Método Lax-Wendroff de dois passos

Neste método é usando diferenças adiantadas no espaço e no tempo, tomando médias aritméticas na posição. Assim,

${\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}=-v{\frac {u_{i+{\frac {1}{2}}}^{n+{\frac {1}{2}}}-u_{i-{\frac {1}{2}}}^{n+{\frac {1}{2}}}}{\Delta x}}$

(4)

onde

${\begin{cases}u_{i+{\frac {1}{2}}}^{n+{\frac {1}{2}}}={\frac {1}{2}}(u_{i+1}^{n}+u_{i}^{n})-2r(u_{i+1}^{n}-u_{i}^{n})\\u_{i-{\frac {1}{2}}}^{n+{\frac {1}{2}}}={\frac {1}{2}}(u_{i}^{n}-u_{i-1}^{n})-2r(u_{i}^{n}-u_{i-1}^{n})\end{cases}}$

(5)

Substituindo os valores de (5) em (4):

$u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}-{\frac {r}{2}}(u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n})+{\frac {r^{2}}{2}}(u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n})$

(6)

# Solução pelo método Lax-Wendroff dois passos para equação de advecção

def LaxW2Pad(L, tf, v, Nx, Nt):
    """
    Parâmetros:
    - L: comprimento
    - tf: tempo final
    - v: velocidade de propagação
    - Nx: número de pontos na direção espacial
    - Nt: número de pontos na direção temporal

    Retorna:
    - Matriz com a solução da equação da onda
    """

    dx = L / (Nx - 1)
    dt = tf / (Nt - 1)
    r = v * dt / dx

    u = np.zeros((Nt, Nx+1))

    # Condição inicial: u(x,0) = f(x)
    x = np.linspace(0, L, Nx+1)
    u[0,:] = 1-np.cos(x) # Função que descreve a perturbação da onda

    # Condições de contorno borda infinita:
    xpos = np.zeros(Nx+1)
    xneg = np.zeros(Nx+1)

    for i in range(0,Nx+1):
      xpos[i] = i+1
      xneg[i] = i-1
    xpos[Nx] = 0
    xneg[0] =  Nx

    # Iteração no tempo
    for n in range(0, Nt - 1):
        for i in range(0, Nx+1):
            u[n+1,i] = u[n,i] + (r/2) * (u[n, int(xpos[i])] - u[n,int(xneg[i])]) + (r/2)**2 * (u[n, int(xpos[i])] - 2*u[n,i] + u[n,int(xneg[i])])

    return u

# Parâmetros
L = 2*np.pi
tf =1
v = 1 # -1. muda direção de propagação
Nx = 100
Nt = 500

solv6 = LaxW2Pad(L, tf, v, Nx, Nt)

listX = np.linspace(0, L, Nx+1)
listT = np.linspace(0, tf, Nt)

X, T = np.meshgrid(listX, listT)

plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.pcolormesh(X, T, solv6, cmap='viridis', shading='auto')
plt.colorbar(label='Amplitude(u)')
plt.xlabel('Posição (x)')
plt.ylabel('Tempo (t)')
plt.title('Solução Lax - Wendroff (2P) da Equação da advecção (1D)', fontsize=16)
plt.show()

Solução pelo método Lax-Wendroff de dois passos

# Teste: Plota todas as curvas amplitude por posição de todos os tempos:

for tt in range(len(listT-1)):
  amplitudes_tt = solv6[ tt,:]
  plt.plot(listX, amplitudes_tt)

plt.title('Amplitude em Função da Posição')
plt.xlabel('Posição (x)')
plt.ylabel('Amplitude (u)')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

Solução pelo método Lax-Wendroff de dois passos