Método de Leapfrog

De Física Computacional
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Partindo da ideia que uma inclinação entre dois em uma curva é uma aproximação muito melhor da derivada no ponto médio em alguma das extremidades[1]., e tendo as seguintes equações do movimento:

Sendo a derivada numérica:

Então para a equação da velocidade temos que:

Ou ainda:

E aplicando a mesma ideia para a aceleração:

Logo:

Temos então:

Exemplo

Aplicando o algoritmo para o sistema massa-mola visto no método de Euler-Cromer:

Podemos ressaltar ainda que e .

import matplotlib.pyplot as plt            #Biblioteca para plotar gráficos
import numpy as np                         #Biblitoeca de cálculos científicos

#Constantes
m=1  ; k= 1.; w2= k/m
#Parâmetros
dt  = 0.1 ; tau = 2*np.pi; tf=4*tau ; Np= int(tf/dt)
#Valores iniciais
x=[1]; v0=0; tx=[0]; tv=[dt/2]

#Usamo Euler-Cromer para calcular a velocidade em t=dt/2
x_temp=x[0]+(dt/2)*v0              #Posição    em t=dt/2
v=[v0-(dt/2)*x_temp*w2]            #Velocidade em t=dt/2

#Método Leapfrog
for it  in range(Np):
  x.append(x[it]+dt*v[it])  
  tx.append(dt+it*dt)
  v.append(v[it]-w2*x[it+1]*dt)
  tv.append(dt/2+(1+it)*dt)

#plt.plot(tx,x)
#plt.plot(tv,v)

#Para calcular a energia vamos pegar a média da velocidade
#para termos velocidade e posição no mesmo instante

vm=[v0]
E=[k*(x[0]**2)/2+m*(v[0]**2)/2] 
for it in range(len(x)-1):
  vm.append((v[it+1]+v[it])/2)
  E.append(k*x[it+1]**2/2+m*v[it+1]**2/2)

#plt.plot(tx,E)
plt.plot(x,v)

Citações

  1. https://young.physics.ucsc.edu/115/leapfrog.pdf (Peter Young, Universidade da California)