Corda Vibrante: mudanças entre as edições
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(Inicio da análise espectral) |
(corrigida a constante de normalização na análise espectral) |
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=== Supremacia da álgebra linear === | === Supremacia da álgebra linear === | ||
O seguinte conjunto <math> \mathbb{R}^{\mathbb{R}} = \{ f~|~f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \} </math> é o espaço de funções reais de uma variável. Esse conjunto é um espaço vetorial, logo podemos utilizar toda a artilharia da álgebra linear, em especial, estamos interessados no sub-espaço gerado pela base <math> B = \{sen(\omega t) / \sqrt{ | O seguinte conjunto <math> \mathbb{R}^{\mathbb{R}} = \{ f~|~f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \} </math> é o espaço de funções reais de uma variável. Esse conjunto é um espaço vetorial, logo podemos utilizar toda a artilharia da álgebra linear, em especial, estamos interessados no sub-espaço gerado pela base <math> B = \{sen(\omega t) / \sqrt{\pi}, cos(\omega t) / \sqrt{\pi} \}_{\omega \in \mathbb{R^+}} </math> <ref name="norm_const"/>, pois elementos de <math> B </math>, interpretados como sinais sonoros, representam um frequência pura de valor <math>f=\omega/(2\pi)</math>. Dessa forma, um sinal arbitrário <math>s(t)</math> pode ser escrito em termos das frequências puras que o formam | ||
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<math> | <math> | ||
s(t) = \frac{1}{\sqrt{ | s(t) = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\infty}[a(\omega)cos(\omega t) + b(\omega)sen(\omega t]d\omega | ||
</math> | </math> | ||
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E podemos extrair suas coordenadas (<math>a(\omega)</math> e <math>b(\omega)</math>), fazendo o produto escalar com os elementos da base | E podemos extrair suas coordenadas (<math>a(\omega)</math> e <math>b(\omega)</math>), fazendo o produto escalar com os elementos da base | ||
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\begin{aligned} | \begin{aligned} | ||
a(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty}s(t)\frac{1}{\sqrt{ | a(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty}s(t)\frac{1}{\sqrt{\pi}}cos(\omega t)dt \\ | ||
b(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty}s(t)\frac{1}{\sqrt{ | b(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty}s(t)\frac{1}{\sqrt{\pi}}sen(\omega t)dt | ||
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Agora, considerando uma corda vibrante, o nosso sinal sonoro provém da vibração de um ponto específico da corda, digamos em <math>x=x_o</math>, então a função que representa esse sinal é <math>y(x_o, t)</math> | Agora, considerando uma corda vibrante, o nosso sinal sonoro provém da vibração de um ponto específico da corda, digamos em <math>x=x_o</math>, então a função que representa esse sinal é <math>y(x_o, t)</math> | ||
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== Notas == | == Notas == | ||
<references> | <references> | ||
<ref name="norm_const">A constante <math> 1/\sqrt{ | <ref name="norm_const">A constante <math> 1/\sqrt{\pi} </math> está presente por questão de normalização. Esse caso pode parecer um pouco estranho, dado que não é possível normalizar os cossenos e senos, pois sua integral em todo a reta não é definida, mas o que se deseja é a seguinte propriedade | ||
<math>\int_{\mathbb{R}}A_{\omega}cos(\omega t) \cdot A_{\omega'}cos(\omega' t)dt = \delta(\omega-\omega') </math> | <math>\int_{\mathbb{R}}A_{\omega}cos(\omega t) \cdot A_{\omega'}cos(\omega' t)dt = \delta(\omega-\omega') </math> | ||
que é | que é safisfeita quando <math> A_{\omega} = A_{\omega'} = 1/\sqrt{\pi}, ~ \forall \omega,\omega'</math> | ||
</ref> | </ref> | ||
</references> | </references> | ||
Edição das 23h39min de 16 de abril de 2024
A equação da onda
Método FTCS
Sobre estabilidade
Análise espectral
Uma possível forma para quantitativamente analisar o som gerado por uma corda vibrante é estudar as frequências que compõem o seu movimento, técnica essa chamada de análise espectral. Antes de prosseguirmos vamos recapitular alguns resultados da álgebra linear
Supremacia da álgebra linear
O seguinte conjunto é o espaço de funções reais de uma variável. Esse conjunto é um espaço vetorial, logo podemos utilizar toda a artilharia da álgebra linear, em especial, estamos interessados no sub-espaço gerado pela base [1], pois elementos de , interpretados como sinais sonoros, representam um frequência pura de valor . Dessa forma, um sinal arbitrário pode ser escrito em termos das frequências puras que o formam
![{\displaystyle s(t)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\infty }[a(\omega )cos(\omega t)+b(\omega )sen(\omega t]d\omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f60836a43ecad380efef72d017bc0fcc88e3e08)
E podemos extrair suas coordenadas ( e ), fazendo o produto escalar com os elementos da base
Agora, considerando uma corda vibrante, o nosso sinal sonoro provém da vibração de um ponto específico da corda, digamos em , então a função que representa esse sinal é
Condição inicial para uma corda de violão
Notas
- ↑ A constante está presente por questão de normalização. Esse caso pode parecer um pouco estranho, dado que não é possível normalizar os cossenos e senos, pois sua integral em todo a reta não é definida, mas o que se deseja é a seguinte propriedade que é safisfeita quando
