita e considerando que os passos na direção x tem o mesmo tamanho do que os na direção y (), chegamos em :

Figura 2 - Condições de contorno periódicas em duas dimensões.

Para as condições de contorno foram utilizados condições de periódicas tal que em x quando i=L+1 temos i=1 e em j=L+1, da mesma forma, j=1. A figura 2 é a representação gráfica dessas condições.

Soluções

A partir da variação dos parâmetros c1 e c3 teremos regiões com diferentes tipos soluções...

  1. c1 = b
  2. c3 = -c

condição de instabilidade de onda plana 1 - c1*c3 < 0 Linha Benjamin-Feir-Newell

condição tipos de espirais -(c3 + c1)/(1 -c1*c3) = 0.845 Linha OR, interação entre espirais.

Figura 3 - Diagrama de fase para soluções da CGLE [3].

Referências

[1] García-Morales, V., & Krischer, K. (2012). The complex Ginzburg–Landau equation: an introduction. Contemporary Physics, 53(2), 79–95. https://doi.org/10.1080/00107514.2011.642554

[2] H. Riecke, (2021). Methods of Nonlinear Analysis

[3] Igor S. Aranson, Lorenz Kramer, (2001). The World of the Complex Ginzburg-Landau Equation

[4] Cross, M., & Greenside, H. (2009). Pattern Formation and Dynamics in Nonequilibrium Systems. Cambridge University Press.

[5] Hugues Chaté, Paul Manneville (1996). Phase diagram of the two-dimensional complex Ginzburg-Landau equation. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications