Dedução Leapfrog

Queremos resolver as equações que temos para $k_{i+{\frac {1}{2}}}^{n+1}$:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k_{i+\frac{1}{2}}^{n+1} = v \frac{U_{i+1}^{n+1}-U_i^{n+1}}{\Delta x} }

Sabendo que

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k_{i+\frac{1}{2}}^n = v \frac{U_{i+1}^n-U_i^n}{\Delta x}, }

e

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_{i}^{n+\frac{1}{2}} = \frac{U_{i}^{n+1}-U_i^n}{\Delta t}, }

podemos escrever equações para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U^{n+1}_{i+1}} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U^{n+1}_{i}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U^{n}_{i+1}} :

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U^{n+1}_{i+1} = s^{n+\frac{1}{2}}_{i+1}\Delta t + U^{n}_{i+1},\qquad (1)}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U^{n+1}_{i} = s^{n+\frac{1}{2}}_i \Delta t + U^n_i\qquad (2)}

e

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U^{n}_{i+1}= \frac{\Delta x}{v}k^n_{i+\frac{1}{2}} + U^n_i.\qquad (3)}

Substituindo as equações (1) e (2) na equação para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k_{i+\frac{1}{2}}^{n+1}} , obtemos:

${\frac {\Delta x}{v}}k_{i+{\frac {1}{2}}}^{n+1}=(s_{i+1}^{n+{\frac {1}{2}}}\Delta t+U_{i+1}^{n})-(s_{i}^{n+{\frac {1}{2}}}\Delta t+U_{i}^{n}).$

Ao substituirmos a equação (3) nessa última equação obtida, obtemos a equação citada no desenvolvimento do Método de Leapfrog, dada por

${\frac {\Delta x}{v}}k_{i+{\frac {1}{2}}}^{n+1}=s_{i+1}^{n+{\frac {1}{2}}}\Delta t+{\frac {\Delta x}{v}}k_{i+{\frac {1}{2}}}^{n}+U_{i}^{n}-(s_{i}^{n+{\frac {1}{2}}}\Delta t+U_{i}^{n}).$

E, por fim, dela obtemos a equação para $k$:

$k_{i+{\frac {1}{2}}}^{n+1}=k_{i+{\frac {1}{2}}}^{n}+r(s_{i+1}^{n+{\frac {1}{2}}}-s_{i}^{n+{\frac {1}{2}}}),$

onde $r={\frac {v\Delta t}{\Delta x}}$.