Linearização de sistemas de equações não lineares

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Primeiro temos que um mapa linear é um mapa Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle V\rightarrow W} entre dois espaços vetoriais, isto é, um mapa que preserva as operações de adição de vetores e multiplicação escalar:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\left(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}\right)=f\left(\boldsymbol{u}\right)+f\left(\boldsymbol{v}\right)\qquad f\left(c\boldsymbol{u}\right)=cf\left(\boldsymbol{u}\right)}

Onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\in V} são vetores e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle c\in K} é escalar. Uma equação linear é então uma equação da forma:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_{1}x_{1}+\dots+a_{n}x_{n}=b} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{j}a_{j}x_{j}=b} Onde as variáveis e os coeficientes são Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle x_{j}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle a_{j}} respectivamente. De maneira análoga, uma equação diferencial linear tem a seguinte forma geral:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_{0}\left(t\right)y+a_{1}\left(t\right)\frac{dx\left(t\right)}{dt}+\dots+a_{n-1}\left(t\right)\frac{d^{n-1}x\left(t\right)}{dt^{n-1}}+a_{n}\left(t\right)\frac{d^{n}x\left(x\right)}{dt^{n}}=b\left(t\right)} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{n}a_{n}\left(t\right)\frac{d^{n}x\left(t\right)}{dt^{n}}=b\left(t\right)}

Lembrando que os termos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle a_{j}\left(t\right)} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle b\left(t\right)} podem ser não-lineares, e também que equações diferenciais lineares possuem o princípio da superposição, isto é, a superposição de duas ou mais soluções para uma equação diferencial linear homogênea, também é uma solução. Uma equação diferencial de primeira ordem (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle n=1} ) pode ser escrita então como:Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_{0}\left(t\right)x\left(t\right)+a_{1}\left(t\right)\frac{dx\left(t\right)}{dt}=b\left(t\right)} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dot{x}=\frac{b\left(t\right)}{a_{1}\left(t\right)}-\frac{a_{0}\left(t\right)}{a_{1}\left(t\right)}x\left(t\right)} Para facilitar, vamos denotar sem perda de generalidade Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle g\left(t\right)=\frac{b\left(t\right)}{a_{1}\left(t\right)}} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle a\left(t\right)=-\frac{a_{0}\left(t\right)}{a_{1}\left(t\right)}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle x\left(t\right)\rightarrow x} :

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dot{x}=a\left(t\right)x+g\left(t\right)=f\left(t,x\right)}

Se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle g\left(t\right)=0} , então temos apenas Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \dot{x}=a\left(t\right)x} , que é classificada como equação homogênea. Podemos perceber que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle t} ainda pode aparecer explicitamente em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle a\left(t\right)} , porém se isto não acontecer, ou seja, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle a} for constante, temos então uma equação autônoma Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \dot{x}=ax=f\left(x\right)} . Se temos então um conjunto de equações diferenciais de primeira ordem, podemos escrever na forma vetorial:Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(\begin{array}{c} \dot{x_{0}}\\ \vdots\\ \dot{x}_{n} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} a_{0}\left(t\right)x_{0}+g_{0}\left(t\right)\\ \vdots\\ a_{n}\left(t\right)x_{n}+g_{n}\left(t\right) \end{array}\right)}

Os termos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle g_{j}\left(t\right)} podem ser reescritos em termo das outras equações Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle x_{j}} , Por exemplo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle g_{0}=g_{01}\left(t\right)x_{1}+\dots g_{0n}\left(t\right)x_{n}+b_{0}\left(t\right)} , então:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \left(\begin{array}{c} \dot{x_{0}}\\ \vdots\\ \dot{x}_{n} \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{c} a_{0}\left(t\right)x_{0}+g_{01}\left(t\right)x_{1}+\dots g_{0n}\left(t\right)x_{n}+b_{0}\left(t\right)\\ \vdots\\ a_{n}\left(t\right)x_{n}+g_{n0}\left(t\right)x_{0}+\dots g_{nn-1}\left(t\right)x_{n-1}+b_{n}\left(t\right) \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc} a_{0}\left(t\right) & \dots & g_{0n}\left(t\right)\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ g_{n0}\left(t\right) & \dots & a_{n}\left(t\right) \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_{0}\\ \vdots\\ x_{n} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} b_{0}\left(t\right)\\ \vdots\\ b_{n}\left(t\right) \end{array}\right)\end{align}}

Que ainda pode ser reescrito sem perda de generalidade como:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \dot{\boldsymbol{x}} & =A\boldsymbol{x}+\boldsymbol{b}\\ & =A\boldsymbol{x}+\mathbb{I}\boldsymbol{b}\\ & =A\boldsymbol{x}+B\boldsymbol{u}\end{align}} É comum encontrar na literatura Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \boldsymbol{u}} sendo chamado de entrada. Podemos nos atentar que com a matriz Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle B} podemos escrever Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \boldsymbol{u}} com elementos linearmente independentes. Tendo como exemplo o seguinte sistema:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \dot{x} & =\cos\left(t\right)\left(x+1\right)+\sin\left(t\right)\left(y+1\right)+t^{2}\\ \dot{y} & =\cos\left(t\right)\left(x+1\right)-\sin\left(t\right)\left(y+1\right)+t\end{align}} Podemos reescrever Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \dot{x}} por exemplo:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \dot{x} & =\left[\cos\left(t\right)\right]x+\left[\cos\left(t\right)+\sin\left(t\right)\left(y+1\right)+t^{2}\right]\\ & =a\left(t\right)x+g\left(t\right)\end{align}}

Podemos ver que precisamos conhecer Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle y\left(t\right)} para conhecermos completamente o comportamento de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle x\left(t\right)} , o que é uma característica de sistemas. Reescrevendo o sistema na forma diferencial tradicional:Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \dot{\boldsymbol{x}} & =A\boldsymbol{x}+\boldsymbol{b}\\ \left(\begin{array}{c} \dot{x}\\ \dot{y} \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{cc} \cos\left(t\right) & \sin\left(t\right)\\ \cos\left(t\right) & -\sin\left(t\right) \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x\\ y \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} \cos\left(t\right)+\sin\left(t\right)+t^{2}\\ \cos\left(t\right)-\sin\left(t\right)+t \end{array}\right)\end{align}}

Ou seja, temos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \boldsymbol{b}=\left(\begin{array}{cc} \cos\left(t\right)+\sin\left(t\right)+t^{2}, & \cos\left(t\right)-\sin\left(t\right)+t\end{array}\right)^{T}} . Mas ainda podemos reescrever como:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \dot{\boldsymbol{x}} & =A\boldsymbol{x}+B\boldsymbol{u}\\ \left(\begin{array}{c} \dot{x}\\ \dot{y} \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{cc} \cos\left(t\right) & \sin\left(t\right)\\ \cos\left(t\right) & -\sin\left(t\right) \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x\\ y \end{array}\right)+\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 0\\ 1 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \cos\left(t\right)\\ \sin\left(t\right)\\ t^{2}\\ t \end{array}\right)\end{align}}

Onde temos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \boldsymbol{u}=\left(\begin{array}{cc} \cos\left(t\right), & \sin\left(t\right)\end{array},t^{2},t\right)^{T}} . Agora, considerando que as matrizes Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle A} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle B} sejam independentes do tempo, temos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \left(\begin{array}{c} \dot{x_{1}}\\ \vdots\\ \dot{x}_{n} \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{ccc} a_{11} & \dots & a_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & \dots & a_{nnn} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_{1}\\ \vdots\\ x_{n} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc} b_{11} & \dots & b_{1m}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ b_{m1} & \dots & b_{mm} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} u_{1}\\ \vdots\\ u_{m} \end{array}\right)\\ \dot{\boldsymbol{x}}\left(t\right) & =A\boldsymbol{x}\left(t\right)+B\boldsymbol{u}\left(t\right)\end{align}} Então Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \dot{\boldsymbol{x}}\left(t\right)=f\left(\boldsymbol{x}\left(t\right),\boldsymbol{u}\left(t\right)\right)} . Omitindo a informação da dependência no tempo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \left(t\right)} , temos o seguinte vetor:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u}\right)=\left(\begin{array}{c} f_{0}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u}\right)\\ \vdots\\ f_{n}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u}\right) \end{array}\right)} Onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle x=\left(\boldsymbol{x}_{0},\dots,\boldsymbol{x}_{n}\right)^{T}} e ${\textstyle {\boldsymbol {u}}=\left(u_{0},\dots ,u_{n}\right)^{T}}$. O ponto de equilíbrio ${\textstyle {\boldsymbol {x}}_{0}}$ ocorre quando para uma entrada constante ${\textstyle {\boldsymbol {u}}\left(t\right)={\boldsymbol {u}}_{0}}$ temos ${\textstyle {\dot {\boldsymbol {x}}}=0}$:

$$0=A{\boldsymbol {x}}_{0}+B{\boldsymbol {u}}_{0}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{0}=-A^{-1}B{\boldsymbol {u}}_{0}$$

• Se a matriz ${\textstyle A}$ é inservível, temos um único ponto de equilíbrio.
• Se a matriz ${\textstyle A}$ é singular, ou seja, não é inservível (seu determinante é nulo, e como o determinante é o produto dos autovalores, consequentemente então um autovalor ao menos é nulo), então dependemos do posto matricial (quantidade de linhas ou colunas independentes) do produto ${\textstyle AB}$:
  • ${\textstyle {\text{Posto}}}$${\textstyle \left[A\right]={\text{Posto}}\left[AB\right]\rightarrow }$ há um infinito número de pontos de equilíbrio;
    • Nesse caso podemos obter todas soluções a partir de uma solução particular, fazendo${\textstyle {\boldsymbol {x}}_{0}={\overline {\boldsymbol {x}}}_{0}+{\text{kernel}}\left[A\right]}$ (lembrando que o kernel é um sub-espaço formado por vetores ${\textstyle {\boldsymbol {v}}}$ que satisfazem ${\textstyle A{\boldsymbol {v}}=0}$).
  • ${\textstyle {\text{Posto}}}$${\textstyle \left[A\right]\neq {\text{Posto}}\left[AB\right]\rightarrow }$ não há pontos de equilíbrio.

Para sistemas lineares, a estabilidade do ponto de equilíbrio não depende do ponto em si. A estabilidade do sistema é completamente determinada pela posição dos autovalores da matriz A.

Considerando então um sistema não linear:

$${\dot {\boldsymbol {x}}}={\boldsymbol {f}}\left({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {u}}\right)$$

Novamente o ponto de equilíbrio ${\textstyle {\boldsymbol {x}}_{0}}$ ocorre quando para uma entrada constante ${\textstyle {\boldsymbol {u}}\left(t\right)={\boldsymbol {u}}_{0}}$ quando temos ${\textstyle {\dot {\boldsymbol {x}}}=f\left({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {u}}\right)=0}$. Mas agora a estabilidade não é uma propriedade global do sistema, mas local. Então a análise deve ser feita em cada ponto de equilíbrio. Vamos expandir então a função ${\textstyle f\left({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {u}}\right)}$ na vizinhaça do do ponto de equilíbrio ${\textstyle \left({\boldsymbol {x}}_{0},{\boldsymbol {u}}_{0}\right)}$. Para uma variável, temos a seguinte expansão em série de Taylor em torno de ${\textstyle c}$:

$$P_{n}\left(x\right)={\frac {f\left(c\right)\left(x-c\right)^{0}}{0!}}+{\frac {f'\left(c\right)\left(x-c\right)^{1}}{1!}}+\dots +{\frac {f^{\left(n\right)}c\left(c\right)\left(x-c\right)^{n}}{n!}}$$

Para o primeiro grau, uma função para duas variáveis próxima ao ponto ${\textstyle \left(a,b\right)}$ pode ser aproximada por:

$$f\left(x_{1},x_{2}\right)\approx f\left(a,b\right)+{\frac {\partial f\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{1}}}|_{\left(a,b\right)}\left(x_{1}-a\right)+{\frac {\partial f\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{2}}}|_{\left(a,b\right)}\left(x_{2}-b\right)$$

Mas escrevendo então ${\textstyle {\tilde {x}}_{1}=\left(x_{1}-a\right)}$ e ${\textstyle {\tilde {x}}_{2}=\left(x_{2}-b\right)}$:

$$f\left(x_{1},x_{2}\right)\approx f\left(a,b\right)+{\frac {\partial f\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{1}}}|_{\left(a,b\right)}{\tilde {x}}_{1}+{\frac {\partial f\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{2}}}|_{\left(a,b\right)}{\tilde {x}}_{2}$$

E tendo os vetores ${\textstyle {\tilde {\boldsymbol {x}}}=\left({\tilde {x}}_{1},{\tilde {x}}_{2}\right)^{T}}$ e ${\textstyle {\boldsymbol {x}}=\left(x_{1},x_{2}\right)^{T}}$ :

$$f\left(x_{1},x_{2}\right)\approx f\left(a,b\right)+{\frac {\partial f\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial \left(x_{2},x_{2}\right)}}|_{\left(a,b\right)}{\tilde {\boldsymbol {x}}}$$

Onde:

$${\frac {\partial f\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial \left(x_{2},x_{2}\right)}}={\frac {\partial f\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial {\boldsymbol {x}}}}=\left({\begin{array}{cc}{\frac {\partial f\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial f\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{2}}}\end{array}}\right)^{T}$$

Generalizando para nosso caso temos então:

$${\boldsymbol {f}}\left({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {u}}\right)={\boldsymbol {f}}\left({\boldsymbol {x}}_{0},{\boldsymbol {u}}_{0}\right)+{\boldsymbol {f}}_{\boldsymbol {x}}\left({\boldsymbol {x}}_{0},{\boldsymbol {u}}_{0}\right)\left({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {x}}_{0}\right)+{\boldsymbol {f}}_{\boldsymbol {u}}\left({\boldsymbol {x}}_{0},{\boldsymbol {u}}_{0}\right)\left({\boldsymbol {u}}-{\boldsymbol {u}}_{0}\right)$$

$$f_{\boldsymbol {x}}={\frac {\partial {\boldsymbol {f}}\left({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {u}}\right)}{\partial {\boldsymbol {x}}}}={\frac {\partial \left(f_{1},\dots ,f_{m}\right)}{\partial \left(x_{1},\dots ,x_{n}\right)}}$$

Uma vez que agora ambos ${\textstyle {\boldsymbol {f}}\left({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {u}}\right)=\left(f_{1},\dots ,f_{m}\right)^{T}}$ e ${\textstyle {\boldsymbol {x}}=\left(x_{1},\dots ,x_{n}\right)^{T}}$ são vetores . E como ${\textstyle {\boldsymbol {f}}\left({\boldsymbol {x}}_{0},{\boldsymbol {u}}_{0}\right)=0}$, fazendo o deslocamento ${\textstyle {\tilde {\boldsymbol {x}}}={\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {x}}_{0}}$ e ${\textstyle {\tilde {\boldsymbol {u}}}={\boldsymbol {u}}-{\boldsymbol {u}}_{0}}$, temos:

$${\boldsymbol {f}}\left({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {u}}\right)=A{\tilde {\boldsymbol {x}}}\left(t\right)+B{\tilde {\boldsymbol {u}}}\left(t\right)$$

Onde:

$$A={\frac {\partial \left(f_{1},\dots ,f_{n}\right)}{\partial \left(x_{1},\dots ,x_{n}\right)}}|_{\left({\boldsymbol {x}}_{0},{\boldsymbol {u}}_{0}\right)}\qquad B={\frac {\partial \left(f_{1},\dots ,f_{n}\right)}{\partial \left(u_{1},\dots ,u_{m}\right)}}|_{\left({\boldsymbol {x}}_{0},{\boldsymbol {u}}_{0}\right)}$$

Onde a matriz ${\textstyle A}$ é a matriz jacobiana que representa a diferenciação de ${\textstyle {\boldsymbol {f}}}$ em cada ponto onde ${\textstyle {\boldsymbol {f}}}$ é diferenciável.

$${\frac {\partial \left(f_{1},\dots ,f_{n}\right)}{\partial \left(x_{1},\dots ,x_{n}\right)}}=\left({\begin{array}{ccc}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\dots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{1}}}&\dots &{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{n}}}\end{array}}\right)\qquad {\frac {\partial \left(f_{1},\dots ,f_{n}\right)}{\partial \left(u_{1},\dots ,u_{m}\right)}}=\left({\begin{array}{ccc}{\frac {\partial f_{1}}{\partial u_{1}}}&\dots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{n}}{\partial u_{1}}}&\dots &{\frac {\partial f_{n}}{\partial u_{m}}}\end{array}}\right)$$

Sendo que as componentes da matrizes $A$ e $B$ são constantes, pois é o valor da derivada no ponto de equilíbrio.

Principais materiais utilizados

1. Analysis of Ordinary Differential Equations (J. M. Cushing, Universidade do Arizona)
2. Linearization of Nonlinear Systems (Roberto Zanasi, Universidade de Módena e Reggio Emília)

Citações

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