Grupo1 - Dif em 2D

De Física Computacional
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A equação de Poisson:

é uma equação do tipo Elíptica que representa fenômenos físicos estácionarios relacionados a Eletrostatica, Dinâmica de Fluídos e Transferência de Calor. Se a equação passa a ser chamada de Equação de Laplace. Os problemas relacionados a equação de Laplace são estudados pela "Teoria do Potencial".

As soluções da Equação de Laplace são denominadas funções Harmônicas. Os problemas mais habituais na vida de um físico, engenheiro ou matemático ao se depararem com uma EDP, são os problemas com Condições de Contorno em um dominío , essencialmente será trabalhada a Condição de Dirichlet, que possui fronteiras () conhecidas, tendo o seguinte formato:

A equação de Poisson possui forma parecida para o Problema de Dirichlet, que fica:


Para tais problemas, estudaremos os métodos de Relaxação e Super-Relaxação para encontrar as soluções da Equação de Laplace na região de Quadrado de Lado .

Dominio Quadrado de Lado

Solução Analítica da Equação de Laplace

Seja o problema em , temos:

sendo

Separamos o problema geral de Dirchlet em 4 problemas "menores", com condições de contorno diferentes de zero em apenas um trecho da fronteira, de modo que obtemos desde:

...

até:


Podemos então utilizar o Método da Separação de Variáveis para resolver os 4 problemas e, como a Equação de Laplace é linear, sua soma será a solução completa do Problema de Dirichlet. O método consiste em supor , para então, ao substituirmos na equação obtermos a seguinte expressão:

Podemos isolar as funções e , de fato ficamos com com duas relações que dependem ou apenas de e portanto para elas serem sempre iguais, é necessário que sejam constantes ():

Assim obtemos 2 EDOs de segunda ordem, que podem ser resolvidas pelo Método dos Coeficientes a Determinar. Como não é objetivo aqui realizar cálculos analíticos (especialmente "na mão") apenas será resolvido o primeiro problema ():

As condições de contorno mostram que , e .

Dividindo o problema, temos a parte de


Supondo uma solução da forma :


Ou seja, temos a solução de sendo

Partindo para a segunda equação ,


supondo solução do tipo temos:

Ou seja, temos solução

Utilizando a primeira C.C. obtemos

ou seja, temos que

Utilizando a segunda C.C. temos

ou seja, existem infinitos tal que é solução.

Voltando a , temos

Finalmente unindo as respostas, temos

sendo

Para os outros problemas, temos soluções parecidas:

sendo

sendo

sendo

A solução completa do problema de Dirichlet no quadrado de Lado é a soma das quatro soluções parciais: .

Método da Relaxação

O Método da Relaxação é um método iterativo utilizado para obter a solução numérica para a equação de Laplace e Poisson. A ideia do método é de, utilizando a vizinhança iterar os pontos da malha até que convirjam para uma solução.

Discretizando a equação temos e para , e a função , nos deparamos com uma matriz quadrada sendo as bordas , , e .

Realizando-se a discretização, podemos tomar as derivadas:

e

Substituindo na Equação, temos

, ou seja:

,

ou mais geralmente (supondo ):

para

Para condição de parada, foi convencionado tomar o erro relativo entre as iterações e , para estimar o erro, se optou por tomar como valores, o ponto médio da malha (já que é o ultimo ponto a ser alcançado nas iterações, portanto, quando sua variação diminuir é sinal de que a solução já está convergindo), para observarmos a evolução em relação a outros pontos que variam desde o inicio, foram utilizados as diagonais interiores, tal que o erro relativo é:

fazendo a média ponderada com peso 4 para o ponto médio:

Método da Super Relaxação (SOR)

Podemos também realizar uma média entre os valores já calculados e os ainda não calculados na iteração, o método da Super Relaxação ou Sobrerrelaxação (SOR) é da seguinte forma:

tal que é o valor calculado através do método da Relaxação e é o fator de relaxamento, se temos a Relaxação normal.

Estabilidade

Relaxação

Erro relativo (método da Relaxação) em função da quantidade de iterações

A relaxação é um método Iterativo sobre os pontos vizinhos que pode ser feita de 2 modos, pelo Algoritmo de Jacobi, e pelo de Gauss-Seidel.

O algoritmo de Jacobi pega valores "antigos" para a iteração e possui convergencia muito lenta, por isso não é muito utilizado. Já o algoritmo de Gauss-Seidel pega os valores "novos" (que ja foram calculados na iteração) e os "antigos" (que não foram calculados na iteração ), possui convergência mais rapida, porém ainda é lenta.

Como a média definida anteriormente foi feita utilizando o ponto médio do domínio, o erro cresce após decair, pois é quando efetivamente ocorrem variações maiores no ponto médio.

Para a relaxação, o algoritmo de Jacobi faz o seguinte cálculo:

,

já o algoritmo de Gauss-Seidel faz:

,

Algoritmos iterativos tendem a convergir para solução unica, se a matriz que as representa for Diagonal Dominante, ou seja:

Sendo e , então e e

Como , a desigualdade vale e o método converge.

De fato, podemos ver que a equação de Laplace respeita tal desigualdade.


Caso façamos um retangulo com , obtemos os erros da imagem a seguir, feito utilizando e , e e e :

Erro obtido para diferentes comprimentos do retangulo

Super Relaxação

Grafico mostra a quantidades de Iterações para convergência do exemplo 1 em função de omega

Como o método depende de , e se temos a Relaxação normal, então podemos já observar que a convergência será mais demorada se , já quando maior que 1, a solução sempre converge mais rápido até um após o valor ótimo o valor cresce até 2, valor que diverge para o SOR.

Usaremos que é o valor ótimo.


Exemplos

Foram realizados 5 exemplos, 2 sobre a equação de Laplace e 3 sobre a equação de Poisson.

Exemplo 1

O primeiro problema,que pode ser descrito como a temperatura de uma chapa que está em equilíbrio térmico com um dos lados a temperatura , todos os outros lados iguais com temperatura 0 e sem geração. Para o domínio , tal problema é descrito pela seguinte expressão:

A solução analítica para o problema é:

Foi possível obter o gráfico da função analítica aproximada com os 110 primeiros termos parciais e estimar o erro entre a solução numérica e a solução analítica, que foi alto devido ao truncamento da série que forma a solução analítica.

Solução analítica do Problema de Contorno 1
Erro entre solução numérica e solução analítica em função do número de iterações

Foram obtidas as soluções mostradas nos gráficos a seguir, através do algoritmo de Gauss-Seidel, no caso da relaxação foram necessárias 1471 iterações para a solução convergir, já SOR levou 1000.

Solução do Problema de Contorno através do Método de Relaxação (utilizando o algoritmo de Gauss-Seidel) Solução do Problema de Contorno através do Método de Super Relaxação (utilizando o algoritmo de Gauss-Seidel)

Exemplo 2

O segundo problema é descrito pela seguinte expressão, para o domínio :

Foram obtidas as seguintes soluções mostradas nos gráficos, através do algoritmo de Gauss-Seidel.

Solução do Problema de Contorno através do Método de Relaxação (utilizando o algoritmo de Gauss-Seidel) Solução do Problema de Contorno através do Método de Super Relaxação (utilizando o algoritmo de Gauss-Seidel)

Exemplo 3

O primeiro problema sobre a equação de Poisson , possui contornos fixos e uma gaussiana, pode ser considerado um problema de eletrostática com distribuição de carga . Tal problema é descrito pela seguinte expressão, para o domínio :

Foram obtidas as soluções mostradas nos gráficos a seguir, através do algoritmo de Gauss-Seidel.

Solução do Problema de Contorno através do Método de Relaxação Solução do Problema de Contorno através do Método de Super Relaxação

Exemplo 4

O segundo problema sobre a equação de Poisson, que é descrito pela seguinte expressão, para o domínio :

Foram obtidas as soluções mostradas nos gráficos a seguir, através do algoritmo de Gauss-Seidel.

Solução do Problema de Contorno através do Método de Relaxação Solução do Problema de Contorno através do Método de Super Relaxação

Exemplo 5

O segundo problema sobre a equação de Poisson, que é descrito pela seguinte expressão, para o domínio :

Foram obtidas as soluções mostradas nos gráficos a seguir, através do algoritmo de Gauss-Seidel.


Solução do Problema de Contorno através do Método de Relaxação Solução do Problema de Contorno através do Método de Super Relaxação

O programa utilizado para gerar as soluçoes e erros foi o seguir (ou com pequenas alteraçoes):

Programa

Trechos do programa realizado para os exemplos acima.

Programa para o método de Relaxação (Equação de Laplace):

#include<stdio.h>
 #include<math.h>
 #define N 1000
 #define M 70
 #define P 1
 #define PI 3.141529
 void gaussseidelL(){  
  double u[M+2][M+2];
  double dx=0, dy=0;
  double L=5., parada=0, erro=0.00001, up=0;
  int i=0, j=0, k=1, a=0;
  dx = L/(M+1);
  dy = L/(M+1);
  for(i=1;i<M+1;i++){
    for(j=1;j<M+1;j++){
      u[i][j] = 1.;
    }
  }
  /* Primeira Solução, GaussSeidel1  */
  for(i=0;i<M+1;i++){
    u[0][i] = L;
    u[M+1][i] = 0.0;
    u[i][0] = 0.0;
    u[i][M+1] = 0.0;
  }
  u[0][M+1] = L;
  u[M+1][M+1] = 0.0;
  /* Segunda Solução, GaussSeidel2
  for(i=0;i<M+1;i++){
    u[0][i] = L*pow(cos(i*dx*PI/L),2);
    u[M+1][i] = L*pow(sin(i*dx*PI/L),2);
    u[i][0] = L -  pow(i*dx,2)/L;
    u[i][M+1] = pow(((M+1)-i)*dx,2)/L;
  }
  u[0][M+1] = L;
  u[M+1][M+1] = 0.0;
  */
  do{
    up = (u[1][1] + u[M/2+1][M/2+1] + u[M][M])/3;
    for(i=1;i<M+1;i++){
      for(j=1;j<M+1;j++){
	u[i][j] = (u[i+1][j] + u[i-1][j] + u[i][j+1] + u[i][j-1])/4;
      }
    }
    k++;
    parada = fabs((up-(u[1][1] + u[M/2+1][M/2+1] + u[M][M])/3)/up);
    if(parada < erro && k>N/5){
      a = 1;
    }else{
      a = 0;
    }
  }while(a == 0);
  for(i=0;i<M+2;i++){
    for(j=0;j<M+2;j++){
      printf("%lf %lf %lf \n",i*dx, j*dy, u[i][j]);
    }
  }
  printf("\n\n");
  return;
 }

Segundo trecho para método de Relaxação, Equação de Poisson

#include<stdio.h>
#include<math.h>
#define N 1000
#define M 70
#define P 1
#define PI 3.141529


void gaussseidelP(){
  
  double u[M+2][M+2], F[M+2][M+2];
  double dx=0, dy=0;
  double L=5., parada=0, erro=0.00001, up=0;
  int i=0, j=0, k=1, a=0;

  dx = L/(M+1);
  dy = L/(M+1);
  
  for(i=1;i<M+1;i++){
    for(j=1;j<M+1;j++){
      u[i][j] = 0.;
      F[i][j] = i*dx*j*dy*exp(-(pow(i*dx,2) + pow(j*dy,2))/L);
    }
  }

 /* Solução Zero, Poisson0  */
  for(i=0;i<M+1;i++){
    u[0][i] = 0;
    u[M+1][i] = 0.0;
    u[i][0] = 0.0;
    u[i][M+1] = 0.0;
  }
  u[0][M+1] = 0;
  u[M+1][M+1] = 0.0;

  
  /* Primeira Solução, PoissonGS1 
  for(i=0;i<M+1;i++){
    u[0][i] = L;
    u[M+1][i] = 0.0;
    u[i][0] = 0.0;
    u[i][M+1] = 0.0;
  }
  u[0][M+1] = L;
  u[M+1][M+1] = 0.0;
  */
  
  
  /* Segunda Solução, PoissonGS2 
  for(i=0;i<M+1;i++){
  u[0][i] = L*pow(cos(i*dx*PI/L),2);
  u[M+1][i] = L*pow(sin(i*dx*PI/L),2);
  u[i][0] = L -  pow(i*dx,2)/L;
  u[i][M+1] = pow(((M+1)-i)*dx,2)/L;
  }
  u[0][M+1] = L;
  u[M+1][M+1] = 0.0;
  */
  
  
  do{    
    up = (u[1][1] + u[M/2+1][M/2+1] + u[M][M])/3;
    
    for(i=1;i<M+1;i++){
      for(j=1;j<M+1;j++){
	u[i][j] = (u[i+1][j] + u[i-1][j] + u[i][j+1] + u[i][j-1] + 4*dx*dx*F[i][j])/4;
      }
    }
    
    k++;
    parada = fabs((up-(u[1][1] + u[M/2+1][M/2+1] + u[M][M])/3)/up);
    if(parada < erro && k>N/5){
      a = 1;
    }else{
      a = 0;
    }
  }while(a == 0);

  for(i=0;i<M+2;i++){
    for(j=0;j<M+2;j++){
      printf("%lf %lf %lf \n",i*dx, j*dy, u[i][j]);
    }
  }

  printf("\n\n");
  return;
}

Trecho de programa que utiliza o método de Super Relaxação para Equação de Laplace:

#include<stdio.h>
#include<math.h>
#define N 1000
#define M 70
#define P 1
#define PI 3.141529


void overrelaxationL(){
  
  double u[M+2][M+2], un[M+2][M+2];
  double dx=0, dy=0, omega=1.;
  double L=5., parada=0, erro=0.00005, up=0;
  int i=0, j=0, k=1, a=0;
  
  omega = 2/(1+PI*dx);

    k = 0;
    
    dx = L/(M+1);
    dy = L/(M+1);
    
    for(i=1;i<M+1;i++){
      for(j=1;j<M+1;j++){
	un[i][j] = 1.;
	u[i][j] = un[i][j];
      }
    }
    /*
    for(i=0;i<M+1;i++){
      un[0][i] = 0.0;
      un[M+1][i] = L;
      un[i][0] = 0.0;
      un[i][M+1] = 0.0;
    }
    un[0][M+1] = 0.0;
    un[M+1][M+1] = L;
    */
    
    for(i=0;i<M+1;i++){
      un[0][i] = L*pow(cos(i*dx*PI/L),2);
      un[M+1][i] = L*pow(sin(i*dx*PI/L),2);
      un[i][0] = L -  pow(i*dx,2)/L;
      un[i][M+1] = pow(((M+1)-i)*dx,2)/L;
    }
    un[0][M+1] = L;
    un[M+1][M+1] = 0.0;   
    
    do{
      
      up = (un[1][1] + 4*un[M/2+1][M/2+1] + un[M][M] + un[1][M] + un[M][1])/8;
      
      for(i=1;i<M+1;i++){
	for(j=1;j<M+1;j++){
	  un[i][j] = (un[i+1][j] + un[i-1][j] + un[i][j+1] + un[i][j-1])/4;
	  u[i][j] = u[i][j]*(1 - omega) + omega*un[i][j];
	  un[i][j] = u[i][j];
	}
      }
      k++;
      parada = fabs((up-(un[1][1] + 4*un[M/2+1][M/2+1] + un[M][M] + un[1][M] + un[M][1])/8)/up);
      if(parada < erro && k>N){
	a = 1;
      }else{
	a = 0;
      }
    }while(a == 0);
    
    for(i=0;i<M+2;i++){
      for(j=0;j<M+2;j++){
	printf("%lf %lf %lf \n",i*dx, j*dy, un[i][j]);
      }
    }

  printf("\n\n");
}

Trecho de programa do algoritmo de Super Relaxação para Equação de Poisson:


#include<stdio.h>
#include<math.h>
#define N 1000
#define M 70
#define P 1
#define PI 3.141529


void overrelaxationP(){
  
  double u[M+2][M+2], un[M+2][M+2], F[M+2][M+2];
  double dx=0, dy=0, omega=1.;
  double L=5., parada=0, erro=0.00005, up=0;
  int i=0, j=0, k=1, a=0;
  
  omega = 2/(1+PI*dx);

    k = 0;
    
    dx = L/(M+1);
    dy = L/(M+1);
    
    for(i=1;i<M+1;i++){
      for(j=1;j<M+1;j++){
	un[i][j] = 1.;
	u[i][j] = un[i][j];
	F[i][j] = i*dx*j*dy*exp(-(pow(i*dx,2) + pow(j*dy,2))/L);
      }
    }

       
    for(i=0;i<M+1;i++){
      un[0][i] = 0.0;
      un[M+1][i] = 0.0;
      un[i][0] = 0.0;
      un[i][M+1] = 0.0;
    }
    un[0][M+1] = 0.0;
    un[M+1][M+1] = 0.0;
    

    /*
    for(i=0;i<M+1;i++){
      un[0][i] = L*pow(cos(i*dx*PI/L),2);
      un[M+1][i] = L*pow(sin(i*dx*PI/L),2);
      un[i][0] = L -  pow(i*dx,2)/L;
      un[i][M+1] = pow(((M+1)-i)*dx,2)/L;
    }
    un[0][M+1] = L;
    un[M+1][M+1] = 0.0;   
    */
    
    do{
      
      up = (un[1][1] + 4*un[M/2+1][M/2+1] + un[M][M] + un[1][M] + un[M][1])/8;
      
      for(i=1;i<M+1;i++){
	for(j=1;j<M+1;j++){
	  un[i][j] = (un[i+1][j] + un[i-1][j] + un[i][j+1] + un[i][j-1] + 4*dx*dx*F[i][j])/4;
	  u[i][j] = u[i][j]*(1 - omega) + omega*un[i][j];
	  un[i][j] = u[i][j];
	}
      }
      k++;
      parada = fabs((up-(un[1][1] + 4*un[M/2+1][M/2+1] + un[M][M] + un[1][M] + un[M][1])/8)/up);
      if(parada < erro && k>N){
	a = 1;
      }else{
	a = 0;
      }
    }while(a == 0);
    
    for(i=0;i<M+2;i++){
      for(j=0;j<M+2;j++){
	printf("%lf %lf %lf \n",i*dx, j*dy, un[i][j]);
      }
    }

  printf("\n\n");
}

Referências

  1. [[1]] Biezuner, Rodney Josué,Notas de Aula Métodos Numéricos para Equações Diferenciais Parciais Elípticas (UFMG, 2007)
  2. [[2]] Biezuner, Rodney Josué,Introdução às Equações Diferenciais Parciais (UFMG, 2007)
  3. Jianping Zhu, Solving Partial Differential Equations on Parallel Computers (World Scientific, 1994)

Grupo: Pedro Barbisan Widniczck