Grupo - Modelo Sznajd

De Física Computacional
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Introdução

O Modelo de Sznajd ou United we stand, divided we fall (USDF) é um modelo recente, proposto em 2000 para entender a dinâmica de opiniões através da física estatística. No ponto de vista de um físico, o comportamento de indivíduos a as interações entre eles constituem um nível microscópico de um sistema social. O modelo introduz o fenômeno chamado validação social:

Validação Social: Se duas pessoas compartilham da mesma opinião, os seus vizinhos começarão a concordar com elas.

Discordância Destrutiva: Se as pessoas discordam, os vizinhos começarão a argumentar com elas.

O método e Formulação Matemática

Opinião social é vinda de opiniões individuais, representadas neste modelo por spins de Ising de forma "yes" e "no". A dinâmica segue a relação da validação social:

  1. A cada timestep um par de sping são escolhidos para tentar mudar os seus vizinhos mais próximos
  2. Se , então e (validação social)
  3. Se , então e

No modelo, dois tipos de estados estacionários são alcançáveis: consenso completo(ferromagnético) e impasse(antiferromagnético). A principal diferença para o Ising é que a informação flui para fora. O modelo de Sznajd ou USDF tem sido modificado e utilizado em marketing, política e finanças.

Modificações

Fala-se que o estado antes mencionado, o antiferromagnetismo, pode ser considerado não realístico para representar o comportamento de indivíduos em uma sociedade. Para tentar evitar este caso, propõe-se o seguinte:

  1. A cada timestep um par de sping são escolhidos para tentar mudar os seus vizinhos mais próximos igual anteriomente
  2. Se , então e (validação social)
  3. Se , então e

Estas regras ficaram conhecidas como algo do tipo: "Se você não sabe o que fazer, ou faz nada ou faz qualquer coisa." É um tanto quanto óbvio que o modelo unidimensional não representa bem um sistema social e que modelos bidimensionais são bem mais realistas. Algo interessante mencionar é a atualização simultânea para sistemas de duas dimensões: uma atualização simultânea leva a uma muito maior dificuldade de atingir o estado de consenso total. Isso foi mostrado por Stauffer[1] e a razão para isso é que alguns recebem simultaneamente distintas informações de diferentes vizinhos, o que leva a não aceitar a opinião.

Regras para rede quadrada x:

  1. Se conjunto 2x2 de 4 vizinhos não tiverem todos os seus spins paralelos, deixam os seus oito vizinhos sem .# Um par de vizinhos convence seus seis vizinhos a seguirem a sua orientação se o par de spins for paralelo.

A regra de atualização para duas dimensões pode ser obtida pela regra em uma dimensão: A regra e 1D é aplicada para cada uma das 4 cadeias de spins, como mostra a próxima figura: 1.jpg

Isto foi mostrado por Galam[2]

Generalização

Para a generalização desse método para a rede quadrada x onde cada spin pode estar para cima ou para baixo e utiliza-se condições periódicas de contorno. As regras [3] esquematizadas: 2.jpg

Um conjunto 2x2 de quatro vizinhos é escolhido e se todos não forem paralelos, deixa os seus oito vizinhos sem mudanças. Se não, seguem duas regras:

  1. Os vizinhos seguem a orientação do conjunto.
  2. Os vizinhos seguem a orientação oposta ao conjunto.

Um par vizinho tenta convencer seus seis vizinhos a seguir a orientação do par apenas se o par tiver spins paralelos. Caso contrário, seguem três regras horizontais mas com regras verticais completamente análogas:

  1. Os vizinhos não mudam.
  2. Os três vizinhos da esquerda seguem a orientação do spin da esquerda do par e os três da direita seguem o spin da direita.
  3. Os três vizinhos da esquerda seguem a orientação do spin da direita do par e os três da direita seguem o spin da esquerda (oposto a anterior).

A regra de 1D é aplicada para cada uma das quatro linhas de quatro spins cada.

Regra pontos fixos com spins todos para cima ou para baixo.

Regra sem pontos fixos.

Regra e pontos fixos com spins todos para cima ou para baixo.

Regra Para L par ten-se ou tudo para cima ou para baixo. Para L ímpar também a o ponto antiferromagnético

Regra pontos fixos com spins todos para cima ou para baixo com L ímpar.

Aplicações

O modelo de Sznajd pode ser utilizado em política, marketing e finanças. Um caso especial está em [4].

Reproduzimos o modelo mostrado no paper, usando uma rede quadrada x com . Ao invés de usar um modelo de spin (-1 ou 1), o modelo simula eleições brasileiras, usando um número de políticos escolhido como . Usando a condição de seleção , cada vez que dois vizinhos tem a mesma opinião, todos os seus 6 vizinhos adquirem a mesma opinião.

Nossa condição inicial é montada selecionando todos os eleitores aleatoriamente, dando-os uma probabilidade de escolher um candidato . Ao escolher um candidado, ele tem uma mesma probabilidade de tentar convencer seus vizinhos ( nesse caso age como o poder de convencimento de um candidato). Na imagem podemos ver a distribuição de votos por politico, que segue uma lei de potências.

Init.png

Em seguida, realizamos passos de Monte Carlo, selecionando aleatóriamente eleitores (que podem se repetir) e os fazemos tentar convencer um de seus 4 vizinhos, seguindo a mesma regra.

Nosso modelo tenta estudar a fase de transição do modelo (passos de Monte Carlo ), dado que num processo eleitoral os votos não atingem um equilíbrio. A imagem mostra a distribuição desses votos.

Anferparty.png

Após essa distribuição, podemos estudar como se dividem os votos. A imagem mostra a distribuição acumulada dos votos, em azul logo após a distribuição inicial (lei de potência com inclinação -1/2), e após os passos de Monte Carlo (com inclinação -1). Vemos que muitos poucos candidatos recebem a maioria dos votos, fato que concorda com o caso real.[5]

Final.png

Uma maneira de visualizar o processo é vendo o que acontece em uma rede quadrada 50x50 com 6 candidatos. O sistema converge para um candidato dominando devido ao tamanho da rede. Para uma rede maior, há uma competição entre vários candidatos dentro do limite de transição.

Foobar.gif

Bibliografia

  1. D. Stauffer D, J Math Sociol 28 25 (2004)
  2. S. Galam, J. Stat. Phys. 61, 943 (1990)
  3. D. Stauffer,A.O. Sousa,M. De Oliveira, Int. J. Mod. Phys. C 11 1239
  4. A. T. BERNARDES et al, Int. J. Mod. Phys. C 12, 159 (2001)
  5. R. N. Costa-Filho, M. P. Almeida, J. S. Andrade Jr., and J. E. Moreira, Phys. Rev. E 60, 1067 (1999)